《2.2.1平方根》导学案

2.2.2平方根（2）【教学目标】：1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.【教学重难点】：平方根与算术平方根的区别与联系.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a探讨，总结：平方根与算术平方根的联系与区别联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

0只有一个平方根，它是0本身。

负数没有平方根。

一个正数a 有两个平方根,它们互为相反数。

正数a 的正的平方根,记作“a ”，正数a 的负的平方根,记作“-a ”，这两个平方根合在一起记作“±a ”。

开平方与平方互为逆运算。

因此，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根。

三、巩固练习：1、判断题（正确的打“∨”，错误的打“×”）；（1）任意一个数都有两个平方根，它们互为相反数； （ ）（2）数a（ ）（3）—4的算术平方根是2； （ ）（4）负数不能开平方； （ ）（5=8． （ ）（6）－52的平方根为－5 （ ）（7）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ）（8）0和负数没有平方根 （ ）（9）4是2的算术平方根 （ ） （10）9的平方根是±3 （ ）（11）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ） 2.判断下列各数是否有平方根？并说明理由.(1)(－3)2；(2)0；(3)－0.01；(4)－52；(5)－a 2；(6)a 2－2a +23.求下列各数的平方根.(1)121；(2)0.01；(3)297；(4)(－13)2；(5)－(－4)34.对于任意数a ，2a 一定等于a 吗？5.a 中的被开方数a 在什么情况下有意义，(a )2等于什么？6、121---x x 有意义，则x 的范围___________7、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m_a的负平方根 _a的正平方根 _ 被开方数_ 根号四、作业既 的平方根是 。

2.2.2平方根（2）学习目标: 理解平方根的概念、会求平方根一、学习准备1.算术平方根的概念：一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 就叫做a 的 特别地:0的算术平方根是0,即00=.二、新课知识点知识点1、平方根的定义9的算术平方根是____， ____的平方也是9；平方等于254的数是_____，平方等于0.49的数是____。

归纳：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的______________， 也就是说，即：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。

记作：x=a ± 对应练习：1、(1)因为32=_____，（-3）2=______，所以3和-3都是_____的平方根，9有______个平方根，(2)因为2＝0，所以0的平方根是；(3)因为（）2＝16，所以16的平方根是；（4）49的正的平方根是_______；10的负的平方根是_____ 2、求下列各式有意义的x 的取值范围； ①、1-x ②、2x ③、x x 1+ ④、112+x 知识点2、平方根的性质思考：⑴9的平方根是什么？7的平方根是什么？⑵ 0的平方根是什么？0的平方根有几个？⑶ -9，-7有平方根吗？为什么？小结平方根的性质：1、一个正 数的平方根有2个，它们互为相反数；2、0只有1个平方根，它是0本身；3、负数没有平方根。

对应练习：1、求下列各数的平方根.（1）121； （2）0.01； （3）972； （4）（－13）2； （5）－（－4）3.2=，4的平方根为； 81的算术平方根是；知识点3、开平方求一个数a 的平方根的运算，叫做，其中a 叫做。

对应练习：求x ，解方程: （1）49x 2= （2）25)1x (2=- 知识点4、填空找规律1. ∵ 22=, 232)2(-= , 2)4(-∴ 2a =2.∵（4）2 = （9）2 = （25）2 =∴ 2)(a = (a ≥0)对应练习：（1）（2）（3）（5）2=____.（4）____（2） 2a = （3）2)(a = (a ≥0)三、巩固练习：1、下列说法中正确的是（ ）A 、6的平方根就是6的算术平方根；B 、3-的平方是9；C 、7-是7的算术平方根；D 、5的平方根是5. 2、一个正整数的一个平方根是x ，则与这个正整数连续的下一个正整数的算术平方根是（ ） A 、1+x B 、12+x C 、1+x D 、12+x3、代数式x +-2有意义的x 的取值范围是；4、610-的算术平方根是；36的平方根是；5、已知3+a 与152-a 是m 的平方根，则m 的值是；6、设x 是16的算术平方根，2(2)y =-，则x 与y 的关系是.7、求下列各式中的x 的值：①、0812=-x ②、169)1(2=-x ③、40)12(42-=--x8、若y =，求2x y +的值 =25()=-222=。

本溪县第二中学八年上数学学案 主备：李春杰2.2.1算术平方根学习目标:1了解算术平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根;2会用平方运算求某些非负数的算术平方根.一、课前预习 (时间：3分钟)1、填空：32 =_______, 反过来: 正数_____的平方是9；0.52 =_______, 正数_____的平方是0.25；12 =_______, 正数_____的平方是1；02 =_______, _________的平方是0。

2、下面请大家根据勾股定理，结合右图完成填空.x 2=______；y 2=_______；z 2=_______；w 2=________。

（1）请大家再分析一下，x ，y ，z ，w 中哪些是有理数？哪些是无理数？（2）用我们学过的知识能把上图中的x ，y ，z ，w 表示出来吗？二、新课探究：探究一（算术平方根的意义）自学提示：观看书中26页例1前内容，结合下面问题先自主探究算术平方根的意义，并能理解、掌握、举例说明。

不能理解的可向小师傅请教或合作探究，最后小组长负责检查本小组自学情况。

时间共15分钟。

问题1.什么是一个正数的算术平方根？怎样用符号表示一个正数的算术平方根？问题2. 负数有算术平方根吗？为什么？0有算术平方根吗？问题3. 在a 中a 必须满足什么条件？为什么？a 是什么数？自学展示：0.25的算术平方根表示为__ ___；5的算术平方根表示为____ _；a(a ≥ 0) 的算术平方根表示为_______。

探究二 (算术平方根的求法)：例1、求下列各数的算术平方根：(1)100； (2)2516； (3)0.36 ； （4）0 ; (5)14签字： 2014/9/7自学指导：参照第（1）题的解法完成以下各题。

时间：8分钟。

解：(1)∵102 = 100，∴100的算术平方根是10，即=10010；(2)(3)(4)(5)三、当堂训练：1、求下列各式的值（按着算术平方根定义直接计算，时间：4分钟） ⑴、4= ⑵、3625= ⑶、09.0= ⑷、23= ⑸、2)4(-= ⑹、16=2、计算下列各题（仔细读题，时间：8分钟）（1）81的值是_________； （2）81的算术平方根是__________.（3）121的算术平方根是 ； （4） 0.25的算术平方根是 ；（5）2561的算术平方根是 ； （6）1的算术平方根是 ； （7）0.0081的算术平方根是 ； （8）2a (a>0)的算术平方根是 .四、课后拓展提高：1.一个数的算术平方根等于它本身，这个数是____________._____, 0.64-的算术平方根____3.4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．144.7=，则x 的算术平方根是（ ）五、课堂小结：本节课我学到了什么？还有什么疑惑？六、课后反思：。

八年级数学（上）导学案班级 姓名 学号2.2.1 平方根教学目标如下：①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22=a ，a ＝ ，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习．方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：=2x ，=2y ，=2z ，=2w ．目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．效果：能表示22=x ，32=y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值．说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．第二环节：初步探究内容1：情境引出新概念22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？”内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=．目的：对算术平方根概念的认识．效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．内容3：简单运用 巩固概念 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3)6449； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．答案：解：(1)因为900302=，所以900的算术平方根是30，即30900=；(2)因为112=，所以1的算术平方根是1，即11=；(3)因为6449)87(2=，所以 6449的算术平方根是87， 即876449= (4)14的算术平方根是14． 内容4：回解课堂引入问题22=x ，32=y ，52=w ，那么2=x ，3=y ，5=w ．第三环节：深入探究内容1：例2 自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．效果：学生多能利用等式的性质将29.4t h =进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．解：将6.19=h 代入公式29.4t h =，得42=t ，所以正数24==t (秒)．即铁球到达地面需要2秒． 说明：强调实际问题t 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a 中的a 是一个非负数，a 的算术平方根a 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．第四环节：反馈练习一、填空题： 1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2．9的算术平方根是 ；3．2)32(的算术平方根是 ； 4若22=+m ，则=+2)2(m ． 二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(．三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？第五环节：学习小结 通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：(1)算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．。

《2．2．2平方根》导学案【学习目标】1.了解平方根、 开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别和联系.3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系、过程与方法。

【重点】1.了解平方根开、平方根的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.【难点】1平方根与算术平方根的区别和联系.2负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算.预 习 案一、预习自学1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是_________.52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是_____________.展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长______米. 2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？ 乘方有没有逆运算?平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为_____.将它扩展，面积变为原来的2倍，那么它的边长为______；若面积变为原来的3倍，则边长为_________；若面积变为原来的n 倍，则边长为________.探 究 案填空：32=(9 )(-3)2=(9 ) ( )2=9 02=0(12)2=()21= (不存在)2=-4(12-)2=(形成概念一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.而把正的平方根叫算术平方根。

表达式为:若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根. 记作： a ±例如:(±4)2=16,则+4和-4都是16的平方根;即16的平方根是±4; 4是16的算术平方根.探索平方与开平方的关系:给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系.概念辨析平方根与算术平方根的联系与区别：联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.2.表示法不同：平方根表示为a±，而算术平方根表示为求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 11提高训练1 ．下列说法正确的是①3-②25的平方根是5；③-36的平方根是-6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．2．下列说法不正确的是( ) ．(A)0的平方根是0 (B)22-的平方根是2±(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3. 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）．2+14.x为何值，课堂小结：学习反思：。

平方根学 科数学课题平方根（二）授课教师教学 目标1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算重点了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根德育 目标培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到它们的共同点和不同点.难点 平方根与算术平方根的区别与联系.2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因一、自主学习1、上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a .则x 叫a 的算术平方根，记作x =a ，而且a 也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是(－2)2=4，则－2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.2、.平方根、开平方的概念3、请大家先思考两个问题.(1)9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？ (2)平方等于254的数有几个？平方等于0.64的数呢？ 4、根据上一节课的内容，我们知道了是9的算术平方根，52是254的算术平方根，那么－3，－52叫9、254的什么根呢？请大家认真看书后回答. 5、由平方根和算术平方根的定义。

6、平方根的性质，请大家思考以下问题. (1)一个正数有几个平方根. (2)0有几个平方根? (3)负数呢？7、什么叫开平方呢？8、平方根与算术平方根的联系与区别教学过程课堂笔记班级二、互动导学例］求下列各数的平方根. (1)64； (2)12149； (3)0.0004； (4)(－25)2； (5)11.练习(一)随堂练习1.求下列各数的平方根 1.44，0，8，49100，441，196，10－4想一想 (1)(64)2等于多少？(12149)2等于多少？ (2)(2.7)2等于多少？(3)对于正数a ，(a )2等于多少？1.填空(1)、25的平方根是_________； (2)、2)5( =_________；(6)、9的平方是_________,9的平方根是__________,—9是______的一个平方根，（—4）2的平方根是___________. 7）、平方根等于它本身的数是____________,算术平方根等于它本身的数有_________________,三、当堂检测 1.判断题(1)－0.01是0.1的平方根.………………………………( )(2)－52的平方根为－5.…………………… …………（ ） (3)0和负数没有平方根.…………………………………（ ）学校(4)因为161的平方根是±41,所以161=±41…………（ ）（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.……（ ）2.选择题1）下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1） (2)2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对 （3）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±m B.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m(4)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a 四、巩固提高、达标检测(1)判断：任意一个有理数都有两个平方根。