高中数学必修4弧度制

1．1.2弧度制和弧度制与角度制的换算(1)1弧度的角是如何定义的？(2)如何求角α的弧度数？(3)如何进行弧度与角度的换算？(4)以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？[新知初探]1．度量角的两种制度(1)角度制：①定义：用度作单位来度量角的制度．②1度的角：把圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度．(2)弧度制：①定义：以弧度为单位来度量角的制度．②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝lr.[点睛]用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的互化(1)180°＝π rad.(2)常用的角度数与弧度数的互化：[点睛](1)在应用扇形面积公式S＝12αr2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．(3)在弧度制下的扇形面积公式S ＝12lr ，与三角形面积公式S ＝12ah (其中h 是三角形底边a 上的高)的形式较相似，可类比记忆．(4)由α，r ，l ，S 中任意的两个量可以求出另外的两个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°.( )(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( ) (3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．5弧度的角的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3答案：C4．(1)2π3＝________；(2)－210°＝________.答案：(1)120° (2)－7π6[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9. [解] (1)72°＝72×π180＝2π5. (2)－300°＝－300×π180＝－5π3. (3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°.(4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°.角度与弧度的互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．[活学活用]将下列角度与弧度进行互化： (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18. (4)－855°＝－855×π180＝－19π4.用弧度制表示终边相同的角[典例] 已知角α＝－2 018°.(1)将α改写成φ＋2k π(k ∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．[解] (1)因为α＝－2 018°＝－6×360°＋142°，且142°＝142×π180＝71π90， 所以α＝－12π＋71π90，故α是第二象限角． (2)与α终边相同的角可表示为θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ， 又－2π≤θ＜4π，所以k ＝－1,0,1， 将k 的值分别代入θ＝2k π＋71π90，k ∈Z ， 得θ＝－109π90，71π90，251π90.用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[活学活用]1．将－1 125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为________． 解析：因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×π180＝7π4， 所以－1 125°＝－8π＋7π4. 答案：－8π＋7π42．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如题图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， ∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z .1．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3.求：(1)这个圆心角所对的弧长； (2)这个扇形的面积．解：(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3，所以半径r ＝1sin π3＝233， 所以这个圆心角所对的弧长l ＝233×2π3＝43π9. (2)由(1)得扇形的面积S ＝12×233×43π9＝4π9.题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的半径和圆心角． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l ·r ＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15， 所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[提醒] 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．层级一 学业水平达标1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选D 由角度制和弧度制的定义，知A 、B 、C 说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D 说法错误．2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8， 即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π 解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π，113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与5π3终边相同，是第四象限角．(2)∵236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转π2，则从动轮N 逆时针旋转( )A.π8B.π4C.π2D ．π解析：选B 设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，选B.5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z)，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π106．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr .设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.答案：137．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π(k ∈Z)．解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8.如图，已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小； (2)求α所对的弧的长度l 及阴影部分的面积S . 解：(1)由于圆O 的半径为10，弦AB 的长为10， 所以△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝π3，所以α＝π3.(2)因为α＝π3，所以l ＝α·r ＝10π3.S 扇＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12×10×53＝253，所以S ＝S 扇－S △AOB ＝50π3－253＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.。

第2课时 弧度制1.2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝12|α|·r 2(α是弧度数且0<α<2π)．3一、选择题 1．－315°化为弧度是( )A ．－43πB ．－5π3C ．－7π4D ．－76π答案：C解析：－315°×π180＝－7π42．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π3cm ，它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：A解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.3．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3 答案：C解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C. 4．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案：D解析：由弧度的定义，知D 正确．5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .6．下列终边相同的一组角是( )A ．k π＋π2与k ·90°，(k ∈Z )B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )C ．k π＋π6与2k π±π6，(k ∈Z )D.k π3与k π＋π3，(k ∈Z ) 答案：B解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍． 二、填空题7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．答案：－23π3解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝⎛⎭⎫3×2π＋56·2π＝－23π3三、解答题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．解：∵圆弧半径R ＝2 km ＝2 000 m ，火车速度v ＝30 km/h ＝253m/s ，∴经过10 s 后火车转过的弧长l＝253×10＝2503(m)，∴火车经过10 s 后转过的弧度数|α|＝l R ＝25032 000＝124.11．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤r <0，∴k ＝－3，－2，－1.∴与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.(3)令0≤r ＝76π＋2k π＜5π，∴k ＝0,1，∴与α终边相同的角为76π，196π.能力提升12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA 围绕点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则θ等于( )A ．－4πB ．－6πC ．－8πD ．－10π 答案：B解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA 旋转了π3＋2π3＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA 按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.13．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的关系．解：解法一：集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6，m ∈Z ； P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .解法二：M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3·(2m )＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3k ＋16π，k ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ＝N .所以M ⊆N ＝P .。

高二数学必修 4 知识点：随意角和弧度制在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

小编准备了高二数学必修 4 知识点，希望你喜爱。

1.随意角(1)角的分类：①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：终边与角同样的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制：① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 .②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=， l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 .③用弧度做单位来胸怀角的制度叫做弧度制.比值与所取的r 的大小没关，仅与角的大小相关.④弧度与角度的换算：360 弧度 ;180 弧度 .⑤弧长公式： l=||r ，扇形面积公式：S 扇形 =lr=||r2.2.随意角的三角函数(1)随意角的三角函数定义：设是一个随意角，角的终边与单位圆交于点P(x， y) ，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y ，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 .(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 .3.三角函数线察看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与少儿生活靠近的，能理解的察看内容。

随机察看也是不行少的，是相当风趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边察看，一边发问，兴趣很浓。

我供给的察看对象，注意形象传神，色彩鲜亮，大小适中，指引少儿多角度多层面地进行察看，保证每个少儿看获得，看得清。

看得清才能说得正确。

在察看过程中指导。

我注意帮助少儿学习正确的察看方法，即按次序察看和抓住事物的不一样特点重点察看，察看与说话相联合，在察看中累积词汇，理解词汇，如一次我抓住机遇，指引少儿察看雷雨，雷雨前天空急巨变化，乌云密布，我问少儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像海洋的波涛。

高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。

二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。

2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。

三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。

2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。

四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。

五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。

板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。

同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。

课堂探究1．弧度制与角度制的关系剖析：(1)1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1°是圆周的1360所对的圆心角的大小．(2)不管是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝π4弧度，不必写成45°≈0.785弧度． (4)弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运用起来方便．(5)在今后表示角的时候，常常使用弧度制，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用，例如α＝2k π＋30°(k ∈Z )，β＝k ·360°＋3π2(k ∈Z )都是不正确的． 2．教材中的“思考与讨论”请你把扇形面积公式与三角形面积公式进行类比，你会产生什么联想？剖析：扇形的面积公式S ＝12lr ，其中l 为扇形的弧长，r 为扇形所在圆的半径；三角形的面积公式S ＝12ah ，其中a 为三角形的底边长，h 为边长为a 的底边上的高．扇形可以看作是特殊的三角形，其中将弧长看作是三角形的底边，半径看作是三角形底边上的高．题型一 角度、弧度的概念【例题1】下列各命题中，不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径的长短有关解析：用角度制或弧度制度量角都与圆的半径的长短无关，否则将不可能作为度量角的标准，所以D 项中的命题是不正确的．答案：D反思弧度制是用“弧度”来度量角的一种度量制度，这种制度的基本单位是“弧度”，没有辅助单位，不像角度制，除基本单位“度”外，还有辅助单位“分”“秒”．题型二 角度制与弧度制的互化【例题2】填空：(1)18°＝__________rad ；(2)67°30′＝__________rad ；(3)3π10＝__________度． 解析：(1)18°＝π180×18＝π10rad. (2)67°30′＝67.5°＝π180×67.5＝3π8rad. (3)3π10＝3π10×⎝⎛⎭⎫180π°＝54°. 答案：(1)π10 (2)3π8(3)54 反思(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能帮助我们更快更准确地进行运算．(2)如果角度以度、分、秒的形式给出，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是⎝⎛⎭⎫2×180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°. 题型三 用弧度表示终边相同的角【例题3】已知α＝2 016°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－6π，0)上找出与α终边相同的角．分析：(1)可将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，根据β与α终边相同判断α是第几象限的角．(2)关键在于由－6π≤β＋2k π＜0求出k 的取值．解：2 016°＝2 016×π180＝56π5＝5×2π＋6π5. ∵6π5是第三象限的角， 且α＝2 016°与角6π5终边相同，∴α是第三象限的角． (2)找出与α终边相同的角，即找出与角6π5终边相同的角，令－6π≤6π5＋2k π＜0，k ∈Z 可得，满足条件的角有－4π5，－14π5，－24π5. 反思不管用角度制还是用弧度制表示终边相同的角，一定要注意单位统一．〖互动探究〗本例(2)中的结论有3个角满足条件，这其中有何规律？解：[－6π，0)这个区间恰为3个圆周，恰好每一周有一个满足条件的角.题型四 扇形面积公式和弧长公式的应用【例题4】一条弦的长度等于半径r ，求：(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．分析：解决此类问题，首先要根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定．由已知可得，圆心角的大小为π3，然后利用相关公式求解即可． 解：(1)如图，∵在半径为r 的圆O 中，弦AB ＝r ，则△OAB 为等边三角形，∴∠AOB ＝π3.由弧长公式，得弦AB 所对的劣弧长为π3r . (2)∵S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB ＝34r 2， S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－34r 2＝⎝⎛⎭⎫π6－34r 2. 反思图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例是把弓形面积看成是由扇形面积与三角形面积的差组成的，即可运用已有知识解决要求解的问题．此类数形结合的题目，要尽可能地从各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口．〖互动探究〗扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最大面积．分析：灵活选用扇形的弧长公式、面积公式，转化成求函数最值的问题．解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，则弧长为l ＝20－2r .由20－2r ＞0，得0＜r ＜10.由20－2r ＜2πr ，得r ＞10π＋1. ∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25，r ∈⎝⎛⎭⎫10π＋1，10， ∴当r ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时圆心角α＝l r ＝20－2r r ＝20－2×55＝2 rad.。

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

弧度制说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是“弧度制”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“弧度制”是高中数学必修 4 第一章《三角函数》中的重要内容。

在此之前，学生已经学习了角度制，而弧度制的引入为后续学习三角函数的图象和性质等知识奠定了基础。

教材通过类比长度、重量等度量制的建立过程，引导学生理解弧度制的概念和意义。

同时，教材注重弧度制与角度制的换算，培养学生的运算能力和数学思维。

二、学情分析学生在初中已经接触过角度制，对角度的度量有一定的认识。

但对于弧度制这一新的概念，可能会感到陌生和抽象。

因此，在教学中需要通过具体的实例和直观的演示，帮助学生理解弧度制的本质。

此外，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力还处于发展阶段，在教学过程中要注重引导学生进行思考和探究，逐步培养学生的数学素养。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算公式。

（2）能够用弧度制表示角的大小，并能进行简单的运算。

2、过程与方法目标（1）通过类比、归纳等方法，引导学生自主探究弧度制的建立过程，培养学生的数学思维能力。

（2）通过实例分析和练习，提高学生的运算能力和解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学知识的内在联系，体会数学的严谨性和科学性。

（2）激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、创新的精神。

四、教学重难点1、教学重点（1）弧度制的概念和弧度与角度的换算。

（2）用弧度制表示角的大小。

2、教学难点弧度制概念的理解。

五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解弧度制的概念、原理和相关知识。

（2）演示法：通过多媒体演示，帮助学生直观地理解弧度制。

（3）启发式教学法：引导学生思考问题，激发学生的学习积极性。

2、学法（1）自主探究法：让学生自主探究弧度制的建立过程，培养学生的自主学习能力。