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目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (3)Key word (3)0.引言 (4)1.基本知识 (4)1.1相关定义 (4)2.收敛的无穷乘积的性质 (5)2.1收敛的无穷乘积的性质 (5)2.2无穷乘积收敛的充要条件 (6)2.3绝对收敛的无穷乘积的性质 (6)2.4无穷乘积重排 (7)3.简单应用 (8)4.结论 (9)参考文献 (9)致谢 (10)无穷乘积的性质探究摘要本文给出了无穷乘积的定义以及无穷乘积的一些重要性质，包括无穷乘积的敛散性，无穷乘积收敛的一些充要条件，绝对收敛的无穷乘积的一些性质及其简单应用.尤其对绝对收敛的无穷乘积和条件收敛的无穷乘积的重排性质进行探究.关键词敛散性绝对收敛条件收敛重排应用Research of properties of infinite productAbstract this paper gives the definition of infinite product and some important properties of infinite products, including the infinite product of convergence, some necessary and sufficient conditions for the convergence of infinite products, some properties and the simple application of the infinite product of absolute convergence. Especially rearrangement nature of the absolute convergence of infinite multiplication and condition for the convergence of infinite products are explored.Key word Convergence of the absolute convergence of conditional convergence rearrangement application无穷乘积的性质探究0.引言级数是研究分析数学的重要工具，许多的问题导致无穷级数的研究，比如，研究函数时重要的工具是泰勒多项式及泰勒展开式.同时也能解决现实中的许多问题，比如工程技术等方面，在数学上，函数都能用级数来表示，因此，级数理论在分析数学以及实际应用中是研究函数的一种有效的数学工具.文献[1-3]主要对数项级数中的级数的收敛性，正项级数敛散性的判别法及其一般项级数敛散性的判别法和性质进行研究.无穷乘积同级数一样，分为收敛和发散的无穷乘积，收敛的无穷乘积又分为绝对收敛和条件收敛，但它们在性质上差异很大，绝对收敛的无穷乘积在任意重排下不改变其收敛性及积.条件收敛的无穷乘积，适当重排后可以使其积等于任意给定的非零实数.本问题在数学分析学习了级数相关理论后，对无穷乘积的性质类似于无穷个数求和进行探究，包括无穷乘积的敛散性，绝对收敛的无穷乘积的一些性质及其简单应用.尤其对无穷乘积的重排性质进行探究.1.基本知识1.1相关定义定理]3[1若级数∑∞=1||n nu绝对收敛，其和为s .而∑∞=1n j k u 是∑∞=1n k u 的任意一个重排，则∑∞=1n j ku也绝对收敛，且其和为s .定义]4[1一般说，若,...,21 p p 是一个序列，则形式积n n p ∞=∏1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n p p p p 321的式子称为无穷乘积.它的前n 项之积k n n p p ∞=∏=1n p p p p .....321⋅⋅=称为部分乘积.定义]4[2设n p 是无穷乘积n n p ∞=∏1的部分乘积，若n p 有极限p ,即p p n n =∞→lim (p 0≠),则称无穷乘积(1)收敛,称p 为无穷乘积(1)的积.记为n n p p ∞=∏=1.若n p 没有极限，或)(0∞→→n p n 则称n n p ∞=∏1发散.定义]4[3设有无穷乘积)1(1n n α+∏∞=，其中),2,1(1⋅⋅⋅=-≠n n α，若|)|1(1n n α+∏∞=收敛，则称)1(1n n α+∏∞=绝对收敛；若)1(1n n α+∏∞=收敛，而|)|1(1n n α+∏∞=发散，则称)1(1n n α+∏∞=条件收敛.即绝对收敛的无穷乘积一定收敛.定义]4[4设n n α∞=∏1为一个给定级数.所谓这个级数的项重排是指按照一定规则将其中第n 项n α变成某个第n k 项.更确切地说，设有自然数集合N 是自身的一个一一对应：f ：N →N ，令n k )(n f =，并令n k nαα='，(⋅⋅⋅=,2,1n )，则新的级数n n α'∏∞=1称为n n α∞=∏1的一个重排级数.定义]5[5设)0(1>∏∞=n n n p p 是任意项无穷乘积.(1)若级数||ln 1∑∞=n np收敛，则称无穷乘积n n p ∞=∏1绝对收敛.(2)若级数∑∞=1ln n np收敛，而级数||ln 1∑∞=n np发散，则称无穷乘积n n p ∞=∏1条件收敛.2.收敛的无穷乘积的性质2.1收敛的无穷乘积的性质定理]4[2若n n p ∞=∏1收敛，则1lim =∞→n n p .定理]4[3设n n p ∞=∏1收敛，则其余积)(11∞→→∏=∞+=m p n m n m π.定理]4[4设n n p ∞=∏1及n n q ∞=∏1收敛，则无穷乘积n n n q p ∞=∏1与nnn q p ∞=∏1收敛，并有 ⋅∏∞=n n p 1n n q ∞=∏1=n n n q p ∞=∏1，n n p ∞=∏1/n n q ∞=∏1=nnn q p ∞=∏1. 推论]6[1若无穷乘积n n p ∞=∏1收敛，其积为p ，则无穷乘积⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏∞=cn ccccn n p p p p p 3211也收敛，其积为cp ，其中c 是不为零的常数. 推论]6[2若无穷乘积n n p ∞=∏1收敛，其积为p ，则无穷乘积nn p 11∞=∏也收敛.其积为p 1. 定理]6[5若无穷乘积n n p ∞=∏1与n n q ∞=∏1都收敛，其积分别为A 与B ，则无穷乘积⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏∞=)())(()(22111n n n n n q p q p q p q p 也收敛，其积为AB .定理]6[6若无穷乘积n n p ∞=∏1与n n q ∞=∏1都收敛，其积分别为A 与B ，则无穷乘积⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏∞=n n n n n q p q p q p q p 22111也收敛，其积为B A . 2.2无穷乘积收敛的充要条件定理]4[7设0>n p （⋅⋅⋅=,2,1 n ），则无穷乘积n n p ∞=∏1收敛的充要条件是级数n n p ln 1∞=∏收敛.定理]4[8设),2,1(0⋅⋅⋅=≥n n α，则无穷乘积)1(1n n α+∏∞=收敛的充要条件是级数∑∞=1n nα收敛.这个定理告诉我们，无穷乘积)1(1n n α+∏∞=收敛性的判别，在0≥n α（或0≤n α）的情况下，完全归结为级数∑∞=1n nα收敛性的判别.定理]4[9设∑∞=1n nα收敛，则)1(1n n α+∏∞=收敛的充要条件是∑∞=12n nα收敛.定理]6[10(cauchy 收敛准则)无穷乘积n n p ∞=∏1收敛的充要条件是N p N n N N ∈∀≥∀∈∃>∀,,,0ε，有εε+<<-∏++=111pn n k kp.定理]7[11若存在一个0>N ，当N n >时，有1>n p ，则无穷乘积n n p ∞=∏1收敛的充要条件是)1(1-∑∞=n np收敛.定理]6[12无穷乘积)1(1≥∏∞=n n n p p 收敛的充要条件是它的部分积数列}{n L 有上界.引理1若)1(1n n α+∏∞=条件收敛，则∑∞=1n nα条件收敛且∑∞=12n nα收敛.2.3绝对收敛的无穷乘积的性质定理]4[13设),2,1(1⋅⋅⋅=-≠n n α，则下面三条命题等价： (1))1(1n n α+∏∞=绝对收敛；(2))1(ln 1nn α+∑∞=绝对收敛；(3)∑∞=1n nα绝对收敛.定理]7[14若无穷乘积n n p ∞=∏1绝对收敛，则无穷乘积n n p ∞=∏1必收敛.2.4无穷乘积重排定理15 设)1(1n n α+∏∞=绝对收敛，则)1(1n n α+∏∞=在任意重排下不改变收敛性及积.证明 设无穷乘积)1(1n n α+∏∞=的积为s ，由定理]4[13知，)1(ln 1nn α+∑∞=也绝对收敛，且其和为s .设)1(ln 1kj k α+∑∞=是)1(ln 1k k α+∑∞=的任意一个重排.由定理]3[1知，)1(ln 1k j k α+∑∞=也绝对收敛，且其和为s .再由定理]4[13知，)1(1k j n α+∏∞=也绝对收敛，且其积为s .定理16 对于条件收敛的无穷乘积，适当重排后可以等于任意给定的非零实数. 证明 由已知得)0(1>∏∞=n n n p p 条件收敛，由定义]5[5(2)知，要证)0(1>∏∞=n n n p p 条件收敛，只需证明级数∑∞=1ln n np收敛，而级数||ln 1∑∞=n np发散，要证条件收敛的无穷乘积)0(1>∏∞=n n n p p ，适当重排后可以等于任意给定的非零实数，只需整∑∞=1ln n n p 与||ln 1∑∞=n n p 的重排级数σ=∑∞=1n nb.不妨设0>σ.先依顺序取∑∞=1ln n np中的若干项，使其和大于或等于 σ，然后依次在||ln 1∑∞=n np中取足够多的项，使与前面的项相加，其和2n t 刚巧小于σ，回头再取∑∞=1ln n n p 中取足够多的项，使与前面的项相加，其和3n t 刚巧大于或等于σ，再取||ln 1∑∞=n np后面的项…这样便得到||ln 1∑∞=n np的重排，记为∑∞=1n n b ，显然01→∑∞=n n b ，记重排后级数∑∞=1n n b 的部分和为=n t ∑∞=1n nb，则前面构造的数列}{k n t 刚好是}{n t 的子数列，由)(0||||||1∞→→=-≤--k b t t t k k k k n n n n σ，知)(∞→→k t k n σ.而根据前述构造.当1+≤≤k k n n n 时，n t 夹在1+k n t 与k n t 之间，故σ→n t ，这就证明了∑∞=1n nb收敛到σ.由定义]5[5(2)知，条件收敛的无穷乘积)0(1>∏∞=n n n p p ，适当重排后可以等于任意给定的非零实数.3.简单应用例题1 讨论无穷乘积)12(221++∏∞=n n n 的敛散性. 解 11112222++=++=n n n p n ，又因为∑∞=+1211n n 收敛， 则由定理]4[8知，)12(221++∏∞=n n n 收敛. 例题2 讨论无穷乘积)1-1(1p n n∞=∏的收敛性. 解 p n n p 11-=-,其中p n 1-不变号.由定理]4[8知，由于级数∑∞=1)1(-n p n ，当1>p 时收敛，而当1≤ p 时发散. 故无穷乘积)1-1(1p n n∞=∏当1> p 时收敛，而当1≤ p 时发散. 例题]4[3 讨论无穷乘积))1(-1(11pn n n+∞=+∏的敛散性. 解 当0≤p 时，pn n 1)1(1+-+不趋于)(1∞→n，故))1(-1(11p n n n +∞=+∏发散. 下面只讨论0>p 的情况. 由于级数∑∞=+-11)1(n pn n 收敛，故))1(-1(11p n n n +∞=+∏收敛的充要条件是级数敛=-∑∞=+211])1([n pn n ∑∞=121n pn收敛.因此，当210≤<p ,由于∑∞=121n p n发散，故原无穷乘积发散.当21>p 时，原无穷乘积收敛. 斯特林公式的应用斯特林公式：)(2~!21∞→-+n e nn n n π，也即12!lim21=-+∞→nn n e nn π 证明见文献4215209~p p 页. 例题]2[4利用斯特林公式求nn n n !lim∞→的极限.解 由斯特林公式知，212122lim !limn ene n n n n nn n n θπ⋅⋅=-∞→∞→22122limn en enn θπ⋅=∞→e =例题]2[5利用斯特林公式求nn n n ln !ln lim∞→的极限.解 由斯特林公式知，n n n n ln !ln lim ∞→n n n n n n n n ln 12ln )ln ln 2(ln 21lim θπ+-+++=∞→1=4.结论通过本课题的研究，我们了解了无穷乘积的定义、性质、以及敛散性的判别法，同时我们知道了两条关于无穷乘积重排的重要性质:(1)绝对收敛的无穷乘积在任意重排下不改变其收敛性及积.(2)条件收敛的无穷乘积，适当重排后可以使其积等于任意给定的非零实数.在无穷乘积的应用中，不仅可以用无穷乘积的定义，也可以用无穷乘积的性质定理来讨论其敛散性.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析下册(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001.1-25. [2]费定晖、周学圣.吉米多维奇《数学分析习题集题解4》[M].第三版.山东科学技术出版社.386-416.[3]邓东皋、尹小玲.数学分析简明教程(第二版)下册[M].北京：高等教育出版社， 2006.1-38.[4]李忠、方丽萍.数学分析教程下册[M].北京：高等教育出版社，2008.143-212. [5]高永东，任意项无穷乘积的敛散性[J].咸宁师专学报.2000,12,20(6).15-18[6]高永东、李相朋，无穷乘积的性质及其敛散性判别法[J].武汉科技学院学报， 2000，9，13(3).42-46 [7]唐敏、戴培良，无穷乘积的敛散性[J].常熟理工学院学报（自然科学），2010,8,24(8).1-5致谢非常感谢李云霞老师，在我大学的最后学习阶段——毕业设计阶段给自己的指导，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助。
1引言函数的幕级数展开在高等数学中有着重耍的地位，在研究泵级数的展开之 前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幕级数的展开屮有着重要的地 位。
一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幕级数的展开，几乎不用 积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。
2泰勒级数泰勒定理指出：若函数/在点兀。
的某个邻域内存在直至斤阶的连续导数，则/(x) = /(x 0) + /(x 0)(x-x 0) + /(x Q )^X这里心（兀）=。
（（兀-兀）〃）称为皮亚诺型余项。
如果增加条件“/（X ）有H + 1阶连续 导数”，那么心（0还可以写成三种形式（柯西余项） （积分型余项） 如果在（1）中抹去余项心（X ）,那么在兀。
附近/可用（1）式中右边的多项式来近似代 替。
如果函数/在兀=兀0处有任意阶的导数，这吋称形式为：的级数为函数/在x 0的泰勒级数，对于级数（2）是否能够在X 。
附近确切地表达/, 或说/在心泰勒级数在心附近的和函数是否就是/,这是我们现在耍讨论的问 题。
下面我们先看一个例子：例1山由于函数/(%)= \ 八，心 °,（拉格朗日余项）心。
）+广（％）（-切+%（—订+・・・+匚糾 （兀一兀0）+…（2）= 广“+1）［兀+0（兀_观卄（］_0）〃 （兀_观）〔0, x = 0,在x = x0处的任何阶导数都为0,即/叫0) = 0/= 1,2,…，所以/在x = 0处的泰勒级数为：C C 0 2 . 0 “0 + 0 • X H X + -------- ------- X+…，2! nl显然，它在(- oo,+oo)上收敛，且其和函数S(X)= 0,由此看到对一切* 0都有/(X)H S(X),这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有lim R n (x) = 0HT8时才能够。
在实际应用上主要讨论在勺=0的展开式。
这时(2)也可以写成刑)+以乩+皿宀…+创乩"+…，1! 2! /1!称为麦克劳林级数。
高考数学必胜绝技高等数学级数展开技巧在咱们高考数学的这个战场上啊，级数展开那可是一个超级厉害的武器。
就像孙悟空手里的金箍棒，用好了能把难题打得落花流水。
我还记得之前有个学生叫小李，他呀，平时数学成绩还算不错，可一碰到级数展开的题目就头疼。
有一次模拟考，就有一道级数展开的大题，分值还挺高。
小李瞅着那题，抓耳挠腮半天也没个头绪，最后只能眼睁睁看着分数溜走，别提多郁闷了。
咱们先来说说级数展开的基础。
这就好比盖房子得先打地基，地基不稳，房子可就要塌啦。
常见的级数展开公式，像泰勒级数、麦克劳林级数，那可得牢记于心。
比如说，e 的 x 次方的泰勒级数展开是 1 ＋x ＋ x²/2! ＋ x³/3! ＋…… ，sin x 的麦克劳林级数展开是 x x³/3! ＋x⁵/5! …… 这些公式就像是咱们手里的宝藏钥匙，关键时刻能打开难题的大门。
再来说说做题的技巧。
碰到级数展开的题目，别慌，先看看题目给的函数形式。
如果是简单的基本函数，那就直接套用公式。
要是复杂一点的，那就得想想怎么变形。
比如说，给了你一个1/（1 x) 的形式，那你就得马上想到它可以展开成 1 ＋ x ＋ x²＋ x³＋…… 。
还有啊，计算的时候一定要仔细。
我见过有的同学，公式用对了，结果算错了，那多可惜呀！就像小李，有次做题，明明思路对了，就是计算的时候粗心，把阶乘算错了，白白丢了分。
另外，多做练习题那是必不可少的。
俗话说，熟能生巧。
做得多了，各种题型都见过了，考试的时候自然就不慌了。
可以准备一个错题本，把做错的题目整理下来，经常看看，总结一下自己容易出错的地方，下次就不会再犯同样的错误啦。
最后，考试的时候心态也很重要。
别一看到级数展开的题目就害怕，要相信自己平时的努力。
就像小李，经过一段时间的针对性练习，再碰到这类题目时，心态平和了许多，思路也清晰了，最后在高考中数学取得了不错的成绩。
总之，掌握好高考数学中的级数展开技巧，多练习，细心计算，保持好心态，相信大家都能在高考数学中取得好成绩，加油吧！。
目录上页下页返回结束内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法—利用泰勒公式;(2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式x e ∙1=),(∞+-∞∈x )1(ln x +∙x =]1,1(+-∈x x +2!21x +,!1+++n x n 221x -331x + +-441x 11)1(++-+n n x n +式的函数.目录上页下页返回结束++-++!)12()1(12n x n n x sin ∙x =!33x -!55x + +-!77x x cos ∙1=!22x -!44x + +-!66x +-+!)2()1(2n x nn m x )1(+∙1=x m +2!2)1(x m m -++ ++--+n x n n m m m !)1()1(当m = –1 时x+11,)1(132 +-++-+-=n n x x x x ),(∞+-∞∈x ),(∞+-∞∈x )1,1(-∈x )1,1(-∈x目录上页下页返回结束四、物体的转动惯量设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),,(z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元vz y x y x d ),,()(22ρ+因此物体对z 轴的转动惯量:⎰⎰⎰+=Ωρzy x z y x y x I z d d d ),,()(22=z I d OxyzΩ对z 轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算.目录上页下页返回结束类似可得:⎰⎰⎰=Ωρz y x z y x I x d d d ),,( ⎰⎰⎰=Ωρz y x z y x I y d d d ),,( ⎰⎰⎰=Ωρzy x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量对y 轴的转动惯量对原点的转动惯量目录上页下页返回结束如果物体是平面薄片,面密度为D y x y x ∈),(),,(μ⎰⎰=Dx y x y x I d d ),( μ⎰⎰=DO y x y x I d d ),(μ则转动惯量的表达式是二重积分.xDyO2y 2x )(22y x +⎰⎰=Dy y x y x I d d ),(μ目录上页下页返回结束r r a d d sin 03π2⎰⎰=θθμ例7.求半径为a 的均匀半圆薄片对其直径解: 建立坐标系如图,⎩⎨⎧≥≤+ 0:222y a y x D y x y I Dx d d 2⎰⎰=∴μ⎰⎰=Dr r θθμd d sin 23⋅=441a μ241a M =半圆薄片的质量μ2π21a M =2π212⋅⋅的转动惯量.OxyDa-a目录上页下页返回结束)sin sin cos sin (222222θϕθϕρΩr r +=⎰⎰⎰解:取球心为原点, z 轴为l 轴,,:2222a z y x ≤++Ω则=z I ⎰⎰⎰+Ωρz y x y x d d d )(22⋅=5π52a ρM a 252=θϕϕd d d sin 2r r ⋅1322⋅⋅⎰=π20d θρ球体的质量ρ3π34a M =ϕϕd sin π03⎰rr a d 04⎰例8.求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的设球所占域为(用球坐标)lOzxy转动惯量.。
韦达公式无穷乘积
韦达公式是数学中的一个重要公式，它用于求解一元二次方程的根。
然而，韦达公式不仅可以用于求解一元二次方程的根，还可以用于计算无穷乘积。
无穷乘积是一种特殊的数学表达式，它由多个项的乘积构成，其中每一项都是一个无穷级数。
无穷乘积在数学和物理领域中都有广泛的应用，例如在概率论、复分析、量子力学等领域中。
韦达公式与无穷乘积之间的关系可以表述为：如果一个函数f(x)可以展开为无穷乘积的形式，那么该函数的无穷乘积可以通过韦达公式求解。
例如，对于函数f(x) = e^(x)，它的无穷乘积可以表示为：f(x) = e^(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...。
通过使用韦达公式，我们可以得到该函数的无穷乘积的根：x = 0 或 x = -1 + i*sqrt(2)。
另外，对于函数f(x) = sin(x)，它的无穷乘积可以表示为：f(x) = sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...。
通过使用韦达公式，我们可以得到该函数的无穷乘积的根：x = 0 或 x = nπ + (2n+1)π/2 (n为整数)。
综上所述，韦达公式可以用于计算无穷乘积的根。
在实际应用中，我们需要根据具体的函数和问题选择合适的无穷乘积表达式和韦达公式进行计算。
