2020高考数学异构异模复习第四章三角函数4-4-2解三角形及其综合应用撬题理

2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.4.1 正、余弦定理撬题 理 1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定答案 C解析 由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2<c 2. 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以三角形为钝角三角形． 2.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 答案 1解析 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1. 3．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2)解析 如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，过P 作BC 的垂线交BC 于点E ，则PB ＝BE cos75°＝6＋2；在△QBC 中，由余弦定理QB 2＝BC 2＋QC 2－2QC ·BC ·cos30°＝8－43＝(6－2)2，故QB ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析 由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，故a ＝8. 5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 答案 3 解析 因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A ＝π3，因为cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc ≥2bc －42bc，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号．由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3. 6．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C＝________. 答案 1 解析 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． 答案 －14解析 由2sin B ＝3sin C ，结合正弦定理得2b ＝3c ，又b －c ＝14a ，所以b ＝32c ，a ＝2c . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2＋c 2－2c 22×32c ×c ＝－14. 8．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC ，由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知， AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.。

2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.3 三角函数的化简与求值撬题 理1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.2．化简cos40°cos25°1－sin40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C 解析 原式 ＝cos 220°－sin 220°cos25°sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 220°＝cos 220°－sin 220°cos25°cos20°－sin20° ＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝ 2.3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A ．－34B ．－14C.34D.14答案 B 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17＋21－27＝ 3.5．sin15°＋sin75°的值是________． 答案62解析 解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62. 解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15° ＝2sin(45°＋15°)＝2sin60°＝62. 6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案π6解析 显然交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12， 故有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝12，∴23π＋φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 或23π＋φ＝2k π＋56π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－π2或φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又0≤φ≤π，故φ＝π6.7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.答案268解析 解法一：由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝21313，sin α＝31313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sin α＋cos αsin α＋cos α2＋－sin 2α＋cos 2α＝268.解法二：同解法一得2sin α＝3cos α，即tan α＝32，由三角函数定义令y ＝3，x ＝2，则r ＝13，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos α＝21313.(或对式子2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0两边同时除去cos 2α得2tan 2α－tan α－3＝0，即(2tan α－3)(tan α＋1)＝0，得tan α＝32或tan α＝－1(舍)．)以下同解法一．8．化简tan π12－1tanπ12＝________.答案 －2 3解析 原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6＝－2 3.9.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．解 (1)证法一：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin2A22sin A 2cos A 2＝1－cos Asin A .证法二：1－cos Asin A＝2sin2A22sin A 2cosA 2＝tan A2. (2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2 ＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos 180°－A sin 180°－A ＋1－cos 180°－B sin 180°－B ＝2sin A ＋2sin B. 连接BD .在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A .则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－4226×5＋3×4＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107.连接AC .同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22AB ·BC ＋AD ·CD＝62＋32－52－4226×3＋5×4＝119， 于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103. 10.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.。

XX 高考数学异构异模复习考案 第四章三角函数课时撬分练4.4正、余弦定理及解三角形 理时间：60分钟2019-2020年高考数学异构异模复习第四章三角函数课时撬分练1.[xx •武邑中学月考]在厶ABC 中，若a = 2b ,面积记作S ,则下列结论中一定成立的 是（）A. B >30°C. c <b答案 D解析由三角形的面积公式知S = 2ab sin 1 2C = ^2b • b sin C = b sin C,因为 0<sin C < 1,所C. 150° 答案B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形 答案 C以 b 2sin C < b 2,即卩 S < b 2,故选 D. 2. [xx •冀州中学期末]△ ABC 的内角A 比数列，且 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等c = 2a ,贝U cos B =( ) 3A-4 B ¥1 D 4答案解析 • b 2= ac = 2 a 2, ••• a , b , c 成等比数列且 c = 2a , -2 ••• b = 2a .由余弦定理的推论可得 cos B = 2 2 . 2a + c —b 3.故选A.2ac 43. [xx •枣强中学热身]在厶ABC 中，角A b = 2, sin B+ cos B = . 2,则角 A 的大小为（ A. 60° B , C 所对的边分别为a , b , )B. 30° c , 若 a = , 2,解析 由 sin B + cos B = 2得 1 + 2sin B cos B = 2, 则 sin2 B = 1, 以 B = 45又因为a = 2, b = 2，所以在厶ABC 中，由正弦定理得因为0° 2 = sin A sin45<B<180°,所 2 —,解得4.4正余D. S < b * 2D. 45°1sinA= 1B ,C 所对的边，若a =解析 解法一：因为a = 2b cos C,所以由余弦定理得， c 1 2,则此三角形一定是等腰三角形.解法二：因为 a = 2b cos C,由正弦定理得 sinA = 2sinB cos C,又 A + B +C = n ,故si n A =sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C = 2sin B cos C 得 sin( B — C )= 0,又 B 、C €(0 , n )，所以 B = C.5. [xx •衡水二中周测]在厶ABC 中,角A , B, C 的对边分别为a , b , c ,若AB, C 成等差数列，2a, 2b, 2c 成等比数列，则 cos A cos B =（）A.—1 2 C.2 D/3答案 An2 2解析 由已知得2B = A + C,又A + C + B = n ,故B =-，又4b 2 = 4ac ，贝U b 2= ac ,所以3 由余弦定理得 b 2= a 2 + c 2— 2ac cos-3 = ac ,即(a — c )2 = 0,故a = c ,所以△ ABC 是等边三角3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB- x km, BC = 3 km, AC =. 3 km , / ABC= 30°, 由余弦定理，得（，3）2 = x 2 + 32 — 2x • 3 • cos30°, 整理得x 2— 3 3x + 6 = 0,解得x = .3或2 3.7. [xx •衡水二中月考]在不等边厶ABC 三边均不相等）中，三个内角A , B, C 所对的边1 形，贝U cos A cos B = cos60°x cos60° = 4.6. [xx •枣强中学仿真]某人向正东方向走 x km 后，向右转150°,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为（A. 3 C. 3或 2 3 答案 Ca = 2b •a C，整理得b 2 = 2ab)B. 2 3 D. 3cos b 分别为a, b, c,且有——-=-，则角C的大小为cos B an答案~2解析依题意得a cos A= b cos B,从而sin A cos A= sin B cosB, sin2 A= sin2 B,则2A= 2Bn . - n n或2A= n —2B, 即卩A= B或A+ B=—，又△ ABC三边均不相等，因此A+ B=~2, C= ~2.8. [xx •武邑中学热身]在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c, A=£ ,a=J3,3若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为___________ •答案（0, 3 ] U {2}解析如图1所示，当a= b sin A,即卩，3 = b sin寸,b= 2时，△ ABC为直角三角形，只有一个解；如图2所示，当a>b时，即0<b w 3时，三角形有且只有一个•所以b的取值范围为（0 , 3 ] U {2} •9. [xx •衡水二中期中]已知a, b, c分别是△ ABC中角A, B, C的对边，a= 4 3, b1=6, cos A=— 3.(1)求c；⑵求cos 2B— -4的值.—3，即4c —12= 0, 解（1）在厶ABC中，由余弦定理得,2 2 2 2a =b +c —2bc cosA,代入数据得48= 36+ c —2x c x 6x (c+ 6)( c —2) = 0，解得c= 2 或c= —6(舍)，••• c= 2.1 2\f2(2)由cos A=—3<0,得A为钝角，且sin A=—2 26x」~ 厂a b b • si n A 3 yj 6在△ ABC中，由正弦定理，得而=乔则sinB= ——=—4一3—=左，由于B为锐角，则cos B of,cos2B= 1 —2sin 2B= 1—2x -=—-,3 3sin2 B= 2sin B cos B= —3-,所以cos2B—n n cos2 B+ sin2 B)1,麵14-V23 十3 = 6 .10.[xx / ADC= •枣强中学模拟］如图,在厶ABC中, BC边上的中线AD长为3,且cos B=「£, cos14.(1)求sin / BAD的值；⑵求AC边的长.解(1)因为cosB=-, 8所以sin B=电6.81又cos / ADC= — 4 所以sin / ADO.15 ~T ，所以sin / BAD= sin( / ADC-/ B) =sin / ADC os B—cos / ADC in B =今x 今4 8亠亠⑵在3___BD 得rZ6=~6，8 4解得BD= 2.故DC= 2 ,从而在△ ADC 中，由AC = AD + DC —2AD- DC- cos / ADC= 32+ 22—14 = 16,得AC= 4.2X 3X 2X11.[xx •衡水二中期末]在厶ABC中, 2sin2 C • cos C- sin3 C= . 3(1 —cos C).(1)求角C的大小；⑵若AB= 2，且sin C+ sin( B—A = 2sin2人求厶ABC的面积.解⑴由2sin2 C- cosC— sin(2 C+ C)=申(1—cos C), 得sin2 C cosC— cos2 C sin C= 3 —3cos C,化简得sin C= \/3—:；.'3cos C,即sin C+ 3cos C= 3,2sin j C+ y = 3,所以sin C+ 3 =学从而C+n^ =罟,故C=n^.(2)由sin( A+ B) + sin( B- A) = 2sin2 A, 可得sin B cos A= 2sin A cosA所以cos A= 0 或sin B= 2sin A22当 cos A = 0 时，A = 90°,贝U b =2 ■3,& ABC=b -c-sinA= 2x2 ■3x 2x 1 = 2^3 当sin B = 2sin A 时，由正弦定理得 cos C = 2 , 2 , a + 4a — 4 2 - a -2 a b = 2a . 1 2可知a 2= 4.所以& ABC =1b - a - sin C = ? -2 a - a -迈=迈2=疝 ~2 = V a= "V 综上可知 S A ABC =12. [xx •冀州中学仿真]在厶ABC 中, a , b , c 分别为内角 代B, C 所对边的nC = ~3, a + b =入 c (其中入 >1).(1)若入=,3时，证明△ ABC 为直角三角形;—> —> 9 2⑵若AC- BC =入，且c = 3，求入的值.8解 (1) T 入=3 ,.•• a + b =-』3c ,由正弦定理得 sin A + sin B = , 3sin C,sin B +1 3cos B + ?sin B = q••• 3sin B + 3芬 cos B = 3 2’/• sin B+ sin —B =|, 2'f 9 2 n r 1 9 2 9 2 BC=-入，则 & a • b =石入，二 ab ==入.8 2 8 42 2 2又a + b = 3入，由余弦定理知 a + b — c = 2ab cos C, 即 a 2+ b 2 — ab = c 2= 9,能力组则A =(BnB *2n C P 答案1 12 2 2因为 &AB = ?bc sin A = 4( b + c — a )，所以 sin A =14. [xx •枣强中学期末]若厶ABC 勺三个内角满足 si n A ： si n B ： si n C = 5 ： 11 ： 13,则厶ABC )A. —定是锐角三角形B. —定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 在厶 ABC 中, si nA ： sin B : sin C = 5 : 11 : 13, ••• a : b : c = 5 : 11 : 13,故令a = 5k , b = 11k , c = 13k (k >0)，由余弦定理可得2 2 2 2 2 2a +b —c 25k + 121k — 169k 23sin B +6 =#，从而 B +nn=专或 B+nn=争B =n 6 或 B=n .nB=§， n 则A =2, △ ABC 为直角三角形; n B=T ， △ ABC 亦为直角三角形.2即(a + b ) — 3ab = 9,2—孚入2= 9，得2入=4,又T 入＞1，即卩X = 2.⑵若AC-13.[xx -衡水二中模拟 ］已知△ ABC 勺三边长为a , b , ._ , 1 2 2 2c ,且面积 S ^ABC = 4( b + c — a ),2 2 2b +c — a莎解析cos C= ；= ~~2= 一<0,2ab 2x 5X 11 k 110 '(n \又••• C€ (0 , n ) ,• C€ —, n ,ABC为钝角三角形，故选C.15. [xx •衡水二中仿真]在厶ABC中, a, b, c分别为内角A、B C的对边，且2cos( B —C= 4sin B sin C—1.(1) 求A;卄.B1』⑵右 a = 3, sin 2= 3，求 b解 ⑴ 由 2cos( B — C = 4sin B sin C — 1，得 2(cos B cos C + sin B Sin C ) — 4sin B sin C =— 1, 即 2(cos B cos C — sin B sin C ) =— 1.1从而 2cos( B + C = — 1 得 cos( B+ C ) = — 2. 又A , B, CABC 的内角, •-B + C = |n ，故 A =n 3.2B n B 1（2）由⑴知。

………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1．已知角α的终边过点P (－a ，－3a )，a ≠0，则sin α＝( ) A.31010或1010B.31010C.1010或－1010D.31010或－31010答案 D解析 当a >0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sin α＝－31010；当a <0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sin α＝31010.故选D.2. 若sin α＋cos α＝713(0<α<π)，则tan α等于( )点击观看解答视频A ．－13B.125C ．－125D.13答案 C解析 由sin α＋cos α＝713，两边平方得1＋2sin αcos α＝49169，∴2sin αcos α＝－120169，又2sin αcos α<0,0<α<π. ∴π2<α<π.∴sin α－cos α>0. ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝713，sin α－cos α＝1713，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－125.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{ x | x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z} ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅ 答案 B 解析M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x | x ＝2k 4·⎭⎬⎫180°＋45°，k ∈Z ，故当集合N 中的k 为偶数时，M ＝N ，当k 为奇数时，在集合M 中不存在，故M ⊆N .4．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝( )A ．－2B ．2C ．0 D.23答案 B解析 由角θ的终边在直线2x －y ＝0上，可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.5．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 答案 A解析 解法一：由sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2， α∈(0，π)，解得α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：由sin α－cos α＝2及sin 2α＋cos 2α＝1，得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1<0，故tan α<0，且2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝－1，解得tan α＝－1(正值舍)． 6．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A.5π6B.5π3 C.11π6 D.2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.7. 已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是( )点击观看解答视频A ．－43B.43C ．－34D.34答案 C解析 因为f (x )＝sin x －cos x ，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x ，于是有cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，整理得sin x ＝3cos x ，所以tan x ＝3，因此tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×31－32＝－34，故选C.8．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255 B.255C ．±255 D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos α＝1－sin 2α＝53，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.9．在三角形ABC 中，若sin A ＋cos A ＝15，则tan A ＝( )A.34B ．－43 C ．－34D ．±43答案 B解析 解法一：因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，所以1＋2sin A cos A＝125，所以sin A cos A ＝－1225. 又A ∈(0，π)，所以sin A >0，cos A <0.因为sin A ＋cos A ＝15，sin A cos A ＝－1225，所以sin A ，cos A 是一元二次方程x 2－15x －1225＝0的两个根，解方程得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.故选B.解法二：由解法一，得sin A >0，cos A <0，又sin A ＋cos A ＝15>0，所以|sin A |>|cos A |，所以π2<A <3π4，所以tan A <－1，故选B.10．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.11. 设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.点击观看解答视频答案3解析 ∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tanπ6＝ 3.能力组12.已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A.3π16B.3π8C.3π4D.3π2答案 B解析 S 扇＝12|α|r 2＝12|α|×1＝3π16，所以|α|＝3π8.13．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25C.25或－25D ．－15 答案 A解析 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2， 所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 14．已知α∈(0，π)且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，则cos α－sin α的值( ) A ．为正 B ．为负 C ．为零 D ．为正或负 答案 B解析 若0<α<π2，如图所示，在单位圆中，P (cos α，sin α)，OM ＝cos α，MP ＝sin α，所以sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α－sin α<0，故选B.15．△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4 答案 B解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sinC <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.。

2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》复习试卷及答案解析一、选择题1．sin215°－cos215°等于()A.－12B.12C．－32D.32答案C解析sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)＝－cos30°＝－32.故选C.2．若sinα＝45，则－22cosα等于()A.225B．－225C.425D．－425答案A解析－22 cosα＝sinαcos π4＋cosαsinπ4－22cosα＝45×22＝225.3．已知sinα＝－45α是第四象限角，则sin()A.52 10B.325C.7210D.425答案C解析由同角三角函数基本关系可得cosα＝1－sin2α＝＝35，结合两角差的正弦公式可得sin π4cosα－cosπ4sinα＝7210.故选C. 4．函数f(x)＝sin x的最大值为()A.3B．2C．23D．4答案A解析函数f(x)＝sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos xx ＋12cos＝3sin ≤3.故f (x )的最大值为3.故选A.5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－＞0，|φ|y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x －π8，φ的取值范围是()A.－π12，0－π8，－π24C.－π12，D.0，π12答案B解析由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x －π8，时，32x ＋φ－3π16＋φ，3π8＋因为f (x )＞0，即＋＞12，φ≥－π3＋2k π，≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.6．(2019·山师大附中模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)在x ＝π6时取得最大值，则函数g (x )＝cos(2x ＋φ)的图象()AB C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称答案A解析因为当x ＝π6时，f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)取得最大值，所以φ＝π6，即g (x )＝x＋π6，k ∈Z ，对称轴x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故选A.7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)如图平面直角坐标系中，角α－π2<β边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sinα2·α2－sin ＋12的值为()A ．－513 B.1213C ．－1213D.513答案B解析由图易知∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β.由题可知，sin β＝－513.由S △AOB ＝34知∠AOB ＝π3，即α－β＝π3，即α＝π3＋β.则sinα2－sin ＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α－12(1－cos α)＋12＝32sin α＋12cos α＝β＝cos β＝1－sin 2β＝1213.故选B.8．(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈－π12，2π3的图象如图，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为()A.3B.2C ．1D ．0答案C解析由图象得3T 4＝2π3－－π12∴T ＝π，ω＝2πT＝2，由2sin π6×2＋φ＝2sin π3＋φ＝2，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，由x 1＋x 2＝π6×2＝π3，得f (x 1＋x 2)＝f π3＝2sin 2×π3＋π6＋2k π1，故选C.9．(2019·重庆巴蜀中学期中)已知f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，|x 1－x 2|的最小值为π2，f (x )＝f π3－x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )，则g (x )的单调递减区间是()A.k π，k π＋π2(k ∈Z )B.k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )C.k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )D.k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )答案A解析∵f (x )＝sin(ωx ＋θ)其中ω>0，θ∈0，π2，由f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0可得x 1，x 2是函数的极值点，∵|x 1－x 2|的最小值为π2，∴12T ＝πω＝π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋θ)，又f (x )＝f π3－x ∴f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，∴2×π6＋θ＝k π＋π2，k ∈Z ，又θ∈0，π2∴θ＝π6，∴f (x )＝x 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )＝sin 2＋π6＝cos 2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，∴k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，则g (x )＝cos 2x 的单调递减区间是k π，k π＋π2(k ∈Z )，故选A.10．(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的最小正周期为π，函数g (x )＝＋3f (x )，若对∀x ∈R ，都有g (x )≤|，则φ的最小正值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π3答案B解析由函数f (x )的最小正周期为π，可求得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，g (x )＝＋3f (x )＝sin 2φ＋3sin(2x ＋φ)＝cos(2x ＋φ)＋3sin(2x ＋φ)＝x ＋φ∴g (x )＝x ＋φ又g (x )≤|，∴x ＝π3是g (x )的一条对称轴，代入2x ＋φ＋π6中，有2×π3＋φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝2π3，故选B.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c 等于()A ．27B ．4C ．23D ．33答案C 解析∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6＝2，＝4＝4，＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.12．(2019·河北衡水中学调研)若函数f (x )＝(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是()，112∪14，23，16∪13，23C.14，23 D.13，23答案B解析易知函数y ＝sin x 的单调区间为k π＋π2，k π＋3π2，k ∈Z .由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z .因为函数f(x )＝ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ，所以π，2π，k ∈Z ，解得k ＋13ω≤k 2＋23，k ∈Z .由k ＋13≤k 2＋23，k ∈Z ，得k ≤23，k ∈Z .当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω，16∪13，23.故选B.二、填空题13．(2019·陕西四校联考)已知sin α＝2cos α，则cos 2α＝________.答案－35解析由已知得tan α＝2，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－44＋1＝－35.14．(2019·山师大附中模拟)已知＝14，则x ________.答案78解析根据三角函数诱导公式，得＝14，x x 2cos 1＝78.15．(2019·武汉示范高中联考)函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x 的最大值为________．答案2＋1解析令t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝sin x ＋cos x＝2sin t ∈[－2，2]，则t 2＝1＋2sinx cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t 2＋t －1－54，对称轴为t ＝－12，因为t ∈[－2，2]，所以当t ＝2时取得最大值，为2＋1.16．(2019·银川一中月考)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，则下列四个命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．答案③④解析f (x 1)＝－f (x 2)，即12sin 2x 1＝－12sin 2x 2，由f (x )图象(图略)可知，①错误；由周期公式可得T ＝2π2＝π，②错误；由f (x )的图象可知，③正确；＝12sin 3π2＝－12④正确．故填③④.三、解答题17．(2019·抚州七校联考)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ>0，|φ的距离为π2，且f (x )的图象与y ＝sin x 的图象有一个横坐标为π4的交点.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈0，7π8时，求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的值．解(1)由题可知，T ＝π＝2πω，ω＝2，又×π4＋sin π4，|φ|<π2，得φ＝－π4.所以f (x )＝x (2)因为x ∈0，7π8，所以2x －π4∈－π4，3π2，当2x －π4＝π，即x ＝5π8时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝ 1.18．(2019·福建闽侯五校期中联考)已知向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x a ·b ＝－54，求cos 2x 的值．解(1)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －cos 2x＝32sin 2x －cos 2x ＋12＝x －12，∴f (x )的最小正周期是π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)∵a ·b ＝x －12＝－54，∴x ＝－34.∵x∴2x －π6∈，∴x ＝－74，∴cos 2x ＝x ＋π6＝x cos π6－x sinπ6＝－74×32－×12＝3－218.。

………………………………………………………………………………………………时间：60分钟 基础组1.[2016·衡水二中猜题]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin2α等于( )A ．－825B.825 C ．－1725D.1725 答案C解析 sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2⎝⎛π4＋α⎭⎫－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725，故选C.2．[2016·衡水二中一轮检测]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14 C.14D.78 答案A解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，得sin ⎣⎢⎡ π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(π6＋α)＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.3．[2016·冀州中学周测]在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C ＝( )A.365B.3665C.1665D.3365 答案C解析 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665.4．[2016·衡水二中月考]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64C.223D.326 答案C解析 由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.故选C. 5．[2016·枣强中学周测]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋3D ．2－ 3 答案B解析 依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.6.[2016·冀州中学预测]若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )点击观看解答视频A.33B ．－33 C.539D ．－69 答案C解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2， 而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539. 7．[2016·枣强中学一轮检测]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33 C.2D. 3答案D解析 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即sin 2α＝34，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝3，故选D. 8．[2016·冀州中学月考]关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )·cos x 的四个结论：p 1：最大值为2；p 2：把函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象；p 3：单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ；p 4：图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z . 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案B解析 因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以最大值为2－1，所以p 1错误．将g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后得到h (x )＝2·sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－1的图象，所以p 2错误． 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z ，所以p 3正确．由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2π＋π8，k ∈Z ，所以图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z ，所以p 4正确，所以选B. 9.[2016·衡水中学月考]如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．答案513解析 由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，又∵3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.10．[2016·衡水中学期中]已知13sin α＋5cos β＝9,13cos α＋5sin β＝15，那么sin(α＋β)的值为________．答案5665解析 将两等式的两边分别平方再相加，得169＋130sin(α＋β)＋25＝306，所以sin(α＋β)＝5665.11.[2016·武邑中学期中]已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.点击观看解答视频(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2. 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1，所以－32<k ≤32或k ＝－1.12．[2016·衡水中学期末]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求： (1)sin2α； (2)tan α－1tan α.解(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛2α＋π3⎭⎪⎫＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，注意到α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， 从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛2α＋π3⎭⎪⎫cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12＋32×32＝12.(2)∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，sin2α＝12，∴cos2α＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.⎝⎛或者由(1)知2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝⎭⎪⎫ 2 3.能力组13.[2016·冀州中学猜题]设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19D.79 答案A解析 sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.14．[2016·衡水中学模拟]已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为________．答案±35解析 ∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角． ∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425， ∴cos θ＝－725，∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35.15．[2016·衡水中学仿真]已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，证明：5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α. 解(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x ＝cos2x cos π6－sin2x sin π6＋sin2x ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64. (2)证明：由(1)，知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝sin ⎣⎢⎡ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＋⎦⎥⎤π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝22sin2α－22cos2α.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，所以cos α＝1－sin 2α＝55.所以sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43.所以tan4α＝2tan2α1－tan 22α＝247. 所以5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2α－22cos2α ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤22×45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝722，又122tan4α＝122247＝722，所以5f ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α.16.[2016·冀州中学一轮检测]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.点击观看解答视频(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α，求cos α－sin α的值．解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z . 所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54. 由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.。