正切函数的图象与性质(习题及答案)

正切函数的图象和性质练习根底卷〔15分钟〕 一、选择题1．函数)0)(6tan(≠+=a ax y π的周期为〔 〕A ．a π2B ．||2a π C ．||a πD ．aπ 2．以下不等中正确的选项是〔 〕A ．73tan74tanππ> B ．)512tan()413tan(ππ->-C ．cot4＜cot3D ．cot281°＜cot665° 3．如果α,β∈),2(ππ,且tan α＜cot β,那么〔 〕A ．α＜βB ．β＜αC ．23πβα<+ D ．23πβα>+4．)4tan(x y +=π的定义域是〔 〕 A ．},4|{R x x x ∈≠πB ．},4|{R x x x ∈-≠πC ．},,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ D ．},,432|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 5．以下函数中,周期是2π,且在)12,125(ππ-内是单调递增的函数是〔 〕 A ．)3tan(π+=x y B ．)32tan(π+=x yC ．)3tan(π-=x y D ．)32tan(π-=x y二、填空题6．假设函数)52tan(2π-=ax y 的最小正周期是5π,那么a=_____________. 7．tax<-1时,x 的取值集合是______________. 8．)3lg(tan -=y 的定义域是______________.提升卷〔30分钟〕 一、选择题1．以下函数中不是偶函数的是〔 〕 A ．y=|tanx| B ．y=|cotx| C ．tan|x| D ．y=tan 〔x-π〕 2．)4sin(π-=x y 与y=-|tanx|在[0,2π]上的交点有〔 〕A ．4个B ．2个C ．1个D ．0个3．以下点中函数)5tan(π+=x y 〔x ∈R 且ππk x +≠103,k ∈Z 〕的一个对称中央点是〔 〕A ．〔0,0〕B ．)0,5(πC ．)0,54(πD ．〔π,0〕4．函数y=tanx-cotx 是〔 〕A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇且偶函数 5．)3tan(π-=x y ,)3,2()2,3(ππππ---∈ x 的值域是〔 〕 A ．]3,0[ B ．〔-∞,0〕C ．]0,3[-D ．),3[]0,(+∞-∞6．要得到y=tan2x 的图象,只需把函数)62tan(π+=x y 的图象〔 〕A ．向左平移6π个单位B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6π个单位D ．向右平移12π个单位二、填空题7．函数y=atanx-b 在]4,4[ππ-上的最大值是____________. 8．函数)32tan(π+=x y 的递增区间是____________. 9．函数y=tan 〔cosx 〕的值域是___________. 10．不等式65tantan π≤x 的解集是___________.三、解做题11．求函数y=tanxcosx 的定义域并画出它的图象.12．比拟以下各组数的大小： 〔1〕tanl,tan2,tan3 〔2〕)713cot(π-,89cot π参考答案根底卷一、1．C2．B3．C4．C5．B 二、6．25±=a 7．4222|{ππππ-<<-k x k x 或},43222Z k k x k ∈+<<+ππππ8．2232|{ππππ+<<+k x k x 或},232452Z k k x k ∈+<<+ππππ提升卷一、1．D2．B3．C4．A5．D6．D 二、7．当a ≥0时,a-b ；当a<0时,-a-b 8．)32,352(ππππ+-k k k ∈Z 9. [-tan1, tan1] 10. )62,22(ππππ--k k ⋃)65,22(πππ+k k ∈Z 三、11．略12．〔1〕tan2<tan3<tanl 〔2〕89cot )713cot(ππ<-[解题点拨]2．考查画图水平,注意将图象画在[0,2π]上. 3．)5tan(π+=x y 的一个对称点必须要满足这个x 的值代入式子中使值为0.4．根据函数奇偶性的定义来判断.5．注意把握正切函数在指定区间上的函数图象,现进一步确定其值域.6．注意把握图象变换时,哪一个图象是图象,哪一个是要得到的图象.同时)12(2tan )62tan(ππ+=+=x x y7．注意画图的同时有参数a,就要考虑讨论来明确答案.9．由于|cosx|≤1.即求y=tanx,x ∈[-1,1]上的值域. 10．三角不等式最好利用正切线来处理.可先将65tan π的值化出来. 11．y=tanx ·cosx 可化成y=sinx,但是)(2Z k k x ∈+≠ππ12．通过画图来解,同时注意将)713cot(π-,89cot π转化成正切函数来处理.一般通过诱导公式将其化入到同一个单调区间最为重要！。

正切函数图象与性质检测试题一、选择题1、函数4tan xy的定义域是Zk 其中A ．4|kxR x B ．4|kx R x C ．42|kx R x D ．42|kx R x 2、函数4,3,tan xx y 的值域是A ．1,B ．1,3C ．,D ．,33、函数3tan xy 的单调区间是Zk其中A ．kk 65,6B ．kk 6,65C ．kk 265,26D ．kk 26,2654、函数42tan xy 的周期是A ．B ．2C ．2D ．45、要得到函数x y 2tan 的图象，只须把32tan xy的图象A ．左移3个单位B ．右移3个单位C ．左移6个单位D ．右移6个单位6、观察正切曲线，满足条件1tan x的x 的取值范围是(其中k ∈Z) ()A ．(2k π-4,2k π+4)B ．(k π,k π+4) C ．(k π4,k π+4)D ．(k π+4,k π+43)二、填空题7、函数xy tan 11的定义域是．8、函数x ytan 图象的对称中心是．9、函数32tanx y的单调区间是．10、若直线2ax 1a 与函数42tan xy图象不相交，则a．11、观察正切曲线，满足条件3tan x的x 的取值范围是．12、4tan ,3tan ,2tan ,1tan 由小到大排列为．THANKS致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

第12课时 正切函数的性质与图象1错误! A ．xx ≠k π＋错误!，k ∈ZB ．xx ≠k π2－错误!，k ∈ZC ．xx ≠错误!＋错误!,k ∈ZD ．xx ≠k π2，k ∈Z答案 C解析由2x＋错误!≠kπ＋错误!，得x≠错误!＋错误!（k∈Z）．2．函数y＝tan x错误!≤x≤错误!，且x≠错误!的值域是________．答案(－∞，－1]∪[1,＋∞）解析∵y＝tan x在错误!，错误!，错误!，错误!上都是增函数，∴y≥tan 错误!＝1或y≤tan错误!＝－1．3．函数y＝sin x＋tan x，x∈－错误!，错误!的值域为________．答案－错误!，错误!解析∵y＝sin x和y＝tan x两函数在－错误!,错误!上都是增函数,∴x ＝－错误!时，y min＝－错误!－1，当x＝错误!时，y max＝错误!＋1．4）A．y＝tan2x B．y＝|sin x|C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!答案D解析∵y＝tan2x的最小正周期是错误!，∴排除A；又∵y＝|sin x|及y＝sin错误!＝cos2x是偶函数，∴排除B，C．故选D．5．函数y＝3tan错误!的图象的一个对称中心是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．（0，0)答案C解析因为y＝tan x的图象的对称中心为错误!，k∈Z．由错误!x＋错误!＝错误!，k∈Z，得x＝kπ－错误!,k∈Z,所以函数y＝3tan错误!的图象的对称中心是kπ－错误!，0，k∈Z．令k＝0，得－错误!，0．故选C．6错误!错误!错误!)A．a〈b〈c B．b<c<aC．c〈b<a D．a<c〈b答案D解析∵tan70°>tan45°＝1，∴a＝log错误!tan70°<0．又0<sin25°〈sin30°＝错误!，∴b＝log错误!sin25°>log错误!错误!＝1,而c＝错误!cos25°∈(0，1)，∴b〉c〉a．7．(1)求函数y＝tan2x－错误!的单调区间；(2)比较tan错误!与tan错误!的大小．解(1）由于正切函数y＝tan x的单调递增区间是－错误!＋kπ，错误!＋kπ，k∈Z，故令－错误!＋kπ<2x－错误!〈错误!＋kπ，k∈Z,得－错误!＋kπ<2x<错误!＋kπ，k∈Z，即－错误!＋错误!〈x<错误!＋错误!，k∈Z．故y＝tan2x－错误!的单调递增区间是－错误!＋错误!，错误!＋错误!，k∈Z,无单调递减区间．（2）tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!，tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!,因为y＝tan x在0，错误!内单调递增,所以tan错误!〈tan错误!,即tan错误!〈tan错误!．8；④y ＝tan｜x|在x∈－错误!,错误!内的大致图象，那么由(a)到(d）对应的函数关系式应是( ）A．①②③④ B．①③④②C．③②④① D．①②④③答案D解析y＝tan（－x)＝－tan x在－错误!,错误!上是减函数，只有图象（d)符合，即(d)对应③．9．观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围．(1)tan x>1；（2）－错误!<tan x〈错误!．解（1）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝1．在区间错误!内，满足tan x〉1的区间是π4，错误!．又由正切函数的最小正周期为π，可知满足tan x〉1的x的取值范围是错误!（k∈Z）．（2）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝－错误!，tan错误!＝错误!．在区间错误!内，满足－错误!<tan x〈错误!的区间是－错误!，π3．又由正切函数的最小正周期为π,可知满足－33<tan x〈错误!的x的取值范围是错误!（k∈Z)．一、选择题1．当x∈－错误!,错误!时，函数y＝tan｜x｜的图象（)A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．没有对称轴答案B解析函数y＝tan|x｜是偶函数，其图象关于y轴对称．2．函数f（x）＝tanωx－错误!与函数g（x)＝sin错误!－2x的最小正周期相同，则ω＝( ）A．±1 B．1 C．±2 D．2答案A解析由题意可得π｜ω|＝2π|－2|,解得｜ω|＝1，即ω＝±1．3．下列各式中正确的是( )A．tan735°〉tan800° B．tan1〈tan2C．tan错误!〈tan错误!D．tan错误!〈tan错误!答案D解析tan错误!＝tan错误!＝tan错误!〈tan错误!，故选D．4．y＝cos x－错误!＋tan（π＋x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析y＝cos x－错误!＋tan(π＋x）＝sin x＋tan x．∵y＝sin x，y＝tan x均为奇函数，∴原函数为奇函数．5．若直线x＝错误!(－1≤k≤1）与函数y＝tan2x＋错误!的图象不相交，则k＝（)A．14B．－错误!C．错误!或－错误!D．－错误!或错误!答案C解析由题意得2×错误!＋错误!＝错误!＋mπ,m∈Z，解得k＝错误!＋m，m∈Z．由于－1≤k≤1，所以k＝14或－错误!．二、填空题6．关于函数f(x）＝tan错误!，有以下命题:①函数f（x）的周期是错误!；②函数f（x)的定义域是xx∈R且x≠错误!＋错误!，k∈Z;③y＝f(x)是奇函数;④y＝f（x)的一个单调递增区间为错误!．其中，正确的命题是________．答案①解析f(x）＝tan错误!的周期T＝错误!，故①正确；定义域为错误!，故②不正确；f（x）是非奇非偶函数，故③不正确；f(x)的单调递增区间为错误!，k∈Z，故④不正确．7．函数y＝tan（cos x)的值域是________．答案[－tan1，tan1]解析由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的性质求解．∵－π2<－1≤cos x≤1<错误!，∴－tan1≤tan（cos x)≤tan1．8．不等式tan错误!≥－1的解集是________．答案错误!解析由正切函数的图象,可知－错误!＋kπ≤2x＋错误!〈错误!＋kπ，k ∈Z，所以原不等式的解集为x－错误!＋错误!≤x〈错误!＋错误!，k∈Z．三、解答题9．函数f（x）＝tan（3x＋φ)图象的一个对称中心是错误!，0，其中0<φ〈错误!，试求函数f(x)的单调区间．解由于函数y＝tan x的对称中心为错误!,0，其中k∈Z．故令3x＋φ＝错误!，其中x＝错误!，即φ＝错误!－错误!．由于0〈φ<错误!,所以当k＝2时,φ＝错误!．故函数解析式为f（x）＝tan3x＋错误!．由于正切函数y＝tan x在区间kπ－错误!,kπ＋错误!(k∈Z）上为增函数．则令kπ－错误!<3x＋错误!<kπ＋错误!，解得kπ3－π4<x<错误!＋错误!，k∈Z，故函数f(x)的单调增区间为错误!－错误!，错误!＋错误!，k∈Z．10．设函数f(x）＝tan（ωx＋φ)错误!，已知函数y＝f(x)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为错误!，且图象关于点M错误!对称．（1)求f(x）的解析式;（2)求f（x）的单调区间;（3)求不等式－1≤f(x）≤错误!的解集．解(1）由题意，知函数f（x）的最小正周期T＝错误!，即错误!＝错误!．因为ω>0，所以ω＝2．从而f（x)＝tan(2x＋φ)．因为函数y＝f(x）的图象关于点M错误!对称，所以2×错误!＋φ＝错误!，k∈Z，即φ＝k π2＋错误!,k ∈Z ．因为0〈φ〈错误!,所以φ＝错误!． 故f (x ）＝tan 错误!．（2）令－π2＋k π〈2x ＋错误!<错误!＋k π，k ∈Z ,得－错误!＋k π<2x 〈k π＋错误!，k ∈Z ， 即－错误!＋错误!〈x <错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以函数f （x )的单调递增区间为－错误!＋错误!，错误!＋错误!,k ∈Z ,无单调递减区间．（3）由(1)，知f (x ）＝tan 错误!． 由－1≤tan 错误!≤ 错误!，得－错误!＋k π≤2x ＋错误!≤错误!＋k π,k ∈Z ， 即－错误!＋错误!≤x ≤错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以不等式－1≤f （x ）≤错误!的解集为错误!．。

1-4-3正切函数的性质与图象一、选择题1．下列叙述正确的是( ) A ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是增函数 B ．函数y ＝tan x 在(0，π)上是减函数 C ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数 D ．函数y ＝sin x 在(0，π)上是增函数 [答案] C2．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k 2π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π，k ∈Z[答案] C[解析] 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，则x ≠k 2π＋π8(k ∈Z )．3．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] A[解析] 定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ∩{x |x ≠k π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．4．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.5．下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5 [答案] D[解析] tan 4π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7>tan ⎝ ⎛⎭⎫－15π8，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5.又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4，故选D.6．(2011～2012·郑州高一检测)当－π2<x <π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形[答案] C7．(2011～2012·荆州高一检测)在区间(－3π2，3π2)范围内，函数y＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B8．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．[－π4，π4]B ．[－22，22]C ．[－tan1，tan1]D ．[－1,1][答案] C9．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[答案] B[解析] 若ω使函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则有ω<0，并且周期T ＝π|ω|≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π.则－1≤ω<0.10．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )[答案] A[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－33，排除选项C ，D ； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝tan0＝0，则f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，排除选项B.故选A.二、填空题11．函数y ＝tan x －3的定义域是________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z[解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值应满足tan x －3≥0，即tan x ≥ 3.解得π3＋k π≤x <π2＋k π，k ∈Z .12．函数y ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12，∴减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .13．三个数cos10°，tan58°，sin168°的大小关系是________． [答案] sin168°<cos10°<tan58°[解析] ∵sin168°＝sin12°<sin80°＝cos10°<1＝tan45°<tan58°，∴sin168°<cos10°<tan58°.14．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )[解析] 令z ＝2x －π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x－π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z . 三、解答题15．求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1；(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4.[解析] (1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．16．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的值域．[解析] 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，得tan x ∈[]1，3，∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. 由于1≤tan x ≤3，∴8≤y ≤103－4，∴函数的值域是[8,103－4]．17．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω，且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ， ∴f (π4)＝tanπ＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性． [解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R .(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。

5.4.3正切函数的性质与图象课标要求素养要求1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题.通过利用正切函数的图象，发现数学规律，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.新知探究学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值.问题类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质.(1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？(2)正切函数的图象是连续的吗？提示(1)y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值.(2)正切函数的图象在定义域上不是连续的.函数y＝tan x的图象和性质图象与性质是函数的灵魂解析式y＝tan x图象定义域{x|x∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域R拓展深化[微判断]1.函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数.(×)提示 y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数.2.函数y ＝tan 2x 的周期为π.(×) 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2.3.正切函数y ＝tan x 无单调递减区间.(√)4.函数y ＝2tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2的值域是[0，＋∞).(√)[微训练]1.tan x ≥1的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥k π＋π4（k ∈Z ） B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2k π＋π4（k ∈Z ） C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥π4 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π4≤x <k π＋π2（k ∈Z ） 解析 ∵tan x ≥1，由图象知，π4＋k π≤x <π2＋k π(k ∈Z ). 故选D. 答案 D2.函数y ＝2tan (－x )是( ) A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.非奇非偶函数解析 y ＝2tan (－x )＝－2tan x ，为奇函数. 答案 A3.与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 ( ) A.x ＝π2 B.x ＝－π2 C.x ＝π4D.x ＝π8解析 ∵2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，∴x ≠π8＋k π2(k ∈Z )，故选D. 答案 D [微思考]正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？ 提示 y ＝tan x 是中心对称图形，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，不是轴对称图形.题型一 正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的定义域为________；(2)函数y ＝tan 2x －2tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π3的值域为________.解析 (1)由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ， 得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－4π3－4k π，k ∈Z .(2)令u ＝tan x ，∵|x |≤π3，∴由正切函数的图象知u ∈[－3，3]， ∴原函数可化为y ＝u 2－2u ，u ∈[－3，3]，∵二次函数y ＝u 2－2u ＝(u －1)2－1图象开口向上，对称轴方程为u ＝1， ∴当u ＝1时，y min ＝－1， 当u ＝－3时，y max ＝3＋23， ∴原函数的值域为[－1，3＋23].答案 (1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－4π3－4k π，k ∈Z (2)[－1，3＋23]规律方法 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解.【训练1】 (多空题)函数y ＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋1的定义域为________，值域为________.解析 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞题型二 正切函数的单调性角度1 求正切函数的单调区间【例2－1】 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋π4的单调区间.解 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π4，由－π2＋k π<14x x －π4 <π2＋k π(k ∈Z )得－π＋4k π<x <3π＋4k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋π4的单调递减区间是(－π＋4k π，3π＋4k π)(k ∈Z )，无递增区间. 规律方法 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.角度2 比较大小【例2－2】 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小. (1)tan 13π4与tan 17π5； (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. 解 (1)因为tan13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.规律方法 运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系.【训练2】 (1)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为________.解析 y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， ∴k π－π2<x 4－π6<k π＋π2(k ∈Z )，∴4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z )， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z ).答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )(2)比较大小：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.解 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4＝tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π5＝tan π5. 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，∴tan π5<tan π4，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5.题型三 正切函数图象、性质的应用【例3】 设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图. 解 (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0(k ∈Z ).(2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图(如图).规律方法 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .【训练3】 画出f (x )＝tan|x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.解f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0（k ∈Z ），－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0（k ∈Z ），根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，k π＋32π(k ∈N )；单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－32π，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).一、素养落地1.通过本节课的学习，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.2.正切函数y ＝tan x 有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 3.(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调减区间. 二、素养训练1.函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的定义域为( ) A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π12 B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12 C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π12＋k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π12＋12k π，k ∈Z 解析 由2x ＋π3≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π12＋12x k π，k ∈Z ，故函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π12＋12k π，k ∈Z .答案 D2.函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B.(k π，k π＋π)，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析 由－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间是(－3π4＋k π，π4＋k π)，k ∈Z . 答案 C3.函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的最小正周期是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.π解析 T ＝π|－3|＝π3. 答案 B4.比较大小：tan 12________tan 52.解析 因为tan 12>0，tan 52<0，所以tan 12>tan 52. 答案 >5.求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象. 解 由2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π4＋12k π，k ∈Z ， 即函数的定义域为{x |x ≠π4＋12k π，k ∈Z }，值域为(－∞，＋∞)，周期为T ＝π2，对应图象如图所示.。

正切函数的图象与性质[基础知识]函数y ＝tan x【基础练习】1.下列说法正确的是( )(A)y=tanx 是增函数 (B)y=tanx 在第一象限是增函数 (C)y=tanx 在某一区间上是减函数 (D)y=tanx 在区间(kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z)上是增函数 2.当-2π<x <2π时，函数y =tan|x |的图象( ) (A)关于原点对称 (B)关于x 轴对称 (C)关于y 轴对称 (D)不是对称图形 3.在区间（-32π,32π）范围内，函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象交点的个数为( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 4.函数y =tan （sin x ）的值域是( )（A ）［-4π,4π］ （B ）［-2,2］ （C ）［-tan1,tan1］ （D ）［-1，1］ 5.函数y =5tan （-2x）的最小正周期是______. 6.函数y =5tan （x -4π）的单调区间是______.7. 已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________．8.函数f (x )＝sin x ＋tan x ，x ∈[－π3，π3]的值域为________．9.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________． 10.不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－1的解集是____________． 【典型例题】例1．求函数f (x )＝tan2xtan x 的定义域练1.如果x ∈(0,2π)，函数y ＝sin x ＋－tan x 的定义域是( )A ．{x |0<x <π} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x <π C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x ≤π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3π2<x <2π例2. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，函数F (x )＝f (tan x )．(1)判断F (x )的奇偶性并加以证明；(2)求证：方程F (x )＝0至少有一个实根．练2.判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．例3.求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1；(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4.练3.求函数y ＝1tan 2x －2tan x ＋2的值域和单调区间．例4.作出函数y ＝12(tan x ＋|tan x |)的图象，并写出单调增区间．练4.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是________．(只填相应序号)例5.比较下列各组数的大小：(1)tan2与tan9；(2) (12) cos25°练5.下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π7<tan ⎝⎛⎭⎫－15π8D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5 012log tan 7012log sin 25o正切函数的图象与性质活页作业一、选择题：1．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( )A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋34π，k ∈Z ，x ∈R }2．函数y ＝tan2(x ＋π4)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数 3．已知点P (sin α－cos α，tan α)(α∈[0,2π])在第一象限，则α的取值范围为( )A ．(π2，34π)∪(π，54π)B ．(π4，π2)∪(π，54π)C ．(π2，34π)∪(54π，32π)D ．(π4，π2)∪(34π，π)4．(2011年沂水高一检测)α，β，γ∈(0，π2)，且sin α＝13，tan β＝2，cos γ＝34，则( )A ．α<γ<βB ．α<β<γC ．β<α<γD ．γ<α<β5．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数，且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．π B.2π|ω| C.π|ω|D ．与a 值有关6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( ) A ．－π6B.π6 C ．－π12D.π127．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π88．要得到f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只须将f (x )＝tan2x 的图象( ) A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位 C ．向右平移π6个单位 D ．向左平移π6个单位二、填空题9．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________． 10．将sin 25π，cos 65π，tan 75π按从小到大的顺序排列，依次是____________________．11．函数y ________________．12．给出下列命题：①函数y ＝cos x 在第三、四象限都是增函数；②函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω；③函数y ＝sin(23x ＋52π)是偶函数；④函数y ＝tan 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到y ＝tan(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________． 三、解答题13．求下列函数的定义域．(1)y ＋tan x ；(2)y ＝lg(2sin x －2)－1－2cos x ； (3)f (x )＝1＋2cos xtan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.14．若y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)且－π2<θ<π2，求θ的值．15.已知函数f (x )=tanωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y=4π所得线段长为4π,求f(4π)的值.16.设定义在区间（0，2π）上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象交于点P 0，过点P 0作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线P 0P 1与函数y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为多少？17．作出函数y ＝tan |x |的图象，根据图象判断其周期性，并求出单调区间．18．已知函数y ＝tan x 在区间(－a 3π，a2π)上递增，求a 的取值范围．正切函数的图象与性质[基础知识]函数y ＝tan x【基础练习】1.下列说法正确的是( )(A)y=tanx 是增函数 (B)y=tanx 在第一象限是增函数 (C)y=tanx 在某一区间上是减函数 (D)y=tanx 在区间(kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z)上是增函数 【解析】选D.由正切函数的图象可知D 正确 2.当-2π<x<2π时，函数y=tan|x|的图象( ) (A)关于原点对称 (B)关于x 轴对称 (C)关于y 轴对称 (D)不是对称图形 【解析】选C.显然函数y=tan|x|在-2π<x<2π上是偶函数，故其图象关于y轴对称. 3.在区间（-32π,32π）范围内，函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象交点的个数为( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【解析】选B.在同一坐标系中分别画出函数y=tanx 和y=sinx 的图象，可以发现两函数图象有3个交点. 4.函数y=tan （sinx ）的值域是( ) （A ）［-4π,4π］ （B ）［-2,2］ （C ）［-tan1,tan1］ （D ）［-1，1］ 【解析】选C.∵-1≤sinx≤1，而-2π<-1≤sinx≤1<2π， ∴tan （-1）≤tan （sinx ）≤tan1，即函数值域为［-tan1,tan1］. 5.函数y =5tan （-x2）的最小正周期是______. 【解析】函数的周期T=1||2ππ=ω-=2π.答案:2π6.函数y =5tan （x -4π）的单调区间是______. 【解析】由kπ-2π<x-4π<kπ+2π,(k ∈Z)得kπ-4π<x<kπ+34π，(k ∈Z)，即函数的单调区间是 (kπ-4π,kπ+34π),(k ∈Z).答案:(kπ-4π,kπ+34π),(k ∈Z)7. 已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________． 解析： ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1. 答案:b <c <a8.函数f (x )＝sin x ＋tan x ，x ∈[－π3，π3]的值域为________．解析： 易知f (x )＝sin x ＋tan x 在x ∈[－π3，π3]上为递增函数．∴f (π3)≤f (x )≤f (π3)．即f (x )∈[－332，332]答案: [－332，332]9.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________． 解析： 由x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )．答案:⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )10.不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－1的解集是____________． 解析 由k π－π4≤2x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2≤x <k π2＋38π，k ∈Z .答案:⎣⎡⎭⎫k π2，k π2＋3π8 (k ∈Z ) 【典型例题】例1．求函数f (x )＝tan2xtan x的定义域解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k πx ≠k π＋π22x ≠k π＋π2(k ∈Z )得⎩⎨⎧x ≠k π2x ≠k π2＋π4，∴x ≠2k 4π且x ≠2k ＋14π，∴x ≠k π4，k ∈Z ，∴f (x )＝tan2xtan x 的定义域为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z . 答案: ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z 练1.如果x ∈(0,2π)，函数y ＝sin x ＋－tan x 的定义域是( )A ．{x |0<x <π} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x <π C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π2<x ≤π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3π2<x <2π[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0－tan x ≥0得⎩⎨⎧sin x ≥0tan x ≤0，又x ∈(0,2π)，∴π2<x ≤π，故选C.[答案] C例2. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，函数F (x )＝f (tan x )．(1)判断F (x )的奇偶性并加以证明；(2)求证：方程F (x )＝0至少有一个实根．解：(1)F (x )为奇函数．因为F (－x )＝f (tan(－x ))＝f (－tan x )，又因为f (－x )＝－f (x )，所以F (－x )＝－f (tan x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数． (2)证明：因为tan0＝0且f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，所以F (0)＝f (tan0)＝0，即F (x )＝0至少有一个实数根0.练2.判断函数f (x )＝lgtan x ＋1tan x －1的奇偶性．解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称． f (－x )＋f (x )＝lg tan －x ＋1tan －x －1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 例3.求下列函数的单调区间：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4； (2)y ＝13tan2x ＋1；(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4. [解析] (1)由k π－π2<x －π4<k π＋π2得k π－π4<x <k π＋3π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . (2)由k π－π2<2x <k π＋π2得k π2－π4<x <k π2＋π4(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π4，k π2＋π4(k ∈Z )．(3)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，所以函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 练3.求函数y ＝1tan 2x －2tan x ＋2的值域和单调区间．[解析] y ＝1(tan x －1)2＋1，∵(tan x －1)2＋1≥1， ∴值域是(0,1]，递增区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4k ∈Z ； 递减区间是⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2k ∈Z . 例4.作出函数y ＝12(tan x ＋|tan x |)的图象，并写出单调增区间．解y ＝12(tan x ＋|tan x |)＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2，x ∈Z ，0，k π－π2<x <k π，x ∈Z .图象如图所示，单调增区间为[k π，k π＋π2)，k ∈Z .练4.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是________．(只填相应序号)解析： 当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <32π时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故填④.答案:④例5.比较下列各组数的大小：(1)tan2与tan9；(2) (12) cos25°解：(1)∵tan9＝tan(－2π＋9)，而π2<2<－2π＋9<π，且y ＝tan x 在(π2，π)内是增函数， ∴tan2<tan(－2π＋9)，即tan2<tan9.(2)∵tan70°>tan45°＝1，∴ tan70°<0，又0<sin25°<sin30°＝12，∴ sin25°>1， 而0<cos25°<1，∴0<(12)cos25°<1，∴ tan70°<(12)cos25°< sin25°. 练5.下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π7<tan ⎝⎛⎭⎫－15π8 D ．tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5 [答案] D012log tan 7012log sin 25o 12log12log 12log 12log[解析] tan 4π7＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝⎛⎭⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π7>tan ⎝⎛⎭⎫－15π8， tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎫－2π5＝－tan 2π5. 又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫－12π5<tan ⎝⎛⎭⎫－13π4，故选D.正切函数的图象与性质活页作业一、选择题：1．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( )A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋34π，k ∈Z ，x ∈R }解析：选D.y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)∴x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋3π4，k ∈Z .2．函数y ＝tan2(x ＋π4)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.y ＝tan2(x ＋π4)＝tan(2x ＋π2)＝cot2x ＝1tan2x为奇函数．3．(2011年宣城高一检测)已知点P (sin α－cos α，tan α)(α∈[0,2π])在第一象限，则α的取值范围为( )A ．(π2，34π)∪(π，54π)B ．(π4，π2)∪(π，54π)C ．(π2，34π)∪(54π，32π)D ．(π4，π2)∪(34π，π)解析：选B.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos αtan α>0.又0≤α≤2π，∴π4<α<π2或π<α<5π4.4．(2011年沂水高一检测)α，β，γ∈(0，π2)，且sin α＝13，tan β＝2，cos γ＝34，则( )A ．α<γ<βB ．α<β<γC ．β<α<γD ．γ<α<β解析：选A.∵α∈(0，π2)，sin α＝13，∴cos α＝223，∴tan α＝24，∵γ∈(0，π2)，cos γ＝34，∴sin γ＝74，∴tan γ＝73，∴24<73<2，∴tan α<tan γ<tan β， 又∵y ＝tan x 在(0，π2)上单调递增，∴α<γ<β.5．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数，且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A ．π B.2π|ω| C.π|ω| D ．与a 值有关[答案] C[解析] 利用图象知，直线y ＝a 与正切曲线y ＝tan ωx 相交的两相邻交点间的距离，就是此正切曲线的一个最小正周期值，因此距离为π|ω|，∴应选C.6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( )A ．－π6B.π6 C ．－π12D.π12[答案] A[解析] ∵函数的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6.7．下列直线中，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8[答案] C[解析] 由2x ＋π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋π8 (k ∈Z )，令k ＝0得，x ＝π8.8．要得到f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只须将f (x )＝tan2x 的图象( ) A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位 C ．向右平移π6个单位 D ．向左平移π6个单位[答案] C 二、填空题9．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________． 解析： 若ω≥0，与y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内递减矛盾． ∴ω<0.由－π2<ωx <π2(ω<0)解得π2ω<x <－π2ω. 由题意知：π2≤⎪⎪⎪⎪π2ω，∴|ω|≤1.∵ω<0，∴－1≤ω<0. 答案: [－1,0)10．将sin 25π，cos 65π，tan 75π按从小到大的顺序排列，依次是____________________．[答案] cos 65π<sin 25π<tan 75π[解析] cos 65π<0，sin 25π>0，tan 75π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋25π＝tan 25π>0，由25π的正切线与正弦线可知：tan 25π>sin 25π，∴cos 65π<sin 25π<tan 75π.11．函数y ________________．[答案] {x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z }[解析] 要使函数有意义，必须log 12tan x ≥0，∴0<tan x ≤1，∴k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z ，∴该函数的定义域是{x |k π<x ≤k π＋π4，k ∈Z }．12．给出下列命题：①函数y ＝cos x 在第三、四象限都是增函数；②函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω；③函数y ＝sin(23x ＋52π)是偶函数；④函数y ＝tan 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到y ＝tan(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________． 解析：①不正确，∵象限是集合概念，而y ＝cos x 的单调区间写法只是一个符号，不应看作集合；②不正确，∵ω可以小于0，应为π|ω|；③正确，y ＝sin(23x ＋52π)＝cos 23x 是偶函数；④正确，y ＝tan[2(x ＋π8)]＝tan(2x＋π4)． 答案：③④ 三、解答题13．求下列函数的定义域．(1)y ＋tan x ；(2)y ＝lg(2sin x －2)－1－2cos x ；(3)f (x )＝1＋2cos xtan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. [解析] (1)x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋log 12x ≥0tan x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )， ∴0<x <π2或π≤x ≤4，∴所求定义域为(0，π2)∪[π，4]．(2)x 应满足⎩⎨⎧2sin x －2>01－2cos x ≥0，∴⎩⎨⎧sin x >22cos x ≤12，利用单位圆中的三角函数线，可得∴π3＋2k π≤x <3π4＋2k π(k ∈Z )，∴所求定义域为[2k π＋π3，2k π＋3π4) ，(k ∈Z )．(3)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋2cos x ≥0tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3x ≠k π＋π4x ≠k π－π4(k ∈Z )．∴x ∈⎣⎡⎭⎫2k π－2π3，2k π－π4∪⎝⎛⎭⎫2k π－π4，2k π＋π4∪⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋2π3. 14．若y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)且－π2<θ<π2，求θ的值．解：∵y ＝tan α的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z )，∴2x ＋θ＝k π2(k ∈Z )，代入x ＝π3得θ＝k π2－23π(k ∈Z )，又∵－π2<θ<π2，∴当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3，∴θ＝－π6或π3.15.已知函数f (x )=tanωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y=4π所得线段长为4π,求f(4π)的值. 【解析】∵ω＞0,∴函数f(x)=tanωx 的周期为πω,且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω=4π,∴ω=4,f(x)=tan4x,∴f(4π)=tan π=0.16.设定义在区间（0，2π）上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象交于点P 0，过点P 0作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线P 0P 1与函数y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为多少？ 【解析】设P 0（x 0,y 0），则由0000y 6cosx y 5tanx =⎧⎨=⎩消去y 0得，6cosx 0=5tanx 0 ⇒6cos 2x 0=5sinx 0，即6sin 2x 0+5sinx 0-6=0，解得sinx 0=-32 (舍去)或sinx 0=23. ∵P 0P 1⊥x 轴，且点P 0、P 1、P 2共线，∴|P 1P 2|=sinx 0=23.17．作出函数y ＝tan |x |的图象，根据图象判断其周期性，并求出单调区间．解 y ＝tan |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， x ≥0，－tan x ， x <0，根据y ＝tan x 的图象，可作出y ＝tan |x |的图象(如图所示)．由图可知，函数y ＝tan |x |不是周期函数，它是单调减区间为(－π2，0]，(k π－3π2，k π－π2)，k ＝0，－1，－2，…；单调增区间为[0，π2)，(k π＋π2，k π＋3π2)，k ＝0,1,2，….18．已知函数y ＝tan x 在区间(－a 3π，a2π)上递增，求a 的取值范围．解 由a 2π>－a 3π，得a >0.故知(－a 3π，a 2π)⊆(－π2，π2)，得⎩⎨⎧－a 3π≥－π2，a 2π≤π2，故0<a ≤1，即a 的取值范围为(0,1]．。

5.4.3 正切函数的性质与图象基础巩固1.函数y=2tan (2x +π3)的定义域为( ) A.{x |x ≠π12}B.{x |x ≠-π12} C.{x |x ≠π12+kπ,k ∈Z}D.{x |x ≠π12+kπ2,k ∈Z}2.函数y=tan (12x -π3)在一个周期内的图象是( )3.函数y=lg tan x 的单调递增区间是( ) A.(kπ-π2,kπ+π2)(k ∈Z ) B.(kπ,kπ+π2)(k ∈Z ) C.(2kπ-π2,2kπ+π2)(k ∈Z ) D.(k π,k π+π)(k ∈Z )4.如图所示,函数y=√3tan (2x +π6)的部分图象与坐标轴分别交于点D ,E ,F ,则△DEF 的面积为( )A.π4B.π2C.πD.2π5.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=π4所得的线段长为π4,则f(π4)的值是()A.0B.1C.-1D.π46.函数y=3tan(x+π3)的图象的对称中心的坐标为.7.已知函数f(x)=tan(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为2π,则f(π6)=.8.比较大小:tan(-2π7)tan(-π5).9.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈[-π4,π4]的值域.能力提升1.已知函数y=tan ωx在区间(-π2,π2)内单调递减,则()A.0<ω≤1B.-1≤ω<0C.ω≥1D.ω≤-12.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(π2,3π2)内的图象是()3.(多选题)下列关于函数y=tan(x+π3)的说法错误的是()A.在区间(-π6,5π6)内单调递增B.最小正周期是πC.图象关于点(π4,0)成中心对称D.图象关于直线x=π6成轴对称4.若tan(2x-π6)≤1,则x的取值范围是.5.已知函数f(x),任意x1,x2∈(-π2,π2)(x1≠x2),给出下列结论:①f(x+π)=f(x);②f(-x)=f(x);③f(0)=1;④f(x1)-f(x2)x1-x2>0;⑤f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2.当f(x)=tan x时,正确的结论为(填序号).6.已知函数f(x)=3tan(π6-x 4 ).(1)求它的最小正周期和单调递减区间;(2)试比较f(π)与f(3π2)的大小.7.已知函数f(x)=a sin(ωx+π3)(ω>0),g(x)=b tanωx-π3(ω>0),它们的周期之和为3π2,且f(π2)=g(π2),f(π4)=-√3g(π4)+1.求这两个函数的解析式,并求出g(x)的单调递增区间.参考答案基础巩固1. D2. A3. B4. A5. A6.(kπ2-π3,0)(k∈Z)7. 18. <9-π4≤x ≤π4,∴-1≤tan x ≤1. 令tan x=t ,则t ∈[-1,1].∴y=-t 2+4t+1=-(t-2)2+5.∴当t=-1,即x=-π4时,y min =-4,当t=1,即x=π4时,y max =4.故所求函数的值域为[-4,4].能力提升1. B2. D3. ACD4. {x |-π6+kπ2<x ≤5π24+kπ2,k ∈Z}5.①④6.解(1)因为f (x )=3tan (π6-x 4)=-3tan x4−π6, 所以最小正周期T=π14=4π.由k π-π2<x 4−π6<k π+π2(k ∈Z ),得4k π-4π3<x<4k π+8π3(k ∈Z ).因为y=3tan (x 4-π6)在区间4k π-4π3,4k π+8π3(k ∈Z )内单调递增, 所以f (x )=3tan (π6-x4)在区间(4k π-4π3,4k π+8π3)(k ∈Z )内单调递减. 故函数f (x )的最小正周期为4π,单调递减区间为(4k π-4π3,4k π+8π3)(k ∈Z ). (2)f (π)=3tan (π6-π4)=3tan (-π12)=-3tan π12,f (3π2)=3tan (π6-3π8)=3tan (-5π24)=-3tan 5π24, 因为0<π12<5π24<π2,且y=tan x 在区间(0,π2)内单调递增,所以tan π12<tan 5π24,所以f (π)>f (3π2).7,可得{2πω+πω=3π2,asin (ωπ2+π3)=btan (ωπ2-π3),asin (ωπ4+π3)=-√3btan (ωπ4-π3)+1,解得{ω=2,a =1,b =12,故f(x)=sin(2x+π3),g(x)=12tan(2x-π3).当kπ-π2<2x-π3<kπ+π2(k∈Z),即kπ2−π12<x<kπ2+5π12(k∈Z)时,g(x)单调递增.所以g(x)的单调递增区间为(kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z).。

5.4.3 正切函数的性质与图象基 础 练巩固新知 夯实基础1.函数tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．3+,4xx k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣ B ．3+2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣ C ．,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D ．2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ 2.函数()2tan 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π3.已知13122,log 3,tan53a b c -===︒，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<4.若函数f (x )=tan(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,则 ( )A. f (2)>f (0)>f (-π5) B. f (0)>f (2)>f (-π5) C. f (0)>f (-π5)>f (2) D. f (-π5)>f (0)>f (2)5.(多选)下列关于函数y =tan (x +π3)的说法正确的是( )A.在区间(-π6,5π6)上单调递增 B.最小正周期是πC.图象关于点(π6,0)成中心对称 D.图象关于直线x =π6成轴对称 6.已知函数f (x )＝x ＋tan x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 7.求y ＝3－tan x 的定义域.8.根据正切函数的图象,写出使不等式3+√3tan 2x ≥0成立的x 的取值集合.9.设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．能 力 练综合应用 核心素养10.函数()()2ln 2tan f x x x x =-++的定义域是（ ）A ．ππ0,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()0,2C ．()(),02,-∞+∞D ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭11.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－112.函数()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．4πD ．2π 13.已知函数()tan 3f x x x =，若对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．53,⎛-∞ ⎝⎦B ．53,⎛-∞ ⎝⎭C ．3,⎛-∞ ⎝⎦D ．3,⎛-∞ ⎝⎭14.(多选)已知函数f (x )={tanx ,tanx >sinx ,sinx ,tanx ≤sinx ,则 ( )A. f (x )的值域为(-1,+∞)B. f (x )的单调递增区间为[kπ,kπ+π2)(k ∈Z)C.当且仅当k π-π2<x ≤k π(k ∈Z)时,f (x )≤0 D. f (x )的最小正周期是2π15.已知函数y =-tan 2x +4tan x +1,x ∈[-π4,π4],则其值域为 .16.函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1为________函数(填“奇”或“偶”)．17.函数tan 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心的坐标为___________.18.若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3ω=___________.【参考答案】1.A 解析：由()()3424x k k Z x k k Z πππππ-≠+∈⇒≠+∈，故选：A 2.C 解析：函数()2tan 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为212ππ=.故选：C.3.B 解析：∵1030221a -<=<=，1122log 31log 0b =<=，tan531tan 45c ︒>︒==，b ac ∴<<.故选：B.4.C 解析：由函数f (x )=tan (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,可得πω=π,解得ω=1,即f (x )=tan (x +π4),令-π2+k π<x +π4<π2+k π,k ∈Z,得-3π4+k π<x <π4+k π,k ∈Z,当k =1时,π4<x <5π4,即函数f (x )在(π4,5π4)上单调递增,又f (0)=f (π),f (-π5)=f (-π5+π)=f (4π5),且54π>π>4π5>2>π4,所以f (0)>f (-π5)>f (2).故选C .5.BC 解析： 令k π-π2<x +π3<k π+π2,k ∈Z,得k π-5π6<x <k π+π6,k ∈Z,显然(-π6,5π6)不满足上述关系式,故A 中说法错误;显然该函数的最小正周期为π,故B 中说法正确;令x +π3=kπ2,k ∈Z,得x =kπ2-π3,k ∈Z,当k =1时,得x =π6,故C 中说法正确;正切曲线没有对称轴,因此函数y =tan (x +π3)的图象也没有对称轴,故D 中说法错误.故选BC . 6. 0 解析：设g (x )＝x ＋tan x ，显然g (x )为奇函数．∵f (a )＝g (a )＋1＝2，∴g (a )＝1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝0. 7. 解：由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3， 所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z ． 8. 解：如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y =tan x ,x ∈(-π2,π2)的图象和直线y =-√3.由图得,在区间(-π2,π2)内,不等式tan x ≥-√3的解集是{x|-π3≤x <π2},∴在函数y =tan x 的定义域x x ≠kπ+π2,k ∈Z 内,不等式tan x ≥-√3的解集是{x|kπ-π3≤x <kπ+π2,k ∈Z}.令k π-π3≤2x <k π+π2(k ∈Z),得kπ2-π6≤x <kπ2+π4(k ∈Z),∴使不等式3+√3tan 2x ≥0成立的x 的取值集合是{x|kπ2-π6≤x <kπ2+π4,k ∈Z}.9. 解：(1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，则x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．10.A 解析：由题意得()220ππ2x x x k k Z ⎧-+>⎪⎨≠+∈⎪⎩, 解得02x <<且π2x ≠,则()f x 的定义域为ππ0,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A . 11.B 解析：∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0. 12.D 解析：函数()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由tan 2y x =的图象先向右平移6π个单位长度，再把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，故()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期与tan 2y x =的相同，为2π，故选：D.13.A 解析：由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x a >恒成立，则只要min ()f x a >即可，因为函数tan y x =和3y x=在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数，所以函数()tan 3f x x x =，在,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上是增函数，所以53()tan 3sin 666f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以53a ≤故选：A. 14.AD 解析：当tan x >sin x ,即k π<x <k π+π2(k ∈Z)时, f (x )=tan x ∈(0,+∞);当tan x ≤sin x ,即k π-π2<x ≤k π(k ∈Z)时,f (x )=sin x ∈(-1,1).综上, f (x )的值域为(-1,+∞),故A 正确;f (x )的单调递增区间是(2kπ-π2,2kπ+π2)和2k π+π,2k π+3π2(k ∈Z),故B 错误;当x ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z)时,f (x )>0,故C 错误;结合f (x )的图象可知f (x )的最小正周期是2π,故D 正确.故选AD .15.[-4,4] 解析：∵-π4≤x ≤π4,∴-1≤tan x ≤1.令tan x =t ,则t ∈[-1,1]. ∴y =-t 2+4t +1=-(t -2)2+5,t ∈[-1,1].易知函数在[-1,1]上单调递增,∴当t =-1,即x =-π4时,y min =-4,当t =1,即x =π4时,y max =4.故所求函数的值域为[-4,4]. 16. 奇 解析：由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称． f (－x )＋f (x )＝lg tan －x ＋1tan －x －1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．17.,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k Z ∈ 解析：令26x π-＝2k π (k Z ∈)，得412k x ππ=+ (k Z ∈)，∴对称中心的坐标为(,1)()412k k Z π+∈π． 18.14- 解析：因为函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以0ω<，23ππω≥，则302ω-≤<，又因为函数在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3所以,343k k Z πππωπ-+=+∈，即13,4k k Z ω=--∈，所以14ω=-.。

正切函数图像及性质 知识点梳理函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π例1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.例3、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=421tan 3πx y例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y练习1、求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性；练习2、求函数的单调区间⎪⎭⎫⎝⎛+-=421tan 3πx y课堂练习1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是 ( )2.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.43．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是 ( )4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.5.下列说法正确的是( )A.y ＝tan x 是增函数B.y ＝tan x 在第一象限是增函数C.y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数6.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z}7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A.π2B.2πC.πD.与a 值有关8.下列各式中正确的是( )A.tan 4π7＞tan 3π7B.tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－17π5C.tan 4＞tan 3D.tan 281°＞tan 665°9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )10.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________.11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ＝________.12.若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.13已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域和值域.(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域.。