石室中学5月月考文科数学试卷

四川省成都市石室中学(北湖校区)2019年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 中，，则形状是（）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形参考答案：B2. 若在上是减函数，则b的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：C略3. 在ΔABC中，若,则=( )A. B. C. D.参考答案：B略4. 直线与圆C：切于点p（-1,2），则a+b的值为（） A.1 B.-1 C.3 D.-3参考答案：C5. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．-1参考答案：B6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分析求得相关系数r与残差平方和m如下表：则哪位同学的实验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A、甲B、乙C、丙D、丁参考答案：D7. 在1，2，3，4，5的排列中，满足条件的排列个数是（）A．10； B．12； C．14；D．16.参考答案：B提示：由已知条件知只可能或，且.当时,则或当时,有!=种排列:当时,有!=种排列,即共有8种排列.同理,当时,也有8种排列. 故应选 B.8. 结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（）Ａ．Ｂ．且Ｃ．为正奇数Ｄ．为正偶数参考答案：C9. 已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．10. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=3，A=60°，b=，则B=（）A．45°B．30°C．60°D．135°参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinB==，由a=3＞b=，即可根据大边对大角求得B 的值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===，∵a=3＞b=，∴B为锐角．∴B=45°故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设、是平面直角坐标系（坐标原点为）内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于 .参考答案：12. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则；参考答案：解析：过点(1,0)作x轴的垂线，与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A,B，；13. 若x＞0，y＞0，且log2x+log2y=2，则的最小值为．参考答案：14. 在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16,则a3+ a5=_______;参考答案：4略15. 若原点在直线上的射影为A，则的方程为____________________参考答案：略16. 设f(x) = 且参考答案：17. 已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则m= _______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

11 8 7 712 5 1 3 13 1 2成都石室中学2024-2025年度下期高2024届二诊模拟考试数学试题（文）（A 卷）参考答案一、选择题：1.已知复数i11+=z （其中i 为虚数单位），则z 的虚部是A.21-B.i 21-C.21D.i 211.A 2i1i 11-=+=z ,所以z 的虚部是21-.2.若集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧===21|,2,1x y y B A ，则A a ∈是B a ∈的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.A [)+∞=,0B ，则A 是B 的真子集，则A a ∈是B a ∈的充分不必要条件.3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是A.这8位同学数学月考成绩的极差是14B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122C.这8位同学数学月考成绩的众数是118D.这8位同学数学月考成绩的平均数是1243.B 对于选项A,极差是13211715-=，故A 错误;对于选项B ，中位数是1222123121=+，故B 正确;对于选项C ，众数是117，故C 错误;对于选项D ，平均数是123，故D 错误，故选B.4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是 A.π23B.π35C.π37D.π294.A 还原成直观图后，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，故这个几何体的体积23433111382V πππ=⋅⋅+⋅⋅=.5.已知数列{}n a 为等差数列，且23691010a a a a a ++++=，则48a a +的值为A.2B.4C.6D.85.B 因为10109632=++++a a a a a ，由等差数列的性质，得1056=a ，26=a ，所以484=+a a .6.若b a ,是正实数，且142131=+++b a b a ，则b a +的最小值为A ．54B ．32C ．1D ．26.A 因为()()[]()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+++=⋅+++=+b a b a b a b a b a b a b a 421314235114235154423342251≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=b a b a b a b a ，当且仅当51,53==b a 时取等号，所以b a +的最小值为54.7.当20π≤<x 时，关于x 的不等式0))(sin 32cos sin 2(≤--+x x x x a 有解，则a 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．247.A 当20π≤<x 时，x x <sin ，所以032cos sin 2≥-+x x a 在20π≤<x 上有解，所以x x x a 2sin 222cos 3sin 2+=-≥，所以minsin sin 1⎪⎭⎫⎝⎛+≥x x a .由2sin sin 1≥+x x ，当且仅当2π=x 时取等号，所以a 的最小值是2.7.当20π≤<x 时，关于x 的不等式(2sin cos 23)(sin )0a x x x x +--≤+有解，则a 的最小值是A ．1516B ．158C ．32D ．17.A 当20π≤<x 时，x x <sin ，所以2sin cos 230a x x ++-≥在20π≤<x 上有解，所以22sin 3cos 222sin a x x x +≥-=+，所以211515sin 41616a x ⎛⎫≥-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1sin 4x =时取等号，所以a 的最小值是1516.8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到C B A ,,三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A 场馆，则不同分配方案的种数是A ．48B ．36C ．24D ．128. C 分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有12222312=A C C 种；第二种情况，甲和另一个人一起执勤一个场馆，共有12221213=A C C 种，则共有24种.8.（文科）已知函数π()sin(2)3f x x =-，则下列结论中不正确的是A ．π为函数|()|f x 的一个周期B ．点2π(,0)3是曲线()y f x =的一个对称中心点C ．在区间[,]a a -上单调递增，则实数a 的最大值为512πD ．将函数()f x 的图象向右平移12π个长度单位后，得到一个偶函数的图象8．C 【解析】对于A ，函数π()sin(23f x x =-的最小正周期为π，所以π为函数|()|f x 的一个周期，正确；对于B ：令π2π()3x k k -=∈Z ，解得ππ()26k x k =+∈Z ，当1k =时，2π3x =，所以点2π(,0)3是()f x 的一个对称中心点，故B 正确；对于C ：π222,232k x k k ππ-+π≤-≤+π∈Z ，得5,1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，令50,1212k x ππ=-≤≤，因为在区间[,]a a -上单调递增，所以实数a 的最大值为12π，故C 不正确；对于D ：πsin[2(sin(2)cos 1232y x x x ππ=--=-=-，故D 正确.综上，故选C ．9. 已知抛物线x y 42=，弦AB 过其焦点，分别过弦的端点B A ,的两条切线交于点C ，点C 到直线AB 距离的最小值是A ．41B ．21C ．1D ．29.D 设),(),,(2211y x B y x A ，设过A 处的直线是()11x x k y y -=-，联立()11x x k y y -=-，x y 42=得0444112=-+-x y k y k y ，0=∆，即12121122,024,041616y k y k y y k k ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-，则在A 处的切线方程为x x y y 2211+=，同理，B 处的切线方程为x x y y 2222+=，设交点C 的坐标为),(00y x ，点),(00y x C 在两条切线上，所以010122x x y y +=，020222x x y y +=，则直线AB 的方程是0022x x yy +=.又AB 过其焦点)0,1(，易知交点C 的轨迹是1-=x ，所以C 0(1,)y -，AB ：022yy x =-，所以交点C 到直线AB 的距离是d==，所以当00y=时d的最小值为2.10.如图，四棱柱1111DCBAABCD-中，E为棱11BA的中点，F为四边形11DDCC对角线的交点，下列说法：①EF//平面11BBCC；②若EF//平面11AADD，则ADBC//；③若四边形ABCD矩形，且11CDEF⊥，则四棱柱1111DCBAABCD-为直四棱柱.其中正确说法的个数是A. 0B.1C.2D.310.C 对于①，若EF//平面11BBCC，过F作1CC的平行线交11DC于其中点H，为连接EH，由于//FH平面11BBCC，且EF//平面11BBCC，所以平面EFH//平面11BBCC，所以EH//平面11BBCC，所以EH//11BC.当11DA与11BC不平行时，EH//11BC不成立.①是假命题.对于②，同①，EH//11BC，则ADBC//.②是真命题.对于③，四边形ABCD矩形，所以//AD BC.又11//DD CC，所以平面11AA D D//平面11BBCC，所以四棱柱1111DCBAABCD-可看作11AA为上底面，11BBCC为下底面的四棱柱，过F作1CC的平行线交11DC于点H，则H为11DC的中点，连接EH，由条件有11CDEH⊥，又11CDEF⊥，则11D C⊥平面EFH，则11CDFH⊥，1//DDFH，所以111CDDD⊥，又1111CDAD⊥，所以11D C⊥平面11ADD A，则四棱柱1111DCBAABCD-为直四棱柱.③是真命题.则(),2,0P x ，()0,,3Q y ，F 因为E 是PQ 的中点，所以E ⎛ ⎝所以2,,022x y FE -⎛⎫= ⎪⎝⎭，而CC 11.已知函数2()22cos x xf x x x -=+++，若)2(f a =,)(1e e fb -=,)(1ππf c=，则A.c b a <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a<<11.B 2()22cos xxf x x x -=+++是偶函数，()(22)ln 2(2sin )0x x f x x x -'=-+->，则)(x f 在()0,+∞上是增函数.构造函数xx x g ln )(=，则21ln ()xg'x x-=，令()0g'x >，得0e x <<，令()0g'x <，得e x >，所以)(x g 在区间()e ,0上单调递增，在区间()+∞,e 上单调递减.又ln 2ln 424=，所以(4)()(e)g g g π<<，所以ln 2ln 4ln ln e24eππ=<<，所以11122e e ππ<<，所以111ee ()(e )(e )f f f f ππ<<=-，所以a c b <<.12.若双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 交于B A ,两点，已知l 的斜率为k ，⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,a b k ，且B F AF 222=，0160=∠AB F ，则直线AB 的斜率是A. 32B. 3C.33D.212.A设x B F =2，则x A F 22=，由双曲线定义，得x a B F x a A F +=+=2,2211.在B AF 1∆中，由余弦定理，得012212160cos 2AB A F AB A F B F -+=，解得3a x =.在21F AF ∆中，由余弦定理，得0212221260cos 24A F A F A F A F c -+=,解得313=e .法一：令()03>=t t a ，则t b t c 2,13==，149:2222=-t y t x C ，设l ：⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=32013m t my x ，联立1492222=-t y t x ，x my =，得()01613894222=+--t mty y m ，9416,941382221221-=-=+m t y y m mt y y .由B F AF 222=，得212y y -=，则321=m ，所以32=AB k .法二：设直线倾斜角l 为α，由双曲线第二定义得：αcos 122e a b AF -=，αcos 122e a b BF +=，又B F AF 222=，则211212+-+=ABk e ，又⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,a b k ，则32=AB k .二、填空题：13.已知向量)2,1(-=a ，),2(x b =，若b a ⊥，则实数=x .13.1 因为b a ⊥，所以12(2)0x ⨯+-=，解得1=x .14.已知实数y x ,满足约束条件04340y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则y x z 23+=的最大值是.14.3 作出y x ,满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线32y x =-并平移，当直线过点(1,0)A 时，max 31203z =⨯+⨯=，所以y x z 23+=的最大值是3.15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2731+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=nn x S ，则n a a a 21取最大值时，n 的值为 ．15.3 等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列前n 项和公式n n q qa q a S ⋅---=1111，得31,27=-=q x .又181=a ，则13118-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n a ，32,2,432===a a a ，所以n a a a 21取最大值时，n 的值是3.16.若1≥x ，恒有11ln 22---≤-+mx x e mx e x x x ，则m 的取值范围是 .16.(,2]e -∞- 由11ln 22---≤-+mx x e mxe x x x，得0>-mx e x 在1≥x 上恒成立，即e m ≤.且()()()()22ln 1ln 1x x x e mx e mx x +--≤--+，即()()()()22ln 11ln x xx x e mx e mx +++≤-+-.因为x x y +=ln 在[1,)+∞上是增函数，所以21xx e mx +≤-，所以21x e x m x--≤.令21()x e x f x x --=，则2(1)(1)()0x x e x f 'x x---=≥，所以()f x 在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)e 2f x f ==-，所以2m e ≤-.三、解答题：共70分。

2023～2024学年度下期高二年级5月联考数学参考答案第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12345678BACDCDCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。

91011ACACDABD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．3513．2214．43四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）（1）因为平面PCBM ⊥平面ABC ，平面PCBM 平面ABC BC =，BC ⊥AC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面PCBM ，由BM ⊂平面PCBM ，得AC ⊥BM ；（2）由(1)知，建立如图空间直角坐标系C xyz -，设0(0,0,)P z 0(0)z >，则0(0,1,),(0,2,0),(1,0,0)M z B A ，有00(1,1,),(0,0,)AM z PC z =-=-，又直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，得cos60AM PC AM PC ︒⋅= ，即22000122z z z =+，解得063z =，设平面MAB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则60320n AM x y z nAB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ ，令6z =(4,26)n = ，，易知平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =，则639cos 13261n m n m n m⋅==⨯，，又二面角M AB C --的所成角为锐角，所以二面角M AB C --的所成角的余弦值为3913，故二面角M AB C --的大小为39arccos 13（3）由题意知，多面体PMABC 即为四棱锥A BCPM -，则111()332PMABC A BCPM BCPM V V AC S AC PM CB CP -==⋅=⨯+⨯梯形11661(21)3236⨯⨯+，即多面体PMABC 6616．（15分）（1）ξ可取0,1,2,3,...,20,ξ可能取值的个数为21，抽取的一株水稻苗的株高在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而株高在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故(20,0.0026)B ξ ，因此，11920(1)C 0.00260.99740.0495P ξ==⨯⨯≈，200.00260.052E ξ=⨯=；（2）(ⅰ)培育周期内的培育环境是正常的，一株水稻苗为异常苗的概率只有0.0026，在抽取的20株水稻苗中，出现异常苗的概率20(1)10.99740.0507P ξ≥=-≈，即发生的概率很小.因此一旦出现了异常苗，就认定这个培育期的培育环境出现了异常情况，需要对培育环境进行检查和修正，可见监控部门的要求是合理的；(ⅱ)根据题意得总体的,μσ的估计值为 7.95,0.294,(3,3)μσμσμσ=≈-+即(7.068,8.832)，由样本数据可以看出，编号为9的水稻苗的株高7.05cm ，为异常苗，因此需要对培育环境进行检查和修正，剔除数据7.05，剩下数据的平均数为1(207.957.05)8.0019⨯⨯-≈，因此μ的估计值为8.00，202221200.294207.951265.779ii x=≈⨯+⨯≈∑，剔除数据7.05，剩下数据的方差为221(1265.7797.05198)0.00419⨯--⨯≈，因此σ的估计值0.0040.06≈17．（15分）（Ⅰ）由已知，2a b =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ，此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠，由方程组1{23y x m y x =+=-+，，可得223{213mx my =-=+，所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =.设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，.由方程组22163{12x y y x m +==+，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得32222m -<<.由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以221112252(2)(1)23323m m m PA x y x =--++-=--，同理25223m PB x =--，所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=----21212522(2(2)()433m mx x x x =---++225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数4=5λ，使得2PT PA PBλ=⋅18．（17分）（1）解：当1n =时，有：11112(1)1S a a a ==+-⇒=；当2n =时，有：2212222(1)0S a a a a =+=+-⇒=；当3n =时，有：33123332(1)2S a a a a a =++=+-⇒=；综上可知11a =，20a =，32a =；（2）解：由已知得：当2n ≥时，1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----化简得：1122(1)n n n a a --=+-上式可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+-当1n =时，1121S a =-，所以11a =故数列2(1)3n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是以1121(1)33a +-=为首项，公比为2的等比数列．故121(1)233n n n a -+-=⨯∴121222(1)[2(1)]333n n n nn a --=⨯--=--数列{}n a 的通项公式为：122(1)33n n n a -=-⨯-．（3）证明：由已知得：341451111113[]22222(1)m m m a a a -++⋯+=++⋯+-+--4811111117163[]3()162226812m -=+++⋯+<+=-故451117(4)8m m a a a ++⋯+<>．19．（17分）(1)当34a =-时，()3ln 14f x x x =-+()0,∞+，且：()()31312'4214141312x x f x x x x x x x x x-++=-=+++++，因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3.(2)由1(1)2f a ≤，得204a <≤，当204a <≤时，()2f x a x ≤2212ln 0x x x +≥，令1t a=，则22t ≥，设()212ln g t t x x x =+，2t ≥，则21()12ln g t x t x x x ⎫=+--⎪⎪⎭，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭1122x+≤则()(22)84212ln g x g x x x =-+- ，记1()4221ln ,7p x x x x x =+≥，则212121(1)[1(221)]()111(1)(12)x x x x x x x p x x xx x x x x x x x '+--+-++-=-==++++++列表讨论：x 17（117，）1（1，+∞）p ′（x ）﹣0+P （x ）p （17）单调递减极小值p （1）单调递增()(1)0,()(22)2()0p x p g t g p x ∴=∴= （ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()12x g t g x x ≥+=，令211()(1),,7q x x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x x'>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得1717(1)07777q p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1()0,()102q x g t g x x ∴<∴≥+=->，由（i ）（ii ）知对任意21,,[22,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a x≤，综上所述，所求的a 的取值范围是20,4⎛ ⎝⎦．。

四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________． ．． ．．已知实数,x y 满足x a ，则下列关系式恒成立的是（．221111x y >++ln 2(1)x +＞ln 2(yA ．14B ．128．已知函数()sin(4)(0f x A x ϕ=+<于直线π24x =-对称，将()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间A ．12B ．1二、填空题三、解答题(1)求证：AP CP ⊥；(2)求三棱锥P ADE -的体积．19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数其中24y =，71()()70i i i x x y y =--=∑(1)运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合参考答案：8．C【分析】根据已知条件求得求法求得正确答案.sin πA ϕ⎧=⎪因为M 为双曲线右支上一点，设12,MF m MF n ==，则m -故222224,m n mn a m +-=∴+在12F MF △中，2121|||F F MF =15．0【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程可得积的坐标运算公式求MA MB ⋅的值【详解】解：如图，设()11,,A x y B y y -317．（1）见解析（2）n T =【详解】试题分析：(1)题中所给的递推关系整理可得：{}n a n -是首项为2，公比为19．(1)可以用线性回归方程模型拟合(2)5722ˆyx =-，种子的发芽颗数为【分析】（1）根据已知数据代入相关系数公式计算即可作出判断；。

成都石室中学2023～2024学年度下期高2025届零诊模拟考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知函数()y f x =的导函数()y f x ′=的图象如下，则函数()f x 有 A ．1个极大值点，1个极小值点B ．2个极大值点，2个极小值点C ．3个极大值点，1个极小值点D ．1个极大值点，3个极小值点 2．已知数列{}n a 是等比数列，若2a 48a 是22760x x −+=的两个根，则12254849a a a a a ⋅⋅⋅⋅ 的值为A ．354B．C．±D ．2433．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，B 为B 的对立事件，则事件A B +发生的概率为A ．13B ．12C ．23D ．564．若21()ln(2)2f x x b x =−++在(1,)−+∞上是减函数，则b 的取值范围是A ．[1,)−+∞B ．(1,)−+∞C ．(,1]−∞−D ．(,1)−∞−5．某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单．如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有 A ．192种 B ．144种 C ．96种 D ．72种 6．若随机变量X 的可能取值为1,2,3,4，且()P X k k λ==（1,2,3,4k =），则()D X = A ．1 B ．2 C ．3 D ．4xyx 4O7．A 、B 两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片．如果某人已赢得所有卡片，该游戏终止．那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率是A ．116 B ．332C ．18 D ．3168．在2024(x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S，当x =时，S 等于A ．30352B ．30352−C ．30362D ．30362−二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数3()1f x x x =++，则 A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有一个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线10．已知X ，Y 都是服从正态分布的随机变量，且211~(,)X N µσ，222~(,)Y N µσ，其中12,R µµ∈，12,R σσ+∈，则下列命题正确的有A ．1()E X µ=B ．1()D X σ=C ．若12µ=，11σ=，则(1)(3)1P X P X ≤+≤=D ．若120µµ==，12σ=，23σ=，则(||1)(||1)P X P Y ≤>≤ 11．斐波那契数列{}n f 满足121f f ==，21n n n f f f ++=+（*N n ∈）．下列命题正确的有 A ．28791f f f =+B ．存在实数λ，使得1{}n n f f λ+−成等比数列C ．若{}n a 满足11a =，111n na a +=+（*N n ∈），则1n n n f a f +=D ．012345678910201918171615141312111020C C C C C C C C C C C f ++++++++++=第II 卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．函数()2cos f x x x =+（π02x <<）的最大值为 ． 13．甲乙二人同时向某个目标射击一次．甲命中的概率为45，乙命中的概率为35，且两人是否命中目标互不影响．若目标恰被击中一次，则甲命中目标的概率为 ．14．数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=−+（*N n ∈），则122024111m a a a =+++的整数部分是 ．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的公差； （2）求数列{2}n a 的前n 项和n S ．16．（本小题15分）如图所示，斜三棱柱111ABC A B C −的各棱长均为2， 侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π，且侧面11ABB A ⊥底面ABC ．（1）证明：点1B 在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点； （2）求二面角1C AB B −−的正切值．17．（本小题15分）已知函数2()()e x f x x ax a −=++（a 为常数，e 为自然对数的底）在0x =时取得极小值． （1）试确定a 的取值范围； （2）当a 变化时，设由()f x 的极大值构成的函数为()g a ，试判断曲线()y g x =只可能与直线230x y m −+=、320x y n −+=（m ，n 为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．A 1CB18．（本小题17分）椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1e −，直线l 与y 轴交于点(0,)P m （0m ≠），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且4OA OB OP λ+= ．（1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围． 19．（本小题17分）为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出m 条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘．一段时间后，再从鱼塘中捞出n 条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数N ．已知200m =，设第二次捞出的n 条鱼中身上有标记的鱼的数目为随机变量X ． （1）若已知4000N =，40n =． ①求X 的均值；②是否有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于0.9）？ （2）若700n =，其中身上有标记的鱼有30条，估计池塘中鱼的总数（将使(30)P X =最大的N 作为估计值）． 参考数据：lg3.760.5752≈，lg3.80.5798≈，lg3.960.5977≈，lg 40.6021≈．。

2015-2016学年四川省成都市石室中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}2．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥03．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（5．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件6．已知集合A={x|x2﹣a2≤0，其中a＞0}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a≥﹣4 C．a≤4 D．1≤a≤47．若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．给出下列三个类比结论．①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（a+b）2类比，则有（a+b）2=a2+2a•b+b2．其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知a，b均为正数且a+b=1，则使+≥c恒成立的c的取值范围是（）A．c＞1 B．c≥0 C．c≤9 D．c＜﹣110．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，且f（﹣2）=1，f（3）=1，则不等式f（x2﹣6）＞1的解集为（）A．（2，3）B．（﹣，）C．（2，3）∪（﹣3，﹣2）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）11．命题P：不等式lg[x（1﹣x）+1]＞0的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：在△ABC中，A＞B是成立的必要不充分条件，则下列说法正确的是（）A．P真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．P假q真12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=．14．已知x＞﹣3，则x+的最小值为．15．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•成都校级月考）解下列关于x的不等式：（1）；（2）x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0（）18．（12分）（2010•东宝区校级模拟）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|x2﹣3x≤10}（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．19．（12分）（2012•启东市校级二模）已知p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p为真命题，求实数x的取值范围．（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20．（12分）（2011•南通模拟）已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．21．（12分）（2015秋•成都校级月考）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）﹣x 的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m=﹣1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集．（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．22．（12分）（2014春•黄山期末）已知函数f（x）=alnx+x2（a为常数）．（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年四川省成都市石室中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．解答：解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；所以C U（A∩B）={1，2，4，5}，故选D点评：本题考查集合的基本运算，较简单．2．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．解答：解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选C．点评：本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．3．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．解答：解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选C．点评：本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（考点：一元二次不等式的解法．分析：先根据不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，判断a＜0，从而求出a，b 值，代入不等式x2﹣bx﹣a＜0，从而求解．解答：解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，∴a＜0，∴方程ax2﹣bx﹣1=0的两个根为﹣，﹣，﹣=﹣﹣，=，∴a=﹣6，b=5，∴x2﹣bx﹣a＜0，∴x2﹣5x+6＜0，∴（x﹣2）（x﹣3）＜0，∴不等式的解集为：2＜x＜3．点评：此题主要考查不等式和方程的关系，主要考查一元二次不等式的解法．5．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：首先解不等式，然后再找出┐p和q的关系．解答：解：∵p：x≤1，¬p：x＞1，q：＜1⇒x＜0，或x＞1，故q是¬p成立的必要不充分条件，故选B．点评：找出¬p和q的关系，考查必要条件和充要条件的定义，比较简单．6．已知集合A={x|x2﹣a2≤0，其中a＞0}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a≥﹣4 C．a≤4 D．1≤a≤4考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B，利用条件A∪B=R，确定a满足的条件即可．解答：解：A={x|x2﹣a2≤0，其中a＞0}={x|﹣a≤x≤a}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，若A∪B=R，则，即，解得a≥4，故选：A．点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件A∪B=R，确定两个集合关系是解决本题的关键．7．若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：不等关系与不等式．专题：证明题．分析：由条件可得 0＞a＞b，代入各个选项，检验各个选项是否正确．解答：解：由，可得 0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，故选 C．点评：本题考查不等式的性质的应用，解题的关键是判断出 0＞a＞b．8．给出下列三个类比结论．①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（a+b）2类比，则有（a+b）2=a2+2a•b+b2．其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：类比推理．专题：常规题型．分析：分别利用运算的法则：①利用乘方的运算法则；②利用三角函数的运算法则；③利用幂的运算法则；逐个进行验证，判断每个小题的正误．解答：解：根据乘方的运算法则知：（a+b）n≠a n+b n，①不正确；根据三角函数的运算法则知：sin（α+β）≠sinαsinβ，②不正确；根据幂的运算法则知：（+）2=2+2•+2，③正确；故选B．点评：本题考查对数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．合情推理中的类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．结论的正确与否，必须经过证明．9．已知a，b均为正数且a+b=1，则使+≥c恒成立的c的取值范围是（）A．c＞1 B．c≥0 C．c≤9 D．c＜﹣1考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：+≥c恒成立⇔．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a，b均为正数且a+b=1，∴+=（a+b）=5+=9．当且仅当b=2a=．∴的最小值为9．∵+≥c恒成立，∴．∴c≤9．故选：C．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化，属于基础题．10．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，且f（﹣2）=1，f（3）=1，则不等式f（x2﹣6）＞1的解集为（）A．（2，3）B．（﹣，）C．（2，3）∪（﹣3，﹣2）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：一元二次不等式的解法；导数的几何意义．专题：计算题．分析：由函数y=f′（x）的图象，知x＜0时，f（x）是增函数；x＞0时，f（x）是减函数．由f（﹣2）=1，f（3）=1，不等式f（x2﹣6）＞1的解集满足{x|﹣2＜x2﹣6＜3}，由此能求出结果．解答：解：∵函数y=f′（x）的图象如图所示，∴x＜0时，f（x）是增函数；x＞0时，f（x）是减函数．∵f（﹣2）=1，f（3）=1，∴由不等式f（x2﹣6）＞1得﹣2＜x2﹣6＜3，解得﹣3＜x＜﹣2或2＜x＜3．故选C．点评：本题考查一元二次不等式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的性质和应用．11．命题P：不等式lg[x（1﹣x）+1]＞0的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：在△ABC中，A＞B是成立的必要不充分条件，则下列说法正确的是（）A．P真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．P假q真考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：此题和对数不等式与三角不等式相联系考查的是判断命题的真假问题．在解答时，对于命题P应充分考虑对数不等式的特点，先讲0变成以10为底的对数，再利用对数函数的单调性找到变量的范围，同时注意对数自身对变量的要求．对于命题Q应先对三角形式进行降幂，然后利用三角函数的单调性找到变量∠A、∠B的关系．解答：解：由命题P：不等式lg[x（1﹣x）+1]＞0，可知lg[x（1﹣x）+1]＞lg1．∴x（1﹣x）+1＞1，∴0＜x＜1，即不等式的解为{x|0＜x＜1}；所以命题P为真命题．由命题Q知，若cos2（+）＜cos2（+），即sinA＞sinB，∴A＞B；反之，在三角形中若A＞B，则必有sinA＞sinB，即cos2（+）＜cos2（+）成立，所以命题Q为假命题．故选：A．点评：此题考查的是命题真假、对数不等式和三角不等式的综合问题．在解答过程中要充分体会对数自身对变量的要求，三角恒等变换知识的应用以及命题真假判断的规律．此题属于较综合类题目，值得同学们总结归纳．12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．解答：解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]；x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故选A．点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}．．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过求解一元二次不等式和绝对值的不等式化简集合A，B，然后直接利用交集运算求解．解答：解：由x2+2x﹣3＜0得：﹣3＜x＜1．由|x﹣1|＜2得：﹣2＜x﹣1＜2，﹣1＜x＜3．所以A={x|x2+2x﹣3＜0}={x|﹣3＜x＜1}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜1}∩{x|﹣1＜x＜3}={x|﹣1＜x＜1}．故答案为{x|﹣1＜x＜1}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法，若|x|＜a（a＞0），则﹣a＜x＜a．考查了交集及其运算．是基础题．14．已知x＞﹣3，则x+的最小值为4﹣3 ．考点：基本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得x+3＞0，可得x+=x+3+﹣3，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞﹣3，∴x+3＞0，∴x+=x+3+﹣3≥2﹣3=4﹣3，当且仅当x+3=即x=2﹣3时取等号，故答案为：4﹣3．点评：本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．15．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是（﹣∞，5）．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m 恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．解答：解：f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，∴m的取值范围是（﹣∞，5）．故答案为：（﹣∞，5）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，是中档题．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是②④．考点：函数的图象．专题：新定义；数形结合；函数的性质及应用．分析：利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．解答：解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足，对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①M={（x，y）|y=}，其图象是过一、三象限的双曲线，做第一象限的角平分线与双曲线交于点A，与OA垂直的直线是二、四象限的角平分线，显然与双曲线没有公共点．所以对于点A，在图象上不存在点B，使得OB⊥OA，所以①不符合题意；对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB 总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合；对于③M={（x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故③不符合题意；对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=e x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=e x﹣2}是“垂直对点集”．故答案为：②④点评：这种类型的题目应先弄清所给信息要表达的几何意义，将其转化为一个几何问题，然后借助于函数的图象解决．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•成都校级月考）解下列关于x的不等式：（1）；（2）x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0（）考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）化为：≤0，即（x﹣4）≤0，x﹣4≠0，解出即可得出解集；（2）x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0（），因式分解为（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＞0，由a＞，可得a＞1﹣a，即可得出解集．解答：解：（1）化为：≤0，∴（x﹣4）≤0，x﹣4≠0，解得4＜x≤，∴不等式的解集为{x|4＜x≤}；（2）x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0（），∴（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＞0，∵a＞，∴a＞1﹣a，∴不等式的解集为{x|x＞a，或x＜1﹣a}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2010•东宝区校级模拟）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|x2﹣3x≤10}（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．专题：分类法．分析：（1）由a=3，先求出集合P和Q，然后再求（C R P）∩Q．（2）若P≠Q，由P⊆Q，得，当P=∅，即2a+1＜a+1时，a＜0，由此能够求出实数a的取值范围．解答：解：（1）因为a=3，所以P={x|4≤x≤7}，C R P={x|x＜4或x＞7}又Q={x|x2﹣3x﹣10≤0}={x|﹣2≤x≤5}，所以（C R P）∩Q={x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}={x|﹣2≤x＜4}（2）若P≠Q，由P⊆Q，得，解得0≤a≤2当P=∅，即2a+1＜a+1时，a＜0，此时有P=∅⊆Q综上，实数a的取值范围是：（﹣∞，2]点评：本题考查交、并、补集的混合运算，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．19．（12分）（2012•启东市校级二模）已知p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p为真命题，求实数x的取值范围．（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：充要条件；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）化简p：﹣2≤x≤8，从而得出p为真命题，实数x的取值范围．（2）化简q：2﹣m≤x≤2+m．由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．解答：解：（1）∵P：﹣2≤x≤8，∴p为真命题时，实数x的取值范围[﹣2，8]．（2）Q：2﹣m≤x≤2+m∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，8]是[2﹣m，2+m]的真子集．∴∴m≥6．∴实数m的取值范围为m≥6．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．20．（12分）（2011•南通模拟）已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．分析：根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为p q的真假，列出不等式解得．解答：解：若p真，则f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，∴0＜2a﹣6＜1，且2a﹣6≠1∴3＜a＜且a≠．若q真，令f（x）=x2﹣3ax+2a2+1，则应满足∴∴a＞，又由题意应有p真q假或p假q真．①若p真q假，则，a无解．②若p假q真，则∴＜a≤3或a≥．点评：本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布．21．（12分）（2015秋•成都校级月考）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）﹣x 的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m=﹣1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集．（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．考点：二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数F（x）=f（x）﹣x的两个零点为m，n，因此该函数解析式可表示为F（x）=a（x﹣m）（x﹣n），（1）m=﹣1，n=2时，对a＞0，或a＜0．进行讨论，写出不等式的解集即可；（2）要比较f（x）与m的大小，做差，即有f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax ﹣an+1），根据a＞0且0＜x＜m＜n＜，分析各因式的符号，即可得到结论．解答：解：（1）由题意知，F（x）=f（x）﹣x=a（x﹣m）（x﹣n）当m=﹣1，n=2时，不等式F（x）＞0即为a（x+1）（x﹣2）＞0．当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1，或x＞2}；当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（2）f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax﹣an+1）∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，即0＜ax＜am＜an＜1；∴x﹣m＜0，an＜1，∴1﹣an+ax＞0∴f（x）﹣m＜0，即f（x）＜m．点评：此题是中档题．考查二次函数的两根式，以及不等式比较大小等基础知识和方法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．22．（12分）（2014春•黄山期末）已知函数f（x）=alnx+x2（a为常数）．（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出f（x），然后求f′（x），找f′（x）＞0所对应的x的区间，和f′（x）＜0所对应的x的区间，这样就求出了f（x）的单调区间；（2）想着让不等式变成一边是a，另一边含x的式子，这样便于求a的取值范围．由于x∈[1，e]，所以原不等式可变成a，令g（x）=，a需满足：a≥g（x）max，所以求函数g（x）的最大值即可．可通过求导数，判断导数的符号，得出g（x）在[1，e]的单调性，从而求出g（x）的最大值，这样便求出了a的取值范围．解答：解：（1）a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=；∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1]，单调递增区间为（1，+∞）．（2）由已知条件得：alnx+x2≤（a+2）x，a（lnx﹣x）≤﹣x2+2x；∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取；∴lnx＜x，∴lnx﹣x＜0；∴；令g（x）=（x∈[1，e]），g′（x）=；∵x∈[1，e]，∴x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2ln2＞0；∴g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上为增函数；∴g（x）在[1，e]上的最大值为：；∴a的取值范围为：．点评：本题考查通过判断导数符号来判读函数单调性，求单调区间的方法，而把（2）中的不等式变成是求解本题的关键．。

成都石室中学高2020届2019-2020学年度下期5月月考文科数学简答A C DB D A B D BCD A13. _____2-____．14. ___0____．10,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭____． 17.【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=， Q 成绩在[)50,60内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==，（2分） ∴参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（4分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[)80,90的人数为0.0125×10×40=5，（5分） 用12,X X 表示两个女士，123,,Y Y Y 表示三个先生，从5人中任取3人的所有情况为：121,,X X Y ，122,,X X Y ，123,,X X Y ，112,,X Y Y ，113,,X Y Y ，123,,X Y Y ，212,,X Y Y ，213,,X Y Y ，223,,X Y Y ， 123,,Y Y Y 共10种，抽取3人中恰有1名女士的情况共6种情况. …………10分 故抽取3人中恰有1名女士的概率63105P ==.…………12分18.【解析】（Ⅰ）∵()()sin sin sin sin a b c B C A b C +++-=，∴根据正弦定理，知()()a b c b c a bc +++-=，即222b c a bc +-=-. …………2分 ∴由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==-.又()0,A π∈，所以23A π=. …………4分（Ⅱ）根据a =23A π=及正弦定理得2sin sin sin b c a B C A ====， ∴2sin ,2sin b B c C ==. …………6分∴11sin 2sin 2sin sin 22S bc A B C B C ==⨯⨯=. …………8分∴cos sin cos S B C B C B C =+()B C =-. …………10分 故当6B C π==时，cos S B C +…………12分 19.（Ⅰ）证明：分别取,AF BE 的中点,M N ，连结,,DM CN MN .由图(1)可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等，∴DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =. …………1分∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF . …………2分同理，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN . …………3分又∵DM CN =，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴//CD MN .∵,M N 分别是,AF BE 的中点，∴//MN AB ，∴//CD AB . ………………………………5分（Ⅱ）由图可知，D BCE B DCE V V =三棱锥－三棱锥－，∵1,3EF AB ==，∴2CD MN ==，∴22B DCE B EFC C EFB V V V ==三棱锥－三棱锥－三棱锥－. …………8分 由（Ⅰ）知，CN ⊥平面BEF . ∵2CN =，12BEF S ∆=，∴2C EFB V =三棱锥－， ∴2D BCE V =三棱锥－. ………………………………12分 20. 【解析】（Ⅰ）2212x y += …………3分（Ⅱ）由2212y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得： ()222214220k x ktx t +++-= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222422,2121kt t x x x x k k -+=-=++ …………4分 直线AP ：1111y y x x -=+，令0y =，11,01x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭直线AQ ：2211y y x x -=+，令0y =，22,01x N y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭…………6分 由2OM ON ⋅=，()()1212211x x y y =--，()()1212211x x kx t kx t =+-+- …………8分 ()()()12221212211x x k x x k t x x t =+-++-，整理得()222221t t -=-，111t t +=-，0t = …………10分 故直线l 经过定点()0,0．…………12分21.【解析】（Ⅰ）()[2(1)]2x x x x f x e e a e e a '=-++⋅+a e a e x x2)1(222++-= …………1分))(1(2a e e x x --= ①当0≤a 时，0>-a e x ，则 当0<x 时，()0f x '<，故)(x f 在)0,(-∞单调递减；当0>x 时，()0f x '>，故)(x f 在),0(+∞单调递增。

2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期入学考试文科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{}2log (1)A x y x ==-∣，{}24B x x =≤∣，则A B ⋃=（ ） A ．[2,)-+∞B ．[)1,2C ．(]1,2D ．(1,)+∞2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)i z +=-，则复数z 在复平面上的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用系统抽样的方法从400名学生中抽取容量为16的样本，将400名学生编号为1至400，按编号顺序分组，若在第1组抽出的号码为12，则在第2组抽出的号码为（ ） A ．26B ．28C ．33D ．374．已知()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()e 1xf x x =-+，则当0x <时，()f x =（ ） A ．2e 1x x --+B ．2e 1x x --+-C ．2e 1x x ----D ．2e 1x x --++5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象先向左平移4π，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（ ） A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 12g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．给出下列命题：（1）设a ，b ，c 为实数，若22ac bc >，则a >b ；（2）设0αβπ<<<，则αβ-的取值范围是(,)ππ-；（3）当x >2时，12y x x =+-的最小值是4．其中真命题的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入m =4，则输出的S =（ ）A ．6B ．14C ．26D ．448．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于6x π=对称，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A B C ．2D 9．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK ，如图2所示．若在图2中23DH DA =，则在图1中EFEG=（ ）A ．49B ．481C ．427D ．82710．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+的极值点均不大于2，且在区间（1，3）上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4ln 22⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦B ．1(,1],24ln 22⎡⎫-∞⋃⎪⎢-⎣⎭C ．(,2)-∞D ．(,1]-∞11．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且123F PF π∠=，设12PF F θ∠=，当θ的范围为,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，双曲线C 离心率的范围为（ ）A ．⎝B ．⎛ ⎝⎭C ．D ．⎫⎪⎪⎝⎭12．在ABC △中，BAC ∠为锐角，||2||AC AB =，且对于t ∈R ，||AB t AC -的最小值为3||5BA ，则cos ABC ∠=（ ）A ．34B ．35C ．45-D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．抛物线22x y =的焦点到准线的距离是______．14．已知圆22:6280C x y x y +--+=，过原点的直线l 与圆C 有公共点，则直线l 斜率的范围为______． 15．小明和小强计划去博物馆参观，约定上午9：00~9：30之间的任何一个时间在博物馆会合．两人商量好提前到达博物馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去参观，则两人能够在博物馆门口会合的概率是______．16．将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，余下的区间段长度为1a ；再将余下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为2a ．以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程，记数列{}n a 表示第n 次操作后余下的区间段长度． （1）3a =______；（2）若n *∀∈N ，都有23n n a a λ≤恒成立，则实数λ的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且212n n a S ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项积为n T ，满足2n Sn T =（*n ∈N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设()()1111n n c b an an =++++，求数列{}n c 的前n 项和n C ．18．（本小题满分12分）第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行．本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C 罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起．为了了解某校学生对足球运动的兴趣，在该校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到如图所示的等高堆积条形图．（Ⅰ）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”；（Ⅱ）从样本中对不喜欢足球运动的学生按性别分层抽样的方法抽取出6名学生，若从这6人中随机抽取4人，求抽取到1男3女的概率． 附表：其中，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n =a +b +c +d ．19．（本小题满分12分）多面体ABCDEF 如图所示，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，AB =EF =F A =1．（Ⅰ）求证：平面BEF ⊥平面DEF ； （Ⅱ）求该多面体的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>()2,1P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线1l 为椭圆C 在点P 处的切线，21l l ∥，且直线2l 与椭圆C 交于A ，B 两点． （ⅰ）求直线1l 的方程；（ⅱ）当PAB △的面积取最大值时，求直线2l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()1()e ln 1x f x a x x x -=--+-，0a ≥． （Ⅰ）求证：f （x ）存在唯一零点； （Ⅱ）设1()e1x g x a x -=+-，若存在1x ，2(1,)x ∈+∞，使得()()()211g x g x f x =-，求证：12111ln121x x x +-+>-． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系Ox 中，若点A 为曲线:cos 233l ππρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭上一动点，点B 在射线AO 上，且满足||||16OA OB ⋅=，记动点B 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若过极点的直线1l 交曲线C 和曲线l 分别于P ，Q 两点，且直线PQ 的中点为M ，求OM 的最大值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()124f x ax x =++-（a >0）． （Ⅰ）若a =1，解不等式()9f x ≤；f x 恒成立，求实线a的取值范围．（Ⅱ）当x>0时，()4答案1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．D 9．B 10．A 11．A 12．D 13．1 14．1,17⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．5916．（1）827（2）100,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（第1空2分，第2空3分） 17．解：（Ⅰ）在212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭中，令n =1，得21111112a a S a +⎛⇒⎫=== ⎪⎝⎭ 当2n ≥时，由22111122n n n n S a a S --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⇒ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是有()()221111112022nn n n n n n n n a a a S S a a a a ----++⎛⎫⎛⎫=-=-⇒+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为数列{}n a 的各项均为正数，所以()()111120202n n n n n n n n a a a a a a a a ----+--=⇒--=⇒-=， 则数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以有1(1)221n a n n =+-⋅=-，显然11a =适合，因此()*21n a n n =-∈N ． 由222nS n n T ==，令n =1，得112b T ==；当2n ≥时，由21(1)122n S n n T ---==，得21122n a n nn n T b T --===， 所以()21*2n n b n -=∈N ． （Ⅱ）记()()1111n n n d a a +=++，数列{}n d 的前n 项和为n D ，所以()()111111112(22)41n n n d a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，则11111114223144n nD n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭． 由212n n b -=可知，数列{}n b 是以12b =为首项，4为公比的等比数列，则数列{}n b 的前n 项和为()()214241143n n --=-，故数列{}n c 的前n 项和()241344n n nC n -=++．18．解：（Ⅰ）完成22⨯列联表：2K 的观测值2200(60802040)33.33 6.63580120100100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”．（Ⅱ）按照分层抽样的方法可得，抽取男生2人，设为a ，b ；女生4人，设为A ，B ，C ，D ，从这6人中随机抽取4人，末被抽取的2人有{a ，b }，{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{a ，D }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{b ，D }，{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{B ，C }，{B ，D }，{C ，D }，共有15种不同的基本结果， 其中抽取到1男3女的情况，即未抽取的2人是1男1女，则有{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{a ，D }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{b ，D }，共有8种不同的基本结果， 所以抽取到1男3女的概率为815． 19．（Ⅰ）证明：如图，连接BD ，设AC 与BD 交于点O ，连接FO ，EO ．因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF =AC ，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， 所以AF ⊥平面ABCD ．因为四边形ABCD 的正方形，所以2BD AC ===．在直角梯形ACEF 中，EF AC ∥，O 为AC 的中点，则AO =EF =1，且AO EF ∥． 又因为AF =EF ，AF AC ⊥ ，所以四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以AF EO ∥，且EO =AF =1， 所以EO ⊥平面ABCD ． 因为BD ⊂平面ABCD ， 所以EO BD ⊥，则DE BE ===所以222BE DE BD +=， 所以BE DE ⊥．因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF AD ⊥，所以DF ==所以222EF DE DF +=，所以DE EF ⊥． 又因为BE EF E ⋂=，BE ，EF ⊂平面BEF ， 所以DE ⊥平面BEF ． 又因为DE ⊂平面CDE ， 所以平面BEF ⊥平面CDE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BD OE ⊥，BD AC ⊥，OE AC O ⋂=，则BD ⊥平面ACEF ． 多面体ABCDEF 可以视为四棱雉B -ACEF 和四棱雉D -ACEF 的组合体， 故其体积为11(12)121332ACEF S BD +⨯⋅=⨯⨯=梯形． 20．解：（Ⅰ）由题意，得22411,c a a b ==+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩．则228,2,a b ⎧=⎨=⎩ 故椭圆22:182x y C +=． （Ⅱ）（ⅰ）由题意可得，直线1l 的切线斜率一定存在．令直线1:1(2)l y k x -=-，联立22182x y +=， 整理得()222418(12)4(12)80k x k k x k ++-+--=，所以()()222264(12)441161640k k k k k ∆=--+--=， 即22441(21)0k k k ++=+=，所以12k =-， 故直线11:1(2)2l y x -=--，即直线1:240l x y +-=．（ⅱ）由（ⅰ），设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:20AB x y m ++=，联立22182x y +=， 整理得222280x mx m ++-=，且()2224886440m m m ∆=--=->，即-4<m <4，所以212128,2m x x m x x -+=-=，则||AB ==． 又点P 到直线:20AB x y m ++=的距离d =，且-4<m <4， 所以1||2PAB S AB d =⋅△=4)m =+=令()22()16(4)f m m m =-+，则()()2222()2(4)2(4)164(4)284(4)(2)f m m m m m m m m m m '=-+++-=-++-=-+-， 所以()f m 在()4,2-上单调递增，在()2,4上单调递减，即当m =2时，PAB △面积取最大值，此时直线2l 的方程为x +2y +2=0． 21．证明：（Ⅰ）由题意，得()11()e 11x f x a x-'=--+． 记()11()()e 11x F x f x a x -='=--+，则121()e x F x a x-'=+． 因为0a ≥时，()0F x '>恒成立，所以()()F x f x ='在(0,)+∞上单调递增． 因为(1)0f '=，所以()f x '在()0,1上恒小于0，在(1,)+∞上恒大于0，所以()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．因为()10f =，所以()f x 有唯一零点x =1．（Ⅱ）由()()()211g x g x f x =-，得21112ln e1x x ax a x -+=+-．记()e x m x a x =+，故()()21ln 1m m x x -=． 因为()e x m x a x =+在(0,)+∞上单调递增，所以211ln x x -=， 则()12111111111111ln 11ln 1ln 11ln 1ln 212112x x x x x x x x x x x +-++⎡⎤+-=+-=-+--⎢⎥---⎣⎦， 设1()(1)ln1ln 2x h x x x x +=-+-- 则111()ln 121x x h x x x+-'=++-+，22121()1(1)h x x x x ''=++++． 因为()0h x ''>在(0,)+∞上恒成立，所以()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)0h '=，所以()0h x '<的解集为()0,1，()0h x '>的解集为(1,)+∞，所以()h x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0h x h ≥=． 又因为11x >，所以12111ln 121x x x +-+>-． 22．解：（Ⅰ）当点B 在线段AO 上时，由||||16OA OB ⋅=，得4,3B π⎛⎫⎪⎝⎭或4,3B π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 当点B 不在线段AO 上时，设(,)B ρθ，则16,A θπρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以16cos()2θπρ+=，所以8cos ρθ=-． 又33ππθπ-≤+≤，所以4233ππθ-≤≤-． 综上所述，曲线C 的极坐标方程为428cos 33ππρθθ⎛⎫=--≤≤- ⎪⎝⎭或43πρθ⎛⎫==± ⎪⎝⎭． （Ⅱ）若曲线C 为43πρθ⎛⎫==± ⎪⎝⎭，此时点P ，Q 重合，不合题意．若曲线C 为428cos 33ππρθθ⎛⎫=--≤≤- ⎪⎝⎭，设直线1:33l ππθαα⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭， 由,cos 2,θαρθ=⎧⎨=⎩得2cos Q ρα=； 由,8,cos θαρθ=⎧⎨=-⎩得8cos P ρα=-．因为M 是线段PQ 的中点，所以14cos 2cos P QM ρρραα+==-+． 因为,33ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1cos ,12α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 记cos t α=，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 又14y t t =-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[]3,0y ∈-， 故当0α=时，OM 取最大值为323．解：（Ⅰ）若1a =，则()124f x x x =++-．当1x ≤-时，()339f x x =-+≤，则2x ≥-，所以21x -≤≤-；当12x -<<时，()59f x x =-+≤，则4x ≥-，所以12x -<<； 当2x ≥时，()339f x x =-≤，则4x ≤，所以24x ≤≤．综上所述，()9f x ≤的解集为{}2|4x x -≤≤．（Ⅱ）因为0a >，0x >，所以当02x <<时，()()142254f x ax x a x =++-=-+≥恒成立，即()()04,24,f f ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩得32a ≥； 当2x ≥时，()()124234f x ax x a x =++-=+-≥恒成立，即()24f ≥，得32a ≥． 综上所述，实数a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。

2019-2020学年四川省成都市石室中学高三（上）月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，N＝{x|x＞0}，则（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅D．M∪N＝R2．已知i为虚数单位，则i+i2+i3++i2019等于（）A．i B．1C．﹣i D．﹣13．已知命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1＞0，命题q：若x≥0，则2x2﹣3x+1≤0，则以下命题正确的为（）A．p的否定为“∃x∈[0，+∞），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”B．p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”C．p的否定为“∃x∈[0，+∞），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x≥0，则2x2﹣3x+1＞0”D．p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x≥0，则2x2﹣3x+1＞0”4．已知{a n}是公差为的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5＝（）A．B．35C．D．255．中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A．y＜x B．y≤x C．x≤y D．x＝y6．设函数f（x）＝，则满足2f（f（a））＝f（a）的a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）7．若直线y＝k（x﹣2）+4与曲线y＝有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．（﹣∞，﹣1] 8．已知a＝2ln3，b＝3ln2，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．10．函数f（x）＝x2+x﹣（x+1）sin x的零点的个数是（）A．1B．2C．3D．411．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，其与抛物线E：y2＝交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为正三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，为f（x）的零点：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在区间（﹣）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A．11B．13C．15D．17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n}满足a1＝1，，则a5＝．14．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝．15．已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，直线与抛物线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若|QF|＝3，则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，sin C＝2sin B．（1）求；（2）若AD＝AC＝1，求BC的长．18．随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后关于x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△P AD 是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面GAC；（2）求三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣ABC的体积之比．20．已知函数（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求证：当a≥3﹣e时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．22．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+（y﹣4）2＝4．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）过原点O作圆C的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程．2019-2020学年四川省成都市石室中学高三（上）月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}，N＝{x|x＞0}，则（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅D．M∪N＝R【解答】解：已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}＝{x|1≤x≤2}，N＝{x|x＞0}，则由集合的运算和集合的关系可得：M⊆N，B正确；故选：B．2．已知i为虚数单位，则i+i2+i3++i2019等于（）A．i B．1C．﹣i D．﹣1【解答】解：i+i2+i3++i2019＝＝．故选：D．3．已知命题p：∀x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1＞0，命题q：若x≥0，则2x2﹣3x+1≤0，则以下命题正确的为（）A．p的否定为“∃x∈[0，+∞），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”B．p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”C．p的否定为“∃x∈[0，+∞），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x≥0，则2x2﹣3x+1＞0”D．p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，q的否命题为“若x≥0，则2x2﹣3x+1＞0”【解答】解：因为命题的否定只要否定结论，故p的否定为“∃x∈（﹣∞，0），2x2﹣3x+1≤0”，否命题既要否定条件又要否定结论，故q的否命题为“若x＜0，则2x2﹣3x+1＞0”．故选：B．4．已知{a n}是公差为的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列，则S5＝（）A．B．35C．D．25【解答】解：∵{a n}是公差为的等差数列，S n为{a n}的前n项和，a2，a6，a14成等比数列，∴＝（）（），解得a1＝，∴S5＝5×+＝．故选：C．5．中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x＝5，y＝2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A．y＜x B．y≤x C．x≤y D．x＝y【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝5，y＝2，n＝1x＝，y＝4不满足条件，执行循环体，n＝2，x＝，y＝8，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n＝3，x＝，y＝16，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n＝4，x＝，y＝32，此时，x＜y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．6．设函数f（x）＝，则满足2f（f（a））＝f（a）的a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[2，+∞）【解答】解：作出y＝f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a））＝f（a），设t＝f（a），可得t≥，即有2f（t）＝t，当t＞1时，2•＝t成立，即有a＞2或a＜0；当≤t≤1时，21﹣t＝t，即有t＝1，可得a＝0或a＝2．综上可得a的范围是a≥2或a≤0．故选：D．7．若直线y＝k（x﹣2）+4与曲线y＝有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：直线y＝k（x﹣2）+4，当x＝2时，y＝4，可得此直线恒过A（2，4），曲线y＝为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示：当直线y＝k（x﹣2）+4与半圆相切（切点在第二象限）时，圆心到直线的距离d＝r，∴＝2，即4k2﹣16k+16＝4+4k2，解得：k＝，当直线y＝k（x﹣2）+4过点C时，将x＝﹣2，y＝0代入直线方程得：﹣4k+4＝0，解得：k＝1，则直线与曲线有2个交点时k的范围为（，1]．故选：C．8．已知a＝2ln3，b＝3ln2，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a＝2ln3＝ln9，b＝3ln2＝ln8＜ln9＝a，c＝，∴c＞a＞b，故选：C．9．已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα＝．故选：B．10．函数f（x）＝x2+x﹣（x+1）sin x的零点的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：令x2+x﹣（x+1）sin x＝0，则x（x+1）＝（x+1）sin x，显然x＝﹣1为方程的一个根，当x≠﹣1时，有x﹣sin x＝0，令g（x）＝x﹣sin x，则g′（x）＝1﹣cos x≥0，即函数g（x）在定义域上为增函数，而g（0）＝0，∴函数g（x）＝x﹣sin x只有一个零点x＝0，即方程x﹣sin x＝0只有唯一解x＝0，综上，函数f（x）＝x2+x﹣（x+1）sin x有2个零点．故选：B．11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距为4，其与抛物线E：y2＝交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为正三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，﹣n），（m，n＞0），可得|AB|＝|OA|＝2n，即有＝n，又n2＝m，解得m＝，n＝1，则﹣＝1，且c＝2，即a2+b2＝4，可得a＝b＝，则e＝＝．故选：C．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，为f（x）的零点：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在区间（﹣）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）A．11B．13C．15D．17【解答】解：由题意知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝为y＝f（x）图象的对称轴，x＝﹣为f（x）的零点，∴•＝，n∈Z，∴ω＝2n+1．f（x）在区间（﹣，）上有最小值无最大值，∴周期T≥（+）＝，即≥，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得﹣×15+φ＝kπ，φ＝﹣，函数为y＝f（x）＝sin（15x﹣），在区间（﹣，）上，15x﹣∈（﹣，，），此时f（x）在x＝﹣时取得最小值，∴ω＝15满足题意．则ω的最大值为15，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n}满足a1＝1，，则a5＝100．【解答】解：∵，∴{lga n}是以lga1＝0为首项，为公差的等差数列，∴，∴，∴，故填100．14．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝﹣1．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．15．已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．【解答】解：由圆锥体积为，其底面半径为1，可求得圆锥的高为2，设球半径为R，可得方程：R2﹣（2﹣R）2＝1，解得R＝，∴＝，故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，直线与抛物线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若|QF|＝3，则＝．【解答】解：如图所示：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，F到准线l的距离为2，可得p＝2．∴抛物线的方程为y2＝4xF（1，0），准线为x＝﹣1，则|QF|＝3＝x Q+1，解得x Q＝2．联立，化为x2﹣（4m2+2）x+5＝0．∴2x P＝5，解得x P＝，过P，Q作准线的垂线，交于M，N，则＝＝＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，sin C＝2sin B．（1）求；（2）若AD＝AC＝1，求BC的长．【解答】解：（1）由正弦定理可得在△ABD中，，（2分）在△ACD中，，又因为∠BAD＝∠CAD，（2）sin C＝2sin B，由正弦定理得AB＝2AC＝2，（7分）设DC＝x，则BD＝2x，则（9分）因为∠BAD＝∠CAD，所以，解得（11分）18．随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后关于x 的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表： 先从收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【解答】解：（1）调整前y关于x的表达式为y ＝，调整后y 关于x 的表达式为y ＝；（2）由频率分布表可知从[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分层抽样抽取7人，其中[3000，5000）中占3人，分别记为A，B，C，[5000，7000）中占4人，分别记为1，2，3，4，从这7人选2人的所有基本事件有AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14，23，24，34共21种情况，其中不在同一收入人群的有A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4种，所以所求概率为P＝＝，（3）由于工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起点前应交纳个税为1500×3%+2500×10%＝295元，按调整起点后应交纳个税为2500×3%＝75元，由此可知，调整后应交纳个税少交220元，所以小李的实际收入增加了220元．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△P AD 是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面GAC；（2）求三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣ABC的体积之比．【解答】证明：（1）取AD的中点为O，连接OP，OC，OB，设OB交AC于H，连接GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形．∴OB⊥AC，OB∥CD．∴CD⊥AC．∵△P AD为等边三角形，O为AD中点，∴PO⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD且平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面P AD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．∵CD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥CD ．∵H ，G 分别为OB ，PB 的中点，∴GH ∥PO ．∴GH ⊥CD ． 又∵GH ∩AC ＝H ，∴CD ⊥平面GAC ．（2）三棱锥D ﹣GAC 与三棱锥P ﹣ABC 的体积之比为：＝．20．已知函数（e 为自然对数的底数）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）求证：当a ≥3﹣e 时，对∀x ∈[0，+∞），f （x ）≥﹣1． 【解答】解：（1）＝，由f '（x ）＝0得x ＝1或x＝a ．当a ＝1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内单调递增．当a ＜1时，函数f （x ）在（﹣∞，a ），（1，+∞）内单调递增，在（a ，1）内单调递减． 当a ＞1时，函数f （x ）在3，（a ，+∞）内单调递增，在（1，a ）内单调递减． （2）证明：要证∀x ∈[0，+∞），f （x ）≥﹣1，即证x ∈[0，+∞），f （x ）min ≥﹣1． ①由（1）可知，当a ＞1，x ∈[0，+∞）时，f （x ）min ＝min {f （0），f （a ）}．f （0）＝﹣1，．设，a ＞1，则，∴g （a ）在（1，+∞）单调递增，故，即f （a ）＞﹣1．∴f （x ）min ＝﹣1．②当a ＝1时，函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，f （x ）min ＝f （0）＝﹣1．③当3﹣e≤a＜1时，由（1）可知，x∈[0，+∞）时，f（x）min＝min{f（0），f（1）}．又∵f（0）＝﹣1，，∴f（x）min＝﹣1．综上，当a≥3﹣e时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥﹣1．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．所以由题意得解得a2＝3．所以椭圆C的方程为+y2＝1．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．（7分）令△＝36m2﹣48m2+48＞0，得﹣2＜m＜2．，．（9分）因为△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，所以NP平行于x轴．过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点．设点Q的坐标为（x Q，y Q），则．由方程组，解得m2+2m+1＝0，解得m＝﹣1．而m＝﹣1∈（﹣2，2），所以直线l的方程为y＝x﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+（y﹣4）2＝4．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）过原点O作圆C的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+（y﹣4）2＝4．∴圆心直角坐标为C（0，4），∴＝4，，∴圆心C的极坐标为C．（Ⅱ）当直线与圆相切时，设切点A（ρ，θ），连结AC，则AC⊥OA，△OAC中，|OA|＝|OC|cos（）＝|OC|sinθ，∴ρ＝4sinθ，|OC|＝4，|AC|＝2，|OA|＝2，|OA|＝，∴，∴θ＝，∴弦的中点轨迹的极坐标方程为ρ＝4sinθ.．。

四川省成都市石室中学(高中部)2018年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣3或x＞﹣2} B．{x|x＜﹣或x＞﹣}C．{x|﹣＜x＜﹣} D．{x|﹣3＜x＜﹣2}参考答案：C【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再代入不等式bx2﹣5x+a＞0求解集即可．【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，∴方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3，∴，解得a=﹣1，b=﹣6；∴不等式bx2﹣5x+a＞0为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，解得﹣＜x＜﹣；∴不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是{x|﹣＜x＜﹣}．故选：C．2. 登上一个四级的台阶（可以一步上一级、二级、三级或四级），在所有行走方式中恰有一步是两级的概率（）A． B． C． D．参考答案：B3. 点P（x，y）是曲线是参数）上任意一点，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．参考答案：D略4. 已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A．B．两两平行C．D．方向都相同参考答案：B【考点】二元一次方程组的矩阵形式；充要条件．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选B．【点评】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．5. 可表示为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据排列数的定义可得出答案。