函数方程与迭代

牛顿迭代法解一元多次方程的方法
牛顿迭代法是一种用来逼近函数的根的方法，可以用来解一元多次方程。

步骤：
1. 选取初始近似解x0。

2. 计算函数在x0处的函数值f(x0)和导数值f'(x0)。

3. 根据牛顿迭代法的公式，计算下一个近似解x1：
x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)
4. 如果x1与x0的差值足够小（满足预设的精度要求），则认为x1是方程的一个近似解，停止迭代。

5. 如果x1与x0的差值不满足精度要求，则将x1作为新的近
似解，回到第2步继续迭代。

重复以上步骤，直到找到方程的近似解或达到迭代次数的上限。

需要注意的是，牛顿迭代法只能找到方程的一个近似解，并且对于某些情况下会失效（如方程的根是奇异点）。

此外，初始近似解的选取也会对迭代的效果产生影响。

专题-----函数迭代利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。

一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f (n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。

如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc. 若f(x)=x 2，则f (n)(x)=x 2n.若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+aa n--11b(a ≠). 函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。

然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。

⑴观查法例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100)(m)能被1988整除。

证 因为f(x)=3x+2，所以 f (100)(x)=3100x+(399+398+…+3+1)·2， f (100)(m)=3100m+(399+398+…+3+1)·2.由于（3，1988）=1，因此（3100，1988）=1.根据裴蜀恒等式，存在正整数u ，v ，使得：1988u-3100v=1. 记n=2(399+398+…+3+1)，那么由1988 3100v-1 ,知：1988 n(3100v+1). 因此，取m=nv ，则1988 3100m+n.从而命题得证。

注 裴蜀恒等式是：设（x ，y ）=1，则存在正整数u ，v,使得 ux-vy=1.例2、 设).(.12)()(2x f x x x f n 计算-=答案： .222()(1)nnn nx f x x x =--⑵不动点求函数迭代：把f(x)写成f(x)=-21(x-3π)+3π，则 f (2)(x)=(-21)2(x-3π)+3π,f (3)(x)=(-21)3(x-3π)+3π,f (n)(x)=(-21)n (x-3π)+3π.把f(x)变形，找到了一个较易求f n (x)r 表达式。

函数方程与函数迭代函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）.【基础知识】表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中()f x 为未知函数）.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，则称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程.我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程（组）法 3.待定系数法 4.代值减元法当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.5.柯西法先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理：柯西函数方程的解定理：若()f x 是单调（或连续）函数，且满足()()()f x y f x f y +=+(,),x y R ∈则()(1).f x xf =（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.）6.递归法借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题.7.不动点法一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点.对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些.【典例精析】【例1】已知11()(),x xf x f x x--+=求().f x 〖分析〗令1,x t x -=则1,1x t =-再令1,1y t=-则1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11(),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x解：设1,x t x -=则1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11()()1,11f f x x x+=+-- ○1 设1,1t x =-则代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x--+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321().2(1)x x f x x x --+=- 〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分析所给的函数方程的特点才能达到目的.本例通过再次换元得到关于11(),(),()1x f x f f x x--的方程组，消去11(),(),1x f f x x--从而求得().f x 【例2】证明：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f ，满足条件： (1) 对所有非零实数x ，f (x )=xf (1x)；（2）对所有的x ≠－y 的非零实数对(x ,y )，有f (x )+f (y )=1+f (x +y ) 2.证明：f (x )=x +1显然适合（1）、（2）。

2.5函数迭代和函数方程一、基本知识简述 1． 函数迭代设f 是D →D 的函数，对任意D x ∈，记x x f=)()0(，定义))(()()()1(x f f x f n n =+，*N n ∈，则称函数)()(x fn 为)(x f 的n 次迭代.一些简单函数的n 次迭代如下： （1） 若a x x f +＝)(，则)()(x f n na x +＝；（2） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn x a n ＝； （3） 若ax x f ＝)(，则)()(x fn na x ＝；（4） 若axx x f +1)(＝，则)()(x f n nax x +1＝；（5） 若)1()(≠+a b ax x f ＝，则)()(x fn ab a b n x a --+-11)(＝； )()(x f n 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出)()(x fn 的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.2． 函数方程含有未知函数的方程称为函数方程，如果一个函数)(x f 对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，则称)(x f 为该方程的解.证明函数方程无解或寻求鞭解的过程就是解函数方程. 一般用以下方法：（1） 代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数.（2） 赋值法：根据所给的条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.（3） 待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法经比较系数而求解.（4） 递推法：设)(x f 是定义在整数集＊N 是的函数，如果存在一个递推关系S和初始条件1)1(a f ＝，当知道了)1(f ，,),2( f ，)(n f 的值，由S 可以惟一地确定)1(+n f 的值，递推法主要用于解决递归函数问题.二、例题1.求函数迭代后的表达式例1设11)(+-=x x x f 记fn n x f f f x f 个)])([()(=，求)(1999x f例2已知函数3)(+=x x g ，)](5[)(1x g g x f -=.记)]([)(2x f f x f =，)]([)(23x f f x f =，)]([)(1x f f x f n n -= ，则函数)(),(2x f x f ，)(3x f 的表达式依次为＿＿＿，＿＿＿＿，＿＿＿；而)(x f n 的表达式为＿＿＿＿. 2.求迭代后的函数值例3自然数k 的各位数字和的平方记为已知函数)(1x f ，且)]([)(1k f f k f n n -=，求 )11(n f （*N n ∈）的值域.例4已知函数k n f =)(，k 是循环小数0.918273645的小数点后的第n 位数字，则))]([( x f f f 的值为＿＿＿＿.例5设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)2(1)2(+-=n n n f f a ，求99a例6.在自然数集N 上定义的函数⎩⎨⎧+-=)]7([3)(n f f n n f ),1000(),1000(<≥n n 求)90(f 的值.3.解函数方程例7.已知),0,(-∞∈x 函数)(x f 满足xx f x f 51)(3)(2=-，求)(x f 的最小值及相应的x 值.［同类变式］函数)(x f 满足xx f x f 5)(3)(2=--，求)(x f例8.已知xx xx x f f +-++=-12111)(2)(，求)(x f 的表达式.例9.实数集R 上的函数)(x f y =满足：（1）22121212sin 42cos )(2)()(x a x x f x x f x x f +=-++),,(21是常数a R x x ∈ （2）1)()0(4==πf f （3）当],0[4π∈x 时，2)(≤x f 试求：（1）函数)(x f y =的解析式 （2）常数a 取值范围.4.由函数方程函数值例10.如果)()()(y f x f y x f =+，并且2)1(=f ，求)1999()2000()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ++++的值例11.定义在R 上的函数)(x f ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，若4)16(=f ，求)2003(f . 例12.若)(x f 是定义域为R 的函数，并且)(1)](1)[2(x f x f x f +=-+，32)1(+=f ，求)1997(f 的值. 三、习题 1. 若⎩⎨⎧=为无理数为有理数，x x x f ,01)( 则)]([x f f 的值 ( )(A)等于1 (B)等于0(C)可能为1，也可能为0 (D)可能是0,1以外的数2.已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f ＝ （ ） (A) x 2 (B) 12+x (C) 22+x (D) 32+x3. 已知43)(2+-=x x x f ，486950183))((234++++=x x x x x g f ,那么)(x g 的各项系数和为（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 114. 若函数)(x f ，满足)()()(y f x f y x f +=+R y x ∈,，则下列各式中不恒成立的是（ ） (A) 0)0(=f (B) )1(3)3(f f = (C) )1()(2121f f = (D) 0)()(<-x f x f5.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--=101)(x x f 000>=<x x x 定义)]([)()2(x f f x f =，)]([)()1()(x ff x f n n -=，*),2(N n n ∈≥，且)()()1(x f x f =，那么关于n 的方程0)2001()(=n f的最小下整数解为 （ ）(A) 2000 (B) 2001 (C) 2002 (D) 2003 (二)填空题6.已知函数,)(2q px x x f ++= R x q p ∈、、,又集合{}x x f x A ==)(|，{}x x f f x B ==)]([|.{}3,1-=A ，则B ＝＿＿＿＿7.已知11)(+-=x x x f ，12)(-+=bx a x x g ，且xx g f 21))((=，则a=______,b=_________.8.设函数2)1()(2+-=x x f （x ≤0）,函数)(x g 适合x x g f =)]([，则)(x g _______.9. 已知函数22)(+--=+x x a x f ，且3)]([=a f f ，则a=________.10.已知)(x f 是一次函数，且10231024)()10(+=x x f，则)(x f ＝＿＿＿＿＿11.若函数)(x f 满足条件x f x f x=-)(4)(1，则)(x f 的最小值是＿＿＿＿. 12.设)(x f y =是定义在R 上的函数，且对于任意实数a,b,有ab b af f =)]([，则)1999(f 13. 设121)(+=x x f ，而))(()(11x f f x f n n =＋，（*N n ∈），记2)0(1)0(+-=n n n f f a ，求100a(三)解答题14. 设],0[2πα∈，函数)(x f y =的定义域为[0,1],且0)0(=f ，1)1(=f ，当y x ≥时，有)()sin 1(sin )()(2y f x f f y x αα-+=+，求 （1）)(),(4121f f ； （2）α的值；（3）函数)2sin()(x x g -=α的单调递增区间.。

迭代法求方程的近似解在数学中，方程是一种重要的数学工具，它可以描述各种自然现象和数学问题。

解方程是数学学习中的基本内容之一，而求解方程的近似解是数值计算中的重要问题之一。

本文将介绍一种常用的方法——迭代法，用于求解方程的近似解。

一、什么是迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解方程的方法。

其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。

迭代法的优点在于简单易行，适用于各种类型的方程。

二、迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。

具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0作为方程的近似解。

2. 根据方程的特点，构造一个递推公式xn+1=f(xn)，其中f(x)是方程的函数表达式。

3. 通过不断迭代计算，得到xn+1的值。

4. 判断xn+1与xn之间的差距是否小于给定的精度要求，如果满足要求，则停止计算，否则返回第3步继续迭代计算。

三、迭代法的实例下面通过一个实例来说明迭代法的具体应用。

假设我们要求解方程x^2 - 2 = 0的近似解。

首先选择一个初始值x0=1作为方程的近似解。

然后，根据方程的特点，构造递推公式xn+1=(xn+2/xn)/2。

通过不断迭代计算，得到如下结果：初始值x0=1，迭代1次得到x1=1.5迭代1次得到x1=1.5，迭代2次得到x2=1.4167迭代2次得到x2=1.4167，迭代3次得到x3=1.4142迭代3次得到x3=1.4142，迭代4次得到x4=1.4142通过迭代计算，我们得到了方程x^2 - 2 = 0的近似解x≈1.4142。

可以发现，随着迭代次数的增加，近似解逐渐逼近方程的真实解。

四、迭代法的注意事项在使用迭代法求解方程的过程中，需要注意以下几点：1. 初始值的选择：初始值的选择对迭代结果有很大影响，一般需要根据方程的特点和实际情况进行选择。

2. 迭代公式的构造：迭代公式的构造需要根据方程的特点进行合理设计，以确保迭代过程的收敛性和稳定性。

函数的变换与迭代一、函数变换1.函数平移：–水平平移：f(x + a)–垂直平移：f(x) + b2.函数缩放：–水平缩放：f(ax + b)–垂直缩放：f(x) * c3.函数反射：–y = f(-x) 为关于y轴的对称–y = -f(x) 为关于x轴的对称–y = f(x) 为关于原点的对称二、函数迭代1.迭代概念：–函数迭代：将函数的结果作为输入再次输入函数中，得到新的输出。

–迭代序列：a_n = f(a_(n-1))，其中a_0为初始值。

2.迭代规律：–收敛迭代：lim(n→∞) a_n 存在，称为收敛。

–发散迭代：lim(n→∞) a_n 不存在，称为发散。

3.迭代举例：–平方迭代：a_n = a_(n-1)^2–立方迭代：a_n = a_(n-1)^3三、函数变换与迭代的应用1.几何变换：–缩放和平移在几何图形中的应用，如图形放大、缩小、平移等。

2.物理应用：–振动方程的迭代求解，如简谐振动、非线性振动等。

–电磁场的迭代计算，如麦克斯韦方程组的求解。

3.计算机科学：–迭代算法：如斐波那契数列、矩阵幂的计算等。

–分形生成：如分形树、雪花曲线等的生成。

四、中小学生的学习内容和身心发展1.学习内容：–函数的基本概念和性质。

–函数的图像和几何变换。

–函数的迭代规律和应用。

2.身心发展：–培养学生的逻辑思维能力。

–提高学生的创新意识和实践能力。

–增强学生的数学美感和审美能力。

五、教学策略和方法1.教学策略：–结合实例讲解函数变换和迭代。

–通过问题驱动，引导学生探索函数变换和迭代规律。

–注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。

2.教学方法：–讲授法：讲解函数变换和迭代的基本概念和性质。

–实践法：让学生动手实践，绘制函数图像，观察迭代规律。

–讨论法：分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

习题及方法：1.习题一：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(x)向左平移2个单位后的函数表达式。

答案：f(x + 2) = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7解题思路：根据函数平移的规则，将函数f(x)中的x替换为x + 2，得到新的函数表达式。

第四讲 函数迭代一、函数迭代的定义函数迭代：对于函数)(x f ，令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x ff x f x f f x f x f x f n n -=== ),2(N n n ∈≥，我 们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代。

思考：设)()(x f a n n =，则)(1-=n n a f a ，x a =0，)(1x f a =，转化为数列递推。

若()f x x c =+，则()n f x =若3()f x x =，则()()n f x =若()f x ax b =+，则()()n fx = 例1 已知()f x 为一次函数，且 (10)10241023f x x =+，求()f x 的解析式例2 ()f n 是定义在N +上的函数，并且满足（1）(())49f f n n =+,n N +∈;（2）{}1(2)23,0k k f k N ++=+∈⋃求(1789)f 的值例3 ()32,f x x =+证明：存在m N +∈，使(100)()fm 也能被2005整除例4 设n 是不小于3的正整数，以()f n 表示不是n 的因数的最小正整数（例如(12)5f =）.如果()3,f n ≥又可作(())f f n ，类似的如果(())3f f n ≥，又可作((()))f f f n 等等.如果()()2k f n =,就将k 称为n 的“长度”，记为n l .试对任意,3,n N n +∈≥求n l ，并证明二、()()n f x 的求法（1）数学归纳法步骤：①当0n n =时，命题成立；②设0()n k k n =≥时命题成立，可推出1n k =+命题仍然成立，则对于一切 0n n ≥的任何整数，都有命题成立例5 若()f x ax b =+，用数学归纳法求()()n f x例6 已知(),x f x a bx=+求()()n f x（2）递归法递归法：设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知且0,a D ∈1(),1n n a f a n -=≥.一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)12()()n n n a f a f a --===…()0()n f a =，即{}n a 的通项公式；另一方面，如果如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0,(),n a x a g x ==而1()n n a f a -==…()()0()()n n f a f x =，从而()()(),n f x g x =即()()n f x 的表达式由上述原理知，可通过构造数列的方法求函数的n 次迭代，其步骤为①设()0,();n n a x a f x ==②由()1()(),n n n a f x f a -==求出0()n a g a =；③()0()()()n f x g a g x ==尝试用递归法解答例1、例2例7设()1)1f x x =++，求()()n f x（3）相似法若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得 1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们称()f x 与()g x 相似，记~f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数.相似关系是一个等价关系，满足①~f f (自身性)；②若~f g ，则~g f （对称性）；③若~,~f g g h ，则~f h若1()((()))f x g x ϕϕ-=，则()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=（自己证明）例8若()f x ax b =+，用相似法求()()n f x例9设()1x f x ax=+，求()()n f x例10 设2()21,[1,1]f x x x =-∈-求()()n f x （提示：2cos 22cos 1x x =-，且cos y x =的反函数为arccos y x =）例11 求一个函数()p x ，使得82()2p x x x =+.（4）不动点法定义：方程()f x x =的根称为()f x 的不动点.性质：（1）若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点;（2）设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=.若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，0()x ϕ是()g x 的不动点小提示：利用不动点，把一些简单的函数先变形再迭代，最后用数学归纳法证之.例12 设()f x =()()n f x利用不动点寻找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映射成g 的不动点0()x ϕ.通常为了求()()n g x ，()g x 通常取23,,,ax x a ax ax +等，这时()g x 的不动点为0或∞，此时若()f x 只有唯一不动点α，则可考虑取()x x ϕα=-或1x α-，这时()0(ϕα=或∞)；若()f x 有两个不动点α、β，则可考虑取()x x x αϕβ-=-，此时()0ϕα=，()ϕβ=∞. 例13 设2()21x f x x =-，求()()n f x .三、函数迭代在竞赛中的应用例14 M 是形如()(,)f x ax b a b R =+∈的实变量x 的非零函数集，且具有下列相纸：（1）若(),(),f x g x M ∈则(())g f x M ∈；（2）若,f M ∈则1(0)f M a -∈≠；（3）对M 中每一个f ，存在一个,i x R ∈使()i i f x x =；求证：总存在一个k ∈R ，对所有的,f M ∈均有()f k k =例15 设:f N N ++→，且对每个n N +∈，均有(1)(())f n f f n +>求证：每个正整数均为f 的不动点.。