2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形单元综合检测(三)理

2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形质量检测第三章三角函数、解三角形（自我评估、考场亮剑，收成成功后进入下一章学习！）（时刻120分钟，总分值150分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.）1. cos（-孚）一sin（— -^^）的值是（）A.V2 B.一也 C. 0 D.乎解析：原式=cos（— 4兀一4）— sin（— 4兀一j，匹、.，笑=cos（— 4）— sin（— 4）=cosq+ sin4= . 2.答案：A2.sin a=2“+ ；, cosa=——，且a为第二象限角，那么m的承诺值为（）5 5 , 3A.2v mv 6B. - 6< mv 2C. m= 4D. m= 4 或m = 2解析：由sin2 a+ cos2 a= 1 得，( )2+ (—m)2=〔,m+1 m+1-3••m = 4或芬，又sin a> 0, cosav 0,把m的值代入检验碍,m= 4.答案：C3.sin（x+：）=-3，那么sin2x 的值等于7 257B.晶C.1825D.套25解析：sin(x+ 4 = ^(sinx+ cosx) = — |,解析：a= gin(15 斗45°)= J2sin60 °,b =皿sin(17 / 45 ) = psin62 b > a. a 2+ b 2——=sin 260 + sin 262 °>2sin60 sin62 a 2+ b 2 •■- -2—> b > a.答案：B.............................................................. …一，，,— ….......... 一 一.•一…冗一一5. (2018惠州模拟)将函数y= sinx 的图象向左平移 力(0<(K 2或个单位后，得到函数 y= sin(x —g)的图象，那么4等于B 11 71解析：依题意得y= sin(x — sin(x — 6+ 2兀)=sin(x+ 将y= sinx 的图象向左平移16项个单位后得到y= sin(x+ *的图象，即y= sin(x-应的图象. 答案：B6.在△ ABC 中，角A, B均为锐角，且 cosA> sinB,那么△ ABC 的形状是()A .直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析：cosA= sin(2 — A)> sinB, §— A, B 差不多上锐角，那么 A>B, A+ B<C >§. 答案：C因it 匕 sinx+ cosx=—3,2因此(sinx+ cosx)2 =18 1 + sin2x =—, 257 故 sin2x=——.25答案：A4 .设 a = sin15 斗 cos15 ； b = sin17斗cos17 ；那么以下各式中正确的选项是B.a 2 +b 2av bv --------C. bv 苧v aD.a 2 +b 2bv av ---------=.3sin62 ；77.(理)给定性质：①最小正周期为②图象关于直线x=3寸称.那么以下四个函数中，同时具有性3质①②的是sin2B? 2A = 2B 或2A+ 2B =兀 即 A= B 或A + B= 2,故条件是不必要的.答案：A10 .函数f （x ）= asin2x+ cos2x （a€ R）图象的一条对称轴方程为 x =为，那么a 的值为（）x ,兀A . y= sin(§ + -) 2 6B. y= sin(2x+-)C. y= sin|x|D. y= sin(2x — g)解析：T = M 兀，.CO■ - 3 - 2.关于选项D , 一一 兀 兀 兀 又2 x 3一6= 2, .. 丸 .....因此x=^为对称轴答案：D8.（文）假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（B.4D.7 8解析：设等腰三角形的底边为a,顶角为。

2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形质量检测第三章 三角函数、解三角形(自我评估、考场亮剑，收成成功后进入下一章学习！)(时刻120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．cos(－17π4)－sin(－17π4)的值是 ( )A.2 B ．－ 2 C ．0 D.22解析：原式＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案：A2．sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－mm ＋1，且α为第二象限角，那么m 的承诺值为( )A.52＜m ＜6 B ．－6＜m ＜52 C ．m ＝4 D ．m ＝4或m ＝32 解析：由sin 2α＋cos 2α＝1得，(2m －5m ＋1)2＋(－m m ＋1)2＝1，∴m ＝4或32，又sin α＞0，cos α＜0，把m 的值代入检验得，m ＝4. 答案：C3．sin(x ＋π4)＝－35，那么sin2x 的值等于 ( )A ．－725 B.725 C ．－1825 D.1825解析：sin(x ＋π4)＝22(sin x ＋cos x )＝－35，因此sin x ＋cos x ＝－325，因此(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ＝1825，故sin2x ＝－725.答案：A4．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，那么以下各式中正确的选项是 ( ) A ．a ＜a 2＋b 22＜b B ．a ＜b ＜a 2＋b 22C ．b ＜a 2＋b 22＜aD ．b ＜a ＜a 2＋b 22解析：a ＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°， b ＝2sin(17°＋45°)＝2sin62°，b ＞a .a 2＋b 22＝sin 260°＋sin 262°＞2sin60°sin62°＝3sin62°， ∴a 2＋b 22＞b ＞a .答案：B5．(2018·惠州模拟)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，那么φ等于 ( ) A.π6 B.11π6 C.7π6 D.5π6解析：依题意得y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)，将y ＝sin x 的图象向左平移11π6个单位后得到y ＝sin(x ＋11π6)的图象，即y ＝sin(x －π6)的图象．答案：B6．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，那么△ABC 的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：cos A ＝sin(π2－A )＞sin B ，π2－A ，B 差不多上锐角，那么π2－A ＞B ，A ＋B ＜π2，C ＞π2.答案：C7．(理)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称．那么以下四个函数中，同时具有性质①②的是 ( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin|x |D ．y ＝sin(2x －π6)解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.关于选项D ，又2×π3－π6＝π2，因此x ＝π3为对称轴．答案：D8．(文)假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) A.518 B.34 C.32 D.78解析：设等腰三角形的底边为a ，顶角为θ，那么腰长为2a . 由余弦定理得cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.答案：D(理)△ABC 的两边长分不为2,3，其夹角的余弦值为13，那么其外接圆的半径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2解析：由余弦定理得：三角形第三边长为22＋32－2×2×3×13＝3，且第三边所对角的正弦值为 ＝223，因此2R ＝3223⇒R ＝928.答案：C9．在△ABC 中，角A ，B 所对的边长为a ，b ，那么〝a ＝b 〞是〝a cos A ＝b cos B 〞的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：a ＝b ⇒A ＝B ⇒a cos A ＝b cos B ，条件是充分的；a cos A ＝b cos B ⇒sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin2A ＝sin2B ⇒2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故条件是不必要的．答案：A10．函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R)图象的一条对称轴方程为x ＝π12，那么a 的值为( )A.12B. 3C.33 D ．2 解析：函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝kπ＋π2，k ∈Z ，f (x )＝a 2＋1sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝1a，故函数f (x ) 的对称轴方程为2x ＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，而x ＝π12是其一条对称轴方程，因此2×π12＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z ，解得φ＝kπ＋π3，k ∈Z ，故tan φ＝1a ＝tan(kπ ＋π3)＝3，因此a ＝33. 答案：C11．函数f (x )的部分图象如下图，那么f (x )的解析式可能为 ( ) A ．f (x )＝2cos(x 2－π3)B ．f (x )＝2cos(4x ＋π4)C ．f (x )＝2sin(x 2－π6)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π4)解析：设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，由函数的最大值为2知A ＝2，又由函数图象知该函数的周期T ＝4×(5π3－2π3)＝4π，因此ω＝12，将点(0,1)代入得φ＝π6，因此f (x )＝2sin(12x ＋π6)＝2cos(12x －π3)．答案：A12．(2018·抚顺模拟)当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为 ( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3 解析：f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当 且仅当cos x sin x ＝4sin x cos x ，即tan x ＝12时，取〝＝〞，∵0＜x ＜π2，∴存在x 使tan x ＝12，这时f (x )min ＝4.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上)13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c ，B ＝60°，C ＝75°，a ＝4，那么b ＝________.解析：易知A ＝45°，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得4sin45°＝b sin60°，解得b ＝2 6.答案：2 614．运算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 答案：215．在△ABC 中，tan A ＝3tan B ，那么tan(A －B )的最大值为________，现在角A 的大小为________．解析：由于tan(A －B )＝tan A －tan B1＋tan A tan B ＝3tan B －tan B1＋3tan B ·tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ≤33.当且仅当1＝3tan B 时取〝＝〞号，那么tan B ＝33⇒tan A ＝3⇒A ＝60°. 答案：3360° 16．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，x ∈R 的部分图象，那么以下命题中，正确命题的序号为________． ①函数f (x )的最小正周期为π2；②函数f (x )的振幅为23；③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝7π12；④函数f (x )的单调递增区间为[π12，7π12]；⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －2π3)．解析：由图象可知，函数f (x )的最小正周期为(5π6－π3)×2＝π，故①不正确；函数f (x )的振幅为3，故②不正确；函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝5π6＋π32＝7π12，故③正确；④不全面，函数f (x )的单调递增区间应为[π12＋2kπ，7π12＋2kπ]，k ∈Z ；由3sin(2×7π12＋φ)＝3得2×7π12＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z ，即φ＝2kπ－2π3，k ∈Z ，∵－π＜φ＜π，故k 取0，从而φ＝－2π3，故f (x )＝3sin(2x －2π3)．答案：③⑤三、解答题(本大题共6小题，共74分．解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题总分值12分)tan(α＋π4)＝－3，α∈(0，π2)．(1)求tan α的值；(2)求sin(2α－π3)的值．解：(1)由tan(α＋π4)＝－3可得tan α＋11－tan α＝－3.解得tan α＝2.(2)由tan α＝2，α∈(0，π2)，可得sin α＝255，cos α＝55.因此sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，sin(2α－π3)＝sin2αcos π3－cos2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.18．(文)(本小题总分值12分)sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)．(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间．解：∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45.又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35.(1)sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425. (2)f (x )＝56×35sin2x －12cos2x＝22sin(2x －π4)． 令2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－π8≤x ≤kπ＋38π，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递增区间为[kπ－π8，kπ＋38π]，k ∈Z.(理)(本小题总分值12分)函数f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1)．(1)将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的形式，填写下表，并画出函数f (x )在区间[－16π，56π]上的图象；x ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π f (x )(2)求函数f (x )的单调减区间． 解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1) ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3).x －π6 π12 π3 7π12 5π6 ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π f (x )2－2图．(2)由2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2(k ∈Z)得kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12(k ∈Z)，故函数f (x )的单调减区间为[kπ＋π12，kπ＋7π12](k ∈Z)．19．(本小题总分值12分)函数f (x )＝2sin x cos(π2－x )－3sin(π＋x )cos x ＋sin(π2＋x )cos x .(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和最值；(2)指出y ＝f (x )图象通过如何样的平移变换后得到的图象关于原点对称． 解：(1)f (x )＝2sin 2x ＋3sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋3sin x cos x ＝1＋1－cos2x 2＋32sin2x＝sin(2x －π6)＋32，y ＝f (x )最小正周期T ＝π.y ＝f (x )的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.(2)∵y ＝32＋sin(2x －π6)的图象1232π−−−−−→左移个单位下移个单位y ＝sin2x 的图象．20．(本小题总分值12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c ，cosA ＋C 2＝33. (1)求cos B 的值；(2)假设BC BA ·BC ＝2，b ＝22，求a 和c 的值． 解：(1)∵cos A ＋C 2＝33，∴sin B 2＝sin(π2－A ＋C 2)＝33，∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝13.(2)由BA ·BC ＝2可得a ·c ·cos B ＝2，又cos B ＝13，故ac ＝6，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得a 2＋c 2＝12， ∴(a －c )2＝0，故a ＝c ，∴a ＝c ＝ 6.21．(本小题总分值12分)如下图，甲船由A 岛动身向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A 岛动身的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛 动身，朝北偏东θ(tan θ＝12)的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时．(1)求动身后3小时两船相距多少海里？(2)求两船动身后多长时刻距离最近？最近距离为多少海里？ 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图 的平面直角坐标系．设在t 时刻甲、乙两船分不在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝152t cos45°＝15t y 1＝x 1＝15t，由tan θ＝12可得，cos θ＝255，sin θ＝55， 故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40.(1)令t ＝3，P 、Q 两点的坐标分不为(45,45)，(30,20)， |PQ |＝(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534.即动身后3小时两船相距534海里． (2)由(1)的解法过程易知： |PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(10t －15t )2＋(20t －40－15t )2 ＝50t 2－400t ＋1 600 ＝50(t －4)2＋800≥202，∴当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20 2.即两船动身后4小时时，相距202海里为两船的最近距离．22．(文)(本小题总分值14分)函数f (x )＝sin 2x ＋23sin(x ＋π4)cos(x －π4)－cos 2x － 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f (x )在[－π12，2536π]上的最大值和最小值，并指出现在相应的x 的值．(理)(本小题总分值14分)函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)假设△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对角为B ，试求cos B 的取值范畴，并确定现在f (B )的最大值．解：(1)f (x )＝2cos x ·sin(x ＋π3)－32＝2cos x (sin x cos π3＋cos x sin π3)－32＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－32＝sin x cos x ＋3·cos 2x －32＝12sin2x ＋3· 1＋cos2x 2－32 ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．∴T ＝2π|ω|＝2π2＝π.(2)由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac＝a 2＋c 22ac －12≥2ac 2ac －12＝12，∴12≤cos B ＜1，而0＜B ＜π，∴0＜B ≤π3.函数f (B )＝sin(2B ＋π3)，∵π3＜2B ＋π3≤π，当2B ＋π3＝π2， 即B ＝π12时，f (B )max ＝1.。

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3—6 简单的三角恒等变换课时规范练（授课提示：对应学生用书第71页)A组基础对点练1．（2017·简阳市期末）已知cos α＝错误!，α∈错误!,则cos错误!等于（ B ）A。

错误!B．－错误!C.错误!D．－错误!解析：α∈错误!，∴错误!∈错误!,则cos错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!。

2．(2016·高考山东卷)函数f(x)＝（错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是( B )A.错误!B．πC。

错误!D．2π3．(2017·开封模拟）设a＝错误!cos 6°－错误!sin 6°，b＝错误!，c＝错误!,则( C ）A．c〈b〈a B．a〈b<cC．a〈c〈b D．b<c<a4．（2018·高考全国卷Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B（2，b），且cos 2α＝23，则|a－b|＝（ B ）A。

第三章　三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时　任意角和弧度制及任意角的三角函数一、 填空题1. 若α为第二象限角，则＋的值是________．|sin α|sin αtan α|tan α|答案：0解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，＝1，tan α＜0，＝－1，所以|sin α|sin αtan α|tan α|＋＝0.|sin α|sin αtan α|tan α|2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为，则cos 45α＝________．答案：－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝，且点A 在第二象限．又圆O 为单位圆，所以点A 的横坐标x A ＝－.由4535三角函数的定义可得cos α＝－.353. 已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝________．sin α－cos αsin α＋cos α答案：－3解析：由题意得sin α＝－，cos α＝，所以＝－3.1525sin α－cos αsin α＋cos α4. (2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan 15α＝________．答案：－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝，所以x ＝，15x x2＋1615x x2＋16解得x ＝－3，所以tan α＝＝－.4x 435. 函数y ＝的定义域为________．2sin x －1答案：(k∈Z )[2k π＋π6，2k π＋5π6]解析：∵ 2sin x －1≥0，∴ sin x≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)12．∴ x∈(k∈Z )．[2k π＋π6，2k π＋5π6]6. 若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a 的值为________．答案：－43解析：由三角函数的定义有tan 420°＝.又tan 420°＝tan (360°＋60°)＝tan 60°＝，故a－43＝，解得a ＝－4.a－4337. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为2π3________．答案：(－12，32)解析：由弧长公式l ＝|α|r，l ＝，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝，所以点Q 的2π32π3坐标为，即.(cos 2π3，sin 2π3)(－12，32)8. 已知角α的终边在直线y ＝－x 上，则2sin α＋cos α＝________．34答案：或－2525解析：由题意知tan α＝－，∴ α在第二象限或第四象限，34故sin α＝，cos α＝－或sin α＝－，cos α＝，35453545∴ 2sin α＋cos α＝或－.25259. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是__________．答案：2sin 1解析：如图，∠AOB＝2弧度，过点O 作OC⊥AB于C ，并延长OC 交弧AB 于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC ＝BC ＝1.在Rt△AOC 中，AO ＝＝.AC sin ∠AOC 1sin 1即r ＝，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r＝.1sin 12sin 110. 已知角x 的终边上一点的坐标为，则角x 的最小正值为________．(sin5π6，cos 5π6)答案：5π3解析：∵ sin ＝，cos ＝－，∴ 角x 的终边经过点，所以角x 是第四象限角，5π6125π632(12，－32)tan x ＝＝－，∴ x ＝2kπ＋，k∈Z ，∴ 角x 的最小正值为.(也可用同角基本关系式tan x ＝－321235π35π3得出)sin xcos x 11. 设θ是第三象限角，且＝－cos ，则sin 的值的符号是________．|c osθ2|θ2θ2答案：＋解析：由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z )，kπ＋<<kπ＋(k∈Z )．3π2π2θ23π4又＝－cos ，所以cos ≤0，|c osθ2|θ2θ2从而2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z )．π2θ23π2综上可知：2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z )，即是第二象限角，所以sin >0.π2θ23π4θ2θ2二、 解答题12. 如图所示，动点P ，Q 从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q 按π3顺时针方向每秒钟转弧度，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧π6长．解：设点P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t·＋t·＝2π.π3|－π6|所以t ＝4(秒)，即点P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4秒．设点P ，Q 第一次相遇点为C ，第一次相遇时点P 和点Q 已运动到终边在·4＝的位置，π34π3则x C ＝－cos ·4＝－2，y C ＝－sin ·4＝－2.π3π33所以点C 的坐标为(－2，－2)．3点P 走过的弧长为4··4＝，点Q 走过的弧长为4··4＝.π316π3π68π313. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动.(1) 若点B 的横坐标为－，求tan α的值；45(2) 若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3) 若α∈，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．(0，2π3]解：(1) 由题意可得B ，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.(－45，35)y x 34(2) 若△AOB 为等边三角形，则∠AOB＝.π3故与角α终边相同的角β的集合为{β＋2kπ，k∈Z }．|β＝π3)(3) 若α∈，则S 扇形AOB ＝αr 2＝α，α∈.(0，2π3]1212(0，2π3]而S △AOB ＝×1×1×sin α＝sin α，1212故弓形AB 的面积S ＝S 扇形AOB －S △AOB ＝α－sin α，α∈.第2课时　同角三角函数的基本关1212(0，2π3]系式与诱导公式一、 填空题1. sin 750°＝________．答案：12解析：sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝.122. 若α∈，sin α＝－，则cos(－α)的值为________．(－π2，π2)35答案：45解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos (－α)＝.(－π2，π2)3545453. (2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝________．1213答案：－125解析：因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－12131－sin2α513sin αcos α.125 4. 已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin(π2＋β)α的值是________．答案：31010解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.又α为锐角，故sin α＝.310105. (2017·射阳县中模拟)若f(tan x)＝sin 2x －5sin x·cos x, 则f(5)＝________．答案：0解析：由已知得f( tan x)＝＝，所以f(5)＝＝0.sin2x －5 sin x· cos x sin2x ＋ cos2x tan2x －5tan x tan2x ＋152－5×552＋16. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________．25答案：－3125解析：由sin θ－2cos θ＝－，sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ是第三象限角，得sin θ＝－，cos 252425θ＝－，则sin θ＋cos θ＝－.72531257. 已知sin(π－α)＝log 8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．14(－π2，0)答案：255解析：sin (π－α)＝sin α＝log 8＝－.1423又α∈，得cos α＝＝，(－π2，0)1－sin2α53tan (2π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－＝.sin αcos α2558. 已知sin θ＝2cos θ，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．答案：45解析：由 sin θ＝2cos θ，得 tan θ＝2.sin 2θ＋sin θ cos θ－2cos 2θ＝＝＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θtan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝.22＋2－222＋1459. 设函数f(x)(x∈R )满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝________．(23π6)答案：12解析：由f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，得f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sin x －sin x ＝f(x)，所以f ＝f ＝f ＝f＝f ＋sin π.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f (236π)(116π＋2π)(116π)(π＋56π)(56π)56＝0＋＝.(236π)121210. 已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________．答案：－3解析：∵ f(4)＝asin (4π＋α)＋bcos (4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴ f(2 017)＝asin (2 017π＋α)＋bcos (2 017π＋β)＝asin (π＋α)＋bcos (π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.二、 解答题11. 已知＝－，求的值．1＋sin αcos α12cos αsin α－1 解：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，可得(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以＝，所以＝－，即1＋sin αcos αcos α1－sin αcos α1－sin α12＝.cos αsin α－11212. 已知f(x)＝(n∈Z )．cos2（n π＋x ）·sin2（n π－x ）cos2[（2n ＋1）π－x](1) 化简f(x)的解析式；(2) 求f ＋f 的值．(π2 017)(2 015π4 034)解：(1) 当n 为偶数，即n ＝2k(k∈Z )时，f(x)＝＝cos2（2k π＋x ）·sin2（2k π－x ）cos2[（2·2k ＋1）π－x]cos2x·sin2（－x ）cos2（π－x ）＝＝sin 2x ；cos2x·（－sin x ）2（－cos x ）2当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k∈Z )时，f(x)＝cos2[（2k ＋1）π＋x]·sin2[（2k ＋1）π－x]cos2{[2·（2k ＋1）＋1]π－x}＝cos2（2k π＋π＋x ）·sin2（2k π＋π－x ）cos2[2·（2k ＋1）π＋π－x]＝＝＝sin 2x.cos2（π＋x ）·sin2（π－x ）cos2（π－x ）（－cos x ）2·sin2x（－cos x ）2综上，f(x)＝sin 2x.(2) 由(1)得f ＋f (π2 017)(2 015π4 034)＝sin 2＋sin 2π2 017 2 015π4 034＝sin 2＋sin 2π2 017(π2－π2 017)＝sin 2＋cos 2＝1.π2 017π2 01713. 是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式(－π2，π2)同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．{sin （3π－α）＝2cos(π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β）)解：存在α＝，β＝使等式同时成立．π4π6由{sin （3π－α）＝2cos (π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β），)得{sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，)两式平方相加，得sin 2α＋3cos 2α＝2，得到cos 2α＝，即cos α＝±.1222因为α∈，所以cos α＝，所以α＝或α＝－.(－π2，π2)22π4π4将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝.π43232由于β∈(0，π)，所以β＝.π6将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－.由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．π4212综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立．第3课时　三角函数的图象和性质π4π6一、 填空题1. (必修4P 33例4改编)函数y ＝－tan＋2的定义域为____________．(x ＋π6)答案：{x |x ≠k π＋π3，)k ∈Z}解析：由x ＋≠kπ＋，k∈Z ，得x≠kπ＋，k∈Z .π6π2π32. (2017·珠海调研改编)要得到函数y ＝sin的图象，只需要将函数y ＝sin 2x 的图象作平移(2x ＋π6)变换：____________.答案：向左平移个单位π12解析：y ＝sin＝sin 2，所以要得到函数y ＝ sin 的图象，只需要将函数(2x ＋π6)(x ＋π12)(2x ＋π6)y ＝sin 2x 的图象向左平移个单位．π123. (2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin 的图象向右平移φ个单位后，所得(2x ＋π3)(0<φ<π2)函数为偶函数，则φ＝________．答案：5π12解析：由题意得y ＝3sin为偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈Z )．又0<φ<，(2（x －φ）＋π3)π3π2π2所以φ＝.5π124. 函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别是________．答案：2，－2解析：y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－(sin x ＋1)2＋2.由－1≤sin x≤1知，当sin x ＝－1时，y 取最大值2；当sin x ＝1时，y 取最小值－2.5. 若函数y ＝cos (ω∈N )图象的一个对称中心是，则ω的最小值为____________．(ωx ＋π6)(π6，0)答案：2解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k∈Z )⇒ωmin ＝2.πω6π6π26. (2017·苏北四市第三次调研)若函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则函(0<φ<π2)3数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是________．答案：(π12，7π12)解析：由题意可得2sin(2×0＋φ)＝，∴ sin φ＝，φ＝，f(x)＝2sin，函数f(x)在332π3(2x ＋π3)[0，π]上的单调递减区间是.(π12，7π12)7. (2017·南京调研)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．答案：322解析：由函数图象得A ＝3，＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝，所以f(x)＝3sin .因为2πωπ4(π4x ＋φ)(3，0)为函数f(x)＝3sin 的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k ＋1)π(k∈Z )，解得(π4x ＋φ)π4φ＝＋2kπ(k∈Z )．因为φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin ，则f(0)＝3sin ＝π4π4(π4x ＋π4)π4.3228. 若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω的值为________．[0，π3]2答案：34解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤＜，π3ωπ3π3则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ＝，且0＜＜，[0，π3]2ωπ32ωπ3π3所以＝，解得ω＝.ωπ3π4349. 函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R 都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为__________．答案：34解析：依题意得，当sin πx≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx；当sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.由已知可知f(x 1)，f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x 2－x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x ＝时，函数取得最大值2，x ＝时函数取得最1254小值－，所以|x 2－x 1|的最小值是－＝.254123410. 若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是____________．(ωx －π4)(0，π2)答案：(0，32]解析：由－＋2kπ≤ωx－≤＋2kπ，k∈Z ，得－＋≤x≤＋，k∈Z .取k ＝0，得π2π4π2π4ω2k πω3π4ω2k πω－≤x≤.因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以≥，即ω≤.又π4ω3π4ω(ωx －π4)(0，π2)3π4ωπ232ω>0，所以ω的取值范围是.(0，32]11. (原创)已知函数f(x)＝cos 2x ＋sin x ，那么下列命题中是真命题的是________．(填序号)① f(x)既不是奇函数也不是偶函数；② f(x)是周期函数；③ f(x)在[－π，0]上恰有一个零点；④ f(x)在上是增函数；(π2，5π6)⑤ f(x)的值域为[0，2]．答案：①②④解析：∵ f ＝1，f＝－1，即f(－x)≠f(x)，(π2)(－π2)∴ f(x)不是偶函数．∵ x∈R ，f(0)＝1≠0，∴ f(x)不是奇函数，故①为真命题．∵ f(x)＝f(x ＋2π)，∴ T ＝2π，故函数f(x)为周期函数，故②为真命题．令f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝0，则sin 2x －sinx －1＝0，解得sin x ＝，当x∈[－π，0]时，sin x ＝，由正弦函数图象可知函数f(x)在1±521－52[－π，0]上有两个零点，故③为假命题．∵ f′(x)＝2cos x·(－sin x)＋cos x ＝cos x·(1－2sin x)，当x∈时，cos x<0，<sin x<1，∴ f′(x)＝cos x·(1－2sin x)>0，(π2，5π6)12∴ f(x)在上是增函数，故④为真命题．f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(π2，5π6)＋，由－1≤sin x≤1得f(x)的值域为，故⑤为假命题．(sin x －12)2 54[－1，54]二、 解答题12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上有一个最π2低点为M .(2π3，－3)(1) 求f(x)的解析式；(2) 求使f(x)＜成立的x 的取值集合．32解：(1) 由题意知，A ＝3，ω＝2，由3sin ＝－3，得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z ，即(4π3＋φ)4π3π2φ＝－π＋2kπ，k∈Z .116而0＜φ＜，所以k ＝1，φ＝.π2π6故f(x)＝3sin.(2x ＋π6)(2) f(x)＜等价于3sin＜，即32(2x ＋π6)32sin＜，(2x ＋π6)12于是2kπ－＜2x ＋＜2kπ＋(k∈Z )，7π6π6π6解得kπ－＜x ＜kπ(k∈Z )，2π3故使f(x)＜成立的x 的取值集合为{x|kπ－＜x ＜kπ，k∈Z }．322π313. (2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y 轴(ω>0，0≤φ≤π2)交于点(0，)，最小正周期是π.3(1) 求ω，φ的值；(2)已知点A ，点P 是该函数图象上一点，点Q(x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝，x 0∈(π2，0)32时，求x 0的值．[π2，π]解：(1) 将点(0，)代入y ＝2cos(ωx＋φ)，得cos φ＝.332∵ 0≤φ≤，∴ φ＝.π2π6∵ 最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ ω＝＝2.2πT (2) 由(1)知y ＝2cos.(2x ＋π6)∵ A ，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝，(π2，0)32∴ P .(2x0－π2，3)∵ 点P 在y ＝2cos的图象上，(2x ＋π6)∴ 2cos＝，∴ cos ＝－.(4x0－π＋π6)3(4x0＋π6)32∵ x 0∈，∴ 4x 0＋∈，[π2，π]π6[2π＋π6，4π＋π6]∴ 4x 0＋＝2π＋π－或4x 0＋＝2π＋π＋，π6π6π6π6∴ x 0＝或.第4课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式2π33π4一、 填空题1. cos 15°的值是____________．答案：2＋64解析：cos15°＝cos(60°－45°)＝.2＋642. 计算：cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°＝_________．答案：12解析：原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18°＝sin (48°－18°)＝sin 30°＝.123. 设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则cos(α＋β)的值为________．5531010答案：22解析：∵ α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴ cos α＝，sin β＝，－2551010∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.224. (2017·苏锡常镇四市调研(二))已知α是第二象限角，且sin α＝，tan(α＋β)＝－2，则310tan β＝________．答案：17解析：由α是第二象限角，且sin α＝，得cos α＝－，tan α＝－3，所以tan310110β＝tan(α＋β－α)＝＝＝.tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α－2＋31＋6175. 已知α，β∈，若sin ＝，cos ＝，则sin(α－β)＝__________．(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513答案：1665解析：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)π6(π2，π)5π6(－π2，0)(α＋π6)355π6＝－，1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－[×－×]＝.π65π645513(－35)(－1213)16656. 已知sin ＋sin α＝，则sin＝__________.(π3＋α)435(α＋7π6)答案：－45解析：sin ＋sin α＝⇒sin cos α＋cos sin α＋sin α＝⇒sin α＋cos (π3＋α)435π3π34353232α＝⇒sin α＋cos α＝，故sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－(sin 435321245(α＋7π6)7π67π632α＋cos α)＝－.12457. 若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝____________．33答案：π3解析：由已知可得＝，即tan (α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β33又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.π38. 计算：＝________．2sin 50°－3sin 20°cos 20°答案：1解析：原式＝2sin （30°＋20°）－3sin 20°cos 20°＝2sin 30°cos 20°＋2cos 30°sin 20°－3sin 20°cos 20°＝＝1.cos 20°＋3sin 20°－3sin 20°cos 20°9. 若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则 β＝________．551010答案：π4解析：∵ α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，551010∴ sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin 25531010αsin(α－β)＝.∵ β是锐角，∴ β＝.22π410. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED＝__________．答案：1010解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED＝.π4在Rt△EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC＝，cos ∠BEC＝.55255sin ∠CED＝sin (π4－∠BEC)＝cos ∠BEC－sin ∠BEC 2222＝×＝.22(255－55)1010二、 解答题11. 在△ABC 中，已知sin(A ＋B)＝2sin(A －B)．(1) 若B ＝，求A ；π6(2) 若tan A ＝2，求tan B 的值．解：(1) 由条件，得sin＝2sin(A －)，(A ＋π6)π6∴ sin A ＋cos A ＝2.3212(32sin A －12cos A)化简，得sin A ＝cos A ，∴ tan A ＝.33又A∈(0，π)，∴ A ＝.π3(2) ∵ sin(A ＋B)＝2sin(A －B)，∴ sin Acos B ＋cos Asin B ＝2(sin Acos B －cos Asin B)．化简，得3cos Asin B ＝sin Acos B.又cos Acos B≠0，∴ tan A ＝3tan B.又tan A ＝2，∴ tan B ＝.2312. 已知α∈，且sin ＋cos ＝.(π2，π)α2α262(1) 求cos α的值；(2) 若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35(π2，π)解：(1) 已知sin ＋cos ＝，两边同时平方，α2α262得1＋2sin cos ＝，则sin α＝.α2α23212又<α<π，所以cos α＝－＝－.π21－sin2α32(2) 因为<α<π，<β<π，所以－<α－β<.π2π2π2π2又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.3545则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.324512(－35)43＋31013. 已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋tan ·cos ωxsin φ的图象关3π3(ω>0，－π2≤φ<π2)于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.π3(1) 求ω和φ的值；(2) 若f ＝，求cos 的值．(α2)34(π6＜α＜2π3)(α＋3π2)解：(1) 由已知得f(x)＝sin (ωx＋φ)，3因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝＝2.2πT 又f(x)的图象关于直线x ＝对称，π3所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z .π3π2由－≤φ<得k ＝0，π2π2所以φ＝－＝－.π22π3π6(2) 由(1)得f(x)＝sin，3(2x －π6)所以f ＝sin＝，(α2)3(2·α2－π6)34即sin＝.(α－π6)14由<α<得0<α－<，π62π3π6π2所以cos＝＝(α－π6)1－sin2(α－π6)1－(14)2 ＝.154因此cos＝sin α＝sin (α＋3π2)[(α－π6)＋π6]＝sin cos ＋cos sin (α－π6)π6(α－π6)π6＝×＋×＝.1432154123＋158第5课时　二倍角的正弦、余弦和正切公式一、 填空题1. －sin 2的值为________．12π12答案：34解析：－sin 2＝＝cos ＝×＝.12π1212(1－2sin2π12)12π61232342. 函数y ＝(sin x －cos x)2的最小正周期为__________．答案：π解析：y ＝(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝1－sin 2x ，最小正周期T ＝π.3. 若＝－，则sin α＋cos α＝__________．cos 2αsin (α＋7π4)22答案：12解析：由已知得＝－，整理得sin α＋cos α＝.cos2α－sin2α22（sin α－cos α）22124. 已知sin(α－45°)＝－，且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．210答案：725解析：由sin (α－45°)＝－，展开得sin α－cos α＝－.又sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 21015α＝，cos α＝，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝.35457255. 若函数f(x)＝sin 2＋cos 2－1，则函数f(x)的单调增区间是____________．(x ＋π4)(x －π4)答案：(k∈Z )[－π4＋k π，π4＋k π]解析：f(x)＝sin 2(＋x)＋sin 2(＋x)－1＝2sin 2(＋x)－1＝－cos ＝sin 2x.易得函数f(x)的π4π4π4(π2＋2x)单调增区间是(k∈Z )．[－π4＋k π，π4＋k π]6. (2017·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝________．13答案：－35解析：因为α是第二象限角，且tanα＝－，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin131010310102α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－.101031010357. 已知sin 2α＝，则cos 2＝___________．13(α－π4)答案：23解析：cos 2＝＝＝＝.(α－π4)1＋cos (2α－π2)21＋sin 2α21＋132238. 若＝2 017，则tan 2α＋＝________．1＋tan α1－tan α1cos 2α答案：2 017解析：tan 2α＋＝＋＝＝＝2 017.1cos 2α2tan α1－tan2αcos2α＋sin2αcos2α－sin2α（1＋tan α）21－tan2α1＋tan α1－tan α9. 设f(x)＝＋sin x ＋a 2sin的最大值为＋3，则常数a ＝____________．1＋cos 2x2sin (π2－x )(x ＋π4)2答案：±3解析：f(x)＝＋sin x ＋a 2sin ＝cos x ＋sin1＋2cos2x －12cos x (x ＋π4)x ＋a 2sin＝sin ＋a 2sin ＝(＋a 2)sin(x ＋)．依题意有＋a 2＝＋3，(x ＋π4)2(x ＋π4)(x ＋π4)2π422∴ a ＝±.310. 已知θ∈，且sin ＝，则tan 2θ＝________．(0，π2)(θ－π4)210答案：－247解析：由sin＝，得sin θ－cos θ＝①， θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，(θ－π4)21015(0，π2)2425可求得sin θ＋cos θ＝，∴ sin θ＝，cos θ＝，∴ tan θ＝，tan 2θ＝＝－.754535432tan θ1－tan 2θ24711. 已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－·sin (0<φ<π)，将函数f(x)的图象向1212(π2＋φ)左平移个单位后得到函数g(x)的图象，且g ＝，则φ＝________．π12(π4)12答案：2π3解析：∵ f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－sin1212(π2＋φ)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ12cos 2x ＋1212＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ1212＝cos(2x －φ)，12∴ g(x)＝cos ＝cos .12[2(x ＋π12)－φ]12(2x ＋π6－φ)∵ g ＝，(π4)12∴ 2×＋－φ＝2kπ(k∈Z )，即φ＝－2kπ(k∈Z )．π4π62π3∵ 0<φ<π，∴ φ＝.2π3二、 解答题12. (2017·江阴期初)已知函数f(x)＝sin＋sin ＋2cos 2x －1，x∈R .(2x ＋π3)(2x －π3)(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．[－π4，π4]解：(1) ∵ f(x)＝sin2xcos ＋cos2xsin ＋sin2xcos －cos2xsin ＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝sin，π3π3π3π32(2x ＋π4)∴ 函数f(x)的最小正周期T ＝＝π.2π2(2) ∵ 函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，[－π4，π8][π8，π4]又f＝－1，f ＝，f ＝1，(－π4)(π8)2(π4)∴ 函数f(x)在上的最大值为，最小值为－1.[－π4，π4]213. 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x.12(1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 若α∈(0，π)，且f ＝，求tan 的值．(α4－π8)22(α＋π3)解：(1) f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x ＋cos 4x ＝(sin 4x ＋cos 4x)＝sin 12121222，(4x ＋π4)∴ f(x)的最小正周期T ＝.π2令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z ，π2π432得＋≤x≤＋，k∈Z .k π2π16k π25π16∴ f(x)的单调递减区间为，k∈Z .[k π2＋π16，k π2＋5π16](2) ∵ f ＝，即sin ＝1，(α4－π8)22(α－π4)又α∈(0，π)，－<α－<，π4π43π4∴α－＝，故α＝.π4π23π4因此tan＝＝＝2－.(α＋π3)tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3－1＋31＋33第6课时　简单的三角恒等变换一、 填空题1. 已知cos 4α－sin 4α＝，则cos 4α＝________．23答案：－19解析：∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos2α＝，∴cos234α＝2cos 22α－1＝2×－1＝－.(23)2 192. 若sin ＝，则cos 2α＝________．α233答案：－79解析：cosα＝1－2sin 2＝1－2×＝，cos2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.α2(33)2 13(13)2 793. 在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是__________．答案：等腰三角形解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B)，∴ 2cos Bsin A ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝sin A cos B ＋cos Asin B ．∴ －sin Acos B ＋cos Asin B ＝0，即sin(B －A)＝0.∴ A ＝B ，故△ABC 的形状一定是等腰三角形．4. 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋＝tan A·tan B ，则C ＝__________．33答案：π3解析：由已知可得tan A ＋tan B ＝(tan A·tan B －1)，3∴ tan(A ＋B)＝＝－.又0＜A ＋B ＜π，tan A ＋tan B1－tan Atan B 3∴ A ＋B ＝，∴ C ＝.2π3π35. 若2cos 2α＝sin ，且α∈，则sin 2α＝___________．(π4－α)(π2，π)答案：－78解析：由2cos 2α＝sin ，得2(cos 2α－sin 2α)＝(cos α－sin α)，所以cos α＋sin (π4－α)22α＝.又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.2418786. 若α∈[0，2π)，则满足＝sin α＋cos α的α的取值范围是__________．1＋sin 2α 答案：∪[0，3π4][7π4，2π)解析：由＝sin α＋cos α，得sin α＋cos α＝sin≥0.因为α∈[0，2π)，1＋sin 2α2(α＋π4)2所以α的取值范围为∪.[0，3π4][7π4，2π)7. ＝___________．2cos 10°－sin 20°sin 70°答案：3解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°38. 已知sin 2α＝－，且α∈，则sin α＝________．2425(3π4，π)答案：35解析：∵ α∈，∴ cos α＜0，sin α＞0，且|cos α|＞|sin α|.又(sin α＋cos α)(3π4，π)2＝1＋sin 2α＝1－＝，2425125∴ sin α＋cos α＝－，同理可得sin α－cos α＝，1575∴ sin α＝.359. sin 18°cos 36°＝________．答案：14解析：原式＝2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝＝＝.2sin 36°cos 36°4cos 18°sin 72°4cos 18°1410. 已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．12(0，π2)cos 2αsin (α－π4)答案：－142解析：由sin α＝＋cos α，得sin α－cos α＝，1212∴ (sin α－cos α)2＝，∴ 2sin αcos α＝，1434∴ (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.74又α∈，∴ sin α＋cos α＝，(0，π2)72∴ ＝＝－(sin α＋cos α)cos 2αsin (α－π4)cos2α－sin2α22（sin α－cos α）2＝－.142二、 解答题11. 已知△ABC 是锐角三角形，且sin ·cos ＝.(B －π6)(B －π3)12(1) 求角B 的值；(2) 若tan Atan C ＝3，求角A ，C 的值．解：(1) sincos (B －π6)(B －π3)＝(32sin B －12cos B )(12cos B ＋32sin B)＝sin 2B －cos 2B ＝sin 2B －＝，34141412所以sin 2B ＝.34因为B 为锐角三角形的内角，所以sin B ＝，即B ＝.32π3(2) 因为B ＝，所以A ＋C ＝.π32π3又△ABC 是锐角三角形，所以tan A ＞0，tan C ＞0.而tan(A ＋C)＝＝－，tan A ＋tan C1－tan Atan C 3所以tan A ＋tan C ＝tan Atan C －＝2　①.333又tan Atan C ＝3　②，由①②解得tan A ＝tan C ＝，所以A ＝C ＝.3π312. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin ＝，α∈.(α＋π4)210(π2，π)(1) 求cos α的值；(2) 求sin的值．(2α－π4)解：(1) (解法1)因为α∈，所以α＋∈.(π2，π)π4(3π4，5π4)又sin＝，所以cos ＝－＝－＝－.(α＋π4)210(α＋π4)1－sin2(α＋π4)1－(210)2 7210所以cos α＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝－.[(α＋π4)－π4](α＋π4)π4(α＋π4)π47210222102235(解法2)由sin＝得，sin αcos ＋cos αsin ＝，(α＋π4)210π4π4210即sin α＋cos α＝　①.15又sin 2α＋cos 2α＝1　②.由①②解得cos α＝－或cos α＝.3545因为α∈，所以cos α＝－.(π2，π)35(2) 因为α∈，cos α＝－，(π2，π)35所以sin α＝＝＝.1－cos2α1－(－35)2 45所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，45(－35)2425cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.(－35)2 725所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×－×＝－.(2α－π4)π4π4(－2425)22(－725)221725013. (2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四π3边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 求S 的最大值及相应的θ值．解：(1) 分别过P ，Q 作PD⊥OB 于点D ，QE⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt△OEQ 中，OE ＝QE ＝PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－sinθ，所以S ＝MN·PD ＝333333·sin θ＝sin θcos θ－sin 2θ，θ∈.(cos θ－33sin θ)33(0，π3)(2) 由(1)得S ＝sin 2θ－(1－cos 2θ)1236＝sin 2θ＋cos 2θ－123636＝sin－，33(2θ＋π6)36因为θ∈，所以2θ＋∈，(0，π3)π6(π6，5π6)所以sin ∈.(2θ＋π6)(12，1]当θ＝时，S max ＝(m 2)．π636第7课时　正弦定理和余弦定理一、 填空题1. (2017·江阴期初)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________．2答案：23解析：由已知及正弦定理得＝，即AC ＝＝＝2.AC sin B BC sin A BC·sin B sin A 32·sin 45°sin 60°32. 在△ABC 中，AC ＝，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝______．3答案：2解析：由题意得B ＝180°－A －C ＝60°.由正弦定理得＝，则BC ＝，所以BC ＝AC sin B BC sin A AC·sin Asin B ＝.3×223223. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为，则BC 的长为____________．32答案：3解析：S ＝AB·ACsin 60°＝×2××AC ＝，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 60°12123232＝3，所以BC ＝.34. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________．答案：3解析：∵ a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴ cos A ＝.12∴ A ＝.又bc ＝4，∴ △ABC 的面积为bcsin A ＝.π31235. (2017·苏锡常镇调研(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若满足2bcos A ＝2c －a ，则角B 的大小为________．3答案：π6解析：由正弦定理得2sin Bcos A ＝2sin C －sin A ⇒2sin Bcos A ＝2sin(A ＋B)－sin A ⇒2sin33Acos B ＝sin A ．∵ A∈(0，π)，∴ cos B ＝.∵ B∈(0，π)，∴ B ＝.332π66. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，则A ＝________．答案：π4解析：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，所以b 2＋b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－sin A)，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1.因为A∈(0，π)，所以A ＝.π47. (2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2＝(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长)，则△ABC 的形B 2a ＋c2c 状为________．答案：直角三角形解析：因为cos 2＝，所以2cos 2－1＝－1，所以cos B ＝，所以＝，所以B 2a ＋c 2c B 2a ＋c c a c a2＋c2－b22ac ac c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形．8. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若S △ABC ＝2，a ＋b ＝6，3＝2cos C ，则c ＝________．acos B ＋bcos Ac 答案：23解析：∵ ＝2cos C ，acos B ＋bcos Ac 由正弦定理，得sin Acos B ＋cos Asin B ＝2sin Ccos C ，∴ sin(A ＋B)＝sin C ＝2sin Ccos C.由于0＜C ＜π，sin C≠0，∴ cos C ＝，∴ C ＝.12π3∵ S △ABC ＝2＝absin C ＝ab ，∴ ab ＝8.31234又a ＋b ＝6，∴或{a ＝2，b ＝4){a ＝4，b ＝2，)∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝4＋16－8＝12，∴ c ＝2.39. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足csin A ＝acos C ，则sin A ＋sin B 3的最大值是______．答案：3解析：由csin A ＝acos C ，得sin Csin A ＝sin Acos C ，即sin C ＝cos C ，∴ tan C ＝，∴ 3333C ＝，A ＝－B ，π32π3∴ sin A ＋sin B ＝sin ＋sin B ＝sin.(2π3－B )3(B ＋π6)∵ 0＜B ＜，∴ ＜B ＋＜，2π3π6π65π6∴ 当B ＋＝，即B ＝时，sin A ＋sin B 的最大值为.π6π2π3310. 在锐角三角形ABC 中，若A ＝2B ，则的取值范围是________．ab 答案：(，)23解析：因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，所以所以<B<.{0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，)π6π4因为A ＝2B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，所以＝＝2cos B∈(，)．a b sin Asin B 23二、 解答题11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋bc ＝0，2bsin 3A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为.14(1) 求角A 和角B 的大小；(2) 求△ABC 的面积．解：(1) ∵ cos A ＝＝，∴ A ＝.b2＋c2－a22bc 32π6由2bsin A ＝a ，得b ＝a ，∴ B ＝A ＝.π6(2) 设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋－2x··＝()2，解得x ＝2，故S △ABC ＝×2×2×＝2.x24x 2(－12)142122232312. (2017·江西联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且·a2＋b2－c2ab ＝1.(a c cos B ＋bc cos A )(1) 求角C ；(2) 若c ＝，△ABC 的周长为5＋，求△ABC 的面积S.77 解：(1) 由正弦定理与余弦定理，得2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C ，即2cos Csin(A ＋B)＝sin C ，∴ 2sin Ccos C ＝sin C ，故cos C ＝，∴ C ＝.12π3(2) ∵ a ＋b ＋c ＝5＋且c ＝，∴ a ＋b ＝5.77由余弦定理，得a 2＋b 2－2abcos C ＝c 2，∴ (a ＋b)2－2ab －2abcos C ＝7，∴ 52－3ab ＝7，∴ ab ＝6，S △ABC ＝absin C ＝.1233213. (2017·苏州期中)已知函数f(x)＝2sincos x ．(1) 若0≤x≤ ，求函数f(x)的值域；(x ＋π3)π2(2) 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，且f(A)＝，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B)的值．32 解：(1)f(x)＝2sincos x ＝(sin x ＋cos x)cos x ＝sinx cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos (x ＋π3)3312322x ＋ ＝sin ＋.32(2x ＋π3)32由0≤x≤，得≤2x＋≤，π2π3π34π3∴－ ≤sin≤1，32(2x ＋π3)∴ 0≤sin＋≤1＋，(2x ＋π3)3232∴ 函数f(x)的值域为.[0，1＋32](2)由f(A)＝sin＋＝，(2A ＋π3)3232得sin＝0，(2A ＋π3)又0＜A ＜，∴ ＜2A ＋＜，π2π3π34π3∴ 2A ＋＝π，解得A ＝.π3π3在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7，解得a ＝.7由正弦定理＝，得sin B ＝＝.a sin Ab sin B bsin Aa217∵ b ＜a ，∴ B ＜A ，∴ cos B ＝ ，277∴ cos(A －B)＝cos Acos B ＋sin Asin B ＝×＋×＝.12277322175714第8课时　解三角形应用举例一、 填空题1. 在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________km.答案：6解析：由题意知∠ACB＝45°，由正弦定理得＝，∴ AC ＝×＝.AC sin 60°2sin 45°2223262. 如图，在坡度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为，假设建筑物高50 m ，设山坡对于地平面的坡角为，则cos ＝________．答案：－13解析：在△ABC 中，AB ＝ 100 m , CAB ＝15°，45°－15°＝ 30°.由正弦定理＝，∴ BC ＝ 200sin 15°.100sin 30°BCsin 15°在△DBC 中，CD ＝50 m ，CBD ＝45°，CDB ＝90°＋，由正弦定理得＝，∴ cos θ＝－1.50sin 45°200sin 15°sin （90°＋θ）33. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．答案：45°解析：依题意可得AD ＝20 m ，AC ＝30 m ，又CD ＝50m ，所以在△ACD 中，由余弦定理，得105cos∠CAD＝＝＝＝.AC2＋AD2－CD22AC·AD （305）2＋（2010）2－5022×305×2010 6 0006 000222又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，即从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.4. 如图，某住宅小区的平面图为圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________m.答案：507解析：如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，解得OC ＝50 m.1275. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是2__________n mile/h.答案：32。

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3-7 正弦定理和余弦定理课时规范练A组基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知a＝错误!,c＝2，cos A＝错误!,则b＝（ D )A. 2 B。

错误!C．2 D。

32．已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b，c,23cos2A＋cos 2A＝0,a＝7,c＝6,则b＝( D )A．10 B。

9C．8 D。

53．钝角三角形ABC的面积是错误!，AB＝1，BC＝错误!，则AC＝( B )A．5 B。

5C．2 D。

1解析：∵钝角三角形ABC的面积是错误!，AB＝c＝1,BC＝a＝错误!，∴S＝错误!ac sin B＝错误!,即sin B＝错误!，当B为钝角时,cos B＝－错误!＝－错误!，利用余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5,即AC＝错误!,当B为锐角时，cos B＝错误!＝错误!，利用余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，即AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC＝错误!.故选B.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B（1＋2cos C）＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( A )A．a＝2b B。

单元评估检测(三) 第3章 三角函数、解三角形(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2[答案] B2．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(﹁p )且(﹁q ) D ．p 或(﹁q )[答案] B3．(2017·衡水模拟)已知sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(π－α)＋cos α＝2，则tan α＝( )【导学号：79140410】A.15 B ．－23 C.12 D ．－5 [答案] D4．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图像向左平移π18个单位后，得到的图像可能为( )[答案] D5．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－125B ．512 C.177 D ．－717[答案] D6．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( ) A.3＋226 B ．3－226C.1＋266D ．1－266[答案] A7．(2017·淄博模拟)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( ) A.π3 B ．2π3 C.4π3 D ．5π3[答案] B8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像如图3­1所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图3­1A ．±223B ．223C ．－223D ．13[答案] C9．(2018·襄阳模拟)在△ABC 中，6sin A ＋4cos B ＝1，且4sin B ＋6cos A ＝53，则cos C ＝( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－32 [答案] C10．已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图像关于x ＝π3对称 C ．函数f (x )的图像可由g (x )＝2sin 2x －1的图像向右平移π6个单位长度得到D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数[答案] C11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图3­2)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图3­2A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米[答案] B12．已知定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的函数f (x )＝sin x (cos x ＋1)－ax ，若该函数仅有一个零点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140411】A.⎝⎛⎦⎥⎤2π，2B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2π∪[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2πD ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞ [答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. [答案] 014．如图3­3，某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB 的大小为45°，山脚P 到山顶A 的直线距离为2 km ，在A 处测得山顶B 的仰角为30°，则乙山的高度为________km.图3­3 图3­4[答案] 215．如图3­4，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________． [答案] 516．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则实数t 的值为________．[答案] 1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图3­5，两同心圆(圆心在原点)分别与OA ，OB 交于A ，B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.图3­5(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求tan(π－θ)cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π2sin(2θ－π)的值；(2)求点B 的坐标． [解] (1)34. (2)B ⎝⎛⎭⎪⎫2－62，2＋232.18．(本小题满分12分)(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．[解] (1)B ＝π6. (2)26＋16.19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.【导学号：79140412】图3­6(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中(图3­6)作出函数f (x )在[0，π]上的图像； (3)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合． [解] (1)ω＝2，φ＝－π3.(2)描点画出图像(如图)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4＜x ＜k π＋13π12，k ∈Z . 20.(本小题满分12分)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1， (1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合．[解] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)1.(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.21．(本小题满分12分)已知如图3­7，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.图3­7(1)求△ABC 的面积； (2)若AB ＝5，求AD 的长.【导学号：79140413】[解] (1)1534. (2)192.22．(本小题满分12分)(2017·石家庄模拟)有一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达预测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C .(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．[解] (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626， 由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫26262＝52626.由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q . 在△ABC 中，由余弦定理得，cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin∠ABCsin(45°－∠ABC )＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt△QPE 中，PE ＝QE ·sin∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．。

第三章 三角函数、解三角形(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.集合M ＝{x |x ＝sinnπ3，n ∈Z}，N ＝{x |x ＝cosnπ2，n ∈N}，则M ∩N 等于 ( )A.{－1,0,1}B.{0,1}C.{0}D.∅ 解析：∵M ＝{x |x ＝sinnπ3，n ∈Z}＝{－32，0，32}， N ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0}. 答案：C2.已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17B.7C.－17D.－7 解析：由α∈(π2，π)，sin α＝35，得tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.答案：A3.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A.1B.2C.3＋1D.3＋2 解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴f (x )max ＝2.答案：B4.(2020·温州模拟)函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)在[－π2，π2]上对称轴的条数为 ( )A.1B.2C.3 D .0 解析：∵当－π2≤x ≤π2，∵－5π6≤2x ＋π6≤76π，∴函数的对称轴为：2x ＋π6＝－π2，π2，∴x ＝－π3，或x ＝π6.答案：B5.要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象 ( )A.向左平移π3个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位 D.向右平移π6个单位 解析：∵y ＝sin(2x －π3)＝sin2(x －π6)，∴只要将y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位便得到y ＝sin(2x －π3)的图象.答案：D6.使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为( )A.－π3B.－π6C.5π6D.2π3解析：由已知得：f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，由于函数为奇函数，故有θ＋π3＝kπ⇒θ＝kπ－π3(k ∈Z)，可淘汰B 、C 选项，然后分别将A和D 选项代入检验，易知当θ＝2π3时，f (x )＝－2sin2x 其在区间[－π4，0]上递减，故选D.答案：D7.给定函数①y ＝x cos(3π2＋x )，②y ＝1＋sin 2(π＋x )，③y ＝cos(cos(π2＋x ))中，偶函数的个数是 ( )A.3B.2C.1D.0解析：对于①y ＝x cos(32π＋x )＝x sin x ，是偶函数，故①正确；对于②y ＝1＋sin 2(π＋x )＝sin 2x＋1，是偶函数，故②正确；对于③y ＝cos(cos(π2＋x ))＝cos(－sin x )＝cos(sin x )，∵f (－x )＝cos(sin(－x ))＝cos(－sin x )＝cos(sin x )＝f (x )， ∴函数是偶函数，故③正确.答案：A8.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( ) A.1 B.2 C. 2 D. 3 解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin2C ，∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.答案：D9.有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6解析：由T ＝2πω＝2ππ2＝4，可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x ≤1时函数单调递增，x＝0时y ＝0，x ＝1时y ＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x 值为1，第二个波峰对应的x 值为5，所以要区间[0，t ]上至少两个波峰，则t 至少为5. 答案：C10.设集合M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，x ∈R}，给出从M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( ) A.π B.π3 C.π2 D.π4解析：f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)，则最小正周期为π.答案：A11.函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是 ( )解析：当x ＝－π2时，y ＝sin(－π－π3)＝sin π3＝32＞0，排除B 、D ，当x ＝π6时，y ＝sin(π3－π3)＝sin0＝0，排除C. 答案：A12.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A.f (x )的图象过点(0，12) B.f (x )的图象在[5π12，2π3]上递减C.f (x )的最大值为AD.f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)解析：T ＝π，∴ω＝2.∵图象关于直线x ＝2π3对称，∴sin(2π3ω＋φ)＝±1，即2π3×2＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z 又∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6∴f (x )＝A sin(2x ＋π6).再用检验法.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1∶3，则内切圆面积与扇形面积之比为 . 解析：如图，设内切圆半径为r ，则扇形的半径为3r ，计算可 得扇形中心角为π3，故S 内切圆∶S 扇形＝πr 2∶12·3r ·(π3·3r )＝2∶3.答案：2∶314.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如下图所示，则f (7π12)＝ .解析：由图象知，函数的周期为32×T ＝π，∴T ＝2π3.∵f (π4)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4＋T 2)＝－f (π4)＝0. 答案：015.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan Atan B 的值为 .解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B －sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan Atan B ＝4.答案：416.下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k ∈Z}；③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点； ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x 的图象；⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数. 其中真命题的序号是 .解析：①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，故最小正周期为π，①正确； ②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上，故②错；③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 的图象只有一个交点，故③错； ④y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x ，故④正确；⑤y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，故⑤错.综上，①④为真命题. 答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知AC u u u r ＝(cos x 2＋sin x 2，－sin x 2)，BC u u u r ＝(cos x 2－sin x 2，2cos x2).(1)设f (x )＝AC u u u r ·BC u u u r，求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)设有不相等的两个实数x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π2，π2，且f (x 1)＝f (x 2)＝1，求x 1＋x 2的值.解：(1)由f (x )＝AC u u u r ·BC u u u r得f (x )＝(cos x 2＋sin x 2)·(cos x 2－sin x 2)＋(－sin x 2)·2cos x2＝cos 2x2－sin 2x 2－2sin x 2cos x2＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π. 又由2k π≤x ＋π4≤π＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z.故f (x )的单调递减区间是[－π4＋2kπ，3π4＋2kπ](k ∈Z).(2)由f (x )＝1得2cos(x ＋π4)＝1，故cos(x ＋π4)＝22.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，于是有x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π，得x 1＝0，x 2＝－π2， 所以x 1＋x 2＝－π2.18.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，tan A ＝12，cos B ＝31010.(1)求角C ；(2)若△ABC 的最短边长是5，求最长边的长. 解：(1)∵tan A ＝12，∴A 为锐角，则cos A ＝255，sin A ＝55.又cos B ＝31010，∴B 为锐角，则sin B ＝1010，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－255×31010＋55×1010＝－22.又C ∈(0，π)，∴C ＝34π.(2)∵sin A ＝55＞sin B ＝1010， ∴A ＞B ，即a ＞b ， ∴b 最小，c 最大， 由正弦定理得b sin B ＝csin C， 得c ＝sin C sin B ·b ＝221010·5＝5.19.(本小题满分12分)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin A ＝55，sin B ＝1010. (1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a 、b 、c 的值. 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝255， cos B ＝1－sin 2B ＝31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理αsin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b ， ∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1， ∴a ＝2，c ＝ 5.20.(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值.解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60° ＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：xπ6π35π6 4π3 11π6 7π317π6 y-1131-113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围； 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6 －(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又32,.11B A A B A B +==⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩解得令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3. 令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．22．(本小题满分14分)(2020·长沙模拟)长沙市某棚户区改造 建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建 筑用地区域近似地为半径是R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米， BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2)因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ；使得棚户区改造的新建筑用 地APCD 的面积最大，并求最大值．解：(1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理：AC 2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC＝42＋22－2×2×4cos∠ADC .所以cos∠ABC ＝12，∵∠ABC ∈(0，π)，故∠ABC ＝60°.S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋12×2×4×sin120°＝83(万平方米)． 在△ABC 中，由余弦定理：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC＝16＋36－2×4×6×12.AC ＝27.由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R ，∴2R ＝AC sin∠ABC ＝2732＝4213，∴R ＝2213(万米)．(2)∵S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ， 又S △ADC ＝12AD ·CD ·sin120°＝23，设AP ＝x ，CP ＝y .则S △APC ＝12xy ·sin60°＝34xy .又由余弦定理AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos60° ＝x 2＋y 2－xy ＝28.∴x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy . ∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号 ∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93， ∴最大面积为93万平方米．。

第三章三角函数、解三角形单元过关检测（三）（120分钟150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。

如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点P，则cos α+sinα=( ）A。

B.— C.D。

-【解析】选B.由任意角三角函数的定义知sin α=，又α是第二象限角,所以cos α =-=—,因此cos α+sin α=—。

2。

记cos（—80°)=k，那么tan 100°等于( ）A。

B。

-C。

D.—【解析】选B。

因为cos(—80°）=cos 80°=k,所以sin 80°==。

所以tan 100°=—tan 80°=-=—。

3。

(2018·嘉兴模拟）将函数f(x)=cos ωx（其中ω〉0）的图象向右平移个单位,若所得图象与原图象重合，则f不可能等于( )A。

0 B。

1 C. D.【解析】选D。

由题意=·k(k∈N*）,所以ω=6k(k∈N＊），因此f（x)=cos 6kx,从而f=cos，可知f不可能等于.4。

(2018·广州模拟）为了得到函数y=sin（2x-)的图象,只需将函数y=sin xcos x的图象（)A。

向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选D.因为y=sin=sin2,因此只需将y=sin x cos x=sin 2x向右平移个单位即可。

【变式备选】将函数f（x)=2sin（x+)+1的图象向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变）,得函数y=g（x)的图象,则g（x)图象的一个对称中心为（)A. B.C。

D。

【解析】选D。

由题意y=g(x)=2sin+1，令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,令k=0可得g(x）图象的一个对称中心为.5.（2018·北京模拟）将函数f（x）=cos 2x图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间［0,a］上单调递增,则实数a的最大值为（）A. B.C。

2019-2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.5三角恒等变换课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(xx 届南宁质量检测)已知π2＜α＜π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B ．64C.223D ．326解析：由3sin2α＝2cos α，得sin α＝13.因为π2＜α＜π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.答案：C2．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.118B ．1718 C.89D ．29解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718.答案：B3．(xx 届东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴α＝k π－π4，k ∈Z ，∴cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2＝0. 答案：D4．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D ．211解析：由题意可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan α－β1＋tan2αtan α－β＝－2.答案：A5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B ．π3C.π2D ．3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α＝( ) A.45B ．－45C.35 D ．－35解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75.① 由cos2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725.②由①②可得cos α＋sin α＝－15.③由①③可得sin α＝35.答案：C7．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210B ．210C.5210 D ．7210解析：∵sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×35＋－45＝－210.答案：A8．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：139．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1) 的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tanβ<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4.答案：－3π410．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＜α＋β＜3π2， ∴α＋β＝5π4.11．(xx 届广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝ 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 12．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017， 得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，得cos β＝45，又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.[能 力 提 升]1．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116C.116D ．18解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝cos20°·cos40°·cos100° ＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.答案：A2．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)＝( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos 22α＝429.又α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.故选D.答案：D3．(xx 届合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋π3sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．2019-2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由正弦定理知sin A sin A ＝cos B sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案：B2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D ． 6解析：b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝6，故选D.答案：D3．(xx 届重庆适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34 B ．34 C.32D ．32解析：依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即C ＝60°，因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝34，选B. 答案：B4．(xx 年山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：因为A ＋B ＋C ＝π，sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C .又cos C ≠0，所以2sin B ＝sin A ，所以2b ＝a ，故选A.答案：A5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 答案：A6．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C7．(xx 届江西七校一联)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．答案：D8．(xx 届东北三校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －bc －a＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( )A.π6 B ．π4C.π3D ．3π4解析：由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝a c ＋b⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3，故选C.答案：C9．(xx 年浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：由余弦定理得cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14，∴cos ∠CBD ＝－14，sin ∠CBD ＝154，∴S △BDC ＝12BD ·BC ·sin∠CBD ＝12×2×2×154＝152.又cos ∠ABC ＝cos2∠BDC ＝2cos 2∠BDC －1＝14，0＜∠BDC ＜π2，∴cos ∠BDC ＝104. 答案：15210410．(xx 届天津红桥质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2－b 2＝bc ，sin C ＝2sin B ，则角A 为________．解析：由sin C ＝2sin B ，由正弦定理可知c ＝2b ，代入a 2－b 2＝bc ， 可得a 2＝3b 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π， ∴A ＝π3.答案：π311．(xx 年全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)因为△ABC 的面积为a 23sin A ，所以a 23sin A ＝12ab sin C ，所以sin A sin A 3sin A ＝12sin A sin B sin C ，所以sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12，所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.12．(xx 届海口调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a －3b )cos C ＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin Bsin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ， ∴sin Bsin A＝3. (2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.[能 力 提 升]1．(xx 届上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)解析：由a sin A ＝b sin B ＝bsin2A ，得b ＝2cos A .π2＜A ＋B ＝3A ＜π，从而π6＜A ＜π3.又2A ＜π2，所以A ＜π4，所以π6＜A ＜π4，22＜cos A ＜32，所以2＜b ＜ 3.答案：A2．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)解析：①sin2A ＝sin2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π即A ＋B ＝π2，故△ABC 是直角三角形．故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形． ③sin 2A ＋sin 2B ＜1－cos 2C ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2＜c 2.∴△ABC 为钝角三角形． 答案：③3．(xx 届上高县质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ba ＋c＝1－sin C sin A ＋sin B，且b ＝5，CA →·CB →＝－5. (1)求△ABC 的面积；(2)已知等差数列{a n }的公差不为零，若a 1cos A ＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，求⎩⎨⎧⎭⎬⎫8a n a n ＋2的前n 项和S n .解：(1)∵在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， ba ＋c ＝1－sin C sin A ＋sin B ，且b ＝5，CA →·CB →＝－5. ∴由正弦定理得ba ＋c＝1－ca ＋b，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3，∵且b ＝5，CA →·CB →＝－5，即5a cos C ＝－5，即5a a 2＋b 2＋c 22ab＝－5，与cos π3＝25＋c 2－a 210c 联立解得c ＝12，∴△ABC 的面积是12×5×12×sin A ＝15 3.(2)数列{a n }的公差为d 且d ≠0，由a 1cos A ＝1，得a 1＝2， 又a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2·a 8，解得d ＝2， ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，有a n ＋2＝2(n ＋2)， 则8a n a n ＋2＝2nn ＋2＝1n －1n ＋2， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2.4．(xx 届衡水中学调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．解：(1)解法一：由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0＜A ＜π，故A ＝π3.解法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc，于是b 2＋c 2－a2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)解法一：因为AD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×co s π3＝74， 所以|AD →|＝72，从而AD ＝72.解法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.3 2，AB＝1，所以AD＝1＋34＝72.因为BD＝。

2020年高考数学第一轮复习第三单元三角函数、解三角形1.编写意图三角恒等变换公式是解决三角函数问题的主要工具,本单元把教材中的三角函数和简单三角恒等变换进行了整合.在编写中注意到如下的几个问题:(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习的力度,控制了选题的难度;(2)考虑到三角函数知识的工具性,适当加入了三角函数在各个方面应用的一些题目;(3)在第22讲中强化了正弦定理和余弦定理解三角形的技巧和方法,以基本的选题讲解如何应用这两个定理解三角形,并在第23讲中着重讲解对其的应用,以培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.2.教学建议鉴于该部分知识的重要性,以及该部分在高考中的考查特点是重视基础知识和基本方法,教师在引导学生复习该部分时,要注意如下几个问题:(1)进行考情思路分析,使学生明白该部分在高考中的考查特点是重视基础,在复习中不要追求难题、偏题和怪题,只要把基础题复习透彻即可.(2)由于该部分的选题以基础为主,其中绝大多数问题学生都能独立完成,在教学中要充分发挥学生的主体地位,尽量让学生独立完成包括例题在内的题目,教师的职责在于对方法和规律的总结,在于引导.(3)在复习中要对照考试说明,关注一些公式的导出过程,如“能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α,±α的正弦、余弦、正切的诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角和差的余弦公式”等.(4)正弦定理、余弦定理是考试说明要求掌握的内容,是最高级别的要求,在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌握这两个定理的证明,然后通过例题讲解和变式训练使学生牢固掌握这两个定理,并能利用其解有关三角形的题目.(5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化,在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思想,教师在引导学生复习时,要注重引导学生寻求合理的边角互化的方向.正弦定理、余弦定理本身就是一个方程,在三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题.(6)解三角形的实际应用题也常出现在高考中.解三角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度和距离,通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理,把求解目标纳入到一个新的可解三角形中,再根据正弦定理和余弦定理加以解决,教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生,这是解三角形实际应用问题的本质所在.3.课时安排该部分共8讲,2个小题必刷卷,1个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,必刷卷建议1课时完成,建议共9课时完成复习任务.第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数考试说明 1.任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.(2)能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2014·全国卷Ⅰ]如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为()A BC D[解析]C根据三角函数的定义,点M(cos x,0),△OPM的面积为|sin x cos x|,在直角三角形OPM 中,根据等积关系得点M到直线OP的距离f(x)=|sin x cos x|=|sin 2x|,且当x=时上述关系也成立,故函数f(x)的图像为选项C中的图像.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)端点(2)正角负角象限角(3){β|β=α+k·360°,k∈Z}2.(1)半径长(2)|α|r3.(1)y x(2)余弦线正弦线正切线对点演练1.{α|α=k·360°+120°,k∈Z}[解析]终边在射线y=-x(x<0)上的最小正角为120°,所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+120°,k∈Z}.2.(1)π(2)15[解析](1)67°30'=67.5×=(rad);(2)=×°=15°.3.1.2[解析]根据圆心角弧度数的计算公式得,α==1.2.4.[解析]r==,所以sin α==,cos α=-=-,tan α==-2,所以sin α-cos α+tan α=.5.或π[解析]因为0<A<π且sin A=,所以A=或A=π.6.∪[解析]由题意得⇒在[0,2π]内α的取值范围为∪.7.±2[解析]∵角α的终边落在直线y=-3x上,在角α的终边上取一点P(x0,-3x0).当x0<0时,P在第二象限,∴-=-=1+1=2.当x0>0时,P在第四象限,∴-=--=-1-1=-2.8.80π[解析]72°= rad,∴S扇形=αr2=××202=80π(cm2).【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)观察集合M与N即可,关键是比较集合M中的与集合N中的的取值情况;(2)分别写出两块阴影部分对应的角的集合,再求它们的并集.(1)B(2){α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k∈Z}[解析](1)M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),k∈Z,2k+1是奇数;N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=45°·(k+1),k∈Z,k+1是整数.综上知必有M⊆N. (2)由题意可得所求集合为{α|k·360°+45°<α<k·360°+135°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°<α<k·360°+315°,k∈Z}={α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k ∈Z}.变式题(1)-30°+k·360°,k∈Z(2)一或三[解析](1)因为角α的终边与-30°角的终边关于直线x+y=0对称,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.(2)∵角α的终边落在x轴的上方,∴k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,∴k·180°<<90°+k·180°,k∈Z.当k=2n(n∈Z)时,有n·360°<<90°+n·360°,可知为第一象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,有n·360°+180°<<270°+n·360°,可知为第三象限角.例2[思路点拨](1)找出弧长与半径,用弧度制公式求解;(2)将面积用半径r表示出来,用二次函数法求最大值,找出面积取得最大值时的弧长和半径,求得圆心角的弧度数.(1)2+2(2)2[解析](1)设圆的半径为r,则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r,一条直角边长为r,所以周长为2r+2r,所以圆弧所对圆心角的弧度数是=2+2.(2)设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面积S=l·r=(18-2r)·r=-r2+9r,当r=时,S取得最大值,此时l=18-2r=9,所以圆心角的弧度数是==2.变式题(1)C(2)[解析](1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故选项A,B不正确;又因为拨快10分钟,故应转过的角的绝对值大小为周角的,即为-×2π=-.(2)设圆的半径为r,则矩形的对角线长为2r,设矩形的宽为x,则(2x)2+x2=(2r)2,所以x=,所以,所求圆心角的弧度数为=.例3[思路点拨](1)依据对数函数的图像特征确定所经过的定点,再利用正弦、余弦函数的定义求解;(2)依据sin α=可设角α终边上的某一符合条件的点,巧用定义求解.(1)D(2)[解析](1)∵函数y=log a(x-3)+2的图像过定点P(4,2),且角α的终边过点P,∴x=4,y=2,r=2,∴sin α=,cos α=,∴sin α+cos α=+=.(2)根据三角函数的定义不妨设角α的终边上一点P(x,1),|OP|=3,因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以角β的终边一定经过点P'(-x,1),|OP'|=3,所以sin β=.例4[思路点拨](1)根据题意列出有关不等式,依据角在不同象限的符号情况进行分析;(2)分别对角在第二和第四象限进行讨论求解.(1)C(2)0[解析](1)由题意知sin θ·cos θ>0且-cos θ≥0,由sin θ·cos θ>0,知θ为第一、三象限角,又由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二、三象限角或θ在x轴的负半轴上,所以可知θ为第三象限角.所以选C.(2)∵角α的终边落在直线y=-x上,∴角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,+=+=0;当角α的终边位于第四象限时,+=+=0.∴+=0.例5[思路点拨]利用单位圆上的三角函数线分别作出cos x=及sin x=对应的三角函数线,再结合函数的意义求定义域.x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z[解析]由题意得,自变量x应满足即则如图中阴影部分所示,不等式组的解集为x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z.强化演练1.A[解析]依题意,点Q在y轴正方向上,所以α=+2kπ,k∈Z,所以sin α=1.故选A.2.-<a<-[解析]由cos α>sin α得>,解得a<-.又因为P(1-2a,2+3a)在第一象限,所以解得-<a<.综上知-<a<-.3.α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z[解析]作出直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z.【备选理由】例1为角的集合表示;例2为三角函数定义的应用,重点是旋转后点B的坐标的确定;例3为利用三角函数线求解不等式.1[配合例1使用]如图,写出终边落在直线y=x上的角的集合(用弧度制表示).解:在0°~360°范围内,终边落在直线y=x上的角有两个,分别是60°和240°,即在[0,2π)内终边落在该直线上的角是,π.因此,所有与终边相同的角的集合是S=αα=2kπ+,k∈Z,所有与π终边相同的角的集合是T=αα=2kπ+,k∈Z.所以,终边落在直线y=x上的角的集合为S∪T=αα=2kπ+,k∈Z∪αα=2kπ+,k∈Z=αα=2kπ+,k∈Z∪αα=(2k+1)π+,k∈Z=αα=kπ+,k∈Z.2[配合例3使用]已知A(x A,y A)是单位圆(圆心为坐标原点O,半径为1)上任一点,将射线OA 绕点O逆时针旋转到OB,OB交单位圆于点B(x B,y B),已知m>0,若my A-2y B的最大值为3,则m=.[答案]+1[解析]设∠xOA=α,由三角函数的定义,得y A=sin α,y B=sinα+,则my A-2y B=m sinα-2sinα+=(m-1)sin α-cos α,其最大值为=3,又m>0,∴m=+1.3[配合例5使用]在(0,2π)内,使得sin x>cos x成立的x的取值范围是()A.∪B. C.D.∪[解析] C当x ∈,π时,sin x>0,cos x≤0,显然sin x>cos x成立;当x ∈0,时,如图,OA 为x的终边,此时sin x=|MA|,cos x=|OM|,sin x≤cos x;当x ∈,时,如图,OB为x的终边,此时sin x=|NB|,cos x=|ON|,sin x>cos x.同理当x ∈π,时,sin x>cos x;当x ∈,2π时,sinx≤cos x.故选C.第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试说明 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅲ]若tan α=,则cos2α+2sin 2α=()A.B.C.1D.[解析] A cos2α+2sin 2α====.2.[2013·全国卷Ⅱ]设θ为第二象限角,若tanθ+=,则sin θ+cos θ=. [答案]-[解析]由tan=得=⇒tan θ=-⇒cos θ=-3sin θ,由sin2θ+cos2θ=1⇒10sin2θ=1,θ在第二象限⇒sin θ=,cos θ=-,∴sin θ+cos θ=-.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=.[答案][解析]由题意可知角α在第一或第二象限,若角α与角β的终边关于y轴对称,则β=2kπ+π-α(k∈Z),所以sin β=sin(π-α)=sin α=.2.[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.[答案] 8[解析]方法一:∵sin A=2sin B sin C,sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C,两边同除以cos B cos C,可得tan B+tan C=2tan B tan C,tan A tan B tan C=-tan(B+C)tan B tan C=-·tan B tan C=,由三角形为锐角三角形得tan B>0,tan C>0,tan A=>0,即tan B tan C-1>0.令tan B tanC-1=t(t>0),则tan A tan B tan C==2t++2≥8,当t=1,即tan B tan C=2时取等号.方法二:同方法一可得tan B+tan C=2tan B tan C,又tan A+tan B+tan C=tan A+(1-tan B tan C)·tan(B+C)=tan A-tan A+tan A tan B tan C=tan A·tan B tan C,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C≥2⇒tan A tan B tan C≥8,当且仅当tan A=2tan B tan C=4时取等号.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)sin2α+cos2α=1(2)=tan α,α≠kπ+(k∈Z)2.-sin α-sin α-cos α-cos α-sin αtan α-tan α对点演练1.-[解析]由于α是第四象限角,故sin α=-=-.2.-[解析]由=-5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α可得,=-5,得tan α=-.3.[解析] cos=cos=-cos=sin α=.4.[解析]原式=-sin(120°+3×360°)cos(210°+3×360°)=-sin 120°·cos210°=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)=sin 60°·cos 30°=×=.5.-[解析]∵=-,∴sin A=-cos A,∵A为△ABC的内角,∴sin A>0,∴cos A<0.又sin2A+cos2A=1,∴求得cos A=-.6.-[解析] cosπ+α=sin α=-,且α是第四象限角,所以cos α=,所以cos(-3π+α)=-cos α=-.7.[解析]由=5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α,得=5,得tan α=2,所以sin2α-sin αcos α===.8.{2,-2}[解析]当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A=-=-2.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据三角函数的符号和诱导公式求解;(2)整体将α-15°,105°-α转化为含75°+α的角的形式,再利用诱导公式求解.(1)A(2)D[解析](1)f(α)====cos α,则f=cos=.(2)∵cos(75°+α)=,∴sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(α+75°)-90°]+cos[180°-(α+75°)]=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-.变式题(1)B(2)[解析](1)sin 300°+tan 600°=sin(-60°)+tan 60°=-sin 60°+tan 60°=-+=.故选B.(2)∵sin-α=,∴cos+α=cos--α=sin-α=.例2[思路点拨](1)由tan x=-及平方关系解出sin x,再根据诱导公式求解;(2)把α+看成一个整体,根据基本关系求解.(1)C(2)B[解析](1)∵tan x==-,∴cos x=-sinx,∴sin2x+cos2x=sin2x+sin2x=sin2x=1,∴sin2x=.又x∈,π,∴sinx=,∴cos-x-=cos+x=-sin x=-.(2)∵0<α<π,且sinα+=∈,,∴α+∈,,∴cosα+=-=-,则tanα+==-.例3[思路点拨](1)将待求式看成分母为1的分式结构,再将1用“sin2x+cos2x”代替,由弦直接得到正切,进而求解.(2)利用平方关系得到sin x cos x后,同(1)一样处理,但要注意tan x 的取值.(1)(2)[解析](1)2sin2x-sin x cos x+cos2x===.(2)将sin x-cos x=两边平方并化简可得sin x cos x=,即有==,解得tan x=或tan x=,因为x ∈0,且sin x>cos x,所以tan x=.例4[思路点拨]将已知式子两边平方求出sin αcos α的值,再将待求式化简求解.-[解析]∵sin α+cos α=-,∴sin2α+cos2α+2sin αcos α=,解得sin αcosα=-,∴sin+αcos-α=cos αsin α=-.强化演练1.A[解析]因为cos x+sin x=,又sin2x+cos2x=1,x∈(0,π),解得sin x=,cos x=-,所以tan x=-.故选A.2.1[解析] 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α====1.3.1-[解析]由题意知sin θ+cos θ=-,sin θcos θ=,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.【备选理由】例1是以角α为变量的函数形式,进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例2是考查诱导公式在三角形中的应用,是对听课例1的很好的补充;例3是平方关系及“1”的巧妙代换;例4是考查sin θ+cos θ与sin θ-cos θ之间的转换.1[配合例1使用][2017·中山一中模拟]已知f(α)=.(1)化简f(α);(2)若α=-,求f(α)的值.解:(1)f(α)==-cos α.(2)∵-=-5×2π-,∴f=-cos=-cos-5×2π-=-cos=-,即f(α)=-.2[配合例1使用]在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则该三角形为()A.正三角形B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D.钝角三角形[解析] C因为sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.3[配合例3使用][2017·亳州涡阳一中月考]若sin2α+sin α=1,则cos4α+cos2α=.[答案] 1[解析]∵sin2α+sin α=1,∴sin α=cos2α,∴cos4α+cos2α=cos2α(cos2α+1)=sin α(sin α+1)=1.4[配合例4使用]若sin θ+cos θ=,且0≤θ≤π,则sin θ-cos θ的值为. [答案][解析]∵sin θ+cos θ=,∴两边平方得sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,即1+2sin θcos θ=,∴2sin θcos θ=-.又0≤θ≤π,∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ===.第18讲三角函数的图像与性质考试说明 1.能画出函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等),理解正切函数在区间-,内的单调性.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.[解析] C函数f(x)=sin的最小正周期为T==π.2.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5[解析] B由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,ω+φ=mπ+,m∈Z,两式相加,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.(1)当φ=时,f(x)=sinωx+,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-时,f(x)=sinωx-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.3.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为()A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)[解析] B平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).4.[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图3-18-1所示,则f(x)的单调递减区间为()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z[解析] D由图知=-=1,所以T=2,即=2,所以ω=±π.因为函数f(x)的图像过点,所以当ω=π时,+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z;当ω=-π时,+φ=-+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z.所以f(x)=cos,由2kπ<πx+<π+2kπ,解得2k-<x<2k+,k∈Z,故选D.5.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.[答案][解析]因为f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f(x)max=.6.[2014·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. [答案] 1[解析]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin x,故其最大值为1.7.[2013·全国卷Ⅰ]设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=. [答案]-[解析]因为f(x)=sin x-2cos x=sin(x+φ),所以当x+φ=+2kπ(k∈Z),即x=-φ+2kπ(k∈Z)时,y=f(x)取得最大值,则cos θ=cos x=cos=sin φ,由φ∈可得sin φ=-,所以cos θ=-.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A.B.C.πD.2π[解析] C因为y=sin 2x+cos 2x=2sin 2x+cos 2x=2sin2x+,所以其最小正周期T==π,故选C.2.[2016·浙江卷]设函数f(x)=sin2x+b sin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关[解析] B若b=0,则f(x)=sin2x+c=+c=-cos 2x++c的最小正周期是π;若b≠0,则f(x)=sin2x+b sin x+c的最小正周期是2π.故选B.3.[2017·天津卷]设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=[解析] A∵f=2,f=0,∴-=(2m+1),m∈N,解得T=,m∈N.∵f(x)的最小正周期大于2π,∴m=0,∴T=3π,则ω=.由题意得×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴φ=.4.[2016·江苏卷]定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图像与y=cos x的图像的交点个数是.[答案] 7[解析]方法一:令sin 2x=cos x,即2sin x cos x=cos x,解得cos x=0或sin x=,即x=kπ+或x=2kπ+或x=2kπ+π(k∈Z),又x∈[0,3π],故x=,,或x=,,,,共7个解,故两个函数的图像有7个交点.方法二:在同一个坐标系内画出这两个函数的图像,由图像可得交点有7个.5.[2016·天津卷]已知函数f(x)=4tan x sin-x cos x--.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-,上的单调性.解:(1)f(x)的定义域为x x≠+kπ,k∈Z.f(x)=4tan x cos x cos x--=4sin x cos x--=4sin x cos x+sin x-=2sin x cosx+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin2x-,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是-+2kπ,+2kπ,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=-,,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=-,.所以当x∈-,时,f(x)在区间-,上单调递增,在区间-,-上单调递减.【课前双基巩固】知识聚焦1.[-1,1][-1,1]R奇函数偶函数2kπ+,2kπ+[2kπ-π,2kπ](kπ,0)x=kπ对点演练1.π[解析]T===π.2.-1[解析]依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增减[解析]由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.4.2kπ-,2kπ+(k∈Z)[解析]由题意知0≤cos x≤1,∴2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).5.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)[解析]函数y=1-2cos x的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,即函数y=cos x的单调递增区间,为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).6.(-1,1)[解析]∵x≠+kπ(k∈Z),y=cos x tan x=sin x,∴y=sin x∈(-1,1),即函数y=cos x tan x的值域是(-1,1).7.1[解析]设t=cos x,则-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-2+,当t=1时,函数取得最大值1.8.,-[解析]∵sin x+sin y=,∴sin x=-sin y.∵-1≤sin x≤1,∴解得-≤sin y≤1.又M=sin2y-sin y-=sin y-2-,∴当sin y=,sin x=-时,M min=-;当sin y=-,sin x=1时,M max=.故M=sin x+sin2y-1的最大值为,最小值为-.【课堂考点探究】例1[思路点拨]根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数的性质列出关于x的不等式组求解.(1)x0<x≤2,且x≠(2)x2kπ<x≤+2kπ,k∈Z[解析](1)依题意得所以0<x≤2,且x≠kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的定义域是x0<x≤2,且x≠.(2)要使函数有意义,必须满足即即所以2kπ<x≤+2kπ(k∈Z),所以函数的定义域为x2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.变式题(1)x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z(2)x x≠+,k∈Z[解析](1)由题意需满足sin x-cos x≥0.y=sin x和y=cos x的部分图像如图所示.在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x的值为,,再结合图像及正弦、余弦函数的周期是2π,可得原函数的定义域为x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.(2)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以f(x)的定义域为x x≠+,k∈Z.例2[思路点拨](1)利用正弦函数的单调性求解;(2)先将解析式化为以cos x为变量的二次函数,再根据二次函数的性质求值域.(1)A(2)B[解析](1)因为0≤x≤9,所以-≤-≤,所以-≤sin x-≤1,则-≤y≤2.所以y max+y min=2-.(2)y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2cos x+2-,因为cos x∈[-1,1],所以原式的值域为-,3.变式题(1)D(2)[解析](1)因为y=|sin x|+sin x=-1≤sin x≤1,所以y∈[0,2],所以函数的值域为[0,2].(2)令t=cos x-sin x,则t=cos x-sin x=cos x+∈[-,],所以t2=1-2sin x cos x,即sin x cos x=,所以y=t+4×=-2t2+t+2=-2t-2+,又t∈[-,],所以当t=时,y取得最大值.例3[思路点拨]依据T=求解最小正周期.(1)(2)D[解析](1)函数f(x)=sin3x+的最小正周期T==.(2)对于A,y=sin 4x,∵ω=4,∴T==,该函数为奇函数,故A不正确;对于B,y=cos 2x,∵ω=2,∴T=π,故B不正确;对于C,y=tan 2x,∵ω=2,∴T=,该函数为奇函数,故C不正确;对于D,y=sin-4x=cos 4x,∵ω=4,∴T==,该函数为偶函数,故D正确.例4[思路点拨](1)把2x+看成整体,利用y=sin x图像的对称性求解;(2)由对称轴确定函数的周期,得出ω,再结合对称轴通过函数图像的最高点或最低点求解.(1)B(2)A[解析](1)∵正弦函数y=sin x的部分图像如图所示,其对称中心必在图像与x轴的交点处,当x=-时,函数值y=2sin-×2+=0,∴函数图像关于点-,0对称.(2)由题意,函数的周期T=2×π-π=2π,∴ω==1,∴y=cos(x+φ).当x=π时,函数取得最大值或最小值,即cos+φ=±1,可得+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ-π,k∈Z.当k=2时,可得φ=.例5[思路点拨](1)依据周期公式可排除A,其余三项利用y=cos x,y=sin x和y=tan x的单调性分析;(2)把ωx-看成整体,依据y=cos x的单调递减区间求解.(1)B(2)A[解析](1)对于A,y=cos的周期T==4π,故A错误;对于B,y=cos(-2x)=cos 2x的周期为π,且在0,上是减函数,故B正确;对于C,y=sin2x+的周期T==π,当x∈0,时,2x+∈,,故y=sin2x+在0,内不具有单调性,故C错误;对于D,y=tan x-,其周期T=π,当x∈0,时,x-∈-,,故y=tan x-在0,内是增函数,故D错误.(2)由2kπ≤ωx-≤π+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为+,+,k∈Z.又f(x)在,π上单调递减,∴k∈Z,解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z.又ω>0,≤=,∴0<ω≤2,∴≤ω≤.强化演练1.C[解析]f(x)=sin(x+φ)-cos(x+φ)=2sin x+φ-,依题意f(π)=±2,即sinπ+φ-=±1,sinφ-=±1,所以φ-=kπ+,k∈Z,又|φ|<,则可取k=-1,得φ=-,所以cos 2φ=cos=.故选C.2.A[解析]因为f(x)=2cos2x--1=cos 2x-=cos2x-=sin 2x,所以最小正周期T==π,f(x)是奇函数,即函数f(x)是最小正周期为π的奇函数.3.A[解析]由题意得3cos2×+φ=3cos+φ+2π=3cos+φ=0,所以+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.4.kπ-,kπ+(k∈Z)[解析]已知函数可化为f(x)=-sin2x-,要求函数的单调递减区间,只需求y=sin2x-的单调递增区间.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所给函数的单调递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).【备选理由】例1考查余弦函数有界性、二次函数在指定区间上的最值问题,需要分类讨论求解,可强化学生对数学思想方法的认识与应用;例2为函数对称性与极值的综合问题;例3为利用三角函数的单调性比较大小问题;例4 为函数不单调求参问题.1[配合例2使用]若函数y=sin2x+a cos x+a-在闭区间上的最大值是1,则实数a=.[答案][解析]y=-++a-.当0≤x≤时,0≤cos x≤1,令t=cos x,0≤t≤1,则y=-++a-,0≤t≤1.①若0≤≤1,即0≤a≤2,则当t=,即cos x=时,y max=+a-=1,解得a=或a=-4(舍去);②若<0,即a<0,则当t=0,即cos x=0时,y max=a-=1,解得a=,由于a<0,故这种情况不存在满足条件的a值;③若>1,即a>2,则当t=1,即cos x=1时,y max=a+a-=1,解得a=,由于<2,故这种情况下不存在满足条件的a值.综上知,a=.2[配合例4使用][2017·武汉部分学校调研]已知函数f(x)=sin x-a cos x图像的一条对称轴为x=π,记函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,则|x1+x2|的最小值为.[答案][解析]据题意有sinπ-a cosπ=,解得a=1,所以f(x)=sin x-cos x=sin x-,x1,x2为函数的极值点,且|x1+x2|最小,则x1,x2的符号相反,由x-=±,可得x1+x2=-+π=,所以|x1+x2|的最小值为.3[配合例5使用]已知函数f(x)=2cos x+,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c[解析] A易知函数f(x)在0,上是减函数,所以f>f>f,所以a>b>c.4[配合例5使用][2017·衡阳八中月考]设ω∈N*且ω≤15,则使函数y=sin ωx在区间,上不单调的ω的个数是()A.6B.7C.8D.9[解析] C由ωx=+kπ(k∈Z)得函数y=sin ωx的图像的对称轴为x=+(k∈Z).∵函数y=sinωx在区间,上不单调,∴<+<(k∈Z),解得1.5+3k<ω<2+4k(k∈Z).由题意ω∈N*且ω≤15,∴当k=0时,1.5<ω<2,此时ω没有正整数可取;当k=1时,4.5<ω<6,此时ω可以取5;当k=2时,7.5<ω<10,此时ω可以取8,9;当k=3时,10.5<ω<14,此时ω可以取11,12,13;当k=4时,13.5<ω<18,此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个,分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C.第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用考试说明 1.了解函数y=A sin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数y=A sin(ωx+φ)的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5[解析] B由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,ω+φ=mπ+,m∈Z,两式相加,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.(1)当φ=时,f(x)=sinωx+,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-时,f(x)=sinωx-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.2.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为()A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)[解析] B平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).3.[2015·全国卷Ⅱ]如图3-19-1,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()[解析] B当点P在BC上时,=tan x,=,+=tan x+,即f(x)=tan x+,x∈,由正切函数的性质可知,函数f(x)在上单调递增,所以其最大值为1+,且函数y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项A,C.当点P在CD上运动时,我们取P为CD的中点,此时x=,f=2,由于2<1+,即f<f,排除选项D.综上可知,只有选项B中图像符合题意.4.[2016·全国卷Ⅲ]函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移个单位长度得到.[答案][解析]函数y=sin x-cos x=2sin x-的图像可由函数y=sin x+cos x=2sin x+的图像至少向右平移个单位长度得到.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2016·北京卷]将函数y=sin2x-图像上的点P,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图像上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为[解析] A因为P,t在函数y=sin2x-的图像上,所以t=sin2×-=sin=.因为s>0,y=sin2x-=sin 2x-,所以函数y=sin2x-的图像至少向左平移个单位长度可以得到函数y=sin 2x的图像,所以s的最小值为.2.[2016·四川卷]为了得到函数y=sin2x-的图像,只需把函数y=sin 2x的图像上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度[解析] D由题可知,y=sin=sin 2,则只需把y=sin 2x的图像向右平移个单位长度.【课前双基巩固】知识聚焦1.ωx+φφ2.0π2π3.|φ|对点演练1.y=2sin x[解析]根据函数图像变换法则可得.2.y=sin[解析]函数y=sin的图像向左平移个单位长度后得到y=sin=sin的图像,即此函数的解析式为y=sin x+.3.[解析]由题意知当x=时,函数取得最大值,所以有sin=1,所以=+2kπ(k∈Z),所以ω=+6k(∈Z),又0<ω<2,所以ω=.4.[解析]将点(0,1)代入函数表达式可得2sin φ=1,即sin φ=.∵|φ|<,∴φ=.5.左[解析]y=cos=sin+=sin.故要得到y=sin=sin 2的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度.6.[解析]f(x)=sincos =sin ωx,ω>0.若函数f(x)在区间上单调递增,则=≥+=,即ω∈.7.-5或-1[解析]由f=f得函数f(x)图像的对称轴为x=.故当x=时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.8.-[解析]由图像可知,T=4×π-=π,所以ω==2.因为f=sin+φ=1,所以+φ=+2kπ(k ∈Z),即φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)先求出周期,再将y=2sin2x+的图像按规则平移即可;(2)先统一函数的名称,再按照平移规则平移.(1)D(2)C[解析](1)函数y=2sin2x+的周期为=π,将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期,即平移个单位,所得图像对应的函数为y=2sin2x-+=2sin2x-.(2)y=sin 2x=cos2x-=cos 2x-,所以只需将y=sin 2x的图像向左平移个单位长度,即可得到函数y=cos 2x的图像.故选C.变式题(1)A(2)A[解析](1)把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到函数y=sin 2x的图像,再把该函数图像向右平移个单位长度,得到函数y=sin 2x-=sin2x-的图像.故选A.(2)因为y=sin 3x+cos 3x=cos3x-,所以将函数y=cos 3x的图像向右平移个单位长度得到函数y=cos 3x-=cos3x-的图像,即函数y=sin 3x+cos 3x的图像.故选A.例2[思路点拨](1)先根据图像求出A,再由图像过(0,-1)和,0,T<<T,-π<φ<0等条件可得到答案;(2)由题意知M=3,T=2+,即可求出ω,再利用最高点求出φ,即可得出结论.(1)-(2)3sin x-[解析](1)由题设图像知,A=2,可得f(x)=2sin(ωx+φ).由函数图像过点(0,-1),可得2sin φ=-1,即sin φ=-,则φ=2kπ-(k∈Z)或φ=2kπ-(k∈Z).因为<<T,所以<T<,所以<ω<①.由函数图像过点,0,得sinω+φ=0,则ω+φ=2kπ+π(k∈Z)②.由①②得φ∈2kπ-π,2kπ-,又-π<φ<0,所以φ=-.(2)由题意得M=3,T=2+,∴T=6=,∴ω=,∴f(x)=3sin x+φ,将A(2,3)代入可得3=3sin+φ,∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=3sin x-.变式题-[解析]根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图像,且A,1,B(π,-1),可得从点A到点B正好经过了半个周期,即×=π-,∴ω=2.再把点A,B的坐标代入函数解析式可得2sin2×+φ=-2sin φ=1,2sin(2×π+φ)=2sin φ=-1,∴sin φ=-,∴φ=2kπ-或φ=2kπ-,k∈Z.再结合“五点作图法”,可得φ=-.。

2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形分层限时跟踪练(V)一、选择题1．(xx·衡阳模拟)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＜0，tan α＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α＜0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限，故选B.【答案】 B2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1【解析】 由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1. 【答案】 C3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32【解析】 ∵P (－8m ，－3)，∴|OP |＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝936m ＞0，∴m ＝12.【答案】 C4．下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A ．sin 165°＞0 B ．cos 280°＞0 C ．tan 170°＞0D ．tan 310°＜0【解析】 165°是第二象限角，因此sin 165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos 280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan 170°＜0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan 310°＜0正确．【答案】 C5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]【解析】 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，即－2＜a ≤3.【答案】 A 二、填空题6．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 【解析】 2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.【答案】 －5π67．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255＜0，∴y ＜0且y16＋y2＝－255， 解得y ＝－8. 【答案】 －88．设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2是第________象限角．【解析】 由题意，得2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z .∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，则α2是第一或第三象限角．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，知cos α2≤0， 因此α2是第三象限角．【答案】 三 三、解答题9．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α的值．【解】 因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则r ＝t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－3t 5t ＝－35，cos α＝4t 5t ＝45，tan α＝－3t 4t ＝－34，所以sin α＋cos α＋45tan α＝－35＋45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－25；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝－3t －5t ＝35，cos α＝4t －5t ＝－45，tan α＝－3t 4t ＝－34.所以sin α＋cos α＋45tan α＝35－45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－45.综上，所求值为－25或－45.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .【解】 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍去)．∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．[能 力 练]扫盲区 提素能1．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 【解析】 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z，故tan α＝1. 【答案】 B图3­1­32．(xx·大连模拟)如图3­1­3，用一根铁丝折成一个扇形框架，要求框架所围扇形面积为定值S ，半径为r ，弧长为l ，则使用铁丝长度最短时应满足的条件为( )A ．r ＝lB ．2r ＝lC ．r ＝2lD ．3r ＝l【解析】 由S ＝12lr ，得l ＝2Sr.铁丝长度C ＝2r ＋l ＝2r ＋2Sr.由基本不等式得C ≥22r ·2Sr＝4S ，当且仅当S ＝r 2时，即l ＝2S r＝2r 时上式等号成立．【答案】 B3．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为____________．【解析】 设B 点为(x ，y )，依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3， 即B (－1，3)． 【答案】 (－1，3)4.如图3­1­4，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为______．图3­1­4【解析】 设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos 2，∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)． 【答案】 (2－sin 2,1－cos 2)图3­1­55．如图3­1­5所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形． (1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .【解】 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又∵sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35×12－45×32＝3－4310. 6．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．【解】 (1)由sin α＜0，知α的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k ＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形分层限时跟踪练一、选择题图3­7­121．如图3­7­12，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°【解析】 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.【答案】 D2．如图3­7­13所示，长为3.5 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端A 在离堤足C 处1.4 m 的地面上，另一端B 在离堤足C 处2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于( )图3­7­13A.2315B.516C.23116D.115【解析】 由题意，可得在△ABC 中，AB ＝3.5 m ，AC ＝1.4 m ，BC ＝2.8 m ，且α＋∠ACB ＝π.由余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC ×cos∠ACB ， 即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)， 解得cos α＝516，所以sin α＝23116，所以tan α＝sin αcos α＝2315.故选A.【答案】 A3．如图3­7­14，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )图3­7­14A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h【解析】 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B.【答案】 B4．(xx·丹东模拟)如图3­7­15所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )图3­7­15A.32B ．2－ 3 C.3－1D.22【解析】 在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°－＝50(6－2)．在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin∠CBDCD＝6－250＝3－1.由题图知，cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1. 【答案】 C5．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟D ．2.15小时【解析】 如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100. 当t ＝514时，DC 2最小，DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．【答案】 A 二、填空题6．为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)如图3­7­16所示，且∠B ＋∠D ＝180°，则AC 的长为 km.图3­7­16【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝82＋52－2×8×5cos B ，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝32＋52－2×3×5cos D ，由cos D ＝－cos B 并消去AC 2得cos B ＝12，所以AC＝7.【答案】 77．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为 m.图3­7­17【解析】 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝30°，故∠ADE ＝150°.于是∠ADB ＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD ＝45°－30°＝15°，故∠ABD ＝15°，由正弦定理得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 000sin 150°sin 15°＝500(6＋2)(m)．所以在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 45°＝500(3＋1)(m)． 【答案】 500(3＋1)8．如图3­7­18，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为 m ．(取2＝1.4，3＝1.7)图3­7­18【解析】 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．【答案】 2 650 三、解答题9．(xx·石家庄模拟)如图3­7­19所示，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF ，用卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF ＝α，∠AFE ＝β，∠CEF ＝θ，∠CFE ＝φ，∠AEC ＝γ.图3­7­19请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果． 【解】 第一步：在△AEF 中，利用正弦定理， 得AEsin β＝EF－α－β，解得AE ＝a sin βα＋β.第二步：在△CEF 中，同理可得CE ＝a sin φθ＋φ.第三步：在△ACE 中，利用余弦定理， 得AC ＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE ·cos γ ＝a 2sin 2βsin2α＋β＋a 2sin 2φsin 2θ＋φ－2a 2sin βsin φcos γα＋βθ＋φ.10．(xx·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)【解】 由题意，设|AC |＝x ， 则|BC |＝x －217×340＝x －40，在△ABC 中，由余弦定理得|BC |2＝|BA |2＋|CA |2－2|BA |·|CA |·cos∠BAC ， 即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420. 在△ACH 中，|AC |＝420，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°， 所以|CH |＝|AC |·tan∠CAH ＝140 3. 即该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．[能 力 练]扫盲区 提素能1．如图3­7­20，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的视角为( )图3­7­20A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝305m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝52＋102－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°＜∠CAD ＜180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的视角为45°. 【答案】 B2．如图3­7­21，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )图3­7­21A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m【解析】 在△ACE 中， t an 30°＝CE AE ＝CM －10AE.∴AE ＝CM －10tan 30°(m)． 在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE，∴AE ＝CM ＋10tan 45°(m)，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝103＋13－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．【答案】 C3．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.【解析】 如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 【答案】 10 34．(xx·浙江高考)如图3­7­22，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tanθ的最大值是 ．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)图3­7­22【解析】 如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠PAO ＝θ. 设CO ＝x m ，则OP ＝33x m. 在Rt △ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ， 所以BC ＝20 m ，所以cos ∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40x ＋625(m)．所以tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925.当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539. 【答案】5395．(xx·银川模拟)如图3­7­23所示，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．图3­7­23(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 【解】 (1)在Rt △PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1， ∴AB ＝3(千米)，在Rt △PAC 中，∠APC ＝30°，∴AC ＝33(千米)， 在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°. ∴BC ＝AC 2－AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332－32＝303. 303÷16＝230. (2)∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin ∠DCA ＝sin(180°－∠ACB )＝sin ∠ACB ＝AB BC ＝3303＝31010. sin ∠CDA ＝sin(∠ACB －30°)＝sin ∠ACB cos 30°－cos ∠ACB sin 30°＝31010.32－12·1－⎝⎛⎭⎪⎫310102＝33－11020，在△ACD 中，据正弦定理得ADsin ∠DCA＝ACsin ∠CDA，此时船距岛A 为9－313千米．6．(xx·江苏高考)如图3­7­24，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.图3­7­24(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。

2019-2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.3三角函数的图象与性质课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.答案：D2.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D ．34解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cosπx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34. 答案：D3．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称，故选C.答案：C4．(xx 届河南中原名校模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对∀x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( ) A.π6 B ．5π6C.7π6D ．11π6解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对∀x ∈R 恒成立， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数的最大值或最小值， 即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，即sin φ＜0，又0＜φ＜2π， 所以π＜φ＜2π. 所以当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件． 答案：C5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2＜x ＜π，ω＞0得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意结合选项知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.答案：A6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B ．π4C.π3D ．π2解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.答案：A8．(xx 届衡阳质检)已知函数f (x )＝2cos2x ，g (x )＝a －43sin x ，当f (x )≥g (x )对x ∈[n ，m ]恒成立时，m －n 的最大值为5π3，则a ＝________.解析：∵f (x )≥g (x )∴2cos2x ≥a －43sin x ，即4sin 2x －2＋a －43sin x ≤0，∴(2sin x －3)2≤5－a ，∴由题意可得5－a >0，即3－5－a ≤2sin x ≤3＋5－a . ∵f (x )≥g (x )对任意x ∈[n ，m ]恒成立，m －n 的最大值为5π3，∴当3＋5－a >1时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－12×5π3＝－3＝ 3－5－a ，当3－5－a <－1,2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－12×5π3＝3＝3＋5－a ，∴a ＝－7或a ＝5(不合题意，故舍去)． 答案：－79．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.答案：7210．(xx 届唐山统考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝________. 解析：因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π22＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0， 因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0，所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，ω＝3k －1，k ∈Z ，又12·2πω≥π2－π6，ω＞0，所以ω＝2. 答案：211．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．解：(1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 12．(xx 届南城质检)已知f (x )＝cos x (m sin x －cos x )＋sin 2(π＋x )(m >0)的最小值为－2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos A ＝2c cos A －a cos B ，求f (C )的取值范围．解：(1)∵f (x )＝cos x (m sin x －cos x )＋sin 2(π＋x )＝m sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝12m sin2x －cos2x ＝m 24＋1sin(2x －φ)，其中tan φ＝2m，∴由其最小值为－2，可得 m 24＋1＝2，解得m 2＝12，∵m >0，可得m ＝23，tan φ＝33，φ＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)∵b cos A ＝2c cos A －a cos B ，即b cos A ＋a cos B ＝2c cos A ， ∴由正弦定理可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， ∵C 为三角形内角，sin C ≠0， ∴cos A ＝12，可得A ＝π3，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，可得2C －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1， ∴f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6∈(－1,2]．[能 力 提 升]1．(xx 届山西长治二中第一次联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，若f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则ω＝( )A.23 B ．2 C.263D ．143解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， 即f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝0，故有π4ω－π6＝k π，k ∈Z .①∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，故有2πω＜π2＜32·2πω，∴6＞ω＞4.②综合①②，结合所给的选项，可得ω＝143.故选D.答案：D2．(xx 届河北邯郸一模)已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋π6(ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递增，则ω的最大值是( )A.34 B ．35 C.12D ．14解析：函数f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递增，则2ωx ＋π3∈π3ω＋π3，4π3ω＋π3⊆[0，π]，则⎩⎪⎨⎪⎧4π3ω＋π3≤π，π3ω＋π3≥0，解得0＜ω≤12，故ω的最大值是12.答案：C3．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4， 所以a ＝1.(3)由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6. 4．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，所以2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又因为当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .2019-2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.5三角恒等变换课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(xx 届南宁质量检测)已知π2＜α＜π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B ．64C.223D ．326解析：由3sin2α＝2cos α，得sin α＝13.因为π2＜α＜π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.答案：C2．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.118B ．1718 C.89D ．29解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718.答案：B3．(xx 届东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴α＝k π－π4，k ∈Z ，∴cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2＝0. 答案：D4．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D ．211解析：由题意可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan α－β1＋tan2αtan α－β＝－2.答案：A5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B ．π3C.π2D ．3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75.① 由cos2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725.②由①②可得cos α＋sin α＝－15.③由①③可得sin α＝35.答案：C7．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210B ．210C.5210 D ．7210解析：∵sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×35＋－45＝－210.答案：A8．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：139．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1) 的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tanβ<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4.答案：－3π410．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＜α＋β＜3π2， ∴α＋β＝5π4.11．(xx 届广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝ 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 12．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017， 得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85， 得cos β＝45，又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.[能 力 提 升]1．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116C.116D ．18解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝cos20°·cos40°·cos100° ＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.答案：A2．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)＝( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos 22α＝429.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.故选D.答案：D3．(xx 届合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。