高考文科数学大题专项训练(一)

解析： 由题意知 , x2 ￡a 有解 , 故 a 3 0 ． 答案： a 3 0
3．已知集合 A ＝ { y | y = x2 - 2x - 1,x ? R} , 集合 B＝ { x | - 2 ＃ x 8} , 则集合 A 与 B
的关系是 ________． 解析： y＝ x2－ 2x－1＝ (x － 1)2－ 2≥ －2, ∴ A ＝ {y|y ≥ － 2}, ∴ B A ． 答案： B A
必要不充分条件
8．设集合 M ＝{ m|m＝ 2n, n∈ N, 且 m<500}, 则 M 中所有元素的和为 ________． 解析： ∵ 2n<500, ∴ n＝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8． ∴ M 中所有元素的和
＋2＋ 22＋ … ＋ 28＝511． 答案： 511
b∈ Q}, 若 P＝ {0, 2, 注意到集合元素的互异
4．已知集合 M ＝ { x|x2＝ 1}, 集合 N＝ { x|ax＝ 1}, 若 N M ,
解析： M ＝{ x|x＝ 1 或 x＝－ 1}, N M, 所以 N＝?时 ,
或－ 1, ∴a＝ 1 或－ 1． 答案： 0, 1, － 1
那么 a 的值是 ________． a＝0；当 a≠ 0 时 , x＝1＝ 1
{ } 4．已知全集 U＝ R, 则正确表示集合 M ＝ { － 1, 0, 1} 和 N＝ x | x2 + x = 0 关系的韦恩
(Venn)图是 ________．
{ } 解析： 由 N= x | x2 + x = 0 , 得 N={-1, 0}, 则 N M． 答案： ②
5 知集合 A＝ { x | x > 5} , 集合 B＝ { x | x > a} , 若命题“ x∈ A”是命题“ x∈ B”的充分

1.〔此题总分值14 分〕设数列a的前n项和为S n,且S n4a n3(n1,2,)，n〔1〕证明: 数列a n是等比数列；〔2〕假设数列b满足b n1a n b n(n1,2,)，b12，求数列b n的通项公n式．2.〔本小题总分值12分〕等比数列a的各项均为正数，且n2 2a3a1,a9aa.123261.求数列a n的通项公式.2.设blogaloga......loga,求数列n31323n 1bn的前项和.3.设数列a满足n2n1 a12,a1a32nn〔1〕求数列a的通项公式；n〔2〕令b n na n，求数列的前n项和S n3.等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．〕，求数列{b n}的前n项和S n．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；n﹣1*〔Ⅱ〕设b n=〔4﹣a n〕q〔q≠0，n∈N× 5.数列{a n}满足，，n∈N．〔1〕令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；〔2〕求{a n}的通项公式．...4.解：〔1〕证：因为S n4a n3(n1,2,)，那么S n14a n13(n2,3,)，所以当n2时，a SS14a4a1，nnnnn4整理得aa1．5分nn3由S43，令n1，得a14a13，解得a11．n an所以分a是首项为1，公比为n43的等比数列．7〔2〕解：因为4n1 a()，n3由b1ab(n1,2,)，得nnn4n1 bb()．9分n1n3由累加得()()()b n bbbbbbb12`132nn14n11()43n1＝23()1，〔n2〕，43134n1 当n=1时也满足，所以)1b3(．n35.解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q，由 2a39a2a6得32a39a4所以21q。

有条件9可知a>0,故1q。

311a。

故数列{a n}的通项式为a n=33由2a13a21得2a13a2q1，所以1n。

〔Ⅱ〕b logaloga...logan111111(12...n)n(n1)2故12112() bn(n1)nn1n111111112n ...2((1)()...()) bbb223nn1n1 12n...所以数列1{}bn2n 的前n 项和为n16.解：〔Ⅰ〕由，当n≥1 时，a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1nnnnn2n12n33(222)222(n1)1。

因此数列{an}的通项公式为an＝2n＋1. 由Tn＋2 n＝bn－1，得Tn＝2bn－2－n. 当n＝1时，b1＝2b1－2－1，b1＝3. 当n≥2时，Tn－1＝2bn－1－2－(n－1)，且Tn－Tn－1＝bn， 所以bn＝2bn－2－n－[2bn－1－2－(n－1)]， bn＝2bn－1＋1，bn＋1＝2(bn－1＋1)，bbn－n＋1＋11＝2.
第7页
3．(2019·长郡中学月考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ n2－n＋1，在正项等比数列{bn}中，b2＝a2，b4＝a5.
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]
第6页
b1＝3对上式也成立，所以bn＝n(n＋2)，即
1 bn
＝
1 n（n＋2）
＝
121n－n＋1 2，
所以Tn＝
1 2
[
1－13
＋
12－14
＋
13－15
＋…＋
n－1 1－n＋1 1
＋
1n－n＋1 2]＝12(1＋12－n＋1 1－n＋1 2)＝34－2（n＋21n）＋（3n＋2）.
第14页
5．(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}为等比数 列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)令cn＝bn·4bn＋1＋an，求数列{cn}的前n项和Sn.
第15页
解析 (1)由bn＝log2an和b1＋b2＋b3＝12，得log2(a1a2a3)＝ 12，∴a1a2a3＝212.
设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝4，∴a1a2a3＝4·4q·4q2＝ 26·q3＝212，解得q＝4，∴an＝4·4n－1＝4n.

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B =A.{}4,1-B. {}1,5C. {}3,5D. {}1,32.若312z i i =++，则z =A.0B.1C.2D. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.B.C. 14D.4. 设O 为正方形ABCD 的中心，在O, A ,B, C, D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A.15B. 25C. 12D. 455. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i y i =（x 1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y a bx=+B.2=+y a bxC.x=+y a beD.ln=+y a b x6. 已知圆2260+-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最x y x小值为A. 1B. 2C. 3D. 47. 设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为 A.109π B. 76π C. 43π D. 32π8. 设3a log 42=，则-a 4A.116B. 19C. 18D. 169.执行右面的程序框图，则输出的n =A. 17B. 19C. 21D. 2310.设{}n a 是等比数列，且123+1a a a +=，2342a a a ++=，则678+a a a +=A. 12B. 24C. 30D. 3211. 设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP | =2，则∆12PF F 的面积为 A. 72B. 3C. 52D. 212. 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆. 若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π。

高考数学文科练习题一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x + 3的反函数为f^(-1)(x)，则f^(-1)(5)的值为：A. 1B. 2C. -1D. -22. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 2，公差d = 3，求a_5的值。

A. 14B. 17C. 20D. 233. 计算复数z = 1 + 2i的模。

A. √5B. √6C. √7D. √84. 若直线l：y = 2x + 1与直线m：y = -x + 3平行，则l和m之间的距离为：A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√25. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，判断三角形ABC的形状。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6. 计算定积分∫_0^1 (x^2 - 2x + 1) dx的值。

A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2/37. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。

A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 28. 若双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为e = √5，则a和b的关系为：A. a = 2bB. a = bC. a = √5bD. a = b/√59. 已知向量a = (2, -1)和向量b = (1, 3)，求向量a和向量b的数量积。

A. -1B. 5C. -5D. 110. 计算二项式(1 + x)^5的展开式中x^3的系数。

A. 10B. 20C. 30D. 40二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。

12. 计算圆的面积，半径为r = 2。

13. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。

大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P--.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.2.(2019北京,文15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.(1)证明:sin A sin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.4.已知函数f(x)=cos--2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;1(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.5.已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-上的最大值为,求m的最小值.6.(2019福建泉州5月质检,17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+b=5,(2a+b)·cos C+c·cos B=0.(1)若△ABC的面积为,求c;(2)若点D为线段AB的中点,∠ACD=30°,求a,b.2题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)由角α的终边过点P--,得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.(2)由角α的终边过点P--,得cos α=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=.2.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=32+c2-2×3×c×-.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-.解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-得sin B=.由正弦定理得sin A=sin B=.在△ABC中,B+C=π-A.所以sin(B+C)=sin A=.3.(1)证明根据正弦定理,可设=k(k>0).则a=k sin A,b=k sin B,c=k sin C.代入中,有,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin A sin B=sin C.3(2)解由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=-.所以sin A=-.由(1),sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.4.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.5.解(1)因为f(x)=-sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin-,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)知f(x)=sin-.因为x∈-,所以2x---.要使f(x)在-上的最大值为,即sin-在-上的最大值为1.所以2m-,即m≥.所以m的最小值为.46.解(1)∵(2a+b)cos C+c cos B=0,∴(2sin A+sin B)cos C+sin C cos B=0,即2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B=0.∴2sin A cos C+sin(B+C)=0,即2sin A cos C+sin A=0.∵A∈(0,π),∴sin A≠0.∴cos C=-.∵C∈(0,π),∴sin C=.∴S△ABC=a·b sin C=.∴ab=2.在△ABC中,c2=a2+b2-2ab cos C=(a+b)2-ab=25-2=23,∴c=.(2)∵cos C=-,∴C=120°.又∠ACD=30°,∴∠BCD=90°.记∠ADC=θ,AD=BD=m,在直角三角形BCD中,a=m sin θ.,在△ACD中,°∴b=2m sin θ.∴b=2a.又a+b=5,∴a=,b=.5。

2021年高三下学期统一练习（一）数学文试题 Word版含答案高三数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集，集合，集合，则集合=（A）（B）（C）（D）2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（A）（B）（C）（D）3.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示，如图，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（A）20、18 （B）13、19（C）19、13 （D）18、204. 已知直线和平面，，∥,那么“”是“∥”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5.已知双曲线的一个焦点F，点P在双曲线的一条渐近线上，点O为双曲线的对称中心，若△OFP为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）2 （D）6.已知等比数列{}中，且，那么的值是（A）15 （B）31 （C）63 （D）647. 如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=90O，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是（A）,,2（B）4,2,（C）,2，2（D）,2,8.经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，用横轴表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，则需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，则供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此继续波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0．能正确表示上述供求关系的图形是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若，则∠A=_________．PP1P单价需求曲线供应曲线P1P单价需求曲线供应曲线ABP侧视图zyyx10.已知△ABC中，AB=4，AC=3，∠CAB=90o，则___________．11.已知圆，则圆被动直线所截得的弦长__________．12.已知，则函数的最小值为________．13.已知满足目标函数的最大值为5，则的值为．14.函数．①当b=0时，函数f(x)的零点个数_______；②若函数f(x)有两个不同的零点，则b的取值范围________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.16. （本小题共13分）下图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：（Ⅰ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k 的概率；（Ⅱ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；（Ⅲ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）.17. （本小题共14分）已知在△ABC 中，∠B =90o ，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，将△CDE 沿DE 翻折后，使之成为四棱锥（如图）. （Ⅰ）求证：DE ⊥平面；（Ⅱ）设平面平面，求证：AB ∥l ；（Ⅲ）若，，，F 为棱上一点，设，当为何值时，三棱锥的体积是1？18. （本小题共13分）已知函数，数列满足：. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求数列的前项和. 19 . （本小题共14分）ABEDCC'DEFBA已知函数．（Ⅰ）求曲线在处的切线的方程；（Ⅱ）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；（Ⅲ）当时，（Ⅰ）中的直线l 与曲线有且只有一个公共点，求的取值范围. 20. （本小题共13分）已知椭圆:过点A （2，0），离心率，斜率为 直线过点M （0，2），与椭圆C 交于G ，H 两点（G 在M ，H 之间），与轴交于点B . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）P 为轴上不同于点B 的一点，Q 为线段GH 的中点，设△HPG 的面积为， 面积为，求的取值范围.丰台区xx 年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 10.16 11. 12. 3 13. 14 . 0 ； 注：14题第一空2分，第二空3分。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数f(x) = 2x - 3在定义域上的最大值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 3, 5，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列命题中正确的是：A. 平方根和算术平方根都是非负数B. 所有有理数的平方根都是实数C. 所有实数的平方根都是实数D. 所有无理数的平方根都是实数4. 下列函数中，y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上的是：A. a = 1, b = 2, c = 3B. a = -1, b = -2, c = 3C. a = 1, b = -2, c = -3D. a = -1, b = 2, c = -35. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列等式中正确的是：A. a² + b² = c²B. b² + c² = a²C. a² + c² = b²D. a² + b² + c² = 07. 下列不等式中，恒成立的是：A. x² > 0B. x³ > 0C. x² > 1D. x³ > 18. 若函数y = f(x)的图像与直线y = kx（k ≠ 0）有唯一交点，则函数f(x)的图像可能是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 周期函数D. 反比例函数9. 下列事件中，属于随机事件的是：A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚骰子，得到6C. 抛掷一枚骰子，得到偶数D. 抛掷一枚骰子，得到奇数10. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，x² ≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x² = 0D. 对于任意实数x，x³ = 011. 若等比数列{an}的前三项分别为a₁, a₂, a₃，且a₁ + a₂ + a₃ = 6，a₁a₂a₃ = 8，则该数列的公比为：A. 2B. 4C. 8D. 1612. 下列函数中，y = f(x)的图像为一条直线的是：A. y = x²B. y = 2x + 1C. y = 3x - 2D. y = x³二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数$f(x)=\sqrt{2x-1}$的定义域为$[a,+\infty)$，则实数$a$的取值范围是（）A. $a \geq 1$B. $a > 1$C. $a \leq 1$D. $a < 1$2. 若复数$z$满足$|z-1|+|z+1|=2$，则复数$z$的轨迹是（）A. 以原点为圆心，半径为1的圆B. 以点$(1,0)$和$(-1,0)$为端点的线段C. 以点$(1,0)$和$(-1,0)$为焦点，长轴长为2的椭圆D. 以点$(1,0)$和$(-1,0)$为焦点，长轴长为4的椭圆3. 下列各式中，等差数列的通项公式正确的是（）A. $a_n=3n+2$B. $a_n=2n-1$C. $a_n=n^2+1$D.$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$4. 已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，公比$q=2$，则数列$\{a_n^2\}$的前$n$项和为（）A. $2^{n+1}-1$B. $2^{n+2}-1$C. $2^n-1$D. $2^{n+1}-2$5. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f(x)$的对称中心是（）A. $(1,0)$B. $(2,0)$C. $(0,0)$D. $(3,0)$6. 若直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=4$相切，则实数$k$的取值范围是（）A. $k \leq -\frac{1}{2}$或$k \geq \frac{1}{2}$B. $k \geq -\frac{1}{2}$或$k \leq \frac{1}{2}$C. $k \geq 2$或$k \leq -2$D. $k \geq -2$或$k \leq 2$7. 若函数$f(x)=\log_2(x-1)$的图像上任意一点$P(x,y)$到点$Q(2,3)$的距离的平方为$4$，则实数$x$的取值范围是（）A. $2 < x < 4$B. $2 < x < 6$C. $3 < x < 5$D. $3 < x < 7$8. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cos B=\frac{4}{5}$，则$\sin C$的值为（）A. $\frac{7}{25}$B. $\frac{8}{25}$C. $\frac{9}{25}$D.$\frac{10}{25}$9. 已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_3+a_5=20$，则该数列的公差为（）A. 2B. 4C. 6D. 810. 若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在区间$[1,2]$上的最大值为4，则函数$g(x)=f(x-1)$在区间$[0,1]$上的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

2020年高考文科数学一轮复习大题篇----数列题型一 等差数列、等比数列的交汇【例】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．【解】 (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q 2＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 11－q n 1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23 ＝2⎣⎡⎦⎤－23＋－1n 2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．【思维升华】 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．【训练】已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＋1，S 3，S 4成等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S 4，S 6，S n 成等比数列，求n 及此等比数列的公比．【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2S 3＝S 1＋1＋S 4，a 22＝a 1a 5，d ≠0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2a 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ＝2n －1，∴S n ＝n 2，∴S 4＝16，S 6＝36，又S 4S n ＝S 26，∴n 2＝36216＝81，∴n ＝9，公比q ＝S 6S 4＝94. 题型二 新数列问题【例】对于数列{x n }，若对任意n ∈N ＋，都 有x n ＋2－x n ＋1>x n ＋1－x n 成立，则称数列{x n }为“增差数列”．设a n ＝t 3n ＋n 2－13n，若数列a 4，a 5，a 6，…，a n (n ≥4，n ∈N ＋)是“增差数列”，求实数t 的取值范围。

第21页
2．(2019·安徽省八校摸底考试)在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知(sinA＋sinB)(a－b)＝(sinC－sinB)c.
(1)求A； (2)已知a＝2，△ABC的面积为 23，求△ABC的周长．
第22页
解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得(a＋b)(a－b)＝ (c－b)c，化简得b2＋c2－a2＝bc.
第34页
(2)因为f(A)＝sin2A＋π6 ＋1＝2，所以sin2A＋π6 ＝1. 因为0<A<π，所以π6 <2A＋π6 <136π，
ππ
π
所以2A＋ 6 ＝ 2 ，即A＝ 6 .
由S△ABC＝12bcsinA＝12，得bc＝2.
又因为b＋c＝2 2 ，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA
第33页
解析 (1)由题知f(x)＝cos2x＋ 3sinxcosx＋12＝sin2x＋π6 ＋
1.令2x＋
π 6
∈
－π2 ＋2kπ，π2 ＋2kπ
，k∈Z，解得
x∈－π3 ＋kπ，π6 ＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间
为－π3 ＋kπ，π6 ＋kπ，k∈Z.
sinBsinC，得b2＋c2－2bc＝a2－bc，
所以bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12.
π 由A∈(0，π)，得A＝ 3 .
第3页
(2)由 2a＋b＝2c，得 2a＝2c－b，即2a2＝4c2＋b2－4bc. 将bc＝b2＋c2－a2代入2a2＝4c2＋b2－4bc，得2a2＝3b2， 所以sinB＝ 36sinA＝ 22，B＝π4 ， 所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sinAcosB＋cosAsinB＝ 6＋ 2 4.

高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =IA ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是A ．(2)a a ，B ．1(2)2-， C ．(2a a ， D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为 A ．64+163 B ． 16+334 C ．163 D ． 164．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为 21，则=++543a a a （ ）A ．33B ．72C ．84D ．189 5. 将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移12π=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6π=x B. 4π=x C. 3π=x D. 2π=x6． 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92 D ．3677．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．P TMAOA B C D8．在约束条件⎧⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩x>0y 12x-2y+10下，目标函数y x z +=2的值 A ．有最大值2，无最小值 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最小值21，最大值2 D ．既无最小值，也无最大值 9．已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．将n 个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2008到2010，箭头方向依次是第二卷 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 ．12．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ．13. 已知|a |=|b |=|b a -|=1,则|a +b 2|的值为 ．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线3=ρ截直线1)4cos(=+πθρ所得的弦长为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图PT 为圆O 的切线，T 为切点，3ATM π∠=，圆O 的面积为2π，则PA = ．开始a =1 a =3a +1 a >100?结束是 否a =a +1输出a三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知31cos 32cos sin 2)(2--+=x x x x f ，]2,0[π∈x⑴ 求)(x f 的最大值及此时x 的值； ⑵ 求)(x f 在定义域上的单调递增区间。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. -32. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，且sinA=sinB，则△ABC的面积为（）A. 14B. 21C. 35D. 493. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1=2，a5=12，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 下列函数中，在定义域内为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = e^x5. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的几何位置是（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，an+1-an=2n，则S5的值为（）A. 25B. 30C. 35D. 407. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1=2，b4=16，则q的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 88. 若函数f(x) = x^2 + kx + 1在x=2时取得极小值，则k的值为（）A. -2B. -1C. 0D. 19. 在平面直角坐标系中，若点P(2,3)关于直线y=x的对称点为P'，则P'的坐标为（）A. (2,3)B. (3,2)C. (3,-2)D. (-2,3)10. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(x)的单调递增区间是（）A. (-1, +∞)B. [0, +∞)C. (-∞, -1)D. (-1, 0)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在题目的横线上。

）11. 已知函数f(x) = (x-1)^2 + 2，则f(x)的最小值为______。

12. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=1，a5=13，则d=______。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 3/5C. √9/16D. √2答案：D解析：无理数是不能表示为两个整数比的实数，只有√2是无理数。

2. 函数y=2x+1在定义域内是（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数答案：A解析：函数的斜率为正，所以是增函数。

3. 已知向量a=(2, -3)，向量b=(4, 6)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 120°答案：D解析：向量a与向量b的点积为24 + (-3)6 = -12，向量a的模长为√(2^2 + (-3)^2) = √13，向量b的模长为√(4^2 + 6^2) = √52。

点积公式为a·b =|a||b|cosθ，所以cosθ = -12/(√13√52) ≈ -0.5，夹角θ ≈ 120°。

4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：二次函数的对称轴为x = -b/2a，所以对称轴为x = -(-4)/21 = 2。

5. 已知等差数列{an}的第一项为2，公差为3，则第10项是（）A. 25B. 28C. 31D. 34答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，所以第10项为2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。

6. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：|z-1| = |z+1|表示z到点1和点-1的距离相等，因此z在实轴上。

7. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 25，点P(3, 4)到圆C的最短距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：圆心到点P的距离为√(3^2 + 4^2) = 5，圆的半径为5，所以最短距离为5 - 5 = 0。

2020高考文科数学各类大题专题汇总一、三角函数二、数列三、立体几何四、概率与统计五、函数与导数六、解析几何七、选做题大题专项练(一)三角函数A组基础通关1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.因为c cos B+(b-2a)cos C=0,所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,所以sin(B+C)=2sin A cos C.又因为A+B+C=π,所以sin A=2sin A cos C.又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,.所以cos C=12又C∈(0,π),所以C=π.3,(2)由(1)知,C=π3所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.又c=2,所以4=a2+b2-ab.又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(12absinC)max=12×4×sinπ3=√3.2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.(1)若∠AMB=60°,求BC;(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ.由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2.在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2√3.(2)因为∠DCM=θ,所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.在Rt△MCD中,MC=1sinθ;在Rt△MAB中,MB=2sin(60°-θ),由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ,所以√3cos θ-sin θ=sin θ,即2sin θ=√3cos θ,整理可得tan θ=√32.3.已知向量m =(2a cos x ,sin x ),n =(cos x ,b cos x ),函数f (x )=m ·n -√32,函数f (x )在y 轴上的截距为√32,与y 轴最近的最高点的坐标是(π12,1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.f (x )=m ·n -√32=2a cos 2x+b sin x cos x-√32,由f (0)=2a-√32=√32,得a=√32,此时,f (x )=√32cos 2x+b 2sin 2x ,由f (x )≤√34+b24=1,得b=1或b=-1,当b=1时,f (x )=sin (2x +π3),经检验(π12,1)为最高点;当b=-1时,f (x )=sin (2x +2π3),经检验(π12,1)不是最高点.故函数的解析式为f (x )=sin (2x +π3).(2)函数f (x )的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin 2x+2φ+π3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+π3的图象,所以2φ+π3=2k π(k ∈Z ),φ=-π6+k π(k ∈Z ),因为φ>0,所以φ的最小值为5π6.4.函数f (x )=A sin (ωx +π6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=cos x ·f (x ),求g (x )在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.由已知f (x )最小正周期为2π,所以2πω=2π,解得ω=1. 因为f (x )的最大值为2, 所以A=2,所以f (x )的解析式为f (x )=2sin (x +π6).(2)因为f (x )=2sin (x +π6)=2sin x cos π6+2cos x sin π6=√3sin x+cos x ,所以g (x )=cos x ·f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√32sin 2x+1+cos2x2=sin (2x +π6)+12.因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3,于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g (x )取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,g (x )取得最小值0. 5.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:(1)求f (x )的解析式;(2)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f (A )=-12(A 为锐角),求△ABC 的面积.由题中表格给出的信息可知,函数f (x )的周期为T=3π4−(-π4)=π, 所以ω=2ππ=2.注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π2+2k π(k ∈Z ), 由0<φ<π,所以φ=π2.所以函数的解析式为f (x )=sin (2x +π2)=cos 2x.(2)∵f (A )=cos 2A=-12,且A 为锐角,∴A=π3.在△ABC 中,由正弦定理得,BC sinA =ACsinB ,∴sin B=AC ·sinABC=2×√323=√33,∵BC>AC ,∴B<A=π3,∴cos B=√63,∴sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=√32×√63+12×√33=3√2+√36, ∴S △ABC =12·AC ·BC ·sin C=12×2×3×3√2+√36=3√2+√32. 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,C=π4,b=4,△ABC 的面积为6. (1)求c 的值; (2)求cos(B-C )的值.已知C=π4,b=4,因为S △ABC =12ab sin C ,即6=12×4a ×√22,解得a=3√2,由余弦定理,得c 2=b 2+a 2-2ab cos C=10,解得c=√10.(2)由(1)得cos B=a 2+c 2-b22ac=√55,由于B 是三角形的内角,得sin B=√1-cos 2B =2√55,所以cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C=√55×√22+2√55×√22=3√1010. B 组 能力提升7.如图,在凸四边形ABCD 中,C ,D 为定点,CD=√3,A ,B 为动点,满足AB=BC=DA=1.(1)写出cos C 与cos A 的关系式;(2)设△BCD 和△ABD 的面积分别为S 和T ,求S 2+T 2的最大值.在△BCD 中,由余弦定理,得BD 2=BC 2+CD 2-2·BC ·CD cos C=4-2√3cos C ,在△ABD 中,BD 2=2-2cos A ,所以4-2√3cos C=2-2cos A ,即cos A=√3cos C-1.(2)S=12·BC ·CD ·sin C=√3·sinC2,T=12AB ·AD sin A=12sin A ,所以S 2+T 2=34sin 2C+14sin 2A=34(1-cos 2C )+14(1-cos 2A )=-32cos 2C+√32cos C+34=-32(cosC -√36)2+78.由题意易知,C ∈(30°,90°),所以cos C当cos C=√36时,S 2+T 2有最大值78.8.某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收,园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中△ABD 区域种植花木后出售,△BCD 区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售价为a 元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km .(1)若BD=2√7 km,求绿化区域的面积;(2)设∠BCD=θ,当θ取何值时,园林公司的总销售金额最大.在△BCD 中,BD=2√7,BC=6,CD=4,由余弦定理,得cos ∠BCD=BC 2+CD 2-BD 22BC ·CD=62+42-(2√7)22×6×4=12.因为∠BCD ∈(0°,180°),所以∠BCD=60°, 又因为A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以∠BAD=120°.在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD , 将AD=4,BD=2√7代入化简,得AB 2+4AB-12=0, 解得AB=2(AB=-6舍去).所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12×2×4sin 120°+12×4×6sin 60°=8√3(km 2),即绿化空间的面积为8√3 km 2.(2)在△BCD 、△ABD 中分别利用余弦定理得 BD 2=62+42-2×6×4cos θ,①BD 2=AB 2+42-2×4AB cos(π-θ),②联立①②消去BD ,得AB 2+8AB cos θ+48cos θ-36=0, 得(AB+6)(AB+8cos θ-6)=0, 解得AB=6-8cos θ(AB=-6舍去).因为AB>0,所以6-8cos θ>0,即cos θ<34.S △ABD =12AB ·AD sin(π-θ)=12(6-8cos θ)×4sin θ=12sin θ-16sin θcos θ,S △BCD =12BC ·CD sinθ=12×6×4sin θ=12sin θ.因为草皮每平方米售价为a 元,则花木每平方米售价为3a 元,设销售金额为y 百万元. y=f (θ)=3a (12sin θ-16sin θcos θ)+12a sin θ=48a (sin θ-sin θcos θ),f'(θ)=48a (cos θ-cos 2θ+sin 2θ)=48a (-2cos 2θ+cos θ+1)=-48a (2cos θ+1)(cos θ-1),令f'(θ)>0,解得-12<cos θ<1,又cos θ<34,不妨设cos θ0=34,则函数f (θ)在(θ0,2π3)上为增函数;令f'(θ)<0,解得cos θ<-12,则函数f (θ)在(2π3,π)上为减函数, 所以当θ=2π3时,f (θ)max =36√3a.答:(1)绿化区域的面积为8√3 km 2;(2)当θ=2π3时,园林公司的销售金额最大,最大为36√3a 百万元.二、数列A 组 基础通关1.已知等差数列{a n }满足a 3-a 2=3,a 2+a 4=14. (1)求{a n }的通项公式;(2)设S n 是等比数列{b n }的前n 项和,若b 2=a 2,b 4=a 6,求S 7.设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3-a 2=3,a 2+a 4=14. ∴d=3,2a 1+4d=14,解得a 1=1,d=3,∴a n =1+3(n-1)=3n-2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ,b 2=a 2=4=b 1q ,b 4=a 6=16=b 1q 3,联立解得{b 1=2,q =2,或{b 1=-2,q =-2.∴S 7=2×(27-1)2-1=254,或S 7=-2×[1-(-2)7]1-(-2)=-86.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 2=15,S n+1=S n +3a n +6. (1)证明:{a n +3}是等比数列;(2)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n .S n+1=S n +3a n +6中,令n=1,得S 2=S 1+3a 1+6,得a 1+a 2=a 1+3a 1+6,即a 1+15=4a 1+6, 解得a 1=3.因为S n+1=S n +3a n +6, 所以a n+1=3a n +6. 所以a n+1+3a n +3=3a n +9a n +3=3. 所以{a n +3}是以6为首项,3为公比的等比数列.(1)得a n +3=6×3n-1=2×3n ,所以a n =2×3n -3.∴S n=2×(3+32+33+…3n )-3n=2×3×(1-3n )1-3-3n=3n+1-3-3n.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =1-a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n ,求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n .因为S n =1-a n (n ∈N *),所以S n-1=1-a n-1(n ∈N *,且n ≥2), 则S n -S n-1=(1-a n )-(1-a n-1)(n ∈N *,且n ≥2). 即a n =12a n-1(n ∈N *,且n ≥2). 因为S n =1-a n (n ∈N *),所以S 1=1-a 1=a 1,即a 1=12.所以{a n }是以12为首项,12为公比的等比数列.故a n =(12)n(n ∈N *).(2)b n =log 2a n ,所以b n =log 2(12)n=-n.所以1b n b n+1=1n (n+1)=1n −1n+1,故T n =(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)=1-1n+1=nn+1. 4.设等差数列{a n }的公差为d ,d 为整数,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知a 1=b 1,b 2=2,d=q ,S 10=100,n ∈N *. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (2)设c n =an b n,求数列{c n }的前n 项和T n .由题意可得{10a 1+45d =100,a 1d =2,解得{a 1=9,d =29(舍去)或{a 1=1,d =2, 所以a n =2n-1,b n =2n-1. (2)∵c n =a n b n,c n =2n -12n -1,∴T n =1+32+522+723+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n, ②①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2−2n -12n =3-2n+32n ,故T n =6-2n+32n -1.5.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n +1=2a n 2+a n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)已知对于n ∈N *,不等式1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n <M 恒成立,求实数M 的最小值.n=1时,2a 1+1=2a 12+a 1,又a n >0,所以a 1=1,当n ≥2时,2S n +1=2a n 2+a n (n ∈N *),2S n-1+1=2a n -12+a n-1(n ∈N *),作差整理,得a n +a n-1=2(a n +a n-1)(a n -a n-1),因为a n >0,故a n +a n-1>0,所以a n -a n-1=12,故数列{a n }为等差数列,所以a n =n+12.(2)由(1)知S n =n (n+3)4, 所以1S n=4n (n+3)=43(1n -1n+3),从而1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n=43(1-14)+(12-15)+(13-16)+…+(1n -2-1n+1)+(1n -1-1n+2)+(1n -1n+3)=431+12+13−1n+1−1n+2−1n+3=43116−1n+1−1n+2−1n+3<229.所以M ≥229,故M 的最小值为229.6.已知数列{a n }是公比为q 的正项等比数列,{b n }是公差d 为负数的等差数列,满足1a 2−1a 3=da 1,b 1+b 2+b 3=21,b 1b 2b 3=315. (1)求数列{a n }的公比q 与数列{b n }的通项公式; (2)求数列{|b n |}的前10项和S 10.由已知,b 1+b 2+b 3=3b 2=21,得b 2=7,又b 1b 2b 3=(b 2-d )·b 2·(b 2+d )=(7-d )·7·(7+d )=343-7d 2=315, 得d=-2或2(舍),b 1=7+2=9,b n =-2n+11. 于是1a 2−1a 3=-2a 1,又{a n }是公比为q 的等比数列,故1a 1q −1a 1q 2=-2a 1, 所以,2q 2+q-1=0,q=-1(舍)或12.综上,q=12,d=-2,b n =11-2n.(2)设{b n }的前n 项和为T n ;令b n ≥0,11-2n ≥0,得n ≤5,于是,S 5=T 5=5(b 1+b 5)2=25. 易知,n>6时,b n <0,|b 6|+|b 7|+…+|b 10|=-b 6-b 7-…-b 10=-(b 6+b 7+…+b 10)=-(T 10-T 5)=-(0-25)=25,所以,S 10=50.B 组 能力提升7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N *)在函数f (x )=12x 2+12x 的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列{1a n a n+2}的前n 项和为T n ,不等式T n >13log a (1-a )对任意正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围.∵点(n ,S n )在函数f (x )=12x 2+12x 的图象上,∴S n =12n 2+12n.①当n ≥2时,S n-1=12(n-1)2+12(n-1),②①-②,得a n =n.当n=1时,a 1=S 1=1,符合上式.∴a n =n (n ∈N *).(2)由(1),得1a n a n+2=1n (n+2)=12(1n -1n+2),∴T n =1a1a 3+1a 2a 4+…+1a n a n+2=121-13+12−14+…+1n −1n+2=34−121n+1+1n+2.∵T n+1-T n =1(n+1)(n+3)>0, ∴数列{T n }单调递增, ∴{T n }中的最小项为T 1=13.要使不等式T n >13log a (1-a )对任意正整数n 恒成立,只要13>13log a (1-a ),即log a (1-a )<log a a.解得0<a<12,即实数a 的取值范围为(0,12).8.设{a n }是各项均不相等的数列,S n 为它的前n 项和,满足λna n+1=S n +1(n ∈N *,λ∈R ). (1)若a 1=1,且a 1,a 2,a 3成等差数列,求λ的值;(2)若{a n }的各项均不为零,问当且仅当λ为何值时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列?试说明理由.令n=1,2,得{λa 2=a 1+1=2,2λa 3=S 2+1=a 1+a 2+1,又由a 1,a 2,a 3成等差数列, 所以2a 2=a 1+a 3=1+a 3,解得λ=3±√52. (2)当且仅当λ=12时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列, 证明如下:由已知λna n+1=S n +1,当n ≥2时,λ(n-1)a n =S n-1+1, 两式相减得λna n+1-λna n +λa n =a n , 即λn (a n+1-a n )=(1-λ)a n ,由于{a n }的各项均不相等, 所以λn1-λ=a nan+1-a n(n ≥2), 当n ≥3时,有λ(n -1)1-λ=an -1a n -a n -1, 两式相减可得λ1-λ=a n a n+1-a n −an -1a n -a n -1,①当λ=12,得a n an+1-a n=a n -1a n -a n -1+1=an a n -a n -1, 由于a n ≠0,所以a n+1-a n =a n -a n-1, 即2a n =a n+1+a n-1(n ≥3), 故a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列.②再证当a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列时,λ=12,因为a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列, 所以a n+1-a n =a n -a n-1(n ≥3),可得a n an+1-a n−a n -1a n -a n -1=a n a n -a n -1−a n -1a n -a n -1=1=λ1-λ, 所以λ=12,所以当且仅当λ=12时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列.三、立体几何A 组 基础通关1.如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BC=CC 1,平面A 1BC 1⊥平面BCC 1B 1. 证明:(1)AC ∥平面A 1BC 1; (2)平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.几何体为三棱柱⇒四边形ACC 1A 1为平行四边形⇒AC ∥A 1C 1,又A 1C 1⊂平面A 1BC 1,AC ⊄平面A 1BC 1,∴AC ∥平面A 1BC 1.(2)∵BC=CC 1且四边形BCC 1B 1为平行四边形,∴四边形BCC 1B 1为菱形,∴B 1C ⊥BC 1.又平面A 1BC 1⊥平面BCC 1B 1,平面A 1BC 1∩平面BCC 1B 1=BC 1,∴B 1C ⊥平面A 1BC 1. 又B 1C ⊂平面AB 1C ,∴平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.2.如图,圆锥SO 中,AB ,CD 为底面圆的两条直径,AB ∩CD=O ,且AB ⊥CD ,SO=OB=2,P 为SB 的中点. (1)求证:SA ∥平面PCD ; (2)求圆锥SO 的表面积和体积.PO ,∵P 、O 分别为SB 、AB 的中点,∴PO ∥SA ,由于PO ⊂平面PCD ,SA ∉平面PCD , ∴SA ∥平面PCD ;SO=2,OB=2,SO 为圆锥的高,OB 为圆锥底面圆的半径,∴V=13πr 2h=13π×22×2=8π3,由于SO 为圆锥的高,则母线SB=√SO 2+OB 2=2√2,∴S 侧面=12l ·SB=12×2×π×2×2√2=4√2π,S 底面=πr 2=π×22=4π,故S=S 底面+S 侧面=(4+4√2)π.3.等边三角形ABC 的边长为3,点D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,且满足AD DB=CE EA=12,如图甲,将△ADE沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使平面A 1DE ⊥平面BCED ,连接A 1B ,A 1C ,如图乙,点M 为A 1D 的中点.(1)求证:EM ∥平面A 1BC ; (2)求四棱锥A 1-BCED 的体积.取BD 的中点N ,连接NE ,则NE ∥BC ,在四棱锥A 1-BCED 中,NE 与BC 的平行关系不变.连接MN ,在△DA 1B 中,MN ∥A 1B ,又NM ∩NE=N ,BA 1∩BC=B ,∴平面MNE ∥平面A 1BC , 又EM ⊂平面MNE ,∴EM ∥平面A 1BC.(2)∵等边三角形ABC 的边长为3,且ADDB =CEEA =12,∴AD=1,AE=2.在△ADE 中,∠DAE=60°, 由余弦定理得DE=√12+22-2×1×2×cos60°=√3, 从而AD 2+DE 2=AE 2,∴AD ⊥DE.折起后有A 1D ⊥DE ,∵平面A 1DE ⊥平面BCED , 平面A 1DE ∩平面BCED=DE ,A 1D ⊂平面A 1DE ,∴A 1D ⊥平面BCED.∴四棱锥A 1-BCED 的体积V=13S 四边形BCED ·A 1D ,连接BE,则S四边形BCED=12CB·CE sin∠BCE+12BD·DE=12×1×3×sin 60°+12×2×√3=7√34,∴V=13×7√34×1=7√312.4.如图所示,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;(3)求四面体B-DEF的体积.AC与BD交于点G,则G为AC的中点,如图所示,连接EG,GH.∵H为BC的中点,∴GH∥AB.∵EF∥AB,∴EF∥GH.又∵EF=GH=12AB,∴四边形EFHG为平行四边形,∴EG∥FH.∵EG⊂平面EDB,FH⊄平面EDB,∴FH∥平面EDB.四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.∵EF∥AB,∴EF⊥BC.又∵EF⊥FB,BC∩FB=B,∴EF⊥平面BFC,又FH⊂平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.∵BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,又AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC.∵FH∥EG,∴AC⊥EG.∵AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB,BF⊥FC,EF∩FC=F,∴BF⊥平面CDEF,∴BF即为四面体B-DEF的高.由(2)知,EF⊥平面BFC,∴EF⊥FC.又∵EF∥AB∥CD,∴FC为△DEF中EF边上的高.∵BC=AB=2,∴BF=FC=√2,∴V四面体B-DEF=13×12×1×√2×√2=13.5.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,AD⊥CD.(1)证明:AB⊥平面ADE;(2)连接BD,BE,若二面角E-CD-A的大小为120°,AD=2AB=2DE=2,求三棱锥E-ABD的体积.CD⊥AD,CD⊥DE,AD∩DE=D,所以CD⊥平面ADE,因为四边形CDFE为矩形,所以EF∥CD.又EF⊄平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.因为EF∥平面ABCD,EF⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面ABCD=AB,所以EF∥AB,又EF∥CD,所以CD∥AB,又CD ⊥平面ADE ,所以AB ⊥平面ADE.CD ⊥AD ,CD ⊥DE ,所以∠ADE 即为二面角A-CD-E 的平面角,所以∠ADE=120°.S △ADE =12DA ·DE ·sin ∠ADE=12×2×1×√32=√32.于是V 三棱锥E-ABD =V 三棱锥B-ADE =13S △ADE ·AB=13×√32×1=√36. 6.如图,在四棱锥E-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,AB=√2,BC=2,截面EBD 是等边三角形,M ,N 分别是AD ,CE 的中点.(1)求证:MN ∥平面EAB ;(2)若EC=EA ,AB ⊥DE ,求三棱锥E-BMN 的体积.,取EB 的中点F ,连接AF ,NF ,在△ECB 中,易得NF 12BC ,又在平行四边形ABCD 中,AM 12BC ,∴NF AM ,∴四边形AMNF 是平行四边形,∵MN ∥AF ,AF ⊂平面EAB ,MN ⊄平面EAB , ∴MN ∥平面EAB.,连接AC 交BD 于点O ,连接EO ,在等腰△EAC 中,EA=EC ,∴EO ⊥AC , 又在等边△EBD 中,EO ⊥BD ,∴EO ⊥平面ABCD.∴EO ⊥AB.又AB ⊥DE ,EO ∩DE=E , ∴AB ⊥平面BDE ,∴AB ⊥BD.∴V E-BMN =V N-EBM =12V C-EBM =12V E-BCM =16S △BCM ·EO ,又S △BCM =S △ABC =12AB ·BD=12·√2·√2=1,EO=√2·√32=√62,∴V E-BMN =16×1×√62=√612.B 组 能力提升7.如图,四棱锥A-BCDE 中,CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD ,AB ⊥BC ,M 为AD 上一点,EM ⊥平面ACD.(1)求证:EM ∥平面ABC ;(2)若CD=2BE=2,求点D 到平面EMC 的距离.AC 的中点F ,连接BF ,因为AB=BC ,所以BF ⊥AC ,又因为CD ⊥平面ABC ,所以CD ⊥BF ,又CD ∩AC=C ,所以BF ⊥平面ACD , 因为EM ⊥平面ACD ,所以EM ∥BF ,EM ⊄平面ABC ,BF ⊂平面ABC , 所以EM ∥平面ABC ;EM ⊥平面ACD ,EM ⊂平面EMC ,所以平面CME ⊥平面ACD ,平面CME ∩平面ACD=CM ,过点D 作直线DG ⊥CM ,则DG ⊥平面CME. 由已知CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD=2BE ,可得AE=DE , 又EM ⊥AD ,所以M 为AD 的中点. 在Rt △ABC 中,AC=√2BC=2√2,在Rt △ADC 中,AD=√CD 2+AC 2=2√3,S △CDM =12S △ACD =12×12×2×2√2=√2,在△DCM 中,CM=12AD=√3,由等面积法知12×CM×DG=√2,所以DG=2√63,即点D 到平面EMC 的距离为2√63.8.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D ,E 分别为AB 和BB'上的点,且ADDB =BEEB '=λ.(1)求证:当λ=1时,A'B ⊥CE ;(2)当λ为何值时,三棱锥A'-CDE 的体积最小,并求出最小体积.λ=1,∴D ,E 分别为AB 和BB'的中点,又AB=AA',且三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平行四边形ABB'A'为正方形,∴DE ⊥A'B.∵AC=BC ,D 为AB 的中点,∴CD ⊥AB. ∵三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱, ∴CD ⊥平面ABB'A',又A'B ⊂平面ABB'A', ∴CD ⊥A'B ,又CD ∩DE=D ,∴A'B ⊥平面CDE ,∵CE ⊂平面CDE , ∴A'B ⊥CE.BE=x ,则AD=x ,DB=6-x ,B'E=6-x ,由已知可得C 到平面A'DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对的高,h=√AC 2-(AB2)2=4,∴V A'-CDE =V C-A'DE =13(S 四边形ABB'A'-S △AA'D -S ΔDBE -S △A'B'E )·h=1336-3x-12(6-x )x-3(6-x )·h=23(x 2-6x+36)=23[(x-3)2+27](0<x<6),∴当x=3,即λ=1时,V A'-CDE 有最小值18.四、概率与统计A 组 基础通关1.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中,高一年级有6人,高二年级有12人,高三年级有24人,现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访. (1)求应从各年级分别抽取的人数;(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解(注高一学生记为A i ,高二学生记为B i ,高三学生记为C i ,i=1,2,3…).①列出所有可能的抽取结果;②求抽取的2人均为高三年级学生的概率.高一:66+12+24×7=1;高二:126+12+24×7=2;高三:246+12+24×7=4;所以抽取高一学生1人,高二学生2人,高三学生4人.(2)由(1)知高一1人记为A 1,高二2人记为B 1、B 2,高三4人记为C 1、C 2、C 3、C 4,①从中抽取两人,所有可能的结果为:A 1B 1、A 1B 2、A 1C 1、A 1C 2、A 1C 3、A 1C 4、B 1B 2、B 1C 1、B 1C 2、B 1C 3、B 1C 4、B 2C 1、B 2C 2、B 2C 3、B 2C 4、C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共21种.②由①知,共有21种情况,抽取的2人均为高三年级学生有C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共6种,所以抽取的2人均为高三年级学生的概率P=621=27.2.某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛,成绩为1至10分,随机调阅了A ,B 两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:A 校样本数据条形图B 校样本数据统计表(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较;(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人,若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.从A校样本数据的条形图可知,成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校样本数据的均值为x A=4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3=6,60A校样本数据的方差为s A2=1×[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5.60从B校样本数据统计表可知,B校样本数据的均值为x B=4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3=6,60B校样本数据的方差为s B2=1×[9×(4-6)2+12×(5-6)2+21×(6-6)2+9×(7-6)2+6×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.8.60因为x A=x B,所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又s A2<s B2,所以A校学生的计算机成绩比较集中,总体得分情况比B校好.×12=4,分别设为a,b,c,d;(2)依题意,从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为e;从成绩为9分的学生中应抽取的人数为从成绩为8分的学生中应抽取的人数为612+3+36×3=1,设为f.12+3+3所有基本事件有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15个,其中满足条件的基本事件有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个,所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和大于或等于15分的概率P=915=35.3.某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为研究车辆发车间隔时间x (分钟)与乘客等候人数y (人)之间的关系,经过调查得到如下数据:调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y ^,再求y ^与实际等候人数y 的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”.(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据的间隔时间之差大于1的概率;(2)若选取的是后面4组数据,求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x+a ^,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(3)在(2)的条件下,为了使等候的乘客不超过35人,则间隔时间最多可以设置为多少分钟?(精确到整数)参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx2,a ^=y −b ^x .设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据不相邻”为事件A ,记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种,其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种,所以P (A )=1-515=23.(2)后面4组数据是:因为x =12+13+14+154=13.5,y =26+29+28+314=28.5, ∑i=14x i y i =1 546,∑i=14x i 2=734,所以b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx 2=1 546-4×13.5×28.5734-4×13.52=1.4,a ^=y −b ^x =28.5-1.4×13.5=9.6,所以y ^=1.4x+9.6.当x=10时,y ^=1.4×10+9.6=23.6,23.6-23=0.6<1;当x=11时,y ^=1.4×11+9.6=25,25-25=0<1, 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”.(3)由1.4x+9.6≤35,得x ≤1817, 故间隔时间最多可设置为18分钟.4.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造,下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果:已知从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47.(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关?(2)从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业,然后从这8家企业选出2家进行奖励,分别奖励中型企业20万元,小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)由从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47.可知:支持技术改造的企业共有320家,故列联表为所以K2的观测值k=560(80×200-40×240)2120×440×320×240≈5.657>5.024故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.(2)由(1)可知支持技术改造的企业中,中小企业比为1∶3.所以按分层抽样的方法抽出的8家企业中有2家中型企业,分别用x、y表示,6家小型企业,分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取2家的所有可能为xy、x1、x2、x3、x4、x5、x6、y1、y2、y3、y4、y5、y6、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共28种.其中总奖金为20万的有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共15种.所以奖励总金额为20万元的概率为1528.5.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班,每班50人,某教师采用A、B两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,该教师分别从两班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如图所示,记成绩不低于90分为“成绩优秀”.(1)在乙班的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2人,求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据填写2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).设抽出的两人均为“成绩优秀”为事件A,从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件有(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97, 99),(99,99),共15个.事件A包含的基本事件有10个,∴P(A)=1015=23.(2)列表∴K2的观测值k=40×(1×15-5×19)26×34×20×20≈3.137>2.706,∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关.6.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30(人),女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45(人).(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含男生人数为30×115=2(人),女生人数为45×115=3(人).设两名男生为A 1,A 2,三名女生为B 1,B 2,B 3. 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},共10个,每个样本被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件C :“选取的2人中至少有一名男生”,则事件C 包含的基本事件有:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},共7个.所以P (C )=710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.B组能力提升7.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如图1的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5.0以下的人数,并估计这100名学生视力的中位数(精确到0.1);(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查,得到如表1中数据,根据表1及临界值表2中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?图1表1附:临界值表2(参考公式:K2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d )设各组的频率为f i (i=1,2,3,4,5,6),由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人, 因为后四组的频数成等差数列, 所以后四组频数依次为27,24,21,18, 则后四组频率依次为0.27,0.24,0.21,0.18,视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82(人),故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×82100=820(人). 设100名学生视力的中位数为x ,则有(0.15+0.35+1.35)×0.2+(x-4.6)×(0.24÷0.2)=0.5, x ≈4.7.(2)K 2的观测值k=100(42×16-34×8)250×50×76×24=20057≈3.509<3.841.因此不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.8.十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫,我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植脐橙,并利用互联网电商进行销售,为了更好销售,现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重,其质量分布在区间[200,500](单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)的脐橙中随机抽取5个,再从这5个脐橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率;(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售,某电商提出两种收购方案:A.所有脐橙均以7元/千克收购;B.低于350克的脐橙以2元/个收购,其余的以3元/个收购请你通过计算为该村选择收益较好的方案.由题得脐橙质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2.∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的脐橙中各抽取3个和2个.记抽取质量在[350,400)的脐橙为A1,A2,A3,质量在[400,450)的脐橙为B1,B2,则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种:A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A2B1,A3B1,A1B2,A2B2,A3B2,B1B2,.其中质量至少有一个不小于400克的7种情况,故所求概率为710(2)方案B好,理由如下:由频率分布直方图可知,脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05,同理,质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B收购:∵脐橙质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100 000=45 000(个),脐橙质量不低于350克的个数为55 000个,∴收益为45 000×2+55 000×3=255 000(元).若按方案A收购:根据题意各段脐橙个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000.于是总收益为(225×5 000+275×16 000+325×24 000+375×30 000+425×20 000+475×5000)×7÷1 000=248 150(元),∴方案B的收益比方案A的收益高,应该选择方案B.五、函数与导数A 组 基础通关1.(2019安徽定远中学高三质检)已知函数f (x )=(x 2-2x+2)e x -12ax 2(a ∈R ).(1)当a=e 时,求函数f (x )的单调区间; (2)证明:当a ≤-2时,f (x )≥2.a=e 时,f (x )=(x 2-2x+2)e x -12e x 2,所以f'(x )=x 2e x -e x=x (x e x -e),讨论:①当x<0时,x e x -e <0,有f'(x )>0;②当0<x<1时,由函数y=x e x 为增函数,有x e x -e <0,有f'(x )<0; ③当x>1时,由函数y=x e x 为增函数,有x e x -e >0,有f'(x )>0.综上,函数f (x )的增区间为(-∞,0),(1,+∞),减区间为(0,1).a ≤-2时,有-12a ≥1,所以-12ax 2≥x 2,所以f (x )≥(x 2-2x+2)e x +x 2.令g (x )=(x 2-2x+2)e x +x 2,则g'(x )=x 2e x +2x=x (x e x +2). 令h (x )=x e x +2,有h'(x )=(x+1)e x . 令h'(x )=0,得x=-1.分析知,函数h (x )的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-1).所以h (x )min =h (-1)=2-1e >0.所以分析知,函数g (x )的增区间为(0,+∞),减区间为(-∞,0), 所以g (x )min =g (0)=(02-2×0+2)×e 0+02=2, 故当a ≤-2时,f (x )≥2.2.在某次水下科研考查活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间),每单位时间的用氧量为v103+1(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为v2(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考查活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式;(2)若c ≤v ≤15(c>0),求当下潜速度v 取什么值时,总用氧量最少.由题意,得下潜用时60v (单位时间),用氧量为v 103+1×60v=3v 250+60v(升); 水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升); 返回水面用时60v 2=120v (单位时间),用氧量为120v ×1.5=180v (升),∴总用氧量y=3v 250+240v +9(v>0).(2)y'=3v 25−240v 2=3(v 3-2 000)25v 2, 令y'=0,得v=10√23,当0<v<10√23时,y'<0,函数单调递减, 当v>10√23时,y'>0,函数单调递增,∴当0<c<10√23时,函数在(c ,10√23)上单调递减,在(10√23,15)上单调递增,∴当v=10√23时总用氧量最少,当c ≥10√23时,y 在[c ,15]上单调递增,∴当v=c 时总用氧量最少.综上,若0<c<10√23,则当v=10√23时总用氧量最少;若c ≥10√23, 则当v=c 时总用氧量最少. 3.(2019安徽淮北模拟)已知函数f (x )=ax -1+ln x. (1)若函数f (x )在(e,+∞)内有极值,求实数a 的取值范围;(2)在(1)的条件下,对任意t ∈(1,+∞),s ∈(0,1),求证:f (t )-f (s )>e +2-1e.(0,1)∪(1,+∞),f'(x )=1x −a (x -1)2=x 2-(a+2)x+1x (x -1)2,设h (x )=x 2-(a+2)x+1, 要使y=f (x )在(e,+∞)上有极值,则x 2-(a+2)x+1=0有两个不同的实根x 1,x 2,∴Δ=(a+2)2-4>0,∴a>0或a<-4,①且至少有一根在区间(e,+∞)上,又∵x 1·x 2=1,∴只有一根在区间(e,+∞)上,不妨设x 2>e, ∴0<x 1<1e <e <x 2,又h (0)=1,∴只需h1e<0,即1e 2-(a+2)1e +1<0,∴a>e +1e -2,②联立①②可得a>e +1e -2.即实数a 的取值范围是e +1e -2,+∞.(1)知,当x ∈(1,x 2)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x ∈(x 2,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,∴f (x )在(1,+∞)上有最小值f (x 2),即∀t ∈(1,+∞),都有f (t )≥f (x 2), 又当x ∈(0,x 1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增, 当x ∈(x 1,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,∴f (x )在(0,1)上有最大值f (x 1),即对∀s ∈(0,1),都有f (s )≤f (x 1), 又∵x 1+x 2=2+a ,x 1x 2=1,x 1∈0,1e ,x 2∈(e,+∞),∴f (t )-f (s )≥f (x 2)-f (x 1)=ln x 2+ax 2-1-ln x 1-ax 1-1=ln x 2x 1+a x 2-1−ax 1-1 =ln x 22+x 2-1x 2(x 2>e),设k (x )=ln x 2+x-1x =2ln x+x-1x (x>e),则k'(x )=2x+1+1x 2>0(x>e),∴k (x )在(e,+∞)上单调递增, ∴k (x )>k (e)=2+e -1e ,∴f (t )-f (s )>e +2-1e .4.(2019河南商丘模拟)已知函数f (x )=(2x+1)ln(2x+1)-a (2x+1)2-x (a>0).(1)如图,设直线x=-12,y=-x 将坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域(不含边界),若函数y=f (x )的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围;(2)当a>12时,求证:∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,有f (x 1)+f (x 2)<2fx 1+x 22.(1)解函数f (x )的定义域为-12,+∞,且当x=0时,f (0)=-a<0. 又∵直线y=-x 恰好通过原点,∴函数y=f (x )的图象应位于区域Ⅳ内,于是可得f (x )<-x ,即(2x+1)ln(2x+1)-a (2x+1)2-x<-x.∵2x+1>0,∴a>ln (2x+1)2x+1.令h (x )=ln (2x+1)2x+1x>-12,则h'(x )=2-2ln (2x+1)(2x+1)2x>-12.∴当x ∈-12,e -12时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈e -12,+∞时,h'(x )<0,h (x )单调递减.∴h (x )max =he -12=1e,∴a 的取值范围是1e,+∞.f'(x )=2ln(2x+1)-4a (2x+1)+1,设u (x )=2ln(2x+1)-4a (2x+1)+1,则u'(x )=42x+1-8a x>-12,∵当x>0时,42x+1<4,当a>12时,8a>4,∴u'(x )=42x+1-8a<0, ∴当x>0时,f'(x )为减函数,不妨设x 2>x 1>0,令g (x )=f (x )+f (x 1)-2f x+x 12(x>x 1),可得g (x 1)=0,g'(x )=f'(x )-f'x+x 12,∵x>x+x 12且f'(x )是(0,+∞)上的减函数,∴g'(x )<0,∴当x>x 1时,g (x )为减函数, ∴g (x 2)<g (x 1)=0,即f (x 1)+f (x 2)<2f x 1+x 22.5.已知函数f (x )=ln x+ax ,g (x )=e -x +bx ,a ,b ∈R ,e 为自然对数的底数. (1)若函数y=g (x )在R 上存在零点,求实数b 的取值范围;(2)若函数y=f (x )在x=1e处的切线方程为e x+y-2+b=0.求证:对任意的x ∈(0,+∞),总有f (x )>g (x ).g'(x )=-e -x +b=b-1e x .若b=0,则g (x )=1e x ∈(0,+∞),不合题意;若b<0,则g (0)=1>0,g -1b =e 1b -1<0,满足题意, 若b>0,令g'(x )=-e -x +b=0,得x=-ln b.∴g (x )在(-∞,-ln b )上单调递减;在(-ln b ,+∞)上单调递增,则g (x )min =g (-ln b )=e ln b -b ln b=b-b ln b ≤0,∴b ≥e .综上所述,实数b 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞).f'(x )=1x −ax 2,则由题意,得f'1e =e -a e 2=-e,解得a=2e .∴f (x )=ln x+2ex ,从而f1e=1,。

高考前三题练习（9）1、已知310,tan cot 43παπαα<<+=-（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

2、数列{}na 的前n 项和为nS ，已知()211,1,1,2,2n n aS n a n n n ==--=⋅⋅⋅（Ⅰ）写出nS 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求nS 关于n 的表达式；（Ⅱ）设()()()1/,n n nn nS f x xb f p p R n+==∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

3、设函数()32()f x xbx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

4、在等差数列{}na 中，11a=，前n项和n S 满足条件242,1,2,1nnSn n S n +==+ ，（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式； （Ⅱ）记(0)na nn b a pp =>，求数列{}nb 的前n 项和nT 。

5、已知函数22()sincos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？6、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,C A C B CD BD AB AD======（I）求证：A O⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD高考前三题练习（9）答案1、解：(Ⅰ)由10tan cot3αα+=-得23tan10tan30αα++=，即1tan3tan3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan3α=-为所求。

（Ⅱ）225sin8sin cos11cos822222ααααπα++-⎛⎫-⎪⎝⎭1-cos1+cos54sin118ααα++-===6-。

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =L ， （1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=L ，12b =，求数列{}n b 的通项公式．2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式.2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =L ，则3411-=--n n a S (2,3,)n =L ， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得143n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列． 7分（2）解：因为14()3n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+=L ，得114()3n n n b b -+-=． 9分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b Λ＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ），当n=1时也满足，所以1)34(31-=-n n b ．2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。