理论力学-空间任意力系
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理论力学L4-4 空间力系简化
c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' b) 若主矢平行于主矩：FR // M o
O
MO
' 由一个力和一个力偶(且力 FR 垂直于力偶作用面)组成的
力系，称为力螺旋。 力和力偶都是基本力学量， 力螺旋不能再简化。
力偶矩矢与力矢同方向的称为右螺旋(力偶的转 向与力的方向符合右手关系)；反之称左螺旋。 但一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直。
§4-4 空间任意力系向一点简化
一、空间任意力系向一点简化 与平面任意力系向一点简化相似，空间任意力 系也是利用力的平移定理将各力平移到简化中 心 O 处，并附加矢量表示的空间力偶，则原力 系与空间汇交力系＋空间力偶系等效。
MO m m1 n
F2 F’2
F’R
O
F’n
Fn
F’1 m2
F 又由于力偶矩矢是自由矢量，再将平行于 的 R '' 力偶矩矢 M o 平行移动与FR 重合，成为力螺旋。 一般情况下，空间力系简化结果是一个力螺旋。
约束类型
约束反力
数量
空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力
3
4
5 6
MO
F’R
对于空间汇交力系的合 ' 力FR ：
O
' FR 等于该力系各力的矢量和， 称其为该力系的主矢； 对于空间力偶系的合力偶，其力偶矩矢 M O等于 各附加力偶矩的矢量和，也是力系中各力对点O 力矩矢的矢量和： MO mi mO ( Fi ) 称为该力系对简化中心O点的主矩。
理论力学(大学)课件8.1 空间任意力系向一点的简化及结果分析
空间任意力系及重心的计算
c. 简化为合力偶
⑤ FR′= 0, MO≠0
一个合力偶 与简化中心无关。 d. 平衡
⑥ FR′= 0, MO= 0
平衡
平面任意力系简化的最后结果
只能是合力、合力偶、平衡三种情况，不可能出现力螺旋。
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
中心轴过简化中心的力螺旋
力螺旋 由一个力和一个力偶组成的力系, 并且力垂直于力 偶的作用面。
MO O F'R
F'R O
右螺旋
F'R O
F'R O
MO
左螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
钻头钻孔时施加的力螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
å å å 方向 cos(FR¢ , i) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , j) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , k) =
Fiz FR¢
作用点: 一般令其作用于简化中心上
空间任意力系及重心的计算
空间力偶系的合力偶矩
å å MO = Mi = MO (Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间任意力系及重心的计算
汇交力系的合力
FR¢ = å Fi = å Fxi + å Fy j + å Fzk
主矢
F1¢
M2
M1
FR¢ F2¢
Fn¢ M n
第三章理论力学
因此，其平衡的解析条件为：
F
x
0
x
F
y
0
y
F
z
0
z
M
0
M
0
M
0
------ 平衡方程
共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力． 3、空间任意力系的两种特殊情况： 1）空间平行力系的平衡方程
Fy F cos
，
方向：＋、－号；
Fz F cos
2）间接投影法（二次投影法） 如果只已知与一根轴的夹 角 ，则通常的做法是：先将 该力向z 轴及其垂面分解（与 垂面的夹角为 90 )，而位于 垂面内的分力，其平面几何关
系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内
找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹
第三章
空间力系
注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本概念、基本原理 和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需 要掌握的内容设有标注，望大家掌握．
一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于 三维空间时，该力系称为空间力 系． 二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的 分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶 系、空间平行力系和空间 任意力系． 三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及 平衡问题．
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy x Fx y
理论力学第3章
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
理论力学
中南大学土木建筑学院
7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
理论力学
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22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
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7
mz (P )mz (P x )mz (P y )mz (P z )6Px (5Py )0 6Pcos45sin605Pcos45cos6038.2(Nm)
mx (P )mx (P x )mx (P y )mx (P z )006Pz 6Psin4584.8(Nm)
由 mA (Fi ) 0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0
XA 0
Y 0
YB NB P0,
YA
P 3
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22
二、平面平行力系平衡方程 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影恒 等于零，即 X 0 恒成立， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
R '0F 0 M O mO (Fi )0
又 R' (X )2 (Y )2 (Z )2
MO (mx (F ))2 (my (F ))2 (mz (F ))2
所以空间任意力系的平衡方程为：
X 0,mx (F )0 Y 0,my (F )0 Z 0,mz (F )0
再研究轮
mO (F )0
SAcosRM 0 X 0
X O SAsin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR XO P tg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
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大学理论力学__空间力系的平衡方程
二力矩式
X 0
M A 0
MB 0
条件是：AB两点的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直
三力矩式
M A 0
MB 0
条件是：ABC三点不能共线
M C 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
平面平行力系的平衡条件和平衡方程
如图：物体受平面平行力系F1 ，
y
F2 ， …， Fn的作用。
如取 x 轴与各力垂直，不论力系是否
3.1.1平衡条件
从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡 的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主 矩为零，即：
'
FR 0
M0 0
3.1.2空间任意力系的平衡方程
Xi 0 ,Yi 0 , Zi 0
M x( Fi ) 0, M y( Fi ) 0, M z( Fi ) 0
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系 中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零， 对每一坐标轴之矩的代数和为零。
解得：F 15.01kN Ax
FAy 5. 3 kN
F 17.33 kN
BC
A
D
B
E
3m
1m
2m
C
X 0，
FAx FBC cos30 0
FAy
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0
A
M B (F ) 0，P DB Q EB FAy AB 0
距为4m。平衡荷重P3，到机中心
距离为6m。求：
P3
（1）保证起重机在满载
6m
和空载时都不致翻倒，平
衡荷重P3 为多少？
P1
P2
12m
（2）当平衡荷重P3 =180KN时，求满载时轨道A 、
理论力学(3.7)--空间任意力系-思考题
第三章 空间力系3-1 在正方体的顶角A 和B 处，分别作用力1F 和2F ，如图所示。
求此两力在x ，y ，z 轴上的投影和对x ，y ，z 轴的矩。
试将图中的力1F 和2F 向点O 简化，并用解析式计算其大小和方向。
3-2 图示正方体上A 点作用一个力F ，沿棱方向，问：（1）能否在B 点加一个不为零的力，使力系向A 点简化的主矩为零？（2）能否在B 点加一个不为零的力，使力系向B 点简化的主矩为零？（3）能否在B ，C 两处各加一个不为零的力，使力系平衡？（4）能否在B 处加一个力螺旋，使力系平衡？（5）能否在B ，C 两处各加一个力偶，使力系平衡？（6）能否在B 处加一个力，在C 处加一个力偶，使力系平衡？3-3 图示为一边长为a的正方体，已知某力系向B点简化得到一合力，向Cﾢ点简化也得一合力。
问：（1）力系向A点和'A点简化所得主矩是否相等？（2）力系向A点和'O点简化所得主矩是否相等？3-4 在上题图中，已知空间力系向'B点简化得一主矢（其大小为F）及一主矩（大小、方向均未知），又已知该力系向A点简化为一合力，合力方向指向O点试：（1）用矢量的解析表达式给出力系向'B点简化的主矩；（2）用矢量的解析表达式给出力系向C点简化的主矢和主矩。
3-5 （1）空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面；（2）空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点。
试分析这两种力系最多能有几个独立的平衡方程。
3-6 传动轴用两个止推轴承支持，每个轴承有三个未知力，共6个未知量。
而空间任意力系的平衡方程恰好有6个，是否为静定问题？3-7 空间任意力系总可以由两个力来平衡，为什么？3-8 某一空间力系对不共线的三点主矩都为零，问此力系是否一定平衡？3-9 空间任意力系向两个不同的点简化，试问下述情况是否可能？（1）主矢相等，主矩相等。
（2）主矢不相等，主矩相等。
（3）主矢相等，主矩不相等。
5 理论力学--空间任意力系
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
z z
F
O
F A
B
d
A x
x
O d
y a F x
y
y
Fy
b
Fx
图5-2
力F对z轴的矩，就等于力F在垂直于z轴的Oxy平面 上的投影Fxy对z轴与该平面的交点O的矩(见图5-2)
M z ( F ) M O (Fxy ) Fxy d 2Oab
力对轴的矩是一个代数量。 正负号规定：右手螺旋规则。
z
任选O点为简化中心,将各力
平行搬移到O点(见图5-4)。 根据力线平移定理，将各力 平行搬移到O点，得到一空间汇 交力系；和一附加力偶系。
F1 ' F1 , F2 ' F2 , , Fn ' Fn ;
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ), , M n M O (Fn ) .
x 2 Ax
y 1 Ay
C
F2
x 0
z
1
Az
FAy
1
2
y
x
z
1
2
z
图5-9
解得
FAx 100kN FAy 200kN FAz 400kN M x 600kN m M y 500kN m M z 400kN m
例5-3 如图5-10(a)所示板ABCDEF由六根链杆支承，正方形 ABCD位于水平面内，EF平行于CD。试求沿AD方向作用有力F时， 六根杆的内力。 B 4 C 3 a 解： 取悬臂刚架ABCDEFG为研究 F 5 2 对象，受力如图5-10(b)所示。 D a
理论,力学,答案,理论力学习题答案
·36·第4章 空间力系一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．力在坐标轴上的投影是代数量，而在坐标面上的投影为矢量。
( √ )2．力对轴之矩是力使刚体绕轴转动效应的度量，它等于力在垂直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。
( √ )3．在平面问题中，力对点之矩为代数量；在空间问题中，力对点之矩也是代数量。
( × )4．合力对任一轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。
( √ )5．空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。
( √ ) 6．物体重力的合力所通过的点称为重心，物体几何形状的中心称为形心，重心与形心一定重合。
( × ) 7．计算一物体的重心，选择不同的坐标系，计算结果不同，因而说明物体的重心位置是变化的。
( × ) 8．物体的重心一定在物体上。
( × )二、填空题1．空间汇交力系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑xF、0=∑yF和0=∑zF 。
空间力偶系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑xM、0=∑yM和0=∑zM。
而空间任意力系共有六个独立的平衡方程，一般可表示为0=∑xF、0=∑yF、0=∑zF 、0)(=∑F xM 、 0)(=∑F yM 和0)(=∑F zM 。
2．由n 个力组成的空间平衡力系，如果其中的(n -1)个力相交于A 点，那么另一个力也必定通过点A 。
3．作用在同一刚体上的两个空间力偶彼此等效的条件是力偶矩矢相等。
4．空间力对一点的矩是一个矢量，而空间力对某轴的矩是一个代数量。
5．空间力F 对任一点O 之矩)(F M O 可用矢量积来表示，即F r F M ⨯=)(O 。
写成解析表达式为k j i F M )()()()(x y z x y z O yF xF xF zF zF yF -+-+-=。
6．当空间力与轴相交时，力对该轴的矩等于零。
理论力学3—空间力系
r r ur
uur uur r
i jk
M O (F ) r Fuur = x y z
z MO(F)
kr Oj
ih x
Fx Fy Fz
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
B F
A(x,y,z) y
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
偶系，如图。
z F1
z M2
z
Fn O
x F2
＝ M1
y
O
x F'n
F'1
＝ MO
Mn y
O
F'2
x
F'R y
uur uur
uFuri Fuiur uur
M i M O (Fi ) (i 1, 2,L , n)
3.4.1 空间力系向一点的简化
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uur uur FR Fi Fi
如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。
解：
uur uur uur M AC (F ) M C (F ) AC
uur uur
M C (F ) F cos a
Fba
a2 b2
B
C
F
D
c
A
a
b
uur uur uur
M AC (F ) M C (F ) cos
Fabc a2 b2 a2 b2 c2
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )
理论力学第5章-空间任意力系
物G = 100 kN的重物，绞车处于平衡状态，结构的几何尺寸如图 所示。试求胶带的拉力和轴承A、B的约束力。
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
理论力学(大学)课件8.2 空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束
2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束空间任意力系平衡的充要条件：空间任意力系的平衡方程:00xy z F FF ===ååå00xyzMMM===ååå空间任意力系平衡的充要条件：力系中各力在任一坐标轴上的投影的代数和等于零，以及各力对每一个坐标轴的力矩的代数和也等于零.该力系的主矢、主矩分别为零.(1) 空间任意力系的平衡方程(基本式)常见的空间约束00xy z F FF===ååå00xyzM M M ===ååå空间任意力系的平衡方程(基本式)平衡方程除了基本式之外，还有四矩式、五矩式、六矩式。
有几个力矩平衡方程，称之为几矩式。
各种形式应该根据实际情况灵活运用。
基本式以外的方程形式，通常不再给限定条件，一般的情况下只要列出的方程能求解出未知量即是未违反限制条件。
常见的空间约束00zxyF MM===ååå空间平行力系的平衡方程各种力系的独立平衡方程个数空间任意力系6个空间汇交力系3个空间平行力系3个空间力偶系3个平面任意力系3个平面汇交力系2个平面平行力系2个平面力偶系2(1)个最一般情形：空间、任意一级特殊情形（包含一种特殊情况）：空间问题+特殊力系，或者任意力系+平面情形二级特殊情形（包含两种特殊情况）：平面问题+特殊力系。
2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束(2) 空间常见约束类型柔索二力杆2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束径向轴承圆柱铰链铁轨蝶铰链球铰链导向轴承带有销子的夹板导轨空间任意力系及重心的计算f. 6个未知约束量空间固定端约束分析实际的约束时，需要忽略一些次要因素，抓住主要因素，做一些合理的简化。
比如导向轴承和径向轴承之间的区别；蝶铰链和止推轴承之间的区别。
如果刚体只受平面力系的作用，则垂直于该平面的约束力和绕平面内两轴转动的约束力偶都应该为零，相应减少了约束量的数目。
理论力学：第3章 力系的平衡
1第3章 力系的平衡 3.1 主要内容空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即 0=R F 0=O M 空间力系平衡方程的基本形式 0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力 0=R F空间汇交力系平衡方程的基本形式0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F空间力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶矩矢的矢量和 0=∑i M空间力偶系平衡方程的基本形式 0)(,0)(,0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即：0=∑='F F R;0)(=∑=F O O M M 平面力系的平衡方程有三种形式：基本形式： 0)(,0,0=∑=∑=∑F M F F O y x二矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M F B A x （A 、B 连线不能与x 轴垂直）三矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M M C B A （A 、B 、C 三点不共线）平面力系有三个独立的平衡方程，可解三个未知量。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，即0=∑=F F R 平衡的解析条件：各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即0,0=∑=∑y x F F两个独立的平衡方程，可解两个未知量。
平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即∑=0Mi一个独立的平衡方程，可解一个未知量。
3.2 基本要求1．熟练掌握力的投影，分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。
2．能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。
对平面一般力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。
3．正确理解静定和超静定的概念，并会判断具体问题的静定性。
理论力学-空间任意力系案例
Mx 0 M1 M 3 cos 45 0
My 0 M 2 M 3 sin 45 0
M1 M2 设正方体边长为a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有 F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB2 F1 F2
杆 A1受A2 拉， B受1B2压。
例3-8 已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图 求：A、B、C 处约束力
求：杆受力及绳拉力
解： 画受力图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos30 F2 cos 45 cos30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
由对称性，有 x C 0
A1
π 2
R2,
A2
π 2
(r
Hale Waihona Puke b)2 ,A3πr 2
y1
4R 3π
,
y2
4(r 3π
b)
,
y3
0
由 yC
Ai yi A
得
yC
A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 A1 A2 A3
40.01mm
求： F1, F2 及A、B处约束力
解： 研究对象，曲轴
列平衡方程
Fx 0 F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0 Fy 0 0 0
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
MxF 0
F1 cos30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0
My 0 M 2 M 3 sin 45 0
M1 M2 设正方体边长为a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有 F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB2 F1 F2
杆 A1受A2 拉， B受1B2压。
例3-8 已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图 求：A、B、C 处约束力
求：杆受力及绳拉力
解： 画受力图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos30 F2 cos 45 cos30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
由对称性，有 x C 0
A1
π 2
R2,
A2
π 2
(r
Hale Waihona Puke b)2 ,A3πr 2
y1
4R 3π
,
y2
4(r 3π
b)
,
y3
0
由 yC
Ai yi A
得
yC
A1 y 1 A2 y 2 A3 y 3 A1 A2 A3
40.01mm
求： F1, F2 及A、B处约束力
解： 研究对象，曲轴
列平衡方程
Fx 0 F1 sin 30 F2 sin 60 FAx FBx 0 Fy 0 0 0
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
MxF 0
F1 cos30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0
空间任意力系
mz(F)= - 62P/5; mz(F)= 62P/5; mz(F)= 0; mz(F)= 0;
x
5
y
P 4
3
p.4
理论力学
理论力学
力对轴之矩与力对点之矩的关系 z
F
MO
M
M
y
OX
M
X
(F )
O
OY
M Y (F )
r x
M
Oz
M z (F )
力对点之矩在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对此轴的矩
1
A2
1 C
O 1
4
A3 x
A1 x 1 A 2 x 2 A 3 x 3 A1 A 2 A 3 A1 y 1 A 2 y 2 A 3 y 3
A1 A 2 A 3
2 2
2
0 . 25 cm
3
1 . 25 cm
负质量（负面积）法
A1 20 cm A 2 4 cm
p.17
理论力学
理论力学
例10.热轧不等边角钢的截面近似的简化如图所示，已知 B=12cm，b=8cm，d=1.2cm；求该截面重心的位置。
y d
解: (1) 将截面分成两个矩形，面积和 重心分别为：
C1 C C2 d
B
A1 1 . 2 12 14 . 4 cm , x 1 0 . 6 cm , y 1 6 cm
P V
v x V
v y PV
zc
v z V
均质薄板
xc
v A d
A x A
V Ad
yc
理论力学3.2空间任意力系的简化与合成
FAz FBz F1 cos F2 cos 0
200
0
F1 3(KN )
F2 6(KN ) FBz 1.80(KN )
FBx 3.35(KN )
FAz 7.40(KN )
FAx 10.05(KN )
11
例3.2-4 图示车床主轴中车刀对半径为r=30mm工件 的切削力:径向切削力Fx=4.25kN,纵向切削力 Fy=6.8kN,主切削力Fz=17kN,C处有半径为R=50mm 齿轮啮合力:切向力Ft (平行于x轴)和径向压力Fr(平 行于z轴),Fr=0.36Ft,卡盘及工件自重不计,求:1）齿轮 啮合力Ft与Fr；2）径向轴承A与止推轴承B的约束 力；3）三角卡盘E在O处对工件的约束力。
0 0 0
F R F1 0.5D F2 0.5D 0
FBFZBx
400 400
F F1
200 F1 cos sin 200 F2
200 F2 cos sin 200 0
FAx FBx F1 sin F2 sin 0
原力系等效于一个作用点在简化中心处的力(称为合力)
3
学而不思则罔，思而不学则殆
4）
FR 0
mR 0
这种情况又可细分为三种情形
4.1）
FR
mo
d mo / FR
原力系等效于一个
力（合力）
4.2）
FR
//
mo
原力系等效于
一个力螺旋
4
学而不思则罔，思而不学则殆
4.3）
FR 既不平行、也不垂直于
Fiz 0
FA FB FD F1 G 0
理论力学第四章任意力系
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
二、空间任意力系的简化与合成
1、空间一般力系向一点简化 把研究平面一般力系的简化方法用来研究空间一般力系的
简化问题，须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
y
MO
O
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
R'
2 . R' 0 , MO 0 ;
x
3 . R' 0 , M O 0 ;
4. R' 0 , M O 0 .
4. R' 0 , M O 0 .
为最一般的情况。此种情况还可以继续
2 . R' 0 , MO 0 ;
简化结果为一合力偶,MO = M 此时力系等效于一个力偶的作用.
因为力偶 可以在平面内任意 移动，故 这种情况下主矩与 简化中心 O 无关。
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
y
MOOΒιβλιοθήκη 简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
求：１）合力的大小与方向；２）合力与基线OA的交点到O点的
距离 x 及合力作用线方程。(力系向Ｏ点简化的最后结果）
y 3m
解:１）求 FR'x , FR'y
▼
P1
1.5
9m
F1
3m
P2
03-理论力学-第一部分静力学第三章空间力系
F X i Y j Z k , r xi y j zk i jk MO(F) r F x y z
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
X
Y
Z
( yZ zY )i (zX xZ) j (xY yX )k
2 力对轴的矩
力使物体绕某一轴转动效应的度 量，称为力对该轴的矩。
16
力对轴的矩的定 义 M z (F ) MO (Fxy )
力系简化的计算 计算主矢的大小和方向
FRx X , FRy Y , FRz Z
FR FRx2 FRy2 FRz2
cos FRx ,
FR
cos FRy ,
FR
cos FRz
FR
计算主矩的大小和方向
MOx M x (F ) , MOy M y (F ) ,
MOz M z (F )
与 z 轴共面
18
力对轴的矩的解析式
先看对z轴的矩:
M z (F ) MO (Fxy )
M O (Fy ) MO (Fx )
Fy x y Fx
xY yX
类似地，有：
M x (F) yZ zY M y (F ) zX xZ M z (F ) xY yX
Fy
Fx
Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
3
§3 - 1 空间汇交力系 本节的主要内容有：
★ 空间力的投影；
★空间汇交力系的合成与平衡。
1 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
(1) ■直接投影法
X F cos
Y F cos
Z F cos
也称为一次投影法
4
■间接投影法
Fx y F sin X Fxy cos F sin cos Y Fxy sin F sin sin
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F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N, FBx 3348N, FBz 1799N,
例3-10
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F（2）A、B处约束力 （3）O 处约束力
空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不 改变力偶对刚体的作用效果.
只要保持力偶矩不变，力偶 可在其作用面内任意移转，且可 以同时改变力偶中力的大小与力 偶臂的长短，对刚体的作用效果 不变.
力偶矩矢是自由矢量
三．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
FR 0, MO 0
力螺旋
一个合力偶，此时与简化中心无关。
FR ' 0, M O 0, FR ' // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
FR 0, MO 0, FR, MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
d M O sin
FR
平衡
FR 0, MO 0
平衡
§3–5 空间任意力系的平衡方程
M y Miy M 2 80N m M z Miz M1 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解： 取整体，受力图如图所示.
Fy 0 0 0
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
MxF 0
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0
M y F 0FBiblioteka RD 2F2
F1
0
M z F 0 (F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0
M x 0 F2 400 FBz 800 0
M z 0 F1 400 FBx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
例3-7 已知：正方体上作用两个力偶 (F1, F1), (F2, F2),
CD // A2E ,不计正方体和直杆自重.
求：正方体平衡时，力 F1, F的2 关系和两根杆受力.
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
主矩
MO Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
FRx — 有效推进力 FRy — 有效升力 FRz — 侧向力
MOx — 滚转力矩
MOy — 偏航力矩 MOz — 俯仰力矩
飞机向前飞行 飞机上升
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
例3-11 已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力 解： 研究对象，长方板,列平衡方程
M AB F 0
F6
a
a 2
P
0
F6
P 2
M AE F 0
F5 0
M AC F 0
F4 0
MEF
MFG MBC
F
F F
0
0 0
F6 a
Fb F2
a 2
P
F1
b 2
b
P F2b
Fz 0 Mx 0 My 0
三.空间约束类型举例
例3-8 已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图 求：A、B、C 处约束力
解： 研究对象：小车
列平衡方程
Fz 0 P P1 FA FB FD 0
M x F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0 M y F 0 0.8P1 0.6P 1.2FB 0.6FD 0
b 2
P
F3
ab a2 b2
0
cos 45
0
b0
F1 0 F2 1.5P
解： 研究对象1：主轴及工件，受力图如图
Fx 0 Ft FBx FAx Fx 0
Fy 0 FBy Fy 0
Fz 0 Fr FBz FAz Fz 0
MxF 0 (488 76)FBz 76Fr 388 Fz 0 M y F 0 Ft R Fz r 0 M z F 0 (488 76)FBx 76 Ft 388 Fx 30 Fy 0
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向余弦
cos( FR
,i )
Fx FR
cos( FR
M z F F l a sin
§3–3 空间力偶
一.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
M rBA F
二.力偶的等效定理
实例
空间力偶的等效定理：作用在同一刚体上的两个力偶，如果 其力偶矩相等，则它们彼此等效。
M 0
Mx 0 My 0 Mz 0
--称为空间力偶系的平衡方程.
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削
力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解： 把力偶用力偶矩矢 表示，平行移到点 A.
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
例3-4
已知： F,l, a,
求：M x F , M y F , M z F
解： 把力 F分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , My My , Mz Mz
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
cos M x
M
cos M y
M
cos M z
M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即
杆 A1受A2 拉， B受1B2压。
§3–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩
一.空间任意力系向一点的简化
Fi Fi Mi MO (Fi )
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间汇交力系的合力
FR Fi Fxi Fy j Fzk
主矢
空间力偶系的合力偶矩
MO Mi MO (Fi )
解： 两杆为二力杆，取正方体，画
受力图建坐标系如图b
以矢量表示力偶，如图c
Mx 0 M1 M3 cos 45 0
My 0 M 2 M3 sin 45 0
M1 M2 设正方体边长为a ,有
M1 F1 a M 2 F2 a
有 F1 F2
M3 FA2 2a
FA2 FB2 F1 F2
解： 画受力图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
二．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
合力
FR 0, MO 0
过简化中心合力
FR 0, MO 0, FR MO
合力.合力作用线距简化中心为
d MO FR
MO d FR MO (FR ) MO (F)
合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同一点（轴） 之矩的矢量和.
合力偶
又： Fr 0.36Ft ,
Ft 10.2kN FBx 1.19kN
Fr 3.67kN FBy 6.8kN
FAx 15.64kN FBz 11.2kN
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
Fx 0 FOx Fx 0
Fy 0 FOy Fy 0
Fz 0 FOz Fz 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
§3–2 力对点的矩和力对轴的矩
一.力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素： (1）大小:力 F与 力臂的乘积 （2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
MO(F) r F
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
一.空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中 每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个 坐标轴的矩的代数和也等于零.
二.空间平行力系的平衡方程
,
j)
Fy FR
cos( FR
,
k)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0
Fx 0 Fy 0
--称为空间汇交力系的平衡方程
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个 坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例3-1