第3课时 题型上——全析高考常考的6大题型
题型一 圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：
一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．
二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．
三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．
[典例] (2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴
的长与短半轴的长的比值为2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
[解] (1)由题意得，c ＝3，a
b ＝2，a 2＝b 2＋
c 2， ∴a ＝2，b ＝1，
∴椭圆C 的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
联立，得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. ∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x
1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4
4k 2＋1
. ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→
＝0.
∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2
＝0，
∴(k 2＋1)
4m 2－44k 2
＋1＋k (m －1)－8km
4k 2＋1
＋(m －1)2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－3
5
或m ＝1(舍去)．
∴直线l 的方程为y ＝kx －3
5
.
易知当直线l 的斜率不存在时， 不符合题意． 故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－35. [方法技巧]
求解圆锥曲线中定点问题的2种方法
(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
(2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k 当成变量，将变量x ，y 当成常数，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得
到方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x ，y )＝0，
g (x ，y )＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备
一定的限制条件，可以特殊解决．
[针对训练]
如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k ＞0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2
＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，
记直线l 1的斜率为k 1.
(1)求k ·k 1的值；
(2)当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
解：(1)设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)， 直线l 与直线l 1的交点为(0,1)， ∴l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1， k ＝
y －1x ，k 1＝y 0－1x 0，由y ＋y 02＝x ＋x 0
2
＋1， 得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，① 由
y －y 0
x －x 0
＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，② 由①②得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x 0＋1，
y 0＝x ＋1，
∴k ·k 1＝yy 0－(y ＋y 0)＋1
xx 0
＝
(x ＋1)(x 0＋1)－(x ＋x 0＋2)＋1
xx 0
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，
设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， ∴x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k 2
4k 2＋1
.
同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k 4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2
－4
4＋k
2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－
k 2－4
4＋k 2－8k 4k 2＋1－
－8k 4＋k 2＝8－8k 48k (3k 2－3)
＝－k 2＋13k ，
直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )， 即y －1－4k 24k 2＋1
＝－k 2＋13k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8(k 2＋1)3(4k 2＋1)＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －5
3.
∴当k 变化时，直线MN 过定点⎝
⎛⎭⎫0，－5
3. 题型二 圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题.其求解步骤一般为：
一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等.
二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，但是能整体约分也可以).
三定值：化简式子得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只须对上述式子进行必要的化简即可得到定值.
[典例] (2019·沈阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1，F 2，离心率为1
2，
点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2的面积最大值为3，O 为坐标原点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM ―→·ON ―→
＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值．
[解]
(1)依题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
c 2＝a 2－b 2，
bc ＝3，
c a ＝12，
解得⎩⎨⎧
a ＝2，
b ＝3，
