三角函数图像4：正切函数图像性质

正弦函数余弦函数正切函数的图像和性质
：
正弦函数、余弦函数和正切函数是三个重要的三角函数，它们的图形都是周期性函数，具
有十分重要的地位。

正弦函数是由坐标系中给定角度对应的正切函数的导数而直接定义的弧度函数。

它表达为
y = sinx，其曲线图形显示出其周期性质。

它在y轴上出现单位正弦曲线，并且每当x值
增加一个周期时，曲线会回到原来的点。

它的性质是，曲线走势为振幅从正到负，不管x
的值怎么变化，y的值都在-1和1之间浮动。

余弦函数是正弦函数导数的一种，可以表示为y = cosx，它是由坐标原点开始，沿着x轴负半轴正移动一段距离后，再围绕坐标原点旋转而得到的。

它的曲线图形显示出了它的周
期性，并且每当x值增加一个周期，曲线会回到原来的点。

它的特点是，曲线的走势由正
负中点水平移动，每当x的值变大，y的值从正到负或从负到正都会以同样的振幅波动。

正切函数的表达式为y=cotx。

它的曲线图形也可以看出它的周期性，每当x值增加一个周期时，曲线会回到原来的点。

它的曲线走势也分为正负两种，但它的急转点不在水平线上，而是两个平行线。

每次x的值变大，y值从正到负或从负到正都会以不同的振幅波动，其
走向也有别于正弦函数和余弦函数。

正弦函数、余弦函数和正切函数是三个重要的三角函数，它们的图形、性质及走向都不尽
相同，具有十分重要的地位。

常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。

1．4.3正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点 正切函数的性质函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × ) 提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.题型一 正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z 解析 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域、值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.反思感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 题型二 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． 考点 正切函数的单调性、周期性与对称性 题点 判断正切函数的单调性 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2018·四川石室中学高二期中)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是________． 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z解析 令k π－π2<2x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z .题型三 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 (1)< (2)<解析 (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵当0°<x <90°时，y ＝tan x 单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°. (2)tan18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 跟踪训练3 比较下列正切值的大小． (1)tan 1 320°与tan 70°； (2)tan17π6与tan ⎝⎛⎭⎫－π3. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 解 (1)tan 1 320°＝tan(360°×3＋240°) ＝tan 240°＝tan 60°，因为函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数， 所以tan 60°<tan 70°， 即tan 1 320°<tan 70°. (2)tan17π6＝tan ⎝⎛⎭⎫3π－π6＝tan ⎝⎛⎭⎫－π6， 因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数， 所以tan ⎝⎛⎭⎫－π6>tan ⎝⎛⎭⎫－π3. 即tan17π6>tan ⎝⎛⎭⎫－π3.正切函数图象的画法及应用典例 画出f (x )＝tan|x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性． 考点 正切函数图象与性质的综合应用 题点 正切函数图象与性质的综合应用 解 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…)． [素养评析] 根据正切函数图象的画法，先画出函数的图象，建立数与形的联系，借助几何直观理解问题，认识事物解决问题，提升直观想象的数学核心素养.1．(2018·河北定州中学高二期末)函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 A解析 由－π2＋k π<12x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .2．函数y ＝tan x ＋1tan x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的奇偶性 答案 A解析 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x 是奇函数． 3．已知A 为锐角，且tan A ＝23，那么下列判断正确的是( )A ．0°<A <30°B ．30°<A <45°C ．45°<A <60°D ．60°<A <90°考点 正切函数的单调性 题点 正切函数单调性的应用 答案 B 解析33<23<1，即tan 30°<tan A <tan 45°. 由正切函数随锐角的增大而增大， 得30°<A <45°，故选B.4．函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． 考点 正切函数的周期性与对称性 题点 正切函数的周期性 答案 π3解析 T ＝π|ω|＝π3.5．求函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3的值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 解 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3， 所以tan x ∈[－3，3]，因为y ＝tan 2x －2tan x ＋3＝(tan x －1)2＋2，所以当tan x ＝1时，y min ＝2， 当tan x ＝－3时，y max ＝6＋23， 所以函数的值域为[2,6＋23]．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间．一、选择题1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是() A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0)考点 正切函数的周期性与对称性题点 正切函数的对称性答案 C2．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z考点题点答案 C3．(2018·江西高安中学高二期末)函数f (x )＝|tan 2x |是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数考点 正切函数周期性与对称性题点 正切函数周期性、奇偶性答案 D解析 f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )，故f (x )为偶函数，T ＝π2.4．(2018·福建阅读第四中学高一期末)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是() A ．x ＝π2 B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8考点 正切函数的图象题点 正切函数的图象答案 C解析 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8.5．已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则使f (x )≥3成立的x 的集合是( )A.⎣⎡⎭⎫π24＋12k π，π8＋12k π，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫－π8＋12k π，π24＋12k π，k ∈ZC.⎣⎡⎭⎫π24＋k π，π8＋k π，k ∈ZD.⎣⎡⎦⎤π24＋k π，π8＋k π，k ∈Z考点 正切函数图象与性质的综合应用题点 正切函数图象与性质的综合应用答案 A解析 因为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f (x )≥3化为tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥3，即π3＋k π≤2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ； 解得π24＋12k π≤x <π8＋12k π，k ∈Z ， 故使f (x )≥3成立的x 的集合是⎣⎡⎭⎫π24＋12k π，π8＋12k π，k ∈Z . 6．(2018·河南林州第一中学高二期末)函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的值域答案 C解析 ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1，即－tan 1≤tan x ≤tan 1.∴－tan 1≤tan(cos x )≤tan 1. 7．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 考点 正切函数周期性与对称性题点 正切函数周期性与对称性答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B. 二、填空题8．比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 考点 正切函数的单调性题点 正切函数的单调性的应用答案 >解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5<tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4>tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 9．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π7－1与函数g (x )＝5tan(ax －1)＋2的最小正周期相同，则实数a ＝________.考点 正切函数的周期性与对称性题点 正切函数的周期性答案 ±210．(2018·南京高一检测)已知点M (－3，－1)，若函数y ＝tan π4x (x ∈(－2,2))的图象与直线y ＝1交于点A ，则|MA |＝________.考点 正切函数的周期性与对称性题点 正切函数的周期性答案 2 5解析 令y ＝tan π4x ＝1，解得x ＝1＋4k ，k ∈Z ， 又x ∈(－2,2)，所以x ＝1，所以函数y ＝tan π4x 与直线y ＝1的交点为A (1,1)， 又M (－3，－1)，所以|MA |＝(1＋3)2＋(1＋1)2＝2 5.三、解答题11．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． 解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . ②∵T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π. ③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ， 解得2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ， 得x ＝k π＋2π3，k ∈Z . ∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0，k ∈Z . 12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．考点 正切函数图象与性质的综合应用题点 正切函数图象与性质的综合应用解 (1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝π2， 即πω＝π2. 所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称， 所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4， 故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ， 得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z ， 即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z . 所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z . 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .13．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4内是增函数，则() A ．0<ω≤2 B ．－2≤ω<0C ．ω≥2D ．ω≤－2 考点 正切函数图象与性质的综合应用题点 正切函数图象与性质的综合应用答案 A解析 根据函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4内是增函数，可得π4ω≤π2，求得ω≤2，再结合ω>0.得ω的取值范围是0<ω≤2.14．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的值域解 令μ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以μ∈[－3，3]，所以函数化为y ＝μ2－2μ，μ∈[－3，3]， 对称轴为μ＝1∈[－3，3]，所以当μ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1， 当μ＝－3时，y max ＝3＋23，所以f(x)的值域为[－1,3＋23]．。

三角函数图像与性质在数学中，三角函数是研究角与角度关系的一类函数。

其中最重要的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，尤其是在研究周期性现象时起到了关键作用。

本文将详细介绍三角函数的图像特征和性质。

正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用符号$\\sin$表示。

它的图像是一条连续的波浪线，呈现出周期性的特点。

正弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。

在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，正弦函数的取值分别为0、1、0、-1和0。

正弦函数是奇函数，即$\\sin(-x)=-\\sin(x)$，具有对称性。

余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用符号$\\cos$表示。

它的图像类似于正弦函数，也是一条连续的波浪线，同样呈现周期性。

余弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。

在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，余弦函数的取值分别为1、0、-1、0和1。

余弦函数是偶函数，即$\\cos(-x)=\\cos(x)$，具有对称性。

正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用符号$\\tan$表示。

它的图像是一组相互平行的直线，具有间断点。

正切函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，在某些特殊角度上可能不存在定义，例如在90度和270度时。

正切函数的值域为整个实数集$\\mathbb{R}$。

正切函数是奇函数，即$\\tan(-x)=-\\tan(x)$。

三角函数的性质除了上述基本性质外，三角函数还有一些重要的性质：1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$范围内图像重复；2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；3.最值：正弦函数和余弦函数的最大值为1，最小值为-1；正切函数在定义域内取值范围较广；4.单调性：正弦函数、余弦函数和正切函数在各自的定义域上具有不同的单调性特点。

三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要函数，由于其广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域，对三角函数的图像和性质进行了深入的研究。

本文将就三角函数的图像和性质展开讨论。

一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示，其中x是一个实数。

正弦函数的图像可以通过绘制函数y = sin(x)来得到，横坐标x 表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示sin(x)的值。

正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期是2π（360度）。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。

3. 定义域和值域：正弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。

4. 最值：正弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。

二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数的另一个重要代表，用cos(x)表示，其中x是一个实数。

余弦函数的图像可以通过绘制函数y = cos(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示cos(x)的值。

余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数也是周期性函数，其周期是2π（360度）。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。

3. 定义域和值域：余弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。

4. 最值：余弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。

三、正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种形式，用tan(x)表示，其中x是一个实数。

正切函数的图像可以通过绘制函数y = tan(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示tan(x)的值。

正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数是周期性函数，其周期是π（180度）。

2. 对称性：正切函数是奇函数，即满足tan(-x) = -tan(x)。

三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。

在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。

正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。

2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。

幅度越大，波峰和波谷的差值越大。

3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。

4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。

举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。

在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。

这样的周期性变化会一直重复下去。

根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。

余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。

2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。

与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。

3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。

4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。

举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。

在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。

这样的周期性变化会一直重复下去。

根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。

三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。

三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要的函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），以及它们的倒数函数（csc，sec，cot）。

下面是关于三角函数的一些图像与性质：1. 正弦函数（sin）的图像：正弦函数是一个周期函数，它的图像在一个周期内呈现出振荡的形式，取值范围在-1到1之间。

当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，正弦函数的值为0、1、0、-1，分别对应于函数的最小值、最大值、0点和最大负值。

2. 余弦函数（cos）的图像：余弦函数也是一个周期函数，它的图像与正弦函数的图像非常相似，只是相位差了π/2。

余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，余弦函数的值依次为1、0、-1、0。

3. 正切函数（tan）的图像：正切函数的图像在每个周期上有无穷多个交点，它的值可以为任何实数。

正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，即tan(x) =sin(x) / cos(x)。

当自变量取π/2、3π/2、5π/2等特殊值时，正切函数的值为正无穷大；取-π/2、-3π/2、-5π/2等特殊值时，正切函数的值为负无穷大。

4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，它们的周期分别为2π、2π和π。

这意味着，当自变量增加一个周期时，函数的值将重复出现。

例如，sin(x + 2π) = sin(x)。

5. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) =f(x)。

这些是关于三角函数图像与性质的一些基本信息，三角函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

常见三角函数图像及性质三角函数在数学中具有重要的作用，主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些三角函数的图像及性质对理解三角函数在不同角度下的变化规律至关重要。

1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数可以表示为 $y = \\sin(x)$，其中x表示自变量（角度），x表示函数值。

正弦函数的图像是一条波浪形状的曲线，在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内，正弦函数的图像在原点(0,0)处达到最大值1和最小值−1，且图像在x轴上对称。

正弦函数的主要性质包括：•周期性：正弦函数的周期是 $2\\pi$，即 $f(x+2\\pi) = f(x)$。

•奇函数：正弦函数是奇函数，即x(−x)=−x(x)。

•范围：正弦函数的值域为[−1,1]。

•正负性：在第一和第二象限，正弦函数为正；在第三和第四象限，正弦函数为负。

2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数可以表示为 $y = \\cos(x)$，余弦函数的图像是一条类似正弦函数的波浪形状曲线，不过余弦函数的图像在x轴上下移了 $\\frac{\\pi}{2}$。

余弦函数的性质包括：•周期性：余弦函数的周期也是 $2\\pi$，即$f(x+2\\pi) = f(x)$。

•偶函数：余弦函数是偶函数，即x(−x)=x(x)。

•范围：余弦函数的值域为[−1,1]。

•正负性：在第一和第四象限，余弦函数为正；在第二和第三象限，余弦函数为负。

3. 正切函数（Tangent Function）正切函数可以表示为 $y = \\tan(x)$，正切函数的图像是一条周期性的曲线，其在某些角度处会出现无穷大的值。

正切函数的图像在 $x=k\\pi + \\frac{\\pi}{2}$ 时，即 $x =\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{2}, \\frac{5\\pi}{2}$ 等，会出现垂直渐近线。

正切函数的性质包括：•周期性：正切函数的周期是 $\\pi$，即 $f(x+\\pi) = f(x)$。

三角函数的图像与性质详解在数学领域中，三角函数是一组常见且重要的函数。

它们不仅具有许多实际应用，同时也有着丰富的图像特性和数学性质。

本文将详细介绍三角函数的图像和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用符号sin表示。

正弦函数的图像是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复。

正弦函数的周期由2π决定。

2. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。

3. 范围：正弦函数的值在[-1, 1]的范围内变化。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用符号cos表示。

余弦函数的图像也是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的图像也在一个周期内重复。

余弦函数的周期同样由2π决定。

2. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。

3. 范围：余弦函数的值同样在[-1, 1]的范围内变化。

三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要成员，用符号tan表示。

正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的图像在每个π的倍数处出现垂直渐近线。

因此，正切函数没有固定的周期。

2. 对称性：正切函数的图像关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。

3. 范围：正切函数在定义域内可以取任何实数值。

四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数之外，还有许多与三角函数相关的函数，例如反正弦、反余弦和反正切函数。

这些函数的图像和性质相对复杂，超出了本文的范围。

感兴趣的读者可以进一步学习和了解这些函数的性质。

综上所述，三角函数是数学中常见而重要的函数。

它们的图像和性质有助于我们理解和应用这些函数。

通过研究三角函数的性质，我们可以更好地解决与周期性和周期性相关的问题，例如波动、震动和周期性运动。

希望本文的内容能够对读者在学习和应用三角函数时有所帮助。

三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

三角函数中正切函数的像和性质正切函数是数学中的一种三角函数，通常表示为tan(x)，其中x为角度或弧度的值。

在三角函数中，正切函数具有一些独特的性质和像，我们将在本文中对其进行详细讨论。

一、正切函数的定义正切函数定义为三角函数中的比值，表示为tan(x) = sin(x) / cos(x)，其中sin(x)和cos(x)分别代表正弦函数和余弦函数。

正切函数的定义域为所有非整数倍的π，即{...，-2π，-π，0，π，2π，...}，而值域为所有实数。

二、正切函数的图像正切函数的图像具有周期性和奇函数的特点。

在单位圆上，当角度x在0到π之间时，图像上的点从正无穷趋于负无穷；当角度x在-π到0之间时，图像上的点从负无穷趋于正无穷。

因此，在坐标平面上，正切函数的图像将在每个π的整数倍处交替穿过x轴。

三、正切函数的性质1. 周期性：正切函数具有周期为π的特点。

即tan(x + π) = tan(x)，其中x代表任意角度或弧度的值。

2. 奇函数性质：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)，其中x代表任意角度或弧度的值。

这意味着正切函数的图像关于原点对称。

3. 极限性质：当角度x趋近于90度或π/2弧度时，正切函数趋于正无穷大；当角度x趋近于-90度或-π/2弧度时，正切函数趋于负无穷大。

4. 零点性质：正切函数在一些特定的角度或弧度下取零值。

例如，tan(0) = 0，tan(π) = 0，tan(-π) = 0等。

5. 增减性：正切函数在不同区间上的增减性不同。

在(-π/2, 0)和(π/2, π)区间上，正切函数递增；在(0, π/2)和(π, 3π/2)区间上，正切函数递减。

四、正切函数的应用正切函数在数学和物理学等学科中具有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 三角测量：正切函数常用于解决直角三角形中的测量问题，如测量不可直接测量的高度、角度等。

2. 信号处理：在信号处理领域，正切函数可用于描述和分析周期信号的性质和变化。