【VIP专享】有限交换p群的自同构群

关于有限p群的计数问题的若干研究

关于有限p群的计数问题的若干探究专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。

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有限ρ群的生成元与其子群的生成元的关系

预备知识§２预备知识我们先介绍一些本文要用到的基本概念．５定义２．１．［１，第４３页，定义１．８．６】设Ｇ为有限群．称Ｇ是亚循环的，如果Ｇ有循环正规于群Ⅳ，使商群Ｃ／Ｎ也是循环群．即，亚循环群为循环群被循环群的扩张．定义２．２．［１，第６８页，定义２．３．１］设Ｐ是任一群性质，称Ｐ是商群遗传的，如果由任一群Ｇ是Ｐ群可推出Ｇ的任一商群Ｇ／Ⅳ也是Ｐ群．定义２．３．［１，第６８页，定义２．３．３】设Ｐ为一群性质，群Ｇ不是Ｐ群，但Ｇ的每个真子群皆为Ｐ群，则称Ｇ为一个内Ｐ群．定义２．４．［１＇第８０页，定义２．６．１］设Ｇ是群，Ａ，Ｂ是Ｇ的子群．若Ｇ＝ＡＢ且［Ａ，Ｂ】＝１，则称Ｇ是。

４与Ｂ的中心积，＂ｆＳｔｔＬＡ半Ｂ．显然Ａ≤ｚ（Ｇ）．本文我们总假设ＡｎＢ≠１．定义２．５．［１，第１０７页，定义４．１．１；第１２１页，定义５．１．１】设Ｇ是有限Ｐ群，ｓ是正整数．称Ｇ是Ｐ５交换的，如果对任意的ａ，ｂ∈Ｇ，有（ａｂ）ｐ３＝ａｐ５ｂＰ５．特别地，若ｓ＝１，Ｐ５交换群称为Ｐ交换群．称Ｇ是Ｐ５，－ｖＮ的，如果对任意的ａ，ｂ∈Ｇ，有（ａｂ）ｐ５＝ａｐ。

垆５蓝５…《，其中ｃ１）．…ｃｍ∈（ａ，６）７．特别地，若ｓ＝１，则称Ｇ是正则的．定义２．６．［１，第１４６页，定义５．５．１］设Ｇ是Ｐ群且ｂｌ…．，乩∈Ｇ，称（ｂｌ…．，乩）为Ｇ的一组唯一性基底，如果对任意的夕∈Ｇ，夕均可唯一表成下列形式：ｇ＝６：１６尹…虼“，其中ｏ≤Ｑｊ＜ｏ（ｂｊ），Ｊ＝１…．，ｕ．定义２．７．［１，第１４７页，定义５．５．３】设Ｇ是有限正则Ｐ群，令暇（Ｇ）＝ｕ１（Ｇ）纯（Ｇ），Ｏ＜ｉ＜ｅ．称群列Ｇ＝ｗｏ（Ｇ）＞ｗｏ一１（Ｇ）≥…≥Ｗｏ（Ｇ）＝ｕ１（Ｇ）（Ｗ）为Ｇ的ｗ群列．在Ｗ群列中去掉重复项，再加细成Ｇ到Ｕ１（Ｇ）问的一个主群列Ｇ＝Ｌｏ（Ｇ）＞Ｌｔ（Ｇ）＞…＞Ｌ。

（Ｇ）＝ｕ１（Ｇ）把上述群列（Ｌ）称为Ｇ的一个Ｌ群列（Ｌ）６山西师范大学学位论文定义２．８．［１，第１４１页，定义５．４．１０；第１４２页，定义５．４．１２］设Ｇ是有限正则Ｐ群，ｅｘｐＧ＝ｐ８．对于１≤ｓ≤ｅ，令矿（Ｇ）＝１Ｑ。

交换子群较小的一类有限p群

交换子群较小的一类有限p群
安立坚;成小院
【期刊名称】《数学研究》
【年(卷),期】2011(044)001
【摘要】研究了阶为p(m(m+1)/2)且交换子群的最大阶为p(m)的有限群,得到了
这类特殊的p群的几个性质,给出了满足极大类条件的这类p群的同构分类.

【总页数】4页(P107-110)
【作者】安立坚;成小院
【作者单位】山西师范大学数学与计算机科学学院,山西,临汾,041004;山西师范大
学数学与计算机科学学院,山西,临汾,041004

【正文语种】中文
【中图分类】O152
【相关文献】
1.交换环上线性群中直和因子定驻子群的一类子群 [J], 谭玉明
2.非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群 [J], 史江涛;张翠
3.一类有非交换Sylow p-子群的p4q阶群的分类 [J], 欧阳建新;陈松良
4.非交换的非平凡子群均有唯一非平凡特征子群的有限p群 [J], 曹建基;毛月梅
5.Frattini子群循环的有限p-群中的非交换集和极大Abel子群 [J], 王玉雷; 刘合
国; 吴佐慧

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国开作业近世代数-形考三（第3~4章）11参考（含答案）

题目：【填空题】环R中既是左单位元又是右单位元的元素，叫做R的回答元。

答案：单位
题目：【填空题】无限循环群的自同构群是一个____阶循环群。

答案：2
题目：【填空题】群G的中心C是G的一个特征____群。

答案：子
题目：【填空题】无限循环群的非e子群的指数均回答限。

答案：有
题目：【填空题】设p，q是两个素数且p＜q，则pq阶群G最多有回答个q阶子群。

答案：一
题目：【选择题】）
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】设R是交换环，则R的极大理想必为素理想。

（）
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】）
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】正规子群的交仍是正规子群。

（）选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】）
选项A：对
选项B：错
答案：对。

循环群G的自同构群Aut(G)结构的一点注记

引理３关于模２（＞３，阶数是２，ｋ－）５的并且 ±１ ±５ ±５， … ，５，， … ±
化剩余系。
是２（＞３的一个简ｋ）－
引理４若｛ａ， …ａ（）是模ｒａ， … ｝ａ的一个简化剩余系，ａｍ）＝１，｛ａ，ｃ， … ，ａ）也（，则ａａ … ｔａ｝
（Ｚ）的分解。
１预备知识
引理１设ｍ是大于１的整数，整数ａ是ｍ原根的充分必要条件是ａａ， … ，（中（，。… ａ其ｍ）是ｍ的欧拉函数值）ｍ的简化剩余系。是
引理２设ｍ是大于１的整数，有原根的充分必要条件是它是如下形状的数：，，２其中Ｐｍ２４Ｐ，（ｐ为奇素数，任意的正整数）ｋ为。
是模ｍ的一个简化剩余系。引理５若ｍ，正整数，ｍ，）＝１，ａ， … …ａ㈨｝模ｍ的一个简化剩余系，｛ｂ，ｎ为（ｎ｛ａ，是ｂ，： ……
ｂ）是模ｒ的一个简化剩余系，ｎｉ６（：１２ …… ，ｍ），，｝ｔ则ａ＋ｍｆｉ，，妒（；＝１２ …… ，ｎ）是模ｉｎ的一（）ｎ
加群Ｚ．因此研究循环群Ｇ的自同构群ＡｔＧｕ（）的问题也就是研究ＡｔＺ）ＡｔＺ）问题。文ｕ（与ｕ（的
献［］１中给出了几个结论：ｕ（ｚ，ｕ（一Ｚ，ｕ（８Ｚ０Ｚ，ｕ（一Ｚ一（中Ｐ是ＡｔＺ）ＡｔＺ）：Ａｔｚ）Ａｔｚ）ｐ其

同构和自同态

同构和自同态一、引言同构和自同态是数学领域中的重要概念，它们在代数学、图论、拓扑学等多个领域都有广泛的应用。

本文将深入探讨同构和自同态的概念、性质以及其在不同领域中的应用。

二、同构2.1 概念同构是指两个结构之间存在一一对应的关系，这种关系保持了结构的某些性质。

在数学中，同构通常用来描述两个代数结构之间的关系，比如群、环、域等。

2.2 同构的性质同构具有以下性质： 1. 一一对应关系：同构是一种一一对应的关系，每个元素在同构映射下都有唯一的对应元素。

2. 保持运算：同构映射保持运算，即对于两个元素的运算，它们在同构映射下的映射结果也是对应的运算结果。

3. 保持结构：同构映射保持结构的性质，比如群的同构映射会保持群的封闭性、结合律等性质。

2.3 同构的例子下面以群的同构为例，来说明同构的概念和性质。

2.3.1 群的定义群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。

2.3.2 同构的定义设有两个群G和H，如果存在一个双射f：G→H，且满足对于任意的a, b∈G，有f(a·b) = f(a)·f(b)，则称G和H是同构的，记作G≅H。

2.3.3 同构的性质同构保持群的封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。

2.4 同构的应用同构在代数学、图论、拓扑学等多个领域中都有广泛的应用。

2.4.1 代数学中的应用在代数学中，同构可以帮助我们研究不同代数结构之间的关系，比如同构可以用来判断两个环是否相同，或者两个域是否同构等。

2.4.2 图论中的应用在图论中，同构可以用来判断两个图是否同构。

同构图是指具有相同的图结构，即图中的顶点和边可以一一对应。

2.4.3 拓扑学中的应用在拓扑学中，同构可以用来刻画空间的同构性质。

同构的拓扑空间具有相同的拓扑结构，即它们可以通过一个连续的双射相互映射。

三、自同态3.1 概念自同态是指一个结构自身到自身的同态映射。

在数学中，自同态可以用来描述一个结构的对称性质。

离散数学 ch6-2.3群、变换群、有限群

#Ex2：(G,）是群, a∈G, 如果a的阶为n ,则 ak=e 当且仅当 k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍) 证明：⑴ 充分性，已知k=mn (m∈I) ak= amn=(an)m= em =e ⑵ 必要性，已知ak=e ， a的阶为n，即 an=e , 假设k不是n的整数倍，令 k=mn+t m,t∈I, 0<t<n t=k-mn at= ak-mn= aka-mn= e(an)-m =e-m = e 由于at=e，而 t<n，与 a的阶为n矛盾。所以 k是n的整数倍。即 k=mn (m∈I)。思考题：上例中R4=S; L4=S R和L的阶都为4；而R-1=L 由此可以得到什么结论？
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2.可换群（阿贝尔群）
定义2: 设（G, * ）是群,运算*是可交换的，则称它是可换群。例如（I,+）,（R,+） ,（P(E), ）都是可换群。
3.子群
定义3：设（G, * ）是群, 如果（G, * ）的子系统（H , *）也是群，则称（H , * ）是（G, * ）的一个子群
即如果（H , * ）满足： ⑴ 任何a,b∈ H 有a * b∈ H, (封闭) ⑵幺元 e∈ H, (有幺元) ⑶任何a∈ H 有a-1∈ H, (可逆) 则称（H, * ）是（G, * ）的子群。例如：（I,+）是（R,+）的子群。
例如：判断（I,+）,（R,+），（P(E), ），（R,×）及（P(E), ∩）是否为群？请说明理由。解：（I,+）,（R,+）幺元是 0，每个x的逆元是 -x 。（P(E), ）幺元是Φ ，因任何X∈P(E) XX=Φ ∴X-1=X， ∴（I,+）,（R,+）,（P(E), ）是群。而（R,×） ,（P(E), ∩）都有幺元，但不是群。

陪集图的同构与自同构

陪集图的同构与自同构化小会;陈利【摘要】令G是一个有限图,H是G的无核子群,D是形如HgH(g(+)H)的一些双陪集的并,且满足D=D-1.记(Cos(G,H,D)表示G关于H和D的陪集图,A=Aut (Cos(G,H,D)).用RH(G)表示G在H的全体右陪集所在的集合Ω=[G:H]上的右乘置换表示,σ(g)表示g∈G通过共轭作用诱导在G上的自同构.本文不但证明了NA (RH (G》) =RH (G)Aut(G,H,D)且RH (G)∩ Aut(G,H,D)=I(H),其中Aut(G,H,D)={α∈Aut(G) |Ha =H,Dα=D},I(H)={σ(h)|h∈H},而且证明了Cos(G,H,D)是一个CI-图当且仅当对任意的σ∈SΩ,满足RH(G)σ≤A,必存在a∈A 使得RH(G)α=RH(G)σ.作为对本文两个定理的应用,本文考虑了一类线性群上陪集图的CI-性问题及其在同构意义下的计数问题.【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(033)004【总页数】5页(P68-72)【关键词】弧传递图;陪集图;Cayley图【作者】化小会;陈利【作者单位】河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡453007;河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡453007【正文语种】中文【中图分类】O157.5对有限简单图X，用V(X)、E(X)和Aut(X)分别表示它的顶点集合、边集合和全自同构群。

如果Aut(X)在V(X)或E(X)上作用传递，则相应的称图X为点传递或边传递的。

称X中有序(s+1)-元顶点集(v0，v1，…，vs-1，vs)为s-弧，如果(vi，vi+1)∈E(X)，0≤i≤s-1，并且对s≥2有vi≠vi+2，0≤i≤s-2。

图X被称为(G，s)-弧传递的，如果G≤Aut(X)传递地作用在X的s-弧集合上，且如果它是(Aut(X)，s)-弧传递的，就称其为s-弧传递的。