2011-积分变换与场论--B卷

15版河北工大复变函数作业河北工业大学向量分析与场论作业（1）_______专业____班姓名________学号_________一．填空题1．设A 是n m ?矩阵，,)(Ax x f =则________)('=x f 。

2．设r T t z t y t x t )](),(),([)(=，],[T t t 0∈是一条空间曲线，则在参数为t 的点，曲线r )(t 的切线向量为__________________。

二．设x =T x x x x x ],,,,[54321，f T f f f ],,[321=，且1f (x )=3423321+-+x x x e x,2f (x )=5311226x x x x x -+-cos , 3f (x )=54321x x x x x ++sin ，求f )('x ,f ),,,,('72310三．设S 为球心在原点、半径为a 的球的外表面，r 为向径向量，求积分：dS r S河北工业大学向量分析与场论作业（2）_______专业____班姓名________学号_________一．填空题1. 数量场zy x z y x u 22+=),,(过点),,(2110M 的等值面为________。

2.设l 为数量场u 在0M 的等值面上的一个向量，则lu (0M )=_______. 3.设l 和grad u 方向一致，则lu =_________. 二．求函数222x yz y u -+=在点),,(121M 处沿向量k j i l ++=21的方向导数。

三．设函数22y y e x u x-+=cos ，点),,(11πM 求（1）u 在点),,(11πM 的梯度；（2）u 在点),,(11πM 处沿向量k j i l 22++=的方向导数；（3）u 在点M 沿哪个方向方向导数最大？这个方向导数的最大值是多少？河北工业大学向量分析与场论作业（3）_______专业____班姓名________学号_________一．填空题1．设向量场，F )(yz x +=2i +)(zx y +2j +)(zy z +2k ,则F ??_____=。

积分变换与场论
积分变换与场论是物理学和工程学中使用的数学工具，它们在描述和分析物理现象和工程问题时发挥着重要作用。

积分变换是一种将一个函数或分布转换为另一个函数或分布的数学操作。

在物理学和工程学中，积分变换被广泛应用于求解各种偏微分方程和积分方程。

常见的积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、梅林变换等。

这些变换可以用于求解具有复杂边界条件或初始条件的偏微分方程，以及解决涉及时间或空间分布的问题。

场论是研究场的性质和行为的物理学分支。

在物理学中，场是一种物理量在空间中的分布，可以是标量场、矢量场或张量场。

场论用于描述场的产生、传播和相互作用。

在量子力学和相对论中，场论扮演着重要的角色。

量子场论是量子力学与场论的结合，它提供了描述微观粒子相互作用的理论框架。

相对论场论是描述相对论效应的场论，它为研究相对论现象提供了重要的数学工具。

积分变换与场论在许多物理学和工程学领域中都有应用。

例如，在电磁学中，积分变换被用于分析电磁场的分布和传播。

在流体力学中，场论被用于描述流体速度场、压力场和温度场的分布和变化。

在固体物理学中，积分变换和场论被用于描述电子和声子的行为以及材料的电磁和热性质。

总之，积分变换与场论是物理学和工程学中重要的数学工具，它们为解决各种问题提供了有效的数学手段。

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。

3．Ln z 在 的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

*1.【圆函数】e (φ)=cos φi +sin φj .*2.a.弧长的微分ds =以点M 为界,当ds 位于s 增大一方时取正号;反之取负号.b.矢性函数的微分的模,等于(其矢端曲线的)弧微分的绝对值.矢性函数(其矢端曲线的)弧长s 的导数d r /ds 在几何上为一切单位矢量,恒指向s 增大的一方.+3.证明||.ds d d r t dt=证,d dx dy dz dtdt dtr i j k dt =++d dt r =由于ds 与dt 有相同的符号,故有.ds d dt dt r ===由此可知:矢端曲线的切向单位矢量.d d ds d d dt dt dt dtd r s r r r ==*4.【二重矢积】公式：a ×(b ×c )=(a ·c )b -(a ·b )c .+5.矢性函数A (t)的模不变的充要条件是.d d A A t•=0证假定|A |=常数,则有A 2=|A |2=常数.两端对t 求导[左端用导数公式],就得到.d d A A t •=0反之,若有.d d A A t •=0则有,d dt A =20从而有A 2=|A |2=常数.所有有|A |=常数.定常矢量A (t)与其导矢相互垂直.*6.''.A B A dt t B B A d ×=×+×∫∫''.A B A dt t B B A d •=•−•∫∫+7.一质点沿曲线r =rcos φi +rsin φj 运动,其中r,φ均为时间t 的函数.求速度v 在矢径方向及其垂直方向上的投影v r 和v φ.解将r 写成r =r e (φ),则有()().d dr d r dt dt v d r e e t ϕϕϕ==+1由此可知：,.r dr d v v r dt dtϕϕ==[使用圆函数e (φ)，则e (φ)及e 1(φ)之方向即为矢径方向及与之垂直的方向.]*8.【矢量线】A =A x i +A y j +A z k 为单值、连续且有一阶连续导数。

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«复变函数与积分变换»期末试题(A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）;2。

)1(iLn+-的主值是（ )；3. 211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的( )极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs( )；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A) yxiuuzf+=')(； (B）yxiuuzf-=')(;（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B)2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz；（D)2)2(3-z.3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛； (B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛； (D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B) 如果)(zf在C所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dzzf)(=dzzf（D)函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A ） 的可去奇点；为z1sin ∞(B ） 的本性奇点；为z sin ∞ （C) ;1sin 1的孤立奇点为z ∞（D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）(1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a(2）．计算⎰-Cz z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点,请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; （1）110<-<z ，（2）10<<z ,（3）∞<<z 1五．(本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：ted tββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题(A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分,共计15分)1．231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2。

第9章 《电磁感应 电磁场理论》复习思考题一、填空题：1．飞机以1s m 200-⋅=v 的速度水平飞行，机翼两端相距离m 30=l ，两端这间可当作连续导体。

已知飞机所在处地磁场的磁感应强度B 在竖直方向上的分量T 1025-⨯。

机翼两端电势差U 为0.12V 。

2．当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的 磁通量 发生变化时，在导体回路中就会产生电流，这种现象称为电磁感应现象。

3．用导线制造成一半径为m 10.0=r 的闭合圆形线圈，其电阻Ω=10R ，均匀磁场B 垂直于线圈平面。

欲使电路有一稳定的感应电流A 01.0=I ，B 的变化率应为__3.18T/s_____________。

4．楞次定律：感生电流的磁场所产生的磁通量总是 阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

5．如果导体不是闭合的，即使导体在磁场里做切割磁力线运动也不会产生感应电流，但在导体的两端产生_感应电动势____。

6．楞次定律是 能量守恒和转换 _定律在电磁现象领域中的表现。

二、单选题1．感生电场是 。

（A ）由电荷激发，是无源场； （B ）由电荷激发，是有源场；（C ）由变化的磁场激发，是无源场； （D ）由变化的磁场激发，是有源场。

2．关于感应电动势的正确说法是： 。

（A ）导体回路中的感应电动势的大小与穿过回路的磁感应通量成正比；（B ）当导体回路所构成的平面与磁场垂直时，平移导体回路不会产生感应电动势；（C ）只要导体回路所在处的磁场发生变化，回路中一定产生感应电动势；（D ）将导体回路改为绝缘体环，通过环的磁通量发生变化时，环中有可能产生感应电动势。

3．交流发电机是根据 原理制成的。

（A ）电磁感应； B ）通电线圈在磁场中受力转动；（C ）奥斯特实验； （D ）磁极之间的相互作用。

4．将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，则不计自感时， 。

（A ）铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势（B ）铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小（C ）铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大（D ）两环中感应电动势相等。

飞行器设计与工程专业培养计划运载工程与力学学部执行院（系）：运载工程与力学学部 2009年入学适用四年制本科生1、类别或专业飞行器设计与工程专业2、包含专业飞行器设计与工程3、专业设置简介飞行器设计与工程专业是航空宇航科学与技术学科的主要专业方向之一，本专业培养航空航天飞行器总体设计与结构设计、飞行动力学与控制、机电一体化系统设计方面的高级专业技术人才。

本专业毕业生基础理论扎实、知识面宽广、具备良好的数学、力学和计算机基础，熟悉与本专业相关的机械设计、工程力学、自动化等专业的基础知识、具有很强的适应能力。

本专业的毕业生可从事航空航天工程、机电一体化工程、计算机软件工程等方面的研究、设计、开发与管理工作，优秀毕业生可继续攻读本专业及航空宇航科学与技术学科其他专业的硕士和博士学位。

4、培养目标及要求培养目标：本专业以培养全面发展的复合型、创新型航空宇航科学与技术专业人才为目标。

要求学生掌握飞行器设计与工程专业的基本知识、基本理论与实践技能，具备良好的人文和社会科学知识与素养及外语水平，具备良好的适应能力和发展潜力。

能够在航空航天飞行器总体设计、结构设计、飞行动力学与控制、机电一体化等领域从事研究、设计、开发与管理工作；也能够在工程力学、机械工程、能源动力、电子信息、兵器工程等领域从事技术研发与管理方面的工作。

培养要求：本专业学生主要学习飞行器设计与工程专业的基础知识、基本理论和实践技能，学习飞行器结构分析与设计、气动与推进、飞行器动力学与控制、飞行器人机环境等方面的基础知识。

使学生接受现代航空航天飞行器设计专业的基本训练，培养学生具备进行飞行器总体设计、结构设计、飞行动力学与控制、飞行器系统仿真与计算机应用方面的基本能力。

本专业毕业生应获得的知识和达到的能力包括：1．具有较扎实的自然科学基础、较好的人文、艺术和社会科学基础及良好的语言文字表达能力；2．较系统地掌握本专业领域宽广的技术理论基础知识，主要包括飞行器结构力学、空气动力学、自动控制原理、机械设计基础、航空航天推进系统、航空航天材料工程、飞行器人机环境工程、飞行器动力学与控制、计算机系统及数值计算方法等基础知识；3．具有本专业必需的制图、计算、实验、测试和文献检索能力；4．具有本专业所必要的专业知识，了解其科学前沿及发展趋势；5．具备进行飞行器总体与结构设计、飞行动力学分析、控制、仿真及计算机应用方面的基本能力；6．具有较强的自学能力、创新意识和较高的综合素质；7．必须通过学校统一组织的外国语四级考试；8．必须通过学校统一组织的计算机能力一、二级考试；1飞行器设计与工程专业29． 必须达到本培养计划规定的基本学分要求和各类学分要求。

习题三1. 计算‎积分2()d Cx y ix z -+⎰,其中C 为从原‎点到点1+i 的直线段‎.解 设直线段的方‎程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤‎故 ()()12212310()11(1)(1)(1)333Cx y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰2‎. 计算积分(1)d Cz z -⎰，其中‎积分路径C 为(1)‎ 从点0到点1+i 的‎直线段;(2) 沿‎抛物线y =x 2，从点‎0到点1+i 的弧段.‎解 (1)设z x ix =+. ‎ 01x ≤≤()()111()Cz d z x i x dx i x i-=-++=⎰⎰ (2)‎设2z x ix =+. 01x ≤≤()()122211()3Ciz dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰ ‎3. 计算积分d Cz z ⎰，其‎中积分路径C 为(1‎) 从点-i 到点i 的‎直线段;(2) 沿‎单位圆周|z |=1的‎左半圆周，从点-i 到‎点i ;(3) 沿单‎位圆周|z |=1的右‎半圆周，从点-i 到点‎i .解 (1)设‎z iy =. 11y -≤≤1111Cz dz ydiy i ydy i --===⎰⎰⎰(2‎)设i z e θ=. θ从32π到2π‎22332212i i Cz dz de i de i ππθθππ===⎰⎰⎰(3) 设i z e θ=.‎ θ从32π到2π23212i Cz dz de i πθπ==⎰⎰‎6. 计算积分()sin zCz ez dz -⋅⎰ ,其‎中C 为0za =>.解()sin sin zzCCCz ez dz z dz e zdz -⋅=-⋅⎰⎰⎰‎∵sin ze z ⋅在z a =所围的区域内‎解析∴sin 0zCezdz ⋅=⎰从而()2022sin 0z i CCi z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-⋅====⎰⎰⎰⎰ ‎故()sin 0zCz ez dz -⋅=⎰7. 计算‎积分21(1)Cdz z z +⎰,其中积分路径‎C 为（1）11:2C z =‎（2）23:2C z =（3）31:2C z i +=‎（4）43:2C z i -= 解：‎（1）在12z =所围的区域‎内，21(1)z z +只有一个奇点0z =‎. 12111111()2002(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （2）在2C 所‎围的区域内包含三个奇‎点0,z z i ==±.故22111111()20(1)22CC dz dz i i i z z z z i z iπππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （3）‎在2C 所围的区域内包含‎一个奇点z i =-,故32111111()00(1)22C C dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=-+-+⎰⎰‎（4）在4C 所围的区域‎内包含两个奇点0,z z i ==,故‎42111111()2(1)22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=-=+-+⎰⎰10.利用‎牛顿-莱布尼兹公式计‎算下列积分. ‎(1)20cos 2izdz π+⎰(2‎)z ie dz π--⎰ (3)21(2)iiz dz +⎰‎(4) 1ln(1)1iz dz z ++⎰ (5‎)1sin z zdz ⋅⎰(6)211tan cos izdz z +⎰‎解 (1)2201cos sin21222iiz z dz ch ππ++==⎰(2‎)2zz iiedz e ππ----=-=-⎰(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333ii ii iz dz iz d iz iz i i +=++=⋅+=-+⎰⎰ (‎4) 222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284ii iz dz z d z z z π+=++=+=-++⎰⎰ (5)11110000sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⋅=-=-+=-⎰⎰⎰‎(6) 222112111221tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122ii i i iz dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰11.‎ 计算积分21zCe dz z +⎰,其中C ‎为 (1) 1z i -= (‎2) 1z i += (3) ‎2z =解 (1)221()()z z ziz iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰ ‎(2)221()()z z zi z iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)‎122222sin1111z z z i iC C C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰16. ‎求下列积分的值,其中‎积分路径C 均为|z |‎=1.(1) 5zC e dz z ⎰ ‎ (2) 3cos C z dz z ⎰(3)‎ 020tan12,()2C zdz z z z <-⎰ 解 (1) (4)52()4!12z z z C e i idz e z ππ===⎰ ‎(2)(2)3cos 2(cos )2!z C z i dz z i z ππ===-⎰(3)‎ 0'220tan22(tan )sec ()2z z C zz dz i z i z z ππ===-⎰17. 计‎算积分331(1)(1)C dz z z -+⎰ ,其中积分路‎径C 为(1)中心位‎于点1z =,半径为2R <的正‎向圆周(2) 中心‎位于点1z =-,半径为2R <的‎正向圆周解：(‎1) C内包含了奇点‎1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ===-++⎰ (2) C‎内包含了奇点1z =-,∴‎(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i i dz z z z ππ=-==--+-⎰19. 验证下‎列函数为调和函数.‎3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x xx x y xy y y i y ωω=--+=+++解(1) 设w u i υ=+,‎3223632u x x y xy y=--+ 0υ=∴223123u x xy y x ∂=--∂ 22666ux xy y y∂=--+∂ ‎22612u x y x∂=-∂ 22612ux y y ∂=-+∂ 从而有22220u ux y ∂∂+=∂∂‎,w 满足拉普拉斯方程‎,从而是调和函数. ‎(2) 设w u i υ=+,cos 1x u e y =⋅+ ‎sin 1x e y υ=⋅+∴cos x u e y x ∂=⋅∂ s i n x ue y y∂=-⋅∂ 22cos x u e y x ∂=⋅∂ ‎ 22cos x u e y y∂=-⋅∂ 从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,u ‎满足拉普拉斯方程,从‎而是调和函数. sin x e y x υ∂=⋅∂ ‎ cos x e y yυ∂=⋅∂ 22sin xe y x υ∂=⋅∂ 22s i n x y e yυ∂=-⋅∂ 22220x yυυ∂∂+=∂∂,‎υ满足拉普拉斯方程,‎从而是调和函数.‎20.证明:函数22u x y =-,‎22xx yυ=+都是调和函数,但()f z u i υ=+‎不是解析函数证明:‎ 2u x x ∂=∂ 2u y y ∂=-∂ 222u x ∂=∂ 222u y∂=-∂ ‎∴22220u ux y ∂∂+=∂∂,从而u 是调和函‎数. 22222()y x x x y υ∂-=∂+ 2222()xy y x y υ∂-=∂+ 223222362()xy x x x y υ∂-+=∂+ ‎ 223222362()xy x y x y υ∂-=∂+ ∴22220x yυυ∂∂+=∂∂,从而υ是‎调和函数. 但∵u x y υ∂∂≠∂∂ ‎ u yx υ∂∂≠-∂∂ ∴不满足C-R ‎方程,从而()f z u i υ=+不是解析‎函数.22.由下‎列各已知调和函数,求‎解析函数()f z u i υ=+ (1)22u x y xy =-+‎(2)22,(1)0yu f x y ==+ 解 (‎1)因为 2u x y x y υ∂∂=+=∂∂ 2u y x y xυ∂∂=-+=-∂∂ ‎ 所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y xx y xy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22x y f z x y xy xy C =-++-+++令y ‎=0,上式变为22()i()2x f x x C =-+‎从而22()i i 2z f z z C =-⋅+(2)2222()u xy x x y ∂=-∂+ ‎ 22222()u x y y x y ∂-=∂+ 用线积分法，取‎（x 0,y 0）为(1‎,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y x u u x y ydx dy C dx x dy Cy x x x y x x yC x x y x y υ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰ 2222()i(1)y xf z C x y x y=+-+++ ‎由(1)0.f =，得C=0 ()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭‎23.设12()()()()n p z z a z a z a =--- ,其中(1,2,,)i a i n = ‎各不相同，闭路C 不通‎过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ ‎等于位于C 内的p(z ‎)的零点的个数.‎证明: 不妨设闭路C ‎内()P z 的零点的个数为k ‎, 其零点分别为12,,...k a a a‎1112312121()()()...()...()1()12πi ()2πi ()()...()111111...2πi 2πi 2πi 111111...1...2πi 2πi nnk k n k k C Cn C C C nC C k n k z a z a z a z a z a P z dz dzP z z a z a z a dz dz dz z a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=+++---=++++++--∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰个z k=24.试证明下‎述定理(无界区域的柯‎西积分公式): 设f ‎(z )在闭路C 及其外‎部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞‎，则(),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C ‎所围内部区域.证‎明：在D 内任取一点Z ‎，并取充分大的R ，作‎圆C R : R z =，将C 与‎Z 包含在内则f(z ‎)在以C 及RC 为边界的‎区域内解析，依柯西积‎分公式，有R 1()()()[-]2πi C C f f f z d d z zζζζζζζ=--⎰⎰ 因为‎()f z zζζ-- 在R ζ>上解析，且‎()1lim lim ()lim ()11f f f z z ζζζζζζζζζ→∞→∞→∞=⋅==--所以，当Z 在C 外‎部时，有1()()2πi C f f z A d z ζζζ=--⎰即1()()2πi C f d f z A zζζζ=-+-⎰ ‎设Z 在C 内，则f(z ‎)=0，即 R 1()()0[]2πi C C f f d d zz ζζζζζζ=---⎰⎰ 故有‎：1()2πi C f d A z ζζζ=-⎰ ‎。

电气工程及其自动化专业培养方案执行院系: 电气工程学院 2022 年入学合用四年制本科生一、专业培养目标及要求1．培养目标本专业培养适应现代科技发展和经济建设需要的，具有健全的人格和良好的人文素质与品德修养；宽广的自然科学基础、扎实的电气工程基础和专业技能；富于创新精神、工程实践能力强；具有较强的交流与团队合作能力；能够在电气工程相关的系统运行、自动控制、工业过程控制、电力系统、机电与电器、电力电子技术、检测与自动化仪表、电子与计算机应用等领域，从事工程设计、系统分析、信息处理、科学试验、研制开辟、经济或者科技管理等工作的宽口径、复合型高级工程技术人材。

2．培养要求(1) 知识要求：掌握宽广的自然科学基础；掌握电气工程及其自动化专业必要的电路理论、电磁场原理、摹拟和数字电子技术、自动控制原理、计算机技术基础、信号分析与处理等基础理论，以及机电学、电力系统分析、电器学、电力电子技术、高电压技术等专门知识。

(2) 能力要求：掌握与电气工程及其自动化专业相关的系统与设备的分析、实验、科技开辟与工程设计的基本方法；具有对电子信息与电气工程类专业相关系统与设备进行分析、设计和开辟的初步能力。

(3) 工程要求：受到电路技术、电子技术、计算机技术与网络的应用、科学研究与工程设计方法的基本训练；了解国家对于电气工程及其自动化专业相关领域生产、设计、研究与开辟、环境保护等方面的方针、政策和法规。

二、毕业生能力本专业学生毕业后要求具备以下能力：1. 具有较好的人文与社会科学素质、较强的社会责任感和良好的职业道德；2. 具有从事电气工程领域工作所需的相关自然科学知识以及一定的管理知识；3. 掌握扎实的本专业领域的工程基础知识，包括电路理论、电磁场原理、摹拟和数字电子技术、计算机原理、自动控制原理、信号分析与处理等；4. 掌握扎实的与本专业相关的专门知识，包括机电学、电器学、电力系统分析、高电压技术、电力电子技术等；了解本学科前沿和发展趋势；5. 具备本专业必需的分析、设计、试验、仿真等基本技能，具有熟练应用计算机的能力；6. 至少熟练掌握一门外国语，并能进行有效的技术沟通和国际交流；7. 具有综合运用所学科学理论和技术手段分析并解决电气工程实际问题的基本能力；8. 具有创新意识和对新产品、新工艺、新技术和新设备进行研究、开辟和设计的初步能力；9. 了解与本专业相关的职业和行业的生产、设计、研究与开辟的法律、法规；熟悉环境保护和可持续发展等方面的方针、政策和法津、法规；能正确认识工程对客观世界和社会的影响；10. 具有一定的组织管理能力、较强的表达能力和人际交往能力以及在团队中发挥作用的能力；11. 具有适应电气工程发展的能力，对终身学习具有正确认识；12. 掌握文献检索、资料查询及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法； 13. 具有国际视野和跨文化交流、竞争与合作能力。

65.Yield stress of suspensionsdoes it exist?
66.Do we need the stress in drilling?
67.How do we obtain theyieldstress in drilling?
68.In drilling fluid rheology, which model do we choose?
100.如何理解高性能混凝土矿物掺和料的物理作用和化学作用？
101.基于性能表征的化学外加剂的分子结构设计技术。
地质类科技论文写作-英译及投稿
（2008.12.18）
102.EI和SCI有什么区别？
103.论文写作中，英文和中文结构有什么不一样的？
104.文章发表后怎么知道有没有被EI或者SCI检索？
17.在一次能源中现称为洁净能源的有哪几种？
环境学、环境生态学
18.为什么说，我国的大气污染是煤烟型污染
19.何谓可持续发展，在可持续发展战略中环境保护的地位和作用是什么？
20.什么是清洁生产，它对环境保护工作的作用是什么？
21.白色污染指的是什么，对它的控制途径主要有那些？
22.为什么要保护大气臭氧层，破坏因素是什么？
上市公司财务报告分析—基于财务管理视角
(2009.11.27)
58.财务分析一般内容有那些？
59.从财务管理角度进行分析，其基本内容有那些？
地球信息科学新进展
(2009.11.12)
60.对地观测（数据采集）新技术？
61.高分辨率遥感的应用领域？
62.三维激光扫描新技术应用领域
63.应用遥感提取山体滑坡碎石的方法和精度
多基线数字近景摄影测量系统lensphoto的应用案例

1. 复级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都发散,则级数1()nn n ab ∞=±∑和1n n n a b ∞=∑发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例: 2211111111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散但2112()i n n n n a b n ∞∞==+=⋅∑∑收敛 112()n nn n ab n∞∞==-=∑∑发散 241111[()]n n n n a b n n∞∞===-+∑∑收敛.2. 下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)2111i n n n +∞=+∑ (2)115i ()2nn ∞=+∑ (3) π1ei nn n∞=∑ (4) 1i ln nn n∞=∑ (5)cosi 2n n n ∞=∑解 (1) 211111i 1(1)i 1(1)i n n nn n n n n n n +∞∞∞===++-⋅-==+⋅∑∑∑ 因为11n n ∞=∑发散,所以2111i n n n +∞=+∑发散(2)1115i 2nnn n ∞∞==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222n nn n →∞→∞+=+≠ 所以115i()2nn ∞=+∑发散(3)πi11e 1nn n n n ∞∞===∑∑发散,又因为π111ππcosisin e 1ππ(cos isin )i nn n n n n n n n n n ∞∞∞===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛. (4)11i 1ln ln n n n n n∞∞===∑∑ 因为11ln 1n n >- 所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k 时, 级数化为1(1)ln 2kk k∞=-∑收敛当n=2k+1时, 级数化为1(1)ln(21)kk k ∞=-+∑也收敛所以原级数条件收敛(5) 0000cosi 1e e 1e 11()()2222222n n n nnn n n n n n e -∞∞∞∞====+=⋅=+∑∑∑∑ 其中0e ()2nn ∞=∑ 发散,01()2n n e ∞=∑收敛 所以原级数发散.3.证明:若Re()0n a ≥,且1nn a∞=∑和21nn a∞=∑收敛,则级数21nn a∞=∑绝对收敛.证明:设2222i ,(i )2i n n n n n n n n n n a x y a x y x y x y =+=+=-+ 因为1nn a∞=∑和21nn a∞=∑收敛所以21111,,(),n nnn n n n n n n x y xy x y ∞∞∞∞====-∑∑∑∑收敛又因为Re()0n a ≥,所以0n x ≥且2lim lim 0n n n n x x →∞→∞== 当n 充分大时, 2n n x x <所以21nn x∞=∑收敛2222222()n n n n n n a x y x x y =+=--而212nn x∞=∑收敛，221()n n n xy ∞=-∑收敛所以21nn a∞=∑收敛，从而级数21nn a∞=∑绝对收敛.4.讨论级数1()n n n zz ∞+=-∑的敛散性解 因为部分和110()1nk k n n k s zz z ++==-=-∑，所以，1,1n z s <→-当时1,0n z s =→当时，1,n z s =-当时不存在.当i e z θ=而0θ≠时（即1,1z z =≠），cosn θ和sinn θ都没有极限,所以也不收敛．,n z s →∞当>1时.故当1z =和1z <时, 1()n n n zz ∞+=-∑收敛.5.幂级数(2)nnn C z ∞=-∑能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解： 设1limn n nC C ρ+→∞=，则当12z ρ-<时，级数收敛，12z ρ->时发散.若在z=0处收敛,则12ρ>若在z=3处发散, 则11ρ<显然矛盾,所以幂级数0(2)nnn C z ∞=-∑不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若0nn n C z ∞=∑的收敛半径为R,求0nn n n C z b ∞=∑的收敛半径。

课程号：20100440 课程名：泛函分析课程英文名：Functional Analysis学时：68 学分：4先修课程：实变函数、高等代数基本面向：数学学院教材：《泛函分析》江泽坚、孙善利编高等教育出版社1998 一版参考书：1.《实变函数与泛函分析》（下册）夏道行等等教育出版社1984 一版2.《实变函数与泛函分析》（下册）曹广福、严从荃编人民教育出版社第2版3. W.Rudin，Functional Analysis，McGraw_HillBook Company，1973课程简介：线性赋范空间，Banach空间，Hilbert空间（包括有界，紧集，列紧集，完全有界集等）。

Banach 空间上有界线性算子（包括算子范数，有界性，连续性，Hahn-Banach定理，闭图象定理，逆算子定理，谱理论，紧算子Riesz-Schauder理论等）Hilbert 空间上的有界线性算子（射影定理、Riesz表示定理）。

课程号：20100640 课程名：概率统计课程英文名Probability and Statistics学时：68 学分：4先修课程：数学分析、线性代数基本面向：数学学院各专业教材：《概率论基础》（第二版）李贤平高等教育出版社1997参考书：1．《概率论》（第一册概率论基础）复旦大学高等教育出版社，1979。

2．《概率论引论》汪仁官北京大学出版社19943．《概率论及数理统计》（第二版）（上）梁之舜等高等教育出版社1988课程简介：事件与概率，条件概率与统计独立性，随机变量与分布函数，数字特征与特征函数，极限定理。

课程号：20100850 课程名：高等代数-1课程英文名：Advanced Algebra-1学时：102 学分：5先修课程：高中数学基本面向：数学数院各专业教材：《Advanced Algebra》彭国华、李德琅高等教育出版社-Springer（计划2004年出版参考书：1。

《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社2．《高等代数》张禾瑞、郝锅新高等教育出版社3．《Linear Slgebra》B。

场论中的积分变换公式积分变换公式是控制工程中常用的数学工具，用于将时间域中的函数转换为复频域中的函数。

它在研究信号的频谱特性、系统的稳定性、性能指标等方面具有重要作用。

以下是常见的几种积分变换公式：1.常数函数的积分变换公式：∫[0, t]1 dt = T其中，T表示积分上限。

2.单位冲激函数（单位脉冲函数）的积分变换公式：∫[0, t]δ(t) dt = 1其中，δ(t)表示单位冲激函数。

3.单位阶跃函数的积分变换公式：∫[0, t]u(t) dt = t其中，u(t)表示单位阶跃函数。

4.积分的线性性质：若F(t)的积分为F(s)，G(t)的积分为G(s)，则kF(t)+mG(t)的积分为kF(s)+mG(s)。

其中，k和m为常数。

5.拉普拉斯变换与积分变换的关系：L{f(t)}=F(s)-F(0-)其中，L表示拉普拉斯变换，F(t)表示时间域函数，F(s)表示复频域函数。

6.数学常函数e的积分变换公式：∫[0, t]e^(st) dt = 1 / s其中，s为复频域变量。

7.e的负幂函数的积分变换公式：∫[0, t]e^(-st) dt = 1 / (s + a)其中，s为复频域变量，a为常数。

8.正弦函数的积分变换公式：∫[0, t] sin(ωt) dt = ω / (s^2 + ω^2)其中，s为复频域变量，ω为角频率。

9.余弦函数的积分变换公式：∫[0, t] cos(ωt) dt= s / (s^2 + ω^2)其中，s为复频域变量，ω为角频率。

上述是常见的几种积分变换公式，它们在控制工程中具有广泛的应用。

通过积分变换公式，可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数，以便研究系统的频谱特性、稳定性、性能指标等。

积分变换公式是控制理论中的重要工具，对于控制系统的分析与设计起到至关重要的作用。

习题1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

()1x a t y b t cos ,sin ==()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，是椭圆x y a b22221+= ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，使平面430x y -=与圆柱2223x z +=之交线，为椭圆。

2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。

解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为2θπ-；因OM OC CM =+有()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 故x a a y a a j θθθθ2cos cos 2,2sin sin 2=-=-3．()1 证明()()1e e k ϕϕ⨯=()2 证明()()()e e e ϕαϕαϕα1cos sin +=+证：因()e i j ϕϕϕcos sin =+，()e i j ϕϕϕ1sin cos =-+，则()1()()()()i i j e e j ϕϕϕϕϕϕ1cos sin sin cos +⨯-+⨯= i j j i k ϕϕ22cos sin =⨯-⨯=()2 ()()()e i j ϕαϕαϕαcos sin +=+++()()i j ϕαϕαϕαϕαcos cos sin sin sin cos cos sin =-++ ()()e e ϕαϕα1cos sin =+4．设 ()a t 三阶可导，证 d da d a da d a a a dt dt dt dt dt 2323⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⨯=⋅⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦证： 左边 da da d a d da d a a dt dt dt dt dt dt 2222⎛⎫⎛⎫=⋅⨯+⋅⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ da da d a d a d a da d a a a dt dt dt dt dt dt dt22232223⎛⎫=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯ ⎪⎝⎭ da d a a dt dt 33⎛⎫=⋅⨯ ⎪⎝⎭=右边其中用了()()A A B A B B 0,0⋅⨯=⋅⨯=5．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的切向矢量。

国标学科代码国标学科名称110数学11011数学史11014数理逻辑与数学基础1101410演绎逻辑学1101420证明论1101430递归论1101440模型论1101450公理集合论1101460数学基础1101499数理逻辑与数学基础其他学科11017数论1101710初等数论1101720解析数论1101730代数数论1101740超越数论1101750丢番图逼近1101760数的几何1101770概率数论1101780计算数论1101799数论其他学科11021代数学1102110线性代数1102115群论1102120域论1102125李群1102130李代数1102135Kac-Moody代数1102140环论1102145模论1102150格论1102155泛代数理论1102160范畴论1102165同调代数1102170代数K理论1102175微分代数1102180代数编码理论1102199代数学其他学科11024代数几何学11027几何学1102710几何学基础1102715欧氏几何学1102720非欧几何学1102725球面几何学1102730向量和张量分析1102735仿射几何学1102740射影几何学1102745微分几何学1102750分数维几何1102755计算几何学1102799几何拓扑学11031拓扑学1103110点集拓扑学1103115代数拓扑学1103120同伦论1103125低维拓扑学1103130同调论1103135维数论1103140格上拓扑学1103145纤维丛论1103150几何拓扑学1103155奇点理论1103160微分拓扑学1103199拓扑学其他学科11034数学分析1103410微分学1103420积分学1103430级数论1103499数学分析其他学科11037非标准分析11041函数论1104110实变函数论1104120单复变函数论1104130多复变函数论1104140函数逼近论1104150调和分析1104160复流形1104170特殊函数论1104199函数论其他学科11044常微分方程1104410定性理论1104420稳定性理论1104430解析理论1104499常微分方程其他学科11047偏微分方程1104710椭圆型偏微分方程1104720双曲型偏微分方程1104730抛物型偏微分方程1104740非线性偏微分方程1104799偏微分方程其他学科11051动力系统1105110微分动力系统1105120拓扑动力系统1105130复动力系统1105199动力系统其他学科11054积分方程11057泛函分析1105710线性算子理论1105715变分法1105720拓扑线性空间1105725希尔伯特空间1105730函数空间1105735巴拿赫空间1105740算子代数1105745测度与积分1105750广义函数论1105755非线性泛函分析1105799泛函分析其他学科11061计算数学1106110插值法与逼近论1106120常微分方程数值解1106130偏微分方程数值解1106140积分方程数值解1106150数值代数1106160连续问题离散化方法1106170随机数值实验1106180误差分析1106199计算数学其他学科11064概率论1106410几何概率1106420概率分布1106430极限理论1106440随机过程1106450马尔可夫过程1106460随机分析1106470鞅论1106480应用概率论1106499概率论其他学科11067数理统计学1106710抽样理论1106715假设检验1106720非参数统计1106725方差分析1106730相关回归分析1106735统计推断1106740贝叶斯统计1106745试验设计1106750多元分析1106755统计判决理论1106760时间序列分析1106799数理统计学其他学科11071应用统计数学1107110统计质量控制1107120可靠性数学1107130保险数学1107140统计模拟1107199应用统计数学其他学科11074运筹学1107410线性规划1107415非线性规划1107420动态规划1107425组合最优化1107430参数规划1107435整数规划1107440随机规划1107445排队论1107450对策论1107455库存论1107460决策论1107465搜索论1107470图论1107475统筹论1107480最优化1107499运筹学其他学科11077组合数学11081离散数学11084模糊数学11087应用数学11099数学其他学科120信息科学与系统科学12010信息科学与系统科学基础学科1201010信息论1201020控制论1201030系统论1201099信息科学与系统科学基础学科其他学科，运筹学12020系统学，微分动力系统1202010混沌1202020一般系统论1202030耗散结构理论1202040协同学1202050突变论1202060超循环论1202099系统学其他学科12030控制理论1203010大系统理论1203020系统辩识1203030状态估计1203040鲁棒控制1203099控制理论其他学科12040系统评估与可行性分析12050系统工程方法论1205010系统建模，决策分析，决策支持系统，管理信息系统1205099系统工程方法论其他学科12060系统工程12099信息科学秘系统科学其他学科130力学13010基础力学1301010理论力学1301020理性力学1301030非线性力学1301040连续介质力学1301050摩擦学1301060柔性多体力学1301070陀螺力学1301080飞行力学1301099基础力学其他学科13015固体力学1301510弹性力学1301515塑性力学1301520粘弹性、粘塑性力学1301525蠕变1301530界面力学与表面力学1301535疲劳1301540损伤力学1301545断裂力学1301550散体力学1301555细观力学1301560电磁固体力学，材料力学1301565结构力学1301570计算固体力学1301575实验固体力学1301599固体力学其他学科13020振动与波1302010线性振动力学1302020非线性振动力学1302030弹性体振动力学1302040随机振动力学1302050振动控制理论1302060固体中的波1302070流体-固体耦合振动1302099振动与波其他学科13025流体力学1302511理论流体力学1302514水动力学1302517气体动力学1302521空气动力学1302524悬浮体力学1302527湍流理论1302531粘性流体力学1302534多相流体力学1302537渗流力学1302541物理-化学流体力学1302544等离子体动力学1302547电磁流体力学1302551非牛顿流体力学1302554流体机械流体力学1302557旋转与分层流体力学1302561辐射流体力学1302564计算流体力学1302567实验流体力学1302571环境流体力学1302599流体力学其他学科13030流变学13035爆炸力学1303510爆轰与爆燃理论1303520爆炸波、冲击波、应力波1303530高速碰撞动力学1303599爆炸力学其它学科13040物理力学1304010高压固体物理力学1304020稠密流体物理力学1304030高温气体物理力学1304040多相介质物理力学1304050临界现象与相变1304060原子与分子动力学1304099物理力学其他学科13045统计力学13050应用力学（具体应用入有关学科）13099力学其他学科140物理学14010物理学史14015理论物理学1401510数学物理1401520电磁场理论1401530经典场论1401540相对论与引力场1401550量子力学1401560统计物理学1401599理论物理学其他学科14020声学1402010物理声学1402020非线性声学1402030量子声学1402040超声学1402050水声学1402060应用声学（具体应用入有关学科）1402099声学其他学科14025热学1402510热力学1402520热物性学1402530传热学1402599热学其他学科14030光学1403010几何光学1403015物理光学1403020非线性光学1403025光谱学1403030量子光学1403035信息光学1403040导波光学1403045发光学1403050红外物理1403055激光物理1403060应用光学（具体应用入有关学科）1403099光学其他学科14035电磁学1403510电学，磁学（见1405065）1403520静电学1403530静磁学1403540电动力学1403599电磁学其他学科14040无线电物理1404010电磁波物理1404020量子无线电物理1404030微波物理学1404040超高频无线电物理1404050统计无线电物理1404099无线电物理其他学科14045电子物理学1404510量子电子学1404520电子离子与真空物理1404530带电粒子光学1404599电子物理学其他学科14050凝聚态物理学1405010凝聚态理论1405015金属物理学1405020半导体物理学1405025电介质物理学1405030晶体学（包括晶体生长、晶体化学等）1405035非晶态物理学1405040液晶物理学1405045薄膜物理学1405050低维物理1405055表面与界面物理学1405060固体发光1405065磁学1405070超导物理学1405075低温物理学1405080高压物理学，摩擦学（见1301050）1405099凝聚态物理学其他学科14055等离子体物理学1405510热核聚变等离子体物理学1405520低温等离子体物理学1405530等离子体光谱学1405540凝聚态等离子体物理学1405550非中性等离子体物理学1405599等离子体物理学其他学科14060原子分子物理学1406010原子与分子理论1406020原子光谱学1406030分子光谱学1406040波谱学1406050原子与分子碰撞过程1406099原子分子物理学其他学科14065原子核物理学1406510核结构1406515核能谱学1406520低能核反应1406525中子物理学1406530裂变物理学1406535聚变物理学1406540轻粒子核物理学1406545重离子核物理学1406550中高能核物理学1406599原子核物理学其他学科14070高能物理学1407010基本粒子物理学1407020宇宙线物理学1407030粒子加速器物理学1407040高能物理实验1407099高能物理学其他学科14075计算物理学14080应用物理学（具体应用入学科）14099物理学其他学科150化学15010化学史15015无机化学1501510元素化学1501520配位化学1501530同位素化学1501540无机固体化学1501550无机合成化学1501560无机分离化学1501570物理无机化学1501580生物无机化学15020有机化学1502010元素有机化学（包括金属有机化学等）1502020天然产物有机化学1502030有机固体化学1502040有机合成化学1502050有机光化学1502060物理有机化学（包括理论有机化学、立体化学等）1502070生物有机化学1502099有机化学其他学科15025分析化学1502510化学分析（包括定性分析、定量分析等）1502515电化学分析1502520光谱分析1502525波谱分析1502530质谱分析1502535热谱分析1502540色谱分析1502545光度分析1502550放射分析1502555状态分析与物相分析1502560分析化学计量学1502599分析化学其他学科15030物理化学1503010化学热力学1503015化学动力学（包括分子反应动力学等）1503020结构化学（包括表面化学、结构分析等）1503025量子化学1503030胶体化学与界面化学1503035催化化学1503040热化学1503045光化学（包括超分子光化学、光电化学、激光化学、感光化学等）1503050电化学1503055磁化学1503060高能化学1503065计算化学1503099物理化学其他学科15035化学物理学15040高分子物理15045高分子化学1504510无机高分子化学1504520天然高分子化学1504530功能高分子（包括液晶高分子化学）1504540高分子合成化学1504550高分子物理化学1504560高分子光化学1504599高分子化学其他学科15050核化学1505010放射化学1505020核反应化学1505030裂变化学1505040聚变化学1505050重离子核化学1505060核转变化学1505070环境放射化学15055应用化学（具体应用入有关学科）15099化学其他学科160天文学16010天文学史16015天体力学1601510摄动理论1601520天体力学定性理论1601530天体形状与自转理论1601540天体力学数值方法1601550天文动力学（包括人造卫星、宇宙飞船动力学等）1601560历书天文学1601599天体力学其他学科16020天体物理学1602010理论天体物理学1602020相对论天体物理学1602030等离子体天体物理学1602040高能天体物理学（包括天体核物理学）1602050实测天体物理学1602099天体物理学其他学科16025天体化学16030天体测量学1603010天文地球动力学1603020基本天体测量学1603030照相天体测量学1603040射电天体测量学1603050空间天体测量学1603060方位天文学1603070实用天文学1603099天体测量学其他学科16035射电天文学1603510射电天体物理学1603520射 电天文方法1603599射电天文学其他学科16040空间天文学1604010红外天文学1604020紫外天文学1604030Ｘ射线天文学1604040γ射线天文学1604050中微子天文学1604099空间天文学其他学科16045天体演化学（各层次天体形成与演化入各学科）16050星系与宇宙学1605010星系动力学1605020星系天文学1605030运动宇宙学1605040星系际物质1605050大爆炸宇宙论1605060星系形成与演化1605070宇宙大尺度结构起源与演化1605099星系与宇宙学其他学科16055恒星与银河系1605510恒星物理学1605520恒星天文学1605530恒星形成与演化1605540星际物质物理学1605550银河系结构与运动1605599恒星与银河系其他学科16060太阳与太阳系1606010太阳物理学1606020太阳系物理学1606030太阳系形成与演化1606040行星物理学1606050行星际物理学1606060陨星学1606099太阳与太阳系其他学科16065天体生物学16099天文学其他学科170地球科学17010地球科学史17015大气科学1701510大气物理学（包括大气光学、大气声学、大气电学、云雾物理学等）1701515大气化学1701520大气探测（包括大气遥感）1701525动力气象学（包括数值天气预报与数值模拟等）1701530天气学1701535气候学1701540云与降水物理学1701545应用气象学（具体应用入有关学科）1701599大气科学其他学科17020固体地球物理学1702010地球动力学1702015地球重力学1702020地球流体力学1702025地壳与地形学1702030地球内部物理学1702035地声学1702040地热学1702045地电学1702050地磁学1702055放射性地球物理学1702060地震学1702065勘探地球物理学1702070计算地球物理学1702075实验地球物理学1702099固体地球物理学其他学科17025空间物理学1702510电离层物理学1702520高层大气物理学1702530磁层物理学1702540空间物理探测1702550空间环境学1702599空间物理学其他学科17030地球化学1703010元素地球化学1703015有机地球化学1703020放射性地球化学1703025同位素地球化学1703030生物地球化学1703035地球内部化学1703040同位素地质年代学1703045成矿地球化学1703050勘探地球化学1703055实验地球化学1703099地球化学其他学科17035大地测量学1703510地球形状学1703520几何大地测量学1703530物理大地测量学1703540动力大地测量学1703550空间大地测量学1703560行星大地测量学1703599大地测量学其他学科17040地图学17045地理学1704510自然地理学（包括化学地理学、生态地理学、地貌学、冰川学等）1704520人文地理学（包括区域地理、旅游地理，其他入有关学科）1704599地理学其他学科17050地质学1705011数学地质学1705014地质力学1705017动力地质学1705021矿物学（包括放射性矿物学）1705024矿床学与矿相学（包括放射性矿床学，不包括石油、天然气和煤）1705027岩石学1705031岩土力学1705034沉积学1705037古地理学1705041古生物学1705044地层学与地史学1705047前寒武纪地质学1705051第四纪地质学1705054构造地质学（包括显微构造学等）1705057大地构造学1705061勘查地质学1705064水文地质学（包括放射性水文地质学）1705067遥感地质学1705071区域地质学1705074火山学1705077石油与天然气地质学1705081煤田地质学1705084实验地质学，工程地质学（见410·30）1705099地质学其他学科17055水文学1705510水文物理学1705515水文化学1705520水文地理学1705525水文气象学1705530水文测量1705535水文图学1705540湖沼学1705545河流学与河口水文学1705599水文学其他学科17060海洋科学1706010海洋物理学1706015海洋化学1706020海洋地球物理学1706025海洋气象学1706030海洋地质学1706035物理海洋学1706040海洋生物学1706045河口、海岸学1706050海洋调查与监测，海洋工程（见57050）1706099海洋科学其他学科17099地球科学其他学科180生物学18011生物数学（包括生物统计学等）18014生物物理学1801410生物信息论与生物控制论1801415生物力学（包括生物流体力学与生物流变学等）1801420理论生物物理学1801425生物声学与声生物物理学1801430生物光学与光生物物理学1801435生物电磁学1801440生物能量学1801445低温生物物理学1801450分子生物物理学1801455空间生物物理学1801460仿生学1801465系统生物物理学1801499生物物理学其他学科18017生物化学1801710多肽与蛋白质生物化学1801715核酸生物化学1801720多糖生物化学1801725脂类生物化学1801730酶学1801735膜生物化学1801740激素生物化学1801745生殖生物化学1801750免疫生物化学1801755毒理生物化学1801760比较生物化学，生物化学工程（见53067）1801765应用生物化学（具体应用入有关学科）1801799生物化学其他学科18021细胞生物学1802110细胞生物物理学1802120细胞结构与形态学1802130细胞生理学1802140细胞进化学1802150细胞免疫学1802160细胞病理学1802199细胞生物学其他学科18024生理学1802411形态生理学1802414新陈代谢与营养生理学1802417心血管生理学1802421呼吸生理学1802424消化生理学1802427血液生理学1802434内分泌生理学1802437感官生理学1802441生殖生理学1802444骨骼生理学1802447肌肉生理学1802451皮肤生理学1802454循环生理学1802457比较生理学1802461年龄生理学1802464特殊环境生理学1802467语言生理学1802499生理学其他学科18027发育生物学，古生物学18031遗传学1803110数量遗传学1803115生化遗传学1803120细胞遗传学1803125体细胞遗传学1803130发育遗传学1803135分子遗传学1803140辐射遗传学1803145进化遗传学1803150生态遗传学1803155免疫遗传学1803160毒理遗传学1803165行为遗传学1803170群体遗传学1803199遗传学其他学科18034放射生物学1803410放射生物物理学1803420细胞放射生物学1803430放射生理学1803440分子放射生物学1803450放射免疫学1803460放射毒理学1803499放射生物学其他学科18037分子生物学18041生物进化论18044生态学1804410数学生态学1804415化学生态学1804420生理生态学1804425生态毒理学1804430区域生态学1804435种群生态学1804440群落生态学1804445生态系统生态学1804450生态工程学1804499生态学其他学科18047神经生物学1804710神经生物物理学1804715神经生物化学1804720神经形态学1804725细胞神经生物学1804735发育神经生物学1804740分子神经生物学1804745比较神经生物学1804750系统神经生物学1804799神经生物学其他学科18051植物学1805110植物化学1805115植物生物物理学1805120植物生物化学1805125植物形态学1805130植物解剖学1805135植物细胞学1805140植物生理学1805145植物胚胎学1805150植物发育学1805155植物遗传学1805160植物生态学，植物病理学1805165植物地理学1805170植物群落学1805175植物分类学1805180实验植物学1805185植物寄生虫学1805199植物学其他学科18054昆虫学1805410昆虫生物化学1805415昆虫形态学1805420昆虫组织学1805425昆虫生理学1805430昆虫生态学1805435昆虫病理学1805440昆虫毒理学1805445昆虫行为学1805450昆虫分类学1805455实验昆虫学1805460昆虫病毒学1805499昆虫学其他学科18057动物学1805711动物生物物理学1805714动物生物化学1805717动物形态学1805721动物解剖学1805724动物组织学1805727动物细胞学1805731动物生理学1805734动物生殖生物学1805737动物生长发育学1805741动物遗传学1805744动物生态学1805747动物病理学1805751动物行为学1805754动物地理学1805757动物分类学1805761实验动物学1805764动物寄生虫学1805767动物病毒学1805799动物学其他学科18061微生物学1806110微生物生物化学1806115微生物生理学1806120微生物遗传学1806125微生物生态学1806130微生物免疫学1806135微生物分类学1806140真菌学1806145细菌学1806150应用微生物学1806199微生物学其他学科18064病毒学1806410病毒生物化学1806420分子病毒学1806430病毒生态学1806440病毒分类学1806499病毒学其他学科18067人类学1806710人类起源与演化学1806715人类形态学1806720人类遗传学1806725分子人类学1806730人类生态学1806735心理人类学1806740古人类学1806745人种学1806750人体测量学1806799人类学其他学科18071生物工程1807110基因工程1807120细胞工程1807130蛋白质工程1807140酶工程1807150发酵工程1807199生物工程其他学科18074心理学1807410心理学史1807415普通心理学1807420生理心理学1807425认知心理学1807430发展心理学1807435个性心理学1807440缺陷心理学1807445比较心理学1807450实验心理学1807455应用心理学1807499心理学其他学科18099生物学其他学科210农学21010农业史21020农业基础学科2102010农业数学2102020农业气象学与农业气候学2102030农业生物物理学2102040农业生物化学2102050农业生态学2102060农业植物学2102070农业微生物学2102080植物营养学2102099农业基础学科其他学科21030农艺学2103010作物形态学2103015作物生理学2103020作物遗传学2103025作物生态学2103030种子学2103035作物育种学与良种繁育学2103040作物栽培学2103045作物耕作学2103050作物种质资源学2103055农产品贮藏与加工2103099农艺学其他学科21040园艺学2104010果树学2104020瓜果学2104030蔬菜学2104040果蔬贮藏与加工2104050茶学2104060观赏园艺学2104099园艺学其他学科21050土壤学2105010土壤物理学2105015土壤化学2105020土壤地理学2105025土壤生物学2105030土壤生态学2105035土壤耕作学2105040土壤改良学2105045土壤肥料学2105050土壤分类学2105055土壤调查与评价2105099土壤学其他学科21060植物保护学2106010植物检疫学2106015植物免疫学2106020植物病理学2106025植物药理学2106030农业昆虫学2106035植物病毒学2106040农药学2106045植物病虫害测报学2106050抗病虫害育种2106055有害生物化学防治2106060有害生物生物防治2106065有害生物综合防治2106070杂草防治2106075鸟兽、鼠害防治2106099植物保护学其他学科21070农业工程2107010农业机械学2107015农业机械化2107020农业电气化与自动化2107025农田水利2107030水土保持学2107035农田测量2107040农业环保工程2107045农业区划2107050农业系统工程2107099农业工程其他学科，农业经济学21099农学其他学科220林学22010林业基础学科2201010森林气象学2201020森林地理学2201030森林水文学2201040森林土壤学2201050树木生理学2201060森林生态学2201070森林植物学2201099林业基础学科其他学科22015林木遗传育种学2201510林木育种学2201520林木遗传学2201599林木遗传育种学其他学科22020森林培育学22025森林经理学2202510森林测量学2202520森林测量学2202530林业遥感2202540林业信息管理2202550林业系统工程2202599森林经理学其他学科22030森林保护学2203010森林病理学2203020森林昆虫学2203030森林防火学2203099森林保护学其他学科22035野生动物保护与管理22040防护林学22045经济林学22050园林学2205010园林植物学2205020风景园林工程2205030风景园林经营与管理2205099园林学其他学科22055林业工程2205510森林采运学2205520林业机械2205530林业机械化与电气化2205540木材学2205550木材加工与人造板工艺学2205560木材防腐学2205570林产化学加工学2205599林业工程其他学科22060森林统计学22065林业经济学22099林学其他学科230畜牧、兽医科学23010畜牧、兽医科学基础学科2301010家畜生物化学2301020家畜生理学2301030家畜遗传学2301040家畜生态学2301050家畜微生物学2301099畜牧、兽医科学基础学科其他学科23020畜牧学2302010家畜育种学2302015家畜繁殖学2302020动物营养学2302025饲料学2302030家畜饲养管理学2302035特种经济动物饲养学2302040家畜行为学2302045家畜卫生学2302050草原学2302055畜产品贮藏与加工2302060畜牧机械化2302065养禽学2302070养蜂学2302075养蚕学2302080畜牧经济学2302099畜牧学其他学科23030兽医学2303010家畜解剖学，家畜生理学2303015家畜组织胚胎学2303020兽医免疫学2303025家畜病理学2303030兽医药理学2303035兽医临床学2303040兽医卫生检疫学2303045家畜寄生虫学2303050家畜传染学2303055家畜病毒学2303060中兽医学2303065兽医器械学2303099兽医学其他学科23099畜牧、兽医科学其他学科240水产学24010水产学基础学科2401010水产化学2401020水产地理学2401030水产生物学2401040水域生态学2401099水产学基础学科其他学科24015水产增殖学24020水产养殖学24025水产饲料学24030水产保护学24035捕捞学24040水产品贮藏与加工24045水产工程学24050水产资源学24055水产经济学24099水产学其他学科310基础医学31011医学生物化学31014人体解剖学3101410系统解剖学3101420局部解剖学3101499人体解剖学其他学科31017医学细胞生物学31021人体生理学31024人体组织胚胎学31027医学遗传学31031放射医学31034人体免疫学31037医学寄生虫学3103710医学寄生虫免疫学3103720医学昆虫学3103730医学蠕虫学3103740医学原虫学3103799医学寄生虫学其他学科31041医学微生物学31044病理学3104410病理生物学3104420病理解剖学3104430病理生理学3104440免疫病理学3104450实验病理学3104460比较病理学3104470系统病理学3104480环境病理学3104499病理学其他学科31047药理学3104710基础药理学3104720临床药理学3104730生化药理学3104740分子药理学3104750免疫药理学3104799药理学其他学科31051医学实验动物学31054医学心理学31057医学统计学31061生物医学工程学3106110生物医学电子学3106120临床工程学3106130康复工程学3106140生物医学测量学3106150人工器官与生物医学材料学3106199生物医学工程学其他学科31099基础医学其他学科320临床医学32011临床诊断学3201110症状诊断学3201120物理诊断学3201130机能诊断学3201140医学影像学3201150临床放射学3201160实验诊断学3201199临床诊断学其他学科32014保健医学3201410康复医学3201420运动医学3201430老年医学3201499保健医学其他学科32017理疗学32021麻醉学3202110麻醉生理学3202120麻醉药理学3202130麻醉应用解剖学3202199麻醉学其他学科32024内科学3202410心血管病学3202415呼吸病学3202420结核病学3202425胃肠病学3202430血液病学3202435肾脏病学3202440内分泌学3202445风湿病学与自体免疫病学3202450变态反应学3202455感染性疾病学3202499内科学其他学科32027外科学3202710普通外科学3202715显微外科学3202720神经外科学3202725颅脑外科学3202730胸外科学3202735心血管外科学3202740泌尿外科学3202745骨外科学3202750烧伤外科学3202755整形外科学3202760器官移植外科学3202765实验外科学3202799外科学其他学科32031妇产科学3203110妇科学3203120产科学3203130围产医学3203140助产学3203150胎儿学3203160妇科产科手术学3203199妇产科学其他学科32034儿科学32037眼科学32041耳鼻咽喉科学32044口腔医学3204410口腔解剖生理学3204415口腔组织学和口腔病理学3204420口腔材料学3204425口腔影像诊断学3204430口腔内科学3204435口腔颌面外科学3204440口腔矫形学3204445口腔正畸学3204450口腔病预防学3204499口腔医学其他学科32047皮肤病学32051性医学32054神经病学32057精神病学32061急诊医学32064核医学32067肿瘤学3206710肿瘤免疫学3206720肿瘤病因学3206730肿瘤病理学3206740肿瘤诊断学3206750肿瘤治疗学3206760肿瘤预防学3206770实验肿瘤学3206799肿瘤学其他学科32071护理学3207110基础护理学3207120专科护理学3207130特殊护理学3207140护理心理学3207150护理伦理学3207160护理管理学3207199护理学其他学科32099临床医学其他学科330预防医学与卫生学33011营养学33014毒理学33017消毒学33021流行病学33024传染病学33027媒介生物控制学33031环境医学33034职业病学33037地方病学33041社会医学33044卫生检验学33047食品卫生学33051儿少卫生学33054妇幼卫生学33057环境卫生学33061劳动卫生学33064放射卫生学33067卫生工程学33071卫生经济学，卫生经济学，卫生统计学，计划生育学33074优生学33077健康教育学33081卫生管理学33099预防医学与卫生其他学科340军事医学与特种医学34010军事医学3401010野战外科学3401015军队流行病学3401020军事环境医学3401025军队卫生学3401030军队卫生装备学3401035军事人机工效学3401040核武器医学防护学3401045化学武器医学防护学3401050生物武器医学防护学3401055激光与微波医学防护学3401099军事医学其他学科34020特种医学3402010航空航天医学3402020潜水医学3402030航海医学3402040法医学3402099特种医学其他学科34099军事医学与特种医学其他学科350药学35010药物化学35020生物药物学35025微生物药物学35030放射性药物学35035药剂学35040药效学，医药工程35045药物管理学35050药物统计学35099药学其他学科360中医学与中药学36010中医学3601011中医基础理论3601014中医诊断学3601017中医内科学3601021中医外科学3601024中医骨伤科学3601027中医妇科学3601031中医儿科学3601034中医眼科学3601037中医耳鼻咽喉科学3601041中医口腔科学3601044中医老年病学3601047针灸学3601051按摩推拿学3601054中医养生康复学3601057中医护理学3601061中医食疗学3601064方剂学3601067中医文献学3601099中医学其他学科。

习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，()()1332π+π2ππ1cos πisin πcosisin 0,1,233k k k +-=+=+=∴1ππ13cos isin i 3322=+=+z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

对应，当然还可以进一步推导。 同理电子也有相同的特点，电流的产生是电子偏振的结果，其实只有磁孤子（磁抛物线场抛物线偏振 态）才能对电场做功，磁孤子才是产生电流的本质原因，电磁理论只是表象。 同理热流孤子（热抛物线场抛物线偏振态）是形成量子现象的原因。 所以上述粒子都有一个相同的公式：统一场公式
（二）
能量系数可以用粒子在能量场中的入射角表示。入射角就是与粒子的进入场时，与运动方向的轴形成的 夹角。 角度在0度与360度之间，这种角度称为能量系数角度。
进入不同的能量能级角度的粒子，就会在不同的场中运动，会有不同的运动轨迹。粒子的轨迹分别是：
直线，圆锥螺旋线，圆环面螺线，圆柱螺线，双曲面散射线，垂直入射轴线，镜像双曲面散射线，镜像 圆柱螺线，镜像圆环面螺线，镜像圆锥螺旋线，镜像直线。其中镜像场中的运动轨迹是虚空间的运动轨 迹。
x1+x2=K(2m/b^2)/(1/a^2-1/b^2)
这个公式是很多物理学基本公式的原型： （一）推导焦耳公式 x1+x2=K(2m/b^2)/(1/a^2-1/b^2)
其中是三个电流分量，基中b为一个分量，a是一个分量，M为阻力分量，所以b=1，a可以是无穷 大，M是阻力电流，因为都是电流，所以要乘基本电量E，所以公式为
正文：
（一） 粒子是在能量场中运动的。粒子包括大到行星，小到电子及更微小的粒子。
在一定能量级的场称为特定能量场，如超导直线能量场，椭圆型能量场，抛物面型能量场，双曲面型能 量场,平面型能量场, 镜像双曲面型能量场，镜像抛物面型能量场, 镜像椭圆型能量场,镜像超导直线能 量场。形成不同场的原因是场的能量级数不同。
所以能量场包括有超导直线能量场，椭圆型能量场，抛物面型能量场，双曲面型能量场,平面型能量场, 镜像双曲面型能量场，镜像抛物面型能量场, 镜像椭圆型能量场,镜像超导直线能量场。其中镜像场都 是虚空间场。