人教版高中数学必修4作业 第2课时 弧度制

课时分层作业(二) 弧度制(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．1 920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3D [1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋2π3＝32π3.]2．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )【导学号：84352016】A.π6B.π3C.2π3C [与角－4π3终边相同的角是2∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相＝k π，k ∈Z }⎭⎬⎫＝π2＋k π，k ∈Z⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·π2，k ∈Z⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{ α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{ α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故合在一起即为{ α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]4．若θ＝－5，则角θ的终边在第( ) A ．四象限 B ．三象限 C ．二象限D ．一象限D [因为－2π＜－5＜－3π2，所以α是第一象限角．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导学号：84352017】A ．1B ．2C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4，面积为2， 所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1，则扇形的圆心角的弧度数为4＝4.故选C.]7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________．＋C ＝π， ＝π3，C ＝7π15.]________．⎩⎪⎨⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪－2＋2k π＜θ＜2＋2k π，k ∈Z [y 轴对应的角可用－π2，π2表示，所以y轴右侧角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z .] 8．已知扇形OAB 的圆心角为57π，周长为5π＋14，则扇形OAB 的面积为________.【导学号：84352018】35π2 [设扇形的半径为r ，圆心角为57π， ∴弧长l ＝57πr ，∵扇形的周长为5π＋14，∴57πr ＋2r ＝5π＋14，解得r ＝7，由扇形的面积公式得＝12×57π×r 2＝12×57π×49＝35π2.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【导学号：84352019】[解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[冲A 挑战练]1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D [设圆的半径为R ，则sin 1＝1R ，∴R ·R ＝2·1sin 1＝2sin 1.] 2．时钟的分针在1点到3点20( ) A ．14πD ．－718π顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]4．若角α与角8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4终边相同的角是________.【导学号：84352020】2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )，又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3， 此时α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]5．如图1­1­10所示，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积. 【导学号：84352021】图1­1­10[解]所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在的圆半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝＋23π6(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3× 3＝7π4(dm 2).。

1．1.2 弧度制一、基础达标 1．－300°化为弧度是( )A ．－43πB ．－53π C ．－54π D ．－76π[答案] B 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是 ( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对[答案] A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1 [答案] C[解析] r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )[答案] C5．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．[答案] (－1.5π，－π)∪(0.5π，2][解析] ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－1.5π＜α＜－π，当k ＝0时，0.5π＜α≤2， 当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在．6．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________． [答案] 34[解析] 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝ 34S .7．已知α＝1，β＝60°，γ＝π3，δ＝－π6，试比较这四个角的大小． 解 β＝60°＝π3＞1＞－π6， ∴β＝γ＞α＞δ. 二、能力提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3. 9．第四象限角集合可写成( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π－π2＜α＜2k π，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π－π2＜α＜k π，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＜α＜k π＋π2，k ∈Z[答案] A10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }， 集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. [答案] [－4，－π]∪[0，π] [解析] 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ， 扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为152cm 时，面积最大，为2254 cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )， 则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4， 又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7， 从而π2<n π7<3π4，即72<n <214， 所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7. 三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6 ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －c 42＋c 216.当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

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课时提升作业(二)弧度制(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.下列结论不正确的是( )A.rad=60°B.10°=radC.36°=radD.rad=115°【解析】选D.=×°=112.5°.2.(2015·宜春高一检测)设角α=-2弧度，则α所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题指南】解答本题有以下两个方法：(1)先将弧度化为角度，再判断角所在象限；(2)分析角的大小.【解析】选C.方法一：-2≈-114.6°，故为第三象限角.方法二：由-π<-2<-，得-2为第三象限角.3.(2015·武汉高一检测)设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是( )A.1B.4C.1或4D.π【解析】选A.设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，扇形面积为S.由公式l=αr，S=l r并结合题意得：解得α=1，r=2.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015·北京高一检测)若α∈(0，π)，且α与角-终边相同，则α=________.【解析】由题意得α=2kπ-(k∈Z)，当k=0时，α=-，当k=1时，α=2π-=，当k=2时，α=4π-=.又因为α∈(0，π)，所以α=.答案：【延伸探究】将本题中“(0，π)”改为“[0，2π]”，“-”改为“-”结果又如何？【解析】由题意得α=2kπ-(k∈Z)，当k=0时，α=-，当k=1时，α=2π-=，当k=2时，α=4π-=，又因为α∈[0，2π]，所以α=.5.若角α的终边落在x轴的上方，且-4≤α≤4，则角α的取值集合为______ 【解析】因为角α的终边落在x轴的上方，所以2kπ<α<(2k+1)π，k∈Z，又因为-4≤α≤4，作图如下.由图可知：{α|-4≤α<-π或0<α<π}答案：{α|-4≤α<-π或0<α<π}【补偿训练】已知角2α的终边在第一象限，则角α的取值集合用弧度制表示为________.【解析】因为角2α的终边在第一象限，所以2kπ<2α<2kπ+，k∈Z，所以kπ<α<kπ+，k∈Z，所以.答案：.三、解答题6.(10分)(2015·梧州高一检测)已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度.(1)求这个圆心角所对的弧长；(2)求这个扇形的面积.【解析】(1)如图，过O作OD⊥AB于D，则D为AB的中点，所以AD=AB=1，∠AOD=∠AOB=1rad，所以，扇形的半径：OA=.由弧长公式l=|α|r，得l=2×=.(2)由扇形面积公式S=l r，得S=××=.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·安溪高一检测)集合{α|kπ+≤α≤kπ+，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】选C.当k为偶数时，设k=2n，则2nπ+≤α≤2nπ+.当k为奇数时，设k=2n+1，则2nπ+≤α≤2nπ+.综上可知，已知集合中的角表示的范围如选项C所示.2.(2015·合肥高一检测)如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )A.(2-sin1cos1)R2B.R2sin1cos1C.R2D.(1-sin1cos1)R2【解析】选D.设扇形的弧长为l，圆心角为α，l=4R-2R=2R，α===2，S扇形=l R=×2R×R=R2，S三角形=×2Rsin1×Rcos1=sin1cos1R2，S弓形=S扇形-S三角形=R2-sin1cos1R2=(1-sin1cos1)R2.【补偿训练】(2015·晋中高一检测)半径为10cm，面积为100cm2的扇形中，弧所对的圆心角为( )A.2弧度B.2°C.2π弧度D.10弧度【解析】选A.由题意得r=10，S=100，根据扇形面积公式S=αr2，得：100=×α×102，解得α=2.二、填空题(每小题5分，共10分)3.若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________.【解析】设三角形的三个内角的弧度数分别为4x，5x，6x，则有4x+5x+6x=π，解得x=.所以三内角中最大内角的弧度数为6x=.答案：4.若2π<α<4π，且α与-角的终边垂直，则α=________.【解析】因为α与-角的终边垂直，所以α-=±+2kπ，k∈Z，即α=-π+2kπ或-π+2kπ，k∈Z，因为2π<α<4π，所以当k=2时，α=π或π.答案：π或π【补偿训练】若角α的终边与角π的终边相同，则在[0，2π]上，终边与角的终边相同的角是______.【解析】因为角α的终边与角π的终边相同，所以α=2kπ+(k∈Z)，所以=+(k∈Z)，令k取0，1，2，3，可得相应的的值为π，π，π，π.答案：π，π，π，π三、解答题5.(10分)设半径为12 cm，弧长为8πcm的弧所对的圆心角为α，其中0<α< 2π，求出与α终边相同的角的集合A，并判断集合A与集合B=的关系.【解题指南】由弧度数计算公式求出圆心角α，根据终边相同的角的关系写出集合A，分k=4n，k=4n+1，k=4n+2，k=4n+3，n∈Z分析集合B，得出两个集合的关系.【解析】因为半径为12cm，弧长为8πcm的弧所对的圆心角为α，所以α==，则与角α终边相同的角的集合A=.对于集合B=，当k=4n(n∈Z)时，α=2nπ+；当k=4n+1(n∈Z)时，α=2nπ+；当k=4n+2(n∈Z)时，α=2nπ+；当k=4n+3(n∈Z)时，α=2nπ+，所以A B.【补偿训练】若角α满足α=+(k∈Z)，则α的终边一定在( )A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【解析】选D.α=+(k∈Z)，当k=3n时，α=2nπ+，为第一象限角；当k=3n+1时，α=2nπ+，为第二象限角；当k=3n+2时，α=2nπ+为y非正半轴上的角，所以α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.关闭Word文档返回原板块。

课时分层作业(二) 弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．－25π6的角是( ) A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 D [因为－25π6＝－π6－4π， 所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角．] 2．若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2 A [r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．] 3．与30°角终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋π6，k ∈Z D [∵30°＝30×π180 rad ＝π6rad ， ∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选D.] 4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8C [设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.]5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2C [设圆的半径为r ，则圆内接正三角形边长为3r ，所以圆心角的弧度数为3r r ＝ 3.] 二、填空题6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π))的形式是________．－4π＋56π [－570°＝－⎝⎛⎭⎪⎫570×π180rad ＝－196π rad ， ∴－196π＝－4π＋56π.] 7．已知一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，则扇形的圆心角为________． π6 [设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r ＋2α. 又∵r ＝2，∴α＝π6.] 8．经过点P (a ，a )(a ≠0)的角α的集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π＋π4，k ∈Z [当a >0，点P (a ，a )在第一象限， 此时α＝2k π＋π4，k ∈Z ； a <0，点P (a ，a )在第三象限，此时α＝2k π＋54π，k ∈Z ， 故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝k π＋π4，k ∈Z .] 三、解答题9．已知角α的终边与－253π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值． [解] ∵253π与－253π的终边关于x 轴对称，且253π＝8π＋π3， ∴α与π3的终边相同． ∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )．∵－π<α3<π，∴－π<2k π3＋π9<π. 当k ＝－1时，α3＝－5π9∈(－π，π)； 当k ＝0时，α3＝π9∈(－π，π)； 当k ＝1时，α3＝7π9∈(－π，π)． ∴在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π9. 10．已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S 的最大值．[解] (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝40，12lr ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝20，r ＝10，则α＝l r＝2(rad)．故扇形的圆心角为2 rad.(2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ，故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100，故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[等级过关练]1．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12倍 B ．2倍 C.13倍 D ．3倍 D [设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为l r，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·l r ，即弧度数变为原来的3倍．] 2．若α是第三象限的角，则π－α2是( ) A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角B [因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ， k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，－k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ， 故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z . 当k 为偶数时，π－α2在第一象限； 当k 为奇数时，π－α2在第三象限，故选B.] 3．(1)把67°30′化成弧度＝________.(2)把35π 化成度＝________. (1)38π (2)108° [(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π. (2)35π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π5×180π° ＝108°.] 4．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________．π－2 2(π－2) [由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)r r＝π－2(rad)， 扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2)．] 5．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .[解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3， 而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032， ∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。

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课时提升作业(二)弧度制(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.下列结论不正确的是( )A.错误！未找到引用源。

rad=60°B.10°=错误！未找到引用源。

radC.36°=错误！未找到引用源。

radD.错误！未找到引用源。

rad=115°【解析】选D.错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

〓错误！未找到引用源。

°=112.5°.2.(2015·宜春高一检测)设角α=-2弧度，则α所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题指南】解答本题有以下两个方法：(1)先将弧度化为角度，再判断角所在象限；(2)分析角的大小.【解析】选C.方法一：-2≈-114.6°，故为第三象限角.方法二：由-π<-2<-错误！未找到引用源。

，得-2为第三象限角. 3.(2015·武汉高一检测)设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是( )A.1B.4C.1或4D.π【解析】选A.设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，扇形面积为S.由公式l=αr，S=错误！未找到引用源。

l r并结合题意得：错误！未找到引用源。

解得α=1，r=2.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015·北京高一检测)若α∈(0，π)，且α与角-错误！未找到引用源。

终边相同，则α=________.【解析】由题意得α=2kπ-错误！未找到引用源。

(k∈Z)，当k=0时，α=-错误！未找到引用源。

，当k=1时，α=2π-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，当k=2时，α=4π-错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

. 又因为α∈(0，π)，所以α=错误！未找到引用源。

信达信达1.1.2弧度制班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．(2013·山东省济南市调研)将分针拨快15分钟,则分针转过的弧度数是( ) A.-π3B.π3C.-π2D.π22．设集合M ={α|α=kπ2−π5,k ∈Z},N ={α|−π<α<π}，则M ∩N 等于A.{−π5,3π10}B.{−7π10,4π5} C.{−π5,3π10,−7π10,4π5} D.{3π10,−7π10}3．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其中心角的弧度数是 A.1或4B.1或2C.2或4D.1或54．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为______． 5．已知θ={α|α=kπ+(−1)k ∙π4,k ∈Z}，则角θ的终边所在的象限是____.6．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，求此扇形所含弓形面积． 7．已知一个扇形的周长为12cm .(1)若扇形的圆心角θ=3,求该扇形的半径;(2)当扇形的半径为何值时,这个扇形的面积最大?并求出此时的圆心角. 8．已知α=-800°.(1)把α改写成β+2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈(-π2,π2).能力提升1．已知集合M ={x|x =mπ+π6,m ∈Z}，N ={x|x =n2π−π3,n ∈Z}，P ={x|x =p2π+π6,p ∈Z}，试确定M 、N 、P 之间满足的关系.2．扇形AOB 的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm 2，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长A B.信达信达1.1.2弧度制【基础过关】 1．C【解析】将分针拨快,即分针顺时针旋转,所以分针转过的角度为-1560×2π=-π2,选C.2．C【解析】本题考查集合的运算.k =−1，0,1,2时M 中的角满足条件，故选C. 【备注】涉及角的集合可以根据终边所在的轴线来确定 3．A【解析】本题主要考查弧长公式和扇形面积公式. 设扇形半径为r ，圆心角为α，则{2r +ar =6，12ar 2=2，解得{r =1，α=4，或{r =2，α=1.选A.4．7+4√39【解析】本题主要考查扇形的面积公式.设内切圆的半径为r ，扇形半径为R ，则(R −r)sin60°=r ．∴R =(1+√3)r ，∴S 扇形S 圆=12⋅2π3R 2πr 2=13(R r )2=13(1+√3)2=7+4√39． 5．第一象限或第二象限 【解析】由于(−1)k ={1(k 为偶数),−1(k 为奇数),故应分k ＝2n(n ∈Z )和k ＝2n+1(n ∈Z )两种情况讨论.6．解：由α=120°=2π3，r =6，∴l =r|α|=6×2π3=4π，∴S 扇形=12lr =12×4π×6=12π，又S ∆AOB =12r 2sin2π3=12×62×√32=9√3，∴S 弓形=S 扇形−S ΔAOB =12π−9√3．【解析】本题主要考查扇形面积公式.利用扇形的面积计算公式、三角形的面积计算公式即可得出．7．(1)设扇形的半径为r cm,则扇形的弧长为l=r θ=3r , 根据题意,得扇形的周长2r+l=12,即5r=12,解得r=125.(2)设扇形的半径为r cm,则扇形的弧长为l=r θ, 根据题意,得扇形的周长2r+l=12,解得l=12-2r , 所以扇形的面积S=12lr=12(12-2r )×r=-r 2+6r=-(r-3)2+9.故当r=3时,S 取得最大值,此时l=12-2×3=6,扇形的圆心角θ=l r =63=2.8．(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=149π,∴α=-800°=149π+(-3)×2π.∵α与14π9角终边相同,∴α是第四象限角. (2)∵与α终边相同的角可写为2k π+14π9,k ∈Z 的形式,而γ与α的终边相同,∴γ=2k π+14π9,k ∈Z.又γ∈(-π2,π2),∴-π2<2k π+14π9<π2,k ∈Z,解得k=-1,∴γ=-2π+14π9=-4π9.【能力提升】1．解法1：集合M ={x|x =mπ+π6,m ∈Z}，N ={x|x =n 2π−π3,n ∈Z}={x|x =2mπ2−π3或x =2m+12π−π3,m ∈Z}={x|x =mπ−π3或x =mπ+π6,m ∈Z}，P ={x|x =p2π+π6,p ∈Z}={x|x =2m 2π+π6或x =mπ−π3,m ∈Z}， ∴M ⊄N =P .解法2:，N ={x|x =n 2π−π3,n ∈Z}={x|x =3n−26π,n ∈Z}，P ={x|x =p2π+π6,p ∈Z}={x|x =3p+16π,p ∈Z}={x|x =3n−26π,n ∈Z}=N ，∴M ⊄N =P .2．解：（1)设扇形的圆心角为θ弧度，扇形所在圆的半径为R cm ，依题意有{2R +Rθ=8,12θ·R 2=3,解得θ=23或θ＝6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度.(2)设扇形所在圆的半径为xcm，则扇形的圆心角为θ=8−2xx，于是扇形的面积是S=12x2·8−2xx=4x−x2=−(x−2)2+4.故当x＝2时，S取到最大值.此时圆心角θ=8−42=2(弧度)，弦长.信达信达。

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课时提升作业(二)弧 度 制(15分钟 30分)一、选择题(每小题4分，共12分) 1.下列结论不正确的是( )A.π3rad=60° B.10°=π18radC.36°=π5rad D.5π8rad=115°【解析】选D.5π8=5π8×(180π)°=112.5°.2.(2021·宜春高一检测)设角α=-2弧度，则α所在的象限是( ) A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【解题指南】解答本题有以下两个方法：(1)先将弧度化为角度，再推断角所在象限；(2)分析角的大小.【解析】选C.方法一：-2≈-114.6°，故为第三象限角. 方法二：由-π<-2<-π2，得-2为第三象限角.3.(2021·武汉高一检测)设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是( )A.1B.4C.1或4D.π【解析】选A.设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，扇形面积为S.由公式l =αr ，S=12l r 并结合题意得：{αr =2,12×2r =2,解得α=1，r=2.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2021·北京高一检测)若α∈(0，π)，且α与角-5π3终边相同，则α=________.【解析】由题意得α=2k π-5π3(k ∈Z)，当k=0时，α=-5π3，当k=1时，α=2π-5π3=π3， 当k=2时，α=4π-5π3=7π3.又由于α∈(0，π)，所以α=π3.答案：π3【延长探究】将本题中“(0，π)”改为“[0，2π]”，“-5π3”改为“-π3”结果又如何？【解析】由题意得α=2k π-π3(k ∈Z)，当k=0时，α=-π3，当k=1时，α=2π-π3=5π3，当k=2时，α=4π-π3=11π3，又由于α∈[0，2π]，所以α=5π3.5.若角α的终边落在x 轴的上方，且-4≤α≤4，则角α的取值集合为______ 【解析】由于角α的终边落在x 轴的上方， 所以2k π<α<(2k+1)π，k ∈Z ， 又由于-4≤α≤4，作图如下.由图可知：{α|-4≤α<-π或0<α<π} 答案：{α|-4≤α<-π或0<α<π}【补偿训练】已知角2α的终边在第一象限，则角α的取值集合用弧度制表示为________.【解析】由于角2α的终边在第一象限， 所以2k π<2α<2k π+π2，k ∈Z ，所以k π<α<k π+π4，k ∈Z ，所以{α|kπ<α<kπ+π4,k ∈Z}.答案：{α|kπ<α<kπ+π4,k ∈Z}.三、解答题6.(10分)(2021·梧州高一检测)已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度.(1)求这个圆心角所对的弧长； (2)求这个扇形的面积.【解析】(1)如图，过O 作OD ⊥AB 于D ， 则D 为AB 的中点， 所以AD=12AB=1，∠AOD=12∠AOB=1rad ，所以，扇形的半径：OA=1sin1.由弧长公式l =|α|r ，得l =2×1sin1=2sin1.(2)由扇形面积公式S=12l r ，得S=12×2sin1×1sin1=1sin 21.(15分钟 30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2021·安溪高一检测)集合{α|k π+π4≤α≤k π+π2，k ∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】选C.当k 为偶数时，设k=2n ，则2n π+π4≤α≤2n π+π2.当k 为奇数时，设k=2n+1，则2n π+5π4≤α≤2n π+3π2.综上可知，已知集合中的角表示的范围如选项C 所示. 2.(2021·合肥高一检测)如图是一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )A.12(2-sin1cos1)R 2B.12R 2sin1cos1C.12R 2D.(1-sin1cos1)R 2【解析】选D.设扇形的弧长为l ，圆心角为α，l =4R-2R=2R ，α=l R=2RR=2，S 扇形=12l R=12×2R ×R=R 2，S 三角形=12×2Rsin1×Rcos1=sin1cos1R 2，S 弓形=S 扇形-S 三角形=R 2-sin1cos1R 2 =(1-sin1cos1)R 2.【补偿训练】(2021·晋中高一检测)半径为10cm ，面积为100cm 2的扇形中，弧所对的圆心角为( )A.2弧度B.2°C.2π弧度D.10弧度 【解析】选A.由题意得r=10，S=100， 依据扇形面积公式S=12αr 2，得：100=12×α×102，解得α=2. 二、填空题(每小题5分，共10分)3.若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________.【解析】设三角形的三个内角的弧度数分别为4x ，5x ，6x ，则有4x+5x+6x=π，解得x=π15.所以三内角中最大内角的弧度数为6x=2π5. 答案：2π54.若2π<α<4π，且α与-7π6角的终边垂直，则α=________.【解析】由于α与-7π6角的终边垂直，所以α-(−76π)=±π2+2k π，k ∈Z ，即α=-53π+2k π或-23π+2k π，k ∈Z ，由于2π<α<4π，所以当k=2时，α=73π或103π.答案：73π或103π【补偿训练】若角α的终边与角85π的终边相同，则在[0，2π]上，终边与α4角的终边相同的角是______.【解析】由于角α的终边与角85π的终边相同，所以α=2k π+8π5(k ∈Z)，所以α4=kπ2+2π5(k ∈Z)，令k 取0，1，2，3，可得相应的α4的值为25π，910π，75π，1910π.答案：25π，910π，75π，1910π 三、解答题5.(10分)设半径为12 cm ，弧长为8πcm 的弧所对的圆心角为α，其中0<α< 2π，求出与α终边相同的角的集合A ，并推断集合A 与集合B={α|α=π6+kπ2,k ∈Z}的关系.【解题指南】由弧度数计算公式求出圆心角α，依据终边相同的角的关系写出集合A ，分k=4n ，k=4n+1，k=4n+2，k=4n+3，n ∈Z 分析集合B ，得出两个集合的关系.【解析】由于半径为12cm ，弧长为8πcm 的弧所对的圆心角为α，所以α=8π12=2π3，则与角α终边相同的角的集合 A={x |x =2kπ+2π3,k ∈Z}.对于集合B={α|α=π6+kπ2,k ∈Z}，当k=4n(n ∈Z)时，α=2n π+π6； 当k=4n+1(n ∈Z)时，α=2n π+2π3；当k=4n+2(n ∈Z)时，α=2n π+7π6； 当k=4n+3(n ∈Z)时，α=2n π+5π3，所以A B.【补偿训练】若角α满足α=2kπ3+π6(k ∈Z)，则α的终边肯定在( )A.第一象限或其次象限或第三象限B.第一象限或其次象限或第四象限C.第一象限或其次象限或x轴非正半轴上D.第一象限或其次象限或y轴非正半轴上【解析】选D.α=2kπ3+π6(k∈Z)，当k=3n时，α=2nπ+π6，为第一象限角；当k=3n+1时，α=2nπ+5π6，为其次象限角；当k=3n+2时，α=2nπ+3π2为y非正半轴上的角，所以α的终边肯定在第一象限或其次象限或y轴非正半轴上. 关闭Word文档返回原板块。

课时作业2 弧度制时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．－120°化为弧度为( ) A ．－56π B ．－π2 C ．－23πD ．－34π解析：由于1°＝π180rad ，所以－120°＝－120×π180＝－2π3，故选C. 答案：C2．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 解析：∵l ＝|α|R ，∴|α|＝l R .当R ，l 均变为原来的2倍时，|α|不变．而S ＝12|α|R 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍．答案：B3．用弧度制表示终边与角150°相同的角的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z解析：150°＝150×π180＝5π6，故与角150°相同的角的集合为{β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z }． 故选D. 答案：D4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4D.3π4解析：∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．答案：A5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 解析：如图．P ∩Q ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}． 答案：B6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是( )A.π2B.3π2C.2π3D.4π3解析：8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π(k ∈Z )． 答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z }8．已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 答案：1或49．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.解析：与α终边相同的角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，化简得：－136<k <116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 答案：－113π，－53π，π3，73π三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如图①中以OB 为终边的角330°，可看成－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴{θ|2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z }． (2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π6， ∴{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k ∈Z } ＝{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|(2k ＋1)π＋π6<θ<(2k ＋1)π＋π2，k ∈Z } ＝{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．11．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3rad ，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6rad ，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间及P 、Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，所以第一次相遇所用的时间为4 s ，所以P 点走过的弧长为43π×4＝163π，Q 点走过的弧长为83π.12．如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB ＝2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D .若CD 的长为a ，求的长及其与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积．解：设圆半径为r的长为m ，由题意，得m r ＝2π3.而∠AOD ＝π3，∴OD ＝12OA ＝r2. ∴CD ＝12OC ＝r2＝a .∴r ＝2a . ∴m ＝4πa 3，S 扇形OACB ＝12r ·m ＝4πa 23. 又AB ＝2AD ＝23a ，S △OAB ＝12OD ·AB ＝12·a ·23a ＝3a 2.∴S 弓形ACB ＝⎝⎛⎭⎪⎫4π3－3a 2.。

课时分层作业(二)(建议用时:４５分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中,错误的是(）A.“度”与“弧度＂是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的错误!,1rad的角是周角的错误!未定义书签。

C.1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关D[ 无论是角度制度量角还是弧度制度量角,都与圆的半径没有关系．]2.错误!未定义书签。

是（）A.第一象限角ﻩB.第二象限角Ｃ．第三象限角ﻩ D.第四象限角B［错误!未定义书签。

＝4π+错误!未定义书签。

．∵错误!未定义书签。

π是第二象限角，∴错误!未定义书签。

是第二象限角．]３．在０到2π范围内,与角-错误!终边相同的角是(）A.错误!B.错误! C．错误!未定义书签。

D．错误!C［与角－错误!未定义书签。

终边相同的角是２ｋπ＋错误!,ｋ∈Z,令k＝1，可得与角-错误!终边相同的角是错误!未定义书签。

，故选C。

]4．下列表示中不正确的是( )A．终边在ｘ轴上角的集合是｛α|α＝kπ，k∈Z}B.终边在y轴上角的集合是错误!C．终边在坐标轴上角的集合是错误!未定义书签。

Ｄ.终边在直线y＝x上角的集合是错误!D [对于A,终边在x轴上角的集合是错误!，故Ａ正确;对于B，终边在y轴上的角的集合是错误!,故B正确;ﻬ对于C，终边在ｘ轴上的角的集合为错误!，终边在ｙ轴上的角的集合为错误!未定义书签。

，故合在一起即为错误!未定义书签。

∪错误!=错误!，故C正确；对于D,终边在直线ｙ＝ｘ上的角的集合是错误!未定义书签。

,故Ｄ不正确．]5.已知扇形的弧长是4 cm,面积是2 ｃm2,则扇形的圆心角的弧度数是（ )Ａ.1 Ｂ.2C.４ﻩD．１或4C [因为扇形的弧长为4 cm ，面积为2 cm 2，所以扇形的面积为错误!×4×ｒ=２,解得r ＝1（cm),则扇形的圆心角的弧度数为＼f （4,1)=4.故选C.]二、填空题6．把角－错误!π用角度制表示为____＿＿＿_．－1 215° [－错误!π=－错误!×180°=－1 2１５°.］７.在△ABC 中,若A ∶B ∶C ＝3∶5∶７,则角A ,B ，C 的弧度数分别为____＿_____＿＿__. 错误!未定义书签。

第2课时 弧度制课时目标1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制．2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．识记强化1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝12|α|·r 2(α是弧度数且0<α<2π)．3．角度与弧度互化度数 360° 180° 1° (180π)°弧度数 2π π π1801课时作业一、选择题 1．－315°化为弧度是( )A ．－43πB ．－5π3C ．－7π4D ．－76π答案：C解析：－315°×π180＝－7π42．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π3cm ，它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：A解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.3．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3 答案：C解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C. 4．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案：D解析：由弧度的定义，知D 正确．5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .6．下列终边相同的一组角是( )A ．k π＋π2与k ·90°，(k ∈Z )B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )C ．k π＋π6与2k π±π6，(k ∈Z )D.k π3与k π＋π3，(k ∈Z ) 答案：B解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍． 二、填空题7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．答案：－23π3解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝⎛⎭⎫3×2π＋56·2π＝－23π3三、解答题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．解：∵圆弧半径R ＝2 km ＝2 000 m ，火车速度v ＝30 km/h ＝253m/s ，∴经过10 s 后火车转过的弧长l ＝253×10＝2503(m)，∴火车经过10 s 后转过的弧度数|α|＝l R ＝25032 000＝124.11．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤r <0，∴k ＝－3，－2，－1.∴与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.(3)令0≤r ＝76π＋2k π＜5π，∴k ＝0,1，∴与α终边相同的角为76π，196π.能力提升12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA 围绕点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则θ等于( )A ．－4πB ．－6πC ．－8πD ．－10π 答案：B解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA 旋转了π3＋2π3＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA 按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.13．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的关系．解：解法一：集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6，m ∈Z ； P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .解法二：M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3·(2m )＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3k ＋16π，k ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ＝N .所以M ⊆N ＝P .附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

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课后提升作业二
弧度制
(分钟分)
一、选择题(每小题分,共分)
.与°角终边相同的角的集合是( )
.
.
.
.
【解析】选°化为弧度为×,所以与终边相同的角的集合为
.
【误区警示】本题易选或,错选的原因是忽视了角的表示中,角度制与弧度制不能混合使用.
弧度的角的终边所在的象限为( )
.第一象限.第二象限
.第三象限.第四象限
【解析】选.因为π<<π,故弧度角的终边在第四象限.
【补偿训练】弧度的角所在的象限是( )
.第一象限.第二象限
.第三象限.第四象限
【解析】选.因为<<π,故弧度角终边在第二象限.
.在半径为的圆中,的圆心角所对弧长为( )
.π.π.
【解析】选.由弧长公式α×.
.(·菏泽高二检测)将°化成απ(≤α<π∈)的形式是
( )
ππ
ππ
【解析】选°×°°,又°π,
故°化成απ(≤α<π)的形式为π.
.(·玉山高一检测)已知扇形的半径是,面积是,则此扇形的圆心角的弧度数是( )。

1.1.2 弧度制课时目标1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．23.一、选择题1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 13．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或5 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A.π4 B ．－π4 C.34π D．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________． 8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______.10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝lr终边的旋转方向 正数 负数 02．2π 360° π 180° π180 ⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计 1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.]3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.]4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．] 5．D [∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ， 则r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π.8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25.9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π.10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π，π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角．(2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42rr＝4 2.14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216.当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

课时作业（二）弧度制A组基础巩固1. 2015广东揭阳一中高一期中240。

化成弧度制是（）A n B2nA. 3 . 34 n5 nC. 3D. 3解析：利用公式1°=孟弧度，可得240°=43n，故选C.答案：C2. 2015江西南昌二中高一期中将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（）n nA-3 B - - 3n nC.6 D •—6解析：将分针拨快10分钟，则分针转过的角度为n60°对应的弧度数3,故选B.答案：B3. 2015山东济宁梁山一中高二期中在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（）A . 1 B. 2C. 3D. 41解析：根据扇形面积公式S=寸a%可得a= 2,故选B.答案：B4. 2015辽宁锦州市高一期末 半径为1 m 的圆中，60。

的圆心角所对的弧的长度为（）C . 60D . 1 .,n n 解析：因为60°=3,又根据弧长计算公式丨=0尸3 n x 1 = 3,故选 A.答案：A5. 2015河北衡水中学高一调研已知扇形面积为 3n 半径是1，则扇形的圆心角是（）1解析：设扇形的圆心角为a 则由题意得1 aX 12= 苗故a=节故选A.答案：A6. 2015 重庆市一中高一检测 半径为2,圆心角为n 的扇形的面积为（） 2 3n R —A. 3B .解析：根据扇形弧长公式l =a 「= 2n ，根据扇形面1 1 2冗 2冗积公式S = 2i •=12 2=~3，故选C .答案：C7.2015陕西延安中学高一期中 扇形的周长是16, 圆心角是2弧度，则扇形的面积是( )A . 16 nB . 32 nC . 16D . 32解析：设扇形弧长为l ,半径为r ,那么故选C.答案：C8. 2015山东淄博六中高一期中 已知扇形的周长 为6 cm ,面积为2 cm 2,贝U 扇形的圆心角的弧度数为 ()A . 1B . 4C . 1 或 4D . 2 或 4解析：设扇形的弧长为l ,半径为r ,所以2r + l = 61尹=2解得 r = 1, l = 4 或者 r = 2, l = 2,、4 2所以扇形的圆心角的弧度数是：a=-或a= 2= 1 , 故选C.答案：C l + 2r =16-=2 1 ,扇形面积等于s = -l • = 16,9. 2015四川遂宁市高一期末已知扇形的半径为12, _________________________________ 弧长为18,则扇形圆心角为__________________________ .解析：由题意，知扇形的半径r = 12,弧长1 = 18,18= 312= 2.答案：310 •求解下列各题：(1)已知扇形的周长为20 cm,面积为9 cm2,求扇形圆心角的弧度数；⑵若某扇形的圆心角为75°半径为15 cm,求扇形的面积.解析:(1)设扇形的半径为r cm,弧长为I cm,圆心角为••I + 2r = 20,/! = 20- 2r.1 1•»2lr = 9,即2(20 —2r)r = 9,/r2- 10r + 9= 0, 解得r = 1或r = 9.而r = 1 时，l = 18,l 18则0= ；= T= 18>2n舍).“ 12-r = 9,贝U 1 = 2, 9= r= grad,2即扇形圆心角的弧度数9= 2rad.⑵圆心角为75x 180=器扇形半径为15 cm. r 扇形面积S=勺a r2= 2x 1fx 佇=3^5%口2).B组能力提升11. 2015浙江易学大联考期中统考已知一扇形的中心角是a所在圆的半径是R,若扇形的周长是一定值C （C>0）,该扇形的最大面积为（）C C2A. B.7T4 4C2C2C.CD.C解析：设扇形的半径为R,则扇形的弧长为C-2R, 则S= 2（C —2R）R=- R2+ CR=- R-C 2+ C2,当C-2RCR= C，即a= ―R —= 2时，扇形的面积最大，最大面C2 积为池，故选C.答案：C12.把―号■表示成0+ 2k n K€ Z）的形式，使|q最小的0的值是（）A .- 3nB -n4 B・4冗C・43n D・4解析：丁弓兀―2n- 3n •••斗与—3n是终边相同的角，且此时一宁=严是最小的.答案：A13. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合（包括边界）并判断2 012是不是这个集合的元素.解析：・.i5o°=6••终边在阴影区域内角的集合为S = { +53 n■•2 012=212+5X 360=药+g,2k n< 37 + 2k n kZ}..5 n 53n 3 n 。

课时分层作业(二) 弧度制(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．1 920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3D [1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋2π3＝32π3.]2．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )【导学号：84352016】A.π6B.π3C.2π3D.4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.]3．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{ α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{ α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故合在一起即为{ α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]4．若θ＝－5，则角θ的终边在第( ) A ．四象限 B ．三象限 C ．二象限D ．一象限D [因为－2π＜－5＜－3π2，所以α是第一象限角．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导学号：84352017】A ．1B ．2C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4，面积为2， 所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________．A ＝π5，B ＝π3，C ＝7π15[因为A ＋B ＋C ＝π， 又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]7．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z [y 轴对应的角可用－π2，π2表示，所以y轴右侧角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z .] 8．已知扇形OAB 的圆心角为57π，周长为5π＋14，则扇形OAB 的面积为________.【导学号：84352018】35π2 [设扇形的半径为r ，圆心角为57π， ∴弧长l ＝57πr ，∵扇形的周长为5π＋14，∴57πr ＋2r ＝5π＋14，解得r ＝7，由扇形的面积公式得＝12×57π×r 2＝12×57π×49＝35π2.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【导学号：84352019】[解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[冲A 挑战练]1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1D [设圆的半径为R ，则sin 1＝1R ，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1sin 1＝2sin 1.] 2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A ．143πB ．－143πC ．718π D ．－718πB [分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是：－4π－13×2π＝－143π.]3．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________.[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]4．若角α与角8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4终边相同的角是________.【导学号：84352020】2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )，又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3， 此时α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]5．如图1­1­10所示，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积. 【导学号：84352021】图1­1­10[解]所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在的圆半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝＋23π6(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3× 3＝7π4(dm 2).。