工程力学---应力状态分析
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工程力学第21讲应力状态分析:求斜截面应力在工程力学中,应力状态分析是研究物体受到外力作用后内部应力分布的一门学科。
在实际工程中,经常需要求解物体内部某一点的应力值。
在本文中,我们将着重介绍如何求解斜截面上的应力值。
斜截面应力状态的分析是典型的三维问题,但在一些实际应用中,我们只需要在某一平面上求解应力分量。
为了方便分析,我们通常假设物体是等截面的,其剖面可以看成一个平面截形,如下图所示。
假设物体受到一个外作用力F,我们需要分析该力作用在斜截面xy上,求解点P处的应力状态(包括法向应力σn和切应力τxy)。
点P的坐标可以表示为(x,y,z)。
截面上的任一元素dA的面积可以表示为dA=dxdy,其对应的法向为b。
为了求解点P处的应力状态,我们可以采用以下的步骤:### 第一步:求解对x分量的力和对y分量的力为了便于分析,我们可以将作用力F分解成两个分量F_x和F_y,如下图所示。
在这里,我们需要注意F_x和F_y的方向。
如图所示,F_x沿x轴正方向,F_y沿y轴正方向,因为较难确定夹角a和b的正负号,所以F_x和F_y以及后面的应力分量都是以箭头的方向表示。
同时我们还需要注意到式中的F_z。
如下图所示,我们可以建立一个平面一对应着力分解后的F_x,F_y和截面。
然后我们可以求解在x和y方向上的应力分量。
对应的应力分量为:$$\sigma_x=\frac{F_x}{A_x}$$$$\sigma_y=\frac{F_y}{A_y}$$其中,Ax和Ay分别是上图中标注的x和y方向上的面积。
由于F_x和F_y都垂直于z 轴,所以在z方向上不存在应力分量。
### 第三步:求解点P处的应力状态现在我们已经求解了对x分量的力和对y分量的力在x和y方向上的应力分量,接下来我们需要求解点P处的应力状态。
如下图所示,我们需要确定切线方向上的应力σ_t和法线方向上的应力σ_n。
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科,它研究物体受外力作用下的力学性质。
应力和应变是工程力学中的重要概念,它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。
本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。
一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。
根据作用平面的不同,可以分为法向应力和剪切应力两种。
1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。
根据物体受力状态的不同,可以分为拉应力和压应力两种。
- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。
拉应力的计算公式为:σ = F/A其中,σ表示拉应力,F表示作用力,A表示截面面积。
- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。
压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。
剪切应力的计算公式为:τ = F/A其中,τ表示剪切应力,F表示作用力,A表示截面面积。
二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。
根据变形情况,可以分为线性弹性应变和非线性应变。
1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下,应变与应力成正比,且随应力消失而恢复原状的应变现象。
线性弹性应变的计算公式为:ε = ΔL/L其中,ε表示线性弹性应变,ΔL表示物体的长度变化,L表示物体的原始长度。
2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下,应变与应力不再呈线性关系的应变现象。
非线性应变的计算公式较为复杂,需要根据具体情况进行分析。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系,常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。
1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。
根据胡克定律,拉应力和拉应变之间的关系可以表示为:σ = Eε其中,σ表示拉应力,E表示弹性模量,ε表示拉应变。
2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念,2、平面应力状态下的应力分析,3、主平面是切应力为零的平面,主应力是作用于主平面上的正应力。
(1)过一点总存在三对相互垂直的主平面,对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=(2)任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=(3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变12122x y xyx y()tg εεεεγϕεε⎡=+±⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=,G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解](1)原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算,因此应选取如下三对平面:A 点左右侧的横截面,此对截面上的应力可直接计算得到;与梁xy 平面平行的一对平面,其中靠前的平面是自由表面,所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示,将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为:z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ;前后边面为自由表面,应力为零。
工程力学中的应力和应变的分析工程力学是研究物体在外力作用下受力与变形规律的学科。
在工程力学中,应力和应变是两个重要的概念,用于描述物体受到外力作用后的力学响应和变形情况。
本文将对工程力学中的应力和应变进行深入的分析和探讨。
一、应力的概念和分类应力是描述物体单位面积内的内力或外力的物理量,用σ表示。
在力的作用下,物体的形状、大小和方向都会发生变化,而应力则用来描述物体内部各点受力状态的大小和方向。
应力可以分为正应力和剪应力两种类型。
1. 正应力:正应力是指垂直于物体截面的力在该截面上的作用效果。
正应力可分为拉应力和压应力两种情况。
拉应力是指垂直于物体截面的力使得截面上的物质向外扩张,压应力则是指垂直于物体截面的力使得截面上的物质向内收缩。
2. 剪应力:剪应力是指与物体截面平行的力在该截面上的作用效果。
剪应力是由于物体受到外部力的平行作用而引起的变形。
剪应力会使得物体的截面发生平行于力的方向的切变变形。
二、应变的概念和分类应变是描述物体相对于原始形状发生变形时各点之间相对位置的改变程度的物理量,用ε表示。
应变描述了物体受到外力作用后的变形程度和特征。
应变可分为线性应变和剪切应变两种类型。
1. 线性应变:线性应变是一种改变物体长度的应变形式,也称为伸长应变。
线性应变正比于物体所受力的大小,并与物体原始长度之比成正比。
线性应变的表达式为ε = ΔL / L0,其中ΔL为线段在力作用下伸长的长度,L0为线段的原始长度。
2. 剪切应变:剪切应变是一种改变物体形状的应变形式,也称为变形应变。
剪切应变是与物体所受剪力大小成正比,与物体的长度无关。
剪切应变的表达式为γ = Δx / h,其中Δx为剪切前后平行于力方向的线段之间的位移,h为物体在该方向上的高度。
三、应力和应变之间的关系应力和应变之间存在一定的关系,通常可以通过弹性模量来表示。
弹性模量是描述物体材料抵抗形变能力的物理量,用E表示。
主要用于刻画物体在受力作用后,恢复原始形状的能力。
习题9-1图 x15-'x x'σy'x'τ 1.25MPa15 (b-1)15a 4MP15-y'x'τx'x'σa1.6MP x (a-1) 习题9-2图302MPa 0.5MPa-60x'σ'x ''y x τ 工程力学(工程静力学与材料力学)习题与解答第9章 应力状态分析9-1 木制构件中的微元受力如图所示,其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。
试求: 1.面内平行于木纹方向的切应力;2.垂直于木纹方向的正应力。
知识点:平面应力状态、任意方向面上的应力分析 难度:易 解答:(a )平行于木纹方向切应力6.0))15(2cos(0))15(2sin(2)6.1(4=︒-⨯⋅+︒-⨯---=''y x τMPa 垂直于木纹方向正应力84.30))15(2cos(2)6.1(42)6.1(4-=+︒-⨯---+-+-='x σMPa (b )切应力08.1))15(2cos(25.1-=︒-⨯-=''y x τMPa正应力625.0))15(2sin()25.1(-=︒-⨯--='x σMPa9-2 层合板构件中微元受力如图所示,各层板之间用胶粘接,接缝方向如图中所示。
若已知胶层切应力不得超过1MPa 。
试分析是否满足这一要求。
知识点:平面应力状态、任意方向面上的应力分析 难度:易 解答:55.1))60(2cos(5.0))60(2sin(2)1(2-=︒-⨯⋅+︒-⨯---=''y x τMPa 1MPa 55.1||>=''y x τMPa ,不满足。
9-3 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。
试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。
知识点:平面应力状态分析 难度:难 解答:习题9-2图yσxσxyτ=yσxσxyτx=yσxσxyτ=左微元⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-='-='-=-='+=--+='000000022cos 122sin )2sin(222cos 10)2cos(22σθσσσσθθστσθθσσσx y xy x 叠加 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+'=-=+=+=+'=''000022cos 1022sin 022cos 3σθσσσθττσθσσσy y y x xy x x0)cos 1()cos 1( )22sin (4)22cos 122cos 3(21222cos 122cos 330020202021=⎩⎨⎧-+=-+--+±-++=⎭⎬⎫σσθσθσθσθθσθθσσ 面内最大切应力:θσσστcos 2021max=-='该点最大切应力:031max2cos 12σθσστ+=-=左微元0023))30(2sin()(ττσ=︒-⨯-='x ,0230τσσ-='-='x y ,2))30(2cos(00τττ=︒-⨯='xy 右微元0023)302sin()(ττσ=︒⨯-=''x,0230τσσ-=''-=''x y ,2))30(2cos()(00τττ-=︒⨯-=''xy 叠加 03τσσσ='+'=y x x ,03τσσσ-=''+'=y y y ,0=''+'=xyxy xy τττ 013τσ=,02=σ,033τσ-= 面内031max32||τσστ=-='xABOσOσαα(a)习题9-4图A60CB60100-x σxσyxτxyτ92MPa(a)习题9-5图该点031max 32||τσστ=-=叠加[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒-⨯--+==--+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒-⨯--+-++=MPa 30))45(2sin(2)30(5070MPa 1010)3050(0MPa 90))45(2cos(2)30(502)30(5080xy y x σσσ主应力0MPa 0MPa100304)]100(90[212109022231=⎩⎨⎧=⨯+-±+=⎭⎬⎫σσσ面内及该点:5021002||||31max max=-=-=='σσττMPa9-4 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB 相垂直的面上,其值为0σ。
工程力学之应力状态分析和强度计算工程力学是研究物体受力和变形规律的学科,其基础之一就是应力状态分析和强度计算。
应力状态分析主要是通过计算和评估物体内部的应力分布情况,强度计算则是根据应力状态来确定物体的强度和稳定性。
应力状态分析是力学中的一个重要步骤,它不仅可以用来评估物体的受力情况,还可以为工程设计提供依据。
在进行应力状态分析时,首先需要确定物体所受的外力,然后利用力学原理和相关公式计算物体内部的应力分布。
具体来说,首先我们需要确定物体所受的外力,包括静力、动力以及热力等,这些外力会作用在物体的不同部位上。
然后,通过应用牛顿第二定律、平衡方程等力学原理,可以计算得到物体内部的应力分布情况。
在实际工程中,通常使用数值计算方法来解决这些力学方程,比如有限元法和边界元法等。
强度计算则是根据应力状态来评估物体的强度和稳定性,以确定物体是否满足设计和使用要求。
在进行强度计算时,首先需要确定物体的强度参数,比如抗拉强度、屈服强度、抗剪强度等。
然后,根据物体所受的应力状态,通过应力分析和计算,可以得到物体内部的应力大小。
接下来,比较物体内部的应力和其强度参数,就可以判断物体是否安全和稳定。
应力状态分析和强度计算在各个工程领域中都有广泛的应用。
在土木工程中,它可以用来评估建筑物、桥梁和道路等结构的受力情况,以确保它们的安全使用。
在机械工程中,它可以用来评估机械零件和设备的强度和稳定性,以确保它们能够正常工作。
在航空航天工程中,它可以用来评估飞机和航天器在各种飞行状态下的受力情况,以确保它们在高速和极端环境下的安全性。
总之,应力状态分析和强度计算是工程力学的重要内容,它们不仅可以为工程设计提供依据,还可以用来评估物体的强度和稳定性。
在实际应用中,我们可以通过数值计算的方法来解决应力分析和强度计算问题,从而确保工程项目的安全性和可靠性。
在工程实践中,应力状态分析和强度计算是非常重要的步骤,涉及到许多领域,如结构工程、材料工程、土木工程等。