电路基本分析 主编石生 第8章 动态电路的时域分析

注意：
a. 在 t=0+等效电路中可用电压为 uC(0+) 的理想电压源
替代C元件，用电流为 iL(0+) 的理想电流源替代L元件。
b. 对于t=0－及t=0+ 等效电路求f(0－)或 f(0+) 值时，可用
稳态电路的计算方法求。
c. t=0+ 及 t>0+时电路状态是不同的。
Chapter 8
例8-1 电路如图示，S闭合前电路已处于稳态，
此方法适用于简单电路初值的确定。
Chapter 8
方法二：等效电路法。
（1）由 t=0－等效电路，按稳态电路计算求uC(0－) 和iL(0－) 。 注意：直流时：C元件开路，L元件短路。
（2）由换路定则确定uC(0+) 和iL(0+) 。
（3）由 t=0+ 等效电路计算待求的电压或电流的初值。
Chapter 8

] 零状态响应
4． f (t ) = f ()[1 - e ] f (0 )e
-
t
-
t

t
= f () [ f (0 ) - f ()]e
-

t 0
即全响应可分解为零输入响应与零状态响应。
Chapter 8
小结： 1.一般来说，在含有储能元件的电路中，当开关动作或 参数突变时，电路从旧稳态到新稳态要经历一个过渡过程， 称为动态过程。 2.求解一阶电路动态响应的解是三要素公式。该公式是 通过一阶电路所列的一阶微分方程求解得到的。 3.电路的动态过程响应可分为零输入响应、零状态响应 和完全响应。对于一个电路的完全响应可视为零输入响应和 零状态响应的叠加。
1 L uL US 2 R3 iR1 iC 4 10 4 0. uC 5 C R1 R2 S
iL(0 - )
2 R3 4
US
10
R1 4
t = 0-
uC(0-)
R2
[ , H , F , V ]
解：作出 t=0－ 等效电路
uC (0 - ) = 10V
i L (0 - ) =
US 10 = = 5A R1 // R2 2
Chapter 8
由换路定则可知： u C (0 ) = u C (0 - ) = 10V 画出t=0+等效 电路
R i = 0 电路到达新的稳定状态。
i
直至 uC = U S
Chapter 8
我们把uC 从 0 →US 称为此电路的动态过程。
t=0 时刻称为换路。
一般认为：电路通过换路从旧的稳定状态达到新的 稳定状态 的过程称为电路的动态过程。
Chapter 8
二.产生动态过程的原因：
当电路中含有储能元件，同时电路结构或参数改变时
重点：动态电路初始条件的求解方法。 难点：对换路定则使用范围的理解。
Chapter 8 8-3 电路的初始条件
一阶电路的初始条件是指动态过程时间起点的电压和 电流值u(0+)、 i(0+) 。 一.换路定则： 换路指电路结构或参数变化。如：开关的开、合， 电源或电路参数突然发生变化。
Chapter 8
t = 0-
Chapter 8
（2）由换路定则可知： uC (0 ) = uC (0 - ) = 12V
（3）求i1(0+) ， i2(0+) 和 iC(0+) ：
画出 t=0+等效电路。其中C元件用 uC(0+)=12V 的理想电压 源替代。 R1 i1(0+) i2(0+) U S - uC (0 ) 12 - 12 i = = 0A 则：1 (0 ) = ic(0+) 4 R1 4
uC (0 ) 12 i2 (0 ) = = = 1.5A R2 43;)
8
iC (0 ) = i1 (0 ) - i2 (0 ) = 0 - 1.5 = -1.5A
Chapter 8
例8-2 图示电路，S打开前电路已处于稳态。 t=0 时S 打开， 求 iC(0+) ， iR1(0+) 和 uL(0+) 。
Chapter 8
从以上证明可知，当iC 与uL 为有界函数时换路定则才 成立。 例如：
S (t = 0)
US
R
S (t = 0)
R
iC uC
C
iL
US
uL
L
图中 iC 与uL 在换路时都为有限值。
Chapter 8
3.说明一种情况： 例一: t <0 ：S闭合以前 uC(0－) =0， 换路时，由KVL可知：
i C
uC = U S
Chapter 8
2.电路中储能元件有储能，换路后（无外加激励） 引起的电路动态过程的响应——零输入响应。 例如右图。
S (t = 0 )
开关闭合前
uC = U0
，
开关闭合后uC从U0减少直至0。
U0 C
uC
R
Chapter 8
3.储能元件有储能同时有外加激励时的电路响应——完 全响应。 例如右图。其中U0≠ US 开关闭合前
2． f (t ) ～动态过程的响应；
f ( ) ～稳态值（强制分量）；
[ f (0 ) - f ()]e
-
t

～暂态值（自由分量）。
Chapter 8
3． f () = 0时， f (t ) = f (0 )e
t

零输入响应
t
f (0 ) = 0时， f (t ) = f ()[1 - e
Chapter 8
二.三要素法： 适用范围：一阶线性时不变电路。 一阶线性微分方程的一般形式：
df (t ) af (t ) = g (t ) dt
d 式中： ～表示有储能元件； dt a ～用电路参数表示的常数；
g(t) ～与外施激励有关的项，直流时为常数。
Chapter 8
S (t = 0)
证明①：
1 在任意时刻： uC (t ) = uC (t 0 ) C

t
t0
iC ( )d
令t0=0－ ， t=0+ 则有：
1 uC (0 ) = uC (0- ) C

0
0-
iC ( )d
当 iC(0)为有限值时，

0
0-
iC ( )d = 0

u C (0 ) = u C (0 - )
当 t=0 时S闭合，求初值 i1(0+) ， i2(0+) 和iC(0+) 。
R 1 i1 4 US 12V uC
i2 8 R2 US 1F S (t = 0)
R1 4 12V
8 R2 uC(0-) S
解： （1）求uC(0－) ： 画出 t=0－ 等效电路
uC (0 - ) = 12V
sa =0
特征根为
s = -a
f (t ) = Ke st = Ke -at = Ke
t
1 令 = a

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2．求非齐次方程（原方程）特解 f″(t) f″(t)应满足 设：
df (t ) af (t ) = g (t ) dt
f (t ) = f p (t )
S (t = 0)
US
R
uC = U 0
uC
i C
开关闭合后uC从U0变化直至US。 三者的关系：完全响应=零状态响应+零输入响应
Chapter 8
四.分析动态过程要用的电路定律 1.时域内元件的VCR：
diL R： u = Ri L： u L = L dt 2.时域内KCL、KVL。
五.分析方法：
S (t = 0)
iC
US
uC
C
uC (0 ) = U S uC (0 - ) = 0
因为此时，即 t =0 时，uC从0跳变为US，所以 iC→∞ ， 换路定则不成立。
Chapter 8
例二:
S ( t = 0)
i L (0 - ) = 0
t = 0-
t = 0 i L (0 ) = i S i L (0 - ) = 0
duC C：iC = C dt
1.时域分析法：据电路定律列微分方程，求解。 2.复频域分析法（运算法）：由LT将微分方程转换为 代数方程求解，再求 LT-1 ，求得时域解。
3.状态变量法：建立状态变量的一阶微分方程组，计
算机求解。
Chapter 8 8-2 求解一阶电路的三要素法
一.一阶电路： 由电路定律列出的电路方程是一阶微分方程的电路。 判别方法：将电路中的全部独立源置0后，能简化为 只含一个储能元件的电路为一阶电路。
t = 0 - 表示换路前的一瞬间；
t = 0 表示刚换路后开始的一瞬间。
说明： t=0- 到 t=0+无时间间隔，提出它的本意是将旧的稳定 状态和动态过程分开。 1．换路定则：
u C (0 ) = u C (0 - )
①
②
i L (0 ) = i L (0 - )
Chapter 8
2.证明：
产 生动态过程。如上例。 因为有储能元件，电路从旧的稳定状态到新的稳定状态 不能突变。
Chapter 8
1 2 设：原来uC1=0 ，现在uC2=5V ， WC = Cu C 2 1 C 52 - 0 WC 2 P 不可能 。 当t = 0时， = ， = 则 P= t t
如C元件的uC 。
t
则原方程通解为
f (t ) = f (t ) f (t ) = Ke
-

f p (t )