函数的幂级数展开式的应用54568

函数的幂级数展开式的应用
作者：王伟珠
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2012年第17期
王伟珠
（辽宁对外经贸学院，辽宁大连 116052）
摘要：学生对函数的幂级数的展开式都很熟悉，但对于它的应用了解的一般不多，本文就四个方面的应用，举例说明.
关键词：级数；应用
中图分类号：O172.1 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2012）09-0004-02
1 计算函数的近似值
有了函数的幂级数展开式，就可以用它来进行近似计算，即在展开式的有效区间上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来.
这个级数从第二项起是交错级数，如果取前n项和作为近似值，则其误差|rn|≤un+1，可算得
2 计算定积分的近似值
利用幂级数不仅可以计算函数值的近似值，而且可以计算一些定积分的近似值.如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数即可算出定积分的值.
取前四项的和作为近似值，其误差为
3 求解微分方程
当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们要寻求其他解法.这里我们举例说明下一阶微分方程初值问题的幂级数解法.
注：在进行泰勒展开时，应先展开分母，根据分母的阶来确定分子的展开式中最高次项的次数.本题如先展开分子的话，想要计算出分子的主部需要展开到x7项，这样计算量将会大大增加.
参考文献：
〔1〕吴传生.经济数学一微积分[M].高等教育出版社，2003.
〔2〕吴赣昌.微积分（经管类）[M].中国人民大学出版社，2006.。

函数幂级数的展开和应用我们称形如200102000()()()()nn nn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的级数为幂级数，它是一类最简单的函数项级数.从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，又由于函数幂级数的逐项求导和逐项可积等好的运算性质，为函数的研究和应用提供了便利的条件.1 函数幂级数展开的条件函数()f x 可以在点0x x =作幂级数展开，是指存在0x x =，使得在（r x r x +-00,）上，00()()n n n f x a x x ∞==-∑ （1） 其中()f x 是此幂级数的和函数.根据幂级数的逐项可积性，若函数()f x 能表示成幂级数()nnn a x x ∞=-∑且其收敛半径0r >，则函数()f x 在区间(,)r r -上有任意阶导数，且1'1()()n nn f x na x x -∞==-∑，'01()f x a = ，，()()00()()!,!n n n f x fx n a n ==因此自然会提出下述问题，是否每一个在区间(,)r r -上有任意阶导数的函数()f x 一定能在区间上展成形如()nnn a x x ∞=-∑的幂级数呢？回答是不一定的.例1 在),(+∞-∞上具有任意阶导数的函数21()0x e f x -⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x ≠=，易验证当0x ≠时，21'32()x f x e x -= ， 2211''4664()x x f x e e x x--=-+ ，一般来说，有21()1()()n x n fx P e x -= （0x ≠），其中1()n P x 是关于1x的某个多项式.令21t x =，易得21201lim lim 0mx m t x t te x e-→→+∞==.由此可知21()()0001lim ()lim ()lim ()0n n x n x x x fx f x P e x-+-→→→=== ),2,1,0( =n ，又因为()f x 在0x =处连续，所以有'(0)0f =.类似逐次可推得()(0)0n f = ),3,2( =n 所以()f x 在0x =的幂级数为200002!!nx x n +⨯+++显然它在),(+∞-∞上收敛，且其和函数()0s x =. 但是，()f x 只在0x =处为零值.0x ∀≠，都有 ()()f x s x ≠.上述例子告诉我们：具有任意阶导数的函数，其幂级数（泰勒级数）并不是都收敛于函数本身.那么具备什么条件的函数()f x ，它的幂级数（泰勒级数）才能收敛于()f x 本身呢？定理1 设()f x 在点0x x =具有任意阶导数，那么()f x 在区间00(,)x r x r -+内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是：对一切满足不等式0x x r -<的x ，都有lim ()0n n R x →∞=.这里()n R x 是()f x 在0x 的泰勒公式余项.应用定理1 判别一个函数是否可以展成泰勒级数常常是不方便的，我们有如下充分条件： 定理2 设()f x 在00(,)x r x r -+内有任意阶导数,若存在0M >，使得00(,)x x r x r ∀∈-+，及 ,2,1,0=∀n ， 有 ()()n n f x M ≤ (2) 则 ()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑(3) 证明 由条件(2)得，00(,)x x r x r ∀∈-+有()0()()0!!n n n nf M r x x n n ξ-≤→ ()n →∞ 即得所证. 若()f x 在0x 这一邻域内可以展开成泰勒级数，即+-++-+-+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0（4） 则（4）的右边为()f x 在0x x =处的泰勒展开式，或称幂级数展开式.在实际应用中，主要讨论函数在00x =处的展开式，这时（4）式可以写作+++++=nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2'''，称为麦克劳林级数，简称幂级数.2 函数幂级数的展开一般说来，可以将一个函数展成幂级数的方法分为直接展开法和间接展开法，下面就这两种方法做一一介绍.2.1 直接展开法这种方法也可以称其为余项估算法.设()f x 在0x x =处任意次可导，记()000()()()()!k nk n k f x R x f x x x k ==--∑()k N +∈，若()000()()()!n n n f x f x x x n ∞==-∑，只需0()x U x ∀∈，有lim ()0n n R x →∞=.当00x =时，()n R x 的各种表达式：()()n n R x x ο= （佩亚诺型余项）；(1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+，ξ在0与x 之间 （拉格朗日型余项）；(1)01()()()!x n n n R x x t f t dt n +=-⎰（积分型余项）； (1)1()()(1)!n n n n f x R x x n θθ++=-，01θ≤≤（柯西型余项）；佩亚诺型余项只是定性的描述了余项的性态不利于具体估算误差，所以我们常用其它三种余项形式.用直接展开法可得[1](5457)P -：201111!1!2!!n xnn x e x x x n n ∞===+++++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;213210(1)11sin (1)(21)!3!(21)!n n nn n x x x x x n n ∞++=-==-++-+++∑ ，(,)x ∈-∞+∞;2220(1)11cos 1(1)(2)!2!(2)!n n nn n x x x x n n ∞=-==-++-+∑ ，(,)x ∈-∞+∞;12311(1)111ln(1)(1)23n n n nn x x x x x x n n-∞-=-+==-+-+-+∑ ，(1,1]x ∈-;2(1)(1)(1)(1)12!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++，(1,1)x ∈-;arctan x =3521210(1)(1)213521n n n nn x x x x x n n +∞+=-=-+-+-+++∑ ，[1,1]x ∈-;211(21)!!arcsin (2)!!21n n n x x x n n +∞=-=++∑ ，[1,1]x ∈-;例2 求函数23()3247f x x x x =+-+在1x =处的幂级数展开式.解 由于'21(1)8,(1)(2821)15,x f f x x ===-+=''1(1)(842)34x f x ==-+=，'''()(1)42,,(1)0n f f ==，（3n >），从而总有 lim ()0n n R x →∞=（其中(1)1()(),(1)!n n n f R x x n ξ++=+ξ在0与x 之间），所以23233442()815(1)(1)(1)815(1)17(1)7(1)2!3!f x x x x x x x =+-+-+-=+-+-+- 例3 求2()sin f x x =的幂级数展式.解 由于'''00(0)0,(0)(sin 2)0,(0)(2cos 2)2,x x f f x f x ======='''(4)00(0)(4sin 2)0,()(8cos 2)8x x f x f x x ===-==-=-,,(21)(2)121(0)0,(0)(1)2,n n n n f f ---==- ，因此2122412282sin (1)(,)2!4!(2)!n n nx x x x n --=-++-+-∞+∞;x ∀，级数的拉格朗日余项2212()(21)!n n n R x x n +≤+,显然有lim ()0n n R x →∞=. 所以上述展式成立.2.2 间接展开法上面讨论的几个函数展开都是采用直接展开法.一般说来，求函数的各阶导数比较麻烦，尤其要检验余项是否趋向于零，往往不是一件容易的事.因此，在可能的情况下，我们总是尽可能不用直接方法，而采用间接方法把已给函数展成幂级数，所谓间接展开法指的是，利用已知的函数展开式作为出发点，把给定函数展开成幂级数.由于函数展成幂级数的唯一性，用这种方法展开的结果应与直接方法展开的结果完全一致.在实际的练习中，将初等函数展开为幂级数，要用到多种方法，现将其常用的方法归结如下： 2.2.1通过变形，利用已知的展开式例4 将下列函数展成x 的幂级数.1）241()(1)(1)(1)f x x x x =+++ 解 241()(1)(1)(1)f x x x x =+++811x x -==- 8898810(1)1n n n n x x x x x x x ∞+=-=-+-++-+∑ ,(11)x -<<.2）3()sin x x ϕ=解 2121300313(1)1(1)(3)sin sin sin 3444(21)!4(21)!n n n n n n x x x x x n n ++∞∞==--=-=-++∑∑34=2210(1)(13)(21)!nn n n x n ∞+=--+∑ , (,)x ∈-∞+∞. 例5 设0x >，求证：㏑x =2[ ++-++-++-53)11(51)11(3111x x x x x x ] 证明 令11x t x -=+即11tx t+=-，从而 121111ln ln ln(1)ln(1)(1)(1)1n n n n n n t t t x t t t n n ∞∞--==+==+--=----∑∑ 1211211111[(1)(1)][(1)(1)]()1nn n n n n n n t x n n x ∞∞----==-=---=---+∑∑ 35111112[()()]13151x x x x x x ---=++++++例6 求函数2()(1)(1)xf x x x =--的麦克劳林展式. 解 设222(1)(1)(1)(1)11(1)x x A B C x x x x x x x ==++--+-+--得111,,,442A B C =-=-=又221(1)(1)(1)n n x n x x ∞-==-=+-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑，011nn x x ∞==-∑ （11x -<<） 所以20011(1)11(1)((1))()(1)(1)2222n n n nn n x n x n x x x ∞∞==+---=+-=+--∑∑，（11x -<<） 2.2.2 利用逐项积分或逐项微分法 例7 求2()xt F x e dt -=⎰的幂级数展开式.解 将2x -代替xe 展式中的x ，得+-+++-=-nn x x n x x e242!)1(!21!1112，()x -∞<<+∞.再逐项求积分就得到()F x 在（,-∞+∞）展开式2357210111(1)()1!32!53!7!21n n xt x x x x F x e dt x n n +--==-+-++++⎰ .例8 试求22()arctan2xf x x =-的幂级数展开式. 解 2''22000221()()(arctan )(1)221()2xxx t t f x f x dt dt dt t t ===+-+⎰⎰⎰ =2400(1)(1)()24nxn n t t dt ∞=+-∑⎰ (t < 2222222234500[1()()()()](1)()222222n xx nn t t t t tt dt dt ⎡⎤∞⎢⎥⎣⎦==+--++-=-∑⎰⎰2120(1)2(21)n n n n x n⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦==-+∑，(t <当x =2122011111(1)(1))2(21)21357911n n nnn n n n ⎡⎤⎡⎤+∞∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==-=-=+--++-++∑∑001111111(1)()()2((1)(1))3579114143n nn n n n ∞∞==⎤=+-+++-=-+-⎥++⎦∑∑可见x=x =22()arctan2xf x x=-在x =所以上面展式在⎡⎣上成立.2.2.3 利用待定系数法 例9 求2sin 12cos x x xαα-+ (1)x <的幂级数展式. 解 设2sin 12cos n n n x a x x x αα∞==-+∑,则20sin (12cos )nn n x x x a x αα∞==-+∑232323012301201(2cos )(2cos )(2cos )a a x a x a x a x a x a x a x a x ααα=++++---++++比较等式两边同次幂的系数，得0120,sin ,sin 2,,sin n a a a a n ααα====，这里用到三角恒等式sin(1)2sin cos sin(1)n n n αααα+=⋅-- (2,3,)n =，所以 原式= ++++nx n x x αααsin 2sin sin 22.2.4 利用级数的运算（加，减，乘，复合） 例10 求2()ln (1)f x x =-的幂级数展开式.解 由于10ln(1)1n n x x n +∞=-=-+∑在[1,1)-上内闭一致收敛，故[1,1)-上可用级数乘法2321111111111()()23121321n n x x f x x x n n n n ∞+=⎡⎤=----=++++⎢⎥--⎣⎦∑ =()()111111111()()(1)11nn n n n k n k k n k x x k n k n k n k ∞∞++====++-⎡⎤⎣⎦=+-++-∑∑∑∑ 111111111112111n n n n n k n k x x n n k k n k ∞∞++====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥++-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 1111121231n n x n n +∞=⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭∑ 上面的展式在[1,1)-内成立.例11 求()()111x f x x e =+按x 的幂的展开式至三次项.解 ()()111x f x x e=+()()111111ln 11nn n x x x nxee∞-=--+-∑== (1)x <= +-+-43232x x x e23232323111()()()23422346234x x x x x x x x x =+-+-++-+-++-+-+)11(,167241121132<<-+-+-=x x x x 2.2.5 其它方法举例例 12 求函数()sin xf x e x =的麦克劳林级数的前四项. 解23521111111sin (1)((1))1!2!!3!5!(21)!x nnn e x x x x x x x x n n +=+++++-+++-++233441111()()3!2!3!3!x x x x x x =++-++-++ 2313x x x =+++3 幂级数的应用3.1 计算积分 例13 计算积分120ln 1xdx x -⎰ 解 11112222220000ln 1ln ln ln 111x x x x dx xdx xdx xdx x x x -+==+---⎰⎰⎰⎰ 因为10ln 1xdx =-⎰，及2221ln ln 1nn x x x x x ∞==-∑，故 原式=12101ln n n x xdx ∞=-+∑⎰. 又知级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0，1]上不一致收敛，但仍可在(0，1]上逐项积分①，因此原式12011ln nn x xdx ∞==-+∑⎰()()2211112121n n n n ∞∞===--=-++∑∑()()22220111111()2212n n n n n n ∞∞∞====-+++∑∑∑2222221111126248n n nnπππ∞∞===-+=-+=-∑∑ 例14 计算22cos(sin )x x d πθπ⎰解 因()()21(sin )cos sin 11(2)!k kk x x k θθ∞==+-∑ ()()221sin 112!k k kk x k θ∞==+-∑ ， (,)x ∈-∞+∞故2222222001122(1)(1)cos(sin )sin 12(2)!(!)2k k k k kk k k xx x d d k k πππθθθθππ∞∞==⎡⎤--=+=+⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ 3.2 证明不等式幂级数是表达函数的重要工具，因此也可应用于证明函数不等式. 例15 证明不等式222,(,)x x x e e e x -+≤∈-∞+∞ 证明 因2022(2)!n xxn x e echx n ∞-=+==∑,222022(2)!!x nn x e n ∞==∑,而22(2)!(2)!!n n x x n n ≤,故222,xx xe e e -+≤ 例16 确定λ的值，使得22,(,)x x x e e e x λ-+≤∈-∞+∞解1）若上述不等式成立，则有222220001110()()2!2!2!2!x x n n n n n x n nn n n n n n n e e x x x x e n n n n λλλλ-∞∞∞∞====+≤-=-=-=-∑∑∑∑ 两端除以2x ，再令0x =，可得12λ≥.2）若12λ≥ ，则有22222002(2)!2!x x x n nx n n n e e x x e e n n λ-∞∞==+===≤∑∑3.3 近似计算幂级数常常用于近似计算. 例17 求下列各值的近似值： （1）e ，使误差小于0.001；解 在xe 的展开式中令1x =，得111112!3!!e n =++++++ 若取上述级数的前(1)n +项作为e 的近似值，即设111112!3!!e n ≈+++++则误差11(1)!(2)!n R n n =++++ 111[1](1)!2(2)(3)n n n n =+++++++2111111[1]1(1)!1(1)(1)!!11n n n n n nn <+++==++++-+ 所以要使0.001n R <，只要!1000n n >，可算出当6n =时就满足要求.因而可取前七位即可，即11111 2.7182!3!6!e ≈+++++= （2）6π，使误差小于0.001；解 在arcsin x 的展开式中令12x =，得3521111131(21)!!1622322452(2)!!(21)2n n n n π+⨯-≈+++++⨯⨯⨯+若取前(1)n +项作为6π的近似值，误差2325(21)!!1(23)!!1(22)!!(23)2(24)!!(25)2n n n n n R n n n n ++++=++++++2324(21)!!111(1)(22)!!(23)222n n n n ++<+++++234(21)!!13(22)!!(23)2n n n n ++=++要使0.001n R <，只要使上式右端小于0.001即可，不难算出当2n =时即满足要求，因而取前三项即可，即45111310.52362322452π⨯≈++=⨯⨯⨯ 3.4 应用幂级数性质求下列级数的和 例18()11!n nn ∞=+∑ 分析 ()11!n n n ∞=+∑是幂级数()111!n n nx n ∞+=+∑的和函数在1x =处的值.解 设()()111!n n nf x x n ∞+==+∑ ()x -∞<<+∞， 则()1110'()1!(1)!!n n nx n n n x x x f x x x xe n n n -∞∞∞=======--∑∑∑ ()x -∞<<+∞，所以0()(0)'()1xxtxxf x f f t dt te dt xe e =+==-+⎰⎰，从而()1(1)11!n nf n ∞===+∑.3.5 利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限 例19 21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 因为23311111ln 123o x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 原式223311111111lim lim 23232x x x x x x x x x x x x οο→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--++=-+-+=⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 例20 3arcsin limsin x x x x→∞-解 因为()()331arcsin ,sin 6x x x o x x x o x =++=+，所以原式=()()()()()333333311166lim lim 6x x x x x o x x o x x o x x o x →∞→∞⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭==-++ 3.6 求幂级数的和函数例21 +++++++12531253n x x x x n 解 设2121n n x n μ+=+，因21lim n x nu x u +→∞=，故原级数的收敛半径1R =，又当1x =±时，原级数可化为0121n n ∞=⎛⎫± ⎪+⎝⎭∑发散，从而得收敛域为(1,1)-. 设()()21021n n x S x n +∞==+∑ ()()1,1x ∈-，在()1,1x ∈-内逐项求导，得()2201'1nn S x x x ∞===-∑， 故和函数()()()2011'0ln 121xxdt xS x S t dt S t x +==+=--⎰⎰ ()1,1x ∈-. 例22 求幂级数()()211nn n x n n ∞=--∑的和函数. 解 易知原级数的收敛域为[1,1]-.记()()21()1nn n F x x n n ∞=-=-∑，则()()()()()1222111'()()'()'111nnnn nn n n n F x x x x n n n n n ∞∞∞-===---===---∑∑∑，()()()()21122222111''()()'()'1111nnn n n n n n n n F x xxnxx n n x ∞∞∞∞----====--===-==--+∑∑∑∑故()001'()''()ln 11xxF x F t dt dt x t ===++⎰⎰， ()()()0()'()ln 11ln 1xxF x F t dt t dt x x x ==+=++-⎰⎰，所以()()()()211ln 11n n x x x x n n ∞=-=++--∑ ,(1,1)-.注释： ① 求证级数21ln nn xx ∞=∑虽然在(0,1]上不一致收敛，但仍可以在(0,1]上逐项积分证 1当1x =时级数通项()211ln |0nn x u x x ===．当01x <<，21nn xlnx ∞=∑为等比级数，所以和22ln ()10x x S x x⎧⎪=-⎨⎪⎩， 011x x <<= 时，可见211(10)lim ln(1(1))(1).(1)(1)2x x S x S x x -→-=--=≠+- 故 该级数非一致收敛（根据和函数连续定理）.2（证明能逐项积分）因22222221ln ()ln ln ,11n kn n k n x x x R x x x x x x x +∞=+===⋅--∑其中220ln lim 1x x xx +→-及221ln lim 1x x x x -→-都有有限极限，且22ln 1x x x -在(0,1)内连续，所以22ln 1x x x -在(0,1)内有界，即0M ∃>，使得22ln ||1x xM x ≤-，故 2|()|n n R x M x ≤⋅, 11120|()||()|0().21n n n MR x dx R x dx M x dx n n ≤≤=→→∞+⎰⎰⎰ 此即表明1lim ()0.n n R x dx →∞=⎰级数可以逐项取积分.。

浅析幂级数展开式的应用摘要：函数展成幂级数能解决许多疑难问题。

本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。

关键词：函数；幂级数；展开式Analyses the Application of the Power Series ExpansionsAbstract：Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems.Key words：function，power series，expansion目录0 引言 (1)1 幂级数的展开 (1)1.1 直接展开法 (1)1.2 间接展开法 (1)2 幂级数展开式的应用 (2)2.1 利用幂级数求极限 (2)2.2 幂级数在不等式证明中的应用 (2)2.3 幂级数在组合恒等式中的应用 (3)2.4 应用幂级数求高阶导数 (4)2.5 应用幂级数展开式推导欧拉公式 (5)2.6 求非初等函数的原函数 (5)2.7 利用幂级数求数项级数的和 (6)2.8 幂级数在微分方程中的应用 (7)2.9 幂级数应用于近似计算 (8)3 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)浅析幂级数展开式的应用0 引言形如2001020()()()n n n a x x a a x x a x x ∞=-=+-+-+∑⋅⋅⋅0()n n a x x +-+⋅⋅⋅的函数项级数称为幂级数，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，常能将问题化难为易，简化计算.1 幂级数的展开函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法.1.1 直接展开法直接展开法是比较麻烦的.首先，函数()f x 的各阶导数不一定容易求得，其次，要证明余项110()()()0(1)!n n n fR x x x n ξ++=-→+ ()n →∞，即使在初等函数中也是比较困难的.1.2 间接展开法间接展开法是根据函数()f x 的幂级数展开式的唯一性，选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算，一般用的方法有：（1）应用基本展开式，通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式； （2）应用逐项求导或逐项积分法；（3）应用级数的用算，如加、减、乘、除等； （4）用待定系数法.这样简化计算过程，就可以避免余项极限的研究.间接展开法是最常用的将函数展成幂级数的方法.2 幂级数展开式的应用幂级数是一类简单的函数项级数，通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题，它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.2.1[1] 利用幂级数求极限例1[1] 求极限201lim ln 1x x x x →⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解 因为()23111111111ln 1123nn x x x x n x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⋅-⋅⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1,2,n =⋅⋅⋅所以我们可以得到()2312211111111ln 1123nn x x x x x x x x n x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--⋅+⋅-⋅⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2111111123n n x nx --⎛⎫=-⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭又因为()2111lim 10n n x n x --→⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭所以2011lim ln 12x x x x →⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2.2[2] 幂级数在不等式证明中的应用例2 证明不等式222xx xe e e-+≤ (),x ∈-∞+∞. 证明 因为!n xn xe n ∞==∑()1!nnxn xen ∞-==-∑ (),x ∈-∞+∞而()2022!n x xn xe en ∞-=+=∑()222222!!xnn xen ∞==∑由于()()222!2!!nnxxn n ≤所以就可以得到222xx xe ee-+≤2.3[3] 幂级数在组合恒等式中的应用例3 证明02224nnk k n k k n k =-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑ ()0,1,2k n =⋅⋅⋅.证明 由于()()121211414x x -=--()0111112224!k k k k x k ≥⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-∑()0135212!kk k k xk ≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⎡⎤⎣⎦=∑()()135212!!!kkk k k x k k ≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⎡⎤⎣⎦=∑()02!!!kk k x k k ≥=∑02k k kx k ≥⎛⎫=⎪⎝⎭∑ 所以2k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()12114x -展开式k x 的系数，同理可得()222n k n k n k n k -⎛-⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭是()12114x -展开式n kx -的系数 从而得到 0222nk k n k k n k =-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑是()()1122111141414x x x ⋅=---展开式n x 的系数又114414nnx x x=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-所以02224nn k k n k k n k =-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑2.4 应用幂级数求高阶导数例4 设()()2ln 2f x x x =-，求()1nf.解 由题目知()()()22ln 2ln 11f x x xx ⎡⎤=-=--⎣⎦令1t x =-，则上式就为 ()221l n 1nn ttn∞=-=-∑()11t -<≤()2111nn x n∞==--∑由此可以得到()()212!12!nn fn nn=-⋅=-()2110n f-=2.5[4] 应用幂级数展开式推导欧拉公式例5 试用幂级数展开式推导欧拉公式：sin 2ixixe e x i--=c o s2i x i xe ex -+=.解 当x 为实数时，由指数函数的幂级数展开式知!nxn xe n ∞==∑(),x ∈-∞+∞用纯虚数ix 代替变量x ，有()()()()()234511111!2!3!4!5!nixn ix e ix ix ix ix ix n ∞===++++++⋅⋅⋅∑由于i =，()41n i i +=，()421n i +=-，()43n ii +=-，()441n i+=，0,1,2,n =⋅⋅⋅从而得到243512!4!3!5!ixx x x x e i x ⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin x i x=+即cos sin ixe x i x =+ ()1在()1式中以x -替换x 可得cos sin ixex i x -=- ()2由()1()2两式可得s i n 2i xi xe e x i--=c o s 2i x i xe ex -+=2.6[5] 求非初等函数的原函数例6 求连续函数2x e -的原函数()F x . 解 由积分知识我们可知2x e -的原函数为 2xted t -⎰x R ∈因为!nxn xe n ∞==∑x R ∈令2x t =-，从而得到()2201!nnt n te n ∞-=-=∑()2462112!3!!nntttt n -=-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅对幂级数在收敛区间内逐项求积分得()2xtF x edt-=⎰()3572111132!53!7!!21nn xxxxx n n +-=-+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+2.7 利用幂级数求数项级数的和例7 计算数项级数1112nn nn ∞=⋅+∑的和.解 首先构造一个辅助幂级数使其符合下面条件：(1) 使1112nn nn ∞=⋅+∑为幂级数当x 取特定值时的结果(2) 辅助幂级数容易求和本题取辅助级数()1nn s x x n =+，此时其收敛域为()1,1-，然后求辅助幂级数的和函数()1nn s x x n =+1111n n x n ∞=⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∑1111nnn n x x n ∞∞===-+∑∑111111n n x x xx n ∞+==--+∑ () 0 , 1x x ≠<记 ()11111n n S x xn ∞+==+∑ () 1x < ()11'1nn x S x x x∞===-∑从而得到()100'1xx t S t dt dt t=-⎰⎰()()()110101ln 11x S x S dt x x t ⎛⎫-=-=---⎪-⎝⎭⎰所以()()l n 111x x S x xx-=++-111112ln 122nn nx S n ∞=⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑()21l n 2=-2.8[6] 幂级数在微分方程中的应用例8 求方程0y xy ''-=满足初始条件()00y =，()01y '=的特解. 解 设2012n n y a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅是0y xy ''-=的特解 则1122n n y a a x na x-'=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅()2221n n y a n n a x-''=+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅由()00y =，()01y '=得00a =，11a = 将y 与y ''代入0y xy ''-=中得()()2230323210n n n a a a x n n a a x--+⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦由于左边恒等于零，则各项系数必为零，即 220a = 3060a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅()310n n n n a a -⋅--=由此可以得到20a =和递推公式()31n n a a n n -=-由00a =得03032a a ==⋅，进而得到69,a a ⋅⋅⋅皆为0；由20a =得25054a a ==⋅，进而得到811,a a ⋅⋅⋅皆为0；由11a =得1414343a a ==⋅⋅，471767643a a ==⋅⋅⋅⋅．故所求特解为：47437643xxy x =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅()x -∞<<+∞2.9[7] 幂级数应用于近似计算()1 函数值的计算例9计算的近似值，使之绝对误差不超过410-. 解 因为3==⨯由 ()()()()2111112 !!nn x x x x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (1)x <令 512 , 53x α==得255111122553 1532 !3⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦252512423 1532 !53⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦由于5291244310.0000253253⎛⎫⎛⎫+<⋅< ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭ 所以51231 3.004953⎛⎫⎛⎫≈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例10 计算arcsin 0.2 ，绝对误差不超过410-. 解 设()arcsin f x x =，则()1221'()1f x x-==-()21111112221!nnnxn∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅--+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-∑()1x<()()()21121!!112!nn nnnnxn∞=--=+-∑()()2121!!12!!nnnxn∞=-=+∑两边积分得()()()()()21121!!2!!2n1nnnf x f x xn∞+=--=++∑()1x<()()()21121!!arcsin2!!2n1nnnx x xn∞+=-=++∑()1x<令0.2x=得()()()()()21121!!arcsin0.20.20.22!!2k1kkkk∞+=-=++∑()()()()2122121!!0.22!!2k1knk nkrk∞++=+-=+∑()21110.22 1kk nk∞+=+<+∑()()()23240.21(0.20.2)23nn+≤+++⋅⋅⋅+()()230.20.9623nn+=+当1n=时()540.20.0000660.00010.965r≤=<⨯所以()()31a r c s i n0.20.20.20.201323≈+≈⨯()2 积分的近似值计算例11 计算210x e dx -⎰的近似值，使之绝对误差不超过410-.解 因为!nxn xe n ∞==∑() , x ∈-∞+∞所以就可以得到 ()2462211, 2!3!!n n xx x x exx R n-=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈()()210111111 3104221!nxedx n n -=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+⎰这是一个交错级数，由于 ()4711102717!75600a -==<⨯+⨯于是有21401111111103104221613209360xed x --⎛⎫--+-+-+< ⎪⎝⎭⎰所以积分的符合精度要求的近似值为21011111113104221613209360xed x -≈-+-+-+⎰0.7468≈3 结束语幂级数展开式在有些数学计算中提供了捷径，它有许多方便的运算性质，在研究函数方面成为一个很有力的工具.参考文献[1] 王金城.浅析幂级数展开式的应用[J].科技信息.2004年24期：425～427.[2] 刘玉琏.傅沛仁编; 数学分析讲义[M]. 高等教育出版社, 1992：61.[3] 张淑辉.幂级数的应用[J]. 太原教育学院学报. 2005年S1期：95.[4] 钟玉泉．复变函数论[Ｍ]．北京：高等教育出版社，2003：164～165.[5] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[Ｍ]．北京：高等教育出版社，2001：52～60.[6] 王高雄．常微分方程[Ｍ]．北京：高等教育出版社，2007：173～174.[7] 吉米多维奇．数学分析习题解（四）[Ｍ]．山东：山东科技出版社，1999：637～674.致谢本文是在张老师精心指导和大力支持下完成的。

函数的幂级数展开及其应用
函数的幂级数展开指将一个函数表示成一个无穷级数的形式，其中每一项都是该函数的幂函数，常常用于求解微积分问题和数学物理问题。

以函数$f(x)$在$x_0$处的幂级数展开为例，其一般形式为：
$$ f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n (x-x_0)^n $$
其中，$a_n$为展开系数，可以通过求解$f(x)$在$x_0$处的各阶导数来计算，即：
$$ a_n = \\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} $$
应用幂级数展开，可以求解一些常见的数学问题，例如：
1. 求解函数在某一点的近似值：可以通过对函数在该点处的幂级数展开，截取前几项进行计算，得到一个逼近函数。

2. 求解函数的极限：当幂级数的展开系数趋近于零时，可以证明该函数收敛于幂级数展开式。

3. 求解常微分方程：有些常微分方程可以通过将其转化为幂级数展开的形式，从而求解其解析解。

4. 计算函数的积分、导数等：有时候可以通过将函数先展开成幂级数，在进行积分、导数等运算。