[第4讲]函数迭代和函数方程(上)

函数方程与迭代1.迭代法先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴55|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ∀∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -．一些简单函数的n 次迭代如下：（1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =；（3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax =+，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1nn na f x a xb a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法．1．求迭代后的函数值例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N *∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(;169)94()49()11(;49)61()16()11(;164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f所以(11)n f （n N *∈）的值域为{4,16,49,169,256}。

专题-----函数迭代利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。

一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f(n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。

如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc. 若f(x)=x 2，则f (n)(x)=x2n.若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a nx+aa n--11b(a ≠).函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。

然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。

⑴观查法例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f(100)(m)能被1988整除。

例2、 设).(.12)()(2x f x x x f n 计算-=⑵不动点求函数迭代：如果x 0是)(x f 的不动点，则x 0也是)()(x f n 的不动点。

这一点用数学归纳法是容易证明的。

例3、若9319)(2+=x x f 求，)()(x f n 。

③函数迭代应用：在国内外数学竞赛中，不断出现一些要用到各种技巧的函数迭代和函数方程问题。

主要有三个方面：（1）研究函数的性质；（2）求函数的值；（3）确定函数的解析表达式。

下面通过例题来介绍解决这些问题的方法和技巧。

例4、设N 是自然数集合，k ∈N 。

如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对于每个n ∈N ，都有f （f (n )）=k n 。

证明：对每个n ∈N ，都有12+k k n ≤f (n )≤21+k n . 例5、 设函数f (x )对所有x ＞0有意义，且满足下列条件：（1）对于x ＞0，有f (x )f [f (x )+x1]=1; （2）f (x )在（0，+∞）上严格递增。

第一讲函数迭代和函数方程一、基本知识简述1．函数迭代设是DD的函数，对任意，记，定义，，则称函数为的n次迭代. 将含有未知函数的等式称为函数方程.的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.定理若对于任意的，有（1）则.证由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正整数及有理数，有（2）在（2）中令，得（3）在（2）中令，得，.，，.当时，（4）由（3），（4）知，（5）对于任意的，设，则有即.注：在定理4中，若加上为连续函数这一条件，则有.定理4的证明方法叫做柯西方法，这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整数的函数值、有理数的函数值，在函数连续的条件下，进一步求出实数的函数值..1．方法解读例1 已知为一次函数，且，求.解设，显然.令，得，即为的不动点.由定理1知，，，解之得，所以.例2 已知，求.解，，∴，，由数学归纳法易知.注：在函数迭代中，通过观察得出的函数要用数学归纳法给予严格证明.例3设函数，满足，且，都有（1）求.解（方法1）在（1）中将互换，则有（2）由（1），（2）得（3）在（3）中令，则有，即.易证是方程（1）的解.（方法2）在（1）中令，得（4）即.为了求出，需要求，为此在（1）中令，得，从而有，代入（4）可得.例4已知函数是的映射，满足：（1）对任意非负整数，有，（2），有，求.解在（2）中令，并记，则有.由于数列是递增数列，由定理3知，.若，矛盾，所以，，从而有.又因为，容易得.所以，.例5求所有的的映射，使得，均有（1）求.解设，在（1）中令，则有由（2）知的值域为，所以的值域为R.又若，则，由（2）得，所以，这表明是的双射.因此，使得.在（1）中令，得（3）由（2），（3）知，所以，，.在（1）中令，得（4）在（4）中令，注意到由（3）可知，从而有，故，有（5）由（4），（5）可知（6）因此，,有或.假设存在非零实数，使得，而，那么在（1）中令，得，又由（6）知或，矛盾，所以方程（1）的解是或.例6 设是定义在正整数集上且取正整数值的严格递增函数，，当互素时，有（1）证明：对一切正整数，.证，.又，.若结论不成立，设使的最小正整数为，则.，又，.由于是严格递增的，故当时，有（2）当为奇数时，2与互素，故（3）由于，所以，从而由（2）得（4）（4）与（3）矛盾.当为偶数时，2与互素，从而有（5）因为，所以，由（2）得（6）（6）与（5）矛盾.综上可知，，有.例7 求所有函数，使得，有（1）解，若，则，，，，故是的单射.下证.当时，在（1）中取，得.因为上式左边3个数均为正整数，所以只能全为1，故，即时结论成立.假设时，有，那么当时，由是单射知，从而有，进而有，即（2）（3）（4）将上述3式相加，得.又，从而知不等式（2），（3），（4）全取等号，故，即对于结论成立.由归纳法原理知，.例8.设在实数上都有定义，连续且不恒为0，求方程式(7)的解？【解】：任取，对任意的，存在使得，(可取，)将此代入(7)式可得令，则(8)因为在上连续上连续。

2.5函数迭代和函数方程一、基本知识简述 1． 函数迭代设f 是D →D 的函数，对任意D x ∈，记x x f=)()0(，定义))(()()()1(x f f x f n n =+，*N n ∈，则称函数)()(x fn 为)(x f 的n 次迭代.一些简单函数的n 次迭代如下： （1） 若a x x f +＝)(，则)()(x f n na x +＝；（2） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn x a n ＝； （3） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn na x ＝；（4） 若axx x f +1)(＝，则)()(x f n nax x +1＝；（5） 若)1()(≠+a b ax x f ＝，则)()(x fn ab a b n x a --+-11)(＝； )()(x f n 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出)()(x fn 的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.2． 函数方程含有未知函数的方程称为函数方程，如果一个函数)(x f 对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，则称)(x f 为该方程的解.证明函数方程无解或寻求鞭解的过程就是解函数方程. 一般用以下方法：（1） 代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数.（2） 赋值法：根据所给的条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.（3） 待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法经比较系数而求解.（4） 递推法：设)(x f 是定义在整数集＊N 是的函数，如果存在一个递推关系S和初始条件1)1(a f ＝，当知道了)1(f ，,),2( f ，)(n f 的值，由S 可以惟一地确定)1(+n f 的值，递推法主要用于解决递归函数问题.二、例题1.求函数迭代后的表达式例1设11)(+-=x x x f 记fn n x f f f x f 个)])([()(=，求)(1999x f例2已知函数3)(+=x x g ，)](5[)(1x g g x f -=.记)]([)(2x f f x f =，)]([)(23x f f x f =，)]([)(1x f f x f n n -= ，则函数)(),(2x f x f ，)(3x f 的表达式依次为＿＿＿，＿＿＿＿，＿＿＿；而)(x f n 的表达式为＿＿＿＿. 2.求迭代后的函数值例3自然数k 的各位数字和的平方记为已知函数)(1x f ，且)]([)(1k f f k f n n -=，求 )11(n f （*N n ∈）的值域.例4已知函数k n f =)(，k 是循环小数0.918273645的小数点后的第n 位数字，则))]([( x f f f 的值为＿＿＿＿.例5设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)2(1)2(+-=n n n f f a ，求99a例6.在自然数集N 上定义的函数⎩⎨⎧+-=)]7([3)(n f f n n f ),1000(),1000(<≥n n 求)90(f 的值.3.解函数方程例7.已知),0,(-∞∈x 函数)(x f 满足xx f x f 51)(3)(2=-，求)(x f 的最小值及相应的x 值.［同类变式］函数)(x f 满足xx f x f 5)(3)(2=--，求)(x f例8.已知xx xx x f f +-++=-12111)(2)(，求)(x f 的表达式.例9.实数集R 上的函数)(x f y =满足：（1）22121212sin 42cos )(2)()(x a x x f x x f x x f +=-++),,(21是常数a R x x ∈ （2）1)()0(4==πf f （3）当],0[4π∈x 时，2)(≤x f 试求：（1）函数)(x f y =的解析式 （2）常数a 取值范围.4.由函数方程函数值例10.如果)()()(y f x f y x f =+，并且2)1(=f ，求)1999()2000()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++的值例11.定义在R 上的函数)(x f ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，若4)16(=f ，求)2003(f . 例12.若)(x f 是定义域为R 的函数，并且)(1)](1)[2(x f x f x f +=-+，32)1(+=f ，求)1997(f 的值. 三、习题 1. 若⎩⎨⎧=为无理数为有理数，x x x f ,01)( 则)]([x f f 的值 ( )(A)等于1 (B)等于0(C)可能为1，也可能为0 (D)可能是0,1以外的数2.已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f ＝ （ ） (A) x 2 (B) 12+x (C) 22+x (D) 32+x3. 已知43)(2+-=x x x f ，486950183))((234++++=x x x x x g f ,那么)(x g 的各项系数和为（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 114. 若函数)(x f ，满足)()()(y f x f y x f +=+R y x ∈,，则下列各式中不恒成立的是（ ） (A) 0)0(=f (B) )1(3)3(f f = (C) )1()(2121f f = (D) 0)()(<-x f x f5.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--=101)(x x f 000>=<x x x 定义)]([)()2(x f f x f =，)]([)()1()(x ff x f n n -=，*),2(N n n ∈≥，且)()()1(x f x f =，那么关于n 的方程0)2001()(=n f的最小下整数解为 （ ）(A) 2000 (B) 2001 (C) 2002 (D) 2003 (二)填空题6.已知函数,)(2q px x x f ++= R x q p ∈、、,又集合{}x x f x A ==)(|，{}x x f f x B ==)]([|.{}3,1-=A ，则B ＝＿＿＿＿7.已知11)(+-=x x x f ，12)(-+=bx a x x g ，且xx g f 21))((=，则a=______,b=_________.8.设函数2)1()(2+-=x x f （x ≤0）,函数)(x g 适合x x g f =)]([，则)(x g _______.9. 已知函数22)(+--=+x x a x f ，且3)]([=a f f ，则a=________.10.已知)(x f 是一次函数，且10231024)()10(+=x x f，则)(x f ＝＿＿＿＿＿11.若函数)(x f 满足条件x f x f x=-)(4)(1，则)(x f 的最小值是＿＿＿＿. 12.设)(x f y =是定义在R 上的函数，且对于任意实数a,b,有ab b af f =)]([，则)1999(f 13. 设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)0(1)0(+-=n n n f f a ，求100a(三)解答题14. 设],0[2πα∈，函数)(x f y =的定义域为[0,1],且0)0(=f ，1)1(=f ，当y x ≥时，有)()sin 1(sin )()(2y f x f f y x αα-+=+，求 （1）)(),(4121f f ； （2）α的值；（3）函数)2sin()(x x g -=α的单调递增区间.。

1．函数迭代⑴ 函数迭代的定义设:f D D '→（其中D D '⊆）是一个函数，对任意x D ∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，(3)((()))f f f f x =，……，(1)()()(())n n f x f f x +=，……，则称()()n f x 是函数()f x 在D 上的n 次迭代，并称n 是()()n f x 的迭代指数．如果()()n f x 有反函数，则记为()()n f x -，于是，迭代指数可取所有整数． ⑵ 简单的函数迭代求一个函数的n 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的．若()f x x c =+，则()n f x nc =+，(1)()f x x c -=-，()()n f x x nc -=-． 若3()f x x =，则()3()nn fx x =，1(1)3()fx x -=，1()3()n fx x -=．若()f x ax b =+，则()()11n n b b f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭，(1)1()11b b f x x a a a -⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭， ()1()11n n b bf x x a a a-⎛⎫=-+⎪--⎝⎭． ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数()f x 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出()()n f x 的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数． ②递归法设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知，且0a D ∈， 1()n n a f a -=，1≥n ．一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)()120()()()n n n n a f a f a f a --==== ，即{}n a 通项公式；另一方面，如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0a x =，()n a g x =，而()()10()()()n n n n a f a f a f x -==== ，从而()()()n f x g x =，即()()n f x 的表达式．由上述知，函数的n 次迭代可以通过构造数列的方法来解，其步骤为 第一步，设0a x =，()()n n a f x =；第二步，由()()n n a f x =1()n f a -=，求出0()n a g a =；第三步，()0()()()n f x g a g x ==． ③相似法相似法是求函数()f x 的n 次迭代的一个重要方法．若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们就称()f x 通过()x ϕ和()g x 相似，简称()f x 和()g x 相2函数迭代与函数方程似，记为~()f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数． 相似关系是一个等价关系，也就是说它满足： 自身性，~f f ；对称性，若~f g ，则~g f ；传递性，若~f g ，~g h ，则~f h ．如果()f x 与()g x 相似，即1()(()))（f x g x ϕϕ-=，那么()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=， 1()((()))g x f x ϕϕ-=，()()1()((()))n n g x f x ϕϕ-=． 这样一来，我们便把f 的迭代问题转化为g 的迭代问题． ④不动点法关于x 的方程()f x x =的根称为()f x 的不动点．不动点法的基本思想是根据函数的不动点得出桥函数的一个性质，进而确定桥函数的形状，然后利用相似法求出函数的n 次迭代． 函数的不动点具有如下的性质：若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点．设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=，若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，即0()x ϕ是()g x 的不动点．对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后用数学归纳法证之，会使计算简单些．利用不动点找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映成g 的不动点0()x ϕ，通常为了便于求解()()n g x ，()g x 通常为ax ，x a +，2ax ，3ax 等．2．函数方程⑴ 函数方程的定义解为函数的方程为函数方程．例如()()(5)()，f x f x f x f x -=-+=等都是函数方程． ⑵ 函数方程解法寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程，一般有以下几种方法： ①代换法代换法是解函数方程的常用手段，其基本思想是：将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知数．如2(21)()f x x x x -=+∈R ，令21y x =-，则1(1)2x y =+，于是211()(1)(1)42f y y y =+++，即213()44f x x x =++，经检验它是函数方程的解．代换法在单变量函数方程中尤为多用． ②赋值法所谓赋值法，就是对自变量赋予某些特殊的数值，从而挖掘出题中隐含的条件，并且通过这些新条件简化函数方程，逼近最终目标．如函数:f →R R 满足()()()0，，，f x f y f xy x y x y x y+=∈+≠+R ，求()f x ． 令1y =，得()(1)()(1)1f x f f x x x +=≠-+，由此()(1)xf x f =．令0x =则(1)0f =，从而可知()0(01)，f x x =≠-．令20，x y ==易得(0)(2)0f f ==；令10，x y =-=易知(1)(0)0f f -==．综上可知()0f x =． ③递归法函数方程的递归解法，是一种借助于数列对函数方程加以研究的方法．设()f n 是定义在正整数集+N 上的函数，如果存在一个递推关系S 和初始条件1(1)f a =，当知道(1)f ，(2)f ，…，()f n 的值后，由S 可以惟一地确定(1)f n +的值，我们就称()f n 为递归函数，递归法主要解决递归函数．板块一 函数的迭代【例 1】 已知()f n 是定义在+N 上的函数，并且满足①(())49f f n n =+，n +∈N ， ②1(2)23k k f +=+，k ∈N ．求(1789)f 的值．【例 2】 ⑴设()f x ax b =+，求()()n f x ；⑵设()xf x ax b=+，求()()n f x ；⑶设()1f x x =+，求()()n f x ．【例 3】 ⑴设2()21x f x x =-，求()()n f x ；⑵设1()43x f x x -=-，求()()n f x ；⑶设42()1x f x x -=+，求()()n f x ．板块二 函数方程【例 4】 ⑴定义在+R 上的函数()f x 满足关系式1()lg 1f x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()f x ．⑵求解函数方程1()11f x f x x ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，0x ≠，1．⑶已知函数()f x 对任意x 、y 有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，求()f x ．【例 5】 求所有满足下列条件的函数:f ++→N N ，使得⑴(2)2f =；⑵()()()f mn f m f n =⋅对所有m ，n 成立； ⑶若m n <，则()()f m f n <．【例 6】 已知函数()f x 满足2()()1f x f x -=，0x >．求满足条件的一个()f x ．习题1. 设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，123，，，n = ，若7()128381f x x =+，则a b += ．习题2. 某同学从换乘中心出发坐车去第一家商店，在店里花了剩余的钱的一半，然后坐车返回换乘中心．之后又坐车去第二家商店，在店里花了剩余钱的一半，然后坐车返回换乘中心．接着他用同样的方式进出第三家和第四家商店，当他返回换乘中心时候，发现身上只剩一元钱．若无论从换乘中心到商店还是从商店到换乘中心的车费都是一元钱，问：他在四家商店总共花了多少钱？习题3. 设2()42f x x x =++，求()()n f x ．习题4. 求解函数方程（写出一个符合方程的解即可），⑴⑵⑶小题中x ，y ∈R ，⑷小题中m ，n +∈N ：⑴()()()f x y f x f y +=+； ⑵()()()f x y f x f y +=⋅； ⑶()()()f xy f x f y =+；⑷()()()()f m f n f m n f m n +=+⋅-．习题5.已知:f→Z Z，求满足下述条件的所有函数f：⑴对一切正数n，(())=；f f n n⑵对一切整数n，((2)2)++=；f f n n⑶(0)1f=。

函数的变换与迭代一、函数变换1.函数平移：–水平平移：f(x + a)–垂直平移：f(x) + b2.函数缩放：–水平缩放：f(ax + b)–垂直缩放：f(x) * c3.函数反射：–y = f(-x) 为关于y轴的对称–y = -f(x) 为关于x轴的对称–y = f(x) 为关于原点的对称二、函数迭代1.迭代概念：–函数迭代：将函数的结果作为输入再次输入函数中，得到新的输出。

–迭代序列：a_n = f(a_(n-1))，其中a_0为初始值。

2.迭代规律：–收敛迭代：lim(n→∞) a_n 存在，称为收敛。

–发散迭代：lim(n→∞) a_n 不存在，称为发散。

3.迭代举例：–平方迭代：a_n = a_(n-1)^2–立方迭代：a_n = a_(n-1)^3三、函数变换与迭代的应用1.几何变换：–缩放和平移在几何图形中的应用，如图形放大、缩小、平移等。

2.物理应用：–振动方程的迭代求解，如简谐振动、非线性振动等。

–电磁场的迭代计算，如麦克斯韦方程组的求解。

3.计算机科学：–迭代算法：如斐波那契数列、矩阵幂的计算等。

–分形生成：如分形树、雪花曲线等的生成。

四、中小学生的学习内容和身心发展1.学习内容：–函数的基本概念和性质。

–函数的图像和几何变换。

–函数的迭代规律和应用。

2.身心发展：–培养学生的逻辑思维能力。

–提高学生的创新意识和实践能力。

–增强学生的数学美感和审美能力。

五、教学策略和方法1.教学策略：–结合实例讲解函数变换和迭代。

–通过问题驱动，引导学生探索函数变换和迭代规律。

–注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。

2.教学方法：–讲授法：讲解函数变换和迭代的基本概念和性质。

–实践法：让学生动手实践，绘制函数图像，观察迭代规律。

–讨论法：分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

习题及方法：1.习题一：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(x)向左平移2个单位后的函数表达式。

答案：f(x + 2) = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7解题思路：根据函数平移的规则，将函数f(x)中的x替换为x + 2，得到新的函数表达式。