有限p_群的中心自同构群

四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。

与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。

四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。

本文主要研究四元数群的自同构群。

自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。

在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。

了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。

自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。

此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。

因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。

在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。

然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。

最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。

希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。

1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。

文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。

1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。

1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。

2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。

带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群数学年刊2011,32A(6):665—678带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群冰廖军杨艳刘合国.提要给出了带极大或极小条件的Abel群A的自同构群以及自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.同时也给出了群A=Q0Q0…0Q的自同构群是可解或幂零的充要条件,以及群A的自同态环的相伴Lie环是可解或幂零的充要条件.关键词自同构群,自同态环,可解,幂零MR(2000)主题分类20K30,20F16,20F18中图法分类O152.2文献标志码A文章编号1000—8314(2011)06—0665—141引言本文采用文f121的术语和符号,一般情况下计算群的自同构群和研究群的自同构群的性质是很困难的,即使对Abel群也是如此.从结合环R出发,自然地可以构造一个Lie环L,方法如下:定义L的加群为_R的加法群(R,+)以及Lie积为[X,Y]=xy—yx,通常记为_R(～,称为的相伴Lie环.Abel群的自同态环EndA是结合环,则可以构造Lie环End(一.因此我们可以研究Abel群的自同态环的相伴Lie 环的可解,幂零性质对群结构的影响.同样地,也可以通过研究Abel群的白同构群AutA的可解,幂零性质来分析群A的结构.本文将对几类带有有限性条件的Abel 群进行讨论,并给出了它们的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零以及自同构群是可解,幂零的充要条件.在多数情况下它们具有相似性.其实这也并不偶然,正是由于这些Abel群是由它的自同态环或者自同构群所确定.第2节首先给出了有限AbelP一群的自同构群AutA可解的充要条件,接着利用自同构群的稳定自同构的一个结论(见引理2.3),分别给出了带极大和极小条件的Abel群的自同构群是可解,幂零的充要条件.在定理2.6一定理2.10中,分别给出了有限AbelP一群,带极大条件的Abel群和带极小条件的Abelp-群的自同态环的相伴Lie环是可解,幂零的充要条件.当P≠3时,有限Abelp-群的自同构群AutA可解当且仅当群A的自同态环的相伴Lie环End(一)可解.对于带极大,极小条件的Abel群的自同构群AutA的可解性和群的自同态环的相伴Lie环End(一)的可解性,定理2.2一定理2.3和定理2.8一定理2.9分别相对应,在它们的幂零性的论述中,定理2.4和定理2.10相对应.设A=Q0Q.0…④Q,其中Q={丌pmI?Tti,m∈Z},这里7rk为某pi∈k 些素数的集合.第3节对群A讨论了类似的问题:定理3.1和定理3.2分别给出了A的本文2011年2月25日收到,2011年6月18日收到修改稿.北京大学数学科学学院,北京100871.E—mail:*************.ca0湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:******************0通讯作者.湖北大学数学系,武汉430062.E—mail:**************.cn国家自然科学基金(No.10971054)资助的项目.数学年刊32卷A辑自同构群AutA是可解,幂零的充要条件,定理3.4给出了群A的自同态环的相伴Lie环EndA(一)是可解,幂零的充要条件.此时AutA是可解(幂零)的当且仅当EndA㈠是可解(幂零)的.定理3.3表明,A的自同构群AutA可解和B1是一致的.除去P=2的情况,比较定理2.4,定理2.10,定理3.2和定理3.4可以知道,对于我们所讨论的Abel群A,的自同构群AutA和自同态环的相伴Lie环EndA(一)是幂零的当且仅当它们是交换的.而且此时它们都具有相对简单的结构:AutA和EndA【一)是幂零(交换)的,如果A是满足极大条件的Abel群,当且仅当A是循环的;如果是满足极小条件的Abel群,当且仅当A是循环的或者是拟循环群的直和;如果A=Q0Q0…0Q当且仅当每一个Q是全不变的.2带极大或极小条件的Abel群设有限Abelp-群有分解A=(zpn)h0(n.)0…0(nr),其中r,ft是正整数,0<nl<n2<…<n.记群A的自同态环EndA=,群A的自同构群为AutA.下列的事实,见文【3-6】.(a)群A的自同态环=EndA可以表示成r×r矩阵环(岛),其中岛=Hom((nt)”,(n));(b)环有Jaeobson根=(),其中=pCi~;当i≠J时,J=(C)AutA的极大正规子群是△=1+.引理2.1【】除了n=2,IFI=2,3外,GL(F)是不可解的.以下总约定P为素数,z为整数环,Zp为进整数环,n=Z/(pZ)为模P剩余类环或P阶循环群.引理2.2(i)群GL2(Z)以及GL2(Zp)不可解;(ii)当素数P>2时,上的上三角可逆矩阵群()不是幂零的;(iii)当素数P>3时,Aut(m0n)不是幂零的.证记[,Y]=[z,Y,Y,…,],其中Y出现n次.环的满同态:Z一诱导群的满同态GL2(Z)一GL2(),同态像GL2()在P>3时是不可解的,因而GL~(Z)不可解.类似地,GL2(Zp)不可解.GL2(Z2)&,是可解的,而中一5-是平凡的,因此不是幂零的.考虑上的上三角可逆矩阵群(zp),由于[(G0o)]=(.1),当P>2时,取a:2,则[(((.1)组因此()不是幂零的.不妨设m≠佗(否则GL2(n)不可解),Aut(m0n)在Q1(m0n)上的限制同构于(),因此Aut(m0n)不是幂零的.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群667定理2.1设是有限Abelp-群,且A=(n)”0(n).0…0(n),其中r是正整数,n1<n2<…<礼,ft都是正整数.则(1)当P>3时,AutA可解当且仅当f1:f2=…=0=1;(2)当P=2或3时,Aut可解当且仅当li≤2(1≤i≤r)证(1)当P>3,ll=12=…=f=1时,由文【8]中推论2.9知AutA△(一1),这里△=(AutA)是AutA的极大正规子群,因此是幂零群,则是可解群,(zp一1)是Abel群,即AutA是可解子群△=Op(AutA)被Abel群的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个li>1,则GL2(zpn.)≤AutA,但是GL2(nt)的商群GL2()是不可解的,矛盾.所以?1=f2=…=0=1.(2)当P=2或3时,ct≤2(1≤i≤r),由文[8】中定理1.1和命题2.2知rAutA△×lJGLt(),t=1这里△=(AutA),它是幂零的因而是可解的.由引理 2.1,当2t≤2时,GLl(zp)是可解群,则兀GLt()是可解的.则AutA是可解子群△=Op(AutA)被可解群0=lr兀GLf,()的扩张,因而是可解的.反之,假设存在某个fi>2,则GL3(nt)≤AutA,但是GL3(nt)的商群GL3()是不可解的,矛盾.所以li≤2.事实上,对于有界Abelp-群也有同样的结论,定理2.1的证明也同样适用.另一方面,有限Abel群可以分解为有限Abelp-群的直和,每个分支都是全不变的,则是特征子群,所以有限Abel群的自同构群可以分解为有限Abelp-群自同构群的直积.因此对有限Abel群总可以约化到定理2.1的情形,类似地对有界Abel群也一样.为便于叙述,我们首先给出下面的引理,它是本文计算某些自同构群的基础.引理2.3设是Abel群,B是的特征子群,且A=B0,则AutA=Horn(C,B)(AutB×Aut).证的所有稳定B的自同构构成AutA的一个子群,记为Aut(A)B,即Aut()B={∈AutAIB”=B).由于是A的特征子群,所以AutA=Aut(A)B.由文f9]中定理2.1知Aut(A)8=Der,B)Pair(C,B).由于A是Abel群B与C的直和,即A=B0C,因此平凡地作用在Abel 群B上,则导子就是它们之间的同态,即Der(C,B)=Hom(C,),668数学年刊32卷A辑并且由直接验算Pair(C,B)满足的条件,可知Pair(C,B)=AutB×AutC,因此AutA=Hom(C,B)(AutB×Aut),AutB×AutC在Hom(C,B)上的作用为(,(,))一&.定理2.2设是满足极大条件的Abel群,则AutA可解的充要条件是的挠子群的白同构群是可解的且ro(A)≤1.证若AutA可解,由引理2.2,GL2(Z)不可解,知ro(A)≤1,并且A的挠子群的自同构群是AutA的子群,因此是可解的,必要性已证.下证充分性.注意到的挠子群是A的特征子群,设为,如果TO(A):0,则A是有限群,此时归为定理2.1的情形.不妨设TO(A)=1,则A=T0Z,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,T))日(AutTXAutz),其中Hom(Z,T)T,AutZ=Z2.由假设,有AutT可解,因此AutA可解.类似地,对于满足极小条件的Abel群有下面的定理.定理2.3设4是满足极小条件的Abelp-群,则AutA可解的充要条件是A的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1.证设A是满足极小条件的Abelp-群,的极大可除子群为D,既约子群为R,则‘A=D0R且D是A的特征子群.由引理2.3,可得AutA=Hom(R,D)>日(AutD×AutR),而Horn(R,D)是Abel群,因此AutA可解的充要条件是AutD,AutR是可解的,引理2.2说明GL2(Zp)不可解,其中z是P一进整数环.因此的极大可除子群D的秩r(D)≤1.若r(D)=1,即D=z..,熟知当P>2时,AutZp..～10zp.当P=2 时,AutZ2..Z20z2,其中z是进整数环.反之,4的既约子群R的自同构群是可解的且的极大可除子群D的秩r(D)≤1时,AutA可解.注意到满足极小条件的Abel群的自同构群是其P一子群自同构群的直积,因此满足极小条件的Abel群的自同构群是可解的充要条件是其所有子群的自同构群都是可解的.于是,结合定理2.1和定理2.3我们可以得到满足极小条件的Abel 群的自同构群是可解的充要条件.由引理2.2和引理2.3可以得到下面的定理.定理2.4(i)有限Abel2’-群A的白同构群AutA幂零的充要条件是rp(A)≤1,当且仅当是循环群;(ii)满足极大条件的Abel群且其挠子群是2一群的自同构群AutA 幂零的充要条件是有限且(A)≤1或A=Z,即为循环群;(iii)满足极小条件的Abel2/_群的自同构群AutA幂零的充要条件是A有限且rv(A)≤l或A=0...6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群669证(i)不妨设是有限AbelP一群,由引理2.2,当P>2时,T2()不是幂零的,因此不含形如m0的子群,即是循环群,rp(A)≤1.反之显然.(ii)假设Z=n0Z,则AutAn(AutnX),计算[(1,(1,1)),(0,(1,))]l其中Oz是z的二阶自同构,注意到它的作用方式把它写成矩阵形式[((呈)]=(.12)这里(一2)≠0是因为是2一群,因此AutA不是幂零的,所以或者有限或者自由循环,当有限时,由(i)知也是循环的.(iii)此时的证明方法同(为了处理P=2的情形,我们需要下面定理,见文『1O].稳定性定理设群G忠实地作用在群上,G稳定的如下长度为2的正规群列1≤W<记Z:=41(W)是的中f1.,它自然地作成一个一模,则G≤Der(v/z),其中Der(Z)是到z的所有导子作成的Abel群.定理2.5(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)0(Z2n2).0…0(Z2)L,这里nl<?22<…<几,l是正整数,则AutA幂零的充要条件是l=1.(ii)设是自由Abel群与Abel2-群的直和,则A的自同构群AutA幂零当且仅当A=2r2n0Z2nz0?-?0Z2n0Z,这里礼1<礼2<…<72r.(iii)满足极小条件的Abel2-群A的自同构群AutA幂零当且仅当A=Z2n①Z2nz0…0n0..,这里札1<佗2<-??<竹r.证(i)设是有限Abel2-群,且A=(Z2n)h0(Z2n.)120?-?0(Z2n),这里几1<?22<…<n,ll是正整数.当所有的i,1=1时,群4的自同构群AutA是一个2一群,因此是幂零的.反之假设存在某个ft>1,则GL2(n)≤AutA 且它的一个商群是GL(),由引理2.2是非幂零的,矛盾.(ii)设是自由Abel群与Abel2一群的直和,且自由子群是自由循环群z若Abel2一子群B=Z2n0Z2n①…0Z2(其中?21<礼2<…<礼),它是特征子群,由引理2.3,可得AutA=Hom(Z,B)×(AutB×Autz),其中Horn(Z,B)B,AutB是一个2一群,AutZZ2,则AutA是一个2一群,因此是幂零的.670数学年刊32卷A辑当A=Z2n0Z2n.0…0n0z时,证明其自同构群是幂零的另一个方法是:设C=2”A={2”aIa∈),其中n>n,则C2Z,它是的特征子群,A/Cz2n10Z2n20…0Z2n0zn.考虑G=AutA在0≤C<A上的自然作用.记ca(c)={∈GIc.=c,c∈), Cc(A/C):{∈Gl(a+)=a+C,a+C∈A/C},贝0c/ca(c)≤AutC,C/Ca(A/C)≤Aut(A/C),且c/ca(c)rhCa(A/C)≤c/cc(c)XG/Ca(A/C),又cc(c)nCc(A/C)稳定,0<C<A,故根据稳定性定理知cc(c)nCG(A/C)≤Der(A/C,),A/C是有限的,而C是自由循环群,因此Der(A/C,C):Hom(A/C,C)=0.AutA/C是一个2一群,AutC,则G≤AutC×Aut(A/C)是幂零群.反之若AutA是幂零群,则AutA的子群AutB是幂零的,当且仅当B=Z2n0Z2”0…0…由于GL2(Z)不是幂零的,因此自由子群是自由循环群z,因此A=z2n0Z2n20…0n0Z,其中nl<n2<…<nr.(iii)由(ii)以及引理2.2知条件是必要的,下证充分性.设A=Z2n0Z2n20…0n0..,这里仡1<n2<…<nr,设B:Q2n(A)={0∈Al2ha=0),其中n>n,则Bz2n10z2n20…0n0n,它是A的特征子群.考虑G=AutA在0≤B<A上的自然作用.记Ca(B)=fQ∈G1b.=b,b∈B),Cc(A/B)={∈Gl(a+B)”=a+B,a+B∈A/B},则C/Ca(B)≤AutB,C/CG(A/B)≤Aut(A/B),且C/CG(B)nCc(A/B)≤C/Cc(B)×C/Cc(A/B).又Cc(B)nCc(A/B)稳定,0<B<A,故根据稳定性定理知Cc(B)nCc(A/B)≤Der(A/B,B),A/BZ2o.是可除的,而B有限,因此Der(A/B,B)=Hom(A/B,B)=0.AutA/B(o.)=Z20Z2是Abel群,由(i)知AutB是一个2一群,则C≤AutBXAut(A/B)是幂零群.下面讨论带极大,极小条件的Abel群的自同态环构成的Lie环是可解,幂零的条件,为此需要下面的引理.引理2.4(m)(一)可解,坞()(一)不可解.证直接计算可得[(),()]=(c—brz+-cyd一.6cr一一d).6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群671设L=M2(Z2)(一,则由上面的计算知则则)lm)为了计算,在上式中令d=一a,r=一x,有[),G)]=(2.b…z-cyn名一),{(m).令b=2b1,c:2c1,Y=2yl,=2zl,有),()]一blz…l-cly哪yza-bmlx/,)c∈m)归纳地,知M2(Z2m)(一)可解.记K=M3(Z2)(_.,则K=(e),其中表示(J)位置为1,其它位置全为0的矩由于当i≠J时,,eij1=eij,[eij,eft]=eli—ejj,有K=(eij,eii—eli≠歹).又因n>2,存在k满足k≠i,k≠J,i≠J,则eij=【eik,ekj],eii一jJ=【eij,e所以K=K≠0,因此不可解,即M3(Z2)(一)不可解引理2.5当P>2时,()(一)不可解;相伴Lie环(z)(一)和(zp)(一)不可解.证取L=(el2,e21>,由于(e12,e21】=ell—e22,【611一e22,el2】=2e12,【ell—e22,e21】=一2e21, 则el1一e22,e12,e21∈L,归纳地,对任意的正整数此()(一)不可解.m,有el1一e22,e12,e21∈(,则()≠0,L不可解,因()(一)是(z)(一)和Mn(Zp)(一)在自然同态z一以及zp一下诱导的Lie环同态像,因此(z)(一)和(zp)(一)不可解.定理2.6设P是奇素数,记A=(n)ll④(n.)④…0(),这里扎1<n2<…<n,如是正整数,则End(一)可解的充要条件是如=1672数学年刊32卷A辑证如果End(一)可解,由引理2.5知1=1,否则存在一个子环()(一)不可解,矛盾.另一方面,如果li=1,则A=n10zpn20 0EndA{(aij)laijEHorn(,’))且i<J,Pln巧.记L=End(_.,Cij=∑(aikakj—bikakj),如果cij∈L,则PlCij,i≤J.归纳地, Cij∈(,对任意的i,J,有PI.,且当i<J时,P.l,继续重复上述过程,直到Cij=0,因此可解.也可以用另外一种方法来证明可解:EndA在【21(A)上的限制就是n一诱导的环同态,即对每一位置模P,同态像是上的一个三角矩阵,同态的核是每个位置元素都能被P整除的数,即0Mod(p).由环的同态得到Lie环的一个同态,结合可解Lie环在扩张下封闭的性质得到Lie环L=End(一)是可解的.定理2.7设A=(Z2n)/10(Z2)120…0(Z2),这里n1<Tt2<…<n,f是正整数,则End(一)可解的充要条件是ft≤2证设fi≤2,自然同态z2n.一z2诱导的环同态,End(一)的同态像是一个下对角矩阵,并且对角线上是1阶或2阶可解块,因此同态像可解,同时核满足2Ia同上述定理相同的证明方式,知其可解,得到End(一)可解.反之,由引理2.4,如果End(一)可解,则li≤2.定理2.8设A是满足极大条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解且_r0(A)≤1.证设A=0A0Z,0A是A的全不变子群,).(~EndAEndZEndA【H.m(z)J(,z/),又(0EndAp)～0EndA和z(一)都是可解的,按分块矩阵计算知EndA(一)是可解的.反之,End是End(一)的子环显然可解,且()(一)不可解,因此ro()≤1.类似的方法可以得到下面极小条件下的定理.定理2.9设是满足极小条件的Abel群,则End(一)可解的充要条件是EndA可解.End可解当且仅当End磷可解且rank(Dp)≤1,其中Rp和Dp分别是A的既约子群和极大可除子群.的引理2.6(z)(一)不是幂零的,若=n0m,n<m,则EndA(一)不是幂零证注意到对任意的正整数n,[el2,?tc22]=el2≠0由引理2.5和引理2.6,立即可得下面的定理6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群673定理2.10(i)有限Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是rp(A)≤1;(ii)满足极大条件的Abel群A的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且口(A)≤1或A=z;(iii)满足极小条件的Abel群的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是有限且rp(A)≤1或A=0..;P(iv)满足极大或极小条件的Abel群4的自同态环的相伴Lie环幂零的充要条件是的自同态环的相伴Lie环是Abel的.3完全分解的无挠Abel群下面考虑这样一类Abel群,首先介绍符号和一些简单的结论:记丌为某些素数的集合,设Q={兀.mIm,m∈Z}.对群Q有下列简单事Pl∈7r实:(a)Q的元具有无限丌一高,有限丌一高,即任意的P∈7r,P高为0(3,否则为有限.(b)Q的任意一个自同态可以由1的像完全决定.事实上,m=(m?1)妒=m?1;由(pp)=1,知p?(p)=1,因此(p)妒=p1妒,所以(兀m)妒=兀m?1;pp(c)如果71”17I”2,则Horn(Q,Q.)=0,否贝0Horn(Q,Q.)Q.事实上,如果丌17r2,存在P∈丌1一丌2,Q中的任意元具有无限71”1一高,特别地,1具有无限高,若∈Hom(QQ.),则1∈Q.也具有无限p一高,则1=0,因此Horn(Q丌l1Q)=0.如果71”171-2,任意的∈Hom(Q丌¨Q.),由1的像1完全决定,而1∈Q.,因此Horn(Q,Q.)Q..特别地,EndQ=Horn(Q,Q)Q.(d)AutQQ={l=士11p.,Pi∈7r,仃∈z)z2①ZI.特别地,AutQpQ=r,oZ2④Z.这是因为EndQ=Horn(Q,Q)Q,因此AutQQ.若兀m∈Q,则存在p:.兀他∈Q,使1=兀m兀n=兀m佗,贝0mn=1,m=土1.pppp设A:Q0Q.0…0Q此时称是”完全分解”的,首先我们讨论秩为2即=Q0Q.的情形.A=Q0Q的自同态环和自同构群具有下面的矩阵表达形式:EndA竺{I兰三}I∈Itom(p,Q),{,J=1,2},AutA』【【2()可逆,∈H.m(Q,Q)下面按集合71”1和71”2的包含关系分别讨论群A=Q0Q.的白同构群以及自同构群的可解幂零性.(i)当71”171”2,71”271”1时,记71”1=71”2=7r.End[g>(,AutGL2(674数学年刊32卷A辑由于GL2(Z)≤GL2(Q),而GL2(Z)是不可解群,因此GL2(Q)也不可解.GL2(Q)的中5-为CGL2(Q)=)aEQA),铡).易知O.charA,而A=Q0O由引理2.3,知AutAHom(O,O)>日(AutOXAutO)O.(Q.×Q)是可解的,但不是幂零的,事实上,Aut(!)f.∈AutQ.,c∈AutQ~,bEHom(Q,Q:>.若(!)∈~AutA,则()=)=I1c+)=(舌,6=..取是嵌入同态,则.限制在Q等于c,记为..所以()a01),即(~AutA=()I.).若1)∈(~2AutA,则对任意的)∈AutA,有[(6)j(舌tA又(=(.一)一[(),(吾)]=(n0一一ac一-16.)(0一一X--一1)(a..b)(苦Y) =(.1).由于(01)∈<Aut,其中=一a-1bc+X--1yz+a-ix一(6一y)zc=0,对任意的∈Q.,∈Q,Y∈Q成立.若Y=0,即一a-1bc+a-ix_1bzc=0,则b=0,且2C--lyz—a-1-1yzc=0,则a】=c.因此()=()∈(AutA,AutA=(AutA≤AutA,AutA不是幂零群.6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群675当I71-2J<..时,AutA=Q.(AutQ×AutQ.)是有限生成的可解群,但不是多循环的,由于Q.不是有限生成的.而超可解是多循环的,因此它不是超可解的.(iii)当71”171”2,7r27r1时,E..%OZI#ll~.,此时AutA是Abel群.因此若AutA是超可解或多循环的,则AutA是幂零的且是Abel的.当且仅当7rl丌2,7r27r1.一般地,有下面定理.定理3.1设A=Q0Q.0…0Q其中Q:{nm}mi,m∈Z},这里.1rk为某些素数的集合,则AutA可解当且仅当对任意的i≠J,71”i≠7rj.证当7’=2时,由前面的叙述(i)一(iii)知AutA可解当且仅当71”1≠71”2.先证充分性.假设对某个i≠J,7I”i=,当k≠i,时,设A1={∈AutAl使在Q上的限制为1,即lQ:1Q),则1是AutA的子群,且A1GL2(Q.),而GL2(Q)是不可解的,从而1是不可解的,于是AutA不可解,与已知矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,亿≠,那么存在一个元,不妨记为丌,满足对任意的i≠r,有丌,否则,必有某两个集合相等,与已知矛盾.这样的丌称为集合{『1≤i≤r)的极大元.显然QcharA,则.r一1,,r一1,AutAHorn(0QQ)>日(Aut0Q×AutQ~r)jt=1i=1,r一1,r一1其中Horn(0QQ)0Horn(QQ)与AutQ都是Abel的,对r进行归,i=1=1 r一1纳,知Aut0Q是可解的,因此AutA是可解的.=1定理3.2设A;Q0Q.0…0Q其中Q:{npmIIYt,,m∈Z},这,pt∈丌’里丌为某些素数的集合,则AutA幂零当且仅当对任意的i≠J,死.证当r=2时,由前面的叙述知道AutA幂零当且仅当丌1/1”2,丌2丌1.先证充分性.如果对某个i≠J,7ri7r{,当k≠i,J时,设A1={∈AutAI使在Q上的限制为1,即lQ=1Q),则A1是AutA的子群,当死:时,A1GL~(Q);当时,AutAQ)日(AutQ×AutQ),而aL2(Q)和Q丌j(AutQ×AutQ丌j)都不是幂零群,因此A1不是幂零的,与AutA幂零矛盾.再证必要性.如果对任意的i≠J,7ri,则Horn(QQ)=0.676?数学年刊32卷A辑因此EndAA,AutA(Q)×(Q)×-??×(Q)日≥(z2.z’z’),=1AutA是Abel的,因而是幂零的.推论3.1设A=Q0Q0…0Q其中Q:{兀pmI?gti,m∈Z},这Pl∈.a-k. 里丌为某些素数的集合.则下列条件等价:fa)AutA是多循环的;(b)AutA是超可解的;fC]CAutA是幂零的;(d)AutA是Abel的.注意到群G称为是B的,如果G有一个正规列G=G1>G2>>Gn=1,即G司G,且Gi/Gi+1≤Q或Gi/Gi+l≤Q/z.定理3.3设A=Q0Q0…0Q其中Q={兀pmImt,仇∈z},这Pi∈7rk0里7r为某些素数的集合,则AutA是B1的当且仅当AutA是可解的. 证充分性显然,因为由定义B是可解的.下证必要性.当r=2时,AutAQ>日(AutQ×AutQ.)或AutA=r-oAutQl×AutQ2.若AutAQ:(AutQ×AutQ.),贝40<Q2<QZ2<Q.(Z20Z2)<Q.(Z20Z20Z)<Q>日(Z20Z20Z)<<Q.(Z20Z20Z/】+l.I)=AutA是AutA=Q.(AutQ×AutQ.)的一个正规列,其商因子分别为QZ2,Z2,Z,-? z,而QZ是Q的子群,是O,/Z的子群,因此AutA是B1的.如果AutA=e-,4AutQ1×AutQ2Zg.0Zl10Z20Zl,则AutA是Abel群,且可以分解为和z的直和,因此也是B1的.所以当r=2时,AutA是可解的则是B1的.当r≥3时,由定理3.1,存在一个极大元丌,使QcharA,则AutAHorn((~QQ)×(Al1t0QAutQ).记s=ml7r,1≤i<r)l,有r一1r一1Horn(Q,Q)Horn(Q,Q)Q,6期廖军杨艳刘合国带有限性条件Abel群的自同态环和自同构群677可以得到,r一1,AutAQ(Aut≥Q×AutQ).因Q,AutQ是B1的,由归纳假设Aut0Q是B1的,易知AutA是B1的. 定理3.4设A=Q0Q.0…0Q其中Q={兀pmlmi,m∈Z},这里丌k为某些素数的集合,则(a)EndA(一)可解的充要条件是7i”i≠对任意的i≠J;(b)EndA(一)幂零的充要条件是71”i对任意的i≠J,此时它是Abel的,其中End(一)是由自同态环EndA的加法群以及Lie积Y]=xy—yx构成的相伴Lie环.证先讨论r:2的情形:(i)当71”1=71”2时,EndA=(Q),由于(z)(一)≤(Q)(一)是不可解的,所以M2(Q)(一)不可解;(ii)当丌丌.,7r2丌时,End(Q~l.Q.)(%g),此时它构造的Lie环是可解的不是幂零的,因为[e12,n~22】:e12;(iii)当7r1丌z,7r271”1时,End(Q.Q.)(%.),此时的Lie环是幂零的,并且是交换的.一般地,如果71”i≠对任意的i≠J,则存在一个极大元丌,即7r,设A=B0Q,那么Q是全不变的,Ena(EBH.m),由于EndB(一)是可解的,因此EndA(一)可解.反之,显然有≠霄j对任意的i≠J.这就证明了第一部分.71”i对任意的i≠J,此时EndA0EndQAi是Abel的,因此是幂零的.反之由r=2情形易得对任意的i≠J,7ri参考文献[1]RobinsonDJS.Acourseinthetheoryofgroups[M].2nded.NewY ork:Spri nger—V erlag,1995.【2]KhukhroEI.p-AutomorphismsoffiniteP—groups[M】.Cambridge:Ca mbridgeUniver—sityPress,1998.[31Avifi6MA,SchultzP.Theuppercentralseriesofap-groupactingonaboun dedAbelianP—Group[EB/OL].arXiv:math.GR/0606605.『41Avifi6MA,SchultzP.TheendomorphismringofaboundedAbelianp-gro up[M]//678数学年刊32卷A辑AbelianGroups,RingsandModules,ContemporaryMathematics.V ol273,P rovidence,RI:AmerMathSoc,2001:75—84.[5】FuchsL.InfiniteAbeliangroupsV olI[M].NewY ork:AcademicPress,1970.[6]HausenJ,SchultzP.Themaximalnormalp-subgroupoftheautomorphism groupofanAbelianp-group[J】_ProcAmerMathSoc,1998,216:2525—2533. [7]AlperinJL,BellRB.Groupsandrepresentations[M】.NewY ork:Springe r—V erlag,1995.[8]Avifi6MA.SplittingtheautomorphismgroupofanAbelianp-group 【EB/OL].arXiv:math.GR/0603747.【9]樊恽,黄平安.分裂扩张的稳定自同构群[J].数学年刊,2001,22A(6):791—796.[10】SegalD.Polycyclicgroups[M】.Cambridge:CambridgeUniversityPress,19 83.EndomorphismRingsandAutomorphismGroupsof AbelianGroupswithFinitenessConditionsLIAOJunYANGY an.LIUHeguo. SchoolofMathematicalSciences,PekingUniversity,Beijing100871,China. E—mail:*************.an2DepartmentofMathematics,HubeiUniversity,Wuhan430062,China. E—mail:unicornyy~163.corn3Correspondingauthor.DepartmentofMathematics,HubeiUniversity,Wlu han430062,China.E—mail:ghliu~.ca AbstractLetAbeanAbeliangroupwithmaximumorminimumcondition.Th eauthors givenecessaryandsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Li eringasso—ciatedwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent).Moreove r,necessary andsufficientconditionsfortheautomorphismgroup(resp.Lieringassociate dwiththeendomorphismring)beingsolvable(resp.nilpotent)forA=Q7r10Q20…0Q 7rarealsogiven.KeywordsAutomorphismgroup,Endomorphismring,Solvable,Nilpotent 2000MRSubjectClassification20K30,20F16,20F18。

自同构的通俗解读
自同构，通俗来说，就是一个数学对象对其本身的一种同构，即把对象映射到自身的同时保持其全部结构的一种方式。

更具体地说，对于一个集合A，如果在A中定义一个闭合运算○，并且存在一个A 与A之间的映射φ，如果φ是一双射，且对于A内的任意元素a和b，都有φ（a○b）=φ（a）○φ（b），那么这个映射φ就叫做对于○来说的A的自同构。

在更广泛的数学领域中，自同构不仅限于集合，还可以应用于群、环、向量空间等多种数学结构。

这些结构的自同构都是保持结构的一种排列方式。

另外，对象的所有自同构体可以构成一个集合，这个集合被称为自同构群，它是对称群的一种特例。

自同构群在数学中有许多重要的应用，例如在研究几何形状、晶体结构以及物理系统的对称性时，都会用到自同构群的概念。

总的来说，自同构是一种非常重要的数学概念，它揭示了数学结构内部的一种深刻的对称性，有助于我们更深入地理解和研究数学对象的本质。

群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。

代数表示理论的简要介绍与近期发展21511111 xxx摘要：代数表示理论是代数学的一个新的重要分支. 在近二十五年的时间里, 这一理论有了很大的发展。

代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究一个A r t i n 代数上的模范畴。

由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。

本文主要从 Hall 代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展。

关键词：Hall 代数;遗传代数; Kac-Moody 李代数; 拟遗传代数;介绍早在二十世纪初,W d e d erb u rn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构,这种代数同构于有限个除环上的全矩阵代数的直和,其上的模都是半单模.那么,非半单代数的结构又如何呢? 经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分,将代数看作它的根借助半单部分的扩张.并由幂零根发展到谐零根、J。

o b so n 根等各种不同性质的根.一般来说,半单部分能够给出较好的刻画,但根的结构非常复杂。

为此专门发展起了“根论”,进行这方面的研究。

1 9 4 5年,美国数学家B a rue r 和T h a r n 提出了关于有限维代数的两个猜测.第一,“有界表示型代数是有限的。

”第二,“对于任意一个无限表示型代数,存在无限多个自然数d,使得维数等于d 的模有无限多个。

”这两个猜测成为代数表示论的起源。

所谓一个代数是有限表示型的,是指它仅有有限多个(在同构意义下) 不可分解模,反之,称为无限型的.众所周知,一个代数的模与代数的表示,即代数到一个全矩阵代数的同态像是一回事.如果我们把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片,则有限表示型代数是用有限张照片就可以揭示清楚的一种代数,当然比较简单.而无限型代数则需用无限多张照片才能表达。

代数表示论就是研究一个给定的A r t i n 代数是有限型还是无限型.若是有限型,确定其全体不可分解模;若是无限型,给出模的分布情况.我们大家所熟悉的J o r d a n 标准型就可以看作是单变元多项式环的商环的表示。

中心自同构几乎是内自同构的有限p-群张博儒;郭秀云【摘要】Let G be a finite p-group and let K(G) be a subgroup of G consisting of all elements in G fixed by every central automorphism in G. A necessary and sufficient condition is givenon|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|for a finite p-group G of class 2. The condition for|Autc(G):Inn(G)|=p|Z(G):K(G)|is also studied.%有限p-群G的中心核K(G)是G的每一中心自同构都不变的全体元素所构成的子群.如果G是幂零类为2的p-群,首先给出了|Autc(G):Inn(G)|与|Z(G):K(G)|相等的充分必要条件,其次研究了|Autc(G):Inn(G)|与|Z(G):K(G)|相差一个p的倍数的条件.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(023)005【总页数】8页(P714-721)【关键词】中心自同构;中心核;内自同构【作者】张博儒;郭秀云【作者单位】上海大学理学院, 上海200444;上海大学理学院, 上海200444【正文语种】中文【中图分类】O152.1本工作中所讨论的群都是有限群,且p恒表示素数.群G的一个自同构α称为G的一个中心自同构.如果α与G的每一内自同构可交换或等价,则对于G的任意元素x都有x−1xα∈Z(G).显然,群G的所有中心自同构构成G的自同构群Aut(G)的一个正规子群,记为Autc(G).因而一个自然的问题是:什么样的群能满足Autc(G)=Aut(G)?实际上,这个问题已经被许多学者关注[1-4].进一步,Curran等[5]研究了满足条件Autc(G)=Inn(G)的p-群,并对于p-群G给出了Autc(G)=Inn(G)的充分必要条件.这里,p-群G的幂零类为2当且仅当Inn(G)≤Autc(G).本工作将在Inn(G)≤Autc(G)的前提下,研究指数|Autc(G):Inn(G)|和指数|Z(G):K(G)|的关系.实际上,对于p-群G,显然Inn(G)≤Autc(G)当且仅当K(G)≤Z(G),这里称为群G的中心核.注意到G′≤K(G),证明如下.设G是幂零类为2的非交换p-群.|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|当且仅当Z(G)是循环群.进一步地，考虑|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p的情形.如果一个非交换群G没有非平凡的交换的直因子,则称G为纯非交换群.显然,一个非交换p-群G的中心Z(G)循环,那么G一定是一个纯非交换p-群.用Hom(G,H)表示群G到交换群H的全体同态映射所成的群,用Cm表示阶为m的循环群,r(G)为群G的秩.如果G 是一个p-群,则Ωi= 〈x ∈ G|xpi=1〉,引理1[5] 设G是幂零类为2的p-群.(1)G′≤Z(G);(2)exp(G′)=exp(G/Z(G));(3)如果exp(G′)=pc，则存在交换群C 使得G/Z(G)～=Cpc×Cpc×C.引理2 设G为纯非交换p-群.|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|.证明根据文献[6]可知,对于纯非交换p-群G,|Autc(G)|=|Hom(G,Z(G))|,即对于任意的σ∈Autc(G)和任意的g∈G,都存在fσ(g)=g−1σ(g)使得fσ∈Hom(G,Z(G))与σHom(G/K(G),Z(G)),故|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|.引理3[5]设Cn,Cm和Cd分别是阶为n,m和d的循环群.如果d=gcd(m,n),则引理4[7]设A,B和C为交换群.(1)Hom(A×B,C)⋍Hom(A,C)×Hom(B,C);(2)Hom(A,B×C)⋍Hom(A,B)×Hom(A,C).引理5[5] 设A和B为交换p-群且C,D分别为A和B的子群(商群),则Hom(C,D)同构于Hom(A,B)的一个子群. 更进一步地,令 pm = min{|A|/|C|,|B|/|D|},则引理6[5] 设G=A×N,其中A为交换p-群且A/=1,N 为纯非交换p-群.如果Inn(G)≤ Autc(G),则 |Autc(G):Inn(G)|＞ p2.引理7 设G是幂零类为2的纯非交换p-群且G/Z(G),G′,K(G),Z(G)的秩分别为t,d,s,z,则证明引理7的(1),(2)可从文献[5]得到.由于exp(G/Z(G))=exp(G′)≤exp(K(G)),又由r(K(G))=s,r(G/Z(G))=t,得|Hom(G/Z(G),K(G))|≥ |G/Z(G)|pr(s−1).(4)可由引理5得.(5),(6)可由(2),(3),(4)得.引理8[5]设A,B分别为交换p-群和循环p-群.如果exp(A)≤exp(B),则Hom(A,B)⋍A.引理 9[5]设G是幂零类为2的p-群.如果Z(G)循环,则|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):G′|.引理10 设A,B分别是阶为pt和ps的循环群.式中,证明为方便设A=〈a〉,B=〈b〉.如果t＞s,则存在A到B的同态映射进而ker(f)= 〈aps〉,故ker(Hom(A,B))≤ 〈aps〉. 又对于任意σ ∈ Hom(A,B),显然有A/ker(σ)～=σ(A)≤ B,故pt−s=|A|/|B|≤ |A|/|σ(A)|=|ker(σ)|. 又由于循环群 A 有唯一的pt−s 阶子群〈aps〉,故〈aps〉≤ ker(σ). 进而〈aps〉≤ker(Hom(A,B)),故 ker(Hom(A,B))= 〈aps〉. 如果t≤s,则存在A 到B 的同态映射易得ker(f)=1,故ker(Hom(A,B))=1.引理11 如果A,B,C为交换群,则(1)ker(Hom(A×B,C))≥ker(Hom(A,C))×ker(Hom(B,C));(2)ker(Hom(A,B×C))=ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)).证明 (a)设g=(a,b)∈ker(Hom(A,C))×ker(Hom(B,C)).根据引理4中的(1),对于任意α ∈ Hom(A×B,C),都存在α1∈ Hom(A,C),α2∈ Hom(B,C)使得(a,b)α=aα1bα2,故gα =(a,b)α =aα1bα2=1.所以 (1)成立.(b)设a∈ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)).根据引理4中的(2),对于任意α∈Hom(A,B ×C),都存在α1∈ Hom(A,B), α2∈ Hom(A,C),使得aα=(aα1,aα2).因此aα =(aα1,aα2)=(1,1),从而ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C))≤ ker(Hom(A,B ×C)).反之,对任意a∈ker(Hom(A,B×C)),根据引理4中的(2),对任意α1∈Hom(A,B),α2∈Hom(A,C),都存在α ∈ Hom(A,B ×C)使得(aα1,aα2)=aα.因此(aα1,aα2)=aα =(1,1),从而ker(Hom(A,B×C))≤ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)),ker(Hom(A,B×C))=ker(Ho m(A,B))∩ker(Hom(A,C)).因此要证明|G|||Aut(G)|,即可.由于故由情形1,2知,|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥p2.引理14 设G为交换p-群,则G/N同构于G的某一子群.证明根据文献[10]可得.引理15 设G是幂零类为2的纯非交换p-群,K(G)为pt阶循环群且r(Z(G))=z.|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥ pz−1.证明由于cl(G)=2,故Inn(G)≤Autc(G),于是K(G)≤Z(G).可设Z(G)⋍Cpt+e1×Cpe2×···×Cpez.又由于G是纯非交换p-群,则根据引理2与4可知,对于群G,存在使得K(G)≤S(G)≤Z(G)且|Z(G):S(G)|=pe1,则exp(G/S(G))≤exp(G/Z(G))|Z(G/S(G))|≤exp(K(G))pe1=pt+e1.因此根据引理5与8得|Hom(G/K(G),Cpt+e1)|≥|Hom(G/S(G),Cpt+e1)|=|G/S(G)|=|G/Z(G)|pe1=pt+e 1.又由于r(G/K(G))≥r(G/Z(G))≥2,则对于任意2≤i≤z,|Hom(G/K(G),Cpei)|≥pei+1.故|Hom(G/K(G),Z(G))|≥ |G/Z(G)|pe1+e2+···+ez+z−1, 从而|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥ pz−1.定理1 设G是幂零类为2的非交换p-群,则|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|当且仅当Z(G)是循环群.证明充分性.由于Z(G)循环,故G是纯非交换p-群.由于cl(G)=2,故Inn(G)≤Autc(G),进而K(G)≤ Z(G),由引理 1得,exp(G/Z(G))=exp(G′)|Z(G)/K(G)|≤exp(K(G))|Z(G)/K(G)|=exp(Z(G)).于是由引理2与8可知,|Autc(G)|=|Hom(G/K(G):Z(G))|=|G/K(G)|,故|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|.必要性.令|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|.根据引理13可知,G为纯非交换p-群.于是由引理7中的(5)可知,r(K(G))=1,即K(G)为循环群,故根据引理15可知,Z(G)是循环群.推论1 设G是幂零类为2的非交换p-群.若Z(G)循环,则K(G)=G′.证明由引理9和定理1可知,|Z(G):K(G)|=|Z(G):G′|.又G′≤ K(G),故G′=K(G).推论2 设G是非交换p-群.Autc(G)=Inn(G)当且仅当Z(G)=G′且Z(G)循环.证明充分性.由定理1充分性显然.必要性.由于Autc(G)=Inn(G),根据引理6得,G是纯非交换p-群.又由引理7中的(6)知,Z(G)循环.由定理1和推论1可知,Z(G)=G′.定理 2 设G是幂零类为2的非交换p-群,|Z(G):K(G)|=pe,则|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p当且仅当G满足下列条件之一.(1)K(G)=G′是阶为pc的循环群,Z(G)⋍Cpc+e−1×Cp,G/K(G)⋍Cpc+e×Cpc;(2)K(G)=G′是阶为p的循环群,Z(G)⋍Cp1+e1×Cpe2,G/K(G)⋍Cp1+e×Cp(e1+e2=e,e2≥2).证明必要性.由于|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p,故由引理13和引理7中的(5)知,G为纯非交换p-群且K(G)为循环群.不妨令K(G)⋍Cpt.根据引理15和定理1可知,r(Z(G))=2.又K(G)≤Z(G),故可设Z(G)⋍Cpt+e1×Cpe2.于是不妨设|Hom(G/K(G),Cpt+e1)|≥ |G/Z(G)|pe1.于是|Autc(G):In n(G)|/|Z(G):K(G)|≥ p2,与Cpc+e×Cpc.如果t＞ c,则|Hom(Cpc+e,Cpt+e1)|≥ pc+e1+1,故|Autc(G)|≥pe1+c+1+c+e2+1.从而|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥p2,与题设矛盾,于是c=t=1.又G′≤K(G),故G′=K(G).如果Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p2,与题设矛盾,故G/K(G)=Cpc+e×Cpc.若c+e＜t+e,则|Hom(G/K(G),Z(G))|=|G/Z(G)|pe,与题设矛盾,故c=t.又G′≤K(G),因此K(G)=G′.充分性.首先证G为纯非交换p-群.若否,则不妨设G=A×B,其中A为交换p-群且A/=1,B 为纯非交换 p-群.由于K(G)=G′=B′,故G/K(G)=G/G′=AB′/B′×B/B′.又因为r(B/B′)≥2且r(G/K(G))=2,所以AB′/B′=1.于是A=1,与假设矛盾,故G是纯非交换p-群.再证|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p.如果Z(G)⋍Cpc+e−1×Cp,G/K(G)⋍Cpc+e×Cpc,则根据引理3和4可知,|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|=|Hom(Cpc+e×Cpc,Z(G))|=p2c+e+1.又由于|Z(G):K(G)|=pe,|G/Z(G)|=p2c,则|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p.如果Z(G)⋍Cp1+e1×Cpe2,G/K(G)⋍Cp1+e×Cp(e1+e2=e,e2≥2),则根据引理3和4可知,|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|=|Hom(Cp1+e×Cp,Cp1+e1×Cpe2)|=pe+3.又由于|Z(G):K(G)|=pe,|G/Z(G)|=p2,故|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p.推论3 设G为非交换p-群.如果|Autc(G):Inn(G)|=p2,则群G具体如下.(1)如果|Z(G):K(G)|=p2,则 Z(G)是循环群;(2)如果|Z(G):K(G)|=p,则 Z(G)不循环,K(G)循环且G/K(G),Z(G)的秩为2;(3)如果Z(G)=K(G),则K(G)不循环.证明由引理7、定理1和2易得.【相关文献】[1]CURRAN M J.A non-Abelian automorphism group with all automorphismscentral[J].Bull Austral Math Soc,1982,26:393-397.[2]GLASbY S P.2-groups with every automorphism central[J].J Austral Math Soc SerA,1986,41:233-236.[3]MORIGI M.On the minimal number of generators of f i nite non-Abelian p-groups having an Abelian automorphism group[J].Comm Algebra,1995,23(6):2045-2065.[4]赵立博,郭秀云.特定阶的子群都同构且交换的有限p-群[J].应用数学与计算数学学报,2013,27(4):517-521.[5]CURRAN M J,MC CAUGHAN D J.Central automorphisms that are almost inner[J].Comm Algebra,2001,29(5):2081-2087.[6]ADNEYJ E,YEN T.Automorphisms of a p-group[J].Illinois J Math,1965,9:137-143.[7]SHARMA M,GUMbER D.On central automorphisms of f i nite p-groups[J].Communications in Algebra,2013,41:1117-1122.[8]俞曙霞.有限交换p群的自同构群[J].广西大学学报(自然科学版),1983,25(2):90-95.[9]BIDwELL J N S,CURRAN M J,MC CAUGHAN D J.Automorphisms of direct products of f i nite groups[J].Arch Math,2006,86:481-489.[10]AN L J,DING J F,ZHANG Q H.Finite self dual groups[J].J Algebra,2011,341:35-44.。

2-群中同谱但不同构的群的例子
蔡东平
【期刊名称】《电子制作》
【年(卷),期】2014(0)8
【摘要】本文找到了两个不同构的2n (n≥5)阶群G和H使得这两个群的各阶子群个数，各阶循环子群个数，各阶交换子群个数，各阶正规子群个数均相等。

对徐明曜，曲海鹏在其《有限p群》一书中提出的问题12.1.12在2-群给出了一个否定回答。

%In this paper we give two examples of 2-groups of non-isomorphism but isospetral. That is, there exist two non-isomorphism p-groups which have the same number of subgroups、cyclic subgroups、abelian subgroups and normal subgroups of each order, respectively.
【总页数】1页(P276-276)
【作者】蔡东平
【作者单位】陕西国际商贸学院陕西西安 712046
【正文语种】中文
【中图分类】O152.2
【相关文献】
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3.同谱但不同构的群的例子 [J], 蔡东平
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