第三章空间力系
二、基本内容
1. 基本概念
1) 力在空间直角坐标轴的投影
(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为
X = F cos a
Z = Feos/
(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为
X = F sin/cos^9
Y = F sin/sin 。
Z = F cos/
2) 力矩的计算
(a) 力对点之矩
—、目的和要求
能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、
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6^ 7、
在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为
i j k
M0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)k
X Y Z
r = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk
其中尸为力尸作用点的位置矢径
(b)力对轴之矩
在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即
M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB
在直角坐标条下有
Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX
(c)力矩关系定理
力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有
Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k
(d)合力矩定理
空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即
Mo g)二 W, (F)
空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即
M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)
3)空间力偶及其等效条件
(a)力偶矩矢
空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
力偶矩矢M是个自由矢量，其大小等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。
(b)力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。
2.空间力系的简化与合成的最终结果
1)空间力系向已知点。
简化
空间力系向已知点0简化的一般结果为一个作用在0点的力和一个力偶，该力矢量等于此力系的主矢。
该力偶的力偶矩矢量等于力系对简化中心0的主矩。
主矢与简化中心的选取无关。
一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。
2)空间力系合成的最终结果
空间力系的最终合成结果有四种可能：一个合力、一个合力偶、一个力螺旋
和平衡，这四种结果可由力系的主矢和力系对任意一点的主矩来判断。
具体归纳如下：
3.空间力系的平衡条件和平衡方程
空间力系平衡的充分与必要条件为：该力系的主矢和对任意点的主矩同时为零。
其基本形式的平衡方程为：
£X=0ZM A(F)=O
zy=o ZM y(F)=O
ZZ=O ZMz(F)=O
须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。
具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取
适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。
此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。
使计算更为简便。
几种特殊力系的平衡方程
(a)空间汇交力系
xx=o
牛0
12^0
(b)空间力偶系
XM x(F)=O
XM y(F)=O
ZA/z(F)=O
(c)空间平行力系(若各力〃z轴)
zz=o
ZM X（F）=O
ZM V（F）=O
（d）平面任意力系（若力系在Qxy平面内）
EX =0
£Y = 0
珈 0） = 0
4.空间力系平衡方程的应用
求解空间力系平衡问题的要点归纳如下：
（1）求解空间力系的平衡问题，其解题步骤与平面力系相同，即先确定研究对象，再进行受力分析，画出受力图，最后列出平衡方程求解。
但是，由于力系中各力在空间任意分布，故某些约束的类型及其反力的画法与平面力系有所不同。
（2）为简化计算，在选择投影轴与力矩轴时，注意使轴与各力的有关角度及尺寸为已知或较易求出，并尽可能使轴与大多数的未知力平行或相交，这样在计算力在坐标轴上的投影或力对轴之矩就较为方便，且使平衡方程中所含未知量较少。
同时注
意，空间力偶对轴之矩等于力偶矩矢在该轴上的投影。
（3）根据题目特点，可选用不同形式的平衡方程。
所选投影轴不必相互垂直，也不必与矩轴重合。
当用力矩方程取代投影方程时，必须附加相应条件以确保方程的独立性。
但由于这些附加条件比较复杂，故具体应用时，只要所建立的一组平衡方程，能解出全部未知量，则说明这组平衡方程是彼此独立的，已满足了附加条件。
（4）求解空间力系平衡问题，有时采用将该力系向三个正交的坐标平面投影的方法，把空间力系的平衡问题转化为平面问题求解。
这时必须注意正确确定各力在投影面中投影的大小、方向及作用点的位置。
5.平行力系中心及物体的重心
1）平行力系中心
只要平行力系中各力的大小及作用点的位置确定，无论平衡力系中力的方向如何，其合力作用线必定通过确定的一点，该点称为平行力系中心。
其坐标公式为
X = £F*= Z =
c £Fi，£Fj， c £Fj
2）物体的重心
物体的重心是该重力的合力始终通过的一点。
均质物体的重心与中心重合。
物体的重心在物体内占有确定的位置，与物体在空间的位置无关。
物体重心的坐
标公式为
匹丸=四，z/巫
6", °£P,c迁
三' 重点和难点
重点：1.力在空间直角坐标轴上的两种投影法；
2.力对轴之矩和力对点之矩的计算及力矩关系定理；
3.空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程及其应用；
4.各种常见的空间约束及约束反力画法；
5.重心的坐标公式。
难点：1.力在坐标轴上的二次投影；
2.空间力偶矩矢在坐标轴上的投影；
3.空间结构的几何关系与立体图；
4.解空间力系平衡问题时力矩轴的选取；
5.求组合体的形心坐标。
四、教学建议
1.教学提示
①采用模型或多媒体课件讲解建立空间概念。
②计算空间力在坐标轴上的投影有两种方法，讲清各自的适用条件，区分力
的轴上、平面上的投影。
③明确空间力偶矩矢的性质，为什么规定它为自由矢量、如何表示其等效条件，
熟悉空间力偶系合成的解析法。
④力对点之矩是理解空间力系简化与合成的关键，而力对轴之矩是正确列出力矩
式平衡方程的基础，故要充分重视力对轴之矩的计算。
计算的方法有4种:
（a）当力臂便于确定时，可直接由定义计算；（b）一般情况下，常将力沿坐标轴
分解，应用合力矩定理计算；（C）将力沿坐标轴分解之后代入力对轴之矩的分析表达式计算；（d）利用力矩关系定理计算。
在计算力对轴之矩时准确地分析一个力对某轴之矩的正、负或为零也很重要（若一力与某轴共面，则此力对该轴之矩为零）。
⑤通过与平面任意力系对照和比较的方法，来理解空间任意力系向一点简化的方
法、主矢和主矩的概念，简化结果、平衡条件及平衡方程，重点介绍力矩轴与投影轴选取原则与方法，简单系统的空间平衡问题。
⑥在计算重心坐标时要讲清坐标选取原则，利用对称均质物体的对称性求重
心，对组合法求重心要求熟练应用，积分法、查表法、实验法等只作一般介绍。
2.作业布置
习题 3-1 3-2 3-4 3-5 3-7 3- 8 3-9 3-12 3-15 3-16
3-18 3-20。
