三角函数解三角形综合

2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。

三角函数一. 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1.角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义：（1）正角，负角，零角 ：见上文.（2）象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. （3）轴线角：角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合： {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合： {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合：{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ （4）终边相同的角：与α终边相同的角：2,x k k Z απ=+∈ （5）与α终边反向的角：()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈（6）若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：180,k k Z αβ=⨯︒+∈ （7）成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意： （1）角的集合表示形式不唯一； （2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.（二）弧度制1.弧度制的定义：lRα=2.角度与弧度的换算公式：180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意： （1）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；（2）一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy=αtan ，余切y x =αcot2.三角函数的定义域（二）单位圆与三角函数线 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线；OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.（三）同角三角函数的基本关系式（1）sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= （2）商数关系：ααααααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（四）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质（一）基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数（二）函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式 （一）倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+（二）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式（合一变形）()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换 （一）基础题型1.（2015·福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α=（ ） A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角，()4tan 23πα+=-，则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<，1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A.C.（二）诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数，若,αβ为锐角三角形内角，则（ ）A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>，则下列各式中成立的是（ ）A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<（三）互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________；2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.（2016·广州检测）已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A.13 B.3C.13-D.3-3.（2017·合肥模拟）已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求1tan tan αα-的值.（四）配凑角（已知条件会给θ范围）1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.138B.322C.1318D.13223.（2017·成都模拟）若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+=（ ） A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则β=（ ）A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.45-B.35-C.45D.35（五）升角（一倍角、二倍角转换） 解题思路：2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一） 升角+诱导公式1.（2016·宿州模拟）若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ）A.19-C. D.193.（2016·南昌三模）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ ）A.79B.79-C.9D.9-二）升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.（2017·江西新余三校联考）已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.78C.14±D.78±三）升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ （六）平方一）sin cos c θθ+=解题思路：2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα+=，则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.（1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为（ ）A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二）sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=，则tan 2α=________2.（2016·厦门质检）若2sin 21cos2αα=-，则tan α=________3.（2016·开封模拟）已知12sin 5cos 13αα-=，则tan α=（ ）A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=（ ）A.2C.2-D.（七）12tan tan sin 2θθθ+= （2016·青岛模拟）化简：211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________（八）齐次式 1.若tan 2α=，则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________；224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.（2015·广东）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.（2016·天一大联考）已知函数()()log 24a f x x =-+（0a >且1a ≠），其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-________4．（广东省广州2017届高三下学期第一次模拟）已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则co s 2θ=（ ） A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ）A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换 （一）图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则α的最小值为（ ）A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=______5.（2014·辽宁卷）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.（2017·渭南模拟）由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式为（ ）A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.（2014·安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（ ） A.8πB.4πC.38πD.5π48.（2016·广东汕头模拟）将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ） A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.（2016·长沙四校联考）将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（ ）A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.（2013·新课标全国卷Ⅱ）函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ=________二）图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质：①()f x 是偶函数；②对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值，当12x =时取最小值，与y 轴的交点为(，则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ，若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对任意x R ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围________7.（2015·湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512πB.3πC.4πD.6π8.（2016·安徽芜湖一模）函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.12D.29.（2017·石家庄模拟）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.23-B.12-C.23D.1213.（2016·泉州质检）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若tan 3α=，则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.45-C. D.三．特殊三角函数最值1.当06x π<≤时，函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.（2016·全国Ⅱ）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四．参数相关1.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围________2.（2016·全国乙卷）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围（ ）A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间错误！未找到引用源。

第四课：解三角形与三角函数综合应用第一部分：知识点1.三角形中的边角关系:三角形中大边对大角，小边对小角；三角形中任意两边之和大小第三边；2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===，其中R 是△ABC 外接圆半径. 3.余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-余弦定理变形: 222222222cos ,cos ,cos ,222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===4.三角形的面积公式有:11,sin ,22S ah S ab C S === 其中，h 是BC 边上高，P 是半周长.5.利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形(1)已知两角及一边，求其它边角；已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理.(2)已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.第二部分：练习题1. 在中，，，，求tan A 的值和的面积.2.在△ABC 中,已知3=a ,b =2,B =45°,求A 、C 及c .3.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知a 、b 、c 成等比数列，且22a c ac bc -=-， 求∠A 的大小及c B b sin 的值。

4已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c5在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A6在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2274sin cos 22B C A +-=. (1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.7.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若cos 2A a ==，求ABC ∆的面积. 8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.（Ⅰ）若b =3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.9.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，tan tan tan A B A B +=,,2=a c =（Ⅰ）求tan()A B +的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.10. 在中，已知1230,cos ,13ABC S A ∆==求(1)AB AC u u u r u u u r g ，(2)若1c b -=，求a 。

1.已知函数fx=sinωx﹣2sin2+mω＞0的最小正周期为3π,当x∈0,π时,函数fx 的最小值为0．1求函数fx的表达式；2在△ABC中,若fC=1,且2sin2B=cosB+cosA﹣C,求sinA的值．解：Ⅰ．依题意：函数．所以．,所以fx的最小值为m．依题意,m=0．．Ⅱ∵,∴．．在Rt△ABC中,∵,∴．∵0＜sinA＜1,∴．2.已知函数其中ω＞0,若fx的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．I求y=fx的单调递增区间；Ⅱ在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足2b﹣acosC=c•cosA,则fB恰是fx的最大值,试判断△ABC的形状．解答解：Ⅰ∵,=,∵fx的对称轴离最近的对称中心的距离为,∴T=π,∴,∴ω=1,∴．∵得：,∴函数fx单调增区间为；Ⅱ∵2b﹣acosC=c•cosA,由正弦定理,得2sinB﹣sinAcosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sinA+C,∵sinA+C=sinπ﹣B=sinB＞0,2sinBcosC=sinB,∴sinB2cosC﹣1=0,∴,∵0＜C＜π,∴,∴,∴．∴,根据正弦函数的图象可以看出,fB无最小值,有最大值y max=1,此时,即,∴,∴△ABC为等边三角形．3.已知函数fx=sinωx+cosωx++cosωx﹣﹣1ω＞0,x∈R,且函数的最小正周期为π：1求函数fx的解析式；2在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若fB=0,•=,且a+c=4,试求b的值．解答解：1fx=sinωx+cosωx++cosωx﹣﹣1==．∵T=,∴ω=2．则fx=2sin2x﹣1；2由fB==0,得．∴或,k∈Z．∵B是三角形内角,∴B=．而=ac•cosB=,∴ac=3．又a+c=4,∴a2+c2=a+c2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．4.已知函数．1求fx单调递增区间；2△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足,求fA的取值范围．解答解：1fx=﹣+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣,令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,得到﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 则fx的增区间为﹣+kπ, +kπk∈Z；2由余弦定理得：cosA=,即b2+c2﹣a2=2bccosA,代入已知不等式得：2bccosA＞bc,即cosA＞,∵A为△ABC内角,∴0＜A＜,∵fA=sin2A﹣,且﹣＜2A﹣＜,∴﹣＜fA＜,则fA的范围为﹣,．5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsinAcosC+csinAcosB=a．1求角A的大小；2设函数fx=tanAsinωxcosωx﹣cos2ωxω＞0,其图象上相邻两条对称轴间的距离为,将函数y=fx的图象向左平移个单位,得到函数y=gx图象,求函数gx在区间﹣,上值域．解：1∵bsinAcosC+csinAcosB=a,∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA,∵A为锐角,sinA≠0,∴sinBcosC+sinCcosB=,可得：sinB+C=sinA=,∴A=．2∵A=,可得：tanA=,∴fx=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣,∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得：T=2×=,解得：ω=1,∴fx=sin2x﹣,∴将函数y=fx的图象向左平移个单位,得到图象对应的函数解析式为y=gx=sin2x+﹣=sin2x+,∵x∈﹣,,可得：2x+∈,,∴gx=sin2x+∈,1．6.已知向量,向量,函数．Ⅰ求fx单调递减区间；Ⅱ已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,,c=4,且fA恰是fx 在上的最大值,求A,b,和△ABC的面积S．解：Ⅰ∵=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin2x﹣+2,…∴, 所以：fx的单调递减区间为：．…Ⅱ 由1知：,∵时,,由正弦函数图象可知,当时fx 取得最大值3,…7分∴,…8分由余弦定理,a 2=b 2+c 2﹣2bccosA,得：,∴b=2,…10分∴．…12分7.已知函数.Ⅰ作出在一个周期内的图象；Ⅱ分别是中角的对边,若,求的面积.()cos sin 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x a b c ，，ABC △ A B C ，，() 1a f A b ===，，ABC △利用“五点法”列表如下：……………………………………………………4分 画出在上的图象,如图所示：Ⅱ由Ⅰ,在中,,所以.由正弦定理可知,,所以,………………9分又,∴,∴,∴. 因此.…………………………12分 ()f x 5 33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()sin 3f A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ABC △0A π<<3A π=sin sin a b A B =1sin sin 3B =1sin 2B =203B π<<6B π=2C π=11122S ab ==ABC △8.已知函数fx=m+2cos2x•cos2x+θ为奇函数,且f=0,其中m∈R,θ∈0,πⅠ求函数fx的图象的对称中心和单调递增区间Ⅱ在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f+=﹣,c=1,ab=2,求△ABC的周长．解答解：Ⅰf=﹣m+1sinθ=0,∵θ∈0,π．∴sinθ≠0,∴m+1=0,即m=﹣1,∵fx为奇函数,∴f0=m+2cosθ=0,∴cosθ=0,θ=．故fx=﹣1+2cos2xcos2x+=cos2x•﹣sin2x=﹣sin4x,由4x=kπ,k∈Z得：x=kπ,k∈Z,故函数fx的图象的对称中心坐标为：kπ,0,k∈Z,由4x∈+2kπ, +2kπ,k∈Z得：x∈+kπ, +kπ,k ∈Z,即函数fx的单调递增区间为+kπ, +kπ,k∈Z,Ⅱ∵f+=﹣sin2C+﹣,C为三角形内角,故C=,∴c2=a2+b2﹣2abcosC==,∵c=1,ab=2,∴a+b=2+,∴a+b+c=3+,即△ABC的周长为3+．9.已知向量=sin,1,=cos,cos2,记fx=•．Ⅰ若fx=1,求cosx+的值；Ⅱ在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2a﹣ccosB=bcosC,求f2A的取值范围．解答解：Ⅰ向量=sin,1,=cos,cos2,记fx=•=sincos+cos2=sin+cos+=sin+,因为fx=1,所以sin=,所以cosx+=1﹣2sin2=,Ⅱ因为2a﹣ccosB=bcosC,由正弦定理得2sinA﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sinB+C=sinA,sinA≠0,所以cosB=,又0＜B＜,所以B=,则A+C=,即A=﹣C,又0＜C＜,则＜A＜,得＜A+＜,所以＜sinA+≤1,又f2A=sinA+,所以f2A的取值范围．10.已知向量,函数fx=．1求函数fx的最小正周期及在上的值域；2在△ABC中,若fA=4,b=4,△ABC的面积为,求a的值．解答解：1向量,函数fx==2+sin2x+2cos2x=3+sin2x+cos2x=3+2sin2x+,可得函数fx的最小正周期为=π,x∈,即有2x+∈﹣,,可得sin2x+∈﹣,1,则在上的值域为2,5；2在△ABC中,若fA=4,b=4,△ABC的面积为,可得3+2sin2A+=4,即sin2A+=,由0＜A＜π,可得＜2A+＜,可得2A+=,即A=,由=bcsinA=•4c•sin=c,解得c=1,则a2=b2+c2﹣2bccosA=16+1﹣8×=13,即a=．11.已知函数fx=2sinx+•cosx．1若0≤x≤,求函数fx的值域；2设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且fA=,b=2,c=3,求cosA﹣B的值．解答解：1fx=2sinx+•cosx=sinx+cosx•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin2x++；…由得,,∴,…∴,即函数fx的值域为；…2由,得,又由,∴,∴,解得；…在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7,解得；…由正弦定理,得,…∵b＜a,∴B＜A,∴,∴cosA﹣B=cosAcosB+sinAsinB=．…12..已知向量x ∈R,设函数fx=﹣1．1求函数fx 的单调增区间；2已知锐角△ABC 的三个内角分别为A,B,C,若fA=2,B=,边AB=3,求边BC ．解答解：由已知得到函数fx=﹣1=2cos 2x+2sinxcosx ﹣1=cos2x+sin2x=2cos2x ﹣；所以1函数fx 的单调增区间是2x ﹣∈2kπ﹣π,2kπ,即x ∈kπ﹣,kπ+,k ∈Z ；已升级到最新版2已知锐角△ABC 的三个内角分别为A,B,C,fA=2,则2cos2A ﹣=2,所以A=,又B=,边AB=3,所以由正弦定理得,即,解得BC=．13.. 1求函数的单调递减区间；2在中,角的对边分别为,若,的面积为,求a 的最小值.2()sin 2f x x x =+()f x ABC ∆,,A B C ,,a b c ()12A f =ABC∆试题解析:1, 令,解得,,∴的单调递减区间为. 14.已知fx=•,其中=2cosx,﹣sin2x,=cosx,1,x ∈R ．1求fx 的单调递减区间；2在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,fA=﹣1,a=,且向量=解答解：1由题意知．3分∵y=cosx 在a 2上单调递减,∴令,得∴fx 的单调递减区间,6分2∵,∴,又,∴,即,8分∵,由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b+c 2﹣3bc=7.10分因为向量与共线,所以2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c ．∴b=3,c=2.12 分．111()cos 22sin(2)2262f x x x x π=-=-+3222262k x k πππππ+≤-≤+536k x k ππππ+≤≤+k Z ∈()f x 5[,]36k k ππππ++k Z ∈15.已知函数fx=2sinx+•cosx．1若0≤x≤,求函数fx的值域；2设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且fA=,b=2,c=3,求cosA ﹣B的值．解答解：1fx=2sinx+•cosx=sinx+cosx•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin2x++；…由得,,∴,…∴,即函数fx的值域为；…2由,得,又由,∴,∴,解得；…在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7,解得；…由正弦定理,得,…∵b＜a,∴B＜A,∴,∴cosA﹣B=cosAcosB+sinAsinB=．…16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,fx=2sinx﹣Acosx+sinB+Cx∈R,函数fx的图象关于点,0对称．Ⅰ当x∈0,时,求fx的值域；Ⅱ若a=7且sinB+sinC=,求△ABC的面积．解答解：Ⅰfx=2sinx﹣Acosx+sinB+C=2sinxcosA﹣cosxsinAcosx+sinA=2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin2x﹣A,由于函数fx的图象关于点,0对称,则f=0,即有sin﹣A=0,由0＜A＜π,则A=,则fx=sin2x﹣,由于x∈0,,则2x﹣∈﹣,,即有﹣＜sin2x﹣≤1．则值域为﹣,1；Ⅱ由正弦定理可得===, 则sinB=b,sinC=c,sinB+sinC=b+c=,即b+c=13,由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA,即49=b2+c2﹣bc=b+c2﹣3bc,即有bc=40,则△ABC的面积为S=bcsinA=×40×=10．17.已知函数fx=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．1当x∈0,时,求fx的值域；2若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=,=2+2cosA+C,求fB的值．解答解：1∵fx=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3﹣+3=sin2x﹣cos2x+1=2sin2x++1,∵x∈0,,∴2x+∈,,∴sin2x+∈,1,∴fx=2sin2x++1∈0,3；2∵=2+2cosA+C,∴sin2A+C=2sinA+2sinAcosA+C,∴sinAcosA+C+cosAsinA+C=2sinA+2sinAcosA+C,∴﹣sinAcosA+C+cosAsinA+C=2sinA,即sinC=2sinA,由正弦定理可得c=2a,又由=可得b=a,由余弦定理可得cosA=== ,∴A=30°,由正弦定理可得sinC=2sinA=1,C=90°,由三角形的内角和可得B=60°,∴fB=f60°=218.设函数fx=cos2x﹣+2cos2x．1求fx的最大值,并写出使fx取得最大值时x的集合；2求fx的单调递增区间；3已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fB+C=,b+c=2,求a的最小值．解答解：1由三角函数公式化简可得fx=cos2x﹣+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos2x﹣sin2x+1=cos2x++1,当2x+=2kπ即x=kπ﹣k∈Z时,fx取得最大值2,此时x的集合为{x|x=kπ﹣,k∈Z}；2由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+,∴fx的单调递增区间为得kπ+,kπ+,k∈Z；3由2可得fB+C=cos2B+2C++1=,∴cos2B+2C+=,由角的范围可得2B+2C+=,变形可得B+C=,A=, 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b+c2﹣3bc=4﹣3bc≥4﹣32=1当且仅当b=c=1时取等号,故a的最小值为119.已知函数,x∈R．1求函数fx的最大值和最小正周期；2设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别a,b,c,且c=3,fC=0,若sinA+C=2sinA,求a,b 的值．解答解：1 (3)∵,∴,∴fx 的最大值为0,最小正周期是…6分2由,可得∵0＜C ＜π,∴0＜2C ＜2π,∴∴,∴∵sinA+C=2sinA,∴由正弦定理得①…9分由余弦定理得∵c=3∴9=a 2+b 2﹣ab②由①②解得,…12分20..已知向量,设函数.1求在上的最值；2在中,分别是角的对边,若,,求的值.()()3sin 22,cos ,1,2cos m x x n x =+=()f x m n =⋅()f x 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC ∆,,a b c ,,A B C ()4,1f A b ==ABC ∆a；2.21.已知函数fx=sin 2x+sin2x ．1求函数fx 的单调递减区间；2在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f =,△ABC 的面积为3,求a 的最小值．解答解：1∵fx=sin 2x+sin2x=+sin2x=sin2x ﹣+,∴2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+,k ∈Z,解得：kπ+≤x ≤kπ+,k ∈Z,∴函数fx 的单调递减区间为：kπ+,kπ+,k ∈Z ．()()min max 4,5f x f x ∴==()12sin 234,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1352,2666663AA A ππππππ⎛⎫+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭1sin 2ABC S bc A ∆==2c ∴=2222cos 3a b c bc A a ∴=+-=∴=2∵f=,即： sin2×﹣+=,化简可得：sinA﹣=,又∵A∈0,π,可得：A﹣∈﹣,,∴A﹣=,解得：A=,∵S△ABC=bcsinA=bc=3,解得：bc=12,∴a==≥=2．当且仅当b=c时等号成立．故a的最小值为2．22.已知函数fx=2sinxcosx+2,x∈R．1求函数fx的最小正周期和单调递增区间；2在锐角三角形ABC中,若fA=1,,求△ABC的面积．解答解：1fx=2sinxcosx+=sin2x+=2sin2x+,∴函数fx的最小正周期为π,由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得,∴函数fx的单调增区间是k,k k∈Z,2由已知,fA=2sin2A+=1,∴sin2A+=,∵0＜A＜,∴,∴2A+=,从而A=,又∵=,∴,∴△ABC的面积S===．23.已知向量=sinx,﹣1,向量=cosx,﹣,函数fx=+•．1求fx的最小正周期T；2已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且fA恰是fx在0,上的最大值,求A和b．解答解：1∵向量=sinx,﹣1,向量=cosx,﹣,∴fx=+•=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+= sin2x﹣cos2x+2=sin2x﹣+2,∵ω=2,∴函数fx的最小正周期T==π；2由1知：fx=sin2x﹣+2,∵x∈0,,∴﹣≤2x﹣≤,∴当2x﹣=时,fx取得最大值3,此时x=,∴由fA=3得：A=, 由余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴12=b2+16﹣4b,即b﹣22=0,∴b=2．24.在中,分别是角的对边,且满足. 1求角的大小；2设函数,求函数在区间上的值域.25.已知函数在处取最小值.ABC ∆c b a ,,C B A ,,CBc b a cos cos 2=-C 23sin sin 2cos cos sin 2)(2-+=C x C x x x f )(x f ]2,0[π2()2sin coscos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<x π=1求的值；2在中,分别为内角的对边,已知求角.试题分析：1利用三角恒等变换公式化简函数解析式得,由在处取最小值及查求得；2由可得,再由正弦定理求出,从而求出角的值,即可求角.2因为,所以,因为角为的内角,所以. 又因为所以由正弦定理,得, 也就是, 因为,所以或. 当时,； 当时,. 26.已知函数的最小正周期为.ϕABC∆,,a b c ,,A B C 1,()a b f A ===C ()sin()f x x ϕ=+x π=0ϕπ<<2πϕ=()f A =6A π=sin B B C ()2f A =cos 2A =A ABC ∆6A π=1,a b ==sin sin a bA B=sin 1sin 22b A B a ===b a >4B π=34B π=4B π=76412C ππππ=--=34B π=36412C ππππ=--=2()2sin(0)2xf x x ωωω=->3π1求函数在区间上的最大值和最小值； 2已知分别为锐角三角形中角的对边,且满足,,求的面积.答案及解析：26.1,；2.试题分析：1利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得,由周期为,可求的值,由三角函数性质可求函数的最值.2及正弦定理可求得,从而是求出解的值,由可求出角及角,由正弦定理求出边,即可求三角形面积.27.已知函数．Ⅰ求函数fx 的单调递增区间；Ⅱ在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知,a=2,,求△ABC 的面积．解答解：Ⅰ =sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+．令 2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k ∈z,求得 kπ﹣≤x ≤kπ+,()f x 3[,]4ππ-,,a b c ABC ,,A B C 2,()1b f A ==2sin b A =ABC ∆min ()1f x =max ()1f x =33+()2sin()16f x x πω=+-3πω2sin b A =sin B =B ()1f A =4A π=51246C πππ==+a函数fx的单调递增区间为kπ﹣,kπ+,k∈z．Ⅱ由已知,可得 sin2A+=,因为A为△ABC内角,由题意知0＜A＜π,所以＜2A+＜,因此,2A+=,解得A=．由正弦定理,得b=,…由A=,由B=,可得 sinC=,…∴S=ab•sinC==．28.已知函数fx=Asinωx+φA＞0,ω＞0,|φ|＜,x∈R,且函数fx的最大值为2,最小正周期为,并且函数fx的图象过点,0．1求函数fx解析式；2设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f=2,c=,求a+2b的取值范围．解答解：1根据题意得：A=2,ω=4,即fx=2sin4x+φ,把,0代入得：2sin+φ=0,即sin+φ=0,∴+φ=0,即φ=﹣,则fx=2sin4x﹣；2由f=2sinC﹣=2,即sinC﹣=1,∴C﹣=,即C=,由正弦定理得： ==2R,即=2R=1,∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin﹣A=sinA+2sin cosA﹣2cossinA=sinA+cosA﹣sinA=cosA,∵＜cosA＜1,即＜cosA＜,∴a+2b的范围为,．29.已知函数fx=2cos2x+cos2x+．1若fα=+1,0＜a＜,求sin2α的值；2在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边；若fA=﹣,c=3,△ABC的面积S△ABC=3,求a的值．解答解：1化简可得fx=2cos2x+cos2x+=1+cos2x+cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=cos2x++1,∴fα=cos2α++1=+1,∴cos2α+=,∵0＜α＜,∴0＜2α+＜,∴sin2α+==,∴2∵fx=cos2x++1,∴fA=cos2A++1=﹣,∴cos2A+=﹣,又∵A∈0,,∴2A+∈,,∴2A+=,解得A=又∵c=3,S △ABC =bcsinA=3,∴b=4由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=13, ∴a=30.已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f 0>ω,R ∈x ,且函数)(x f 的最小正周期为π．1求函数)(x f 的解析式；2在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若0)(=B f ,23=⋅BC BA ,且4=+c a ,求b 的值．参考答案1, ……………3分 又,所以,, ………………………………………………5分所以,． …………………………………………………6分π()cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭πT =2=ωπ()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2,故, 所以,或, 因为是三角形内角,所以．……9分 而,所以,, …………………………11分 又,所以,,所以,,所以,． …………………………………14分31.已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x π=--∈+R .Ⅰ求()f x 的单调递增区间；Ⅱ在△ABC 中,三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知()12f A =,且△ABC 外求a 的值. 试题解析：Ⅰ∵x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π ………………2分x x 2cos 212sin 23+==)62sin(π+x ………………3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ 得,∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ 5分π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ22π66B k +=+π5π22π66B k +=+Z ∈k B π3B =3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=3=ac 4=+c a 1022=+c a 7cos 2222=-+=B ac c a b 7=a∴)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ (7)Ⅱ∵21)62sin()(=+=πA A f ,π<<A 0,62626ππππ+<+<A于是6562ππ=+A ∴ 3π=A ∵ABC ∆外接圆的半径为由正弦定理2sin a R A =,得2sin 3a R A ===,32.在中,分别是角A,B,C 的对边,已知,且1求的大小；2设且的最小正周期为,求在的最大值;试题解析：1∵ ∴∴ 又∵0＜x ＜ ∴A=2．==++=+== sin x+∵ = ∴=2 ∴=sin2x+∵ ∴2x+, ∴时．33.已知函数fx=sinxcosx++1．1求函数fx 的单调递减区间；2在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边fC=,b=4,•=12,求c．解答解：1fx=sinx cosx﹣sinx+1=sin2x﹣+1=sin2x++．令≤2x+≤,解得≤x≤．∴函数fx的单调递减区间是,,k∈Z．2∵fC=sin2C++=,∴sin2C+=1,∴C=．∵•=abcosA=2a=12,∴a=2．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4．∴c=2．34.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2﹣b2=ac,且b=c．1求角A的大小；2设函数fx=1+cos2x+B﹣cos2x,求函数fx的单调递增区间．解答解：1在△ABC中,因为,所以．…在△ABC中,因为,由正弦定理可得,所以,,,故…2由1得===…,得即函数fx 的单调递增区间为…35.ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知46cos ,a .55A == 1当3B π=时,求b 的值；2设B x =02x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭,求函数()22x f x b =+的值域.36.已知函数fx=sinxsinx+cosx ．1求fx 的最小正周期和最大值；2在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f =1,a=2,求三角形ABC面积的最大值． 解答解：1fx=sin 2x+sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=sin2x ﹣．∴fx的最小正周期T==π,fx的最大值是．2∵f=sinA﹣+=1,∴sinA﹣=,∴A=．∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴12=b2+c2﹣bc,∴b2+c2=12+bc≥2bc,∴bc≤12．∴S==bc≤3．∴三角形ABC面积的最大值是3．37.已知向量=cos2x, sinx﹣,=1,,设函数fx=．Ⅰ求函数fx取得最大值时x取值的集合；Ⅱ设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,fC=﹣,求sinA的值．解答解：Ⅰ∵向量=cos2x, sinx﹣,=1,,∴函数fx==cos2x+sinx﹣2=cos2x+sin2x+cos2x﹣sinxcosx=cos2x﹣sin2x+=cos2x++故当cos2x+=1时,函数fx取得最大值,此时2x+=2kπ,解得x=kπ﹣,k∈Z,故x取值的集合为{x|x=kπ﹣,k∈Z}；Ⅱ∵A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,且cosB=,∴sinB==,又fC=cos2C++=﹣,∴cos2C+=﹣,∴2C+=,解得C=,∴sinA=sin﹣B=cosB+sinB==38..已知向量=sin2x+2,cosx,=1,2cosx,设函数fx=1求fx的最小正周期与单调递增区间；2在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,若fA=4,b=1,得面积为,求a的值．解答解：1∵向量=sin2x+2,cosx,=1,2cosx,∴函数fx=•=sin2x+2+2cos2x=sin2x+cos2x+3=2sin2x++3,∵ω=2,∴T=π,令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得到kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,则fx的最小正周期为π；单调递增区间为kπ﹣,kπ+,k∈Z；2由fA=4,得到2sin2A++3=4,即sin2A+=,∴2A+=或2A+=,解得：A=0舍去或A=,∵b=1,面积为,∴bcsinA=,即c=2,由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2=3,则a=．39..设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=．Ⅰ求B；Ⅱ若b=,设A=x,,求函数y=fx的解析式和最大值．解答解：Ⅰ∵S=acsinB,cosB=,S=a2+c2﹣b2,∴acsinB=•2accosB,∴tanB=,又B∈0,π,∴B=；Ⅱ由Ⅰ知B=,△ABC的内角和A+B+C=π,又A＞0,C＞0,得0＜A＜,由正弦定理,知a===2sinx,c==2sin﹣x,∴y=﹣1a+2c=2﹣1sinx+4sin﹣x=2sinx+2cosx=2sinx+0＜x＜,当x+=,即x=时,y取得最大值2．40.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且2a﹣ccosB﹣bcosC=0．1求∠B；2设函数fx=﹣2cos2x+B,将fx的图象向左平移后得到函数gx的图象,求函数gx的单调递增区间．解答解：1由2a﹣ccosB﹣bcosC=0及正弦定理得,2sinA﹣sinCcosB﹣sinBcosC=0,即2sinAcosB﹣sinB+C=0,因为A+B+C=π,所以sinB+C=sinA,因为sinA≠0,所以cosB=,由B是三角形内角得,B=,2由1得,B=,则fx=﹣2cos2x+B=﹣2cos2x+,所以gx=﹣2cos2x++,=﹣2cos2x+=2sin2x,由得,故函数gx的单调递增区间是：．41..已知函数 fx=sin2x﹣cos2x﹣,x∈R．1求函数fx的最小正周期和单调递减区间；2设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=,fC=0．若sinB=2sinA,求a,b的值．解答解：1∵fx=sin2x﹣cos2x﹣,x∈R．=sin2x﹣﹣=sin2x﹣﹣1∴T==π∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z可解得：x∈kπ,kπ+ ,k∈Z∴fx单调递减区间是：kπ,kπ+,k∈Z2fC=sin2C﹣﹣1=0,则sin2C﹣=1∵0＜C＜π,∴C=∵sinB=2sinA,∴由正弦定理可得b=2a①∵c=,∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab=3②由①②可得a=1,b=2．42..在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,1求角B的值；2设A=θ,求函数的取值范围．解：1∵由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinB+C=sinAcosB,∴cosB= ,∴B=．…2锐角△ABC中,A+B=,∴θ∈,,…=1﹣cos+2θ﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=sin2θ﹣cos2θ+1=2sin2θ﹣+1．…9分∵θ∈,,∴2θ﹣∈,,∴2＜2sin2θ﹣+1≤3．所以：函数fθ的取值范围是2,3．…12分。

三角函数解三角形题型归类一知识归纳：（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ．(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．（2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0) 4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念1．三角函数诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋α(k ∈Z)的本质奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)．2．两角和与差的三角函数公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形 在△ABC 中，a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R (其中R 是外接圆的半径)；a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.b 2＝ ； cos B ＝ ；c 2＝ . cos C ＝ .3.三角形面积公式:S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .2．整体法：求y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx ＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x (或cos x )看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (2016年 全国卷1)4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（A （B （C ）2 （D ）3 6.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （A ）2sin(2)4y x π=+ （B ）2sin(2)3y x π=+（C ）2sin(2)4y x π=-（D ）2sin(2)3y x π=-14.已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=————————————． (2015年 全国卷1)8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.(2014年 全国卷1) 2.若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A .①②③ B. ①③④ C . ②④D. ①③16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .(2013年 全国卷1)9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）10．已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b = （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）516．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.(2012年 全国卷1)9.已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π417.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，sin sin c C c A =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆b ，c .三、题型归纳题型一、三角函数定义的应用1.若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33 B.33C.－ 3D. 3变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4题型二、三角函数值的符号2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4变式2.设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43 题型三、同角三角函数关系式的应用3.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.454.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1 题型四 诱导公式的应用5．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________. (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______变式4.已知角α终边上一点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为 题型五、三角函数的图形变换6.（1）要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位（2）某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．变式5.已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．题型六、三角函数的性质问题7.（1）函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为________.（2）已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z（3）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( ) A.关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称D.关于直线x ＝π12对称（4）当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( ) A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 变式6.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．题型七、最值与值域问题8.已知函数2()(sinx cosx)cos 2f x x =++。

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题08解三角形与三角函数题型综合训练1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.二倍角的正弦、余弦、正切公式①αααcos sin 22sin =②ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩③ααα2tan 1tan 22tan -=.6.辅助角公式22sin cos sin()a x b x a b x ϕ±=+±，（其中tan baϕ=）；一、梳理必备知识求()sin()f x A x B ωϕ=++解析式,A B 求法方法一：代数法maxmin()()A B f x A B f x +=⎧⎨-+=⎩方法二：读图法B 表示平衡位置；A 表示振幅ω求法方法一：图中读出周期T ，利用2T πω=求解；方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.ϕ求法方法一：将最高（低）点代入()sin()f x A x B ωϕ=++求解；方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入()sin()f x A x B ωϕ=++求解；但需注意根据具体题意取舍答案.7.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）8.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC=③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S = 9.基本不等式（最值问题优先用基本不等式）2a bab +≤②222a b ab+≥10.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。