人教A版高中数学选修一高中选修1-1《§3.3.2函数的极值与导数》测试题(文科).docx

注意：导数为0的点不一定是极值点．
例题
1．求()31443
f x x x =-+的极值 填写下表并求极值 x (–∞, –2)
–2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) '()f x
f (x )
探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
2．求y =(x 2－1)3+1的极值
检测题
1．函数y =f (x )的导数y /与函数值和极值之间的关系为( )
A 、导数y /由负变正,则函数y 由减变为增,且有极大值
B 、导数y /由负变正,则函数y 由增变为减,且有极大值
C 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极小值
D 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极大值
2．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ．
3．求下列函数的极值:
（1）2()62f x x x =-- （2）3()27f x x x =- 作业题
1．已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1，
(1)试求常数a 、b 、c 的值；
(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
★2．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求,a b 的值，并求出()f x 的单调区间．
★★3.已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040
C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生
产多少件产品？。

函数的极值与导数填一填1.若函数 y＝ f(x)在点 x＝ a 的函数值 f(a)比它在点 x＝ a 邻近其余点的函数值都小， f′ (a) ＝ 0，并且在点 x＝ a 邻近的左边 f ′ (x)<0，右边 f′ (x)>0. 近似地，函数 y＝ f(x)在点 x＝ b 的函数值f(b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，f′ (b)＝ 0 ，并且在点x＝ b 邻近的左边f′ ( x)>0 ，右边 f′ (x)<0.我们把点 a 叫做函数y＝ f(x)的极小值点，f( a)叫做函数 y＝ f( x)的极小值；点 b 叫做函数y ＝f( x)的极大值点， f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．极值反应了函数在某一点邻近的大小状况，刻画的是函数的局部性质．2．函数的极值点是导数为零的点，导数为零的点不必定 (填“必定”或“不必定” ) 是函数的极值点．3．一般地，求可导函数f(x)的极值的方法是：解方程 f′ (x) ＝0.当 f′ (x0 )＝0 时：(1)假如在 x0邻近的左边f′ (x)>0，右边 f′ (x)<0 ，那么 f(x0)是极大值；(2)假如在 x0邻近的左边f′ (x)<0，右边 f′ (x)>0 ，那么 f(x0)是极小值；(3)假如 f′ (x)在点 x0的左右双侧符号不变，则f(x0)不是极值 .判一判1.极大值必定比极小值大．(× )分析：由函数的图象简单得出函数的极大值可能比极小值还小，故错误．2．导数值为0 的点必定是函数的极值点．(× )分析：导数值为0 的点不必定是函数的极值点，还要看在这一点左右导数的正负状况，故错误．π3．函数 f(x)＝x＋ 2cos x 在 [0，π]上的极小值点为6.(× )5π分析：因为 f(x)＝ x＋ 2cos x，所以 f′ (x)＝ 1－ 2sin x，令 f′ (x)＝0，得 x＝π5π5π6或 x＝6，由ππf′ ( x)<0 可得6<x<6；由 f′ (x)>0 可得 0≤ x<6或π≥ x> 6，所以函数 f(x)＝ x＋ 2cos x 在区间π 5ππ5π6，6上为减函数，在区间0，6和区间 6 ，π上均为增函数，所以函数f(x)＝ x＋ 2cos x 的5π极小值点为6 .4．函数 f(x)＝x3－3x 的极小值为 2.(× )分析： f′ (x)＝ 3x2－ 3，令 f′ (x)＝ 0，得 x＝±1，当 x<－1或 x>1 时， f′ (x)>0 ，当－ 1< x<1时， f′ (x)<0 ，所以当 x＝ 1 时，函数 f(x)取极小值，且极小值是f(1) ＝ 13－ 3× 1＝－ 2.想想1.怎样认识极值？提示： (1)函数的极值是一个局部性的观点，是仅对某一点的左右双侧地区而言的，极值点是区间内部的点而不是端点．(2)函数 f( x)在某区间内有极值，那么函数f( x)在该区间内必定不是单一函数，即在区间上的单一函数没有极值．2．怎样认识函数取极值的条件？提示： (1) 可导函数的极值点是导函数为0 的点，但导数为0 的点不必定是极值点，即 “ 函数 y ＝ f(x)在一点的导数值为0 是函数y ＝f(x)在这点获得极值的必需条件，不是充足条件．”(2)可导函数y ＝ f(x)在点x 0 处获得极值的充要条件是f ′ (x 0) ＝0，且在点 x 0 左边和右边的f ′ ( x)的符号不一样．假如在x 0 的双侧 f ′ (x)的符号相同，那么 x 0 不是函数 y ＝ f(x)的极值点．3．怎样认识函数的极值点？提示： (1) 函数 y ＝f(x)在某区间内有极值，它的极值点的散布是有规律的，相邻的两个极大值点之间必有一个极小值点，相同相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． (2)当函数y ＝f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数y ＝ f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的．(3)从曲线的切线角度看， 曲线在极值点处的切线斜率为0，并且曲线在极大值左边切线的斜率为正，右边为负；曲线在极小值点的左边的斜率为负，右边为正．思虑感悟：练一练1．已知 a 为函数 f(x) ＝ x 3－12x 的极大值点，则 a ＝ ()A ．－ 4B ．－ 2C ．4D ．2分析： f ′ (x)＝3x 2－ 12＝ 3(x ＋ 2)(x － 2)，令 f ′ (x)＝ 0 得 x ＝－ 2 或 x ＝ 2，易得 f(x) 在 (－ ∞，－ 2)上单一递加，在 (－2,2)上单一递减，故 f(x)的极大值点为－ 2，即 a ＝－ 2，应选 B. 答案：B2．设函数 f(x)＝ xe x ，则 ( ) A ． x ＝ 1 为 f(x)的极大值点 B ． x ＝ 1 为 f(x)的极小值点 C ． x ＝－ 1 为 f( x)的极大值点 D ． x ＝－ 1 为 f( x)的极小值点分析：由题意得 f ′(x)＝ e x (x ＋ 1)，令 f ′ (x)>0，得 x>－ 1；令 f ′ (x)<0 ，得 x<－ 1，所以 f(x)在(－∞ ，－ 1) 上单一递减，在 (－ 1，＋ ∞ )上单一递加，所以 x ＝－ 1 为 f(x)的极小值点．应选 D.答案： Dx 2＋ a a ＝________. 3．若函数 在 x ＝1 处取极值，则f(x)＝ x ＋ 12x x＋ 1 － x2＋a x2＋ 2x－ a 分析： f′ (x)＝x＋ 1 2＝x＋1 2.∵f ′ (1)＝ 0，∴1＋ 2－a＝ 0，∴a＝ 3.4答案： 34．已知函数 f(x)＝ 2xln x－ x2＋ 2ax，此中 a>0， g(x)是 f(x)的导函数，则函数g(x)的极大值为 ________．2－2x 分析：由题可得 g(x)＝ f ′(x)＝2ln x＋ 2－ 2x＋2a(x>0)，则 g′(x)＝(x>0) ，易得函数xg(x) 在(0,1) 上单一递加；在 (1，＋∞ ) 上单一递减，所以函数g(x)的极大值为g(1)＝ 2a.答案： 2a知识点一函数极值的观点1.对于函数的极值，以下说法正确的选项是()A．导数为零的点必定是函数的极值点B．函数的极小值必定小于它的极大值C． f( x)在定义域内最多只好有一个极大值一个极小值D．若 f(x)在区间 (a， b)内有极值，那么f( x)在 (a，b)内不是单一函数分析：易知选项 A ， B， C 均不正确．对于 D ，不如设x0是 f(x)在区间 (a，b)内的极小值点，则在x0邻近，当x<x0时， f(x)>f(x0)，当 x>x0时， f(x)> f(x0) ，故在 x0邻近函数f(x)不但一，即 f(x)在区间 (a， b)内不是单一函数，应选 D.答案： D2．以下四个函数中，能在x＝ 0 处获得极值的是()①y＝x3；② y＝ x2＋ 1；③ y＝ cos x－ 1；④ y＝2x. A ．①② B ．②③C．③④ D ．①③分析：①④ 为单一函数，不存在极值．答案： B知识点二求函数的极值3.函数 y＝ x3－ 3x2－ 9x(－ 2<x<2) 的极值状况是 ()A ．极大值为 5，极小值为－ 27B．极大值为 5，极小值为－ 11C．极大值为 5，无极小值D．极小值为－ 27，无极大值分析： y′＝ 3x2－6x－ 9＝ 3(x＋ 1)(x－ 3)，令 y′＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 3.当－ 2< x<－ 1 时， y′ >0；当－ 1< x<2 时， y′ <0.所以当 x＝－ 1 时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．答案： C4．函数 f(x)＝－11取极小值时， x 的值是 () 3x3＋ x2＋ 2x2A．2 B．2，－ 1C．－ 1 D．－3分析：f′( x)＝－ x2＋ x＋ 2＝－ (x＋ 1)(x－ 2)，则知在区间 (－∞，－1) 和 (2，＋∞ )上，f′(x)<0 ，在区间 (－ 1,2)上， f′ (x)>0，故当 x＝－ 1 时， f(x)取极小值．答案： C5．已知函数f(x)＝ x4＋ 9x＋ 5，则 f(x)的图象在 (－ 1,3)内与 x 轴的交点的个数为________．分析：因为 f′ (x)＝ 4x3＋ 9，当 x∈ (－1,3)时， f′ (x)>0 ，所以 f(x)在 (－ 1,3)上单一递加．又f(－ 1)＝－ 3<0 ， f(0)＝ 5>0，所以 f( x)在 (－ 1,3)内与 x 轴只有一个交点．答案： 1知识点三已知函数极值求参数6.若函数 y＝－ x3＋ 6x2＋ m 的极大值等于13，则实数 m 等于 ________．分析： y′＝－ 3x2＋12x，由 y′＝0，得 x＝ 0 或 x＝ 4，易得出当 x＝ 4 时函数获得极大值，所以－ 43＋6× 42＋ m＝ 13，解得 m＝－ 19.答案：－ 197．若函数 f(x)＝ 2x3－ 6x＋ k 在 R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．分析： f(x)＝ 2x3－6x＋ k，则 f ′ (x)＝ 6x2－ 6，令 f ′ (x)＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 1，可知 f(x)在 (－ 1,1)上是减函数，f(x)在 (－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上是增函数，f(x)的极大值为f(－ 1)＝ 4＋ k，f(x)的极小值为f(1)＝－ 4＋ k.要使函数f(x) 只有一个零点，只要 4＋ k<0 或－ 4＋ k>0( 以下图 )，即 k<－ 4 或 k>4.∴k 的取值范围是(－∞，－ 4)∪ (4，＋∞ )．8．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋a2在 x＝1 处取极值10，求 f(2) 的值．分析： f′ (x)＝3x2＋ 2ax＋ b.f 1 ＝ 10，a2＋ a＋b＋ 1＝ 10，由题意，得即f′ 1 ＝ 0，2a＋b＋ 3＝ 0，a＝ 4，a＝－ 3，解得或b＝－ 11b＝ 3.11当 a＝ 4， b＝－ 11 时，令 f′ (x)＝ 0，得 x1＝ 1， x2＝－3 .当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化状况以下表：111111 1(1，＋∞ )x －∞，－ 3－ 3－ 3 ， 1f ′ (x) ＋0 －0 ＋f(x)Z 极大值]极小值Z明显函数 f(x) 在 x ＝ 1 处取极小值，切合题意，此时f(2)＝ 18.当 a ＝－ 3，b ＝ 3 时， f ′ (x)＝ 3x 2－ 6x ＋ 3＝ 3(x － 1)2≥ 0，∴f(x)没有极值，不切合题意．综上可知 f(2) ＝ 18.基础达标一、选择题1．函数 f(x)的定义域为 R ，导函数 f ′ (x)的图象如图，则函数 f( x)( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点分析： 设函数图象与 x 轴的交点从左到右挨次为a ，b ，c ，d ；函数的单一性以下：(－ ∞，a)增， (a ， b)减， ( b ，c)增， (c ， d)减， (d ，＋ ∞ )增，所以在 x ＝ a ，x ＝ c 处获得极大值，在x＝ b ， x ＝d 处获得极小值，所以有两个极大值点，两个极小值点，故C 正确．答案： C2．已知函数 f(x)， x ∈ R ，且在 x ＝ 1 处， f(x)存在极小值，则 ( )A ．当 x ∈ ( －∞， 1)时， f ′ (x)>0；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′(x)<0B ．当 x ∈ (－∞， 1)时， f ′ (x)>0 ；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′ (x)>0C ．当 x ∈ (－∞， 1)时， f ′ (x)<0 ；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′ (x)>0D ．当 x ∈ ( －∞， 1)时， f ′ (x)<0；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′(x)<0分析： ∵ f(x)在 x ＝ 1 处存在极小值， ∴ x<1 时， f ′(x)<0 ，x>1 时， f ′ (x)>0. 应选 C.答案： C13．函数 f(x)＝x ＋ x 在 x>0 时有() A ．极小值 B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在分析： ∵ f ′ (x)＝ 1－ x 12，由 f ′ (x)>0 ，2019-2020学年数学人教A 版选修1-1同步检测：3.3.2函数的极值与导数Word 版含解析得 x>1 或 x<－1，又 ∵ x>0， ∴ x>1.f ′ x <0， 由得 0< x<1，即在 (0,1)内 f ′ (x)<0，x>0.在(1 ，＋ ∞ )内 f ′ (x)>0，∴f(x)在 (0，＋ ∞ )上有极小值．应选 A.答案： A4．函数 f(x)的定义域为 区间 (a ， b)内有极小值点 (A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个(a ，b)，导函数)f ′ (x)在 (a ，b)内的图象以下图，则函数f(x) 在开分析： f(x)的极小值点左边有f ′(x)<0 ，极小值点右边有f ′ (x)>0 ，所以由 f ′ (x)的图象知只有 1 个极小值点．应选A.答案： A5．已知函数 f(x)＝ ax 3＋ bx 2＋ 1 在 x ＝ 1 处获得极大值 3，则 f(x)的极小值为 ( )A ．－ 1B ．0C ．1D ．2分析： 由题意知 f(1) ＝ a ＋ b ＋ 1＝3，即 a ＋b ＝ 2.① 因为 f ′( x)＝ 3ax 2＋ 2bx ， f ′ (1)＝ 0， 所以 3a ＋ 2b ＝ 0.②由①② 得 a ＝－ 4， b ＝6.所以 f ′( x)＝－ 12x 2＋ 12x ＝ 0， 解得 x ＝ 0 或 x ＝ 1.易知在 x ＝ 0 处 f(x)取极小值 1.应选 C. 答案： C6．函数 f(x)＝x 3－3bx ＋ 3b 在(0,1) 内有且只有一个极小值，则 ()A ． 0<b<1B ．b<11C ． b>0D ． b<2分析： f ′ (x)＝3x 2－ 3b ，要使 f(x)在 (0,1)内有极小值，则f ′ 0 <0 － 3b<0 f ′ 1 >0，即，3－ 3b>0解得 0<b<1.应选 A.答案： A7．已知 f(x)＝x 3＋ax 2 ＋(a ＋ 6)x ＋ 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ()A ．－ 1<a<2B ．－ 3< a<2C ． a<－ 1 或 a>2D ． a<－ 3 或 a>6 分析： ∵ f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋a ＋ 6，∴f ′ (x)的图象是张口向上的抛物线，只有当＝4a 2－ 12(a ＋ 6)>0 时，图象与 x 轴的左交点双侧 f ′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右双侧 f ′ (x)的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．∴4a 2 －12(a ＋ 6)>0 得 a>6 或 a<－3.应选 D.答案： D 二、填空题8．函数 f(x)＝3x 2＋ ln x － 2x 的极值点的个数是 ________个．分析： f ′ (x)＝ 6x ＋1－ 2＝ 6x 2－ 2x ＋ 1 －2x ＋ 1＝ 0，该方程无解，因 x，由 f ′ (x)＝ 0 可得 6x 2x此函数 f(x)＝ 3x 2＋ ln x － 2x 无极值点．答案： 09．已知函数 f(x)＝ 2ln x － x 2，则函数 f(x)的极大值为 ________．分析： 因为 f(x)＝ 2ln x － x 2，所以 f ′( x)＝ 2 1＋ x 1－ x x (x>0) ．当 0< x<1 时， f ′ (x)>0 ， f(x)单一递加；当 x>1 时， f ′ (x)<0 ， f(x) 单一递减．故当 x ＝ 1 时， f(x)取极大值 f(1) ＝－ 1. 答案： －110．函数 f(x) ＝ax 3＋ bx 在 x ＝1 处有极值－ 2，则 a 、 b 的值分别为 ________、 ________. 分析： 因为 f ′ (x)＝ 3ax 2＋ b ，所以 f ′(1) ＝ 3a ＋ b ＝ 0. ①又 x ＝ 1 时有极值－ 2，所以 a ＋ b ＝－ 2. ②由①② 解得 a ＝ 1， b ＝－ 3. 答案： 1－311．设 a ∈ R ，若函数 y ＝e x ＋ ax ，x ∈ R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是 ________．分析： 因为 y ＝ e x ＋ ax ，x ∈ R ，所以 y ′＝ e x ＋ a ，由题意知， e x ＋ a ＝ 0 有大于 0 的实根，可得 a ＝－ e x ，因为 x>0 ，所以 e x >1，所以 a<－ 1.答案： (－∞，－ 1)12．函数 f(x)＝ x 3－ 3a 2x ＋ a(a>0) 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．分析： ∵ f ′ (x)＝ 3x 2－ 3a 2 (a>0)，∴ f ′ (x)>0 时得： x>a 或 x<－ a ，f ′ (x)<0 时，得－ a<x<a.∴当 x ＝ a 时， f(x)有极小值， x ＝－ a 时， f(x)有极大值．a 3－ 3a 3＋ a<0，2－ a 3＋ 3a 3＋ a>0 ，解得 a> 由题意得：2 .a>0答案：2，＋∞2三、解答题13． 求以下函数的极值． (1)f(x)＝ x 3－ 12x ；－x .(2)f(x)＝ xe分析： (1) 函数 f(x)的定义域为 R . f ′ (x)＝ 3x 2－ 12＝3(x ＋2)( x － 2)． 令 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝－ 2 或 x ＝ 2.当 x 变化时， f ′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x (－∞，－ 2)－2 (－ 2,2)2 (2 ，＋∞ )f ′ (x) ＋0 －0 ＋f(x)Z 极大值] 极小值Z从表中能够看出，当x ＝－ 2 时，函数 f(x)有极大值，且 f( － 2)＝(－2) 3－ 12× (－ 2)＝ 16；当 x ＝ 2 时，函数 f( x)有极小值， 且 f(2)＝ 23－ 12×2＝－ 16. (2)f ′ (x)＝(1 －x)e－x.令 f ′ (x)＝ 0，解得 x ＝ 1.当 x 变化时， f ′ (x)， f(x)的变化状况以下表：x (－∞， 1)1 (1，＋∞ )f ′(x) ＋ 0 －f(x)Z 极大值 ]1函数 f(x)在 x ＝ 1 处获得极大值 f(1) ，且 f(1) ＝ e . 14．已知函数 f(x)＝ x(x ＋ a)－ ln x ，此中 a 为常数． (1)当 a ＝－ 1 时，求 f(x)的极值；1，1 内的单一函数，务实数a 的取值范围．(2)若 f(x)是区间 2分析： (1) 当 a ＝－ 1 时， f ′ (x)＝ 2x － 1－1＝ 2x 2－ x － 1 2x ＋ 1 x －1 ( x>0) ， x ＝x x所以 f(x)在区间 (0,1) 上单一递减，在 (1，＋ ∞ )上单一递加，于是 f(x)有极小值 f(1) ＝ 0，无极大值．1 1 (2)易知 f ′ (x)＝ 2x ＋ a － x 在区间 2， 1 上单一递加，11又由题意可得 f ′(x)＝ 2x ＋ a － x ＝0 在 2， 1 上无解．1即 f ′ 2 ≥ 0 或 f ′ (1) ≤ 0，解得 a ≥ 1 或 a ≤ － 1，即 a 的取值范围为 (－ ∞ ，－ 1]∪ [1，＋ ∞).能力提高15.设函数 f(x) ＝x 3－ 9x 2＋ 6x － a.2(1)对于随意实数 x ， f ′ (x)≥ m 恒建立，求 m 的最大值； (2)若方程 f(x)＝ 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围． 分析： (1)f ′ (x)＝ 3x 2－ 9x ＋ 6.因为 x ∈ (－ ∞ ，＋ ∞ )， f ′ (x)≥ m ， 即 3x 2－9x ＋ (6－ m)≥ 0 恒建立，3所以＝ 81－ 12(6－m)≤ 0，解得 m ≤ － 4，3即 m 的最大值为－ 4.(2)因为当 x<1 时， f ′ (x)>0；当 1< x<2 时， f ′ (x)<0 ；当 x>2 时， f′ (x)>0.5所以当 x＝ 1 时， f(x)取极大值f(1) ＝2－ a；当 x＝ 2 时， f(x)取极小值 f(2)＝ 2－a，故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时， f(x)＝ 0 仅有一个实根．解得a<25或 a>2.16．已知函数f(x)＝ (x－ a)2(x－ b)(a， b∈ R， a<b)．(1)当 a＝ 1， b＝ 2 时，求曲线y＝ f(x)在点 (2 ，f(2)) 处的切线方程；(2)设 x1， x2是 f(x)的两个极值点，x3是 f(x)的一个零点，且x3≠ x1， x3≠ x2.证明：存在实数x4，使得 x1，x2， x3，x4按某种次序摆列后组成等差数列，并求x4.分析： (1) 当 a＝ 1， b＝ 2 时， f(x)＝ (x－ 1)2(x－ 2)，因为 f′( x)＝ (x－ 1)(3x－ 5)，故 f ′ (2)＝ 1，又 f(2) ＝ 0，所以 f(x)在点 (2,0)处的切线方程为y＝ x－ 2.(2)证明：因为 f′ (x)＝ 3(x－ a) x－a＋ 2b，3因为 a<b，故 a<a＋ 2b3，所以 f(x)的两个极值点为x＝ a， x＝a＋ 2b3.不如设 x1＝ a， x2＝a＋ 2b3，因为 x3≠ x1， x3≠ x2，且 x3是 f(x)的零点，故 x3＝ b.a＋ 2b a＋ 2b又因为3－ a＝ 2 b－3，1a＋ 2b2a＋ bx4＝2a＋3＝3，2a＋b a＋ 2b此时 a，3，3， b 挨次成等差数列，x4知足题意，且x4＝2a＋ b所以存在实数3.。

第三章 导数及其应用3.3.2 函数的极值与导数（练案）考试要求1. 熟练掌握求函数极值的方法，并能够熟练求函数极值；2. 根据函数极值和导数的关系，解决与函数极值有关的综合问题.基础训练一、选择题：1.关于函数的极值,下列说法正确的是 ( )A.导数为0的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.)(x f 在定义域内最多只能有一个极大值,一个极小值D.若)(x f 在),(b a 内有极值,那么)(x f 在),(b a 内不是单调函数.2.)(21)(x x e e x f -+=的极小值为 ( )A.1B.-1C.0D.不存在3.函数3239(22)y x x x x =---<<有 ( )A.极大值为5,极小值为-27B.极大值为5,极小值为-11C.极大值为5,无极小值D.极大值为-27,无极小值4.方程076223=+-x x 在区间（0,2）内的根的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题：3239(22)y x x x x =---<<5.12)(2+--=x x x f 有极 值是 .6.x x x f 27)(3-=极小值是 ，极小值是 .7.设函数a ax ax ax x f ---=23)()()(在1=x 处取得极大值，则______=a .8.已知函数33)(23++=ax x x f 1)2(++x a 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：9.求极大值[]5,4,48)(3-∈-=x x x x f .10.已知函数c bx ax x x f +++=23)(,当1-=x 时,)(x f 的极大值为7；当3=x 时,)(x f 有极小值.求(1)c b a ,,的值；(2)函数)(x f 的极小值.练后反思。

第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。

第三章导数及其应用导数在研究函数中的应用函数的极值与导数级基础巩固一、选择题．可导“函数＝()在一点的导数值为”是“函数＝()在这点取得极值”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：对于()＝，′()＝，′()＝，不能推出()在＝处取极值，反之成立．答案：．已知可导函数()，∈，且仅在＝处，()存在极小值，则( )．当∈(－∞，)时，′()＞；当∈(，＋∞)时，′()＜．当∈(－∞，)时，′()＞；当∈(，＋∞)时，′()＞．当∈(－∞，)时，′()＜；当∈(，＋∞)时，′()＞．当∈(－∞，)时，′()＜；当∈(，＋∞)时，′()＜解析：因为()在＝处存在极小值，所以＜时，′()＜，＞时，′()＞.答案：．函数＝－－(－＜＜)有( )．极大值，极小值－．极大值，极小值－．极大值，无极小值．极小值－，无极大值解析：由′＝－－＝，得＝－或＝，当＜－或＞时，′＞；当－＜＜时，′＜.故当＝－时，函数有极大值；取不到，故无极小值．答案：．已知()＝＋＋(＋)＋有极大值和极小值，则的取值范围为( )．－＜＜．－＜＜．＜－或＞．＜－或＞解析：′()＝＋＋(＋)，因为()既有极大值又有极小值，那么Δ＝()－××(＋)＞，解得＞或＜－.答案：．设∈，若函数＝＋，∈有大于零的极值点，则( )．＞－．＜－．＜－．＞－解析：′＝＋＝，＝－，因为＞，所以＞，即－＞，所以＜－.答案：二、填空题．函数()＝－＋的极大值为，极小值为．解析：′()＝－令′()＝，得＝－或＝，所以()极大值＝(－)＝＋，()极小值＝()＝－.答案：＋，－.．已知函数＝＋＋＋在＝－处取极大值，在＝处取极小值，则＝，＝．解析：′＝＋＋，根据题意知，－和是方程＋＋＝的两根，由根与系数的关系可求得＝－，＝－.经检验，符合题意．答案：－－．已知函数()＝＋＋，其导函数＝′()的图象经过点(，)，(，)，如图所示．则下列说法中不正确的是．①当＝时，函数取得极小值；②()有两个极值点；③当＝时，函数取得极小值；④当＝时，函数取得极大值．解析：由图象可知当∈(－∞，)时，′()>；当∈(，)时，′()<；当∈(，＋∞)时，′()>，所以()有两个极值点和，且当＝时，函数取得极小值，当＝时，函数取得极大值．故只有①不。

3.3.2函数的极值与导数双基达标（限时20分钟）1．下列函数存在极值的是()．A．y＝1x B．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3解析A中f′(x)＝－1x2，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲函数，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－e x，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值，D也无极值．故选B.答案 B2．函数y＝1＋3x－x3有()．A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3解析f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0可得x1＝1，x2＝－1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)＝3，极小值为f(－1)＝1－3＋1＝－1，故选D.答案 D3．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()．A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． 答案 C4．设方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则常数k 的取值范围是________． 解析 设f (x )＝x 3－3x －k ，则f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＝0得x ＝±1，且f (1)＝－2－k ，f (－1)＝2－k ，又f (x )的图象与x 轴有3个交点，故⎩⎨⎧2－k >0，－2－k <0，∴－2<k <2.答案 (－2，2)5．已知函数y ＝x 2x －1，当x ＝________时取得极大值________；当x ＝________时取得极小值________．解析 y ′＝(x 2x －1)′＝（x 2）′（x －1）－x 2（x －1）′（x －1）2＝x 2－2x （x －1）2.y ′＞0⇒x ＞2，或x ＜0，y ′＜0⇒0＜x ＜2，且x ≠1，∴y ＝x 2x －1在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2处取得极小值4. 答案 0 0 2 46．已知a <2，函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )e x . (1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )的极大值是6·e －2，求a 的值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x ， ∴f ′(x )＝(x 2＋3x ＋2)e x .令f ′(x )≥0，由e x >0得x 2＋3x ＋2≥0， 解得x ≤－2或x ≥－1，∴f(x)的增区间是(－∞，－2]，[－1，＋∞)．(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]e x.令f′(x)＝0得x＝－2或x＝－a，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况列表如下：x (－∞，－2)－2(－2，－a)－a (－a，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x＝－2时，f(x)取得极大值．而f(－2)＝(4－a)·e－2，∴(4－a)e－2＝6·e－2，∴a＝－2.综合提高（限时25分钟）7．函数f(x)＝2x3－6x2－18x＋7()．A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47D．以上都不对解析f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x )，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17；当x＝3时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47.答案 A8．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()．A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x解析 三次函数过原点，可设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， 则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题设有⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2b ＋c ＝0，f ′（3）＝27＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)·(x －3)．当x ＝1时，函数f (x )取得极大值4，当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件． 答案 B9．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)10．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________，极小值为________．解析 ∵y ′＝3x 2－6，令y ′＝0，得x ＝±2，当x ＜－2或x ＞2时，y ′＞0；当－2＜x ＜2时，y ′＜0，∴函数在x ＝－2时取得极大值a ＋42，在x ＝2时取得极小值a －4 2. 答案 a ＋42 a －4 211．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时函数有极大值3， (1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值．解 (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′＝3a ＋2b ＝0，又y ＝a ＋b ＝3，即⎩⎨⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9.经检验，x ＝1是极大值点，符合题意，故a ，b 的值分别为－6，9.(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ， 令y ′＝0，得x ＝0或x ＝1.∴当x ＝0时，函数y 取得极小值0.12．(创新拓展)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1，4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． 解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ， 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋(2b －9)x ＋c ＝0的两个根 分别为1，4，∴⎩⎨⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎨⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12，又因为曲线y ＝f (x )过原点， 所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，∵f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点， ∴f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立． 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a ， 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)． 解⎩⎨⎧a >0，Δ＝9（a －1）（a －9）≤0.得a ∈[1，9]，即a 的取值范围为[1，9]．。

第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x ＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则() A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1e D．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A 二、填空题6．函数f (x )＝x 3－6x ＋a 的极大值为________，极小值为________．解析：f ′(x )＝x 2－6令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2， 所以f (x )极大值＝f (－2)＝a ＋42， f (x )极小值＝f (2)＝a －4 2. 答案：a ＋42，a －4 2.7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则实数a ＝______．解析：由题意知f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3. 答案：38.如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________(填序号)．解析：从图象知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12时f ′(x )＞0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内不单调，同理，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内也不单调，故①②均不正确；当x ∈(4，5)时，f ′(x )＞0，所以函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增，故③正确；由于f ′(2)＝0，并且在x ＝2的左、右两侧的附近分别有f ′(x )＞0与f ′(x )＜0，所以当x ＝2时函数取得极大值，而在x ＝－12的左、右两侧的附近均为f ′(x )＞0，所以x ＝－12不是函数的极值点，即④⑤均不正确．答案：③ 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R. f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝13×(－1)3－12×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0得x ＝±1，可知f (x )在x ＝±1处取得极值．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1， 所以在区间(－3，2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19. 由题设知在区间(－3，2]上f (x )max －f (x )min ≤t ， 从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 答案：A2．已知函数f (x )＝1＋ln x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋23(a ＞0)上存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′ (x )＝1－（1＋ln x ）x 2＝－ln xx2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时．f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 所以x ＝1是函数f (x )的极大值点．又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋23(a ＞0)上存在极值，所以a ＜1＜a ＋23，解得13＜a ＜1，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0，即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。

3.3.2 函数的极值与导数 课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧__________，右侧__________．我们把点a 叫做函数y ＝f (x )的____________，f (a )叫做函数y ＝f (x )的__________；点b 叫做函数y ＝f (x )的________________，f (b )叫做函数y ＝f (x )的__________．极小值点、极大值点统称为__________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在____________________的大小情况，刻画的是函数的________性质．2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．3．一般地，求可导函数f (x )的极值的方法是：解方程f ′(x )＝0.当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧__________，右侧__________，那么f (x 0)是__________；(2)如果在x 0附近的左侧__________，右侧__________，那么f (x 0)是__________；(3)如果f ′(x )在点x 0的左右两侧符号不变，则f (x 0)____________．一、选择题1. 函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点2．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则( )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<03．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( ) A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在4．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <12 6．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( )A ．－1<a <2B ．－3<a <2C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______. 8．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x e －x .11．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a . (1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．能力提升12．已知函数f (x )＝(x －a )2(x －b )(a ，b ∈R ，a <b )．(1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个极值点，x 3是f (x )的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．3．3.2 函数的极值与导数答案知识梳理1．f ′(x )<0 f ′(x )>0 f ′(x )>0 f ′(x )<0 极小值点 极小值 极大值点 极大值 极值点 极值 某一点附近 局部2．导数为零 不一定3．(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 极大值 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 极小值 (3)不是极值 作业设计1．C2．C [∵f (x )在x ＝1处存在极小值，∴x <1时，f ′(x )<0，x >1时，f ′(x )>0.]3．A [∵f ′(x )＝1－1x 2，由f ′(x )>0， 得x >1或x <－1，又∵x >0，∴x >1.由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )<0，x >0.得0<x <1，即在(0,1)内f ′(x )<0， 在(1，＋∞)内f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有极小值．]4．A [f (x )的极小值点左边有f ′(x )<0，极小值点右边有f ′(x )>0，因此由f ′(x )的图象知只有1个极小值点．]5．A [f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3b <03－3b >0， 解得0<b <1.]6．D [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交点两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．∴4a 2－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3.]7．3解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2. ∵f ′(1)＝0，∴1＋2－a 4＝0，∴a ＝3. 8．1 －3解析 因为f ′(x )＝3ax 2＋b ，所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0. ①又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2. ②由①②解得a ＝1，b ＝－3.9.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴f ′(x )>0时得：x >a 或x <－a ，f ′(x )<0时，得－a <x <a . ∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0.a >0解得a >22. 10．解 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当2)＝16； 当x ＝2时，函数f (x )有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16.(2)f ′(x )＝(1－x )e －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当x函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝1e. 11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6.因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34， 即m 的最大值为－34. (2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ； 当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52. 12．(1)解 当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2(x －2)，因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)，故f ′(2)＝1，又f (2)＝0，所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2.(2)证明 因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b 3)， 由于a <b ，故a <a ＋2b 3， 所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b 3. 不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b 3， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点，故x 3＝b .又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)，x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3， 此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b 3，b 依次成等差数列， 所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b 3.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。