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知识必备05图形及其变换（公式、定理、结论图表）考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．典例1:（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 （5，2） ．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．【解答】解：将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是（1+4，2），即（5，2），故答案为：（5，2）．【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．典例2：（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 （﹣1，11） ．【分析】根据题目规律，依次求出A5、A6……A10的坐标即可．【解答】解：由图象可知，A5（5，1），将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A6（﹣1，7），将点A6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A7（﹣8，0），将点A7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A8（0，﹣8），将点A8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A9（9，1），将点A9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A10（﹣1，11），故答案为：（﹣1，11）．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质 ①关于直线对称的两个图形是全等图形. ②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. ③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. ④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 3．轴对称作图步骤 ①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点． ②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.典例3：（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（ ）A．B．C．D．【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴，∵A与A'关于BC对称，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OFA'中，，故选：D．【点评】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键．典例4：（2022•黔西南州）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B＝α，则∠EAC等于（ ）A．αB．90°﹣αC．αD．90°﹣2α【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出CD＝BD＝AD＝ED，∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，求出∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α，∠CAD＝90°﹣α，即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，∴CD＝BD＝AD，由折叠的性质得：BD＝ED，∠B＝∠CED，∴CD＝BD＝AD＝ED，∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，∴∠EDC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∵AE∥DC，∴∠AED＝∠EDC＝180°﹣2α，∵ED＝AD，∴∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α，∵∠B＝α，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝90°﹣α，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤 ①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. ②分析所作图形，找出构成图形的关键点. ③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. ④按原图形连结方式顺次连结各对应点.【要点诠释】１．图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.2．平移、旋转和轴对称之间的联系 一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.典例5：（2022•枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）A．（4，0）B．（2，﹣2）C．（4，﹣1）D．（2，﹣3）【分析】作出旋转后的图形即可得出结论．【解答】解：作出旋转后的图形如下：∴B'点的坐标为（4，﹣1），故选：C．【点评】本题主要考查图形的平移和旋转，熟练掌握图形的平移和旋转是解题的关键．典例6：（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．（1）求证：BC＝AB；（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，进而得出结论；（2）证明△ABD∽△CBE，进而得出结果；（3）当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的长，根据△DAG∽△DBF求得AQ，进而求得AN，进一步得出结果；当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，同样方法求得结果．【解答】（1）证明：如图1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°，由（1）得，，同理可得，∠DBE＝30°，，∴∠ABC＝∠DBE，＝，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴；（3）解：如图2，当点D在线段AC上时，作BF⊥AC，交CA的延长线于F，作AG⊥BD于G，设AB＝AC＝3a，则AD＝2a，由（1）得，CE＝，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a•cos60°＝，BF＝3a．sin60°＝，在Rt△BDF中，DF＝AD+AF＝2a+a＝，BD＝＝＝a，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴，∴＝，∴AG＝，∵AN∥DE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴AN＝＝a＝a，∴＝，如图3，当点D在AC的延长线上时，设AB＝AC＝2a，则AD＝4a，由（1）得，CE＝＝4，作BR⊥CA，交CA的延长线于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝，∴BD＝＝2a，∴，∴AQ＝，∴AN＝＝a，∴＝＝，综上所述：或．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．。
积分变换复习提纲（20学时）——基本内容第一章Fourier变换（一）目的与要求1．熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理，理解Fourier变换与逆变换的概念，单位脉冲函数的概念；2．了解周期函数的Fourier级数及其复数形式，Fourier变换的物理意义—频谱，卷积与卷积定理，单位脉冲函数的性质；3．掌握一些函数的Fourier变换与逆变换的求法，Fourier变换与逆变换的性质。
（二）教学内容第一节Fourier积分1．主要内容：傅里叶积分。
2．基本概念和知识点：Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
3．问题与应用（能力要求）：熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
第二节Fourier变换1．主要内容：傅里叶变换。
2．基本概念和知识点：傅里叶变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。
3．问题与应用（能力要求）：理解傅里叶变换及其逆变换的概念，了解单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。
第三节Fourier变换的性质1．主要内容：傅里叶变换的性质。
2．基本概念和知识点：傅里叶变换的性质。
3．问题与应用（能力要求）：掌握傅里叶变换的性质，一些函数的Fourier变换与逆变换的求法。
第四节卷积与相关函数1．主要内容：卷积与相关函数。
2．基本概念和知识点：卷积与相关函数的概念，卷积定理。
3．问题与应用（能力要求）：了解卷积与相关函数的概念，卷积定理。
第五节Fourier变换的应用1．主要内容：Fourier变换的应用。
2．基本概念和知识点：微分方程的Fourier变换解法。
3．问题与应用（能力要求）：掌握一些微分方程的Fourier变换解法。
（三）课后练习习题一21)2）；31),3)；4；习题二1；31)；7；9；12；习题三2；3；4；7；8；10；112),4) 6),8)；习题四16) 8)；2；52) 4) 5) 6)。
第九章积分变换法引言：•无界区域：与系统的特征尺度相比，物理量变化的特征尺度是个小量如个点热源在个体积很大的物体尺度是一个小量。
如：一个点热源在一个体积很大的物体中产生的热传导现象。
“无界区域”是数学上一个理想化的名词，是对实际物理问题的一个近似。
的名词是对实际物问题的个近似•前面讨论的都是有界区域的问题，本征值和本征函数是由齐次边界条件(或周期性边界条件）确定的。
•对于无界问题，前面介绍的分离变量法及傅里叶级数展对于无界问题前面介绍的分离变量法及傅里叶级数展开均不能使用。
本章的主要内容：1、傅里叶积分变换法无界或半无界空域的定解问题；—无界或半无界空域的定解问题；2、拉普拉斯积分变化法—半无界时域，并带有初始值的问题。
3、联合变换法：傅里叶积分变换+拉普拉斯积分变换；傅里叶积分变换+傅里叶级数展开。
，这些变换的目的：“化偏为常，甚至为代”。
特别是：傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换可以处理一些带有奇异性的问题，如点源的热传导。
些带有奇异性的问题如点源的热传导让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶:法国数学家、物理学家。
1768人物传纪巴普蒂斯约瑟夫傅叶法国数学家物理学家年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
9岁父母双亡，被当地教堂收养。
12岁由一主教送入地方军事学校读书。
17岁（1785）回乡教数学1794到巴黎成为高等师范学校的17岁（1785）回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。
1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。
1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席主席。
主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出着名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数以由角函数构成的级数形式表示从而提出任函数都以展成角函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。
