积分变换与场论_理学思维导图

In[4]:=NDSolve[{y’[x]==y[x],y[1]==1},y,{x,0,1}]
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换

HOMEWORKS知识点晶体结构Crystal structure 点阵结构Lattice晶胞Unit cells晶系Crystal systems布拉菲格子The Bravais lattices点群point group空间群space group关系Relationships/思维导图Mind mapping具体中文解释粒子抽象成点，形成了点阵结构，而这些点连接起来就形成了晶格，可以说点阵和晶格具有同一性，但区别于点阵具有唯一性，晶格不具有。

同样我们需要区别“lattice ”的意义 它在这应该准确的代表点阵结构而不是单单的点阵，点阵结构是具体的客观存在的而点阵是人为抽象出来的，相比于点阵对应的点阵点，点阵结构对应的就是结构基元。

晶胞堆砌成了点阵结构，晶胞又具有晶胞参数和晶胞内容两方面，也就是说可以这么表示晶胞=点阵格子+结构基元。

根据晶胞的晶胞参数我们可以把晶体的结构从宏观上分为七个方面，也就是七大晶系.七大晶系结合晶胞类型产生了14种Bravais晶格点群表示的是晶体中所包含所有点对称操作的（旋转、反应、反演）的集合。

（晶体的宏观性质不变)。

点群描述了分子结构和晶体的宏观对称性（后来老师讲点群只是对于结构基元里的原子的对称排布，我个人后来查阅思考了一下，这是局限的，点群所描述的对称性正是可以描述宏观的晶格以及肉眼可见的晶体的对称性，所以它才被引为宏观对称性。

）微观对称元素：点阵、滑移面、旋转轴（无数阶次）而晶体的宏观对称元素和微观对称元素在内的全部对称元素的一种组合就构成晶体的一种微观对称类型也就是空间群，它反应的是内部微观结构的对称性（结构基元内部原子）或者是微观的晶胞堆积方式的不同。

晶体的宏观对称性就是晶体微观对称性的宏观表现。

晶系与对称的关系：七种晶系从宏观的对称操作来看，有旋转、反射、反演，这些构成的是32种点群。

而晶系必须符合平移操作（晶体对称定律的要求），结合平移我们限定了它有14种Bravais 格子。

x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直

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定义6.5两曲线在无穷远点处的夹角，就是指它们在反演变换下的像曲线在
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复变函数与积分变换
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定理6.5（保域性）设w=f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，则D的像 G=f(D)也是一个区域. 定义6.2具有伸缩率不变性与保角性的共形映射称为第一类共形映射；如果 映射w=f(z)具有伸缩率不变性，但只保持夹角的大小不变而方向相反，则称 映射为第二类共形映射. 例6.2函数f(z)=z2+2z在z平面处处解析，f′(z)=2z+2，显然当z≠－1时， f′(z)≠0，因此，映射f(z)=z2+2z在z平面上除z=－1外处处是共形的.
图6.2
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复变函数与积分变换
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其次，我们讨论导数的模|f′(z0)|的几何意义.由于|Δz|和|Δw|分别是向
量Δz和Δw的长度，故
这说明像点间的无穷小距离与原
像点间的无穷小距离之比的极限是|f′(z0)|，这可以看成是曲线C经w=f(z)
映射后在z0点的伸缩系数或伸缩率.它仅与z0有关，而与曲线C的形状和方向
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复变函数与积分变换
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定理6.6（黎曼存在与唯一性定理）如果扩充复平面上的单连通区域D，其边 界点不止一点，则存在一个在D内的单叶解析函数w=f(z)，它将D共形映射成 单位圆|w|<1，且当合条件f(a)=0,f′(a)>0，(a∈D)时，f(z)是唯一的. 定理6.7（边界对应定理）设w=f(z)在单连通区域D内解析，在D上连续，且 把区域D的边界C保持相同绕行方向、一一对应地映射为单连通区域G的边界 Γ，则w=f(z)将D共形映射为G.
即在区域

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。

L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)


1 t
L
1
1[

s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt

F (s)ds
t
0t
s
26

或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例 求 f (t ) sht et et 的拉氏变换

完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
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有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。

z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy

L1 F p
L1
e
px a
f
t
L1
e
px a
查表得
L1
1
e
px a
p
2
x
e y2 dy g(t)
2a t
易证 而
g0 0
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p x
a
g
0
p
p x
e a
于是
L1[
p
1
e
p a
x
]
g
't
p
d dt
2
x
e
y2
dy
2
e
x2 4a2t
3
2a t
2a t 2
所以
u x,t f t g 't
x
t
f ( )
1
e d
4
x2 a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
例 设 x 1, y 0, 求解下面定解问题
2u x2 y xy u | y0 x 2 u | x1 cos y
解 对 y进行拉普拉斯变换, ux, y Ux, p
x
方程可变为
dU ,
t 2U ,t
dt
U , t |t0
可解得
U ,t e2t
由于
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t
2 t
即
F
1
x2
e 4t
e2t
2 t

e1
z
的各阶导数及其在
z
0点的值，故
1
e1 z
e(1
z
3
z2
13 z3
)
1
2! 3!
因为 e1z 的唯一的奇点为 z ，1 故类似于上例可求得其
收敛圆为 z 1
例2 计算积分
I
dz
, 设L为: z 2a (a 0)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
a.指数函数ez （具有周期性）
b.三角函数
cos
z
eiz
eiz 2
, sin
z
eiz
eiz 2i
cos
z,
sin
z
可以大于1
c.双曲函数
cosh z ez ez , sinh z ez ez
2
2
从复变函数意义上说，双曲函数与三角函数基本上是
一个变量代换z iz,二者没有本质区别
（3）导数定义 （4）可导充要条件：
lim R
zn-1 或 lim
1
n zn n n zn
特别提醒：以前在实变级数中
lim
n
zn z n -1
或 lim n n
zn 然后R
1
6.圆形区域的泰勒展开
1.直接计算泰勒系数ak
f k b
k!
2.换元法：常借助 1
tk t 1
1 t k0
3.利用两个绝对收敛的幂级数的乘积和商
所以
f
'' (z)
(3 2z) (1 z)2
f
' (z),
f

r
1 n
cos
2(n n
1)π
i
sin
2(n n
1)π
.
当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
13
例如 k n时,
wn
r
1 n
cos
2nπ n
i sin
2nπ n
r
1 n
cos
n
i
sin
n
w0
.
从几何上看, n z 的 n 个值就是以原点为中心,
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
2kπ n
(k 0,1,2,,n 1)
推导过程如下:
11
设 z r(cos i sin ), w (cos i sin ),
根据棣莫佛公式,
wn n(cosn i sin n ) r(cos i sin ),
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
旋转
3
(或
3
)就得
y
z3
3
o z1 1
z2 2 i
x
z3
到另一个向量, 它的终点即为所求顶点z3 (或 z3 ).
因
为复
数
e
i 3
的模为1,
转角
为
,
3
8
i
z3 z1 e 3 (z2 z1 ) 1 3 i (1 i)
2 2 1 3 1 3 i
2 2 2 2
4
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 r1ei1 , z2 r2ei2 , 则 z1 z2 r1 r2ei(12 ) .
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:

吴新民
- 11 -
z ; 2 z 1
3)
1 ; 2 z ( z 1)
第五章 留数
第一节
留数
4) e
1 z 1
4) z 1 是函数 e
第五章 留数
1 z 1
的本性奇点，利用留数的定义
计算函数的留数，由于 1 1 n z ( 1) e z 1 n ! n 0 1 1 1 0 | z 1 | 2 z 1 2( z 1) 所以
第五章 留数
所以
1 d m 1 c 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] ( m 1)! z z0 dz
即 (5.2.6) 成立， 特别 m 1 时，就是 (5.1.5) 式。
吴新民
-8-
第一节
留数
Q( z ) , 其中 P ( z ), Q( z ) 在 z0 处解 规则III 设 f ( z ) P(z) 析， 且 P ( z0 ) 0, P ( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, 则 Q ( z0 ) (5.1.7) Res[ f ( z ), z0 ] P ( z 0 )
Res[ f ( z ), z0 ] c1 1 从而有 Res[ f ( z ), z0 ] f ( z )dz 2 i C (5.1.2) (5.1.3)
内的洛朗级数中的
第五章 留数
( z z0 )1 的系数 c1 为函数 f ( z ) 在点 z0 处的留数，
其中 C 为 0 | z z0 | 内的环绕 z0 正向简单闭曲线。
- 17 -
第五章 留数
吴新民
第一节
留数
1 1 cos z Res[ ,0] 因此 6! z7 1 cos z dz , 我们又可用高阶导数公式 在计算积分 7 z | z | 1 1 cos z 2 i (6) dz (1 cos z ) 7 z 0 6! z | z | 1 2 i 2 i cos z z 0 6! 6!

分解类型 已Biblioteka 两个分力的大小实验：验证平行四边形定则。
已知一个分力的大小 F2 和另一个分力的方向θ
F2<Fsinθ F2＝Fsinθ Fsinθ<F2<F F2≥F
有无数解 无解
有唯一解 有两种解 有唯一解
互
作
常见的 三种力
弹力
用
大小 胡克定律 F=kx 平衡法 牛顿第二定律法 牛顿第三定律过渡
方向 作用点
与施力物体的形变方向相反
在接触点（接触力）
面 与面（切面）垂直且指向受力物体。 绳 沿绳背离受力物体（指向绳收缩的方向）。 杆 不一定沿杆（具体问题具体分析）
常见弹力 拉力 推力
压力 支持力
摩擦力
产生 大小 方向
两个相互接触的物体，当它们发生相对运动或具有相对运动趋势时， 在接触面上产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的力。 静摩擦力 0<Ff<Ffm 平衡法 牛顿第二定律法 牛顿第三定律过渡
滑动摩擦力 滑动摩擦定律 Ff=μFN 平衡法 牛顿第二定律法 牛三 与相对运动或相对运动趋势方向相反（沿接触面）
作用点 在接触点（接触力）
四种基本相互作用 力 物体间的相互作用。 单位：牛顿，牛，N。
万有引力 电磁相互作用
远程力
力的三要素
大小 方向
力的图示 力的示意图
力的效果
作用点 使物体发生形变 改变物体运动状态
使物体产生加速度 a 使物体速度发生变化
强相互作用 弱相互作用
短程力，原子 核内 10-15m 范 围内，弱是强 的 10-6 倍。
产生 由于地球的吸引而使物体受到的力。
重力
大小 方向
G=mg 纬度越高 g 越大，地势越高 g 越小。通常 g=9.8N/kg 竖直向下，非垂直向下，不一定沿地球半径方向。

第二十二章 各种积分间的联系与场论初步§1 各种积分间的联系1．应用格林公式计算下列积分：(1)ydx x dy xy L ⎰-22，其中L 为椭圆22a x +22by =1取正向；（2）,)()(⎰-++Ldy y x dx y x L 同（1）;（3）dy y xdx y x L)()(222+-+⎰， L 是顶点为)5,2(),2,3(),1,1(C B A 的三角形的边界，取正向；（4）,1,)()(223333=+--+⎰y x L dy y x dx y x L为取正向；（5）,sin sin ydy exdx e xLy-+⎰L 为矩形d y c b x a ≤≤≤≤, 的边界,取正向；（6）],))cos(sin ())cos(sin [(dy y x xy x dx y x xy y e L xy+++++⎰其中L 是任意逐段光滑闭曲线．解（1）原式 =()()d xdy y x dxdy x yDD⎰⎰⎰⎰+=--2222)(=ab()r dr r b r a d ⎰⎰+122222220sin cos θθθπ(广义极坐标变换）=())(3sin cos 3122202222b a ab d b a ab +=+⎰πθθθπ．（2)⎰-++Ldy y x dx y x )()(=⎰⎰=-Ddxdy 0)11(．(3）原式 ⎰⎰+-=Ddxdy y x x ))(22(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+215231143124322yy y y D dx ydy dx ydy ydxdy9143))5(127)(47(2252221-=-+--=⎰⎰dy y y dy y y ．（4）原式π23)(3)33(2222-=+-=--=⎰⎰⎰⎰DD dxdy y x dxdy y x ． （5)原式 dxdy x e y e Dy x ⎰⎰--=-)cos sin ( )cos sin (⎰⎰⎰⎰+-=-bad cdcydy b axe dx x ydy dx e)sin )(sin ()cos )(cos 11(a b e e c d ee cd b a --+--=．（6))]cos(sin [),(y x xy y e y x P xy ++=，)]cos(sin [),(y x xy x e y x Q xy++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy x ye xQxy xy --++++=∂∂ )]sin()cos(sin )cos (sin [y x y x y xy xy xy xy e xy --+++=，)]sin(cos [sin )]cos(sin [y x xy xy xy e y x xy y xe yPxy xy +-++++=∂∂ )]sin(cos sin )cos (sin [y x xy x xy xy xy xy e xy +-+++=，)cos()(y x x y e yPx Q xy +-=∂∂-∂∂， 所以，原式⎰⎰+-=Dxy dxdy y x x y e ,)cos()( 其中D 为L 包围的平面区域． 2．利用格林公式计算下列曲线所围成的面积： （1)双纽线θ2cos 22a r =；(2)笛卡尔叶形线)0(333>=+a axy y x ；（3）t t a x sin )cos 1(2+=，t t a y cos sin 2⋅=,π≤≤20t ． 解(1）⎰⎰⎰⎰==12||D Ddxdy dxdy D ⎰-⨯=L ydx xdy 212 ⎰=--=44)]sin (sin cos cos [ππθθθθθd r r r r 24424422cos a d a d r ===⎰⎰--ππππθθθ，其中1D 由θ=2cos 22a r ，44π≤θ≤π-所围成． （2）作代换,tx y =则得曲线的参数方程为313tatx +=,3213t at y +=．所以, dt t t a dx 233)1()21(3+-=,dt t t at dy 233)1()2(3+-=， 从而，dt t t a ydx xdy 2322)1(9+=-，于是，面积为 D =⎰C x y y x d -d 21=dt t t a ⎰∞++02322)1(29=223a ．（3）D =⎰-cydx xdy 21= {}⎰-++⋅--⋅+π2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dtt t t t t a t t a t t t a t t a{}⎰π-++⋅--⋅+2022322]sin )sin (cos 2cos )cos 1[(cos sin )sin cos sin 2(sin )cos1(21dt t t t t t a t t a t t t a t t a=21tdt t t a 2cos )cos 1(sin 22022+⎰π=24a π 3．利用高斯公式求下列积分：（1）y x z x z y z y x sd d d d d d 222++⎰⎰。

飞行器设计与工程专业课程设置1（注：H ——学时，W ——周）课程体系(一) 通识教育课程（45学分）课程类别课 程 名 称 课程 属性 课内学分 课 内 学 时课外 学分 课外 学时 授课 实 践 环 节 实验 上机 实践 设计 思政类思想道德修养与法律基础 必修 2.5 40 0.5 8 中国近现代史纲要必修 1.5 24 0.5 8 马克思主义基本原理必修 2.5 40 0.5 8 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 必修 4 64 2 32 形势与政策 必修 1.5 36 军体类 军事理论 必修 0.5 8 军训 必修 3 3周 体育 必修 4 16 72 外语类 外语必修 12 192 计算机类 大学计算机基础 必修 2 24 12 C 语言程序设计 选修 3 32 24 导论类航空航天技术概论必修 2 32 综合素质类 综合素质类选修8128（二） 专业基础课程（57.5学分）课程类别课 程 名 称 课程 属性 课内 学分 课 内 学 时课外 学分 课外 学时 授课 实 践 环 节 实验 上机 实践 设计 自然科学类工科数学分析基础 必修 11 176 线性代数与解析几何 必修 3.5 56 8 概率与统计A必修 3 48 8复变函数 必修 2 32 积分变换与场论 必修 2 32大学物理 必修 6.5 104 大学物理实验 必修 2 4 48 普通化学B 必修 2 32 普通化学实验B 必修 0.5 12 工程技术类画法几何与制图C 必修 4 64 理论力学B 必修 4 64 材料力学B 必修 4 64 基础力学实验必修 1 24 电工技术B 必修 2 32 电子技术B 必修 2 32 电工学实验B （一） 必修 0.5 12 电工学实验B （二） 必修 0.5 12 工程热力学 必修 2 32 工程训练A必修55周（三）专业课程（含课程设计、实习或实践、毕业设计或论文等）（50.5学分）课程名称课程属性课内学分 课内学时 课外 学分课外 学时授 课实 践 环 节飞行器设计与工程专业2实验上机实践设计专业课程机械设计基础 B 必修 3.5 50 6机械精度设计与检测技术B 必修 2 32 32 自动控制原理 B 必修 3 48自动控制原理实验必修0.5 12振动与波动力学必修 3 48流体力学必修 3 48弹性力学与有限元方法必修 2.5 40航空航天材料工程必修 2 32航空航天推进系统必修 2.5 40飞行器人-机-环境工程必修 2.5 40计算方法必修 3 48实践环节飞行器模型设计与制作必修 4 4周认识实习必修 1 1周生产实习必修 3 3周毕业设计（论文）必修15 15周（四）专业方向模块课程（13学分）课程名称课程属性课内学分课内学时课外学分课外学时授课实践环节实验上机实践设计专业方向模块一空气动力学必修 3 48 空间飞行器动力学必修 2 32 飞行器结构力学必修 2 32选修6学分飞行器结构学选修 2 32飞行器总体设计选修 2 32飞行器结构优化设计选修 2 32复合材料力学选修 2 32气动弹性设计基础选修 2 32Matlab程序设计选修 2 32专业方向模块二空气动力学必修 3 48 空间飞行器动力学必修 2 32 飞行器结构力学必修 2 32选修6学分飞行器结构学选修 2 32飞行器总体设计选修 2 32现代控制理论选修 2 32飞行控制系统设计选修 2 32航天员-航天器耦合系统分析选修 2 32 Matlab程序设计选修 2 32专业方向模块三空气动力学必修 3 48 空间飞行器动力学必修 2 32 飞行器结构力学必修 2 32选修6学分飞行器结构学选修 2 32飞行器总体设计选修 2 32高超声速空气动力学基础选修 2 32有翼航空器推进原理选修 2 32气动弹性设计基础选修 2 32Matlab程序设计选修 2 32飞行器设计与工程专业课程设置3（五）个性课程（选修5学分）课程名称课程 属性 课内 学分 课内学时课外 学分课外 学时授课 实 践 环 节实验 上机 实践 设计 大学生创新性实验计划 选修 3 48 自主选择课程选修232注：个性课程要求5学分。

4
4
5
定理 1 (Green公式)
D R2为平面有界闭区域； L为 D 的边界曲线 (也记作D), 是由有
限条分段光滑的简单闭曲线围成；
函数P, Q C 1(D);
则
D
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy
L
5
5
证 不失一般性，以下
y
C
y y2(x)
分三种情况作证明.
DB
(1) 先设积分区域 D是
1
3
再用Gauss公式
29
29
1
1 4 3
3
(1 1 1)dxdydz
x2 y2 z2 2
3 3
3
4
3. Stokes 公式
将Green公式推广至空间，Stokes 公 式给出了沿空间曲线C的第二型线积分与 C上所张开的曲面的面积分之间的关系。 ( C 作为该曲面的边界曲线也可记为 D )
22
22
例3 求曲面积分
I x3dydz y3dzdx (z3 x2 y2 )dxdy
S
其中(1) S为球面 x2 y2 z2 R2外侧；
(2) S为上半球面 z R2 x2 y2上侧 .
解 (1) 由Gauss公式，可得
I
V
x
(x3)
y
(
y3)
z
(z3
x2
y2 )dxdydz
Gauss公式给出空间区域 D上的三重积分与 其边界面 S (也记作 D) 上的第二型曲面积分 之间的关系。
定理 2（Gauss公式）设
D R3 为空间有界闭区域； D 的边界D 由分片光滑曲面组成；则 函数P, Q, R C 1(D);