第3讲---数学规划模型

有影响的数学家Marianne Freiberger关键词：数学家引言作为一门学科，数学有简朴之美的声誉——它对某些人产生共鸣，就像美丽的日出日落、动听的交响乐或漂亮的图画可能对其他人产生共鸣一样。

然而，数学也有其应用的一面。

如果没有20世纪发展的数学，我们不会有正在从根本上改变我们21世纪初生活方式的手机。

与数学的美感及适用性双重背景相比较的是这样的感觉：数学前沿与非数学使用者能掌握的东西越走越远。

数学证明已经变得越来越长、越来越复杂，并且在某些情况下，重要定理已经整体上需要计算机的帮助。

这方面的例子有Wolfgang Haken和Kenneth Appel计算机证明了四色定理这一猜想以及Thomas Hale计算机证实球体可以挤进三维空间并能达到最大密度。

由于许多数学家的工作以及他们对数学的热爱，以及清晰的洞察，使我们可以更清楚地看到数学的美感与适用性这两方面。

在这方面做出杰出贡献的数学家很多，在这里，我想介绍前几年去世的美国几何学家Victor Klee的工作。

Victor Klee是美国最杰出的几何学家之一。

他的去世（2007年8月）是数学界的重大损失。

他出版的作品包括几本书和超过240篇的研究论文。

Klee于1925年出生在旧金山，在Pomona学院修了数学和化学两个专业。

虽然20世纪之前，几乎所有的数学家（如牛顿、高斯、欧拉、拉普拉斯等）不仅在数学，而且在物理或一些其他科学分支均有贡献，但由于专业化的压力，现在这很难得了。

虽然Klee的工作大部分集中在几何上，出于理论与应用的考虑，他的工作横跨的兴趣广泛。

他在弗吉尼亚大学跟随著名的拓扑学家Edward McShane学习，获得博士学位。

他1949年的博士论文题目是“线性空间中的凸集”。

Klee的早期训练和研究是在拓扑学领域——这个学科关注几何对象属性的研究，它超越了角度、距离和与欧几里得几何有关的领域的传统。

因此，从拓扑的观点看，直线段和曲线段是一样的，正方形和（欧几里得）椭圆也是一样的，但线段和圆不是一样的。

数学建立模型知识点总结一、数学建立模型的基本概念1. 模型的定义模型是对于特定对象或系统的数学表达式或描述。

它是一个用来代表真实事物、预测未来情况或解决实际问题的简化抽象。

模型可以是数学方程、图表、图形或者计算机程序等形式。

2. 模型的分类根据模型的形式和特点，可以将模型分为不同的类别，主要包括数学模型、物理模型、统计模型、仿真模型等。

3. 建立模型的目的建立模型的目的是为了更好地理解现实世界中的复杂问题，预测未来的发展趋势，进行决策分析和问题求解等。

二、数学建立模型的方法1. 建立模型的一般步骤通常建立模型的一般步骤包括问题分析、模型建立、模型求解、模型验证和结果分析等。

2. 建立模型的数学方法建立数学模型的数学方法主要包括差分方程模型、微分方程模型、优化模型、概率模型和统计模型等。

三、数学模型的应用1. 数学模型在自然科学领域的应用数学模型在物理学、化学、生物学等领域都有着广泛的应用，例如在物理学中用来研究物体的运动规律、在生物学中用来研究生物体的生长和繁殖规律等。

2. 数学模型在社会科学领域的应用数学模型在经济学、管理学、社会学等领域也有很多应用，例如在经济学中用来研究市场供求关系、在管理学中用来研究企业运营规律等。

3. 数学模型在工程技术领域的应用数学模型在工程技术领域中常常用来研究工程结构、流体力学、材料科学等诸多问题，例如在建筑工程中用来研究房屋结构的稳定性、在交通工程中用来研究交通流量规律等。

四、数学建立模型的典型案例1. 鱼群扩散模型鱼群扩散模型是用来研究在外界环境条件下鱼群扩散的问题，通常采用微分方程模型进行描述。

2. 物体自由落体模型物体自由落体模型是用来研究物体在重力作用下的运动规律，通常采用差分方程模型进行描述。

3. 经济增长模型经济增长模型常用来研究经济系统的增长规律，通常采用优化模型进行描述。

五、数学建立模型的发展趋势1. 多学科交叉融合数学建立模型的发展趋势是多学科交叉融合，即将数学模型与物理、化学、生物、经济、管理等学科相结合，以更好地解决现实世界中的复杂问题。

数学规划模型——线性规划问题title: 数学规划模型——线性规划问题date: 2020-02-26 20:08:59categories: 数学建模tags: [MATLAB, 数学规划模型]Matlab 中线性规划的标准型标准型min C T X s .t . AX <=b 不等式约束Aeg ∗x =beg 等式约束lb <=x <=ub 上下界约束(也可以当成不等式约束)向量的内积 ,c =C 1C 2...C n x =x 1x 2...x n ,n 是决策变量的个数练习题min->maxm 加负号不等式约束的标准是<=,>=需要转换变量如果不在约束条件，⽤inf 与-inf 巧妙转换Matlab 求解线性规划 的函数[x ,fval] = linprog [ c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, X0]① X0 表⽰给定Matlab迭代求解的初始值 ( ⼀般不⽤给)② c, A, b, Aeq, beq, lb, ub的意义和 标准型中的意义⼀致③ 若不存在不等式约束, 可⽤ " [ ] " 替代 A和b④ 若不存在等式约束, 可⽤ " [ ] "替代 Aeq 和 beq⑤ 苦某个 x⽆下界或上界, 则设置lb(i)=-inf,ub(i)=+inf⑥ 返回的 x表⽰⼩值处的 x取值 ; fval表⽰优解处时取得的最⼩值7.不是所有的线性规划都有唯⼀解，可能⽆解或有⽆穷多的解。

8.如果求的是最⼤值，别忘在最后给fval加⼀个负号。

上⾯三个题的代码 ：[x, fval]=linprog[c, A, b, [], [], lb][x, fval]=linprog[c, A, b,Aeg, beg, lb][x, fval]=linprog[c, A, b,Aeg, beg, lb]fval=-fval代码%% Matlab 求解线性规划% [x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb,ub, x0)% c 是⽬标函数的系数向量，A 是不等式约束Ax<=b 的系数矩阵，b 是不等式约束Ax<=b 的常数项% Aeq 是等式约束Aeq x=beq 的系数矩阵，beq 是等式约束Aeq x=beq 的常数项% lb 是X 的下限，ub 是X 的上限，X 是向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量。

数学建模教学大纲【课程编码】 JSZB0240【适用专业】 信息与计算科学【课 时】 78【学 分】 4【课程性质、目标和要求】数学建模是信息与计算科学专业的一专业课。

它是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。

本课程主要介绍数学建模的概述、初等模型、简单优化模型、微分方程模型、差分方程模型、概率统计模型、图论模型、线性规划模型等模型的基本建模方法及求解方法.数学建模是继本科生高等数学、工程数学之后为了进一步提高运用数学知识解决实际问题的基本技能，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。

通过具体实例的引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型，学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态。

通过数学模型有关概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导计算和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力,综合分析能力；培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。

【教学时间安排】本课程计4学分，78学时（理论学时54,实验学时24） 学时分配如下：序号课程内容课时备注（教学形式）1建立数学模型4课堂讲授 作业 辅导2初等模型4课堂讲授 作业 辅导3简单的优化模型4课堂讲授 作业 辅导4数学规划模型8课堂讲授 作业 辅导5微分方程模型6课堂讲授 作业 辅导6差分方程模型4课堂讲授 作业辅导7离散模型6课堂讲授 作业 辅导8概率统计模型8课堂讲授 作业 辅导9动态优化模型6课堂讲授 作业 辅导10大作业讲评：露天矿生产的车辆安排4课堂讲授 课堂讨论11实验1：LINDO软件的使用方法4上机练习 12实验2：LINGO软件的使用方法4上机练习13实验3：用LINDO/LINGO软件包求解部分优化建模赛题4上机练习14实验4：用Matlab进行统计回归分析4上机练习15实验5：用Matlab作散点插值4上机练习16实验6：用Matlab作数据拟合4上机练习合 计78【教学内容要点】第一章 建立数学模型一、学习目的要求 使学生正确了解数学描述和数学建模不同于常规数学理论的思维特征，了解数学模型的意义及分类，掌握建立数学模型的一般方法及步骤。

数学模型第五版姜启源课件1. 引言数学模型是一种以数学方法描述、分析和解决实际问题的工具。

它是现代科学、工程和社会学科中不可或缺的一部分。

姜启源的《数学模型》是国内外广泛采用的教材之一，这份课件是对第五版《数学模型》的经典章节进行概要的总结和讲解。

2. 背景与目的数学模型的研究对象可以是自然界的现象、社会经济问题或工程技术等。

通过建立数学模型，我们可以更好地理解问题的本质，并探索解决问题的方法。

数学模型的建立需要一定的理论基础和技巧，本课件旨在帮助读者快速掌握数学模型的基本概念和建模方法。

3. 数学模型的基本概念数学模型是对实际问题进行抽象和描述的数学形式。

它由问题的假设、变量、关系和约束等要素组成。

本部分介绍了数学模型的基本概念，包括：3.1 假设与逼近数学模型的建立需要对实际问题进行适当的假设和逼近。

假设是对问题中不确定因素的简化和规定，而逼近是对问题中不精确因素的近似和描述。

3.2 变量与参数变量是数学模型中描述问题状态的符号，它可以是数值、向量、矩阵等。

参数是数学模型中的固定值，它们可以是已知的或未知的。

3.3 关系与方程关系是数学模型中描述变量之间相互关系的数学表达式。

方程是关系中等号左右两边相等的表达式。

3.4 约束条件与目标函数约束条件是数学模型中描述问题限制条件的不等式或等式。

目标函数是数学模型中描述问题目标的数学表达式。

4. 常见的数学模型本部分介绍了一些常见的数学模型及其应用场景，包括：4.1 线性模型线性模型是最简单的数学模型之一，它的关系和约束条件可以表示为线性方程或线性不等式。

线性模型广泛应用于经济学、管理学、物理学、工程学等领域。

4.2 非线性模型非线性模型是一类不满足线性关系的数学模型。

它的关系和约束条件可以表示为非线性方程或非线性不等式。

非线性模型常用于生物学、化学、地球物理学等领域的研究。

4.3 动态模型动态模型是描述系统随时间变化的数学模型。

它可以采用微分方程、差分方程或积分方程等形式进行建模。

《数学模型》课程教学大纲一、《数学模型》课程说明（一）课程编号：07251105（二）英文名称：Mathmatic Modeling（三）开课对象：数学与应用数学专业（四）课程的性质：数学建模是为数学与应用数学专业开设的一门学科基础课，其先修课程有数学分析、高等代数、概率论与数理统计、数学实验等。

它是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。

（五）教学目的：数学建模是继本科生学习数学分析、高等代数、概率论与数理统计之后进一步提高运用数学知识解决实际问题，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。

通过具体实例引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型。

学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态．通过数学模型有关的概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导计算和简化分析能力、熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。

（六）教学要求和方法1.教学要求本课程主要介绍在数学应用中已经比较完善的数学模型，包括初等模型、简单优化模型、线性规划模型、离散模型、离散模型、微分方程模型、差分方程、概率统计模型等内容。

要求学生了解数学建摸的基本概念及基本方法，学会将学过的数学方法和知识同周围的现实世界联系起来，甚至和真正的实际问题联系起来。

不仅应使学生知道数学有用、怎么用，更要使学生体会到在真正的应用中还需要继续学习。

2.教学方法本课程将课堂讲授与上机实习结合起来，以课堂讲授为主。

课堂讲授旨在教学生如何建立模型，讲授中穿插各类数模实例，与现实中的各类实际问题相结合，启发学生自主思考和研究问题，找寻解决问题的数学模型和实际方法。

除此外，还会讲解数学建模论文的书写方法，以论文的形式完成建模和研究工作。

上机旨在教学生如何求解模型，以学生自主学习为主，结合课堂学习内容完成课堂布置的作业，利用数学软件求解模型结果。

数学规划法数学规划法就是依据调查提供的基础资料，建立数学模型，反映土地利用活动与其他经济因素之间的相互关系，借助计算机技术求解，获得多个可供选择的解式，揭示土地利用活动对各项政策措施的反应，从而得到数个供选方案。

在土地利用系统中许多因素的发展既受客观因素的制约，又受决策者主观因素的影响，确定科学的土地利用结构，就是具体确定土地利用结构系统中最优的主观控制变量，使总体目标优化。

常用的数学规划法就是线性规划。

线性规划是数学规划中的基本方法，它的出现和应用早在20世纪30年代之前，而到1947年，丹茨基(George B. Dantzig ) 提出求解这类问题的有效算法一—单纯形法之后，它在理论上才得到了完善，应用上得到了迅速的发展和推广。

尤其是随着电了计算机的应用和发展，使它的运用领域更为厂泛，成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题都可以求解。

无论从理论的成熟性看，还是从应用的广泛性看，线性规划都已成为运筹学的一个重要分支。

应用线性规划法进行土地利用结构优化的主要优点是用完全定量的纯数学的方法进行优化，且有明确的目标函数来衡量优化模型，因而从理论上讲，优化方案相对原方案是最优的。

1．单目标线性规划线性规划就是求一组非负变量，在满足一组线性等式或线性不等式的前提下，使一个线性函数取得最大值或最小值。

线性规划问题数学模型的一般形式是：求一组变量X1，X2，…X n的值，使它们满足a11X1 + a12X2 + ……+ a1n X n≤b1(或≧b1 ,或=b1)a21X1 + a22X2 + ……+ a2n X n≤b2(或≧b2 ,或=b2)约束条件………………………………a m1X1 + a m2X2 + ……+ a mn X n≤b m(或≧b m,或=b m)X1≧0, X2≧0，……，Xn≧0并且使目标函数S=C1X1 + C2X2 + ……+ C n X n的值最小（或最大）。

为了讨论与计算上的方便，我们把线性规划问题化为标准形式，为此：（1）如果第k个式子为：a k1X1 + a k2X2 + ……+ a kn X n≤b k则加入变量X n+ k≧0,改为：a k1X1 + a k2X2 + ……+ a kn X n + X n + k =b k如果第e个式子为：a e1X1 + a e2X2 + ……+ a en X n ≧b e则减去变量X n + e≧0,改为：ae1X1 + ae2X2 + ……a en X n - X n + e= beX n + k、X n + e称为松驰变量，松驰变量在目标函数中的系数为零。