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高考数学专题讲座 第7讲 三角函数的综合应用一、考纲要求1．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明； 3．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角；4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．二、基础过关 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（ ）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（ ）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ ）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是（ ）．A ．21 B ．2- C ．34 D ．21或2- 5．给出四个命题：（1）若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； （2）若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形． 以上正确命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．8．下列命题正确的有 ． （1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）；（2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限； （3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；（4）2sin θ=53，2cos θ=54-，则θ在第三、四象限．三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2．（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．四、 热身演练 1．已知，那么下列命题成立的是（ ）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（ ）．3．函数的反函数是（ ）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（ ）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（ ）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（ ）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号） ． ①函数ｙ＝-sin(kπ+x)(k∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点(π/12，0)对称；③函数y =sin(2x+π/3)+sin(2x -π/3)的最小正周期是π；④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．9．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β． （1）求α的取值范围； （2）求tan(α+β)的值．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．三角函数的综合应用一、考纲要求：1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 2． 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 3． 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示角．4．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题． 二、基础过关： 1．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（ A ）．A ．tan αtan β<1B ．sin α+sin β<2C ．cos α+cos β>1D ．21tan(α+β)<tan 2βα+ 2．在△ABC 中，∠A=60°，b =1，△ABC 面积为3，则CB B cb a sin sin sin ++++的值为（ B ）．A ．8138 B ．3932C ．3326D ．72 3．)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则（ D ）． A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数4．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是（ B ）．A ．21B ．2-C ．34D ．21或2- 5．给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是（ B ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ C ）．A ．3πB ．π34C ．π23D ．π677．︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2= ．28．下列命题正确的有 ．(2)（1）若－2π＜α＜β＜2π，则βα-范围为（－π，π）； （2）若α在第一象限，则2α在第一、三象限；（3）若θsin =53+-m m ，524cos +-=m mθ，则m ∈（3，9）；βφαDCBA1.2 m2 m 1 m （4）2sinθ=53，2cosθ=54-，则θ在第三、四象限． 三、典型例题例1 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤- 对一切实数x 均成立，求实数m 的范围．解：由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≥-4sin cos 4721sin 2x m xm x m ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+-≥+-xm x x m m sin 443sin sin 212恒成立对R x ∈，又 21)21(sin 43sin 2sin 2---=-+-x x x ，∴3sin 4≥+x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-32121m m m ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+32121m m m ， ∴21-=m ，或323≤<m例2 化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面2.1米）解：如图，8.02.12=-=CD ，设x AD =，则x x AD BD 8.18.01tan =+==α， xAD CD 8.1tan ==β， βαβαβαφtan tan 1tan tan )tan(tan +-=-= ，∴4.2144.12144.118.08.118.08.1tan =⋅≤+=⋅+-=xx x x x x x x φ当xx 44.1=，即2.1=x 时， φtan 达到最大值4.21，φ是锐角，φtan 最大时，φ也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为2.1=AD 米．例3 已知向量a →=（2，2），向量b →与向量a →的夹角为43π，且a →·b →=－2，（1）求向量b →；（2）若t →=(1,0),且b →⊥t →，c →=（cosA,22cos 2C ），其中A ，C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b →+c →|的取值范围．解：（1）设b →=（x,y ），则2x+2y=－2，且a →·b →=|b →||c →|cos 43π=22y x +×22×(－22)=－2，解得⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧-==1y x , ∴b →=(－1,0) 或b →=(0,－1)．（2）∵三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴b=3π，∵b →⊥t →，∴b →=(0,－1)，∴b →+c →=( cosA,22cos 2C －1)=(cosA,cosC)，∴|b →+c →|2=C A 22cos cos +=1+21(cos2A+cos2C)=1+cos(A+C)cos(A －C)=1－21cos(A －C)，∴－32π<A －C<32π ,∴－21<cos(A －C)≤1,22≤|b →+c →|<25．例4 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos2CA -， f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+)． （1）试求函数f (x )的解析式及其定义域； （2）判断其单调性，并加以证明； （3）求这个函数的值域． 解：（1）∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(C A C A CA C A C A C A x f -++-+=⋅+⋅= 342122122-=-+-=x xx x ， ∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]．又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1)． （2）设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0． 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0．即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数．（3）由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2．故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞)． 四、热身演练： 1．已知，那么下列命题成立的是（ B ）．A ．若α,β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α,β是第二象限角，则βαtan tan >C ．若α,β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α,β是第四象限角，则βαtan tan > 2．函数的部分图象是（ D ）．AB C D3．函数的反函数是（ A ）．A ．)20)(1arccos(≤≤--=x x yB ．)20)(1arccos(≤≤--=x x y πC ．)20)(1arccos(≤≤-=x x yD ．)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π4．任意实数x,不等式 ),,(0cos sin R c b a c x b x a ∈>++都成立的充要条件是（ C ）．A ．00>==c b a 且B ．c b a =+22C ．c b a <+22D ．c b a >+225．若1cos sin =+θθ，则对任意的实数n ，θθnncos sin +的取值范围是（ D ）．A ．1B ．（0，1）C ．121-n D ．无法确定6．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且f （x ）在[-3，-2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两内角，则（ A ）．A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(cos )(sin βαf f <C ．)(sin )(sin βαf f >D ．)(cos )(cos βαf f <7.下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号） ．①②③④ ①函数ｙ＝-sin(k π+x)(k ∈Z)是奇函数； ②函数y=2sin(2x+π/3)关于点 (π/12，0)对称；③函数y=sin(2x+π/3)+sin(2x-π/3)的最小正周期是π； ④ΔABC 中cosA>cosB 的充要条件是A<B ； 8．在△ABC 中，sinA+cosA=137,则AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5-+= ．4389．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ， RR h R k I Rk R k I R k R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得 10．设关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β． （1）求α的取值范围； （2）求tan(α+β)的值． 解：（1）∵sinx+3cosx=2(21sinx+23cosx)=2 sin(x+3π),∴方程化为sin(x+3π)=-2a ．∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解，∴sin(x+3π)≠sin 3π=23． 又sin(x+3π)≠±1 (∵当等于23和±1时仅有一解)，∴|-2a |<1，且-2a≠23， 即|a|<2，且a ≠-3.，∴a 的取值范围是(-2, -3)∪(-3, 2)．（2） ∵α、 β是方程的相异解,∴sin α+3cos α+a=0 ① sin β+3cos β+a=0 ②①-②得(sin α- sin β)+3( cos α- cos β)=0， ∴ 2sin 2βα-cos2βα+-23sin 2βα+，sin2βα-=0，又sin2βα+≠0，∴tan2βα+=33， ∴tan(α+β)=2tan 22tan22βαβα+-+=3．11．求20sin 6420cos 120sin 3222+-的值．解：原式=20cos 20sin 20sin 20cos 32222-+64sin 220°=40sin 41)20sin 20cos 3)(20sin 20cos 3(2+-+64sin 220°=40sin 41)2030cos()2030cos(42-++64sin 220°=40sin 80sin 40sin 162+64sin 220°=32cos40°+64(240cos 1-)=32．12．设α、β、γ是锐角，且tan 2α=2tan 3γ，tan β=21tan γ求证:α、β、γ成等差数列．解：要证α、β、γ成等差数列，∵α、β、γ是锐角，只要证：tan β=tan 2γα+．∵tan 2γα+=2tan2tan12tan2tanγαγα-+=2tan2tan12tan 2tan 33γγγγ-+=)2tan 1)(2tan 1()2tan 1(2tan222γγγγ+-+=212tan 12tan22γγ-=21tan γ= tan β．∴α、β、γ成等差数列．。
第四课：解三角形与三角函数综合应用第一部分：知识点1.三角形中的边角关系:三角形中大边对大角，小边对小角；三角形中任意两边之和大小第三边；2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===，其中R 是△ABC 外接圆半径. 3.余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-余弦定理变形: 222222222cos ,cos ,cos ,222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===4.三角形的面积公式有:11,sin ,22S ah S ab C S === 其中，h 是BC 边上高，P 是半周长.5.利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形(1)已知两角及一边，求其它边角；已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理.(2)已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.第二部分：练习题1. 在中，，，，求tan A 的值和的面积.2.在△ABC 中,已知3=a ,b =2,B =45°,求A 、C 及c .3.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知a 、b 、c 成等比数列，且22a c ac bc -=-， 求∠A 的大小及c B b sin 的值。
4已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c5在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A6在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2274sin cos 22B C A +-=. (1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.7.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若cos 2A a ==，求ABC ∆的面积. 8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.（Ⅰ）若b =3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.9.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，tan tan tan A B A B +=,,2=a c =（Ⅰ）求tan()A B +的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.10. 在中，已知1230,cos ,13ABC S A ∆==求(1)AB AC u u u r u u u r g ，(2)若1c b -=，求a 。
1.已知函数fx=sinωx﹣2sin2+mω＞0的最小正周期为3π,当x∈0,π时,函数fx 的最小值为0．1求函数fx的表达式；2在△ABC中,若fC=1,且2sin2B=cosB+cosA﹣C,求sinA的值．解：Ⅰ．依题意：函数．所以．,所以fx的最小值为m．依题意,m=0．．Ⅱ∵,∴．．在Rt△ABC中,∵,∴．∵0＜sinA＜1,∴．2.已知函数其中ω＞0,若fx的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．I求y=fx的单调递增区间；Ⅱ在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足2b﹣acosC=c•cosA,则fB恰是fx的最大值,试判断△ABC的形状．解答解：Ⅰ∵,=,∵fx的对称轴离最近的对称中心的距离为,∴T=π,∴,∴ω=1,∴．∵得：,∴函数fx单调增区间为；Ⅱ∵2b﹣acosC=c•cosA,由正弦定理,得2sinB﹣sinAcosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sinA+C,∵sinA+C=sinπ﹣B=sinB＞0,2sinBcosC=sinB,∴sinB2cosC﹣1=0,∴,∵0＜C＜π,∴,∴,∴．∴,根据正弦函数的图象可以看出,fB无最小值,有最大值y max=1,此时,即,∴,∴△ABC为等边三角形．3.已知函数fx=sinωx+cosωx++cosωx﹣﹣1ω＞0,x∈R,且函数的最小正周期为π：1求函数fx的解析式；2在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若fB=0,•=,且a+c=4,试求b的值．解答解：1fx=sinωx+cosωx++cosωx﹣﹣1==．∵T=,∴ω=2．则fx=2sin2x﹣1；2由fB==0,得．∴或,k∈Z．∵B是三角形内角,∴B=．而=ac•cosB=,∴ac=3．又a+c=4,∴a2+c2=a+c2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．4.已知函数．1求fx单调递增区间；2△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足,求fA的取值范围．解答解：1fx=﹣+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣,令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,得到﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 则fx的增区间为﹣+kπ, +kπk∈Z；2由余弦定理得：cosA=,即b2+c2﹣a2=2bccosA,代入已知不等式得：2bccosA＞bc,即cosA＞,∵A为△ABC内角,∴0＜A＜,∵fA=sin2A﹣,且﹣＜2A﹣＜,∴﹣＜fA＜,则fA的范围为﹣,．5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsinAcosC+csinAcosB=a．1求角A的大小；2设函数fx=tanAsinωxcosωx﹣cos2ωxω＞0,其图象上相邻两条对称轴间的距离为,将函数y=fx的图象向左平移个单位,得到函数y=gx图象,求函数gx在区间﹣,上值域．解：1∵bsinAcosC+csinAcosB=a,∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA,∵A为锐角,sinA≠0,∴sinBcosC+sinCcosB=,可得：sinB+C=sinA=,∴A=．2∵A=,可得：tanA=,∴fx=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣,∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得：T=2×=,解得：ω=1,∴fx=sin2x﹣,∴将函数y=fx的图象向左平移个单位,得到图象对应的函数解析式为y=gx=sin2x+﹣=sin2x+,∵x∈﹣,,可得：2x+∈,,∴gx=sin2x+∈,1．6.已知向量,向量,函数．Ⅰ求fx单调递减区间；Ⅱ已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,,c=4,且fA恰是fx 在上的最大值,求A,b,和△ABC的面积S．解：Ⅰ∵=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin2x﹣+2,…∴, 所以：fx的单调递减区间为：．…Ⅱ 由1知：,∵时,,由正弦函数图象可知,当时fx 取得最大值3,…7分∴,…8分由余弦定理,a 2=b 2+c 2﹣2bccosA,得：,∴b=2,…10分∴．…12分7.已知函数.Ⅰ作出在一个周期内的图象；Ⅱ分别是中角的对边,若,求的面积.()cos sin 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x a b c ，，ABC △ A B C ，，() 1a f A b ===，，ABC △利用“五点法”列表如下：……………………………………………………4分 画出在上的图象,如图所示：Ⅱ由Ⅰ,在中,,所以.由正弦定理可知,,所以,………………9分又,∴,∴,∴. 因此.…………………………12分 ()f x 5 33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()sin 3f A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ABC △0A π<<3A π=sin sin a b A B =1sin sin 3B =1sin 2B =203B π<<6B π=2C π=11122S ab ==ABC △8.已知函数fx=m+2cos2x•cos2x+θ为奇函数,且f=0,其中m∈R,θ∈0,πⅠ求函数fx的图象的对称中心和单调递增区间Ⅱ在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f+=﹣,c=1,ab=2,求△ABC的周长．解答解：Ⅰf=﹣m+1sinθ=0,∵θ∈0,π．∴sinθ≠0,∴m+1=0,即m=﹣1,∵fx为奇函数,∴f0=m+2cosθ=0,∴cosθ=0,θ=．故fx=﹣1+2cos2xcos2x+=cos2x•﹣sin2x=﹣sin4x,由4x=kπ,k∈Z得：x=kπ,k∈Z,故函数fx的图象的对称中心坐标为：kπ,0,k∈Z,由4x∈+2kπ, +2kπ,k∈Z得：x∈+kπ, +kπ,k ∈Z,即函数fx的单调递增区间为+kπ, +kπ,k∈Z,Ⅱ∵f+=﹣sin2C+﹣,C为三角形内角,故C=,∴c2=a2+b2﹣2abcosC==,∵c=1,ab=2,∴a+b=2+,∴a+b+c=3+,即△ABC的周长为3+．9.已知向量=sin,1,=cos,cos2,记fx=•．Ⅰ若fx=1,求cosx+的值；Ⅱ在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2a﹣ccosB=bcosC,求f2A的取值范围．解答解：Ⅰ向量=sin,1,=cos,cos2,记fx=•=sincos+cos2=sin+cos+=sin+,因为fx=1,所以sin=,所以cosx+=1﹣2sin2=,Ⅱ因为2a﹣ccosB=bcosC,由正弦定理得2sinA﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sinB+C=sinA,sinA≠0,所以cosB=,又0＜B＜,所以B=,则A+C=,即A=﹣C,又0＜C＜,则＜A＜,得＜A+＜,所以＜sinA+≤1,又f2A=sinA+,所以f2A的取值范围．10.已知向量,函数fx=．1求函数fx的最小正周期及在上的值域；2在△ABC中,若fA=4,b=4,△ABC的面积为,求a的值．解答解：1向量,函数fx==2+sin2x+2cos2x=3+sin2x+cos2x=3+2sin2x+,可得函数fx的最小正周期为=π,x∈,即有2x+∈﹣,,可得sin2x+∈﹣,1,则在上的值域为2,5；2在△ABC中,若fA=4,b=4,△ABC的面积为,可得3+2sin2A+=4,即sin2A+=,由0＜A＜π,可得＜2A+＜,可得2A+=,即A=,由=bcsinA=•4c•sin=c,解得c=1,则a2=b2+c2﹣2bccosA=16+1﹣8×=13,即a=．11.已知函数fx=2sinx+•cosx．1若0≤x≤,求函数fx的值域；2设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且fA=,b=2,c=3,求cosA﹣B的值．解答解：1fx=2sinx+•cosx=sinx+cosx•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin2x++；…由得,,∴,…∴,即函数fx的值域为；…2由,得,又由,∴,∴,解得；…在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7,解得；…由正弦定理,得,…∵b＜a,∴B＜A,∴,∴cosA﹣B=cosAcosB+sinAsinB=．…12..已知向量x ∈R,设函数fx=﹣1．1求函数fx 的单调增区间；2已知锐角△ABC 的三个内角分别为A,B,C,若fA=2,B=,边AB=3,求边BC ．解答解：由已知得到函数fx=﹣1=2cos 2x+2sinxcosx ﹣1=cos2x+sin2x=2cos2x ﹣；所以1函数fx 的单调增区间是2x ﹣∈2kπ﹣π,2kπ,即x ∈kπ﹣,kπ+,k ∈Z ；已升级到最新版2已知锐角△ABC 的三个内角分别为A,B,C,fA=2,则2cos2A ﹣=2,所以A=,又B=,边AB=3,所以由正弦定理得,即,解得BC=．13.. 1求函数的单调递减区间；2在中,角的对边分别为,若,的面积为,求a 的最小值.2()sin 2f x x x =+()f x ABC ∆,,A B C ,,a b c ()12A f =ABC∆试题解析:1, 令,解得,,∴的单调递减区间为. 14.已知fx=•,其中=2cosx,﹣sin2x,=cosx,1,x ∈R ．1求fx 的单调递减区间；2在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,fA=﹣1,a=,且向量=解答解：1由题意知．3分∵y=cosx 在a 2上单调递减,∴令,得∴fx 的单调递减区间,6分2∵,∴,又,∴,即,8分∵,由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=b+c 2﹣3bc=7.10分因为向量与共线,所以2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c ．∴b=3,c=2.12 分．111()cos 22sin(2)2262f x x x x π=-=-+3222262k x k πππππ+≤-≤+536k x k ππππ+≤≤+k Z ∈()f x 5[,]36k k ππππ++k Z ∈15.已知函数fx=2sinx+•cosx．1若0≤x≤,求函数fx的值域；2设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且fA=,b=2,c=3,求cosA ﹣B的值．解答解：1fx=2sinx+•cosx=sinx+cosx•cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin2x++；…由得,,∴,…∴,即函数fx的值域为；…2由,得,又由,∴,∴,解得；…在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=7,解得；…由正弦定理,得,…∵b＜a,∴B＜A,∴,∴cosA﹣B=cosAcosB+sinAsinB=．…16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,fx=2sinx﹣Acosx+sinB+Cx∈R,函数fx的图象关于点,0对称．Ⅰ当x∈0,时,求fx的值域；Ⅱ若a=7且sinB+sinC=,求△ABC的面积．解答解：Ⅰfx=2sinx﹣Acosx+sinB+C=2sinxcosA﹣cosxsinAcosx+sinA=2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin2x﹣A,由于函数fx的图象关于点,0对称,则f=0,即有sin﹣A=0,由0＜A＜π,则A=,则fx=sin2x﹣,由于x∈0,,则2x﹣∈﹣,,即有﹣＜sin2x﹣≤1．则值域为﹣,1；Ⅱ由正弦定理可得===, 则sinB=b,sinC=c,sinB+sinC=b+c=,即b+c=13,由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA,即49=b2+c2﹣bc=b+c2﹣3bc,即有bc=40,则△ABC的面积为S=bcsinA=×40×=10．17.已知函数fx=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．1当x∈0,时,求fx的值域；2若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=,=2+2cosA+C,求fB的值．解答解：1∵fx=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3﹣+3=sin2x﹣cos2x+1=2sin2x++1,∵x∈0,,∴2x+∈,,∴sin2x+∈,1,∴fx=2sin2x++1∈0,3；2∵=2+2cosA+C,∴sin2A+C=2sinA+2sinAcosA+C,∴sinAcosA+C+cosAsinA+C=2sinA+2sinAcosA+C,∴﹣sinAcosA+C+cosAsinA+C=2sinA,即sinC=2sinA,由正弦定理可得c=2a,又由=可得b=a,由余弦定理可得cosA=== ,∴A=30°,由正弦定理可得sinC=2sinA=1,C=90°,由三角形的内角和可得B=60°,∴fB=f60°=218.设函数fx=cos2x﹣+2cos2x．1求fx的最大值,并写出使fx取得最大值时x的集合；2求fx的单调递增区间；3已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fB+C=,b+c=2,求a的最小值．解答解：1由三角函数公式化简可得fx=cos2x﹣+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos2x﹣sin2x+1=cos2x++1,当2x+=2kπ即x=kπ﹣k∈Z时,fx取得最大值2,此时x的集合为{x|x=kπ﹣,k∈Z}；2由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+,∴fx的单调递增区间为得kπ+,kπ+,k∈Z；3由2可得fB+C=cos2B+2C++1=,∴cos2B+2C+=,由角的范围可得2B+2C+=,变形可得B+C=,A=, 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=b+c2﹣3bc=4﹣3bc≥4﹣32=1当且仅当b=c=1时取等号,故a的最小值为119.已知函数,x∈R．1求函数fx的最大值和最小正周期；2设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别a,b,c,且c=3,fC=0,若sinA+C=2sinA,求a,b 的值．解答解：1 (3)∵,∴,∴fx 的最大值为0,最小正周期是…6分2由,可得∵0＜C ＜π,∴0＜2C ＜2π,∴∴,∴∵sinA+C=2sinA,∴由正弦定理得①…9分由余弦定理得∵c=3∴9=a 2+b 2﹣ab②由①②解得,…12分20..已知向量,设函数.1求在上的最值；2在中,分别是角的对边,若,,求的值.()()3sin 22,cos ,1,2cos m x x n x =+=()f x m n =⋅()f x 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC ∆,,a b c ,,A B C ()4,1f A b ==ABC ∆a；2.21.已知函数fx=sin 2x+sin2x ．1求函数fx 的单调递减区间；2在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f =,△ABC 的面积为3,求a 的最小值．解答解：1∵fx=sin 2x+sin2x=+sin2x=sin2x ﹣+,∴2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+,k ∈Z,解得：kπ+≤x ≤kπ+,k ∈Z,∴函数fx 的单调递减区间为：kπ+,kπ+,k ∈Z ．()()min max 4,5f x f x ∴==()12sin 234,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1352,2666663AA A ππππππ⎛⎫+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭1sin 2ABC S bc A ∆==2c ∴=2222cos 3a b c bc A a ∴=+-=∴=2∵f=,即： sin2×﹣+=,化简可得：sinA﹣=,又∵A∈0,π,可得：A﹣∈﹣,,∴A﹣=,解得：A=,∵S△ABC=bcsinA=bc=3,解得：bc=12,∴a==≥=2．当且仅当b=c时等号成立．故a的最小值为2．22.已知函数fx=2sinxcosx+2,x∈R．1求函数fx的最小正周期和单调递增区间；2在锐角三角形ABC中,若fA=1,,求△ABC的面积．解答解：1fx=2sinxcosx+=sin2x+=2sin2x+,∴函数fx的最小正周期为π,由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得,∴函数fx的单调增区间是k,k k∈Z,2由已知,fA=2sin2A+=1,∴sin2A+=,∵0＜A＜,∴,∴2A+=,从而A=,又∵=,∴,∴△ABC的面积S===．23.已知向量=sinx,﹣1,向量=cosx,﹣,函数fx=+•．1求fx的最小正周期T；2已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2,c=4,且fA恰是fx在0,上的最大值,求A和b．解答解：1∵向量=sinx,﹣1,向量=cosx,﹣,∴fx=+•=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+= sin2x﹣cos2x+2=sin2x﹣+2,∵ω=2,∴函数fx的最小正周期T==π；2由1知：fx=sin2x﹣+2,∵x∈0,,∴﹣≤2x﹣≤,∴当2x﹣=时,fx取得最大值3,此时x=,∴由fA=3得：A=, 由余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴12=b2+16﹣4b,即b﹣22=0,∴b=2．24.在中,分别是角的对边,且满足. 1求角的大小；2设函数,求函数在区间上的值域.25.已知函数在处取最小值.ABC ∆c b a ,,C B A ,,CBc b a cos cos 2=-C 23sin sin 2cos cos sin 2)(2-+=C x C x x x f )(x f ]2,0[π2()2sin coscos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<x π=1求的值；2在中,分别为内角的对边,已知求角.试题分析：1利用三角恒等变换公式化简函数解析式得,由在处取最小值及查求得；2由可得,再由正弦定理求出,从而求出角的值,即可求角.2因为,所以,因为角为的内角,所以. 又因为所以由正弦定理,得, 也就是, 因为,所以或. 当时,； 当时,. 26.已知函数的最小正周期为.ϕABC∆,,a b c ,,A B C 1,()a b f A ===C ()sin()f x x ϕ=+x π=0ϕπ<<2πϕ=()f A =6A π=sin B B C ()2f A =cos 2A =A ABC ∆6A π=1,a b ==sin sin a bA B=sin 1sin 22b A B a ===b a >4B π=34B π=4B π=76412C ππππ=--=34B π=36412C ππππ=--=2()2sin(0)2xf x x ωωω=->3π1求函数在区间上的最大值和最小值； 2已知分别为锐角三角形中角的对边,且满足,,求的面积.答案及解析：26.1,；2.试题分析：1利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得,由周期为,可求的值,由三角函数性质可求函数的最值.2及正弦定理可求得,从而是求出解的值,由可求出角及角,由正弦定理求出边,即可求三角形面积.27.已知函数．Ⅰ求函数fx 的单调递增区间；Ⅱ在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知,a=2,,求△ABC 的面积．解答解：Ⅰ =sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin2x+．令 2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k ∈z,求得 kπ﹣≤x ≤kπ+,()f x 3[,]4ππ-,,a b c ABC ,,A B C 2,()1b f A ==2sin b A =ABC ∆min ()1f x =max ()1f x =33+()2sin()16f x x πω=+-3πω2sin b A =sin B =B ()1f A =4A π=51246C πππ==+a函数fx的单调递增区间为kπ﹣,kπ+,k∈z．Ⅱ由已知,可得 sin2A+=,因为A为△ABC内角,由题意知0＜A＜π,所以＜2A+＜,因此,2A+=,解得A=．由正弦定理,得b=,…由A=,由B=,可得 sinC=,…∴S=ab•sinC==．28.已知函数fx=Asinωx+φA＞0,ω＞0,|φ|＜,x∈R,且函数fx的最大值为2,最小正周期为,并且函数fx的图象过点,0．1求函数fx解析式；2设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f=2,c=,求a+2b的取值范围．解答解：1根据题意得：A=2,ω=4,即fx=2sin4x+φ,把,0代入得：2sin+φ=0,即sin+φ=0,∴+φ=0,即φ=﹣,则fx=2sin4x﹣；2由f=2sinC﹣=2,即sinC﹣=1,∴C﹣=,即C=,由正弦定理得： ==2R,即=2R=1,∴a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin﹣A=sinA+2sin cosA﹣2cossinA=sinA+cosA﹣sinA=cosA,∵＜cosA＜1,即＜cosA＜,∴a+2b的范围为,．29.已知函数fx=2cos2x+cos2x+．1若fα=+1,0＜a＜,求sin2α的值；2在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边；若fA=﹣,c=3,△ABC的面积S△ABC=3,求a的值．解答解：1化简可得fx=2cos2x+cos2x+=1+cos2x+cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=cos2x++1,∴fα=cos2α++1=+1,∴cos2α+=,∵0＜α＜,∴0＜2α+＜,∴sin2α+==,∴2∵fx=cos2x++1,∴fA=cos2A++1=﹣,∴cos2A+=﹣,又∵A∈0,,∴2A+∈,,∴2A+=,解得A=又∵c=3,S △ABC =bcsinA=3,∴b=4由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=13, ∴a=30.已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f 0>ω,R ∈x ,且函数)(x f 的最小正周期为π．1求函数)(x f 的解析式；2在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若0)(=B f ,23=⋅BC BA ,且4=+c a ,求b 的值．参考答案1, ……………3分 又,所以,, ………………………………………………5分所以,． …………………………………………………6分π()cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭πT =2=ωπ()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2,故, 所以,或, 因为是三角形内角,所以．……9分 而,所以,, …………………………11分 又,所以,,所以,,所以,． …………………………………14分31.已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x π=--∈+R .Ⅰ求()f x 的单调递增区间；Ⅱ在△ABC 中,三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知()12f A =,且△ABC 外求a 的值. 试题解析：Ⅰ∵x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π ………………2分x x 2cos 212sin 23+==)62sin(π+x ………………3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ 得,∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ 5分π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ22π66B k +=+π5π22π66B k +=+Z ∈k B π3B =3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=3=ac 4=+c a 1022=+c a 7cos 2222=-+=B ac c a b 7=a∴)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ (7)Ⅱ∵21)62sin()(=+=πA A f ,π<<A 0,62626ππππ+<+<A于是6562ππ=+A ∴ 3π=A ∵ABC ∆外接圆的半径为由正弦定理2sin a R A =,得2sin 3a R A ===,32.在中,分别是角A,B,C 的对边,已知,且1求的大小；2设且的最小正周期为,求在的最大值;试题解析：1∵ ∴∴ 又∵0＜x ＜ ∴A=2．==++=+== sin x+∵ = ∴=2 ∴=sin2x+∵ ∴2x+, ∴时．33.已知函数fx=sinxcosx++1．1求函数fx 的单调递减区间；2在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边fC=,b=4,•=12,求c．解答解：1fx=sinx cosx﹣sinx+1=sin2x﹣+1=sin2x++．令≤2x+≤,解得≤x≤．∴函数fx的单调递减区间是,,k∈Z．2∵fC=sin2C++=,∴sin2C+=1,∴C=．∵•=abcosA=2a=12,∴a=2．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=12+16﹣24=4．∴c=2．34.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2﹣b2=ac,且b=c．1求角A的大小；2设函数fx=1+cos2x+B﹣cos2x,求函数fx的单调递增区间．解答解：1在△ABC中,因为,所以．…在△ABC中,因为,由正弦定理可得,所以,,,故…2由1得===…,得即函数fx 的单调递增区间为…35.ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知46cos ,a .55A == 1当3B π=时,求b 的值；2设B x =02x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭,求函数()22x f x b =+的值域.36.已知函数fx=sinxsinx+cosx ．1求fx 的最小正周期和最大值；2在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若f =1,a=2,求三角形ABC面积的最大值． 解答解：1fx=sin 2x+sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=sin2x ﹣．∴fx的最小正周期T==π,fx的最大值是．2∵f=sinA﹣+=1,∴sinA﹣=,∴A=．∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴12=b2+c2﹣bc,∴b2+c2=12+bc≥2bc,∴bc≤12．∴S==bc≤3．∴三角形ABC面积的最大值是3．37.已知向量=cos2x, sinx﹣,=1,,设函数fx=．Ⅰ求函数fx取得最大值时x取值的集合；Ⅱ设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,fC=﹣,求sinA的值．解答解：Ⅰ∵向量=cos2x, sinx﹣,=1,,∴函数fx==cos2x+sinx﹣2=cos2x+sin2x+cos2x﹣sinxcosx=cos2x﹣sin2x+=cos2x++故当cos2x+=1时,函数fx取得最大值,此时2x+=2kπ,解得x=kπ﹣,k∈Z,故x取值的集合为{x|x=kπ﹣,k∈Z}；Ⅱ∵A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,且cosB=,∴sinB==,又fC=cos2C++=﹣,∴cos2C+=﹣,∴2C+=,解得C=,∴sinA=sin﹣B=cosB+sinB==38..已知向量=sin2x+2,cosx,=1,2cosx,设函数fx=1求fx的最小正周期与单调递增区间；2在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,若fA=4,b=1,得面积为,求a的值．解答解：1∵向量=sin2x+2,cosx,=1,2cosx,∴函数fx=•=sin2x+2+2cos2x=sin2x+cos2x+3=2sin2x++3,∵ω=2,∴T=π,令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得到kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,则fx的最小正周期为π；单调递增区间为kπ﹣,kπ+,k∈Z；2由fA=4,得到2sin2A++3=4,即sin2A+=,∴2A+=或2A+=,解得：A=0舍去或A=,∵b=1,面积为,∴bcsinA=,即c=2,由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2=3,则a=．39..设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,设S为△ABC的面积,满足S=．Ⅰ求B；Ⅱ若b=,设A=x,,求函数y=fx的解析式和最大值．解答解：Ⅰ∵S=acsinB,cosB=,S=a2+c2﹣b2,∴acsinB=•2accosB,∴tanB=,又B∈0,π,∴B=；Ⅱ由Ⅰ知B=,△ABC的内角和A+B+C=π,又A＞0,C＞0,得0＜A＜,由正弦定理,知a===2sinx,c==2sin﹣x,∴y=﹣1a+2c=2﹣1sinx+4sin﹣x=2sinx+2cosx=2sinx+0＜x＜,当x+=,即x=时,y取得最大值2．40.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且2a﹣ccosB﹣bcosC=0．1求∠B；2设函数fx=﹣2cos2x+B,将fx的图象向左平移后得到函数gx的图象,求函数gx的单调递增区间．解答解：1由2a﹣ccosB﹣bcosC=0及正弦定理得,2sinA﹣sinCcosB﹣sinBcosC=0,即2sinAcosB﹣sinB+C=0,因为A+B+C=π,所以sinB+C=sinA,因为sinA≠0,所以cosB=,由B是三角形内角得,B=,2由1得,B=,则fx=﹣2cos2x+B=﹣2cos2x+,所以gx=﹣2cos2x++,=﹣2cos2x+=2sin2x,由得,故函数gx的单调递增区间是：．41..已知函数 fx=sin2x﹣cos2x﹣,x∈R．1求函数fx的最小正周期和单调递减区间；2设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=,fC=0．若sinB=2sinA,求a,b的值．解答解：1∵fx=sin2x﹣cos2x﹣,x∈R．=sin2x﹣﹣=sin2x﹣﹣1∴T==π∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z可解得：x∈kπ,kπ+ ,k∈Z∴fx单调递减区间是：kπ,kπ+,k∈Z2fC=sin2C﹣﹣1=0,则sin2C﹣=1∵0＜C＜π,∴C=∵sinB=2sinA,∴由正弦定理可得b=2a①∵c=,∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab=3②由①②可得a=1,b=2．42..在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,1求角B的值；2设A=θ,求函数的取值范围．解：1∵由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinB+C=sinAcosB,∴cosB= ,∴B=．…2锐角△ABC中,A+B=,∴θ∈,,…=1﹣cos+2θ﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=sin2θ﹣cos2θ+1=2sin2θ﹣+1．…9分∵θ∈,,∴2θ﹣∈,,∴2＜2sin2θ﹣+1≤3．所以：函数fθ的取值范围是2,3．…12分。
三角函数的应用解三角形三角函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于解决各种与三角形相关的问题。
通过运用三角函数的知识，我们可以准确地计算并解决各类三角形相关的数学题。
本文将介绍三角函数的应用，并举例说明如何利用三角函数来解决三角形问题。
1. 正弦函数的应用正弦函数是三角函数中最常用的函数之一，它在解决三角形问题中具有重要作用。
我们知道，在一个任意三角形ABC中，正弦函数的定义为：sinA = 边BC/边AC，sinB = 边AC/边BC，sinC = 边AB/边AC。
根据这个定义，我们可以通过已知的边长和角度来求解未知的边长或角度。
举个例子，假设我们已知三角形ABC中的角A和边BC的长度，我们需要求解边AC和角B的值。
根据正弦函数的定义，我们可以列出以下方程：sinA = 边BC/边AC通过移项和替换公式，我们可以得到：边AC = 边BC/sinA角B = 180° - 角A - 角C通过以上公式，我们可以根据已知条件计算出边AC和角B的值，从而解决三角形问题。
2. 余弦函数的应用余弦函数也是三角函数中常用的函数之一，它在解决三角形问题中同样具有重要作用。
在一个任意三角形ABC中，余弦函数的定义为：cosA = 边BC/边AC，cosB = 边AC/边BC，cosC = 边AB/边AC。
同样地，我们可以通过已知的边长和角度来求解未知的边长或角度。
举个例子，假设我们已知三角形ABC中的角A和边AC的长度，我们需要求解边BC和角C的值。
根据余弦函数的定义，我们可以列出以下方程：cosA = 边BC/边AC通过移项和替换公式，我们可以得到：边BC = 边AC * cosA角C = 180° - 角A - 角B通过以上公式，我们可以根据已知条件计算出边BC和角C的值，从而解决三角形问题。
3. 正切函数的应用正切函数是三角函数中另一个常用的函数，它同样可以应用于解决三角形问题。
在一个任意三角形ABC中，正切函数的定义为：tanA = 边BC/边AC，tanB = 边AC/边BC，tanC = 边AB/边AC。
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值： （2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分． 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。
如何应用三角函数解决初中几何问题在初中数学的学习过程中，几何问题是一个重要的知识点。
而三角函数作为几何学的重要工具，可以帮助我们解决很多初中几何问题。
本文将介绍如何应用三角函数来解决初中几何问题，并以具体案例进行说明。
一、利用正弦定理解决三角形问题正弦定理是应用三角函数解决三角形问题的重要工具之一。
当我们遇到三角形的边长和角度的关系问题时，可以利用正弦定理来求解。
正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别是三角形的边长，A、B、C分别是三角形对应的角度。
例如，已知三角形ABC，已知角A的度数为40°，边AC的长度为10 cm，边BC的长度为8 cm，我们可以利用正弦定理来求解角B的度数。
根据正弦定理可得：10/sin40° = 8/sinB通过求解这个方程，可以得到sinB的值，再通过逆正弦函数求解出角B的大小。
二、利用余弦定理解决三角形问题余弦定理也是应用三角函数解决三角形问题的重要方法之一。
当我们已知三角形的两边和夹角的关系时，可以利用余弦定理求解未知角度或边长。
余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c分别是三角形的边长，C为两边夹角的大小。
例如，已知三角形ABC，已知边AB的长度为4 cm，边AC的长度为5 cm，角B的度数为60°，我们可以利用余弦定理来求解边BC的长度。
根据余弦定理可得：BC² = 4² + 5² - 2*4*5*cos60°通过求解这个方程，可以得到BC的长度。
三、利用正弦函数解决高度问题在解决一些高度与角度的关系问题时，可以利用正弦函数来求解。
例如，已知一个三角形ABC，已知角A的度数为30°，边AB的长度为10 m，需要求解边BC的垂直高度CD。
根据正弦函数我们可以得到 sin30° = CD / 10通过求解这个方程，可以得到CD的长度。
§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题型三利用三角函数模型求最值例3如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 3．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．4.8三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝________，A＝________.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)； (2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ (1)答案 30＋30 3解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin30°＝ABsin15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.(2)解 ①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1040m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤125043，62514(单位：m/min)范围内． 题型二 测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC ，再利用正弦定理求出时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝6(海里)．又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15(分钟)． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 思维升华 测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．题型三 利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 思维点拨 由题图可得：x ＝cos θ，y ＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围． 解 (1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ (π4<θ<π2)；(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12， 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S 最大，最大值为5－12.思维升华 三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．变式 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h . (1)求h 与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4米．由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30秒， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.答案 π2解析 ∵S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12(1－cos α)(1－sin α)＝12－12sin αcos α ＝12－14sin2α. ∴当α＝π2时，S 取到最大值．3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 答案 3或2 3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.4．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m 的水轮，水轮的圆心O 距离水面2m ．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(ω>0，A >0)，则ω＝________，A ＝________.答案 2π153 解析 每分钟转4圈，每圈所需时间T ＝604＝15. 又T ＝2πω＝15，∴ω＝2π15，A ＝3. 2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米 解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan60°＝203(米)，又CM＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 3.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin30°sin135°＝15 2 (m)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为156m.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t .在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin120°， 所以sin ∠CAB ＝BC ·sin120°AB ＝10×32103＝12. 所以∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ， ∴BC ＝l sin (2π3－θ)sin θ，CD ＝3l 2sin θ， ∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin (2π3－θ)sin θ， 则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin (2π3－θ)3v sin θ＋3l 2v sin θ(π3<θ<2π3)． (2)t ＝l 6v (1－3cos θsin θ)＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v ·3－cos θsin θ. 令m (θ)＝3－cos θsin θ，θ∈(π3，2π3)，则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ. 令m ′(θ)＝0，得cos θ＝13，设cos θ0＝13，θ0∈(π3，2π3)， 则θ∈(π3，θ0)时，m ′(θ)<0；当θ∈(θ0，2π3)时，m ′(θ)>0，∴当cos θ＝13时，m (θ)取得最小值22，此时BC ＝6＋48l . 故当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短. 6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．规范解答解 (1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300.[4分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分] 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小．[7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.[9分] ∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.[10分] 又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.[12分] 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[14分]。
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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页)1. (必修5P 9例题4题改编)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC，则A ＝________．答案：π4解析：由a cosA ＝c sinC ，a sinA ＝c sinC ，得a sinA ＝acosA ，即sinA ＝cosA ，所以A ＝π4.2. (必修4P 45习题1.3第8题改编)将函数y ＝sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________．答案：116π解析：将函数y ＝sinx 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 3. (必修4P 109习题3.3第6(2)题改编)tan π12－1tan π12＝________．答案：－23解析：原式＝sinπ12cos π12－cosπ12sin π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cosπ612sin π6＝－2 3. 4. (必修4P 115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx －cos 2x ＋12(x ∈R )，则f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的值域是________．答案：⎣⎡⎦⎤－12，32解析：f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，故值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5. 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则边BC 上的高为________． 答案：332解析：由余弦定理，得7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3，所以边BC 上的高h ＝3sin60°＝332.1. 同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsinαsin β，tan (α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β.3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.4. 三角函数的图象和性质5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R(R 为三角形外接圆的半径)．(2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc.题型1 三角恒等变换例1 已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.(1) 求cosA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx 的值域．解：(1) 因为π4<A<π2，且sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，所以π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210.所以cosA ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝－210·22＋7210·22＝35. (2) 由(1)可得sinA ＝45.所以f(x)＝cos2x ＋52sinAsinx＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎫sinx －122＋32，x ∈R .因为sinx ∈[－1，1]，所以，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 备选变式（教师专享）(2013·上海卷)若cosxcosy ＋sinxsiny ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y)＝________．答案：23解析：由题意得cos(x －y)＝12，sin2x ＋sin2y ＝sin[(x ＋y)＋(x －y)]＋sin[(x ＋y)－(x －y)]＝2sin(x ＋y)cos(x－y)＝23sin(x ＋y)＝23.题型2 三角函数的图象与性质 例2 已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A>0，0<φ<π2，y ＝f(x)的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A)．(1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；(2) 若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解：(1) 由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y ＝Asin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2) 设点Q 的坐标为(x 0，－A)． 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－（9＋4A 2）2A·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A>0，所以A ＝ 3. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π. (1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若sin α＋f(α)＝23，求2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ sin(－ωx ＋φ)＝sin (ωx ＋φ)，即2sin ωxcos φ＝0恒成立， ∴ cos φ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴ φ＝π2. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴ T ＝2π，∴ ω＝1，∴f(x)＝cosx. (2) ∵ 原式＝sin2α－cos2α＋11＋tan α＝2sin αcos α，又∵ sin α＋cos α＝23，∴ 1＋2sin αcos α＝49， 即2sin αcos α＝－59，故原式＝－59.题型3 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2013·浙江)在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2asinB ＝3b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．解：(1) 由2asinB ＝3b 及正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsinA ，得△ABC 的面积为733.备选变式（教师专享）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C ＝π3，a ＝5，△ABC 的面积为10 3.(1) 求b ，c 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫B －π3的值．解：(1) 由已知，C ＝π3，a ＝5，因为S △ABC ＝12absinC ，即103＝12b ·5sin π3，解得b ＝8.由余弦定理可得：c 2＝25＋64－80cos π3＝49, 所以c ＝7.(2) 由(1)有cosB ＝25＋49－6470＝17，由于B 是三角形的内角，易知sinB ＝1－cos 2B ＝437，所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝cosBcos π3＋sinBsin π3＝17×12＋437×32＝1314.题型4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sinA ，12与n ＝(3，sinA ＋3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角． (1) 求角A 的大小；(2) 若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 解：(1) 因为m ∥n ，所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－32＝0.所以1－cos2A 2＋32sin2A －32＝0，即32sin2A －12cos2A ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1.因为A ∈(0，π)，所以2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π3.(2) 由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc. 又S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ，而b 2＋c 2≥2bcbc ＋4≥2bcbc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝12bcsinA ＝34bc ≤34×4＝ 3.当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c. 又A ＝π3，故此时△ABC 为等边三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p ＝(b －2，a －2)．(1) 若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1) 证明：∵ m ∥n ，∴ asin A ＝bsin B ，即a·a 2R ＝b·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴ a ＝b.∴ △ABC为等腰三角形．(2) 解：由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0.∴ a ＋b ＝ab.由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴ S ＝12absin C ＝12×4×sin π3＝ 3.在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分) 若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β均为锐角，求α＋β的值． 学生错解：解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010. ∵ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22， 由于0°<α<90°，0°<β<90°， ∴ 0°<α＋β<180°， 故α＋β＝45°或135°.审题引导： 在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则一般选正弦函数．规范解答： 解： ∵ α为锐角，∴ cos α＝1－sin 2α＝255.(2分) 又β为锐角，∴ cos β＝1－sin 2β＝31010.(4分) 且cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22，(10分) 由于0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调递减函数，故α＋β＝π4.(14分)错因分析： 没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错． 事实上，仅由sin (α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y ＝cosx 在[]0，π上是单调函数，所以本题先求cos (α＋β)不易出错．1. (2013·常州期末)函数f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2的最小正周期为________．答案：2解析：f(x)＝cos πx 2cos π（x －1）2＝cos πx 2·sin πx 2＝12sin πx ，最小正周期为T ＝2ππ＝2.2. (2013·北京期末)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 解析：若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6，因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π. 3. (2013·北京期末)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sinC ＝3cosC ，则△ABC 的面积为________． 答案：32解析：由sinC ＝3cosC ，得tanC ＝3>0，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BC sinA ＝ABsinC ，即1sinA ＝332＝2，所以sinA ＝12.因为AB>BC ，所以A<C ，所以A ＝π6，即B ＝π2，所以三角形为直角三角形，所以S △ABC ＝12×3×1＝32.4. (2013·新课标Ⅰ卷)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ＝________． 答案：－255解析：∵ f(x)＝sinx －2cosx ＝5⎝⎛⎭⎫55sinx －255cosx .令cos φ＝55，sin φ＝－255，则f(x)＝ 5(sinxcos φ＋sin φcosx)＝5sin(x ＋φ)， 当x ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z 时，f(x)取最大值，此时θ＝2k π＋π2－φ，k ∈Z ，∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝－255.1. (2014·扬州期末)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.向量m ＝(1，cosB)，n ＝(sinB ，－3)，且m ⊥n .(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 面积为103，b ＝7，求此三角形周长． 解：(1) m·n ＝sinB －3cosB ，∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0， ∴ sinB －3cosB ＝0.∵ △ABC 为锐角三角形，∴ cosB ≠0， ∴ tanB ＝ 3.∵ 0<B<π2，∴ B ＝π3.(2) ∵ S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ，由题设34ac ＝103，得ac ＝40.由72＝a 2＋c 2－2accosB ，得49＝a 2＋c 2－ac ，∴ (a ＋c)2＝(a 2＋c 2－ac)＋3ac ＝49＋120＝169.∴ a ＋c ＝13，∴ 三角形周长是20.2. 在△ABC 中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，△ABC 的周长为2＋2，且sinA ＋sinB ＝2sinC. (1) 求边c 的长；(2) 若△ABC 的面积为13sinC ，求角C 的度数．解：(1) 在△ABC 中， ∵ sinA ＋sinB ＝2sinC ，由正弦定理，得a ＋b ＝2c ，∴ a ＋b ＋c ＝2c ＋c ＝(2＋1)c ＝2＋2.∴ a ＋b ＝2，c ＝ 2.(2) 在△ABC 中， S △ABC ＝12absinC ＝13sinC ，∴ 12ab ＝13 ，即ab ＝23. 又a ＋b ＝2，在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －22ab ＝12，又在△ABC中∠C ∈(0，π)，∴ ∠C ＝60°.3. (2013·湖北卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c.已知cos2A －3cos(B ＋C)＝1. (1) 求角A 的大小；(2) 若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sinBsinC 的值．解：(1) 由已知条件得：cos2A ＋3cosA ＝1，∴ 2cos 2A ＋3cosA －2＝0，解得cosA ＝12，∴ ∠A ＝60°.(2) S ＝12bcsinA ＝53c ＝4，由余弦定理，得a 2＝21，(2R)2＝a 2sin 2A ＝28，∴ sinBsinC ＝bc 4R 2＝57.4. (2013·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A. (1) 求cosA 的值； (2) 求c 的值．解：(1) 因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A.所以在△ABC 中，由正弦定理得3sinA ＝26sin2A .所以2sinAcosAsinA ＝263.故cosA ＝63. (2) 由(1)知cosA ＝63，所以sinA ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cosB ＝2cos 2A －1＝13.所以sinB ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝539.所以c ＝sin sin a CA＝5.1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同．2. 对于函数y ＝Asin (ωx ＋φ)＋B ，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质．3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性．4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsinx＋c；(3) 换元方法在解题中的运用．请使用课时训练(B)第9课时(见活页)．[备课札记]。
三角函数的应用总结一、三角函数的概念三角函数是数学中的重要概念，主要包括正弦、余弦和正切函数。
在解决实际问题时，三角函数有着广泛的应用。
二、三角函数在几何中的应用1. 正弦函数的应用：正弦函数可用于解决直角三角形的问题。
通过已知两边或一个角度和一条边的情况下，利用正弦函数可以求解其他未知量。
2. 余弦函数的应用：余弦函数同样适用于解决直角三角形的问题。
通过已知两边或一个角度和一条边的情况下，利用余弦函数可以求解其他未知量。
3. 正切函数的应用：正切函数常用于解决与直角三角形相关的问题。
例如，在测量高楼建筑物高度时，可以借助正切函数进行计算。
三、三角函数在物理中的应用1. 三角函数在运动学中的应用：在运动学中，三角函数经常被用于描述运动物体的位置、速度和加速度等参数。
通过三角函数的计算，可以得到物体在运动过程中的各种参数值。
2. 三角函数在波动理论中的应用：波动理论中经常涉及到正弦函数的应用。
例如，声波的传播、光波的干涉等问题都可以通过三角函数来进行计算和描述。
3. 三角函数在电路分析中的应用：在电路分析中，三角函数被广泛用于描述交流电压和电流的变化。
交流电路的分析需要借助正弦函数等三角函数进行计算和求解。
四、三角函数在工程中的应用1. 三角函数在建筑工程中的应用：在建筑工程中，三角函数被用于解决测量、设计和建设等问题。
例如，在测量斜坡的坡度时，可以利用正切函数进行计算。
2. 三角函数在导航中的应用：导航系统中使用三角函数来确定航向、航速和航程等。
通过利用三角函数，导航系统可以准确计算出目标位置和抵达时间。
3. 三角函数在电子工程中的应用：电子设备中常常涉及到相位、频率等概念，这些都与三角函数有关。
在电子工程中，通过三角函数的计算可以解决各种电路设计和分析的问题。
综上所述，三角函数在几何、物理和工程等领域中具有重要的应用价值。
熟练掌握三角函数的概念和运用方法，对于解决实际问题具有重要意义。
专题01 三角函数的图象与综合应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：齐次化模型 核心考点二：辅助角与最值问题 核心考点三：整体代换与二次函数模型 核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 核心考点五：ω的取值与范围问题 核心考点六：三角函数的综合性质【真题回归】1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤⎥⎝⎦3．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．125．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭有两个极值点 C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线 6．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________． 【方法技巧与总结】1、三角函数图象的变换（1）将sin y x =的图象变换为sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象主要有如下两种方法：（2）平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x 作的变换； （3）伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>为原来的1ω（倍）（纵坐标y 不变）；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(1)A >或缩短(01)A <<为原来的A （倍）（横坐标x 不变）． （4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移． 2、三角函数的单调性 （1）三角函数的单调区间sin y x =的单调递增区间是2,2()22k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间是32,2()22k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ； cos y x =的单调递增区间是[2,2]()k k k π-ππ∈Z ，单调递减区间是[2,2]()k k k ππ+π∈Z ；tan y x =的单调递增区间是,()22k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z ．（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合|sin |y x =，sin ||y x =， |cos |y x =，cos ||cos y x x ==的图象进行判断会很快得到正确答案．3、求三角函数最值的基本思路（1）将问题化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，结合三角函数的图象和性质求解. （2）将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解. （3）利用导数判断单调性从而求解. 4、对称性及周期性常用结论 （1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z ；若为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z .若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k ϕ=π∈Z ；若为奇函数，则有()2k k ϕπ=π+∈Z . 若tan()y A x ωϕ=+为奇函数，则有()k k ϕ=π∈Z ． 5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解． （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式（组）求解.【核心考点】核心考点一：齐次化模型【规律方法】齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：αααα++sin cos sin cos a b c d （一次显型齐次化）或者αααααααααα++⇒+222222sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos a b c a b c （二次隐型齐次化）这种类型题，分子分母同除以αcos （一次显型）或者α2cos （二次隐型），构造成αtan 的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.【典型例题】例1．（2022·广东揭阳·高三阶段练习）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 24θθπθ-=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A ．25B ．25-C ．65D ．65-例2．（2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习）已知tan 3α=，则3cos cos πcos 2ααα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．34-B ．34C ．310-D ．310例3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知曲线y =()1,4处的切线的倾斜角为2α，则1sin cos π14ααα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） AB．C ．12D ．1例4．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）若ππ2θ<<，tan 3θ=-，=（ ） A ．35 B ．54-C ．45-D ．45核心考点二：辅助角与最值问题【规律方法】第一类：一次辅助角:αα±sin cos a b αϕ±)．（其中ϕ=tan b a）第二类：二次辅助角()ωωω±>2sin cos cos ,0a x x b x a bωωω±=2sin cos cos a x x b x ()()ωωωϕϕ±+=±±=sin2cos212(tan )222a b b b x x x a【典型例题】例5．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（ ） ABC ．47D ．17例6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））若2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ，则函数2()3sin cos =f x x x x 的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．D．[0,3+例7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））若π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()23sin cos f x x x x=的值域为（ ）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．⎡⎣ D．0,3⎡⎣例8．（2022·全国·高三专题练习）函数()222sin f x x x =+，若()()123f x f x ⋅=-，则122x x -的最小值是（ ） A ．23πB ．4πC ．3πD ．6π例9．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解，则()()2211a b -+-最小值是______．例10．（2022·全国·高三专题练习）函数()44sin sin cos 44xf x x x =+的最小值为___________. 例11．（2022·全国·高三专题练习）已知2251x y -+=，,x y R ∈，则22x y +的最小值为____.核心考点三：整体代换与二次函数模型【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是sin x ，cos x 与cos2x 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是±sin cos x x 与sin cos x x 之间的关系，第三类则是+sin cos a x b x 与sin2x 之间的关系.【典型例题】例12．（2022·全国·高三专题练习）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 例13．（2022·全国·高考真题（文））函数cos 22sin y x x =+的最大值为________.例14．（2022·全国·高考真题（理））函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是_________. 例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则()f x 的最大值为___________.例16．（2022·全国·高三专题练习）若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是 A．12+B．12-+C ．1 D核心考点四：绝对值与三角函数综合模型 【规律方法】关于=sin y x 和=sin y x ，如图，=sin y x 将=sin y x 图像中x 轴上方部分保留，x 轴下方部分沿着x 轴翻上去后得到，故=sin y x 是最小正周期为π的函数，同理ωφ=+sin()y A x 是最小正周期为πω的函数；=sin y x 是将=sin y x 图像中y 轴右边的部分留下，左边的删除，再将y 轴右边图像作对称至左边，故=sin y x 不是周期函数.我们可以这样来表示：ππππππ⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩，，sin ([22])sin sin ((22))x x k k x x x k k ，⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩sin (0)sin sin (0)x x x x x 【典型例题】例17．（2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f xC ．()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．()f x 5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解 例18．（2022·全国·高三专题练习）已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，给出下述四个结论: ①()y f x =是偶函数; ②()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数; ③()y f x =在(,2)ππ上为增函数; ④()y f x =的最大值为 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①④例19．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习）已知函数()cos ||2|sin |f x x x =-，以下结论正确的是（ ）A ．π是()f x 的一个周期B ．函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．函数()f x 的值域为[D ．函数()f x 在[2π,2π]-内有6个零点例20．（多选题）（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数()sin cos 336x x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为3π B ．()f xC ．()f x 在[5,7]ππ上单调递减D ．()f x 在[4,4]ππ-上有4个零点例21．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）函数()sin sin cos cos f x x x x x =+++的最大值为______.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ①()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1； ②()f x 的最小正周期是2π；③直线()2k x k Z π=∈是()fx 图象的对称轴；④直线2y x π=与()fx 的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是________________.例23．（2022·陕西·长安一中高一期末）关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()2,π上递增； ③()f x 在[]π,π-上有4个零点； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.例24．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中（文））设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________.①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点.核心考点五：ω的取值与范围问题【规律方法】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k Ta b T 432(1)(3)(24)T b a k T k a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点(1)(1()()22+1)n T n T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +，则21(21)42n n T b a πω++==-． 5、已知单调区间(,)a b ，则2T a b -≤.【典型例题】例25．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，3x π=-为()f x 的一个零点，3x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，则ω的最小值为______. 例26．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()cos 0f x x ωω=>在区间()2,3ππ内既没有最大值1，也没有最小值1-，则ω的取值范围是___________.例27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0ω>）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．例28．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（理））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在()2ππ，内单调且有一个零点，则ω的最大值是______________．例29．（2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习）若函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为________.例30．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数π()2cos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，()f x 的一个极值点为πx=.若π2π33T <<，则ω的最大值是_____.例31．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））将函数()sin2cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移π3个单位长度,得到曲线C .若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是______．例32．（2022·北京师大附中高三阶段练习）记函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ，若()f T =π12x =为()f x 的零点，则ω的最小值为_______． 例33．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点，且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记满足条件的ω的取值集合为M ，则=M ______.例34．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______． 例35．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>．且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为________．例36．（2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试）已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______.例37．（多选题）（2022·山西·高三阶段练习）已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间π,π3⎛⎤⎥⎝⎦内没有零点，则ω的值可以是（ ）A ．18B ．12C ．76D ．32核心考点六：三角函数的综合性质 【典型例题】例38．（多选题）（2022·山东德州·高三期中）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为π； ③该函数图象关于5,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 那么下列说法正确的是（ ） A ．ϕ的值可唯一确定B ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 C ．当52()6x k k ππ=-∈Z 时，函数()f x 取得最小值 D ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增例39．（多选题）（2022·湖北襄阳·高三期中）函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的有（ ） A ．直线5π6x =-是()g x 图象的一条对称轴B ．()g x 在ππ(,)26-上单调递增C ．若()g x 在(0,)α上恰有4个零点，则23π29π(,]1212α∈ D ．()g x 在ππ[,]42上的最大值为12例40．（多选题）（2022·江苏南通·高三期中）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，它们的导函数分别为()f x '，()g x '．若()1y f x =+是奇函数，()()cos g x x π'=，()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()1,0-对称B ．()f x '的图象关于直线1x =对称C ．()g x 的图象关于直线12x =对称D ．()1mi i i x y m =+=∑例41．（多选题）（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有且仅有2个零点 D ．将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 例42．（多选题）（2022·河北·模拟预测）已知函数π()sin()(0,0π),()04f x x f ωϕωϕ=+><<=，且对任意x ∈R均有π()(),()2f x f f x 在π[0,]2上单调递减，则下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．若1()([0,2π])3f x x =∈的根为(1i x i =，2，⋯，)n ，则14πn i i x ==∑ D ．若(2)()f x f x >在(,)m n 上恒成立，则n m -的最大值为π3例43．（多选题）（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图（1）所示，函数()()1111()cos 0,0,||πg x A x A ωαωα=+>><的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为2πB ．函数()y f x =的图象关于直线1912x π=对称 C ．函数()1y f x =-在区间[0,2]π上有4个零点 D ．将函数()y f x =的图像向左平移23π可使其图像与()y g x =图像重合例44．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高三期中）将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 图像的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．()g x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()g x 的图像与函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合例45．（多选题）（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知()44cossin 22x xf x =+，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．函数()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为5,18⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()34y f x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数为8【新题速递】一、单选题1．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）函数()()πtan 0,02f x x ωϕϕω⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别交于点π,06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()[]πsin 2,0,π3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为（ ） A ．5π12B ．5π6 C ．π2D ．π2．（2022·北京市第十一中学高三阶段练习）已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期为4πC ．曲线()y f x =关于π2x =对称D ．()()12f f >3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π<ϕ），其图象相邻两条对称轴的距离为π2，且对任意x ∈R ，都有()7π12f x f ⎛⎫⎪⎝⎭，则在下列区间中，()f x 为单调递减函数的是（ ） A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·吉林长春·模拟预测）定义域为[]0,π的函数())()1cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>，其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2022·江苏南通·高三期中）已知112tan sin =-αα，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．7-B ．17-C ．19D ．436．（2022·河南·高三阶段练习（理））设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论中，正确结论的编号是（ ） ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在05π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增④ω的取值范围是1229510⎡⎫⎪⎢⎣⎭， A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④7．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）下列关于函数()4cos cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的命题，正确的有（ ）个（1）它的最小正周期是π2（2）π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是它的一个对称中心 （3）π6x =是它的一条对称轴 （4）它在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为[]2,3A ．0B ．1C ．2D ．38．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），()30,88f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，给出下列命题①()f x 是偶函数；②()304f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ω是奇数；④ω的最大值为3；其中正确的命题有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、多选题9．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，曲线()y f x =关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．将该函数向左平移π6个单位得到一个奇函数B ．()f x 在3π7π,46⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在π7π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上只有一个极值点 D ．曲线()y f x '=关于直线π6x =对称10．（2022·福建·泉州五中高三期中）已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．直线7π6x =是()fx 的对称轴B ．点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 C ．()f x 在区间π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的图象向右平移7π12个单位得cos 2y x =的图象11．（2022·山东青岛·高三期中）已知函数i π()sin 23s n 2cos π66f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最大值为2B ．π3x =是()f x 的图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 的图象关于π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）设()()sin f x x ωϕ=+（其中ω为正整数，π2<ϕ），且()f x 的一条对称轴为π12x =-；若当0ϕ=时，函数()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，则下列结论正确的是（ ） A ．2ω=B ．()f x 的一个对称中心为5π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 向右平移π12个单位后图象关于y 轴对称 D ．将()f x 的图象的横坐标变为原来的一半，得到()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为()ππ5ππ,Z 242242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的相邻对称轴之间的距离为π2，且()f x 图象经过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是___________.（写出所有正确的题号）A ．该函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；B ．函数()f x 的一个对称中心为2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭C ．函数y =()π5ππ,π2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．将函数()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位，得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于原点对称，则b 的最小值为π3.14．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））正割（Secant ，sec ）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec ，出自英文secant ．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即1sec cos x x=．若函数()sec sin f x x x x =⋅-，则下列结论正确的有__ ①函数()f x 的图像关于直线x π=对称；②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π； ③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④()f x 为奇函数，且()f x 有最大值，无最小值．15．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））若1sin cos 2θθ=，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ-=+______．16．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数()sin ||f x x x =，若关于x 的方程()f x m =在4π,2π3⎛⎤- ⎥⎝⎦上有三个不同的实根，则实数m 的取值范围是_________． 四、解答题17．（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．18．（2022·江苏盐城·高三阶段练习）已知函数()22cos 2sin cos sin (04)f x x x x x ωωωωω=+-<<，且_____．从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：①过点;8π⎛⎝②函数()f x 图象与直线0y 的两个相邻交点之间的距离为;π③函数()f x 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为2π．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设函数()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1[0,]2x π∈，存在2[0,]2x π∈，()()21m g x f x =-成立?若存在，求实数m的取值范围;若不存在，请说明理由．19．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()32g x f x =-在区间（0，π）上恰有2个零点()1212,x x x x <，求()12cos x x -的值．20．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)先将()f x 的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数()g x 图象，再将()g x 图象右平移π12个单位后得到()h x 的图象，求函数()y h x =在π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.21．（2022·青海·西宁市海湖中学高三期中）某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．22．（2022·北京·北大附中高三阶段练习）已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.(1)直接写出()f x 的解析式；(2)若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]0,t m ∈，满足()()f s f t =-，求实数m 的取值范围.。
三角函数在三角形中的应用三角函数是高中数学知识中比较重要的一部分。
在实际生活和工作中，三角函数有着广泛的应用。
其中，应用最为广泛的场景之一就是三角形中。
在三角形中，三角函数可以帮助我们求解各种角度、边长以及面积等问题。
接下来，就来看看三角形中三角函数的应用。
1. 正弦定理正弦定理是求解三角形中边长的公式之一。
它的表述方式比较简单，即：对角线等于对应正弦值两倍半径。
其中，对角线就是三角形中某个角的对边，半径就是三角形中这个角对应的圆的半径。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别为三角形中任意两条边的长度，A、B、C 为任意两个角度的角度值。
正弦定理的应用场景非常广泛。
比如，当我们知道三角形的三个角度以及其中一个角对应的边长时，可以利用正弦定理求出其它两个边长。
2. 余弦定理与正弦定理相似，余弦定理也是一种求解三角形边长的公式。
不过，它的表述方式与正弦定理略有不同，即：对角线平方等于两条相邻边平方的和减去两倍的乘积。
余弦定理可以表示为：cosA = (b² + c² - a²)/2bccosB = (c² + a² - b²)/2cacosC = (a² + b² - c²)/2ab其中，a、b、c分别为三角形中任意两条边的长度，A、B、C 为任意两个角度的角度值。
余弦定理的应用非常广泛。
比如，在三角形中，当我们知道三边的长度和其中一个角度的角度值时，可以利用余弦定理求出其它两个角度的角度值。
3. 正切函数正切函数是三角函数中最为常见的函数之一。
它的应用也非常广泛，特别是在三角形中。
在三角形中，正切函数可以用来求解两个角度之间的关系，或求解一个角度与其对边长度之间的关系。
具体来讲，当我们知道某个角度的角度值和其对边的长度时，就可以利用正切函数求解另外一个角度的角度值。
2024年高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》§4.7解三角形的实际应用最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度，θ为坡角；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比，即i ＝hl＝tan θ概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.(×)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2√)题组二教材改编2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出A ，C 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________m.答案502解析由正弦定理得AB sin ∠ACB＝ACsin B ，又B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．3．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝______米．答案22a 解析由题图可得∠PAQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，在△PAB 中，∠PAB ＝α－β＝15°，又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BPA ＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，∴在△PAB 中，a sin 30°＝PBsin 15°，∴PB ＝6－22a ，∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β＝6－22a ×sin 60°＋a sin 15°＝22.题组三易错自纠4．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为()A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m答案D解析设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，由余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)或x ＝40.故电视塔的高度为40m.5．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC ＝________.答案130°解析60°＋70°＝130°.6．海上有A ，B ，C 三个小岛，A ，B 相距53海里，从A 岛望C 和B 成45°视角，从B 岛望C 和A 成75°视角，则B ，C 两岛间的距离是________海里．答案52解析由题意可知∠ACB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即53sin 60°＝BCsin 45°，得BC ＝52.题型一测量距离问题1．(2018·长春检测)江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案103解析如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．2.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.答案64解析∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°，∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32km.在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64km.∴A ，B 两点间的距离为64km.3．如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB ＝90°，∠PAQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________m.答案900解析由已知，得∠QAB ＝∠PAB －∠PAQ ＝30°.又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△PAB ≌△PQB ，∴PQ ＝PA .在Rt △PAB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900，∴P ，Q 两点间的距离为900m.思维升华求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．题型二测量高度问题例1(2018·福州测试)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD ＝100m ，汽车从B 点到C 点历时14s ，则这辆汽车的速度约为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)答案22.6解析因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt △ADB 中，AB ＝ADcos ∠BAD ＝AD cos 60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.思维升华(1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．跟踪训练1如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，则山高CD ＝____________.答案h cos αsin βsin (α－β)解析由已知得∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).题型三角度问题例2如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC ＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P 的仰角为60°，已知山高为23千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处南偏东多少度的方向？解(1)在△BCP 中，由tan ∠PBC ＝PCBC，得BC ＝PCtan ∠PBC ＝2，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠BCA，即2sin 15°＝ABsin 45°，所以AB ＝2(3＋1)，故船的航行速度是每小时6(3＋1)千米．(2)在△BCD 中，BD ＝3＋1，BC ＝2，∠CBD ＝60°，则由余弦定理得CD ＝6，在△BCD 中，由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BCsin ∠CDB，即6sin 60°＝2sin ∠CDB ，所以sin ∠CDB ＝22，所以，山顶位于D 处南偏东45°的方向．思维升华解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角和方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．跟踪训练2如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的______的方向上．答案北偏西10°解析由已知得∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，又AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°，∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°的方向上．1．(2018·武汉调研)已知A ，B 两地间的距离为10km ，B ，C 两地间的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为()A ．10kmB ．103kmC ．105kmD ．107km答案D解析如图所示，由余弦定理可得AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107.2.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于()A.32B.22C.3－1D.2－1答案C解析在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝ACsin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，AC sin (θ＋90°)＝CDsin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD＝3－1.3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是()A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案A解析如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.4.如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案B解析依题意可得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于()A ．56B ．153C ．52D ．156答案D解析在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.故选D.6．(2018·广州模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于()A ．240(3＋1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m答案C解析如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.7．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案1002解析设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin 30°＝xsin 45°，解得x ＝100 2.8.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．答案2114解析在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2800，得BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．答案10解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．10．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．答案507解析如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17500，解得OC ＝507.11.如图，在山底A 点处测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为______米．答案1000解析由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°，∠ABS ＝45°－(90°－∠DSB )＝30°，∴∠ASB ＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得1000sin 30°＝AB sin 135°，∴AB ＝10002，∴BC ＝AB 2＝1000.12.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/时)．(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60m 的铁塔AA 1和BB 1.已知从塔AA 1的底部看塔BB 1顶部的仰角是从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角的正切值为________；塔BB 1的高为________m.答案1345解析设从塔BB 1的底部看塔AA 1顶部的仰角为α，则AA 1＝60tan α，BB 1＝60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A 1AC ∽△CBB 1，∴AA 130＝30BB 1，∴AA 1·BB 1＝900，∴3600tan αtan 2α＝900，∴tan α＝13，tan 2α＝34，则BB 1＝60tan 2α＝45.14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，求该码头将受到热带风暴影响的时间．解记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－2×600×20t ×22，令OB 2≤4502，即4t 2－1202t ＋1575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302＋152－302－152＝15(h)．15．某舰艇在A 处测得一艘遇险渔船在其北偏东40°的方向距离A 处10海里的C 处，此时得知，该渔船正沿南偏东80°的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为21海里，求舰艇追上渔船的最短时间．解如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是t 小时，经过t 小时渔船到达B 处，则舰艇也在此时到达B 处．在△ABC 中，∠ACB ＝40°＋80°＝120°，CA ＝10，CB ＝9t ，AB ＝21t ，由余弦定理得(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t ×cos 120°，即36t 2－9t －10＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍)．所以＝23.16.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量得cos A ＝1213，sin B ＝6365.(1)问乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？(2)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)∵cos A ＝1213，sin B ＝6365，∴sin A ＝513，cos B ＝－1665，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝45，在△ABC 中，由正弦定理AC sin B ＝AB sin C，得AB ＝1040m ，设乙出发t min 后，甲、乙距离为d ，由余弦定理得d 2＝(130t )2＋(100＋50t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213，即d 2＝200(37t 2－70t ＋50)＝20037＋62537.∵0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，∴当t ＝3537时，即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．(2)∵sin A ＝513，∴由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，即BC 513＝12606365，∴BC ＝500m.乙从B 出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙的步行速度为v m/min ，则|500v－71050|≤3，故－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514.故为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在125043，62514范围内.。
三角函数的综合运用三角函数是数学中重要的一门分支，广泛应用于各个领域。
它们不仅可用于解决几何问题，还在物理、工程和计算机科学等领域起着重要作用。
本文将探讨三角函数的综合运用，并介绍一些相关的实际应用。
1. 三角函数的基本概念在开始讨论三角函数的综合运用之前，我们首先需要了解一些基本概念。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别表示为sin、cos和tan。
2. 三角函数的性质三角函数具有一些重要的性质，这些性质在综合运用中起到了关键作用。
例如，它们的周期性质使得它们常常在波浪形的变化中产生应用；另外，三角函数之间具有重要的关系，如余弦函数和正弦函数的和差公式等。
3. 三角函数的图形表示三角函数的图形可帮助我们更好地理解它们的性质和变化规律。
通过绘制正弦、余弦和正切函数的图像，我们可以观察到它们的周期性、振幅、分段性等特点。
4. 三角函数在几何中的应用三角函数在几何中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用正弦函数来计算三角形的高度，或者利用余弦函数来计算其边长。
通过使用三角函数，我们可以更加准确地解决各种几何问题。
5. 三角函数在物理中的应用三角函数在物理学中也扮演着重要的角色。
例如，我们可以通过正弦函数来描述声音的波动、通过余弦函数来描述电流的变化，或者通过正切函数来解决带有摩擦力的斜面问题。
三角函数的应用使得物理学问题的解决更加精确。
6. 三角函数在工程中的应用在工程领域，三角函数的应用更加广泛。
例如，在建筑设计中，我们可以利用正弦函数来计算建筑物的斜塔高度；在通信工程中，我们可以利用三角函数来计算信号的传播距离。
三角函数在工程中的应用使得工程设计更加可靠和准确。
7. 三角函数在计算机科学中的应用在计算机科学领域，三角函数也有着重要的应用。
例如，图形学中的三角函数可用于计算图像的旋转和变换；在模拟仿真中，三角函数可用于计算物体的运动轨迹。
三角函数的应用使得计算机科学中的数值计算更加精确和高效。
