12-4函数的幂级数展开式

常用的幂级数展开式1. 什么是幂级数展开式幂级数是一种特殊的函数表示形式，它可以被展开为一个无穷序列的项。

幂级数展开式是将一个函数用幂级数表示的方法，可以将复杂的函数简化为无穷项的和，从而方便进行数学分析和计算。

幂级数展开式的一般形式为：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯其中，f(x)是要展开的函数，x是自变量，系数a0,a1,a2,a3,⋯是展开式的项系数。

2. 常见的幂级数展开式2.1 泰勒级数展开式泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，其展开式为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中，f(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。

泰勒级数展开式适用于将任何函数在某一点附近展开，并可以通过选取适当的展开点和截取适当的项来逼近原函数。

2.2 麦克劳林级数展开式麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊情况，展开式为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n麦克劳林级数展开式适用于将任何函数在原点附近展开，即展开点为a=0。

2.3 常见的函数的幂级数展开式以下是几个常见函数的幂级数展开式：•指数函数的展开式：e x=∑x n n!∞n=0•正弦函数的展开式：sinx=∑(−1)n (2n+1)!∞n=0x2n+1•余弦函数的展开式：cosx=∑(−1)n (2n)!∞n=0x2n •对数函数的展开式：ln(1+x)=∑(−1)n−1n∞n=1x n3. 幂级数展开的应用幂级数展开式在数学和物理的许多领域中有着广泛的应用。

3.1 数值计算幂级数展开式可以用于近似计算各种函数的值。

通过截取幂级数展开式的有限项，可以得到函数值的近似解，能够在计算机上进行快速高效的数值计算。

3.2 函数逼近幂级数展开式可以将任何函数逼近为一个无穷项的和，从而可以用有限的项来近似表示一个复杂的函数。

这在数值分析和计算机图形学中具有重要的应用，例如图像处理、曲线拟合等。

3.3 物理建模物理学中的许多现象和物理量可以用幂级数展开式来描述，例如电磁场、波动方程等。

函数的幂级数展开函数的幂级数展开是数学中重要的概念之一，其应用广泛，涵盖了多个领域，包括工程、物理、计算机科学等。

本文将介绍函数的幂级数展开的定义、性质、推导和应用。

一、定义函数的幂级数展开是将一个函数表示成一个无穷级数的形式，即：f(x) = a0 + a1(x - c) + a2(x - c)^2 + ... +an(x - c)^n + ...其中，a0, a1, a2 ... an 是常数，叫做幂级数的系数，c 是展开点，x 是变量。

二、性质1. 唯一性：如果一个函数在某个点处的幂级数展开式存在，那么它的幂级数展开式唯一。

2. 收敛性：在幂级数的收敛区间内，幂级数展开式收敛，即根据函数的性质可以准确表达函数的值；在展开点之外，则可能发散或发生收敛半径发生变化。

3. 运算性质：幂级数具有良好的运算性质，如加、减、乘、除等运算。

三、推导1. 首先，在幂级数的收敛区间内，函数在展开点 c 处可以通过泰勒公式来展开，即：f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + f''(c)(x - c)^2 / 2! + ... + f^(n)(c)(x - c)^n / n! + Rn其中，f^(n) 表示函数的 n 阶导数，Rn 是余项。

2. 如果展开点 c = 0，则泰勒公式称为麦克劳林公式。

3. 将幂级数的展开式与麦克劳林公式相比较，可以得到幂级数的系数与函数的导数之间的关系，即：a0 = f(c), a1 = f'(c), a2 = f''(c) / 2! ... an = f^(n)(c) / n!4. 将幂级数的系数代入幂级数的展开式中，即可得到函数的幂级数展开式。

四、应用1. 近似计算：当某些函数难以直接计算时，可以通过幂级数展开对其建立近似计算模型。

例如，将正弦函数展开成其傅里叶级数，可以用来近似计算其值。

2. 函数的求导和积分：对于某些函数，其求导和积分可能更容易计算，此时可以通过对函数的幂级数展开式进行求导和积分，得到原函数的导数和积分的展开式。

七个常用幂级数展开式1 示例：二项式定理二项式定理是一阶微分方程处理问题的重要工具，它将幂级数表达式简化为一个函数。

二项式定理为$(a + b)^n =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$，即一个多项式$x^n$可以通过 $x^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ 来表达。

2 欧拉公式欧拉公式是一个著名的数学公式，它可以用幂级数表示，即$e^x= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$。

这里x是任意实数，n是一个正整数，$n!$是n的阶乘。

3 泰勒三阶展开式泰勒三阶展开式它可以用幂级数表达，即$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$。

其中f(x)是给定的函数，$f'(x)$是f的导函数，$f''(x)$是f的二阶导函数;而$a$是函数f的一个自变量。

4 高斯展开式高斯展开式也叫渐近级数，它可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$，其中a_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而$x_0$是 f的某一点。

5 拉格朗日幂级数拉格朗日幂级数是由法国数学家拉格朗日提出的，它可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其中a_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而x 是一个可以取任意值的自变量。

6 波动现象展开式波动现象展开式可以用幂级数表示，即$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$，其中c_n是正常序数$n=0,1,2,\cdots,$的一组常数，而x 是一个可以取任意值的自变量。

§2 函数的幂级数展开教学目的与要求：掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性. 教学重点，难点：函数的幂级数展开式及余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性. 教学内容：一 泰勒级数在第六章§3的泰勒定理中曾指出，若函数f 在点0x 的某邻域内存在直至1+n 阶的连续导数，则 ()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f ()()()()x R x x n x f n n n +-+00!， （1） 这里()x R n 为拉格朗日型余项()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ， （2） 其中ξ在x 与0x 之间，称（1）为f 在0x 的泰勒公式。

如果在（1）中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用（1）式右边的多项式来近似代替，如果函数f 在0x x =处存在任意阶的导数，这时称形式为()()()()() +-''+-'+200000!2x x x f x x x f x f ()()() +-+n n x x n x f 00!（3） 的级数为函数f 在0x 的泰勒级数。

对于级数（3）是否能在0x 附近确切的表达f ，或说f 在0x 的泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这就是本节所要讨论的问题。

先看一个例子。

例1 由于函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,0,0,21x x e x f x在0=x 处任何阶导数都等于0，即 ()()00=n f ， ,2,1=n ， 所以f 在0=x 的泰勒级数为 ++++⋅+n x n x x !!20002。

显然它在()+∞∞-,上收敛，且其和函数()0=x S 。

由此看到，对一切0≠x 都有()()x S x f ≠。

这个例子说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身。

常见的幂级数展开式
世界自古以来就以多种形式存在，其中最著名的就是幂级数展开式。

幂级数展开式是数学
中一种重要的代表，它由若干项相加而成，每一项都是由某指数幂、一常数和一变量构成的，它们之间常有某种规律的关系。

幂级数展开式的构成可以包括加法，也就是把一个数
加到一个变量上；减法，也就是把一个数减到一个变量上；乘法，也就是把一个变量乘以
一个变量上；还有数学中最简单的加法，减法，乘法，除法运算。

幂级数展开式可以用来表示不同的函数，但它们的精确性往往随着不同类型的函数而不同，比如正弦函数就用幂级数展开式表示起来更为精确。

同时，幂级数展开式也可以用在研究许多复杂的函数中，有时可以更容易地将函数的特性描述出来。

幂级数展开式通常是以指数幂的形式表示，在数学上，指数幂就是一个指数。

指数幂可以用来表达幂级数展开式中每项的指数，它是一种非常有用的表达方式，可以让人更容易地
看懂幂级数展开式中的结构。

此外，用幂级数展开式计算可以比传统的方法节省许多时间，它的快速计算令它更受欢迎，因为它可以解决一般函数不容易解决的问题。

而且，由于它的精确度较高，它还可以被用
于精密的工程计算上。

总之，幂级数展开式是一种重要的数学表达式，它对大多数函数有效，是一种可以快速计算、高精度计算的重要方法，在科学、工程等领域也有广泛的应用。

常用的级数展开公式在数学和物理学中，级数展开是一种重要的技术，用于将一个函数表示为一系列项的和，从而可以更好地理解和计算函数的行为。

以下是一些常用的级数展开公式。

1.泰勒级数展开公式：泰勒级数展开公式是一种常见的用于展开函数的公式。

给定一个可无限次可微的函数f(x)在特定点a处的值和各阶导数，泰勒级数展开公式可以将函数f(x)表示为一个无穷级数的形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...2.欧拉公式展开：欧拉公式展开是一个非常重要和有趣的级数展开公式，它将复数的指数形式表示为三角函数的形式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)3.幂级数展开公式：幂级数展开公式是一种特殊的级数展开形式，将函数f(x)表示为幂函数的和，具有以下形式：f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+...4.二项式展开公式：二项式展开公式是将一个二项式的幂展开为一系列项的和，具有以下形式：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个不同元素中选择k个的组合数。

5.对数级数展开公式：对数级数展开公式用于展开一个函数的自然对数形式，具有以下形式：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...6.正弦级数展开公式：正弦级数展开公式将一个周期为2π的周期性函数展开为正弦函数的级数：f(x) = a0 + a1*sin(x) + a2*sin(2x) + a3*sin(3x) + ...其中a0,a1,a2,...是待定系数。

7.傅里叶级数展开公式：傅里叶级数展开是将一个周期为T的函数表示为基本频率为1/T的正弦和余弦函数的线性组合，具有以下形式：f(x) = a0/2 + Σ (an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中 a0, an, bn 是待定系数，ω0 = 2π/T 是基本角频率。

函数展开成幂级数分布图示★引言 ★泰勒级数的的概念★麦克劳林级数★函数展开成幂级数—直接法 ★例1★例2 ★例3 ★例4 ★例5★常用麦克劳林展开式★函数展开成幂级数—间接法 ★例6★例7 ★例8 ★例9 ★例10★例11 ★例12 ★例13★函数的幂级数展开式的应用★内容小结 ★课堂练习★习题7-5内容要点一、泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数)(x f 能在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数. 即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 可证明，如果)(x f 能展开成x 的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于)(x f 的麦克劳林级数.二、函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式. 这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.三、级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算. 在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为x 的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便.四、计算定积分：许多函数, 如xx x e x ln 1,sin ,2-等，其原函数不能用初等函数表示，但若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分.五、求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法. 这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下： （1）对所给数项级数,0∑∞=n n a 构造幂级数∑∞=0n n n x a ;（2）利用幂级数的运算性质，求出∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s ;（3） 所求数项级数).(lim 10x s a x n n -→∞==∑ 例题选讲利用直接法将函数展开成幂级数例1（E01）将函数xe xf =)(展开成x 幂级数.解 由,)()(x n e x f =得1)0()(=n f ),,2,1,0( =n 于是)(x f 的麦克劳林级数为 +++++n x n x x !1!2112 该级数的收敛半径为.+∞=R 对于任何有限的数x 、ξ(ξ介于0与x 之间)，有 |)(|)(x R n 1)!1(++=n x n e ξ.)!1(||1||+⋅<+n x e n x 因x e 有限,而)!1(||1++n x n 是级数∑∞=++01)!1(||n n n x 的一般项，所以)!1(||1||+⋅+n x e n x 0→),(∞→n 即有,0)(lim =∞→x R n n 于是 x e ,!1!2112 +++++=n x n x x ).,(+∞-∞∈x例2（E02）将函数x x f sin )(=展成x 的幂级数.解 )()(x f n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πn x ),2,1,0( =n )0()(n f 顺序循环地取 ,1,0,1,0-),,2,1,0( =n 于是)(x f 的麦克劳林级数为++-+-+-+)!12()1(51!311253n x x x x n n 该级数的收敛半径为.+∞=R 对于任何有限的数x 、ξξ(介于0与x 之间)，有)(x R n =1)!1(2)1(sin ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n x n n πξ)!1(1+<+n x n 有 )(x R n )!1(1+<+n xn 0→),(∞→n于是 x sin ,)!12()1(!31123 ++-++-=+n x x x n n ).,(+∞-∞∈x例3（E03）将函数x x f cos )(=展成x 的幂级数.解 利用幂级数的运算性质,由x sin 的展开式x sin ,)!12()1(!5!31253 ++-+-+-=+n x x x x n n ),(+∞-∞∈x 逐项求导得x cos ,)!2()1(!4!21242 +-+-+-=n x x x n n ),(+∞-∞∈x例4（E04）将函数)1ln()(x x f +=展成x 的幂级数.解 因为,11)('xx f +=而 x+11,)1(132 +-++-+-=n n x x x x )1,1(-∈x 在上式两端从 0 到x 逐项积分,得 )1ln(x +,1)1(!3!2132 ++-+-+-=+n x x x x n n ]1,1(-∈x 上式对1=x 也成立.因为上式右端的幂级数当1=x 时收敛，而上式左端的函数)1ln(x +在 1=x 处有定义且连续.例5（E05）将函数)()1()(R x x f ∈+=αα展开成x 的幂级数. 解 )(x f ',)1(1-+=a x a)(x f '',)1)(1(2-+-=a x a a …)()(x f n ,)1)(1()2)(1(n a x n a a a a -++---= … 所以,1)0(=f ,)0('a f =),1()0(''-=a a f …),1()1()0()(+--=n a a a f n … 于是)(x f 的麦克劳林级数为+-++2!2)1(1x a a ax ++--+n x n n a a a !)1()1( )1( 该级数相邻两项的系数之比的绝对值n n a a 1+1+-=n n a 1→),(∞→n 因此，该级数的收敛半径,1=R 收域区间为).1,1(-设级数(1)的和函数为),(x s 则可求得 ,)1()(n x x s +=)1,1(-∈x即 +++=+ ax x a 1)1( ++--n x n n a a a !)1()1()1,1(-∈x (2) 在区间的端点1±=x 处，展开式(2)是否成立要看a 的取值而定.可证明:当1-≤a 时，收敛域为);1,1(-当01<<-a 时，收敛域为];1,1(-当0>a 时，收敛 域为].1,1[-公式(2)称为二项展开式.特别地,当a 为正整数时，级数成为x 的a 次多项式，它就是初等代数中的二项式定理. 例如，对应21=a 、21-=a 的二项展开式分别为 ,64231421211132 +⋅⋅⋅+⋅-+=+x x x x ];1,1[-∈x ].1,1(,64253142312111132-∈+⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+x x x x x例6 将函数x sin 展开成()4/π-x 的幂级数.解 )]4/(4/sin[sin ππ-+=x x)4/sin()4cos()4(cos )4sin(ππππ-+-=x x)]4sin()4[cos(21ππ-+-=x x --+--=!4)4/(!2)4/(1[2142ππx x --+---+!5)4/(!3)4/()4/(53πππx x x ]!3)4/(!2)4/()4/(1[2132 +-----+=πππx x x ).(+∞<<-∞x利用间接法将函数展开成幂级数例7（E06）将函数x x f arctan )(=展开成x 的幂级数.解 ⎰+=201arctan x dx x x dx x x x n n x ⎰+-+-+-=])1(1[2420 ,12)1(51311253 ++-+-+-=+n x x x x n n ).1,1(-∈x 当1=x 时，级数∑∞=+-012)1(n n n 收敛;当1-=x 时，级数∑∞=++-0112)1(n n n 收敛.且当1±=x 时，函数x arctan 连续，所以,12)1(5131arctan 1253 ++-+-+-=+n x x x x x n n ].1,1[-∈x例8 将函数x x x x x f -+-+=arctan 2111ln 41)(展开成x 的幂级数. 解 由于11121)1111(41)('2-+⋅+-++=x x x x f,111114044∑∑∞=∞==-=--n n n n x xx且,0)0(=f 所以dx x dx x f x f n n x x )()()(1400∑⎰⎰∞=='=).1,1(,14114-∈+=∑∞=+x n x n n例9（E07）将函数213+x 展开成x 的幂级数. 解3ln 2221213333x x x e =⋅=+=,23ln !3123ln !2123ln 133322⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++ x x x ).,(+∞-∞∈x例10 将函数 ()234ln x x --展开成x 的幂级数.解 )4)(1ln()34ln(2x x x x +-=--)4ln()1ln(x x ++-=而)](1ln[)1ln(x x -+=- --+---=3)(2)()(32x x x )11(<≤-x )41(4ln )4ln(x x +=+)41ln(4ln x ++= -⋅+⋅-+=32)4(31)4(2144ln x x x )44(≤<-x 所以)34ln(2x x --= -⋅+⋅-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----332232434244ln 32x x x x x x).11(192633217434ln 32<≤-----=x x x x例11 将函数()21x x f =展开成()2-x 的幂级数. 解 因为2)2(11+-=x x 221121-+⨯=x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- 32222222121x x x n n n n x )2(2)1(210--=∑∞=).2|2(|<-x 逐项求导,得 ,)2(2)1(211112-∞=--=-∑n n n n x n x所以 11112)2(2)1(1)(-+∞=+--==∑n n n n x nx x f ).40(<<x例12（E08）将函数341)(2++=x x x f 展开成)1(-x 的幂级数. 解 341)(2++=x x x f )3)(1(1++=x x )3(21)1(21x x +-+==,4118121141⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 而 ∑∞=--=-+0)1(2)1(41)211(41n n n nx x ),31(<<-x n n n n x x )1(4)1(81)411(810--=-+∑∞=),53(<<-x 故 n n n n n x x x )1)(2121()1(34132202---=++++∞=∑).31(<<-x例13（E09）将x x x f --=41)(展开成1-x 的幂级数, 并求).1()(n f 解 )1(3141--=-x x )311(31--=x ],)31()31(311[312 +-++-+-+=n x x x ,3|1|<-x ∴x x x x --=--41)1(41=,3)1(3)1(3)1()1(313322 +-++-+-+-n n x x x x .31<-x 于是,31!)1()(n n n f =故.3!)1()(n n n f =。

幂函数的展开式幂函数是数学中常见且重要的函数之一。

在代数学中，幂函数是由一个常数（即底数）a与一个变量x的幂（即指数）的乘积构成。

一般形式可以表示为f(x) = ax^n，其中n是实数。

幂函数的展开式是将幂函数在某个点附近展开成幂级数的形式。

幂级数是以幂函数为基础，通过不断地求导和取极限得到的结果。

幂级数展开式能够帮助我们更好地理解幂函数的性质和特点。

幂函数的展开式可以通过泰勒级数或麦克劳林级数得到。

泰勒级数是将一个函数在某个点附近展开成无穷级数的形式。

而麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊情况，即以0为展开点的泰勒级数。

幂函数的展开式在实际应用中有着广泛的应用。

首先，通过展开式可以近似计算函数的值。

当一个函数比较复杂或难以求解时，可以通过展开式将其转化为一个幂级数，然后截取一部分幂级数来近似计算函数的值。

其次，幂函数的展开式可以帮助我们理解函数的性质。

通过展开式，我们可以观察到函数在展开点附近的凸凹性、极值点以及函数的增减性。

这对于优化问题、最大最小化问题等有着重要的指导意义。

此外，幂函数的展开式还可以用于构建数学模型。

在物理学、工程学等应用中，一些复杂的现象可以通过幂函数的展开式来描述。

通过对幂函数展开式的研究，我们可以更好地理解现象背后的规律并建立相应的数学模型。

需要注意的是，幂函数的展开式在不同的展开点附近可能具有不同的收敛性。

有些展开点可以得到收敛的幂级数展开式，而有些展开点则会出现发散的情况。

因此，在进行幂函数的展开时，我们需要选择适当的展开点，以确保展开式的收敛性。

综上所述，幂函数的展开式是数学中重要且有指导意义的概念。

它在近似计算、函数性质的研究以及数学模型构建等方面具有广泛的应用。

通过理解和应用幂函数的展开式，我们可以更好地解决实际问题并加深对数学的理解。