5、6(3)几何证明举例

5.6.5几何证明举例---HL定理及已知一直角边和斜边作直角三角形的尺规作图学习目标1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理及解决实际问题。

教学重点应用直角三角形全等的“HL”判定定理解决问题。

教学难点证明“HL”定理的思路的探究和分析。

教学过程（一）初步探究：HL的证明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？写出你的证明过程？（二）HL应用：用三角尺可以作角平线如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线，你能说出它的理由吗？（三）再次探究：三角形全等条件的探索如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。

（四）尺规作图：已知线段l，m（l＜ｍ），求作：Ｒｔ△ＡＢＣ，使直角边ＡＣ等于ｌ，斜边ＡＢ等于ｍ。

（五）课堂练习1、判断下列命题的真假，并说明理由。

（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。

（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。

（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。

2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.（六）当堂检测1、已知：如图（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.（1）（2）（3）2、已知：如图（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.3、已知：如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（_______）反思。

几何证明举例(3)教学设计几何证明举例——等腰三角形教学设计教学目标1、初步掌握等腰三角形的性质及简单应用。

2、理解等腰三角形和等边三角形的性质定理之间的关系。

3、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力。

教学重点和难点重点是等腰三角形性质的应用；难点是等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用。

教学过程设计一、探索并证明等腰三角形的三条性质复习引入新课：动手操作你还记得八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程吗？（学生事先准备好纸剪的等腰三角形操作）。

展示等腰三角形折叠动画。

二、新课探索新课探索一：等腰三角形的性质定理和判定定理1、回答下面的问题，并与同学交流：(1)“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗?怎样证明?(2)说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题；(3)这个逆命题是真命题吗?怎样证明它的正确性?2、知识点1：等腰三角形的性质定理1等腰三角形的两个底角相等。

(等边对等角)（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C温馨提示一：回顾八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程。

由当时的操作，如何添加辅助线，然后给出证明。

注意作辅助线的方法可有多种，如作底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线，相应地，在判定两个三角形全等时的依据也不同。

例4如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

3、方法点拨（3）证明一：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)证明二：作顶角的平分线AD在△BAD和△CAD中AB=AC(已知)∠BAD=∠CAD(辅助线做法)AD=AD(公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)证明三：过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD和Rt△ACD中AB=AC（已知）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（HL）∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)4、知识点2、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

初中几何中三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。

它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。

就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。

我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。

一、证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图在四边形ABCD 中对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N为EF 与BD ，AC 的交点。

求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与△ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。

证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。

∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理)而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠DMF ，∠HFE=∠ANM∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF=∠DFE分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。

由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB ∥，12GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ，∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。

5.6 几何证明举例1. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB的延长线于点E，连接CE. 求证：∠BCE=∠A +∠ACB .（第1题图）2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D. 求证：∠CAB=∠AED.（第2题图）3. 如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB 边，BC边于点E，F．求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P．（第3题图）4. 如图，在△ABD中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H. 求证：AE =FH.（第4题图）5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AB=AC.（1）如果DE∥BC，求证：AD=AE.（2）如果AD=AE，求证：DE∥BC.（第5题图）6. 如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.（第6题图）7. 如图，E，F是线段BC上两点，AB∥CD，AB=DC，CE=BF. 求证：AE=DF.（第7题图）8. 如图，DE∥BC，A是DE上一点，AD=AE，AB=AC. 求证：BE=CD.（第8题图）9. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC=BC，点E在AC上，且CE=CD. 连接BE 并延长交AD于点F. 求证：BF⊥AD.（第9题图）10. 如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC. 求证：OA=OB.（第10题图）答案1. 证明：∵BC 的垂直平分线交BC 于点D ， ∴BE =CE ， ∴∠BCE =∠CBE .∵∠CBE =∠A +∠ACB ，∴∠BCE =∠A +∠ACB .2. 证明：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA =EB ， ∴∠EAB =∠B .∵∠C =90°，∴∠CAB +∠B =90°.又∵∠AED +∠EAB =90°，∴∠CAB =∠AED .3.证明：∵P 是AB 边的垂直平分线上的一点， ∴P A = PB ．同理可得，PB = PC ．∴P A =PC ．∴P 是AC 边的垂直平分线上的一点． ∴AB ，BC ，AC 的垂直平分线相交于点P ．4. 证明：∵BF 平分∠ABC ，F A ⊥AB ，FH ⊥BC ， ∴F A =FH ，∠ABF =∠EBD .又∵∠AFB +∠ABF = 90°，∠DEB +∠EBD = 90°， ∴∠AFB =∠DEB ，∴∠AFB =∠AEF .∴AF =AE .∴AE =FH .5. 证明：（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠C .∵DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ，∠C=∠AED .∴∠ADE=∠AED ，∴AD =AE .（2）∵AD =AE ，∴∠ADE=∠AED=21（180°-∠A ）. ∵AB =AC ，∴∠B =∠C=21（180°-∠A ）. ∴∠B=∠ADE ，∴DE ∥BC .6. 证明：连接AD .在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，AD AD DC DB AC AB∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠B =∠C .7. 证明：∵CE =BF ，∴CE+EF =BF+EF ，即CF =BE .∵AB ∥CD ，∴∠B =∠C .在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，CF BE C B DC AB∴△ABE ≌△DCF （SSS ），∴AE =DF .8. 证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .∵BC ∥DE ，∴∠DAB =∠ABC ，∠EAC =∠ACB ， ∴∠DAB =∠EAC ，∴∠DAC =∠EAB .在△DAC 和△EAB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC AB EAC DAC AE AD∴△DAC ≌△EAB （SAS ），∴BE =CD .9. 证明：∵AC ⊥DB ，∴∠BCE =∠ACD = 90°.在△BCE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC BC BCE ACD CD CE∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴∠CBE=∠CAD . ∵在△ACD 中，∠CAD +∠ACD +∠D= 180°， 在△BDF 中，∠CBE +∠BFD +∠D= 180°，∴∠CAD +∠ACD +∠D=∠CBE +∠BFD +∠D= 180°， ∴∠ACD=∠BFD=90°，即BF ⊥AD .10. 证明：连接AB .在△ABD 和△BAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，BA AB BC AD AC BD∴△ABD ≌△BAC （SSS ），∴∠BDA=∠ACB .在△AOD 和△BOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BC AD OCB ODA BOC AOD∴△AOD ≌△BOC （AAS ），∴OA=OB .。

命题、定理与证明知识讲解【要点梳理】要点一、命题、基本事实与定理1. 命题一般地，判断某一件事情的语句叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“开始的部分是结论.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．2.基本事实人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.如：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短等.3.定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.要点诠释：满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.要点二、证明1.证明根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．2.证明表述格式证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点诠释：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.【典型例题】类型一、命题1.判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； (4)a，b两条直线平行吗?(5)鸟是动物； (6)若24a =，求a 的值；(7)若22a b =，则a =b ．【答案与解析】句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.【总结升华】主要考察命题的定义.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a b ＜，则＜-b a -；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程2230x x --=；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．2. 下列命题是真命题的是（ ）A ．如果|a|=1，那么a=1B ．有两条边相等的三角形是等腰三角形C ．如果a 为实数，那么a 是有理数D ．有两边和一角相等的两个三角形全等；【答案】C举一反三：【变式】下列命题中，真命题的个数有（ ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．3个B ．1个C ．4个D ．2个【答案】Ｂ３.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。

青岛版第五章《几何证明初步》单元教案设计一、教材分析1、本章的主要知识有以下几点：命题的概念、定义的概念、命题的题设和结论、“如果。

，那么。

”形式的命题、真命题与假命题、为什么要证明、证明平行线的判定定理、互逆命题、证明的基本步骤和书写格式、证明三角形内角和定理、证明的方法及步骤、三角形全等的条件、几何证明的条件及应用、反证法的概念及证明过程。

2、地位与作用本章是在学习了角、平行线、平面图形的认识，轴对称和轴对称图形以及全等形与相似形等内容的基础上安排的。

在这之前，学生已经积累了一定的观察、实验、归纳、类比、猜测、和反思等数学活动经验，探索出了一些基本的平面图形的性质和判定方法，具有了一定的作图、表达的技能和合情推理的能力。

二、学情分析在几何证明初步这一章中，让学生通过观察、操作与类比，探索并掌握几何证明的方法与步骤。

理解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，特别是全等三角形的特征与性质以及识别方法。

让学生在以前说理的基础上，进一步学习一些主要的推理论证的方法，加强数学的理性训练。

引导学生认识证明的必要性，学会由定理、公理出发，证明有关的命题，解决一些简单的逻辑推理问题，使学生养成言必有据的正确思维习惯。

三、教案目标1、了解定义、命题、公理、定理、推论的意义，会区分命题的条件和结论，了解原命题与逆命题的概念。

2、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式。

3、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。

体会反证法的含义。

4、掌握八条公理。

5、证明平行线的判定定理。

了解平行线性质定理的证明。

6、证明三角形的内角和定理，掌握它的推论。

7、证明两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。

8、证明角平分线的性质定理及其逆定理。

9、证明角平分线的性质定理及其逆定理。

10、证明等腰三角形的性质定理及判定定理。

证明等边三角形的性质定理及判定定理。