2020高考文科数学各类大题专题汇总一、三角函数二、数列三、立体几何四、概率与统计五、函数与导数六、解析几何七、选做题大题专项练(一)三角函数A组基础通关1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.因为c cos B+(b-2a)cos C=0,所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,所以sin(B+C)=2sin A cos C.又因为A+B+C=π,所以sin A=2sin A cos C.又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,.所以cos C=12又C∈(0,π),所以C=π.3,(2)由(1)知,C=π3所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.又c=2,所以4=a2+b2-ab.又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(12absinC)max=12×4×sinπ3=√3.2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.(1)若∠AMB=60°,求BC;(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ.由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2.在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2√3.(2)因为∠DCM=θ,所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.在Rt△MCD中,MC=1sinθ;在Rt△MAB中,MB=2sin(60°-θ),由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ,所以√3cos θ-sin θ=sin θ,即2sin θ=√3cos θ,整理可得tan θ=√32.3.已知向量m =(2a cos x ,sin x ),n =(cos x ,b cos x ),函数f (x )=m ·n -√32,函数f (x )在y 轴上的截距为√32,与y 轴最近的最高点的坐标是(π12,1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.f (x )=m ·n -√32=2a cos 2x+b sin x cos x-√32,由f (0)=2a-√32=√32,得a=√32,此时,f (x )=√32cos 2x+b 2sin 2x ,由f (x )≤√34+b24=1,得b=1或b=-1,当b=1时,f (x )=sin (2x +π3),经检验(π12,1)为最高点;当b=-1时,f (x )=sin (2x +2π3),经检验(π12,1)不是最高点.故函数的解析式为f (x )=sin (2x +π3).(2)函数f (x )的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin 2x+2φ+π3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+π3的图象,所以2φ+π3=2k π(k ∈Z ),φ=-π6+k π(k ∈Z ),因为φ>0,所以φ的最小值为5π6.4.函数f (x )=A sin (ωx +π6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=cos x ·f (x ),求g (x )在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.由已知f (x )最小正周期为2π,所以2πω=2π,解得ω=1. 因为f (x )的最大值为2, 所以A=2,所以f (x )的解析式为f (x )=2sin (x +π6).(2)因为f (x )=2sin (x +π6)=2sin x cos π6+2cos x sin π6=√3sin x+cos x ,所以g (x )=cos x ·f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√32sin 2x+1+cos2x2=sin (2x +π6)+12.因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3,于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g (x )取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,g (x )取得最小值0. 5.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:(1)求f (x )的解析式;(2)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f (A )=-12(A 为锐角),求△ABC 的面积.由题中表格给出的信息可知,函数f (x )的周期为T=3π4−(-π4)=π, 所以ω=2ππ=2.注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π2+2k π(k ∈Z ), 由0<φ<π,所以φ=π2.所以函数的解析式为f (x )=sin (2x +π2)=cos 2x.(2)∵f (A )=cos 2A=-12,且A 为锐角,∴A=π3.在△ABC 中,由正弦定理得,BC sinA =ACsinB ,∴sin B=AC ·sinABC=2×√323=√33,∵BC>AC ,∴B<A=π3,∴cos B=√63,∴sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=√32×√63+12×√33=3√2+√36, ∴S △ABC =12·AC ·BC ·sin C=12×2×3×3√2+√36=3√2+√32. 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,C=π4,b=4,△ABC 的面积为6. (1)求c 的值; (2)求cos(B-C )的值.已知C=π4,b=4,因为S △ABC =12ab sin C ,即6=12×4a ×√22,解得a=3√2,由余弦定理,得c 2=b 2+a 2-2ab cos C=10,解得c=√10.(2)由(1)得cos B=a 2+c 2-b22ac=√55,由于B 是三角形的内角,得sin B=√1-cos 2B =2√55,所以cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C=√55×√22+2√55×√22=3√1010. B 组 能力提升7.如图,在凸四边形ABCD 中,C ,D 为定点,CD=√3,A ,B 为动点,满足AB=BC=DA=1.(1)写出cos C 与cos A 的关系式;(2)设△BCD 和△ABD 的面积分别为S 和T ,求S 2+T 2的最大值.在△BCD 中,由余弦定理,得BD 2=BC 2+CD 2-2·BC ·CD cos C=4-2√3cos C ,在△ABD 中,BD 2=2-2cos A ,所以4-2√3cos C=2-2cos A ,即cos A=√3cos C-1.(2)S=12·BC ·CD ·sin C=√3·sinC2,T=12AB ·AD sin A=12sin A ,所以S 2+T 2=34sin 2C+14sin 2A=34(1-cos 2C )+14(1-cos 2A )=-32cos 2C+√32cos C+34=-32(cosC -√36)2+78.由题意易知,C ∈(30°,90°),所以cos C当cos C=√36时,S 2+T 2有最大值78.8.某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收,园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中△ABD 区域种植花木后出售,△BCD 区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售价为a 元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km .(1)若BD=2√7 km,求绿化区域的面积;(2)设∠BCD=θ,当θ取何值时,园林公司的总销售金额最大.在△BCD 中,BD=2√7,BC=6,CD=4,由余弦定理,得cos ∠BCD=BC 2+CD 2-BD 22BC ·CD=62+42-(2√7)22×6×4=12.因为∠BCD ∈(0°,180°),所以∠BCD=60°, 又因为A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以∠BAD=120°.在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD , 将AD=4,BD=2√7代入化简,得AB 2+4AB-12=0, 解得AB=2(AB=-6舍去).所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12×2×4sin 120°+12×4×6sin 60°=8√3(km 2),即绿化空间的面积为8√3 km 2.(2)在△BCD 、△ABD 中分别利用余弦定理得 BD 2=62+42-2×6×4cos θ,①BD 2=AB 2+42-2×4AB cos(π-θ),②联立①②消去BD ,得AB 2+8AB cos θ+48cos θ-36=0, 得(AB+6)(AB+8cos θ-6)=0, 解得AB=6-8cos θ(AB=-6舍去).因为AB>0,所以6-8cos θ>0,即cos θ<34.S △ABD =12AB ·AD sin(π-θ)=12(6-8cos θ)×4sin θ=12sin θ-16sin θcos θ,S △BCD =12BC ·CD sinθ=12×6×4sin θ=12sin θ.因为草皮每平方米售价为a 元,则花木每平方米售价为3a 元,设销售金额为y 百万元. y=f (θ)=3a (12sin θ-16sin θcos θ)+12a sin θ=48a (sin θ-sin θcos θ),f'(θ)=48a (cos θ-cos 2θ+sin 2θ)=48a (-2cos 2θ+cos θ+1)=-48a (2cos θ+1)(cos θ-1),令f'(θ)>0,解得-12<cos θ<1,又cos θ<34,不妨设cos θ0=34,则函数f (θ)在(θ0,2π3)上为增函数;令f'(θ)<0,解得cos θ<-12,则函数f (θ)在(2π3,π)上为减函数, 所以当θ=2π3时,f (θ)max =36√3a.答:(1)绿化区域的面积为8√3 km 2;(2)当θ=2π3时,园林公司的销售金额最大,最大为36√3a 百万元.二、数列A 组 基础通关1.已知等差数列{a n }满足a 3-a 2=3,a 2+a 4=14. (1)求{a n }的通项公式;(2)设S n 是等比数列{b n }的前n 项和,若b 2=a 2,b 4=a 6,求S 7.设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3-a 2=3,a 2+a 4=14. ∴d=3,2a 1+4d=14,解得a 1=1,d=3,∴a n =1+3(n-1)=3n-2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ,b 2=a 2=4=b 1q ,b 4=a 6=16=b 1q 3,联立解得{b 1=2,q =2,或{b 1=-2,q =-2.∴S 7=2×(27-1)2-1=254,或S 7=-2×[1-(-2)7]1-(-2)=-86.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 2=15,S n+1=S n +3a n +6. (1)证明:{a n +3}是等比数列;(2)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n .S n+1=S n +3a n +6中,令n=1,得S 2=S 1+3a 1+6,得a 1+a 2=a 1+3a 1+6,即a 1+15=4a 1+6, 解得a 1=3.因为S n+1=S n +3a n +6, 所以a n+1=3a n +6. 所以a n+1+3a n +3=3a n +9a n +3=3. 所以{a n +3}是以6为首项,3为公比的等比数列.(1)得a n +3=6×3n-1=2×3n ,所以a n =2×3n -3.∴S n=2×(3+32+33+…3n )-3n=2×3×(1-3n )1-3-3n=3n+1-3-3n.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =1-a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n ,求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n .因为S n =1-a n (n ∈N *),所以S n-1=1-a n-1(n ∈N *,且n ≥2), 则S n -S n-1=(1-a n )-(1-a n-1)(n ∈N *,且n ≥2). 即a n =12a n-1(n ∈N *,且n ≥2). 因为S n =1-a n (n ∈N *),所以S 1=1-a 1=a 1,即a 1=12.所以{a n }是以12为首项,12为公比的等比数列.故a n =(12)n(n ∈N *).(2)b n =log 2a n ,所以b n =log 2(12)n=-n.所以1b n b n+1=1n (n+1)=1n −1n+1,故T n =(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)=1-1n+1=nn+1. 4.设等差数列{a n }的公差为d ,d 为整数,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知a 1=b 1,b 2=2,d=q ,S 10=100,n ∈N *. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (2)设c n =an b n,求数列{c n }的前n 项和T n .由题意可得{10a 1+45d =100,a 1d =2,解得{a 1=9,d =29(舍去)或{a 1=1,d =2, 所以a n =2n-1,b n =2n-1. (2)∵c n =a n b n,c n =2n -12n -1,∴T n =1+32+522+723+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n, ②①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2−2n -12n =3-2n+32n ,故T n =6-2n+32n -1.5.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n +1=2a n 2+a n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)已知对于n ∈N *,不等式1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n <M 恒成立,求实数M 的最小值.n=1时,2a 1+1=2a 12+a 1,又a n >0,所以a 1=1,当n ≥2时,2S n +1=2a n 2+a n (n ∈N *),2S n-1+1=2a n -12+a n-1(n ∈N *),作差整理,得a n +a n-1=2(a n +a n-1)(a n -a n-1),因为a n >0,故a n +a n-1>0,所以a n -a n-1=12,故数列{a n }为等差数列,所以a n =n+12.(2)由(1)知S n =n (n+3)4, 所以1S n=4n (n+3)=43(1n -1n+3),从而1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n=43(1-14)+(12-15)+(13-16)+…+(1n -2-1n+1)+(1n -1-1n+2)+(1n -1n+3)=431+12+13−1n+1−1n+2−1n+3=43116−1n+1−1n+2−1n+3<229.所以M ≥229,故M 的最小值为229.6.已知数列{a n }是公比为q 的正项等比数列,{b n }是公差d 为负数的等差数列,满足1a 2−1a 3=da 1,b 1+b 2+b 3=21,b 1b 2b 3=315. (1)求数列{a n }的公比q 与数列{b n }的通项公式; (2)求数列{|b n |}的前10项和S 10.由已知,b 1+b 2+b 3=3b 2=21,得b 2=7,又b 1b 2b 3=(b 2-d )·b 2·(b 2+d )=(7-d )·7·(7+d )=343-7d 2=315, 得d=-2或2(舍),b 1=7+2=9,b n =-2n+11. 于是1a 2−1a 3=-2a 1,又{a n }是公比为q 的等比数列,故1a 1q −1a 1q 2=-2a 1, 所以,2q 2+q-1=0,q=-1(舍)或12.综上,q=12,d=-2,b n =11-2n.(2)设{b n }的前n 项和为T n ;令b n ≥0,11-2n ≥0,得n ≤5,于是,S 5=T 5=5(b 1+b 5)2=25. 易知,n>6时,b n <0,|b 6|+|b 7|+…+|b 10|=-b 6-b 7-…-b 10=-(b 6+b 7+…+b 10)=-(T 10-T 5)=-(0-25)=25,所以,S 10=50.B 组 能力提升7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N *)在函数f (x )=12x 2+12x 的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列{1a n a n+2}的前n 项和为T n ,不等式T n >13log a (1-a )对任意正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围.∵点(n ,S n )在函数f (x )=12x 2+12x 的图象上,∴S n =12n 2+12n.①当n ≥2时,S n-1=12(n-1)2+12(n-1),②①-②,得a n =n.当n=1时,a 1=S 1=1,符合上式.∴a n =n (n ∈N *).(2)由(1),得1a n a n+2=1n (n+2)=12(1n -1n+2),∴T n =1a1a 3+1a 2a 4+…+1a n a n+2=121-13+12−14+…+1n −1n+2=34−121n+1+1n+2.∵T n+1-T n =1(n+1)(n+3)>0, ∴数列{T n }单调递增, ∴{T n }中的最小项为T 1=13.要使不等式T n >13log a (1-a )对任意正整数n 恒成立,只要13>13log a (1-a ),即log a (1-a )<log a a.解得0<a<12,即实数a 的取值范围为(0,12).8.设{a n }是各项均不相等的数列,S n 为它的前n 项和,满足λna n+1=S n +1(n ∈N *,λ∈R ). (1)若a 1=1,且a 1,a 2,a 3成等差数列,求λ的值;(2)若{a n }的各项均不为零,问当且仅当λ为何值时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列?试说明理由.令n=1,2,得{λa 2=a 1+1=2,2λa 3=S 2+1=a 1+a 2+1,又由a 1,a 2,a 3成等差数列, 所以2a 2=a 1+a 3=1+a 3,解得λ=3±√52. (2)当且仅当λ=12时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列, 证明如下:由已知λna n+1=S n +1,当n ≥2时,λ(n-1)a n =S n-1+1, 两式相减得λna n+1-λna n +λa n =a n , 即λn (a n+1-a n )=(1-λ)a n ,由于{a n }的各项均不相等, 所以λn1-λ=a nan+1-a n(n ≥2), 当n ≥3时,有λ(n -1)1-λ=an -1a n -a n -1, 两式相减可得λ1-λ=a n a n+1-a n −an -1a n -a n -1,①当λ=12,得a n an+1-a n=a n -1a n -a n -1+1=an a n -a n -1, 由于a n ≠0,所以a n+1-a n =a n -a n-1, 即2a n =a n+1+a n-1(n ≥3), 故a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列.②再证当a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列时,λ=12,因为a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列, 所以a n+1-a n =a n -a n-1(n ≥3),可得a n an+1-a n−a n -1a n -a n -1=a n a n -a n -1−a n -1a n -a n -1=1=λ1-λ, 所以λ=12,所以当且仅当λ=12时,a 2,a 3,…,a n ,…成等差数列.三、立体几何A 组 基础通关1.如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BC=CC 1,平面A 1BC 1⊥平面BCC 1B 1. 证明:(1)AC ∥平面A 1BC 1; (2)平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.几何体为三棱柱⇒四边形ACC 1A 1为平行四边形⇒AC ∥A 1C 1,又A 1C 1⊂平面A 1BC 1,AC ⊄平面A 1BC 1,∴AC ∥平面A 1BC 1.(2)∵BC=CC 1且四边形BCC 1B 1为平行四边形,∴四边形BCC 1B 1为菱形,∴B 1C ⊥BC 1.又平面A 1BC 1⊥平面BCC 1B 1,平面A 1BC 1∩平面BCC 1B 1=BC 1,∴B 1C ⊥平面A 1BC 1. 又B 1C ⊂平面AB 1C ,∴平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.2.如图,圆锥SO 中,AB ,CD 为底面圆的两条直径,AB ∩CD=O ,且AB ⊥CD ,SO=OB=2,P 为SB 的中点. (1)求证:SA ∥平面PCD ; (2)求圆锥SO 的表面积和体积.PO ,∵P 、O 分别为SB 、AB 的中点,∴PO ∥SA ,由于PO ⊂平面PCD ,SA ∉平面PCD , ∴SA ∥平面PCD ;SO=2,OB=2,SO 为圆锥的高,OB 为圆锥底面圆的半径,∴V=13πr 2h=13π×22×2=8π3,由于SO 为圆锥的高,则母线SB=√SO 2+OB 2=2√2,∴S 侧面=12l ·SB=12×2×π×2×2√2=4√2π,S 底面=πr 2=π×22=4π,故S=S 底面+S 侧面=(4+4√2)π.3.等边三角形ABC 的边长为3,点D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,且满足AD DB=CE EA=12,如图甲,将△ADE沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使平面A 1DE ⊥平面BCED ,连接A 1B ,A 1C ,如图乙,点M 为A 1D 的中点.(1)求证:EM ∥平面A 1BC ; (2)求四棱锥A 1-BCED 的体积.取BD 的中点N ,连接NE ,则NE ∥BC ,在四棱锥A 1-BCED 中,NE 与BC 的平行关系不变.连接MN ,在△DA 1B 中,MN ∥A 1B ,又NM ∩NE=N ,BA 1∩BC=B ,∴平面MNE ∥平面A 1BC , 又EM ⊂平面MNE ,∴EM ∥平面A 1BC.(2)∵等边三角形ABC 的边长为3,且ADDB =CEEA =12,∴AD=1,AE=2.在△ADE 中,∠DAE=60°, 由余弦定理得DE=√12+22-2×1×2×cos60°=√3, 从而AD 2+DE 2=AE 2,∴AD ⊥DE.折起后有A 1D ⊥DE ,∵平面A 1DE ⊥平面BCED , 平面A 1DE ∩平面BCED=DE ,A 1D ⊂平面A 1DE ,∴A 1D ⊥平面BCED.∴四棱锥A 1-BCED 的体积V=13S 四边形BCED ·A 1D ,连接BE,则S四边形BCED=12CB·CE sin∠BCE+12BD·DE=12×1×3×sin 60°+12×2×√3=7√34,∴V=13×7√34×1=7√312.4.如图所示,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;(3)求四面体B-DEF的体积.AC与BD交于点G,则G为AC的中点,如图所示,连接EG,GH.∵H为BC的中点,∴GH∥AB.∵EF∥AB,∴EF∥GH.又∵EF=GH=12AB,∴四边形EFHG为平行四边形,∴EG∥FH.∵EG⊂平面EDB,FH⊄平面EDB,∴FH∥平面EDB.四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.∵EF∥AB,∴EF⊥BC.又∵EF⊥FB,BC∩FB=B,∴EF⊥平面BFC,又FH⊂平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.∵BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,又AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC.∵FH∥EG,∴AC⊥EG.∵AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB,BF⊥FC,EF∩FC=F,∴BF⊥平面CDEF,∴BF即为四面体B-DEF的高.由(2)知,EF⊥平面BFC,∴EF⊥FC.又∵EF∥AB∥CD,∴FC为△DEF中EF边上的高.∵BC=AB=2,∴BF=FC=√2,∴V四面体B-DEF=13×12×1×√2×√2=13.5.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,AD⊥CD.(1)证明:AB⊥平面ADE;(2)连接BD,BE,若二面角E-CD-A的大小为120°,AD=2AB=2DE=2,求三棱锥E-ABD的体积.CD⊥AD,CD⊥DE,AD∩DE=D,所以CD⊥平面ADE,因为四边形CDFE为矩形,所以EF∥CD.又EF⊄平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.因为EF∥平面ABCD,EF⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面ABCD=AB,所以EF∥AB,又EF∥CD,所以CD∥AB,又CD ⊥平面ADE ,所以AB ⊥平面ADE.CD ⊥AD ,CD ⊥DE ,所以∠ADE 即为二面角A-CD-E 的平面角,所以∠ADE=120°.S △ADE =12DA ·DE ·sin ∠ADE=12×2×1×√32=√32.于是V 三棱锥E-ABD =V 三棱锥B-ADE =13S △ADE ·AB=13×√32×1=√36. 6.如图,在四棱锥E-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,AB=√2,BC=2,截面EBD 是等边三角形,M ,N 分别是AD ,CE 的中点.(1)求证:MN ∥平面EAB ;(2)若EC=EA ,AB ⊥DE ,求三棱锥E-BMN 的体积.,取EB 的中点F ,连接AF ,NF ,在△ECB 中,易得NF 12BC ,又在平行四边形ABCD 中,AM 12BC ,∴NF AM ,∴四边形AMNF 是平行四边形,∵MN ∥AF ,AF ⊂平面EAB ,MN ⊄平面EAB , ∴MN ∥平面EAB.,连接AC 交BD 于点O ,连接EO ,在等腰△EAC 中,EA=EC ,∴EO ⊥AC , 又在等边△EBD 中,EO ⊥BD ,∴EO ⊥平面ABCD.∴EO ⊥AB.又AB ⊥DE ,EO ∩DE=E , ∴AB ⊥平面BDE ,∴AB ⊥BD.∴V E-BMN =V N-EBM =12V C-EBM =12V E-BCM =16S △BCM ·EO ,又S △BCM =S △ABC =12AB ·BD=12·√2·√2=1,EO=√2·√32=√62,∴V E-BMN =16×1×√62=√612.B 组 能力提升7.如图,四棱锥A-BCDE 中,CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD ,AB ⊥BC ,M 为AD 上一点,EM ⊥平面ACD.(1)求证:EM ∥平面ABC ;(2)若CD=2BE=2,求点D 到平面EMC 的距离.AC 的中点F ,连接BF ,因为AB=BC ,所以BF ⊥AC ,又因为CD ⊥平面ABC ,所以CD ⊥BF ,又CD ∩AC=C ,所以BF ⊥平面ACD , 因为EM ⊥平面ACD ,所以EM ∥BF ,EM ⊄平面ABC ,BF ⊂平面ABC , 所以EM ∥平面ABC ;EM ⊥平面ACD ,EM ⊂平面EMC ,所以平面CME ⊥平面ACD ,平面CME ∩平面ACD=CM ,过点D 作直线DG ⊥CM ,则DG ⊥平面CME. 由已知CD ⊥平面ABC ,BE ∥CD ,AB=BC=CD=2BE ,可得AE=DE , 又EM ⊥AD ,所以M 为AD 的中点. 在Rt △ABC 中,AC=√2BC=2√2,在Rt △ADC 中,AD=√CD 2+AC 2=2√3,S △CDM =12S △ACD =12×12×2×2√2=√2,在△DCM 中,CM=12AD=√3,由等面积法知12×CM×DG=√2,所以DG=2√63,即点D 到平面EMC 的距离为2√63.8.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D ,E 分别为AB 和BB'上的点,且ADDB =BEEB '=λ.(1)求证:当λ=1时,A'B ⊥CE ;(2)当λ为何值时,三棱锥A'-CDE 的体积最小,并求出最小体积.λ=1,∴D ,E 分别为AB 和BB'的中点,又AB=AA',且三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平行四边形ABB'A'为正方形,∴DE ⊥A'B.∵AC=BC ,D 为AB 的中点,∴CD ⊥AB. ∵三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱, ∴CD ⊥平面ABB'A',又A'B ⊂平面ABB'A', ∴CD ⊥A'B ,又CD ∩DE=D ,∴A'B ⊥平面CDE ,∵CE ⊂平面CDE , ∴A'B ⊥CE.BE=x ,则AD=x ,DB=6-x ,B'E=6-x ,由已知可得C 到平面A'DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对的高,h=√AC 2-(AB2)2=4,∴V A'-CDE =V C-A'DE =13(S 四边形ABB'A'-S △AA'D -S ΔDBE -S △A'B'E )·h=1336-3x-12(6-x )x-3(6-x )·h=23(x 2-6x+36)=23[(x-3)2+27](0<x<6),∴当x=3,即λ=1时,V A'-CDE 有最小值18.四、概率与统计A 组 基础通关1.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中,高一年级有6人,高二年级有12人,高三年级有24人,现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访. (1)求应从各年级分别抽取的人数;(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解(注高一学生记为A i ,高二学生记为B i ,高三学生记为C i ,i=1,2,3…).①列出所有可能的抽取结果;②求抽取的2人均为高三年级学生的概率.高一:66+12+24×7=1;高二:126+12+24×7=2;高三:246+12+24×7=4;所以抽取高一学生1人,高二学生2人,高三学生4人.(2)由(1)知高一1人记为A 1,高二2人记为B 1、B 2,高三4人记为C 1、C 2、C 3、C 4,①从中抽取两人,所有可能的结果为:A 1B 1、A 1B 2、A 1C 1、A 1C 2、A 1C 3、A 1C 4、B 1B 2、B 1C 1、B 1C 2、B 1C 3、B 1C 4、B 2C 1、B 2C 2、B 2C 3、B 2C 4、C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共21种.②由①知,共有21种情况,抽取的2人均为高三年级学生有C 1C 2、C 1C 3、C 1C 4、C 2C 3、C 2C 4、C 3C 4,共6种,所以抽取的2人均为高三年级学生的概率P=621=27.2.某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛,成绩为1至10分,随机调阅了A ,B 两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:A 校样本数据条形图B 校样本数据统计表(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较;(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人,若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.从A校样本数据的条形图可知,成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校样本数据的均值为x A=4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3=6,60A校样本数据的方差为s A2=1×[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5.60从B校样本数据统计表可知,B校样本数据的均值为x B=4×9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3=6,60B校样本数据的方差为s B2=1×[9×(4-6)2+12×(5-6)2+21×(6-6)2+9×(7-6)2+6×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.8.60因为x A=x B,所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又s A2<s B2,所以A校学生的计算机成绩比较集中,总体得分情况比B校好.×12=4,分别设为a,b,c,d;(2)依题意,从A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为612+3+3×3=1,设为e;从成绩为9分的学生中应抽取的人数为从成绩为8分的学生中应抽取的人数为612+3+36×3=1,设为f.12+3+3所有基本事件有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15个,其中满足条件的基本事件有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个,所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,这2人成绩之和大于或等于15分的概率P=915=35.3.某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为研究车辆发车间隔时间x (分钟)与乘客等候人数y (人)之间的关系,经过调查得到如下数据:调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y ^,再求y ^与实际等候人数y 的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”.(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据的间隔时间之差大于1的概率;(2)若选取的是后面4组数据,求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x+a ^,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;(3)在(2)的条件下,为了使等候的乘客不超过35人,则间隔时间最多可以设置为多少分钟?(精确到整数)参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx2,a ^=y −b ^x .设“从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据不相邻”为事件A ,记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15种,其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种,所以P (A )=1-515=23.(2)后面4组数据是:因为x =12+13+14+154=13.5,y =26+29+28+314=28.5, ∑i=14x i y i =1 546,∑i=14x i 2=734,所以b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx 2=1 546-4×13.5×28.5734-4×13.52=1.4,a ^=y −b ^x =28.5-1.4×13.5=9.6,所以y ^=1.4x+9.6.当x=10时,y ^=1.4×10+9.6=23.6,23.6-23=0.6<1;当x=11时,y ^=1.4×11+9.6=25,25-25=0<1, 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”.(3)由1.4x+9.6≤35,得x ≤1817, 故间隔时间最多可设置为18分钟.4.某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造,下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果:已知从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47.(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关?(2)从支持节能降耗的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家企业,然后从这8家企业选出2家进行奖励,分别奖励中型企业20万元,小型企业10万元.求奖励总金额为20万元的概率.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)由从这560家企业中随机抽取1家,抽到支持技术改造的企业的概率为47.可知:支持技术改造的企业共有320家,故列联表为所以K2的观测值k=560(80×200-40×240)2120×440×320×240≈5.657>5.024故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.(2)由(1)可知支持技术改造的企业中,中小企业比为1∶3.所以按分层抽样的方法抽出的8家企业中有2家中型企业,分别用x、y表示,6家小型企业,分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取2家的所有可能为xy、x1、x2、x3、x4、x5、x6、y1、y2、y3、y4、y5、y6、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共28种.其中总奖金为20万的有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共15种.所以奖励总金额为20万元的概率为1528.5.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班,每班50人,某教师采用A、B两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,该教师分别从两班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如图所示,记成绩不低于90分为“成绩优秀”.(1)在乙班的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2人,求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据填写2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关.附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).设抽出的两人均为“成绩优秀”为事件A,从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件有(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97, 99),(99,99),共15个.事件A包含的基本事件有10个,∴P(A)=1015=23.(2)列表∴K2的观测值k=40×(1×15-5×19)26×34×20×20≈3.137>2.706,∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关.6.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.由题可得,男生优秀人数为100×(0.01+0.02)×10=30(人),女生优秀人数为100×(0.015+0.03)×10=45(人).(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115,所以样本中包含男生人数为30×115=2(人),女生人数为45×115=3(人).设两名男生为A 1,A 2,三名女生为B 1,B 2,B 3. 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},共10个,每个样本被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件C :“选取的2人中至少有一名男生”,则事件C 包含的基本事件有:{A 1,A 2},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},共7个.所以P (C )=710,即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.B组能力提升7.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如图1的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5.0以下的人数,并估计这100名学生视力的中位数(精确到0.1);(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查,得到如表1中数据,根据表1及临界值表2中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?图1表1附:临界值表2(参考公式:K2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d )设各组的频率为f i (i=1,2,3,4,5,6),由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人, 因为后四组的频数成等差数列, 所以后四组频数依次为27,24,21,18, 则后四组频率依次为0.27,0.24,0.21,0.18,视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82(人),故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×82100=820(人). 设100名学生视力的中位数为x ,则有(0.15+0.35+1.35)×0.2+(x-4.6)×(0.24÷0.2)=0.5, x ≈4.7.(2)K 2的观测值k=100(42×16-34×8)250×50×76×24=20057≈3.509<3.841.因此不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.8.十九大提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做到精准扶贫,我省某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植脐橙,并利用互联网电商进行销售,为了更好销售,现从该村的脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重,其质量分布在区间[200,500](单位:克),统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:(1)按分层抽样的方法从质量落在[350,400),[400,450)的脐橙中随机抽取5个,再从这5个脐橙中随机抽2个,求这2个脐橙质量至少有一个不小于400克的概率;(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的脐橙种植地上大约还有100 000个脐橙待出售,某电商提出两种收购方案:A.所有脐橙均以7元/千克收购;B.低于350克的脐橙以2元/个收购,其余的以3元/个收购请你通过计算为该村选择收益较好的方案.由题得脐橙质量在[350,400)和[400,450)的比例为3∶2.∴应分别在质量为[350,400)和[400,450)的脐橙中各抽取3个和2个.记抽取质量在[350,400)的脐橙为A1,A2,A3,质量在[400,450)的脐橙为B1,B2,则从这5个脐橙中随机抽取2个的情况共有以下10种:A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A2B1,A3B1,A1B2,A2B2,A3B2,B1B2,.其中质量至少有一个不小于400克的7种情况,故所求概率为710(2)方案B好,理由如下:由频率分布直方图可知,脐橙质量在[200,250)的频率为50×0.001=0.05,同理,质量在[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,500]的频率依次为0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若按方案B收购:∵脐橙质量低于350克的个数为(0.05+0.16+0.24)×100 000=45 000(个),脐橙质量不低于350克的个数为55 000个,∴收益为45 000×2+55 000×3=255 000(元).若按方案A收购:根据题意各段脐橙个数依次为5 000,16 000,24 000,30 000,20 000,5 000.于是总收益为(225×5 000+275×16 000+325×24 000+375×30 000+425×20 000+475×5000)×7÷1 000=248 150(元),∴方案B的收益比方案A的收益高,应该选择方案B.五、函数与导数A 组 基础通关1.(2019安徽定远中学高三质检)已知函数f (x )=(x 2-2x+2)e x -12ax 2(a ∈R ).(1)当a=e 时,求函数f (x )的单调区间; (2)证明:当a ≤-2时,f (x )≥2.a=e 时,f (x )=(x 2-2x+2)e x -12e x 2,所以f'(x )=x 2e x -e x=x (x e x -e),讨论:①当x<0时,x e x -e <0,有f'(x )>0;②当0<x<1时,由函数y=x e x 为增函数,有x e x -e <0,有f'(x )<0; ③当x>1时,由函数y=x e x 为增函数,有x e x -e >0,有f'(x )>0.综上,函数f (x )的增区间为(-∞,0),(1,+∞),减区间为(0,1).a ≤-2时,有-12a ≥1,所以-12ax 2≥x 2,所以f (x )≥(x 2-2x+2)e x +x 2.令g (x )=(x 2-2x+2)e x +x 2,则g'(x )=x 2e x +2x=x (x e x +2). 令h (x )=x e x +2,有h'(x )=(x+1)e x . 令h'(x )=0,得x=-1.分析知,函数h (x )的增区间为(-1,+∞),减区间为(-∞,-1).所以h (x )min =h (-1)=2-1e >0.所以分析知,函数g (x )的增区间为(0,+∞),减区间为(-∞,0), 所以g (x )min =g (0)=(02-2×0+2)×e 0+02=2, 故当a ≤-2时,f (x )≥2.2.在某次水下科研考查活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间),每单位时间的用氧量为v103+1(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为v2(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考查活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式;(2)若c ≤v ≤15(c>0),求当下潜速度v 取什么值时,总用氧量最少.由题意,得下潜用时60v (单位时间),用氧量为v 103+1×60v=3v 250+60v(升); 水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升); 返回水面用时60v 2=120v (单位时间),用氧量为120v ×1.5=180v (升),∴总用氧量y=3v 250+240v +9(v>0).(2)y'=3v 25−240v 2=3(v 3-2 000)25v 2, 令y'=0,得v=10√23,当0<v<10√23时,y'<0,函数单调递减, 当v>10√23时,y'>0,函数单调递增,∴当0<c<10√23时,函数在(c ,10√23)上单调递减,在(10√23,15)上单调递增,∴当v=10√23时总用氧量最少,当c ≥10√23时,y 在[c ,15]上单调递增,∴当v=c 时总用氧量最少.综上,若0<c<10√23,则当v=10√23时总用氧量最少;若c ≥10√23, 则当v=c 时总用氧量最少. 3.(2019安徽淮北模拟)已知函数f (x )=ax -1+ln x. (1)若函数f (x )在(e,+∞)内有极值,求实数a 的取值范围;(2)在(1)的条件下,对任意t ∈(1,+∞),s ∈(0,1),求证:f (t )-f (s )>e +2-1e.(0,1)∪(1,+∞),f'(x )=1x −a (x -1)2=x 2-(a+2)x+1x (x -1)2,设h (x )=x 2-(a+2)x+1, 要使y=f (x )在(e,+∞)上有极值,则x 2-(a+2)x+1=0有两个不同的实根x 1,x 2,∴Δ=(a+2)2-4>0,∴a>0或a<-4,①且至少有一根在区间(e,+∞)上,又∵x 1·x 2=1,∴只有一根在区间(e,+∞)上,不妨设x 2>e, ∴0<x 1<1e <e <x 2,又h (0)=1,∴只需h1e<0,即1e 2-(a+2)1e +1<0,∴a>e +1e -2,②联立①②可得a>e +1e -2.即实数a 的取值范围是e +1e -2,+∞.(1)知,当x ∈(1,x 2)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,当x ∈(x 2,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,∴f (x )在(1,+∞)上有最小值f (x 2),即∀t ∈(1,+∞),都有f (t )≥f (x 2), 又当x ∈(0,x 1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增, 当x ∈(x 1,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,∴f (x )在(0,1)上有最大值f (x 1),即对∀s ∈(0,1),都有f (s )≤f (x 1), 又∵x 1+x 2=2+a ,x 1x 2=1,x 1∈0,1e ,x 2∈(e,+∞),∴f (t )-f (s )≥f (x 2)-f (x 1)=ln x 2+ax 2-1-ln x 1-ax 1-1=ln x 2x 1+a x 2-1−ax 1-1 =ln x 22+x 2-1x 2(x 2>e),设k (x )=ln x 2+x-1x =2ln x+x-1x (x>e),则k'(x )=2x+1+1x 2>0(x>e),∴k (x )在(e,+∞)上单调递增, ∴k (x )>k (e)=2+e -1e ,∴f (t )-f (s )>e +2-1e .4.(2019河南商丘模拟)已知函数f (x )=(2x+1)ln(2x+1)-a (2x+1)2-x (a>0).(1)如图,设直线x=-12,y=-x 将坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域(不含边界),若函数y=f (x )的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围;(2)当a>12时,求证:∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,有f (x 1)+f (x 2)<2fx 1+x 22.(1)解函数f (x )的定义域为-12,+∞,且当x=0时,f (0)=-a<0. 又∵直线y=-x 恰好通过原点,∴函数y=f (x )的图象应位于区域Ⅳ内,于是可得f (x )<-x ,即(2x+1)ln(2x+1)-a (2x+1)2-x<-x.∵2x+1>0,∴a>ln (2x+1)2x+1.令h (x )=ln (2x+1)2x+1x>-12,则h'(x )=2-2ln (2x+1)(2x+1)2x>-12.∴当x ∈-12,e -12时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈e -12,+∞时,h'(x )<0,h (x )单调递减.∴h (x )max =he -12=1e,∴a 的取值范围是1e,+∞.f'(x )=2ln(2x+1)-4a (2x+1)+1,设u (x )=2ln(2x+1)-4a (2x+1)+1,则u'(x )=42x+1-8a x>-12,∵当x>0时,42x+1<4,当a>12时,8a>4,∴u'(x )=42x+1-8a<0, ∴当x>0时,f'(x )为减函数,不妨设x 2>x 1>0,令g (x )=f (x )+f (x 1)-2f x+x 12(x>x 1),可得g (x 1)=0,g'(x )=f'(x )-f'x+x 12,∵x>x+x 12且f'(x )是(0,+∞)上的减函数,∴g'(x )<0,∴当x>x 1时,g (x )为减函数, ∴g (x 2)<g (x 1)=0,即f (x 1)+f (x 2)<2f x 1+x 22.5.已知函数f (x )=ln x+ax ,g (x )=e -x +bx ,a ,b ∈R ,e 为自然对数的底数. (1)若函数y=g (x )在R 上存在零点,求实数b 的取值范围;(2)若函数y=f (x )在x=1e处的切线方程为e x+y-2+b=0.求证:对任意的x ∈(0,+∞),总有f (x )>g (x ).g'(x )=-e -x +b=b-1e x .若b=0,则g (x )=1e x ∈(0,+∞),不合题意;若b<0,则g (0)=1>0,g -1b =e 1b -1<0,满足题意, 若b>0,令g'(x )=-e -x +b=0,得x=-ln b.∴g (x )在(-∞,-ln b )上单调递减;在(-ln b ,+∞)上单调递增,则g (x )min =g (-ln b )=e ln b -b ln b=b-b ln b ≤0,∴b ≥e .综上所述,实数b 的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞).f'(x )=1x −ax 2,则由题意,得f'1e =e -a e 2=-e,解得a=2e .∴f (x )=ln x+2ex ,从而f1e=1,。
