数学规划模型例题

数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。

要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。

【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。

语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。

例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。

每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。

现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。

它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。

该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。

而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。

该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。

该怎样处理这个问题。

若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。

通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。

如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。

线性规划经典例题【问题描述】某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要2小时的生产时间，产品B每件需要3小时的生产时间。

产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。

每天的生产量不能超过100件。

工厂希翼最大化每天的利润。

【数学建模】设工厂每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

根据题目条件，可以得到以下数学模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 200x + 300y约束条件：1. 生产时间限制：2x + 3y ≤ 82. 产量限制：x + y ≤ 1003. 非负性约束：x ≥ 0，y ≥ 0【求解过程】将目标函数和约束条件转化为标准形式，得到如下线性规划模型：Maximize Z = 200x + 300ysubject to2x + 3y ≤ 8x + y ≤ 100x ≥ 0，y ≥ 0使用线性规划求解器进行求解，得到最优解。

【求解结果】经过计算，得到最优解为：x = 50（产品A的件数）y = 16.67（产品B的件数，近似值）此时，工厂每天的最大利润为：Z = 200 * 50 + 300 * 16.67 = 33333.33 元（近似值）【结果分析】根据最优解，工厂每天应该生产50件产品A和16.67件产品B，以达到每天最大利润33333.33元。

由于生产时间和产量限制，工厂无法达到每天生产更多的产品。

【结论】根据线性规划模型的最优解，工厂每天生产50件产品A和16.67件产品B，可以获得每天最大利润33333.33元。

这个结果可以作为工厂生产计划的参考，以实现最大化利润的目标。

【备注】以上的数学模型和求解结果仅为示例，实际问题中的数值和约束条件可能有所不同。

为了得到准确的结果，需要根据具体情况进行调整和求解。

12345模型的经典例题12345模型是一种常见的数学模型，其基本思想是将一个问题分成五个步骤，分别是：问题描述、建立假设、分析模型、解决问题、检验结果。

下面是一道经典的12345模型例题：某公司生产两种产品，产品A和产品B，它们的生产成本分别是每个单位120元和150元。

市场需求量为每天2000个单位。

在市场需求满足的情况下，为了获得最大的利润，应该生产多少个产品A和多少个产品B？1. 问题描述：该公司需要在市场需求满足的情况下，生产最大利润的产品A和产品B的数量。

2. 建立假设：假设产品A和产品B的售价相同，都为每个单位200元。

假设市场需求量为每天2000个单位。

3. 分析模型：设产品A和产品B分别生产a个和b个，利润可表示为：利润 = 总收入 - 总成本总收入 = 200(a+b)总成本 = 120a + 150b利润 = 80a + 50b4. 解决问题：为了获得最大利润，需要求出利润函数的极值。

可以将利润函数对a和b求偏导数，得到：利润/a = 80利润/b = 50因此，利润函数在a和b的取值都为0时取得最小值，而在其他取值时取得极值。

由于生产的产品数量必须是非负整数，利润函数的极值点只能取整数值。

可以通过求解利润函数的整数线性规划问题，得到最大利润对应的生产量。

5. 检验结果：假设生产a=800个产品A和b=1200个产品B，总收入为320000元，总成本为228000元，利润为92000元。

如果生产其他数量的产品A和产品B，利润都不会超过92000元。

因此，生产a=800个产品A和b=1200个产品B是获得最大利润的最佳方案。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。

现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。

已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。

同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。

公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。

二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 目标函数：最大化利润。

利润可以表示为10x + 15y。

3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。

通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。

四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。

同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。

五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。

1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。

b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。

2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

数学建模典型例题The document was prepared on January 2, 2021一、人体重变化某人的食量是10467焦/天,最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天.每天的体育运动消耗热量大约是69焦/千克天乘以他的体重千克.假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效,而1千克脂肪含热量41868焦.试研究此人体重随时间变化的规律.一、问题分析人体重Wt随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的,假设人体重随时间的变化是连续变化过程,因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程.二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为Wt+△t-Wt；身体一天内的热量的剩余为Wt将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：dWt+△t-Wt=Wtdt；四、模型求解d5429-69W/5429-69W=-69dt/41686W0=W解得：e-69t/416865429-69W=5429-69W即：Wt=5429/69-5429-69W/5429e-69t/41686当t趋于无穷时,w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案.5年后,它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输.在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车,将有净成本a ij二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径,即为最低成本的投资策略.三、条件假设除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；四、模型建立二511 7 三 64166 13 8四一 912 8 1120五10六运用Dijikstra算法1 2 3 4 5 60 4 6 9 12 206 9 12 209 12 2012 2020可发现,在第二次运算后,数据再无变化,可见最小路径已经出现即在第一年买进200辆,在第三年全部卖出,第三年再买进200第六年全部卖出.三、飞机与防空炮的最优策略一、问题重述：红方攻击蓝方一目标,红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜.其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮,但一门炮只能防守一个区域,其射中概率为1.那么双方各采取什么策略 二、问题分析该问题显然是红方与蓝方的博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题. 1、对策参与者为两方红蓝两方2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动.蓝军有三种防御方案,即四个区域非别布置防空炮记为1-1-1-1、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个记为2-1-1-0、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有记为2-2-0-0.显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的.三、问题假设：（1） 红蓝双方均不知道对方的策略.（2） 蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮,但是大炮数量大于飞机的数量,而一门大炮已经可以击落一架飞机,因而这种方案不可取.（3） 红方有两种方案,一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标,另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标.（4） 假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策.四、模型建立A= 1 0B= 0 1 没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题设蓝方采取行动i 的概率为 xii=1,2,3,红方采取行动j 的概率为yjj=1,2,则蓝方与红方策略集分别为：S1=｛x=x1,x2,x30< xi<1,∑xi=1｝, S2=｛y=y1,y20< yi<1,∑yi=1｝. 五、模型求解下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x Max v10x1+x 2+x 3 >v1 x 1+x 2+x 3 >v1 x 1+x 2+x 3 =1xi<=1下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y Min v2 y 2 <v2 y 1+y 2 <v2 y 1+ y 2 <v2 y 1+y 2= 1 yi<=1四、雷达计量保障人员分配开展雷达装备计量保障工作中,合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键.所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上,并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益.现某雷达团共部署12种型号共16部雷达,部署情况及计量保障任务分区情说明：1．保障任务分区域进行保障；2．B 、H 、L 型雷达分为两个保障任务,分别为B 1、B 2、H 1、H 2、L 1、L 2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成.雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定,即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同.各雷达的重要性如下表所示表中下标表示雷达该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员,他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：问题：如何给该团三个营分配计量保障人员,使他们发挥最大军事效益一、问题分析：该问题是人员指派问题,目的是得到最大效益.根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵,用0—1整数规划方法来求解,得到最大效益矩阵.二、模型假设1．保障任务分区域进行保障；2．B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；5．每个保障人员只能保障一个任务；6．每个保障任务只由一个保障人员完成.三、模型建立根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=007.09.03.08.04.002.05.03.06.08.08.06.08.03.07.02.06.07.03.07.03.04.06.07.08.07.05.06.03.05.05.07.04.02.02.01.02.02.0001.02.02.02.06.01.006.04.02.08.05.03.03.06.03.0003.03.04.03.002.0004.09.05.02.01.08.08.08.08.06.08.08.008.06.07.08.06.08.005.07.03.03.03.03.07.07.05.03.003.06.03.07.06.07.08.05.02.02.07.02.02.05.08.06.02.002.05.005.05.0007.05.04.03.04.04.004.07.04.06.04.0000009.005.05.05.05.05.005.05.05.05.05.05.0005.005.09.08.07.0006.04.04.03.09.07.06.07.08.04.07.003.08.0A 根据题目,设保障任务的重要性向量),...,,(21i b b b B =,bi 表示第i 个任务的重要性.列出保障任务重要性向量：[]7.07.06.08.09.07.06.09.09.07.08.07.07.07.08.09.09.08.0=B 我们用二者的乘积表示效益矩阵： T *=B A R .我们设元素rij 表示第i 个人完成j 件事的效益,Xij 表示第i 个人去保障第j 件任务,如果是,其值为1,否则为0.利用这一个矩阵和0-1规划,我们就可以列出方程：∑=<=ni ij x 11,m<=nmodel: sets: M/1..10/; N/1..18/:a; allowedM,N:b,r,x; endsets data:a= ; b= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; enddatamax=sumallowedi,j:xi,jri,j;forMi:forNj:ri,j=ajbi,j;forMi:sumNj:xi,j=1;forNj:sumMi:xi,j<=1;forMi:forNj:binxi,j;End解得最大效益为,分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1,其中8号承担A型,5、7号承担B1,B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2,其中第9号保障人员承担F型2号G型,1、3号承担H1,H2型,4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3,6号F型、10号J型.。

线性规划经典例题一、问题描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要1小时的加工时间，产品B每件需要2小时的加工时间。

公司每天的总加工时间不能超过8小时。

产品A的利润为100元/件，产品B的利润为200元/件。

公司希望最大化每天的利润。

二、数学建模：设公司每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

则目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：1. 生产时间约束：x + 2y ≤ 82. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、线性规划模型：Maximize Z = 100x + 200ySubject to:x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0四、求解方法：可以使用线性规划求解器进行求解，例如使用单纯形法或内点法等。

以下是使用单纯形法求解的步骤：1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 02. 引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束：x + 2y + s1 = 8x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 03. 构建初始单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | 0 | 0-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 84. 进行单纯形法迭代计算：a. 选择进入变量：选择目标函数系数最大的非基变量，即选择y进入基变量。

b. 选择离开变量：计算各个约束条件的最小比值，选择比值最小的非基变量对应的约束条件的基变量离开基变量。

在本例中，计算得到最小比值为4，对应的约束条件为x ≥ 0，所以x对应的基变量离开基变量。

c. 更新单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | -2 | -400-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 8d. 继续迭代计算，直到目标函数系数均为负数或零，达到最优解。

规划模型知识一、规划模型的概念引例1、一家具公司生产桌子和椅子，用于生产的全部劳力共计450个工时，原材料是400个单位的木材。

每张桌子要使用15个工时的劳力，20个单位的木材，售价为80元。

每张椅子使用10个工时，用材5个单位，售价45元。

问为达到最大收益，应如何安排生产？分析：设1x表示应当生产的桌子数；2x表示应当生产的椅子数。

则121212128045..20540015104500,0Max z x x s t x x x x x x =++≤+≤≥≥引例2、某学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元，乙每份售价0.40元。

经检测食品中含有三种学生所需的营养物A 、B 、C ，其中食品中甲每份含A 、B 、C 分别为10mg 、3mg 、4mg ，食品乙每份含A 、B 、C 分别为2mg 、3mg 、9mg 。

而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A 、B 、C 分别为20mg 、18mg 、36mg 。

问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，既能保证足够的营养要求，又花钱最少？分析：设一学生进餐应购买食品甲、乙分别为12,x x 份，则12121212120.550.40..10220331849360,0Min z x x s t x x x x x x x x =++≥+≥+≥≥≥定义1121212()(,,,)(1)..(,,,)0(1,2,,)(,,)()0(1,,)(2)n i n j n Min Max z f x x x s t h x x x i k g x x x j k m ===≤≥=+ 或或为数学规划模型，简称规划模型。

其中12,,,n x x x 为决策变量，它通常是该问题要求解的那些未知量。

定义2 满足约束条件（2）的一组12,,,n x x x 的值称为可行解；所以可行解的全体称为可行域；其中使目标函数达到极大值或极小值的可行解称为最优解，此时，目标函数的值称为最优值。

数学建模与应用3规划模型的典型例题(1) 平板装货问题有七种规格的包装箱要装到两辆平板车上。

包装箱的宽和高是一样的，但厚度t (厘米)和重量w (公斤)是不同的。

下表给出了每种包装箱的厚度，重量以及数量。

每辆平板车有10.2米的地方可用来装包装箱(象面包片那样)，载重为40吨。

由于地区货运的限制，对C5, C6, C7类包装箱的总数有一个特别的限制：这三类包装箱所占空间(厚度)不能超过302.7厘米。

问题要求：设计一种装车方案，使剩余的空间最小。

•首先找到已知的参量o各类型的包装的厚度： \small t_i(i=1\dots7) 。

o各类型的包装的重量： \small w_i(i=1\dots7) 。

o各类型包装的件数： \small n_i(i=1\dots7) 。

o平板车的空间： \small Space=1020cm 。

o平板车的载重： \small Weight=40000kg 。

o三类包装箱所占的空间上限： \smallLimit=302.7 。

•设出需要使用的变量：o第一辆车上装载的各类型包装的数量： \smallx_i(i=1\dots7)o第二辆车上装载的各类型包装的数量： \smally_i(i=1\dots7)•明确问题的要求：\min\{2\times Space-\displaystyle\sum^{7}_{i=1}t_ix_i- \displaystyle\sum^{7}_{i=1}t_iy_i\}\\x_i+y_i\leq n_i(i=1\dots7)\\ ~~\\ \displaystyle\sum^{7}_{i=1}w_i(x_i+y_i)\leq40000\\ ~~\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}t_ix_i\leq1020\\ ~~\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}t_iy_i\leq1020\\ ~~\\\displaystyle \sum^{7}_{i=5}t_i(x_i+y_i)\leq302.7\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}w_i(x_i+y_i)\leq40000\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}t_ix_i\leq1020\\\displaystyle \sum^{7}_{i=1}t_iy_i\leq1020\\\displaystyle \sum^{7}_{i=5}t_i(x_i+y_i)\leq302.7\\model:!程序由model开始，由end结束;sets:!sets开始设置变量，endsets结束变量设置;num/1..7/:t,w,n,x,y;!定义5个数组分别为t,w,n,x,yendsetsdata:!数据设置由data开始，由enddata结束;t=48.7,52.0,61.3,72.0,48.7,52.0,64.0;w=2000,3000,10 00,500,4000,2000,1000;n=8,7,9,6,6,4,8;enddatamin=(1020 -@sum(num:t*x))+(1020-@sum(num:t*y));!说明需要优化的为min;!以下是进行条件限制的量@sum(num:t*x)<=1020;@sum(num:t*y)<=1020;@sum(num:w*x)< =40000;@sum(num:w*y)<=40000;@for(num(i):x(i)+y(i)<=n(i ));@sum(num(i)|i#ge#5#and#i#le#7:(x(i)+y(i))*t(i))<=30 2.7;@for(num:@gin(x));@for(num:@gin(y));end(2) 选修课策略问题某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。

线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产A、B两种产品，每天生产的产品数量不同，且每种产品的生产时间和利润也不同。

现在需要确定每种产品的生产数量，以使得总利润最大化。

已知每天可用的生产时间为8小时，A产品的生产时间为2小时/件，利润为200元/件；B产品的生产时间为3小时/件，利润为300元/件。

同时，还有以下限制条件：1. A、B产品的总生产数量不能超过100件；2. A产品的生产数量不能超过60件；3. B产品的生产数量不能超过80件。

二、问题分析这是一个典型的线性规划问题，需要确定A、B产品的生产数量，使得总利润最大化。

根据题目中的限制条件，可以得到以下数学模型：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0三、数学模型目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：1. A + B ≤ 1002. A ≤ 603. B ≤ 804. A, B ≥ 0四、求解过程1. 根据数学模型，列出线性规划的标准形式：目标函数：max Z = 200A + 300B约束条件：A +B ≤ 100A ≤ 60B ≤ 80A, B ≥ 02. 根据标准形式，画出目标函数和约束条件的图形：在二维坐标系中，以A为横轴，B为纵轴，画出以下直线：A +B = 100A = 60B = 80并标明非负约束条件。

3. 确定可行解区域：根据约束条件，可得到可行解区域为一个三角形，顶点分别为(60, 40)、(60, 80)和(0, 80)。

4. 确定目标函数的最优解：由于目标函数是线性的，最优解一定在可行解区域的某个顶点上。

计算每个顶点的目标函数值：(60, 40)：Z = 200 * 60 + 300 * 40 = 28,000(60, 80)：Z = 200 * 60 + 300 * 80 = 36,000(0, 80)：Z = 200 * 0 + 300 * 80 = 24,000可知，目标函数的最优解为Z = 36,000，对应的生产数量为A = 60，B = 80。

目标规划模型企业内部的生产计划有各种不同的情况。

从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产作业计划。

从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。

接下来我们就用案例来建立这类问题的数学模型，并利用软件求解并对输出结果作一些分析。

案例1.加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多能加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制。

试为该工厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个问题：（1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？（3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？每天：50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1案例2.奶制品的生产销售计划问题例1给出的A1，A2两种奶制品的生产条件、利润、及工厂的“资源”限制全都不变。

为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元，试为该工厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大。

案例3.自来水输送问题问题某市有甲，乙，丙，丁四个居民区，自来水由A、B、C 三个水库供应。

胡不归数学模型例题1.骑车追赶问题：假设A、B两人在同一条路上骑车，A在路的起点处开始骑，速度为10km/h，B从距起点20km的地方开始骑车，速度为20km/h。

问B需要多长时间才能追上A？解析：设B追上A的时间为t，则A骑车的路程为10t，B骑车的路程为20+(20t-10t)=10t+20。

因为A、B在同一地点相遇，所以他们骑车的路程相等，即10t=10t+20。

解得t=2小时，即B需要2小时才能追上A。

2. 投资问题：小明想要将10000元投资到两个项目中，分别是A、B。

假设A的年收益率为8%，B的年收益率为12%，且两个项目的收益率互相独立。

小明想要使得投资后的总收益最大，请问他应将资金分配到A、B两个项目中的比例是多少？解析：设小明将资金分配到A、B两个项目中的比例分别为x、y，则x+y=1。

投资到A项目中的资金为10000x，年收益为0.08×10000x=800x；投资到B项目中的资金为10000y，年收益为0.12×10000y=1200y。

小明的总收益为800x+1200y。

为了使得总收益最大，需要求出x、y的最优值。

根据求导法可得：(800x+1200y)/x=800，(800x+1200y)/y=1200令两式分别为0，可得x=0.6，y=0.4。

因此，小明应将资金分配到A、B两个项目中的比例为6:4，即投资6000元到A项目中，投资4000元到B项目中。

3. 流水线调度问题：一条流水线上有3个加工工序，分别为A、B、C。

每道工序的加工时间分别为2小时、1小时、3小时。

每个工序上分别有5台、3台、2台加工设备。

假设工场每天有24小时可用于生产，问如何安排加工顺序和加工数量，才能使产量最大？解析：设A、B、C三个工序的加工数量分别为x、y、z，则由题意可知：2x+1y+3z≤24又因为每道工序的加工设备有限，所以有：x≤5，y≤3，z≤2为了使产量最大，需要求出满足上述约束条件下的最优解。

一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。

（15分） 解：一、模型假设：1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。

2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。

3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

（3分） 二、建立模型：以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定：()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。

由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。

（3分） 问题归结为：已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ，()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。

证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。

（3分）由f g 和的连续性知h 也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，必存在()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。

最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。

（3分）图 5二、给出7支队参加比赛的循环比赛赛程安排，要求各参赛队的每两场比赛之间的休息场次尽可能均衡，并列出表格说明。

解：设(1,2,7)i A i =表示7支参赛队。