第二章 复变函数的导数

复变函数的导数定义：复变函数是通过一块二维的空间的某个点的坐标，映射为该点的唯一的实数值，而复变函数的导数则是用来描述函数变化的快慢程度的量度。

要了解复变函数的导数，首先要理解复变函数本身。

复变函数是一种将实数和复数之间的单射映射即每一点映射只有一个实数或复数，而每一个实数或复数只被映射到一个点的映射函数，通过它可以将实数和复数，即实部和虚部之间变化联系起来，也就是用函数的方式描述复数和实数之间的变化。

复变函数的导数表示函数中任意一点变化率的大小，它可以帮助我们确定函数中任意一点的斜率。

它是一个定义在实空间上任意部分位置处的一阶导数，可以用来表示曲线变化率的大小，反映了曲线变化的快慢程度。

具体来说，复变函数的某一点的导数指的是这个点上曲线的斜率，也就是这个点的斜率的大小，或者是在这个点曲线发生变化的速度大小。

求复变函数的导数有两种方法，一种是按复数的方式，另一种是按实数的方式。

按实数来求导，首先需要把函数用实变量表示，然后用常规的微积分方法来计算复变函数的导数。

按复数的方式来求导，就是用极坐标来表示复变量，然后用光滑曲线的性质，用公式计算复变函数的导数，其公式为：复变函数的导数即：f′(z)=fz(z)cosθ+fθ(z)sinθ其中，z=x+iy其中，fz表示对z的实部求导的结果，fθ表示对z的虚部求导的结果，θ表示z的极角。

下面我们看看复变函数的导数在求解实际问题中的实际应用。

在微分方程中，复变函数的导数可以用来求解复变数方程，因为它描述了复变量中点的变化率，而微分方程则可以描述复变量的变化状态，所以在求解复变函数的微分方程的时候，复变函数的导数就显得尤为重要。

在几何函数中，复变函数的导数也有一定的作用，可以用来求解几何函数图形的斜率，斜率表明该图形在某一点的曲率，从而可以更直观地描述几何函数图形，帮助我们更清楚地判断几何函数图形的变化状态。

此外，复变函数的导数还可以被用来判断极值点。

极值点是复变函数变化的拐点，复变函数的导数可以用来判断这些拐点，从而可以更加精确的确定极值点的位置。

函数解析与可导、连续、极限的关系由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域可导（在一点）解析→可导→连续→极限存在反之均不一定成立。

7我们还可以定义其他三角函数如下：(2)根据定义有：()1212122cosh z z z z z z +--+1212z z z z eee e e e --=+=+121212121212z z z z z z z z z z z z e ee e e e e ee e e e------=+++--()1212124cosh cosh z z z z z z e e e e--=-+121211122122124cosh cosh z z z z z z z z z z z z z z e e e ee e e e ee ee ------=--+-++()124cosh cosh 4s z z =+()1212inh sinh 2cosh z z z z -+18()121212cosh cosh cosh sinh sinh z z z z z z ⇒+=+The End The End19作业(2)P385, 7, 8, 17, 18, 57817182020。

复函数的导数
复函数的导数，又称复变函数的导数，是复变函数基本概念之一，是在实践工程和微积分数学中经常用到的解决学习和应用问题的重要
工具。

一、什么是复函数
复函数是一种在复平面中定义的函数。

它也可以分解为实函数和虚函
数的和，即z=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v分别代表实部和虚部函数。

该函数由两个独立变量x、y来决定其值，其结果通常用复数f(x,y)来表示。

二、复函数的导数
复函数的导数是对复函数求偏导的结果。

它既可以对复平面中的实函
数求偏导，也可以对虚函数求偏导。

其计算方法如下：
1、实函数求偏导：∂u/∂x=∂u/∂x +∂u/∂y*i
2、虚函数求偏导：∂v/∂x=∂v/∂x +∂v/∂y*i
使用这两个公式，可以得出复函数的导数，常简写如下形式：
∂f/∂x=∂u/∂x +∂v/∂x*i
三、复函数在实际中的应用
复函数的导数也可以应用在实际当中，比如复函数的梯度可以用来分析某一物质物理变化的方向。

此外，由于复函数可以表示较复杂的函数形态，所以它也可以用来表示三维曲面及其上一切连续物体，例如等压面和等温面；因而可以在涉及到这类物体的许多科学领域中运用复函数的导数来进行求解。

总之，复函数的导数是一种比较常见而且重要的物理概念，它在实际应用中发挥着重要作用，可以被用在涉及到多种科学和工程领域的问题求解中，也为复函数的研究开辟新的层面。

By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。

.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。

)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。

复变函数的导数
什么是复变函数？
复变函数是一种表示实现复数曲线的数学函数，复变函数将实数空间变换为复空间，这既
包括由实数 x 和实数 y 构成的笛卡尔坐标系，也包括由复数构成的复平面。

复数可以
表示为z=x+iy。

贝尔金斯定理称，每一个复变函数都能用它的实部函数和虚部函数来确定，复变函数的实部函数和虚部函数的导数就组成了复变函数的导数。

那么，什么是复变函数的导数？
复变函数的导数是指复变函数的实部函数以及虚部函数的导数的和，它可以用三个符号表示，即f″z= f′x+if′y。

如何计算复变函数的导数？
计算复变函数的导数，需要先解决实部函数和虚部函数导数的问题，并将它们相加。

1. 首先，计算实部函数的导数，也就是计算x的一阶导数。

一般情况下，可以用f′x= limΔx→0(f(x+Δx)-f(x)/Δx)来求解x的一阶导数；
2. 再计算虚部函数的导数，也就是计算y的一阶导数，可用同样的方法来求解，即
f′y= limΔy→0(f(y+Δy)-f(y)/Δy)；
3. 最后，将两个导数相加，得到一个复变函数的导数：f″z= f′x+if′y。

以上就是复变函数的导数的概念及求解方法，仿佛将复数的曲线画出来，它们也可以用复
变函数的导数来表示，这种表示将复数曲线的形状和特性清晰展示出来。

这代表我们可以
利用复变函数的导数来描述复数的曲线的许多性质，比如求复数曲线的局部最大值、最小值，以及曲线的单调性等。

从以上介绍，我们可以看出复变函数的导数扮演着重要的角色，可用来描述复数曲线的特
性和性质，深刻地影响着我们进行复数分析和复变函数研究的工作。

复变函数怎么求导复变函数是指一个变量自变量和一个变量的函数。

求复变函数的导数需要使用复变函数的Cauchy-Riemann条件。

复变函数的导数定义如下：设有函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是$x,y$的实函数，若存在复数$L$，使得对于给定的复数$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，有$$\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)-L\Deltaz}{\Delta z}=0$$则称$L$为复变函数$f(z)$在点$z$处的导数，记为$f'(z)$。

在实数函数的情况下，导数可以通过计算函数的偏导数来求得。

在复变函数的情况下，由于复数存在实部和虚部，计算导数需要满足一定的条件。

接下来，我们将通过推导Cauchy-Riemann条件，来求复变函数的导数。

首先，假设$f(z)$在一个区域内有定义，则$f(z)$可以写为$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$。

我们来计算$f(z)$在点$z$处的增量：$$\Delta f(z)=f(z+\Delta z)-f(z)=\{u(x+\Delta x, y+\Delta y)+iv(x+\Delta x, y+\Delta y)\}-\{u(x, y)+iv(x, y)\}$$将上式展开，并忽略高阶无穷小的项，得到：$$\Delta f(z)=\left[\left(\frac{\partial u}{\partialx}\Delta x-\frac{\partial v}{\partial y}\Deltay\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltay+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\right)\right]$$我们知道，根据导数的定义，有：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta f(z)}{\Delta z}$$将$\Delta f(z)$代入上式，得到：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to0}\frac{\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x-\frac{\partial v}{\partial y}\Deltay\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltay+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\right)\right]}{\Delta z}$$根据复数的定义，$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，因此，我们可以将分子中的$\Delta x$和$\Delta y$替换成$\Delta z$：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to0}\frac{\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\Delta z-i\frac{\partial v}{\partial y}\Deltaz\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltaz+i\frac{\partial v}{\partial x}\Delta z\right)\right]}{\Delta z}$$整理上式，得到：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\left\{\frac{\partialu}{\partial x}-i\frac{\partial v}{\partialx}+\left[\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partialv}{\partial y}\right]\right\}$$根据导数的定义，我们知道$\lim_{\Delta z \to 0}\Delta z=0$，因此我们可以将分母中的$\Delta z$约去，得到：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partialv}{\partial x}+\left[\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right]$$根据复变函数的导数定义，我们知道$f'(z)$是一个复数，因此可以将其改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partialv}{\partial x}+\left[\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right]=\frac{\partialu}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partialx}+\left[\frac{\partial u}{\partial y}-i\frac{\partialv}{\partial y}\right]$$根据复数的加法规则，我们知道复数可以写为实部和虚部的和，因此上式可以改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$根据复数的乘法规则，我们知道$i^2=-1$，因此上式可以改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$最后，我们得到了复变函数的导数公式：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partialv}{\partial x}+i\left(\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)$$为了求出$f'(z)$的具体值$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$可以看出，Cauchy-Riemann条件是保证复变函数$f(z)$可导的充分必要条件。