空间任意力系
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第五章 空间任意力系
z B x
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
F
C β
α
y
A x1
y1
第五章 空间任意力系
例题6-2
§5–2 力对轴的矩
解： 1.力对轴AB的矩。
M ′ AB (F ) = M B (F )
z B x
例题 5-2 F
C β
α
y
F′
= − F cos β cos α ⋅ BC
= −3.18 N ⋅ m
应用解析式求解力对点B的矩。
M x (F ) = yFx − zFy
第五章 空间任意力系
例题6-1
§5–2 力对轴的矩
例题 5-1
由图示可以求出力F 解： 在各坐标轴上的投影和力 F 作用点C 的坐标分别 为：
Fx = F cos αcos β
Fy = F cos α sin β
Fz = F sin α
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦
cos( MO , i ) = Mx = 0.845 MO
cos( MO , j ) =
cos( MO , k ) =
My MO
= −0.531
Mz = 0.064 MO
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
例题 5-2
例5-2 在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴 AB以及对点B和点A的矩。已知AB=20 cm，BC=18 cm，F=50 N ，且α=45°，β=60°。
第五章 空间任意力系
§5–2 力对轴的矩
由
例题 5-1
M x (F ) = yFx − zFy
My (F ) = zFx − xFz
空间任意力系
2
所以空间任意力系的平衡方程为：
F F F
x y
0, M x F 0 0, M z F 0
0, M y F 0
8
z
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
z x y
M F
z
MO
MO
7
§4-2
空间任意力系的条件
一、空间任意力系的平衡充要条件是：
FR
F 0
i
2 2 x y
MO
z
M
2
2
Oi
0
根据：
FR
MO
F F F
M
x (F )
M
2
y (F )
M
z (F )
O x x O y y O z z
大小：
MO
M
x
(F )
M
2
y
(F )
M2zຫໍສະໝຸດ (F )2
6
方向：
M Ox cosM O , i MO cosM O , j M Oy MO
M F
x
M F
y
MO
M Oz cosM O , k MO
空间任意力系的简化
把研究平面任意力系的简化方法拿来研究空间任意力系的
简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有
空间一般力系
F1 , F2 , F3 Fn
向O点简化 （O点任选）
4
根据力线平移定理：空间任意力系＝＞空间汇交力系+空间
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
理论力学-空间任意力系
F1 3000N, F2 6000N, FAx 1004N, FAz 9397N, FBx 3348N, FBz 1799N,
例3-10
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F（2）A、B处约束力 （3）O 处约束力
空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不 改变力偶对刚体的作用效果.
只要保持力偶矩不变，力偶 可在其作用面内任意移转，且可 以同时改变力偶中力的大小与力 偶臂的长短，对刚体的作用效果 不变.
力偶矩矢是自由矢量
三．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
FR 0, MO 0
力螺旋
一个合力偶，此时与简化中心无关。
FR ' 0, M O 0, FR ' // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
FR 0, MO 0, FR, MO 既不平行也不垂直
力螺旋中心轴距简化中心为
d M O sin
FR
平衡
FR 0, MO 0
平衡
§3–5 空间任意力系的平衡方程
M y Miy M 2 80N m M z Miz M1 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解： 取整体，受力图如图所示.
Fy 0 0 0
Fz 0
F1 cos 30 F2 cos 60 F FAz FBz 0
第5章 空间任意力系
求： （5）O 处约束力
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
F
x
0
FOx Fx 0
F
F
y
0
FOy Fy 0
z
x
0
FOz Fz 0
100FZ M x 0
30 FZ M y 0
100Fx 30 Fy M z 0
M F 0 M F 0
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M x 1.7kN m, M y 0.51kN m, M z 0.22kN m
例5-5
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M 0
平衡
§5-2 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴 中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一 个坐标轴的矩的代数和也等于零.
列平衡方程
F 0 P P1 FA FB FD 0 M F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
z
x
M F 0
y
0.8P 1 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
空间任意力系
′ FR = 0, M O = 0
{
∑ X = 0, ∑ Y = 0, ∑ Z = 0 ∑ M ( F ) = 0, ∑ M ( F ) = 0, ∑ M ( F ) = 0
x y z
对于空间平行力系，
z
∑Z =0 ∑ M (F ) = 0 ∑ M (F ) = 0
x y
O
y
x
6.5.3 重心 刚体在地表面无论如何放置，其平行分布重力的 合力的作用线都过此物体上一个确定的点，该点称为 物体的重心。 均质物体的重心位置只取决于其体积和形状,与 物体的几何中心重合，也称为形心，形心坐标的计 算公式为，
FCy
FCx
− FAy • 5 + FAx • 5 = 0
C
FAy
5
FAx
FAx = 0
A
5
∑ X = 0, ∑ Y = 0,
FCx + F1 + FAx = 0
FAy + FCy = 0
FCx = −50kN
FCy = 0
对整体：∑ X = 0,
− FBx + F1 = 0
FBx = 50kN
4-16（b）：求A、B、C约束反力。
i =1 i =1 i =1
n
n
n
合力矩定理：
若空间任意力系可以合成为一个合力，则其 合力对于任一点（或轴）之矩等于力系中各力对 于同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。 表示为，
M O ( FR ) = ∑ M O ( Fi )
n
M e ( FR ) = ∑ M e ( Fi )
i =1
i =1 n
(2) 负面积法 将图形补足成一 规则的矩形，则：
空间任意力系
mO ( F ) r F i x X j k y z Y Z
z
mo ( F )
F
B
r
O
x
h
A
y
( yZ Yz)i ( zX Zx) j ( xY Xy)k
15
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[mo ( F )]z mo ( F ) cos 2AOB cos 2aob mo ( Fxy ) mz ( F )
30
⑶ FR '与 M o 斜交；力系最终简化为力螺旋，但中心轴 不过简化中心。
M o FR '
FR '
· o
=
Mo"
·
o
Mo '
=
FR
o
·d · o'
Mo '
M o " M o sin d FR ' FR '
31
4、 FR ' 0, M o 0; 力系平衡。 三、空间任意力系的平衡方程
1、一次投影法（直接投影法）
Fx F cos Fy F cos F F cos z
4
2、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴间夹角不易确定
时，可先将力投影到坐标面内，
（力在坐标面内的投影为矢量） 然后再将力在坐标面内的投影向 坐标轴上投影，即
Fxy F sin
繁杂，列方程时可以不去考虑，只需保证所列方程独立即 可。
32
四、空间平行力系的平衡方程 若力系中各力的作用线互相平 行，称为空间平行力系。 设力系中各力作用线与z轴平行 F3
z
O
Fn F1 y
z
mo ( F )
F
B
r
O
x
h
A
y
( yZ Yz)i ( zX Zx) j ( xY Xy)k
15
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系
[mo ( F )]z mo ( F ) cos 2AOB cos 2aob mo ( Fxy ) mz ( F )
30
⑶ FR '与 M o 斜交；力系最终简化为力螺旋，但中心轴 不过简化中心。
M o FR '
FR '
· o
=
Mo"
·
o
Mo '
=
FR
o
·d · o'
Mo '
M o " M o sin d FR ' FR '
31
4、 FR ' 0, M o 0; 力系平衡。 三、空间任意力系的平衡方程
1、一次投影法（直接投影法）
Fx F cos Fy F cos F F cos z
4
2、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴间夹角不易确定
时，可先将力投影到坐标面内，
（力在坐标面内的投影为矢量） 然后再将力在坐标面内的投影向 坐标轴上投影，即
Fxy F sin
繁杂，列方程时可以不去考虑，只需保证所列方程独立即 可。
32
四、空间平行力系的平衡方程 若力系中各力的作用线互相平 行，称为空间平行力系。 设力系中各力作用线与z轴平行 F3
z
O
Fn F1 y
5 理论力学--空间任意力系
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
z z
F
O
F A
B
d
A x
x
O d
y a F x
y
y
Fy
b
Fx
图5-2
力F对z轴的矩，就等于力F在垂直于z轴的Oxy平面 上的投影Fxy对z轴与该平面的交点O的矩(见图5-2)
M z ( F ) M O (Fxy ) Fxy d 2Oab
力对轴的矩是一个代数量。 正负号规定：右手螺旋规则。
z
任选O点为简化中心,将各力
平行搬移到O点(见图5-4)。 根据力线平移定理，将各力 平行搬移到O点，得到一空间汇 交力系；和一附加力偶系。
F1 ' F1 , F2 ' F2 , , Fn ' Fn ;
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ), , M n M O (Fn ) .
x 2 Ax
y 1 Ay
C
F2
x 0
z
1
Az
FAy
1
2
y
x
z
1
2
z
图5-9
解得
FAx 100kN FAy 200kN FAz 400kN M x 600kN m M y 500kN m M z 400kN m
例5-3 如图5-10(a)所示板ABCDEF由六根链杆支承，正方形 ABCD位于水平面内，EF平行于CD。试求沿AD方向作用有力F时， 六根杆的内力。 B 4 C 3 a 解： 取悬臂刚架ABCDEFG为研究 F 5 2 对象，受力如图5-10(b)所示。 D a
第四章 空间任意力系x
(4-4)
第一节 空间任意力系的简化
得到：
FRx Fix , FRy Fiy , FRz Fiz
（4-5）
而Ｆ的大小及方向余弦为：
2 2 2 FR FRx FRy FRz FRy FRx cos( FR , x) , cos( FR , y ) (4-6) FR FR FRz cos( FR , z ) FR
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
(4-1)
附加力偶系可合成为一个力偶，力偶矩ＭO等于各附 加力偶矩的矢量和，即MO=M１+M2+……+Mn，亦即等于 原力系中各力对于简化中心的矩的矢量和
M0 M01 M02 M0n M0i
(4-2)
矢量 FR = Fi称为原力系的主矢量，矢量 M 0 称为原力系对于简化中心Ｏ的主矩。
第一节 空间任意力系的简化
3、空间任意力系简化为一合力螺旋
若FR≠０，MO≠０，且MO 与FR 不相垂直，如图 （4-3a） ，则可用下述方法进一步简化。
图4-3
力 螺 旋
第一节 空间任意力系的简化
将MO 分解为垂直于FR 的M1 和平行于FR 的MR。
因M1 所代表的力偶与力 FR 位于同一平面V（⊥ M1）
即:
FR＝０，MO＝０
（4-15）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
过O点取直角坐标系Oxyz，上述条件可用代数方 程表示为：
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
ix iy iz ix iy iz
（4-16）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
第一节 空间任意力系的简化
得到：
FRx Fix , FRy Fiy , FRz Fiz
（4-5）
而Ｆ的大小及方向余弦为：
2 2 2 FR FRx FRy FRz FRy FRx cos( FR , x) , cos( FR , y ) (4-6) FR FR FRz cos( FR , z ) FR
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
(4-1)
附加力偶系可合成为一个力偶，力偶矩ＭO等于各附 加力偶矩的矢量和，即MO=M１+M2+……+Mn，亦即等于 原力系中各力对于简化中心的矩的矢量和
M0 M01 M02 M0n M0i
(4-2)
矢量 FR = Fi称为原力系的主矢量，矢量 M 0 称为原力系对于简化中心Ｏ的主矩。
第一节 空间任意力系的简化
3、空间任意力系简化为一合力螺旋
若FR≠０，MO≠０，且MO 与FR 不相垂直，如图 （4-3a） ，则可用下述方法进一步简化。
图4-3
力 螺 旋
第一节 空间任意力系的简化
将MO 分解为垂直于FR 的M1 和平行于FR 的MR。
因M1 所代表的力偶与力 FR 位于同一平面V（⊥ M1）
即:
FR＝０，MO＝０
（4-15）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
过O点取直角坐标系Oxyz，上述条件可用代数方 程表示为：
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
ix iy iz ix iy iz
（4-16）
第二节 空间任意力系的平衡条件 平衡方程
理论力学第5章-空间任意力系
物G = 100 kN的重物，绞车处于平衡状态，结构的几何尺寸如图 所示。试求胶带的拉力和轴承A、B的约束力。
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
空间任意力系的简化
1、空间任意力系的平衡充要条件是： R '0 F 0 MO mO ( Fi )0
又 R ' ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2
M O ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 Байду номын сангаас( m z ( F )) 2
所以空间任意力系的平衡方程为：
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为 mz ( F ) 0 Z 0 X 0 m x ( F ) 0 Y 0 m y ( F ) 0
均成为了恒等式。
2、空间约束
观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能 的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。
阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。[例]
1）球形铰链 （前面讲过）
球形铰链
2）向心轴承，滚珠(柱)轴承
绕x和z轴的转动 也同时被约束。
3）滑动轴承
4）止推轴承
第9页，加 两个绕轴 转动的约 束。
5）带有销子的夹板
6）空间固定端
作业：
自学教材例题5-1~5-4.
X 0,m x ( F ) 0 Y 0,m y ( F ) 0 Z 0,m z ( F ) 0
还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。
空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
第五章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系的简化
与平面任意力系的简化原理（力的平移定 理）相同，空间任意力系也可以简化为一个主 失和一个主矩。但是由于主矩和主失不在同一 平面，所以不能进一步简化为一个合力。 应当注意，主失仍然与简化中心无关；主矩
又 R ' ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2
M O ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 Байду номын сангаас( m z ( F )) 2
所以空间任意力系的平衡方程为：
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为 mz ( F ) 0 Z 0 X 0 m x ( F ) 0 Y 0 m y ( F ) 0
均成为了恒等式。
2、空间约束
观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能 的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。
阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。[例]
1）球形铰链 （前面讲过）
球形铰链
2）向心轴承，滚珠(柱)轴承
绕x和z轴的转动 也同时被约束。
3）滑动轴承
4）止推轴承
第9页，加 两个绕轴 转动的约 束。
5）带有销子的夹板
6）空间固定端
作业：
自学教材例题5-1~5-4.
X 0,m x ( F ) 0 Y 0,m y ( F ) 0 Z 0,m z ( F ) 0
还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。
空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
第五章 空间任意力系
§5-1 空间任意力系的简化
与平面任意力系的简化原理（力的平移定 理）相同，空间任意力系也可以简化为一个主 失和一个主矩。但是由于主矩和主失不在同一 平面，所以不能进一步简化为一个合力。 应当注意，主失仍然与简化中心无关；主矩
5-空间任意力系
第五章空间任意力系空间力系：力的作用线不位于同一平面内。
空间力系包括：空间汇交力系空间力偶系空间任意力系§5-1 空间任意力系向一点的简化，主矢和主矩一、力平移定理作用于刚体上的任一个力可以平移到刚体上任一点O，但除该力外，还需加上一个附加力偶，其力偶矩矢等于该力对于O点的力矩矢。
力向一点平移力向一点平移的结果:一个力和一个力偶,力偶的力偶矩等于原来力对平移点之矩.FF－FMOM-FFFFF －FFMFM xM yF二、空间任意力系向一点的简化图示力系向O 点简化力F 1平移到O 点F 1F 2F 3F nOF 1M 1O将每个力向简化中心平移F 1F 2F 3F nF 1F 2F nM 1M 2M nOF 1F 2F nM 1M 2M n将所有的力都平移到O 点后，得到一个空间汇交力系和一个空间力偶系。
空间汇交力系的合成结果为一个合力—主矢∑==n i iR F F 1空间力偶系的合成结果为一个合力偶—主矩∑==n i iO M M 1F RM O主矢作用于简化中心O ，与简化中心的选择无关主矩与简化中心的选择有关情况1：F R ≠ 0, M O =0 合力情况2：F R = 0, M O ≠ 0合力偶四、空间任意力系向某一点(O )简化结果的分析空间任意力系向某一点(O )简化结果有如下四种情况：情况4：F R = M O =0 零力系(平衡力系)情况3：F R ≠ 0, M O ≠ 0(最普遍情况，下面还将进一步讨论)空间任意力系一般情况（F R ≠ 0, M O ≠ 0）的进一步讨论，1、F R 垂直于M O2、F R 平行于M O3、 F R 既不平行也不垂直M O 该情况又可进一步区分为下述三种情况：三种结果可进一步讨论如下M OF R最后结果F Rd =M /F R1、F R 垂直于M O 可最终简化为通过点O’的合力O’2、F R 平行于M OxyzM OxF Rd =M /F R无法进一步简化，力螺旋工程实例xyzM OxM OyF RxyzM OxF Rd =M /F R最后结果F RM Oxyz情况3：F R 既不平行也不垂直M O力螺旋O’§5-2 空间任意力系的平衡条件空间任意力系的平衡条件为：主矢和主矩都等于零。
静力学-第5章 空间任意力系
43
例题
空间任意力系
第4章 空间任意力系
例题5
解：
取整个系统为研究对象，建立
如图坐标系O1xyz，画出系统的受 力图。
其中在径向推力轴承O1处的约束 力有三个分量。在径向轴承O2处的 约束力只有两个分量。
在斜齿轮上所受的压力F 可
分解成三个分力。周向力Fy ，径 向力Fx 和轴向力Fz 。其中：
M OM x2M y2M z21.2 3N 4 m
34
例题
空间任意力系
第4章 空间任意力系
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cosM(O,i)M MO x 0.845
cosM(O,
j)My MO
0.5
31
cosM(O,k)M MO z 0.064
35
例题
空间任意力系
M xFM xF ZF zA B CD Flbco s M yFM yF ZF zB CFclos M zFM zF xF xA B CD Flbsin
例题1
30
例题
空间任意力系
第4章 空间任意力系
例题1
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
是 线 段 O1O2 的 中 点 ， EM⊥
O1O2 ， 试 求 A ， B ， C 各 处 地
1.力和轴平行； 2.力的作用线通过
矩轴。
力对轴的矩
6
动画
第45章 空间任意力系
力Ｆ对任一z
轴的矩，等于这 力在z轴的垂直面 上的投影对该投 影面和z轴交点的 矩。
力对轴的矩
7
动画
第45章 空间任意力系
力对轴的矩解析表达式
8
动画
例题
空间任意力系
第4章 空间任意力系
例题5
解：
取整个系统为研究对象，建立
如图坐标系O1xyz，画出系统的受 力图。
其中在径向推力轴承O1处的约束 力有三个分量。在径向轴承O2处的 约束力只有两个分量。
在斜齿轮上所受的压力F 可
分解成三个分力。周向力Fy ，径 向力Fx 和轴向力Fz 。其中：
M OM x2M y2M z21.2 3N 4 m
34
例题
空间任意力系
第4章 空间任意力系
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cosM(O,i)M MO x 0.845
cosM(O,
j)My MO
0.5
31
cosM(O,k)M MO z 0.064
35
例题
空间任意力系
M xFM xF ZF zA B CD Flbco s M yFM yF ZF zB CFclos M zFM zF xF xA B CD Flbsin
例题1
30
例题
空间任意力系
第4章 空间任意力系
例题1
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
是 线 段 O1O2 的 中 点 ， EM⊥
O1O2 ， 试 求 A ， B ， C 各 处 地
1.力和轴平行； 2.力的作用线通过
矩轴。
力对轴的矩
6
动画
第45章 空间任意力系
力Ｆ对任一z
轴的矩，等于这 力在z轴的垂直面 上的投影对该投 影面和z轴交点的 矩。
力对轴的矩
7
动画
第45章 空间任意力系
力对轴的矩解析表达式
8
动画
空间任意力系
称为空间力偶系的主矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
Mo Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
式中，各分别表示各 Mx (F), M y (F), Mz (F)力
对 x，y，z ,轴的矩。
12
FRx —有效推进力
FRy —有效升力 FRz —侧向力
MOx —滚转力矩
力偶矩 M rBA F
Mo (F, F) Mo (F) Mo (F) rA F rB F
因 F F
Mo (F, F) (rA rB ) F M
5
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变.
1
方向余弦
cos(FR , i )
Fx FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR ,k Nhomakorabea)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.
知识要点回顾
空间汇交力系的平衡条件
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
Fx 0 Fy 0
称为空间汇交力系的平衡方程.
=
=
=
M
(
F1 ,
F1)
rBA
F1
M (FR , FR) rBA FR rBA (F1 F2 )
rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
6
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
Mo Mx (F)i M y (F) j Mz (F)k
式中，各分别表示各 Mx (F), M y (F), Mz (F)力
对 x，y，z ,轴的矩。
12
FRx —有效推进力
FRy —有效升力 FRz —侧向力
MOx —滚转力矩
力偶矩 M rBA F
Mo (F, F) Mo (F) Mo (F) rA F rB F
因 F F
Mo (F, F) (rA rB ) F M
5
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变.
1
方向余弦
cos(FR , i )
Fx FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR ,k Nhomakorabea)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.
知识要点回顾
空间汇交力系的平衡条件
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
Fx 0 Fy 0
称为空间汇交力系的平衡方程.
=
=
=
M
(
F1 ,
F1)
rBA
F1
M (FR , FR) rBA FR rBA (F1 F2 )
rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
6
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
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M z F xFy yFx 0 l bF sin Fl bsin
22
例题
例题2
在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐 标原点O的矩。已知OA =a = 6 m，AB=b=4 m，BC=c=3 m， α=30º,β=60º。
23
例题
例题2
解：由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为：
25
例题
例题2
力F 对原点O之矩方向余弦：
cos( MO , i)
Mx MO
0.845
cos( MO ,
j)
My MO
0.531
cos( MO , k)
Mz MO
0.064
26
§6–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
第6章 空间任意力系
§6–1 空间汇交力系 §6–2 力对点的矩和力对轴的矩 §6–3 空间力偶 §6–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩 §6–5 空间任意力系的平衡方程 §6–6 重 心 例 题
1
桅杆起重机
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脚拉杆
上一页 返回首页 下一页
手摇钻
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果 CD=b ， 杆 BC 平 行 于 x 轴 ,
杆CE平行于y轴，AB和BC的 长度都等于l。试求力F 对x， y和z三轴的矩。
20
例题
解： 方法1 应用合力矩定理求解。
力F 沿坐标轴的投影分别为：
Fx F sin
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD F l bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD F l bsin
例题1
21
例题
例题1
方法2 应用力对轴的矩之解析表达式求解。
M x F yFz zFy M y F zFx xFz M z F xFy yFx
2.力对轴的矩
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （6–6） 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平 面内），力对该轴的矩为零.
16
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
如图：力 F ,力 F 在三根轴上的分力 Fx ，Fy ，Fz ，
力 F 作用点的坐标 x, y, z 则：力 F 对 x, y, z轴的矩
Fx F coscos
Fy F cos sin
Fz F sin
x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =－3 m
则可求得力F 对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。
24
例题
例题2
力F 对坐标轴之矩为：
M x aF sin cF cos sin 105 N m
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1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用面.
MO(F) r F （6–3）
14
又 r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
则 MO (F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk )
因为力在坐标轴上的投影分别为：
Fx F sin , Fy 0, Fz F cos
力作用点D 的坐标为：
x l, y l b, z 0
则 M x F yFz zFy l b F cos 0 Fl bcos M y F zFx xFz 0 l F cos Fl cos
1．空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，各 Mi Mo(Fi ) 一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
35
空间汇交力系的合力
FR Fi Fixi Fiy j Fixk
称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
Mo Mi Mo (Fi )
称为主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
Mo M x (F)i M y (F) j M z (F)k
式中 M x (F ), M y (F ), M z (F ) 分别表示各力
对 x，y ，z ,轴的矩。
36
2．空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
1） 合力
当 FR 0, MO 0 最后结果为一个合力
合力作用点过简化中心.
即：力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩.
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩
的矢量和. MO d FR MO (FR ) MO (F)
合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和.
19
例题
例题1
手柄ABCE在平面Axy内, 在D处作用一个力F，如图所 示，它在垂直于y轴的平面内， 偏离铅直线的角度为α。如
rBA F1 rBA F2 rBA F1 M (F1, F1)
30
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的 作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
=
F2 F3 F3
=
31
自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
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已知：Fn=1410N，=20，=25 。试计算 Ft，Fa ，Fr。
Fn在Oxy平面上的分力Fxy，其大小为
Fxy Fn cos 1410 cos 20N 1325 N
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Fr 482 N
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已知：Fn=1410N，=20，=25 。试计算 Ft，Fa ，Fr。
i jk x y z
Fx Fx Fx
( yFx zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k （6–4） 力对点O的矩 MO (F) 在 三个坐标轴上的投影为
Mo (F)x yFz zFy Mo (F) y zFx xFz
Mo (F)z xFy yFz （6–5） 15
然后再把Fxy投影到轴x、y，得
Fx Fn Fxy sin Fn cos sin 1410cos20sin 25N 560N
Fy Ft Fxy cos Fn cos cos 1410cos20cos25N 1201N
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Fr 482 N Fxy 1325 N
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已知圆柱斜齿轮所受的齿合力Fn=1410N，齿轮压力角=20，螺旋角 =25 。试计算斜齿轮所受的圆周力Ft、轴向力Fa和径向力Fr。
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解 取坐标系如图，使x、y、z分别沿齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向。 先把齿合力Fn向Z轴和Oxy坐标平面投影，得
Fz Fr Fn sin 1410 sin 20N 482 N
32
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
有 M Mi
M x Mix , M y Miy , M z Miz
M 为合力偶矩矢，等于各分 力偶矩矢的矢量和.
33
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
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1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
8
间接（二次）投影法
Fxy F sin Fx F sin cos
Fy F sin sin Fz F cos
9
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
FR
F i
合矢量（力）投影定理
M x (F) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz )
=0 Fy z Fy x = Fz y Fy z （6-7）
17
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz )
= Fx z +0 - Fz x = Fx z Fz x （6-8）
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 （6–1）
方向余弦
cos(FR , i )
Fx
FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR , k )
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的 作用线通过汇交点.
10
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0 由式（6–1）
Fx 0 Fy 0
(6-2)
称为空间汇交力系的平衡方程.
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
11
有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由 垂直于两墙的铵接二力杆OA、OB和钢绳OC组成。已 知＝30，＝60，点O处吊一重力G＝1.2kN的重 物。试求两杆和钢绳所受的力。图中O、A、B、D四 点都在同一水平面上，杆和绳的重力均略去不计。
M z (F) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) = - Fx y Fy x +0
= Fy x Fx y （6-9）
18
比较（6-5）、（6-7）、（6-8）、（6-9）式可得
Mo (F)x yFz zFy M x (F )