三角函数解三角形综合练习题

三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。

根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。

根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。

根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。

根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

一、单选题1.在△ABC中，B=π4，sin A=，AC=4，则BC=（）.A．5B．6C．7D．82.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1+2cos C)=2sin A⋅cos C+cos A sin C，则下列等式成立的是（）.A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A3.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（）.A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.由增加的长度决定4.在ΔABC中，a2+b2+c2=23ab sin C，则ΔABC 的形状是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为（）.A.50mB.100mC.120mD.150m6.在ΔABC中，“z=12x-y”是“ΔABC为钝角三角形”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知锐角A是ΔABC的一个内角，a,b,c是三角形中各角的对应边，若sin2A-cos2A=12，则下列各式正确的是（）.A.b+c=2aB.b+c<2aC.b+c≤2aD.b+c≥2a8.1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面α，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面α，直线l有两点A，B位于平面α的同侧，求平面上一点C，使得∠ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为()0,a，()0,b()0<b<a.设点C的坐标为()c,0，当∠ACB最大时，c=（）.图1图2A.2abB.abC.2abD.ab二、多选题9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）.A.b=10，A=45°，C=70°B.b=45，c=48，B=60°C.a=14，b=16，A=45°D.a=7，b=5，A=80°10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）.A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin C11.下列命题中，正确的是（）.A.在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB.在锐角△ABC中，不等式sin A>sin B恒成立C.在△ABC中，若a cos A=b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，59b，c，若1tan A，1tan B，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）.A.a，b，c依次成等差数列B.a，b，c依次成等差数列C.a2，b2，c2依次成等差数列D.a3，b3，c3依次成等差数列三、填空题13.如图3，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值.图314.在ΔABC中，若C=π4，且1sin2A=1+tan A tan B，则BCAC的值为______.15．如图4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.图416.已知ΔABC满足A=π3，( AB+ AC)∙ BC=0，点M在ΔABC外，且|MB|=2|MC|=2，则MA的取值范围是________．四、解答题17.已知在ΔABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且满足b=a cos C+c sin A．（1）求A的大小；（2）若cos B=25,BC=5, BD=17 BA，求CD的长．18.在①cos A=35，cos C=，②c sin C=sin A+b sin B，B=60°，③c=2，cos A=18三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，______，求△ABC的面积S.19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A=a cosæèöøB-π6.（1）求角B的大小；（2）若a=2，c=3，求cos()A-B的值.20.在ΔABC中，若||||||AC→=23，且 AB∙cos C+ BC∙cos A= AC∙sin B.（1）求角B的大小；（2）求ΔABC的面积S.21.在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足2a-b c=cos B cos C．（1）求角C的大小；（2）设函数f(x)=2sin x cos x cos C+2sin2x sin C求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域.22.如图5，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：tan A2=1-cos Asin A;（2）若A+C=180∘,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan A2+tan B2+tan C2+tan D2的值.A B图560参考答案与解析一、单选题1-8AACDA DCD 二、多选题9.BC ；10.ABC ；11.ABD ；12.ABD.三、填空题13.；14.；15.1006;16.[1,3]．四、解答题17.【解析】（1）在三角形ABC 中，由正弦定理得sin B =sin A cos C +sin C sin A ，因为sin B =sin []π-()A +C =sin ()A +C ，所以sin ()A +C =sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +sin C cos A =sin A cos C +sin C sin A ，整理得sin C cos A =sin C sin A ，由sin C ≠0，可得cos A =sinA ，所以A =π4.（2）在三角形ABC 中，sin B =1-cos 2B =45，（3）由AC sin B=BCsin A 可得AC 45=，解得AC =42，又因为cos C =-cos(A +B)=-cos A cos B +sin A sin B =，所以AB 2=AC 2+BC 2-2AC ∙BC ∙=32+25-2×42×5×=49，所以AB =7，由BD =17BA 可得BD =1，于是CD 2=BD 2+BC 2-2BD ∙cos B=1+25-2×1×520，所以CD =25.18.【解析】若选①.∵cos A =35，cos C，∴sin A=45，sin C，∴sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ，=4535×，由正弦定理得b =a sinB sin A=3×2545=，∴S =12ab sin C =12×3×=9940.若选②.∵c sin C =sin A +b sin B ，∴由正弦定理得c 2=a +b 2.∵a =3，∴b 2=c 2-3.又∵B =60∘，∴b 2=c 2+9-2×3×c ×12=c 2-3，∴c =4，∴S =12ac sin B =33.若选③.∵c =2，cos A =18，由余弦定理得18=b 2+22-322b ×2，即b 2-b 2-5=0，解得b =52或b =-2（舍去）.∴sin A =1-cos 2A =，∴△ABC 的面积S =12bc sin A =12×52×2×=.19.【解析】（1）因为b sin A =a cos æèöøB -π6，根据正弦定理a sin A =bsin B，得sin B sin A =sin A cos æèöøB -π6，因为A ∈()0,π，所以sin A >0，所以sin B =cos æèöøB -π6，即sin B =cos B cosπ6+sin B sin π6，整理得sin B =3cos B ，所以tan B =3，又B ∈()0,π，故B =π3.（2）在△ABC 中，a =2，c =3，B =π3，61由余弦定理得b2=a2+c2-2ac∙cos B，得b2=22+32-2×3×2×cosπ3，故b=7.由正弦定理asin A=b sin B得2sin A=sinπ3，解得sin A=.因为a<b，故A<B，A∈æèöø0,π3，所以cos A=1-sin2A=.所以()A-B B×cosπ3sinπ3.20.【解析】（1）由题意可知：在ΔABC中，|| AC=23，AB∙cos C+BC∙cos A=AC∙sin B，因为AC=AB+BC，所以AB∙cos C+BC∙cos A=( AB+ BC)∙sin B，即(cos C-sin B)AB+(cos A-sin B)BC=0 ，而向量AB，BC是两个不共线向量，所以{cos C=sin B，cos A=sin B，所以cos C=cos A，因为A,C∈(0,π)，所以A=C，在等腰ΔABC中，A+B+C=π，所以2A+B=π，A=π2-B2；所以cos A=cos(π2-B2)=sin B2=sin B，所以sinB2=2sin B2cos B2，所以cos B2=12，结合0<B2<π2可得B2=π3，B=2π3.（2）由（1）知A=C=π6，由正弦定理得：|| ACsin2π3=|| BCsinπ6，所以|| BC=2，SΔABC=12|| AC| BC sinπ6=12×23×2×12=3.21.【解析】（1）在ΔABC中，∵2a-b c=cos B cos C，∴(2a-b)cos C=c cos B，∴2sin A cos C=sin B cos C+cos B sin C，∴2sin A cos C=sin(B+C)=sin A．∵∠A是ΔABC的内角，∴sin A≠0，∴2cos C=1，∴∠C=π3．(2)由（1）可知∠C=π3，∴f(x)=12sin2x-2sin2x)=12sin2x2x=sin(2x-π3)．22.【解析】（1）tan A2=sin A2cos A2=2sin2A22sin A2cos A2=1-cos Asin A.（2）由A+C=180°，得C=180°-A,D=180°-B.由（1），有tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=1-cos Asin A+1-cos Bsin B+1-cos(180°-A)sin(180°-A)+1-cos(180°-B)sin(180°-B)=2sin A+2sin B连接BD，在ΔABD中，有BD2=AB2+AD2-2AB∙AD cos A，在ΔBCD中，有BD2=BC2+CD2-2BC∙CD cos C，所以AB2+AD2-2AB∙AD cos A=BC2+CD2+2BC∙CD cos A，则cos A=AB2+AD2-BC2-CD22(AB∙AD+BC∙CD)=62+52-32-422(6×5+3×4)=37，于是sin A=1-cos2A=连接AC，同理可得cos B=AB2+BC2-AD2-CD22(AB∙BC+AD∙CD)=62+32-52-422(6×3+5×4)=119，于是sin B=1-cos2B==所以tanA2+tan B2+tan C2+tan D2=2sin A+2sin B=14210+2×19210=.62。

必修四三角函数与解三角形综合测试题（本试卷满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(-2.已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（ ）A ．47 B ．169- C ．329- D ．3293.下列函数中，最小正周期为2π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)64tan(π+=x y4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ）A ．924-B ．924C ．97- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ）A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z )B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z )C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z )D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z )6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于( )A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π7. 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( )A ．3B ．33C ．33-D ．3-8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ∆中，π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBC ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBD ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB10．已知0≤x ≤π，且－12 ＜a ＜0，那么函数f (x )＝cos 2x －2a sin x －1的最小值是 （ ）A.2a ＋1B.2a －1C.－2a －1D.2a11．已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为 （ ）A ．x y 23sin 2=B ．)23sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 21=12．求使函数y ＝sin(2x ＋θ)＋ 3 cos(2x ＋θ)为奇函数，且在［0，π4 ］上是增函数的θ的一个值为 （ ） A. 5π3B. 4π3C. 2π3D. π3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________14.已知,1)cos(,31sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______．15.ΔABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为 _．16.函数x x y 2cos )23cos(--=π的最小值为_____．三．解答题（本大题共6小题，共70分。

[A 组 基础练]1．(2021·沈阳监测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc ．(1)求角A 的大小；(2)若sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状并给出证明．解析：(1)由b 2＋c 2＝a 2＋bc ，可知b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 根据余弦定理可知，cos A ＝12， 又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3. (2)法一：△ABC 为等边三角形．证明如下：由三角形内角和定理得，A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )，根据已知条件，可得sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝0，所以sin(B －C )＝0.又B －C ∈(－π，π)，所以B ＝C ，又由(1)知A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 法二：△ABC 为等边三角形．证明如下：由正弦定理和余弦定理及已知条件，得a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab， 整理得b 2＝c 2，即b ＝C ．又由(1)知A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 2．(2021·辽宁五校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＋2sin A sin B ＝0.(1)求证：a ，b,2a 成等比数列；(2)若△ABC 的面积是2，求c ．解析：(1)证明：∵A ＋B ＋C ＝π，sin(A ＋C )＝2sin A cos(A ＋B )，∴sin B ＝－2sin A cos C ．在△ABC 中，由正弦定理得，b ＝－2a cos C ，∵sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＋2sin A sin B ＝0，∴由正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∴C ＝3π4， ∴b ＝2a ，则b 2＝2a 2＝a ·2a ，∴a ，b,2a 成等比数列．(2)△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝24ab ＝2， 则ab ＝42，由(1)知，b ＝2a ，联立两式，解得a ＝2，b ＝22，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝20， ∴c ＝2 5.3．(2021·湖北八校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．(1)若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，且△ABC 为锐角三角形，a ＝7，c ＝6，求b 的值；(2)若a ＝3，A ＝π3，求b ＋c 的取值范围． 解析：(1)∵23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， ∴cos 2A ＝125，又A 为锐角，∴cos A ＝15. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2－125b －13＝0， 解得b ＝5(负值已舍去)，∴b ＝5.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得b 2＋c 2－3＝bc ，即(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈(3，23]．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A sinB ．(1)求角C ；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为43，M 为AB 的中点，求CM 的长． 解析：(1)根据cos 2B ＋sin 2B ＝1，cos 2C ＋sin 2C ＝1，知cos 2B －cos 2C ＝sin 2C －sin 2B ＝sin 2A －3sin A sin B ，根据正弦定理可化为c 2－b 2＝a 2－3ab ，即3ab ＝a 2＋b 2－c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32.因为0＜C ＜π，所以C ＝π6. (2)因为A ＝C ＝π6，所以△ABC 为等腰三角形，且顶角B ＝2π3， 故S △ABC ＝12a 2sin B ＝34a 2＝43，所以a ＝4. 在△MBC 中，由余弦定理得，CM 2＝MB 2＋BC 2－2·MB ·BC cos B ＝4＋16＋2×2×4×12＝28，解得CM ＝27.[B 组 创新练]1．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值． 解析：(1)由cos B ＝34，0<B <π得sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74，∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝aC ．由正弦定理，可得sin 2B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32， 而cos B ＝34，∴b 2＝ac ＝2， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2＋c 2＝5，∴(a ＋c )2＝5＋2ac ＝9，∴a ＋c ＝3.2．(2021·黄冈模拟)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，点D 为边BC 的中点，△ABC 的面积为AD 22sin B. (1)求sin ∠BAD ·sin ∠BDA 的值；(2)若BD ＝2AB ，AD ＝3，求B ．解析：(1)由△ABC 的面积为AD 22sin B 且D 为BC 的中点可得，△ABD 的面积为AD 24sin B ，由三角形的面积公式可知12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝AD 24sin B ，可得sin ∠BAD ＝AD 2AB ·sin B.在△ABD 中，由正弦定理可得sin ∠BDA ＝AB ·sin B AD ，所以sin ∠BAD ·sin ∠BDA ＝12. (2)因为BD ＝2AB ，所以在△ABD 中，由正弦定理可得BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠BDA ，所以sin ∠BAD ＝2sin ∠BDA ．由(1)可知sin ∠BAD ·sin ∠BDA ＝12，所以sin ∠BAD ＝1，sin ∠BDA ＝12.又因为∠BAD ∈(0，π)，所以∠BAD ＝π2.在Rt △ABD 中，AD ＝3，sin ∠BDA ＝12，所以BD ＝2，AB ＝c ＝1，cos B ＝12.又因为BC ＝2BD ，所以BC ＝a ＝4.在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得b ＝13. 3．设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin 2B ＝sin A sin C ，求角A ；(2)若△ABC 为钝角三角形，且a ＞c ，求3sin A 2cos A 2－cos 2C 2＋12的取值范围． 解析：(1)∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴2B ＝A ＋C ＝π－B ，∴B ＝π3. ∵sin 2B ＝sin A sin C ，∴根据正弦定理，得b 2＝ac ．又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ．∴△ABC 为等边三角形，∴A ＝π3. (2)由(1)知A ＋C ＝2π3，再由二倍角公式得， 3sin A 2cos A 2－cos 2C 2＋12＝32sin A －1＋cos C 2＋12 ＝32sin A －12cos ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32sin A ＋14cos A －34sin A ＝34sin A ＋14cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵a ＞c 且△ABC 为钝角三角形，∴π2＜A ＜2π3，∴2π3＜A＋π6＜5π6，∴12＜sin⎝⎛⎭⎫A＋π6＜32，∴14＜12sin⎝⎛⎭⎫A＋π6＜34.∴3sin A2cosA2－cos2C2＋12的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，34.。

三角函数、解三角形习题精选1．设函数.cos )cos(2)23cos()2cos 1()(2ααπαπαα++-+=f（I ）设ABC A ∆∠是的内角，且为钝角，求)(A f 的最小值； （II ）设B A ∠∠,是锐角ABC ∆的内角，且,2,1)(,127===∠+∠BC A f B A π求ABC ∆ 的三个内角的大小和AC 边的长.2．已知函数()sinsin()222x x f x π=+⑴求函数()f x 在[,0π-]上的单调区间； ⑵已知角α满足(0,)2πα∈，2(2)4(2)12f f παα+-=，求()f α的值。

3. 已知.02cos22sin=-x x(1) 求x tan 的值；(2) 求xx xsin 4cos 22cos ⎪⎭⎫⎝⎛+π的值。

4.已知函数().33cos323cos 3sin 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x x f（1） 求()x f 的单调递增区间；（2） 求()x f 的最大值及取得最大值时相应的x 的值。

5.已知A B C ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1m =-2(c o s,c o s 2)2An A =，且72m n ⋅= .（1）求角A 的大小； （2）若a =b c ⋅取得最大值时A B C ∆形状.6.已知角A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，若向量(1cos(),cos )2A B m A B -=-+u r，5(,cos )82A Bn -=r ，且98m n ⋅=u r r ． （1）求tan tan A B 的值； （2）求222sin ab C a b c+-的最大值7.在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边的长分别为,,,a b c 已知5b =，sin 4A =，4ABC S ∆=.（I ）求c 的值； （II ）求sin C 的值.8. 已知ABC ∆的周长为1)，且sin sin B C A +=．（I ） 求边长a 的值；（II ） 若3sin ABC S A ∆=，求cos A 的值9.已知向量,)8(sin ),8cos(2⎪⎭⎫⎝⎛++=ππx x a ,1),8sin(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx b 函数()12-⋅=b a x f 1)求函数()x f 的解析式，并求其最小正周期;2)求函数)(x f 图象的对称中心坐标与对称轴方程. 3)求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 21的单调递增区间；10.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间 [0,]2x π∈上的最大值和最小值．11.已知函数23cos sin sin3)(2-+=x x x x f (R x ∈．（Ⅰ）求)4(πf 的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求ABBC 的值．12.已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.13.在A B C ∆中，角A 、B 、C所对的边分别为2a b c a b ==、、，，1cos 2A =-．（I ） 求角B 的大小；（Ⅱ）若2()cos 2sin ()f x x c x B =++，求函数()f x 的最小正周期和单增区间．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B aA-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．15.已知πsin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．16.已知函数cos 2()sin()4x f x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若4()3f x =，求s i n 2x 的值. 17.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值。

1.已知函数fx=sinωx﹣2sin2+mω＞0的最小正周期为3π,当x∈0,π时,函数fx 的最小值为0．1求函数fx的表达式；2在△ABC中,若fC=1,且2sin2B=cosB+cosA﹣C,求sinA的值．解：Ⅰ．依题意：函数．所以．,所以fx的最小值为m．依题意,m=0．．Ⅱ∵,∴．．在Rt△ABC中,∵,∴．∵0＜sinA＜1,∴．2.已知函数其中ω＞0,若fx的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．I求y=fx的单调递增区间；Ⅱ在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足2b﹣acosC=c•cosA,则fB恰是fx的最大值,试判断△ABC的形状．解答解：Ⅰ∵,=,∵fx的对称轴离最近的对称中心的距离为,∴T=π,∴,∴ω=1,∴．∵得：,∴函数fx单调增区间为；Ⅱ∵2b﹣acosC=c•cosA,由正弦定理,得2sinB﹣sinAcosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sinA+C,∵sinA+C=sinπ﹣B=sinB＞0,2sinBcosC=sinB,∴sinB2cosC﹣1=0,∴,∵0＜C＜π,∴,∴,∴．∴,根据正弦函数的图象可以看出,fB无最小值,有最大值y max=1,此时,即,∴,∴△ABC为等边三角形．3.已知函数fx=sinωx+cosωx++cosωx﹣﹣1ω＞0,x∈R,且函数的最小正周期为π：1求函数fx的解析式；2在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若fB=0,•=,且a+c=4,试求b的值．解答解：1fx=sinωx+cosωx++cosωx﹣﹣1==．∵T=,∴ω=2．则fx=2sin2x﹣1；2由fB==0,得．∴或,k∈Z．∵B是三角形内角,∴B=．而=ac•cosB=,∴ac=3．又a+c=4,∴a2+c2=a+c2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．4.已知函数．1求fx单调递增区间；2△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足,求fA的取值范围．解答解：1fx=﹣+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣,令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,得到﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 则fx的增区间为﹣+kπ, +kπk∈Z；2由余弦定理得：cosA=,即b2+c2﹣a2=2bccosA,代入已知不等式得：2bccosA＞bc,即cosA＞,∵A为△ABC内角,∴0＜A＜,∵fA=sin2A﹣,且﹣＜2A﹣＜,∴﹣＜fA＜,则fA的范围为﹣,．5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsinAcosC+csinAcosB=a．1求角A的大小；2设函数fx=tanAsinωxcosωx﹣cos2ωxω＞0,其图象上相邻两条对称轴间的距离为,将函数y=fx的图象向左平移个单位,得到函数y=gx图象,求函数gx在区间﹣,上值域．解：1∵bsinAcosC+csinAcosB=a,∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA,∵A为锐角,sinA≠0,∴sinBcosC+sinCcosB=,可得：sinB+C=sinA=,∴A=．2∵A=,可得：tanA=,∴fx=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣,∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得：T=2×=,解得：ω=1,∴fx=sin2x﹣,∴将函数y=fx的图象向左平移个单位,得到图象对应的函数解析式为y=gx=sin2x+﹣=sin2x+,∵x∈﹣,,可得：2x+∈,,∴gx=sin2x+∈,1．6.已知向量,向量,函数．Ⅰ求fx单调递减区间；Ⅱ已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,,c=4,且fA恰是fx 在上的最大值,求A,b,和△ABC的面积S．解：Ⅰ∵=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin2x﹣+2,…∴, 所以：fx的单调递减区间为：．…Ⅱ 由1知：,∵时,,由正弦函数图象可知,当时fx 取得最大值3,…7分∴,…8分由余弦定理,a 2=b 2+c 2﹣2bccosA,得：,∴b=2,…10分∴．…12分7.已知函数.Ⅰ作出在一个周期内的图象；Ⅱ分别是中角的对边,若,求的面积.()cos sin 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x a b c ，，ABC △ A B C ，，() 1a f A b ===，，ABC △利用“五点法”列表如下：……………………………………………………4分 画出在上的图象,如图所示：Ⅱ由Ⅰ,在中,,所以.由正弦定理可知,,所以,………………9分又,∴,∴,∴. 因此.…………………………12分 ()f x 5 33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()sin 3f A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ABC △0A π<<3A π=sin sin a b A B =1sin sin 3B =1sin 2B =203B π<<6B π=2C π=11122S ab ==ABC △8.已知函数fx=m+2cos2x•cos2x+θ为奇函数,且f=0,其中m∈R,θ∈0,πⅠ求函数fx的图象的对称中心和单调递增区间Ⅱ在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f+=﹣,c=1,ab=2,求△ABC的周长．解答解：Ⅰf=﹣m+1sinθ=0,∵θ∈0,π．∴sinθ≠0,∴m+1=0,即m=﹣1,∵fx为奇函数,∴f0=m+2cosθ=0,∴cosθ=0,θ=．故fx=﹣1+2cos2xcos2x+=cos2x•﹣sin2x=﹣sin4x,由4x=kπ,k∈Z得：x=kπ,k∈Z,故函数fx的图象的对称中心坐标为：kπ,0,k∈Z,由4x∈+2kπ, +2kπ,k∈Z得：x∈+kπ, +kπ,k ∈Z,即函数fx的单调递增区间为+kπ, +kπ,k∈Z,Ⅱ∵f+=﹣sin2C+﹣,C为三角形内角,故C=,∴c2=a2+b2﹣2abcosC==,∵c=1,ab=2,∴a+b=2+,∴a+b+c=3+,即△ABC的周长为3+．9.已知向量=sin,1,=cos,cos2,记fx=•．Ⅰ若fx=1,求cosx+的值；Ⅱ在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2a﹣ccosB=bcosC,求f2A的取值范围．解答解：Ⅰ向量=sin,1,=cos,cos2,记fx=•=sincos+cos2=sin+cos+=sin+,因为fx=1,所以sin=,所以cosx+=1﹣2sin2=,Ⅱ因为2a﹣ccosB=bcosC,由正弦定理得2sinA﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sinB+C=sinA,sinA≠0,所以cosB=,又0＜B＜,所以B=,则A+C=,即A=﹣C,又0＜C＜,则＜A＜,得＜A+＜,所以＜sinA+≤1,又f2A=sinA+,所以f2A的取值范围．10.已知向量,函数fx=．1求函数fx的最小正周期及在上的值域；2在△ABC中,若fA=4,b=4,△ABC的面积为,求a的值．解答解：1向量,函数fx==2+sin2x+2cos2x=3+sin2x+cos2x=3+2sin2x+,可得函数fx的最小正周期为=π,x∈,即有2x+∈﹣,,可得sin2x+∈﹣,1,则在上的值域为2,5；2在△ABC中,若fA=4,b=4,△ABC的面积为,可得3+2sin2A+=4,即sin2A+=,由0＜A＜π,可得＜2A+＜,可得2A+=,即A=,由=bcsinA=•4c•sin=c,解得c=1,则a2=b2+c2﹣2bccosA=16+1﹣8×=13,即a=．11.已知函数fx=2sinx+•cosx．1若0≤x≤,求函数fx的值域；2设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且fA=,b=2,c=3,求cosA﹣B的值．解答解：1fx=2sinx+•cosx=sinx+cosx•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin2x++；…由得,,∴,…∴,即函数fx的值域为；…2由,得,又由,∴,∴,解得；…在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7,解得；…由正弦定理,得,…∵b＜a,∴B＜A,∴,∴cosA﹣B=cosAcosB+sinAsinB=．…12..已知向量x ∈R,设函数fx=﹣1．1求函数fx 的单调增区间；2已知锐角△ABC 的三个内角分别为A,B,C,若fA=2,B=,边AB=3,求边BC ．解答解：由已知得到函数fx=﹣1=2cos 2x+2sinxcosx ﹣1=cos2x+sin2x=2cos2x ﹣；所以1函数fx 的单调增区间是2x ﹣∈2kπ﹣π,2kπ,即x ∈kπ﹣,kπ+,k ∈Z ；已升级到最新版2已知锐角△ABC 的三个内角分别为A,B,C,fA=2,则2cos2A ﹣=2,所以A=,又B=,边AB=3,所以由正弦定理得,即,解得BC=．13.. 1求函数的单调递减区间；2在中,角的对边分别为,若,的面积为,求a 的最小值.2()sin 2f x x x =+()f x ABC ∆,,A B C ,,a b c ()12A f =ABC∆试题解析:1, 令,解得,,∴的单调递减区间为. 14.已知fx=•,其中=2cosx,﹣sin2x,=cosx,1,x ∈R ．1求fx 的单调递减区间；2在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,fA=﹣1,a=,且向量=解答解：1由题意知．3分∵y=cosx 在a 2上单调递减,∴令,得∴fx 的单调递减区间,6分2∵,∴,又,∴,即,8分∵,由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b+c 2﹣3bc=7.10分因为向量与共线,所以2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c ．∴b=3,c=2.12 分．111()cos 22sin(2)2262f x x x x π=-=-+3222262k x k πππππ+≤-≤+536k x k ππππ+≤≤+k Z ∈()f x 5[,]36k k ππππ++k Z ∈15.已知函数fx=2sinx+•cosx．1若0≤x≤,求函数fx的值域；2设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且fA=,b=2,c=3,求cosA ﹣B的值．解答解：1fx=2sinx+•cosx=sinx+cosx•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin2x++；…由得,,∴,…∴,即函数fx的值域为；…2由,得,又由,∴,∴,解得；…在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7,解得；…由正弦定理,得,…∵b＜a,∴B＜A,∴,∴cosA﹣B=cosAcosB+sinAsinB=．…16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,fx=2sinx﹣Acosx+sinB+Cx∈R,函数fx的图象关于点,0对称．Ⅰ当x∈0,时,求fx的值域；Ⅱ若a=7且sinB+sinC=,求△ABC的面积．解答解：Ⅰfx=2sinx﹣Acosx+sinB+C=2sinxcosA﹣cosxsinAcosx+sinA=2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin2x﹣A,由于函数fx的图象关于点,0对称,则f=0,即有sin﹣A=0,由0＜A＜π,则A=,则fx=sin2x﹣,由于x∈0,,则2x﹣∈﹣,,即有﹣＜sin2x﹣≤1．则值域为﹣,1；Ⅱ由正弦定理可得===, 则sinB=b,sinC=c,sinB+sinC=b+c=,即b+c=13,由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA,即49=b2+c2﹣bc=b+c2﹣3bc,即有bc=40,则△ABC的面积为S=bcsinA=×40×=10．17.已知函数fx=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．1当x∈0,时,求fx的值域；2若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=,=2+2cosA+C,求fB的值．解答解：1∵fx=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3﹣+3=sin2x﹣cos2x+1=2sin2x++1,∵x∈0,,∴2x+∈,,∴sin2x+∈,1,∴fx=2sin2x++1∈0,3；2∵=2+2cosA+C,∴sin2A+C=2sinA+2sinAcosA+C,∴sinAcosA+C+cosAsinA+C=2sinA+2sinAcosA+C,∴﹣sinAcosA+C+cosAsinA+C=2sinA,即sinC=2sinA,由正弦定理可得c=2a,又由=可得b=a,由余弦定理可得cosA=== ,∴A=30°,由正弦定理可得sinC=2sinA=1,C=90°,由三角形的内角和可得B=60°,∴fB=f60°=218.设函数fx=cos2x﹣+2cos2x．1求fx的最大值,并写出使fx取得最大值时x的集合；2求fx的单调递增区间；3已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fB+C=,b+c=2,求a的最小值．解答解：1由三角函数公式化简可得fx=cos2x﹣+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos2x﹣sin2x+1=cos2x++1,当2x+=2kπ即x=kπ﹣k∈Z时,fx取得最大值2,此时x的集合为{x|x=kπ﹣,k∈Z}；2由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+,∴fx的单调递增区间为得kπ+,kπ+,k∈Z；3由2可得fB+C=cos2B+2C++1=,∴cos2B+2C+=,由角的范围可得2B+2C+=,变形可得B+C=,A=, 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b+c2﹣3bc=4﹣3bc≥4﹣32=1当且仅当b=c=1时取等号,故a的最小值为119.已知函数,x∈R．1求函数fx的最大值和最小正周期；2设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别a,b,c,且c=3,fC=0,若sinA+C=2sinA,求a,b 的值．解答解：1 (3)∵,∴,∴fx 的最大值为0,最小正周期是…6分2由,可得∵0＜C ＜π,∴0＜2C ＜2π,∴∴,∴∵sinA+C=2sinA,∴由正弦定理得①…9分由余弦定理得∵c=3∴9=a 2+b 2﹣ab②由①②解得,…12分20..已知向量,设函数.1求在上的最值；2在中,分别是角的对边,若,,求的值.()()3sin 22,cos ,1,2cos m x x n x =+=()f x m n =⋅()f x 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC ∆,,a b c ,,A B C ()4,1f A b ==ABC ∆a；2.21.已知函数fx=sin 2x+sin2x ．1求函数fx 的单调递减区间；2在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f =,△ABC 的面积为3,求a 的最小值．解答解：1∵fx=sin 2x+sin2x=+sin2x=sin2x ﹣+,∴2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+,k ∈Z,解得：kπ+≤x ≤kπ+,k ∈Z,∴函数fx 的单调递减区间为：kπ+,kπ+,k ∈Z ．()()min max 4,5f x f x ∴==()12sin 234,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1352,2666663AA A ππππππ⎛⎫+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭1sin 2ABC S bc A ∆==2c ∴=2222cos 3a b c bc A a ∴=+-=∴=2∵f=,即： sin2×﹣+=,化简可得：sinA﹣=,又∵A∈0,π,可得：A﹣∈﹣,,∴A﹣=,解得：A=,∵S△ABC=bcsinA=bc=3,解得：bc=12,∴a==≥=2．当且仅当b=c时等号成立．故a的最小值为2．22.已知函数fx=2sinxcosx+2,x∈R．1求函数fx的最小正周期和单调递增区间；2在锐角三角形ABC中,若fA=1,,求△ABC的面积．解答解：1fx=2sinxcosx+=sin2x+=2sin2x+,∴函数fx的最小正周期为π,由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得,∴函数fx的单调增区间是k,k k∈Z,2由已知,fA=2sin2A+=1,∴sin2A+=,∵0＜A＜,∴,∴2A+=,从而A=,又∵=,∴,∴△ABC的面积S===．23.已知向量=sinx,﹣1,向量=cosx,﹣,函数fx=+•．1求fx的最小正周期T；2已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且fA恰是fx在0,上的最大值,求A和b．解答解：1∵向量=sinx,﹣1,向量=cosx,﹣,∴fx=+•=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+= sin2x﹣cos2x+2=sin2x﹣+2,∵ω=2,∴函数fx的最小正周期T==π；2由1知：fx=sin2x﹣+2,∵x∈0,,∴﹣≤2x﹣≤,∴当2x﹣=时,fx取得最大值3,此时x=,∴由fA=3得：A=, 由余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴12=b2+16﹣4b,即b﹣22=0,∴b=2．24.在中,分别是角的对边,且满足. 1求角的大小；2设函数,求函数在区间上的值域.25.已知函数在处取最小值.ABC ∆c b a ,,C B A ,,CBc b a cos cos 2=-C 23sin sin 2cos cos sin 2)(2-+=C x C x x x f )(x f ]2,0[π2()2sin coscos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<x π=1求的值；2在中,分别为内角的对边,已知求角.试题分析：1利用三角恒等变换公式化简函数解析式得,由在处取最小值及查求得；2由可得,再由正弦定理求出,从而求出角的值,即可求角.2因为,所以,因为角为的内角,所以. 又因为所以由正弦定理,得, 也就是, 因为,所以或. 当时,； 当时,. 26.已知函数的最小正周期为.ϕABC∆,,a b c ,,A B C 1,()a b f A ===C ()sin()f x x ϕ=+x π=0ϕπ<<2πϕ=()f A =6A π=sin B B C ()2f A =cos 2A =A ABC ∆6A π=1,a b ==sin sin a bA B=sin 1sin 22b A B a ===b a >4B π=34B π=4B π=76412C ππππ=--=34B π=36412C ππππ=--=2()2sin(0)2xf x x ωωω=->3π1求函数在区间上的最大值和最小值； 2已知分别为锐角三角形中角的对边,且满足,,求的面积.答案及解析：26.1,；2.试题分析：1利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得,由周期为,可求的值,由三角函数性质可求函数的最值.2及正弦定理可求得,从而是求出解的值,由可求出角及角,由正弦定理求出边,即可求三角形面积.27.已知函数．Ⅰ求函数fx 的单调递增区间；Ⅱ在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知,a=2,,求△ABC 的面积．解答解：Ⅰ =sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+．令 2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k ∈z,求得 kπ﹣≤x ≤kπ+,()f x 3[,]4ππ-,,a b c ABC ,,A B C 2,()1b f A ==2sin b A =ABC ∆min ()1f x =max ()1f x =33+()2sin()16f x x πω=+-3πω2sin b A =sin B =B ()1f A =4A π=51246C πππ==+a函数fx的单调递增区间为kπ﹣,kπ+,k∈z．Ⅱ由已知,可得 sin2A+=,因为A为△ABC内角,由题意知0＜A＜π,所以＜2A+＜,因此,2A+=,解得A=．由正弦定理,得b=,…由A=,由B=,可得 sinC=,…∴S=ab•sinC==．28.已知函数fx=Asinωx+φA＞0,ω＞0,|φ|＜,x∈R,且函数fx的最大值为2,最小正周期为,并且函数fx的图象过点,0．1求函数fx解析式；2设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f=2,c=,求a+2b的取值范围．解答解：1根据题意得：A=2,ω=4,即fx=2sin4x+φ,把,0代入得：2sin+φ=0,即sin+φ=0,∴+φ=0,即φ=﹣,则fx=2sin4x﹣；2由f=2sinC﹣=2,即sinC﹣=1,∴C﹣=,即C=,由正弦定理得： ==2R,即=2R=1,∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin﹣A=sinA+2sin cosA﹣2cossinA=sinA+cosA﹣sinA=cosA,∵＜cosA＜1,即＜cosA＜,∴a+2b的范围为,．29.已知函数fx=2cos2x+cos2x+．1若fα=+1,0＜a＜,求sin2α的值；2在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边；若fA=﹣,c=3,△ABC的面积S△ABC=3,求a的值．解答解：1化简可得fx=2cos2x+cos2x+=1+cos2x+cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=cos2x++1,∴fα=cos2α++1=+1,∴cos2α+=,∵0＜α＜,∴0＜2α+＜,∴sin2α+==,∴2∵fx=cos2x++1,∴fA=cos2A++1=﹣,∴cos2A+=﹣,又∵A∈0,,∴2A+∈,,∴2A+=,解得A=又∵c=3,S △ABC =bcsinA=3,∴b=4由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=13, ∴a=30.已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f 0>ω,R ∈x ,且函数)(x f 的最小正周期为π．1求函数)(x f 的解析式；2在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若0)(=B f ,23=⋅BC BA ,且4=+c a ,求b 的值．参考答案1, ……………3分 又,所以,, ………………………………………………5分所以,． …………………………………………………6分π()cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭πT =2=ωπ()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2,故, 所以,或, 因为是三角形内角,所以．……9分 而,所以,, …………………………11分 又,所以,,所以,,所以,． …………………………………14分31.已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x π=--∈+R .Ⅰ求()f x 的单调递增区间；Ⅱ在△ABC 中,三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知()12f A =,且△ABC 外求a 的值. 试题解析：Ⅰ∵x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π ………………2分x x 2cos 212sin 23+==)62sin(π+x ………………3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ 得,∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ 5分π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ22π66B k +=+π5π22π66B k +=+Z ∈k B π3B =3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=3=ac 4=+c a 1022=+c a 7cos 2222=-+=B ac c a b 7=a∴)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ (7)Ⅱ∵21)62sin()(=+=πA A f ,π<<A 0,62626ππππ+<+<A于是6562ππ=+A ∴ 3π=A ∵ABC ∆外接圆的半径为由正弦定理2sin a R A =,得2sin 3a R A ===,32.在中,分别是角A,B,C 的对边,已知,且1求的大小；2设且的最小正周期为,求在的最大值;试题解析：1∵ ∴∴ 又∵0＜x ＜ ∴A=2．==++=+== sin x+∵ = ∴=2 ∴=sin2x+∵ ∴2x+, ∴时．33.已知函数fx=sinxcosx++1．1求函数fx 的单调递减区间；2在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边fC=,b=4,•=12,求c．解答解：1fx=sinx cosx﹣sinx+1=sin2x﹣+1=sin2x++．令≤2x+≤,解得≤x≤．∴函数fx的单调递减区间是,,k∈Z．2∵fC=sin2C++=,∴sin2C+=1,∴C=．∵•=abcosA=2a=12,∴a=2．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4．∴c=2．34.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2﹣b2=ac,且b=c．1求角A的大小；2设函数fx=1+cos2x+B﹣cos2x,求函数fx的单调递增区间．解答解：1在△ABC中,因为,所以．…在△ABC中,因为,由正弦定理可得,所以,,,故…2由1得===…,得即函数fx 的单调递增区间为…35.ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知46cos ,a .55A == 1当3B π=时,求b 的值；2设B x =02x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭,求函数()22x f x b =+的值域.36.已知函数fx=sinxsinx+cosx ．1求fx 的最小正周期和最大值；2在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f =1,a=2,求三角形ABC面积的最大值． 解答解：1fx=sin 2x+sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=sin2x ﹣．∴fx的最小正周期T==π,fx的最大值是．2∵f=sinA﹣+=1,∴sinA﹣=,∴A=．∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴12=b2+c2﹣bc,∴b2+c2=12+bc≥2bc,∴bc≤12．∴S==bc≤3．∴三角形ABC面积的最大值是3．37.已知向量=cos2x, sinx﹣,=1,,设函数fx=．Ⅰ求函数fx取得最大值时x取值的集合；Ⅱ设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,fC=﹣,求sinA的值．解答解：Ⅰ∵向量=cos2x, sinx﹣,=1,,∴函数fx==cos2x+sinx﹣2=cos2x+sin2x+cos2x﹣sinxcosx=cos2x﹣sin2x+=cos2x++故当cos2x+=1时,函数fx取得最大值,此时2x+=2kπ,解得x=kπ﹣,k∈Z,故x取值的集合为{x|x=kπ﹣,k∈Z}；Ⅱ∵A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,且cosB=,∴sinB==,又fC=cos2C++=﹣,∴cos2C+=﹣,∴2C+=,解得C=,∴sinA=sin﹣B=cosB+sinB==38..已知向量=sin2x+2,cosx,=1,2cosx,设函数fx=1求fx的最小正周期与单调递增区间；2在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,若fA=4,b=1,得面积为,求a的值．解答解：1∵向量=sin2x+2,cosx,=1,2cosx,∴函数fx=•=sin2x+2+2cos2x=sin2x+cos2x+3=2sin2x++3,∵ω=2,∴T=π,令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得到kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,则fx的最小正周期为π；单调递增区间为kπ﹣,kπ+,k∈Z；2由fA=4,得到2sin2A++3=4,即sin2A+=,∴2A+=或2A+=,解得：A=0舍去或A=,∵b=1,面积为,∴bcsinA=,即c=2,由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2=3,则a=．39..设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=．Ⅰ求B；Ⅱ若b=,设A=x,,求函数y=fx的解析式和最大值．解答解：Ⅰ∵S=acsinB,cosB=,S=a2+c2﹣b2,∴acsinB=•2accosB,∴tanB=,又B∈0,π,∴B=；Ⅱ由Ⅰ知B=,△ABC的内角和A+B+C=π,又A＞0,C＞0,得0＜A＜,由正弦定理,知a===2sinx,c==2sin﹣x,∴y=﹣1a+2c=2﹣1sinx+4sin﹣x=2sinx+2cosx=2sinx+0＜x＜,当x+=,即x=时,y取得最大值2．40.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且2a﹣ccosB﹣bcosC=0．1求∠B；2设函数fx=﹣2cos2x+B,将fx的图象向左平移后得到函数gx的图象,求函数gx的单调递增区间．解答解：1由2a﹣ccosB﹣bcosC=0及正弦定理得,2sinA﹣sinCcosB﹣sinBcosC=0,即2sinAcosB﹣sinB+C=0,因为A+B+C=π,所以sinB+C=sinA,因为sinA≠0,所以cosB=,由B是三角形内角得,B=,2由1得,B=,则fx=﹣2cos2x+B=﹣2cos2x+,所以gx=﹣2cos2x++,=﹣2cos2x+=2sin2x,由得,故函数gx的单调递增区间是：．41..已知函数 fx=sin2x﹣cos2x﹣,x∈R．1求函数fx的最小正周期和单调递减区间；2设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=,fC=0．若sinB=2sinA,求a,b的值．解答解：1∵fx=sin2x﹣cos2x﹣,x∈R．=sin2x﹣﹣=sin2x﹣﹣1∴T==π∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z可解得：x∈kπ,kπ+ ,k∈Z∴fx单调递减区间是：kπ,kπ+,k∈Z2fC=sin2C﹣﹣1=0,则sin2C﹣=1∵0＜C＜π,∴C=∵sinB=2sinA,∴由正弦定理可得b=2a①∵c=,∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab=3②由①②可得a=1,b=2．42..在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,1求角B的值；2设A=θ,求函数的取值范围．解：1∵由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinB+C=sinAcosB,∴cosB= ,∴B=．…2锐角△ABC中,A+B=,∴θ∈,,…=1﹣cos+2θ﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=sin2θ﹣cos2θ+1=2sin2θ﹣+1．…9分∵θ∈,,∴2θ﹣∈,,∴2＜2sin2θ﹣+1≤3．所以：函数fθ的取值范围是2,3．…12分。

第121讲解三角形微课锐角三角函数题一：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，cos A=1213，则tan A等于( )A.513B.1312C.125D.512题二：△ABC中，∠A和∠B均为锐角，AC=6，BC=33，且sin A=3，则cos B的值为______. 题三：计算：cos245º＋tan30º·sin60º=______．题四：计算：sin30°+cos30°•tan60°．题五：如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则( )A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°题六：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan B的值是( )教育选轻轻·家长更放心页1教育选轻轻·家长更放心 页 2A ．45B ．35C ．34D ． 43第122讲 解三角形微课 解直角三角形题一：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =6，cos B =23，则BC 的长为 ( ) A ．4 B ．25C ．181313D ．121313题二：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2BC ，则sin B 的值为( )A ．12B ．22C ．32D ．1题三：把两块含有30°的相同的直角尺按如图所示摆放，连接AE ，若AC =6cm ，则△ADE 的面积是______.教育选轻轻·家长更放心页 3题四：把两块含有30°的相同的直角尺按如图所示摆放，连接CE 交AB 于D ．若BC =6cm ，则①AB =____cm ；②△BCD 的面积S =______.题五：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，CD ⊥AB ，BC ＝1．(1)如果∠BCD ＝30º，求AC ；(2)如果tan ∠BCD ＝ 1 3，求CD ．教育选轻轻·家长更放心页 4题六：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC = 4，AC= 5，CD ⊥AB ，则sin ∠ACD 的值是______，tan ∠BCD 的值是______.教育选轻轻·家长更放心 页 5第123讲 解三角形微课 锐角三角函数的应用题一：如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测出塔顶的仰角为30º，从C 点向塔底B 走100m 到达D 点，测出塔顶的仰角为45º，则塔AB 的高为( )A ．503mB ．1003mC ．1003+1m D ．10031-m题二：在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ．如图，已知小明距假山的水平距离BD 为12m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( )A ．(43+1.6)mB ．(123+1.6)mC ．(42+1.6)mD ．43m教育选轻轻·家长更放心 页6题三：某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行32小时到达B 处，那么tan ∠ABP =( ) A. 21 B.2 C. 55 D. 552 题四：如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65︒方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45︒方向(点A 、B 、C 在同一水平面上)．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离(结果精确到1米)．(参考数据：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445)教育选轻轻·家长更放心 页 7 第121讲解三角形微课 锐角三角函数题一：D详解：∵cos A =1213AC AB =，AC =12， ∴AB =13，BC =22AB AC -=5，∴tan A =512BC AC =． 故选D ．题二：5. 详解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ．在Rt △ACD 中，AC =6，sin A =33， ∴CD =AC ×sin A =6×33=23． 在Rt △BCD 中，BC =33， ∴BD =22=15BC CD -．∴cos B =BD BC =53．题三：1教育选轻轻·家长更放心 页 8详解：cos 245º＋tan30º·sin60º=223311122+⨯=+=(). 题四：2.详解：原式=131332222+⨯=+=. 题五：C.详解：由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A 、由于在Rt △ABO 中∠AOB 是直角，所以B 到AO 的距离是指BO 的长. ∵AB ∥OC ，∴∠BAO =∠AOC =36°.在Rt △BOA 中，∵∠AOB =90°，AB =1，∴BO =AB sin36°=sin36°.故本选项错误.B 、由A 可知，选项错误.C 、如图，过A 作AD ⊥OC 于D ，则AD 的长是点A 到OC 的距离.在Rt △BOA 中，∵∠BAO =36°，∠AOB =90°，∴∠ABO =54°.∴AO =AB •sin54°= sin54°.在Rt △ADO 中， AD =AO •sin36°=AB •sin54°•sin36°=sin54°•sin36°.故本选项正确.D 、由C 可知，选项错误.故选C.题六：C.教育选轻轻·家长更放心页 9 详解：∵CD 是斜边AB 上的中线，CD =5，∴AB =2CD =10. 根据勾股定理，22221068BC AB AC -=-=. ∴63tan 84AC B BC ===.故选C. 第122讲 解三角形微课 解直角三角形题一：A.详解：∵cos B =23，∴23BC AB =. 又AB =6，∴2643BC=⨯=.故选A. 题二：C.详解：∵Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2BC ，∴sin A =122BC BC AB BC ==.∴∠A =30°.∴∠B =60°.∴sin B =o 3sin 602=.故选C. 题三：183cm 2.详解：∵AC =6cm ，∠ABC =30°，∴AB =12，∴BC 22126=63-=BE ，在△ADE 中，BE 是△ADE 的高，∴S △ADE =12×AD ×BE ， ∵BD =6，AB =12，∴AD =6，∴S △ADE =12×AD ×BE =12×6×3=183cm 2.教育选轻轻·家长更放心页 10 题四：12; 63cm 2．详解：(1)∵△ABC 为直角三角形，∠BAC =30°，BC =6cm ，∴AB =sin BC BAC∠=12cm ． (2)如图：过点D 作平行于AC 的直线交BC 于M ，交AE 于N ．∵BC ∥AE ，∴△BCD ∽△AED ，△BDM ∽△ADN ．∴BC AE =BD AD =DM DN =12， 又DM +DN =AC ，又AC 3DM 3∴△BCD 的面积S =12×BC ×DM =12×6×33cm 2． 题五：3310. 详解：(1)∵CD ⊥AB ，∴∠BDC =90°.∵∠DCB =30°，∴∠B =60°.在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∴tan60°=AC BC. ∵BC =1，∴31AC =，则AC =3(2)在Rt △BDC 中，tan ∠BCD =13BD CD =. 设BD = k ，则CD =3k ，教育选轻轻·家长更放心页 11 又BC =1，由勾股定理得：k 2＋(3k )2=1，解得：k 10或k = 10(舍去). ∴CD =3k 310. 题六：54141;45详解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，BC = 4，AC = 5，CD ⊥AB ，∴AB 2222=54=41AC BC ++在Rt △ABC 与Rt △ACD 中，∠A +∠B =90°，∠A +∠ACD =90°，∠ADC =∠ACB =90°． ∴∠B =∠ACD ．Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∠BCD =∠A ．故sin ∠ACD =sin ∠B =AC AB =54141， tan ∠BCD = tan ∠A =BC AC =45． 第123讲 解三角形微课 锐角三角函数的应用题一：D详解：根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由BC 3AB 和BC =AB +100求解即可求出答案在Rt △ABD 中，∵∠ADB =45°，∴BD =AB .在Rt △ABC 中，∵∠ACB =30°，∴BC 3AB .∵CD =100，∴BC =AB +100.∴AB 3AB ，解得AB 31-.故选D . 题二：A .教育选轻轻·家长更放心 页 12详解：如图，作AK ⊥CD 于点K ，∵BD =12米，李明的眼睛高AB =1.6米，∠AOE =60°，∴DB =AK =12米，AB =KD =1.6米，∠ACK =60°.∵tan AK ACK CK ∠=，∴o 121243tan tan 603AK CK ACK ====∠. ∴CD =CK +DK =43+1.6=(43+1.6)(米).故选A .题三：A .详解：∵灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里，∴PA =20.∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处， ∴∠APB =90° ，BP =60×23=40. ∴tan ∠ABP =201402AP BP ==.故选A .教育选轻轻·家长更放心页 13 题四：207米.详解：如图，作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，则∠BCD =45°，∠ACD =65°.在Rt △ACD 和Rt △BCD 中， 设AC =x ，则AD =x sin65°，BD =CD =x cos65°.∴100+x cos65°=x sin65°.∴o o100207sin 65cos65x =≈-(米). ∴湖心岛上的迎宾槐C 处与凉亭A 处之间距离约为207米.。

三角函数综合测试题一、选择题（每小题5分，共70分）1． sin2100 =A ．23 B ． -23 C ．21 D ． -21 2．α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-3. )12sin12(cos ππ- )12sin12(cosππ+＝A ．－23 B ．－21 C ． 21 D ．234． 已知sinθ＝53，sin2θ＜0，则tanθ等于A ．－43 B ．43 C ．－43或43 D ．545．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是 A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=-C .1sin()26y x π=-D .sin(2)6y x π=-6. ()2tan cot cos x x x +=A ．tan xB ． sin xC . cos xD . cot x7.函数y =x x sin sin -的值域是A. { 0 }B. [ -2 , 2 ]C. [ 0 , 2 ]D.[ -2 , 0 ]αcos 81=α,且)2,0(πα∈，则sin α+cos α的值为A.25 B. -25 C. ±25 D. 239. 2(sin cos )1y x x =--是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππ 11．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 A ．ω＝2，θ＝2πB ．ω＝21，θ＝2π C ．ω＝21，θ＝4π D ．ω＝2，θ＝4π12. 设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是A .2π B .4π- C .4π D .34π14． 函数f (x )＝xxcos 2cos 1-A ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， 、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤⎝⎛ππ2,23上递减 B ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递减C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛23ππ， 上递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2上递减 （每小题5分，共20分,）15. 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππα，求使sin α=32成立的α=16．sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________ 17.函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图，则函数表达式为18．已知βα,为锐角，且cos α=71 cos )(βα+= 1411-, 则cos β=_________ 19．给出下列命题：(1)存在实数α,使1cos sin =αα (2)存在实数α，使23cos sin =+αα (3)函数)23sin(x y +=π是偶函数 （4）若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >.其中正确命题的序号是________________________________三.解答题(每小题12分，共60分,) 20.已知函数y =3sin )421(π-x （1）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.21.已知)cos(2-)sin(πθπθk k +=+Z k ∈ 求:（1）θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-; （2）θθ22cos 52sin 41+22．设0≥a ，若b x a x y +-=sin cos 2的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求y 的最大、最小值及相应的x 值．23.已知21)tan(=-βα，71tan -=β，且),0(,πβα∈，求βα-2的值.24.设函数a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2（其中ω>0，R a ∈），且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间]65,3[ππ-的最小值为3，求a 的值．测试题答案.一.DDDA,CDDA,DCAD,CA二arcsin32 1 y=)48sin(4-ππ+x 21(3) 三、解答题：20.已知函数y=3sin )421(π-x（1）用五点法作出函数的图象； （2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：x2π π23 π25 π27 π29421π-x 02π ππ232π 3sin )421(π-x 03 0 -3 0描点、连线,如图所示：…………………………………………………………………………………………5 （2）周期T=ωπ2=212π=4π，振幅A=3，初相是-4π. ………………………………………………………….8 (3)令421π-x =2π+k π(k ∈Z ), 得x=2k π+23π(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令21x-4π=k π(k ∈Z )得x=2π+2k π(k ∈Z ). 对称中心为)0,22(ππ+k(k ∈Z )…………………………………………………………………………..12 21.已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:（1）θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-;（2）41sin 2θ+52cos 2θ.解：由已知得cos(θ+k π)≠0, ∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2..................................................................................................2 （1）10tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θθθθθθ (7)（2）41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cos sin cos 52sin 41++=2571tan 52tan 4122=++θθ (12)22．设a≥0，若y ＝cos 2x －asinx ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求出使y 取得最大、最小值时的x 值． 解：原函数变形为y ＝－41)2(sin 22a b a x ++++………………………………………2 ∵－1≤sin x ≤1，a ≥0∴若0≤a ≤2，当sinx ＝－2a 时 y max ＝1＋b ＋42a ＝0 ①当sinx ＝1时，y min ＝－41)21(22a b a ++++＝－a ＋b ＝－4 ②联立①②式解得a ＝2，b ＝-2…………………………………………………………7 y 取得最大、小值时的x 值分别为： x ＝2kπ－2π(k ∈Z)，x ＝2kπ＋2π(k ∈Z)若a ＞2时，2a ∈(1，＋∞)∴y max ＝－b a a b a +=+++-41)21(22＝0 ③y min ＝－441)21(22-=+-=++++b a a b a ④ 由③④得a ＝2时，而2a ＝1 (1，＋∞)舍去.............................................11 故只有一组解a ＝2，b ＝－2.. (12)23.已知tan(α－β)＝21，tan β＝-71，且α、β∈（0，π），求2α－β的值. 解：由tanβ＝－71 β∈(0，π) 得β∈(2π, π) ① (2)由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝31 α∈(0，π) ∴ 0＜α＜2π (6)∴ 0＜2α＜π由tan2α＝43＞0 ∴知0＜2α＜2π ②∵tan(2α－β)＝βαβαtan 2tan 1tan 2tan +-＝1 (10)由①②知 2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－43π (12)24.设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2（其中ω>0，a ∈R ），且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间]65,3[xπ-的最小值为3，求a 的值．解：(1) f(x)＝23cos2ωx ＋21sin2ωx ＋23＋a (2)＝sin(2ωx ＋3π)＋23＋a …………………………………………………..4 依题意得2ω·6π＋3π＝2π解得ω＝21………………………………….6 (2) 由(1)知f(x)＝sin(2ωx ＋3π)＋23＋a 又当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ时，x ＋3π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,0π…………………………………8 故－21≤sin(x ＋3π)≤1……………………………………………..10 从而f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上取得最小值－21＋23＋a 因此，由题设知－21＋23＋a ＝3故a ＝213+ (12)三角函数综合练习题1.已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=- ，则tan 2α的值为 ( )A ．45B ．237-C ．247-D ．83-)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（ ）（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z（C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Zx x y cos sin +=的图像，只需把x x y cos sin -=的图象上所有的点( ) （A ）向左平移4π个单位长度（B ）向右平移4π个单位长度（C ）向左平移2π个单位长度（D ）向右平移2π个单位长度4. 已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（ ）（A ）51-（B ）57 （C ）57- （D ）435.已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,0)2πω><ϕ≤的部分图象如图所示，则点P (),ωϕ的坐标为( ) （A ）(2,)3π（B ）(2,)6π （C ）1(,)23π （D ）1(,)26π①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是( )（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成中心对称（C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数 （D ）两个函数的最小正周期相同7. 已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为（ ） A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ8.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 Ay（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 9.如右上图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α=__________． 10.在ABC 中，若5b =，4B π∠=，tan 2A =，则sin A =_______，a =______.11.已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________.12.设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=_________. 13.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=______.14.在ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 。

专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值： （2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分． 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。