子空间的直和

子空间的直和的充要条件一、引言在线性代数中，子空间是向量空间的一个重要概念。

直和则是子空间的一个重要性质。

本文将介绍子空间的直和以及充要条件。

二、子空间2.1 定义向量空间V中的非空子集U称为V的子空间，如果U对于向量加法和数乘运算也构成一个向量空间。

2.2 子空间的性质•零向量属于任意子空间•对于任意u，v属于U，u+v也属于U•对于任意k，u属于U，ku也属于U三、直和3.1 定义设V是线性空间，W1和W2是V的两个子空间。

如果满足以下两个条件，则称W1与W2的直和为V：•V = W1 + W2：即任意v属于V都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。

•W1 ∩ W2 = {0}：即W1与W2只有零向量交集。

3.2 直和的几何理解直和可以理解为两个子空间在几何上没有交集，并且它们的所有组合可以覆盖整个向量空间V。

四、充要条件子空间的直和有以下充要条件：4.1 直和的充要条件一设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当对于任意v属于V，存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2。

4.2 直和的充要条件二设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当维数公式成立：dim(V) = dim(W1) + dim(W2)。

4.3 证明充分性证明：如果存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = v1 + v2。

这说明V = W1 + W2。

另外，假设存在一个非零向量w同时属于W1与W2，则w既属于W1又属于W2，那么存在唯一的w’属于W1和w’‘属于W2，使得w = w’ + w’’。

由此可知w也可以表示为其他两个不同向量之和，与唯一性矛盾。

因此，W1与W2的交集只有零向量。

必要性证明：如果V是两个子空间W1和W2的直和，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。

子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1V1，α2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αiVi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。

必要性：显然成立；充分性：设αV1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）那么α1=-α2 V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），αV1，—αV2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。

必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。

第六章 线性空间学习单元7： 子空间的直和_________________________________________________________● 导学学习目标：了解子空间的直和的概念；理解子空间的直和的判别；掌握证明线性空间V 是两个子空间的直和的证明方法。

学习建议：本学习单元的理论比较抽象，建议大家认真看书，深刻理解概念及定理的条件与结论，通过例题掌握证明方法。

重点难点：重点：深刻理解子空间的直和的概念与判别法。

难点：线性空间分解成两个子空间的直和的证明。

_________________________________________________________● 学习内容一、直和的概念观察两个子空间的和的特点例 212,{(,,0)|,},{(0,,)|,}V P V a b a b P V x y x y P ==∈=∈，则12V V V +=，但V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法不唯一，如(1,7,4)(1,2,0)(0,5,4)(1,3,0)(0,4,4)=+=+ 又12{(,,0)|,},{(0,0,)|}V a b a b P V x x P =∈=∈。

则12V V V +=，而V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法唯一。

定义 V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，如果12V V +中向量表为1V 与2V 中向量的和时，表法唯一，即由1212111222,,,,V V αααββαβαβ=+=+∈∈可推出1122,αβαβ==，则称这个和为直和，记为12V V ⊕。

二、直和的判别定理 设12,V V 为数域P 上线性空间V 的两个子空间，则下列几条等价。

（1）1212V V V V +=⊕；（2）12V V +中零向量表法唯一；（3）12{0}V V =I ；（4）1212dim()dim dim V V V V +=+。

推广定理 设1,,s V V V ≤L ，则下列几条等价。

5.5 子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和.教学目标：1．理解并掌握子空间的概念.2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.授课时数：3学时教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程： 一 子空间的的和回忆:令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。

V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。

1. 定义：设12,W W V ⊆，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ对121212,,,,a b F W W αβαααβββ∀∈∉+=+=+有，111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.∴111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈于是()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+∴12W W +是V 的子空间。

推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则{}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈仍然是V 的子空间.补充：若W =L ()ααα,,, ，(),,,W L βββ=证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211t t l l l ββββ+++= 2211∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211 ∴12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121定理5.5.2 维数定理。

多个子空间的直和的等价条件好嘞，今天咱们聊聊数学里一个挺有意思的话题——多个子空间的直和的等价条件。

听起来复杂？别急，慢慢来，我会把它讲得轻松点。

想象一下，你在家里，厨房、客厅、卧室，这些都是你生活的不同空间。

每个空间都有自己的功能和特色，但它们又共同构成了你这个家的整体。

这个概念放到数学里也差不多。

好了，咱们进入正题。

多个子空间的直和其实就是把几个空间拼在一起，形成一个更大的空间。

这就像把几个乐器放在一起，弹出美妙的和声。

可是，问题来了，不是所有的子空间都能“合得来”。

比如说，如果你有两个子空间，一个是“喜欢安静”的小书房，另一个是“热爱派对”的客厅，怎么拼在一起才能不打架呢？这就是我们要解决的问题。

直和有个基本条件，那就是这些子空间的交集只能是零空间。

简单说，就是它们不能有重叠。

如果小书房和客厅里都放了一个沙发，那可就麻烦了。

因为一张沙发不可能同时在两个地方，对吧？这就叫做“相交为零”，也就是说，咱们得确保每个子空间里的元素都是独一无二的，这样拼起来才不会出错。

接下来还有一点，如果你能找到一些基底，能把整个空间表达出来，那就是另外一回事了。

这就好比你把每个房间的特色都写在纸上，列出每个房间最重要的家具。

只要你能把这些家具合理地摆放到新房间里，就能重新创建出一个和谐的家。

这样的话，任何一个空间都能用这些基底中的元素表示出来，就没有什么问题了。

这时候，你可能会问，咱们怎么确认这些条件呢？其实也不难。

你可以尝试把空间里的元素拿出来，做个小实验。

就像做菜一样，先把所有材料都准备好，然后看看哪些能混合，哪些不能。

你可以找一些特殊的元素，试着把它们组合在一起，如果最终形成的结果还在这个大空间里，那就说明条件成立。

别忘了，数学可不止是冷冰冰的公式，有时候也需要点创造力。

就像你在厨房里试验新菜谱，有时候成功，有时候失败，这都是正常的。

多个子空间的直和就像是一次大餐，只有每个部分都协调，最后才能上桌，给大家带来美好的享受。