苏教版数学高一-必修4导学案 弧度制 学生版

弧度制导学案一、学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||lrα=（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

二、学习重、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。

三、预习导引 （一）问题情境复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o角的？（初中时把一个周角的1360记为1o） 1．在本章引言中，考虑用（r , l ）来表示点P,那么r , l , α之间具有怎样的关系。

2．在本章将学习三角函数，函数自变量必须为实数，而我们学习的角用度来表示，显然不能作为三角函数的自变量，如何用实数来表示角。

（二）研讨新知 1．弧度制的定义：规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ． 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是： 2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度的绝对值是rl =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是4||4l r r rπαπ-=-=-=-． 3．角度与弧度的换算3602π=orad 180π=orad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈o4．弧长公式：在弧度制下，弧长公式又如何表示？因为||l rα=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=⋅．5．扇形面积公式：扇形面积公式为：22||1222lr S r r lr αππππ=⋅==．说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位．四、典例练讲------数学应用（一）角的角度制与弧度的相互转化 例1把下列各角从弧度化为度：（1）35π (2) 3.5 (3) 2 (4)4π例2把下列各角从度化为弧度：(1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067︒（二) 用弧度制分别表示轴线角、象限角、终边相同的角等角的集合 例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(38)必修4_01 弧度制班级姓名目标要求1．理解弧度的意义;2．掌握弧度制与角度制互化公式，能熟练地进行弧度与角度的互化;3．理解角的集合与实数集R是一一对应的．重点难点重点：弧度与角度的互化难点：弧度制的理解教学过程：一、问题情境：在本章引言中,我们曾考虑用(r, l)来表示点P,那么r, l与α之间具有怎样的关系呢?二、数学建构1、角度制：2、弧度制：3、度与弧度的换算公式：4、弧长公式：扇形面积公式：一、 典例剖析例1 将下列弧度数化为角度数：（1）35π； （2）3.5例2 将下列角度数化为弧度数：（1）252°； （2）11°15’例3 把下列各角化为2k πα+()02,k Z απ≤<∈的形式，并指出它们是第几象限角.（1）－1500°； （2）2008π； （3）－6例4 已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，求该扇形的面积．引申：扇形的周长为a ，当扇形的圆心角α和半经r 各取何值时，扇形的面积最大．例 5 如图，已知圆上一点A(1,0)按逆时针方向作匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角)0(πθ≤<，经过2秒种到达第三象限，经过14秒钟又转到与最初位置重合，求角θ的弧度数．四、课堂练习1、用弧度制表示：（1）终边在x 轴上的角的集合_____________________（2）第二象限的角的集合_______________________________2、若α=1rad ，则角α终边在第____象限，若α=2，则角α终边在第____象限，若α=3，则角α终边在第____象，限若α=4，则角α终边在第____象限，若α=6，则角α终边在第____象限．3、已知扇形周长为6cm ，面积为2cm 2 , 则扇形圆心角的弧度数为__________．4、把下列各角化成2(02,)k k Z απαπ+≤<∈的形式，并指出它们是第几象限角：（1）236π； （2）1500-o五、课堂小结1. 弧度的定义、弧度与角度之间的转化,以及弧度制下弧长公式及扇形的面积公式.2. 会应用所学的知识来处理实际问题,同时,要注重方程思想及消元思想的应用.江苏省泰兴中学高一数学作业(38)班级 姓名 得分1、若α是第四象限角，则απ-一定在第 象限。

第四课时 弧度制(二)教学目标：理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，运用弧长公式、扇形面积公式解、证一些题目；使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.教学重点：角的集合与实数集R 之间的一一对应关系，弧度制的简单应用.教学难点：弧度制的简单应用教学过程：角的集合与实数集R 之间是一一对应的，即正角对应正实数，负角对应负实数，零角对应0.在弧度制下，弧长公式是怎样的呢?l ＝｜α｜r ，其中l 表示弧长，r 表示圆半径，α表示圆心角的弧度数.扇形的面积公式S ＝12l Ｒ.其中l 是扇形的弧长，R 是圆的半径，在弧度制下证明，同学们是否想过在角度制下的证明，比较之，哪个方法更简便些?能够写出弧度制下扇形的面积公式吗?即用角的弧度数α与圆的半径R 表示扇形的面积.S ＝12｜α｜Ｒ2. 引入弧度制有什么好处呢?弧度制下的弧长公式比角度制下的弧长公式简单，弧度制下的扇形面积公式比角度制下的扇形面积公式简单，还有一点，弧度表示角时，找与角对应的实数相当方便，而角度表示角时，找与角对应的实数还须进行一番计算.［例1］已知一扇形的周长为c (c ＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，面积为S∵c ＝2R ＋l ，∴R ＝c －l 2(l ＜c ) 则S ＝12 Rl ＝12 ×c －l 2 ·l ＝14(cl －l 2) ＝－14 (l 2－cl )＝－14 (l －c 2 )2＋c 216∴当l ＝c 2 时，S max ＝c 216答：当扇形的弧长为 c 2 时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是c 216. ［例2］一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB 和弦AB 的长.分析：欲求∠AOB ，需要知道的长和半径OA 的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB 中求弦AB 的长.作OM ⊥AB 交AB于M ，则AM ＝BM ＝12 AB ，在Rt △AMO 中求AM .解：设扇形的半径为R cm.∠AOB =α rad. 据题意⎪⎩⎪⎨⎧==+121422αR aR R 解之得⎩⎨⎧==21αR 过O 作OM ⊥AB 交AB 于M .则AM ＝BM ＝12A B. 在Rt △AMO 中，AM ＝sin1，∴AB ＝2sin1故∠AOB ＝2 rad.该AB 的长为2sin1厘米.Ⅱ.课堂练习课本P 10练习 5、6Ⅲ.课时小结这节课，同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，大家能总结出引入弧度制的好处，这点很好，以后的学习中，我们就是要随着学习内容的增加、知识的丰富，不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，使易记、好用.特别是生丙、生戊善于联想、积极探索的学习品质，更是我们大家学习的榜样，同学们这样持之以恒的坚持下去，我们的数学学习效果将会是非常出色的.Ⅳ.课后作业（一）课本P 10习题 8、9、13.（二）1.预习内容：任意角的三角函数(P 12~P 15)2.预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的?弧度制(二)1．一钟表的分针长10 cm ，经过25分钟，分针的端点所转过的长为__________cm. （ ）A.70B. 706C. 25π3－4 3 D. 25π32．如果弓形的弧所对的圆心角为π3，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是_____cm 2.（ ）A. 4π9 －4 3B. 4π3－4 3 C. 8π3 －4 3 D. 8π3－2 3 3．设集合M ＝{α|α＝k π±π6 ，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k π＋(－1)k π6，k ∈Z }那么下列结论中正确的是 （ ）A.M ＝NB.M NC.N MD.M N 且N M4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 （ ）A. π3B. 2π3C. 3D.25．已知扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为8 cm ，则扇形的面积为_________cm 2.6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.7．若角α的终边与85 π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与α4角的终边相同的角是 .8．已知扇形AOB 的圆心角α＝120°，半径r ＝3，求扇形的面积.9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？弧度制(二)答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．4 6．13 7．25 π 910 π 75 π 1910π 8．已知扇形AOB 的圆心角α＝120°，半径r ＝3，求扇形的面积.解：α＝120°＝2π3rad ∴S ＝12 r 2α＝12 ×32×2π3＝3π(面积单位） 答：扇形的面积为3π面积单位.9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.解：由已知可得r ＝21sin 1, ∴l ＝r ·α＝21sin 1S 扇＝12 l ·r ＝12 ·r 2·α＝12 ·21sin 12＝21sin 21210．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：∵l ＝20－2r∴S ＝12 lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25 ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2此时，α＝l r ＝20－2×55＝2(rad)。

1.1.2 弧度制教学目标：1．理解1弧度的角及弧度的定义；2．掌握角度与弧度的换算公式并熟练进行角度与弧度的换算；3．理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．教学重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；熟练进行弧长和面积公式的应用． 教学难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．教学方法：问题链导学法．教学过程：一、问题情境探究：l 、α、r 三者之间关系. 二、学生活动1．改变α、r ,观察l 的变化 2．改变l ，r ，观察α的变化 3．分析原因 三、建构数学1．弧度角的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2．记法：1rad ． 3．引入弧度制的概念4．通过问题构建弧长，半径，圆心角之间的关系：l = |α| r 5．通过问题引导学生进行角度制与弧度制的互换．A360°＝2πrad 180°= πrad1801π=︒rad ≈0.01745rad 1rad =︒)180(π≈57.30°6．通过问题引导学生推导出弧度制下的扇形面积公式． 四、数学应用 1．例题．例1 把下列各角从度化为弧度．（1）135° （2）-75° （3）11°15′例2 把下列各角从弧度化为度． （1）53πrad （2）34πrad例3 已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，求该扇形的面积.2．练习． （1）填表说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算． （2）用弧度制写出终边落在y 轴上和x 轴上的角集合．（3）周长为20的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1． 弧度制的定义； 2． 角度与弧度的换算公式； 3． 特殊角的弧度数．。

高中数学1.1.2 弧度制互动课堂学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学1.1.2 弧度制互动课堂学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高中数学 1.1。

2 弧度制互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.度量角的单位制：角度制、弧度制 （1)角度制初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度，规定周角的3601为1度角,记作1°，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

（2)弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下，1弧度记作1 rad. (3)弧度数 如下图1，的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即rl=1。

图1 图2在图2中，圆心角∠AOC 所对的的长l=2r ，那么∠AOC 的弧度数就是22==rrr l如果圆心角所对的弧长l=2πr （即弧长是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是rrr l π2==2π.如果圆心角表示一个负数，且它所对的弧的长l=4πr，那么这个角的弧度数的绝对值是rrr l π4==4π，即这个角的弧度数是—4π。

一般地，正确的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是零。

2。

弧长公式与 扇形面积公式（1）设l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径，则有l=｜α|·r,其中α是角的弧度数.（2)扇形面积公式S=21lr=21α·r 2. 3。

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第２课时 弧度制【自主学习】1．我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度-弧度制,它是如何定义呢?叫做1弧度的角,记作 ．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.思考：若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？2.角度制与弧度制互化：0360＝ 01= 1rad =角度制与弧度制互化时要抓住180π=弧度这个关键． 3.弧长公式,扇形面积公式如图，设长度为r 的线段OA 绕端点O 旋转形成角α（α为任意角,单位为弧度),若将此旋转过程中点A 所经过的路径看成是圆心角α所对的弧，设弧长为l ，则有l ＝ 若2απ≤,则有圆心角为α的扇形的面积为: S = = .4.如图2所示，六条直径将顶点在圆心的周角等分,试写出在[0,2)π内，终边与各半径重合的角的弧度数和相应的角度数.【典型例题】例1把下列各角从弧度化为度。

A图10rad=0oπrad=180o（1)35π;(2)3.5；(3)712π.例２把下列各角从度化为弧度. （１)0252；（2)0/1115；(3）0/2230.例3 （１）已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ,求该扇形的面积。

（2)如图,扇形OAB 的面积是24cm ,它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长.【当堂检测】1． 1500-＝ 弧度,18645'= 弧度. 2.95π-= 度,83ｒad= 度． OAB３.若3α=rad,则α的终边在第 象限． 7弧度的角是第 象限角,与7弧度角终边相同的最小正角为 .4.将分针拨快１0分钟,分针转过的弧度数为 ．５． 半径为1的圆中，弧长为x 的弧所对圆心角的弧度数为 . 6.若56παπ<<,且角α的终边与23π-的终边互相垂直，则α＝ 。

课 题：1.1.2弧度制（二） 教学目的：1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

弧度制崔恩华教学目标：1．理解弧度的意义；2．能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；3．掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决简单的实际问题．教学重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；教学难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．教学过程：1、在生活中，度量长度可以用米、尺、寸等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨等不同的单位制，并且这些单位制之间可以相互转化，那么度量角除了用“度〞还有其它单位制吗？如果有，它们之间又如何转化？2、初中角度制是如何定义的？3、探究：如下图，圆O的半径为，的圆心角所对应的弧长为的圆心角所对应的弧长为反之，弧长为的弧所对应的圆心角的度数为那么，弧长为的弧所对应的圆心角的度数为度上述公式说明，我们可以用作为一个长度单位去度量弧长，从而求出该弧所对应的圆心角的度数！练习：假设，，那么度〔结果保存一位小数〕因为是一个无理数，所以用作为一个长度单位不方便计算，那么你认为长度单位应该选什么呢？4、弧度角的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角记作：1rad．只要不引起误解，单位可以省略不写，例如1rad可以写成1用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制。

角度制下：，弧度制下：5、1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？6、因为旋转方向不同，任意角分为正角、负角和零角，那么它们对应的弧度数分别是什么？7、在弧度制下，请写出与、之间的关系式。

8、例题．例1 把以下各角从度化为弧度．〔1〕〔2〕例2 把以下各角从弧度化为度．（1）rad 〔2〕rad填表9、角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系。

即：每一个角都对应唯一的一个实数〔该角的弧度数或者度数〕，反过来每一个实数也都对应唯一的一个角。

10、小结11、思考题：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别是什么？。

《弧度制》教学设计教材分析“弧度制”是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容。

一般在高一函数学完以后上。

前面所学的任意角为本节课的学习起到铺垫作用。

应用弧度制，能使三角的有关计算大大简化；弧度的扇形模型体现了把线段和弧的度量单位统一的思想，为今后学习三角函数带来很大的方便。

通过本节课的学习学生可以认识到角度制的产生和弧度制的产生过程十分相似，都是利用等分圆周得到单位弧长，从而定义单位角的大小。

不同点在于把圆周按不同方式进行等分。

教学目标1．理解弧度的意义,能够正确进行角度与弧度的换算． 2．能熟记特殊角的弧度．3．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并且能够解决一些简单实际问题．教学重点理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算.教学难点理解弧度制定义. 教学方法在自主学习中通过类比角度制得到弧度制。

学情分析同学们在初中已经学过角度制并在上一节课学过任意角，也已经掌握了一些基本单位的转化方式，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便。

一、引入新课1. 1磅等于多少公斤？设计意图：通过介绍郎平的体重说明一个量可以有多种度量制度。

2.设计意图：通过比较大小让学生发现 是实数，是十进制，而 是角度，是六十进制，单位不统一，不能直接比较大小，要想比较大小，必须将单位统一，一个是角度的六十进制运算，一个是实数的十进制运算，那种更简单？从而引入本节课的主题—角的新的度量方式二、探索新知问题：1．将射线OB 绕着O 点进行旋转，我们可以发现什么？ 2． ）的角是如何定义的？度（︒11比大小？和︒︒3030sin 2130sin =︒︒30历史资料:早在公元前300多年，古巴比伦人是受“黄道12星座”和“春秋分日，太阳划过半个周天的轨迹，恰好等于180个太阳直径”的启发，把圆周定义分为360个等份，每一份为1度，每一份所对的圆心角为1度的角。

3．你认为角度制是为了度量什么而出现的呢？设计意图：哈尔莫斯说过“问题是数学的心脏”。

总 课 题任意角、弧度 总课时 第 2 课时 分 课 题弧度制 分课时 第 2 课时 教学目标理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；了解角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系；掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题。

重点难点 弧度的意义，弧度与角度的换算引入新课1、问题：角度是怎样规定的？是否有其它方法来度量角？2、角度的定义：周角的3601为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

3、弧度的定义4、角度与弧度的换算5、特殊角的弧度数与角度制（1）_____360=︒ (2)rad rad ________1≈=︒(3)︒≈=30.57____1度rad 6、弧长公式、扇形的面积公式例题剖析例1、把下列各角从弧度化为度：（1）53π （2）5.3例2、把下列各角从度化为弧度：（1）︒252 （2）'1511︒例3、已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，求该扇形的面积。

巩固练习1、 把下列各角从角度化为弧度：（1）︒180 （2）︒90 （3）︒45（4）︒30 （5）︒120 （6）︒2702、把下列各角从弧度化为度：（1）π2 （2）2π （3）6π （4）π323、把下列各角从度化为弧度：（1）︒75 （2）︒-210 （3）︒135 （4）'3022︒4、把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）π52 （3）π34- （4）π12-5、若6-=α，则角α的终边在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6、已知半径为mm 240的圆上，有一段弧的长是mm 500，求此弧所对的圆心角的弧度数。

课堂小结弧度数的定义，一些特殊角的弧度数；弧长公式、扇形的面积公式。

课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、︒1000的角的终边所在的象限为（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、12π的角化成角度制是（ ） A 、︒15 B 、︒30 C 、︒60 D 、︒753、下列各角中与︒-120角终边相同的角为（ ）A 、π34B 、π65-C 、π34-D 、π674、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k B Z k k A ,22|,,2|ππααππαα的关系是（ ） A 、B A = B 、B A ⊆ C 、B A ⊇ D 、以上都不对5、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）A 、所对的弧长相等B 、所对的弦长相等C 、所对的弧长等于各自的圆的半径D 、所对的弦长等于各自的圆的半径二、提高题6、已知6πα=，角β的终边与α的终边关于直线x y =对称，则角β的集合为____________________.7、角rad 5的终边落在第______象限，角rad 3-的终边落在第______象限。

课题：弧度制教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修 4、教学目标1 •理解1弧度的角及弧度制的定义，领会其必要性和合理性.2 •会根据定义求任意角的弧度数及进行角度数与弧度数的互化.3 •理解任意角的集合与实数集的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式与 扇形面积公式.二、 教学重点弧度制的探究生成及如何约定新制度〔弧度制〕下的单位 1.三、 教学难点弧度制的生成与理解.四、教学方法与教学手段课堂采用启发引导，合作探究的教学模式，利用几何画板辅助教学，从活动中 体会数形结合、以形助数的数学思想.问题4:角度与弧度如何 互化？五、教学过程 思考：点P 的位置与哪些几何量有关？〔体会学习弧度制的必要性〕 探究：能否像度量 长度那样，用十进 制的实数来度量 角的大小呢？ 问题1:同一个量，它的 度量结果可以用不同的 单位表示吗？ 〔学生举例，发现探究的可行性〕〕问题2:哪些几何量能唯 一确定角的大小. 〔独立探究，小组交流〕 问题3:如何建立一种新 的度量角的制度呢？〔类比几何量长度，知识 迁移，独立探究，小组交 流〕类比长度单位制的构建齐 过程，完成探究发现角的'新单位制〔弧度制〕构建 的过程. 提炼概括： 从特殊事物中揭示一般规 律：单位制构建的一般过 程.1创设情境，引出必要思考：点P的位置与哪些几何量有关呢？师生活动：将所得几何量分为两大类：六十进制的角及十进制的长度.小结：数学就是建立量与量关系的模型，在同一运动中，两类几何量度量进制的不一致会给我们的数学研究带来很多不便.探究：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢?【设计意图】客观世界变化万千，为了研究它们的规律，我们常常需要用数学的眼光去观察我们现实生活中的各种现象，以摩天轮为例，师生一起抽象建模进行研究刻画点P的位置的几何量，发现分为角及长度这两类几何量，它们度量的不一致会给我们的数学研究带来很多的不方便，让学生体会到学习弧度制的必要性. 此时适时渗透数学史并引出本节课探究主题：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？问题1：现实生活中有没有同一个几何量，它的度量结果可以用不同的单位表示呢？请举出相应例子？预设：学生举出各种具有不同单位的量的例子.小结：既然有这样的量，说明我们可以尝试去建立新的度量角的单位制•【设计意图】引导学生通过类比生活中的量，发现同一个量存在不同的单位制，说明角的度量存在其余单位制的可能性.2. 合作探究，凸显生成问题2：图中哪些几何量能唯一确定角a？师生活动：学生经过独立思考，有了自己的探究结果后，先生生交流，再师生交流•教师板书可能方案，让学生们说一说，教师追问学生为什么？〞几何画板作图验证.预设1:弧长、弧长比半径.师生活动：学生阐述，教师板书所有方案后，教师先用几何画板作图，从形' 的角度进行验证，而后教师通过追问，让学生从数〞的角度进行说理，然后学生评价学生，学生自主区分可行方案并阐述其理由，最后师生一起总结，弧长与半径的比值可以唯一确定角的大小，而在半径给定的圆中，弧长〞也是可以唯一确定角的大小的，其实就是用l唯一确定角的大小的一个特例！值得注意的是，当半径取1个单位长度时，弧长与角的数值相等！预设2:学生层次比拟高，问角a与哪些长度有关，还未展开探究，学生直接l o得出利用弧长占整个圆周的比即2n=3600，算出角a的度数.师生活动：通过追问，区分一个几何量为何不可行，从而深化认识.小结：早在几百年前，数学家们就发现了角a的大小可以由r唯一确定，瑞士大数学家欧拉为此也做了很多奉献，通过刚刚的同学们的探究，我们也得出了同样的结论，说明同学们的认知水平很高，和大数学们家有一样的想法！【设计意图】学生先经过独立思考，再充分交流.在探究中，凸显了弧度制概念的生成，学生亲身经历探究寻找以及思辨的过程，明白了弧度制选用弧长与半径的比来度量角的合理性.如此设计源于：章建跃教授曾在?关于弧度制的教学?中提到：弧度制定义的合理性应从：如此度量角的大小是唯一确定的〞给出.最后，以夸奖的形式适时渗透数学史：早在几百年前，数学家们就发现了角a的大小可以由1的比值唯r一确定，瑞士大数学家欧拉为此也做了很多奉献，既自然，又能让学生感受到探究成功被肯定的喜悦.3. 类比迁移，构建概念问题3：如何建立一种新的度量角的制度呢？师生活动1：为解决问题3回忆已有的经验，即类比学生身高的表示方法，可以用米表示，也可以用尺寸表示，从中寻找建立新制度的研究方向.小结：有了约定的单位1,就可以定量表示出其余的所有长度，即：一生二，二生三，三生万物！历史上，对同一个单位制，单位的约定也曾出现过不统一，例如，战国时期，一尺的长度是不一样的，这给人们的生活带来很多不便，所以秦始皇统一六国时，就统一了度量衡，推动了当时社会的开展！师生活动2：为解决问题3继续回忆已有的经验，回忆在角度制下，角的度量单位：1°的角规定•通过课堂引导性提问，阐述1°的角的规定的合理性.小结：①1°的角的大小与所在圆的半径无关；②给出这样规定后，所有角的度1数就确定了；③适时渗透数学史：之所以用圆周的舟所对应的圆心角规定为1°360的角〞据说是因为古巴比伦科学家发现360个太阳刚好能围成一整圈•由以上两个活动可见，对于一种单位制，约定及认识它的单位1是多么的重要！师生活动3：学生根据之前活动经验，先自己独立探究：如何建立一种新的度量角的制度，再小组交流.预设：学生主动明确接下来研究方向，先约定单位1，即令r=1，即l=r，从图形上，长度等于半径长的弧所对的圆心角约定为新制度的单位1,能主动提出接下来需要利用单位1,定量表示其余的角•通过课堂引导性提问互动，得出任意角弧度数的计算公式.小结：把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角，记作1rad.有了任意角弧度数的计算公式后，任意一个角都可以定量表示了•那么，用弧度作为度量角的单位制称为弧度制.它就是我们今天探究发现的新的度量角的单位制----弧度制.【设计意图】因为学生不知该如何建立一种新的度量角的制度，所以此问题引导学生从已有经验出发，寻找解决问题的方法.这时教师通过追问，以具体尺〞和米〞为例, 师生一起摸索几何量长度从构建到使用单位制的过程，让学生感受到，认识一种新的单位制，首先得明确它的单位1,只有明确单位1后，才可以定量表示其余的长度.对于具体几何量角，让学生回忆初中1°的角的规定，充分说明角度制下单位1 的约定的合理性，再次强化：对于一种单位制，应该先约定单位1,才能定量表示出其余的角.最后引导学生类比迁移，自主探究完成几何量角新单位制〔弧度制〕中单位1的约定，然后类比所得经验，定量表示出任意角弧度数，最后完成对弧度制的构建.4. 相互转化，揭示联系追问：通过学习 弧度制〞度 量角已经有两种不同的方法，接下 来应该要解决什么问题？预设：单位换算.追问：怎么换算？师生活动：找出换算关系：360°= 2 n rad1 =面彳人180 1rad =： 学生独立完成换算练习后互化练习：请将F 列角进行角度与弧度的互化.(1) -3.5 (2)lP15f追问：这些非整角，你会互化吗？ 师生活动：学习先独立完成练习，然后再进行方法交流.【设计意图】引导学生主动思考接下来应完成单位换算. 课堂上以量角器形式给出互化练 习，避开枯燥无味，提升课堂活泼程度.5. 运用新知，加深认识角的集合 实数集Rrad ~0.01745rad, 度-57.30°,进行方法交流. 正实数负实数\ /互化练习： 请将量角器上各角进行弧度与角度的互化师生活动：通过课堂对话，在弧度制下，探究角的集合与实数集 R 之间构成 —一 —对应关系.小结：弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应的关系，即角 的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系！【设计意图】让学生明确：角的概念推广之后，无论是角度制还是弧度制都能在角的集合和实数的集合之间建立一种 对应关系.练习：(1在弧度制下，弧长公式如何表示？(2)在弧度制下，扇形面积公式如何表示？其中I 是扇形弧长，r 是圆的半径.扇形圆心角为 a rad (I M <n ).师生活动：学生独立计算出弧度制下的弧长公式及扇形面积公式后，给出角度 制下的相应公式进行比照，发现弧度制下公式更简洁.小结：这也表达了我们数学的简洁美！其实弧度制的优越性远不止那么多，就 让我们慢慢去感受，慢慢去发现吧！【设计意图】通过角度制与弧度制下弧长及扇形面积公式的比照，感受公式的简洁美!小活动：你能用不同的方法度量角的大小吗？ 预设：方法1:量角器量角.方法2:量出弧长，量出半径利用公式|«计算出角的弧度数.方法3:构造三角形.过量弧长及半径，就可以唯一确定a 的大小，特别提醒，当半径长度为1个单位长 度时，弧有多大，角就有多少弧度，这表达了弧度制的本质：用线段长度度量角的 大小.对于方法3:可以利用构造直角三角形解决 a 是特殊角的情况，对于更一般 的角，将是我们后继将要学习的内容(利用正余弦定理解决等等). 【设计意图】引导学生加深对弧度制本质的理解， 即:弧度制的本质是用线段长度度量角的 大小.小结：对于方法1是同学们小学就会的，对于方法2,我们再次感受到：通 1 r6. 小结反思归纳提升小结:"单位〔1度〕—2度 、 =单位〔1弧度〕一>2弧度 / 小结：今天我们类比长度单位制构建的过程，探究发现了角的新单位制〔弧度 制〕构建过程•它们都是从现实的度量需要开始，经历了约定单位1,定量表示， 单位换算这样的过程，这个过程就是我们研究单位制的 一般过程•拓展研丸运用“单位制构建的一般过程〞.你会研尤其它量的单位制吗？课后作业；巴o 匀题 1.1： 3, 4. 8【设计意图】本节课类比长度的单位制构建的过程，探究发现了角度的新单位制〔弧度制〕 构建的过程，设置 拓展研究〞的目的是让学生去思考：构建一种单位制的一般过程, 即从特殊事物中揭示一般规律.最后设置的拓展探究，实质上是对本节课进行了高 度提炼概括：我们不仅要学习弧度制，我们还要明白构建一种单位制的一般过程是 什么，还要会运用此经验去研究更多的量，从而完成对本节课的总结！六、教学设计说明1 •关于新课导入：如何激发学生学习 弧度制〞的求知欲，让学生感受到学习 新知的必要性.本节课选择从生活的大场景，到本章引言中的例子摩天轮这个具体 的小场景，从学生生活中熟悉的现象出发，发现同一运动中既有大量的角又有各种 长度，发现度量进制不一致给数学研究带来不便， 从而让学生体会到学习弧度制的 必要性.2. 关于弧度制概念生成探究：这是本节课的教学重点，鼓励学生独立对度量 角的新长度 /单也｛米〕―珠、单如尺_> 2尺360度二2rr 弧度制度进行探索，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同方案进行探讨，找出可行方案．在过程中充分调动学生的学习积极性，组织学生合作交流，培养学生思辨、质疑、理性思维和创新能力，使开展学生的数学核心素养在数学课堂中真正做到落地生根．3．教学设计突出学生主体，注重知识的自主建构与生成，让学生真切感受到数学是自然可亲的，过程中表达数学研究方法、渗透数学思想方法和数学史，关注学生的情感体验，培养学生的积极情感．。

第三课时 弧度制(一)教学目标：理解1弧度的角、弧度制的定义，掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系. 教学过程： Ⅰ.课题导入在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢?周角的1360 为1°的角. 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，今天我们再来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的单位制——弧度制.Ⅱ.讲授新课［师］弧度制的单位符号是rad ，读作弧度.我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.请同学们考虑一下，周角的弧度数是多少?平角呢?直角呢?因为周角所对的弧长l ＝2πr ，所以周角的弧度数是2πrr ＝2π.同理平角的弧度数是πr r ＝π，直角的弧度是π2 .由此可知，任一0°到360°的角的弧度数x （x ＝lr ），必然适合不等式0≤x ＜2π.角的概念推广后，弧度的概念也随之推广.如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l ＝4πr 时，这个圆心角的弧度数是多少呢?此时，我们应该先求出这个角的绝对值，然后在其前面放上“－”号，即所求圆心角的弧度数是－l r ＝－4πrr ＝－4π一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.任一角α的弧度数的绝对值｜α｜＝lr ，其中l 是以角α为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.从定义中我们可以看出，弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小，这个比值与半径的大小有没有关系呢?这个比值与半径的大小无关而只与角的大小有关，即这样定义是合理的.用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.下面我们来讨论角度与弧度的换算.因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以360°＝2π rad.180°＝π rad 1°＝π180 rad 角度化弧度时用之.1 rad ＝（180π ）° 弧度化角度时用之 Ⅲ.例题分析［例1］把67°30′化成弧度解：∵67°30′＝（6712 ）° ∴67°30′＝π180 rad ×6712 ＝38 π rad. ［例2］把 35 π rad 化成度解：35 π rad ＝35 π×（180π ）°＝35 ×180°＝108°注意：(1)今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad ”可以省略不写，而只写这个角的弧度数.(此时的弧度在形式上是不名数，但应当把它理解为名数.如α＝2，即α是2 rad 的角，si n 3表示3 rad 角的正弦，π＝180°即π rad ＝180°).但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“°”不能省去.(2)用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.(3)今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°＋π3 或者2k π－60°一类的写法.Ⅳ.课堂练习课本P 10练习 1、2、3、4、7对于练习中的1题再补充将60°、135°、150°化成弧度；3题再补充将11°15′化成弧度.Ⅴ.课堂小结本节课我们学习了弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法.应该注意，角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记.Ⅵ.课后作业（一）课本P 10习题 3、6、7 （二）预习内容：课本P 9弧度制(一)1．角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，当终边过点A （1m ，－m ）时，角α是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2．若－π2 ＜α＜β＜π2 ，则α－β的范围是 （ ）A.－π＜α－β＜0B.－π2 ＜α－β＜0 C.－π2 ＜α－β＜πD.－π＜α－β＜π23．设集合M ＝{α|α＝k π2 －π5 ，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于 （ ）A.{－π5 ，3π10 }B.{－7π10 ，4π5 }C.{－π5 ，3π10 ，－7π10 ，4π5 }D.{ 3π10 ，－7π10 }4. 下列各组角中，终边相同的角是 （ ）A. k π2 与k π＋π2 (k ∈Z)B.k π±π3 与k π3 (k ∈Z)C.(2k ＋1)π与(4k ±1)π (k ∈Z)D.k π＋π6 与2k π±π6 (k ∈Z)5．若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） （ ）A.α＋β＝πB.α－β＝π2C.α－β＝（2k ＋1）πD.α＋β＝(2k ＋1)π 6．在与210°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_________. 7．4弧度角的终边在第 象限.8．－2312 πrad 化为角度应为 .9．钝角α的终边与它的5倍角的终边关于y 轴对称，则α＝_________. 10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？11．如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.弧度制(一)答案1．B 2．A 3．C 4. C 5．D 6．－5π6 7．三 8．－345° 9．5π610．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？分析：在相同时间内，两轮转动的齿数相同，是解决问题的关键，因此，两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，使问题得以解决.解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的齿数相同，所以两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，于是大轮转过的圈数：小转轮过的圈数=20∶48据此解得当大轮转1周时，小轮转2.4周.故小轮转过的角度为360°×2.4＝864°小轮转过的弧度为864°×π1800 ＝24π5 rad.答：当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是864°，弧度是24π5 rad.11．如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.解：A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜3π214分钟后回到原位，∴14θ＝2k π,θ＝2k π7 ，且π2 ＜θ＜3π4 ，∴θ＝4π7 或5π7。

高中数学-打印版
最新版高中数学 1.1.2 弧度制
课前导引
问题导入
随着角的概念的推广，圆心角概念也随之推广，圆心角有正角、零角、负角.然而圆心角与它所对的弧有联系，即每一个圆心角都有一条弧与它对应.
请同学们思考下列问题：
1.在不同的圆中，长度等于半径的弧对的圆心角相等吗？
2.弧与圆心角是否一一对应？
解答：在不同的圆中，长度等于半径的弧对的圆心角相等；弧与圆心角一一对应。

知识预览
1．长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2.弧度数：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角α的弧度数的绝对值|α|=r
l ，其中l 是以角α作为圆心角时所对的弧长，r 是圆的半径. 3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒≈︒=︒=︒=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≈=︒=︒=︒30.57)180(1180360201745.018011802360ππππππ弧度弧度弧度弧度化角度弧度弧度弧度弧度角度化弧度互化度的与弧角度 4.弧长公式⎪⎩
⎪⎨⎧•==r a l r n S ||:180:2
在弧度制下在角度制下π
5.扇形面积公式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧===22
||2121:360:r a lr S r n S 在弧度制下在角度制下π。

第 2 课时：§弧度制【三维目标】：一、知识与技能1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数R之间可以建立起一一对应关系。

3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；二、过程与方法1.通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念，比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；2.以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.3.通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。

三、情感、态度与价值观1. 通过弧度制的学习，使学生理解并认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；2.在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；3.通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。

4.教师可以向学生介绍或让学生查阅弧度制的历史和有关欧拉的资料，这有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性。

欧拉的有关事迹有助于陶冶学生情操，培养学生坚韧不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新精神。

【教学重点与难点】：重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。

难点：弧度的概念关键：弄清1弧度的角的含义是建立弧度概念的关键【学法与教学用具】：1. 学法：在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。

弧度制教学设计江苏省太湖高级中学〔214125〕翟洪亮1创设情景，引入新制师：上一课，我们学习任意角，通过旋转将角的范围由初中所学的到，推广到任意角，知道角不但可以推广到大于的任意正角，还可以推广到零角、负角，第一次颠覆了我们对角的已有认识,今天将在此根底上再次颠覆大家对角的认识请大家看投影中姚明的简介，结合表格，联系生活，在常用的度量衡有国际公制、英制和中国市制，你能想到长度、质量的单位有哪些？生：毫米〔mm〕、厘米〔cm〕、米〔m〕、千米〔m〕，中国市制有：寸、尺、丈等生：在度量质量的国际公制中常用的单位有：克〔g〕、千克〔g〕等，英制由磅，中国市制有：钱、两、斤等师：这说明在不同地域内不同的单位进制会给人们解决生活问题带来方便，对于角你知道它的单位有哪些？单位之间又是如何进行换算的？生：角的单位有度、分、秒，1度=60分，1分=60秒师：我们知道周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，那么角是否还有其他换算进制呢？生：也应该有！设计意图通过对长度和质量在不同的区域都有不同换算进制，从而引导学生想到角也应该有不同的换算进制，旨在激发学生去探索新知2探究比值，以旧促新师：在初中学了弧长公式，哪位同学能表达一下？生：在半径为的圆中，圆心角为度的扇形所对的弧长为，所以圆心角为度的扇形所对的弧长为师：很好！在弧长公式中当圆心角确定后，如图1，改变图1半径的大小，你能发现什么？生：发现半径越小，扇形的弧长越短；半径越大，扇形的弧长越长师：请大家计算，，你能发现什么？生：发现为定值，当角不变，的值被唯一确定〔教师用几何画板演示〕师：由此发现：弧长与半径的比值也能确定圆心角的大小再看= 度？生：要将除以60得，所以师：要先除以60，再转化为十进制，因此有人提出，角度制给十进制的运算带来不便，需要创立新的度量角的单位，你认为如何定义最合理呢？生：可以用圆的半径去度量弧师：你的想法与数学家欧拉的想法不谋而合，瑞士数学家欧拉在他1748年出版的?无穷小分析概论?第八章引入弧度概念但是弧度的名字——radian首次出现在正式印刷物上是在1875年 ,由爱尔兰的詹姆斯•汤姆森将半径〔radiu〕和角〔ange〕两个英语单词组合而成欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制设计意图两大原因：〔1〕弧长与半径的比值可刻画角的大小；〔2〕60进制给十进制换算带来不便让学生感受到要创立新的进制与十进制接轨的迫切性，从而让学生意识到最合理的方法就是用半径去刻画角的大小，说明弧度制产生的合理性3动手操作，强化概念师：请大家用圆规和纸条或棉线〕作出的角生：如图2，在平面上以点为圆心，以长为半径作圆，Array在圆周上用纸条截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：请大家再用圆规和纸条作出的角生：在圆周上用纸条截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：请大家再用圆规和纸条作出的角生：在圆周上用纸条顺时针截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：从上面作法可知，用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位，例如，，可分别写成，，为了便于国际交流，不同进制的度量单位之间，可以互相换算如在长度单位中有：1米=3尺；在质量单位中有：1斤=500克那么角的角度制与弧度制之间又该如何进行换算呢？先请大家用量角器度量一下角约为多少度？生：大约是57度设计意图通过动手作图去理解弧度制概念，用量角器测量1弧度的角，既让学生感受1弧度角的大小，也为引出角度制与弧度制的换算做好准备5两制互化，发现规律师：为什么呢？生：由公式可知，当时，其中圆心角度师：由此可见，度，那么1度等于多少弧度呢？生：师：对此，如何理解更好呢？生：半径为圆的圆的周长，由弧度制定义得，所以，即，度师：通过整个圆周角来理解，既直观，又形象这符合我们思维的习惯，在角度制中，整个圆周角是，因此角为圆周角的360分之一；同样，在弧度制中，整个圆周对应的角是，所以，所以，度设计意图先从学生熟悉的弧长公式中寻找新知的生长点，后利用弧度制定义，从特殊情形圆周角整体入手，利用直观加深学生理解，便于学生接受师：把以下角从弧度化为度：〔1〕；〔2〕3生：〔1〕；〔2〕师：我们既要能将角从弧度化为度，也要能将角从度化为弧度请把以下各角从度化为弧度：〔1〕；〔2〕；〔3〕生：〔1〕；〔2〕；〔3〕师：请大家完成下表：上述问题中，大家能发现什么？生：随着角的范围推广到任意角，发现正角对应正实数；零角对应实数0；负角对应负实数同样任给一个实数，也对应惟一的一个角师：这说明，在弧度制下角的集合与实数集之间构成图3一一对应关系：每一个角都对应惟一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角〔如图3〕这是不是再一次颠覆我们对角的认识生：是！真的想不到啊！设计意图通过角度制与弧度制的互化，强化所学新知，利用表格中所填数值的对称性，就象设置在数轴上一样，便于学生直观感受到在弧度制下角的集合与实数集之间的对应关系6公式优化，追根溯源师：因为角有正负，而，所以角所对的弧之间关系应为如图4图4，能用哪些方法求出的弧度数？生1：用量角器量出角度，由计算弧长，计算可得弧度数生2：用量角器量出角度，通过可得弧度数生3：用圆规，以点为圆心，以为半径作圆弧，分别交于点，交于点计算师：既然同一个圆心角所对的弧长与它所在圆的半径的比值是一个常数，与圆半径的大小无关，那么作圆时，取时，那么，此时弧长即为的弧度数，可简化计算设计意图通过对公式的两次优化，首先说明加绝对值得必要性，然后要求学生用不同方法得到的弧度，旨在拓展学生思维，提升学生能力取半径为单位长度，既可简化计算，也为用单位圆作为工具去研究任意角的三角函数、诱导公式，以及三角函数图象和性质奠定根底师：在初中时，我们已经学习弧长公式为，扇形的面积公式为学习弧度制后，弧长公式变为，很简洁那么扇形的面积公式又是什么呢？生：扇形的面积公式为师：怎么理解呢？生：按扇形所占圆的比例来理解前者占圆面积的，是角度值的比；后者占圆面积的，是弧度值的比师：很好！还能怎么理解呢？生：扇形的面积公式，可以把扇形视为三角形，把视为三角形的底边，半径视为高，很容易记忆师：你是怎么想到的？图5生：从公式形式想到的，如果扇形很小，也可以当作三角形！师：这就是数学直觉！如图5，我们把扇形分成份，当趋向无穷大时，每一份所对应的扇形可以近似地看成一个以半径为腰，弧长为底的等腰三角形，它们的高都为半径，所以扇形的面积，这是极限分割的数学思想因此，可把扇形直观地视为三角形来记忆它的面积．下面请大家思考例题：扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积．生：设扇形的半径为，弧长，那么解得故扇形的面积为．设计意图将角度制下扇形的面积公式与弧度制下扇形的面积公式进行比照，再次体会弧度制的优越性．然后由扇形的面积公式启发学生联想到三角形的面积公式，从而探究出极限分割的思想是两者面积公式形式上一致的根源所在．师：本节课我们共同学习了哪些内容，谁来总结一下？生：1弧度概念；2弧度制与角度制相互转化；3弧长公式与扇形面积公式在弧度制下的优化．从中体会到化归与转化，数形结合和分论讨论等数学思想．师：课后作业完成相应练习，下课，谢谢大家，再见！。

课题：弧度制教材：苏教版（必修4）一、教材及内容分析本节课是普通高中实验教科书苏教版必修4第一章第一单元第二节内容.在此之前，学生已经学习了角度制的概念及任意角，了解生活中度量同一个物理量可以有不同的度量单位，而弧度制概念的建立不仅是为度量角多了一个新的制度，更为今后学习三角函数奠定基础.通过本节课弧度制的学习，我们可以了解为何要建立弧度制及弧度制在简化运算方面的作用，同时我们会认识到两种制度相互联系的辩证统一的思想.本节课内容设为一课时.二、教学目标1、知识与技能（1）经历1弧度角定义的过程，感受定义的合理性；（2）会进行弧度制与角度制的换算；（3）会在弧度制下求弧长及扇形面积公式；（4）了解在弧度制下角的集合与实数集R之间一一对应的关系.2、过程与方法类比角度制单位角的定义过程，尝试规定其它类型的单位角，体验单位角在制定过程中的合理性，体会到1弧度角定义的合理性.由特殊到一般的思想找到弧度制与角度制之间的互化的方法，初步感受弧度制下运算的简洁性.3、情感态度与价值观（1）经历长度单位的再熟悉过程认识到单位与我们的生活息息相关，同时意识到规定单位角的大小是定义新的度量单位的前提；（2）经历单位角的定义过程，从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念，体会1弧度角定义的合理性；（3）经历角度制与弧度制的互化及应用弧长公式与扇形面积公式体会到弧度制建立的优越性.三、教学重点、难点教学重点：弧度制的定义及弧度制与角度制的换算.教学难点：弧度制的定义.四、教学方法与手段探究式学习与讲授结合五、教学过程：一、创设情境、引入课题常州环球港竖立着美丽的摩天轮，当摩天轮不断旋转时，摩天轮上点P会周而复始运动，用怎样的数学模型来刻画这样的运动呢？为了研究这个问题，我们已经将角推广到任意角，今天我们继续为研究这个模型做准备，学习度量角的另一种单位制——弧度制.设计意图：指出本章学习的主要内容是建立刻画周期现象的数学模型，我们今天的学习是为了建立这样的模型作准备，为学生的学习指明方向.二、数学建构探索新知（1）回顾度量长度的几种单位，指出怎样规定度量单位当规定好1米有多长，我们可以用米作为单位来度量长度当规定好1尺有多长，我们可以用尺作为单位来度量长度，一米=3尺当规定好1度角有多大，我们可以用度作为单位来度量角的大小.问题1：（1）1°角是怎么规定的？（2）能用平分圆周的方法得到1°角吗？（3）现在我们要建立新的单位来度量角，那先要对什么做出规定？（单位角的大小）试一试：请您尝试利用圆周来定义一个单位的角的大小.(学生活动)问题2：如果以半径长为单位对圆周进行度量，把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为一个单位角的大小，合理吗？（学生探究角的大小不会随着半径的改变而改变） 设计意图：类比1°角定义的过程，弧度制定义的本质是用半径r 对圆周进行度量，可以理解为是对圆周不同的平分方式.学生经历单位角的定义过程，感受1弧度角定义的合理性.(2)概念 ：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad. 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制. 历史介绍： 1748年欧拉在它的著作《无穷小分析概论》 中提出把圆的半径作为弧长的度量单位,这一思想将线段 与弧的度量统一起来，大大简化了三角的运算.数学教师汤姆生（James Thomson ）在北爱尔兰首府贝尔法斯特（Belfast ）女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度一词”，当时它将“半径”（radius ）的前四个字母与“角（angle ）的前两个字母合在一起，构成radian,并被人们广泛接受和引用. 在半径为r 的圆中①若圆心角α（正角）所对的弧长为2r ,那么,角α的弧度数是多少? ②若圆心角α（正角）所对的弧长为r π,那么,角α的弧度数是多少? ③若圆心角α（正角）所对的弧长为2r π，那么角α的弧度数是多少？ ④若圆心角α（正角）所对的弧长为l ，那么角α的弧度数是多少？设计意图：根据1弧度角的定义，写出弧度角与半径及弧长之间的关系，弄清1弧度角的概念是了解弧度制的关键.A三、新旧融合 知识应用问题3：弧度制与角度制之间如何换算？3602rad π︒= 1 rad =180π度例1 ：把下列各角从弧度化为度（1） （2）3.5解：33180110855rad πππ︒︒=⨯=（） 例2：把下列各角从度化为弧度'(1)252(2)1115︒︒解 7(1)2522521805rad rad ππ︒=⨯=用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R 之间建立一一对应的关系：练习.写出一些特殊角对应的角度和弧度180o radπ=01180radπ=180(2) 3.5 3.5200.54oorad π=⨯≈'(2) 111511.2511.2518016o o rad radππ==⨯=35π问题4：在弧度制下，弧长与面积公式是什么？并与角度制下的公式比较（弧长公式）（扇形面积公式）结论：在弧度制下，弧长公式与扇形面积公式简洁了，这也是引入弧度制的原因之一.例3（1） 已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2rad设计意图：（1）角度制与弧度制的互化紧扣 （2）体会弧度制下扇形的弧长公式与面积公式的简洁性. 四、课堂小结 五、课后作业 教学设计说明：本节课是度量角的另一种单位制——弧度制. 学生对弧度制概念的学习比较困难，为何会这样定义1弧度角，一方面可以从角α与lr的对应关系理解，另一方面可以从弧度制定义的本质出发，用半径度量圆周定义1弧度角的大小.本节课采用的是后一种方式，所以弄清1弧度角的概念是了解弧度制的关键.为了突破这些难点，本节课弧度制概念的学习分以下几个步骤完成：1.基于学生已有的知识基础，从熟悉的长度单位入手，了解当规定了单位长度时就可以用它作为单位度量长度，渗透了“单位”的思想.2.从熟悉的角度制入手，体会1°角定义的合理性.3.探究尝试其它方式定义一个单位角的大小，体会1弧度角定义的合理性.4.在1弧度角定义的基础上认识角的大小与lr的关系，同时揭示1弧度角定义的过程中角度与弧度之间的关系.2211.222r S r lr πααπ===2,4.r l =⎧⎨=⎩解得21S 4().2rl cm ==故扇形的面积为 r l 解设扇形的半径为，弧长为，28, 2,r l l r +=⎧⎨=⎩则有A||l rα=180oradπ=弧度制的学习一方面是使进位制统一，由角的60进制转为实数的10进制，拓展了角在实数领域研究的范围，为三角函数的学习做铺垫，另一方面弧度制的使用简化了微积分中公式的计算.由于学生的知识有限，所以体会弧度制下弧长公式与面积公式的简洁性及来初步感受弧度制使用的优越性。