2015届苏州市高三数学寒假作业：2015年2月13日

2015年2月23日姓名__________学号____________一、填空题1.抛物线y 2=x 的焦点坐标为 .2. 已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是 . 3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 . 4.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 . 5.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 .6.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是 .7.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率2e =，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+= ．二．解答题9. 已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点(3,0)A，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程.10.椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e3(0,)2P到这个椭圆上的点的最，求这个椭圆的方程，并椭圆上到点P的点的坐标.11．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．。

2015年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）试题、参考答案数学Ⅰ试题参考公式：圆柱的体积公式：V 圆柱 = Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.圆锥的体积公式：V 圆锥 = 13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高.一、 填空题：本大题共14小题，每小题5 分，共计70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合A ={1，2，3}，B ={2，4，5}，则集合A B 中元素的个数为______. 2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为______. 3. 设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位)，则z 的模为______. 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为______.5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______. 6. 已知向量(2,1)a =，(1,2)b =-. 若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈，则m n -的值为______. 7. 不等式224xx-<的解集为______.8. 已知1tan 2,tan()7ααβ=-+=，则tan β的值为______. 9. 现有橡皮泥制作的底面积半径为5,、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个. 若将他们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径形同的心的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______.10. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210(m x y m m R ---=∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______.11. 设数列{}n a 满足11a =，且*11()n n a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎛⎫⎪⎝⎭前10项的和为______.12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点. 若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为_____.13. 已知函数20,()ln ,()42,f x xg x x ⎧⎪==⎨--⎪⎩ 01,1,x x <≤>则方程()()1f xg x +=实根的个数为______.14. 设向量(cos ,sin cos )(0,1,2,...,12)666k k k k a k πππ=+=，则()1110k k k a a +=∑的值为______.二、解答题：本大题共6小题，共计90 分. 请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在ABC ∆中，已知2,3,60AB AC A ===. (1) 求BC 的长； (2) 求sin 2C 的值.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=. 设1AB 的中点为D ，11B CBC E =.求证：(1) DE//平面11AAC C ； (2)11BC AB ⊥.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路. 记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l . 如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米. 以l 1，l 2所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy . 假设曲线C 符合函数2ay x b=+(其中a ，b 为常数)模型.(1) 求a ，b 的值；(2) 设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .① 请写出公路l 长度的函数解析式f ( t )，并写出其定义域； ② 当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程.已知函数32()(,)f x x ax b a b R =++∈. (1) 试讨论()f x 的单调性；(2) 若b c a =-(实数c 是与a 无关的常数)，当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞，求c 的值.20. (本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列. (1) 证明：31242,2,2,2a a a a 依次构成等比数列；(2) 是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由； (3) 是否存在1,a d 及正整数n ，k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由.数学Ⅱ(附加题)21. 【选择题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两个小题平分. 解答时应写出文字说明、证明过程和演算步骤.A. [选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，在ABC ∆中，AB AC =，ABC ∆的外接圆O 的弦AE 交BC 于点D.求证： △ABC ∽△AEB .B. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知,x y R ∈，向量11α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦是矩阵10x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值-2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.C. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.D. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 解不等式232x x ++≥.第21-A 题 第22题【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====.(1) 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2) 点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.23. (本小题满分10分)已知集合{}{}*1,2,3,1,2,3,...,()n X Y n n N ==∈，设{(,)n S ab=a 整除b 或b整除a ，},n a X b Y ∈∈. 令()f n 表示集合n S 所含元素的个数. (1) 写出(6)f 的值；(2) 当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.数学(Ⅰ、Ⅱ)试题答案1. 52. 63.4. 75. 566. -37.{}12x x -<<或(1,2)-8. 39.10. 22(1)2x y -+= 11. 201112.13. 414. 15. 解：(1) 由余弦定理知，22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以BC = (2) 由正弦定理知，sin sin AB BC C A =，所以21sin ,sin AB C A BC ===.因为AB BC <，所以C 为锐角，则cos C ==因此sin 22sin cos 27C C C ==⨯=.(1) 由题意知，E 为1B C 的中点， 又D 为1AB 的中点，因此DE //AC .又因为DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ， 所以DE //平面11AAC C .(2) 因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥.又因为AC BC ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C =，所以AC ⊥平面11BCC B .又因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥.因为1BC CC =,所以矩形11BCC B 是正方形，因此11BC B C ⊥. 因为1,AC B C ⊂平面1B AC ，1ACB C C =，所以1BC ⊥平面1B AC .又因为1AB ⊂平面1B AC ，所以11BC AB ⊥.第16题 第17题 第18题(1) 由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入2a y x b =+，得40,25 2.5,400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩(2)① 由(1)知，21000(520)y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000(,)t t， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000'y x=-，则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得233000(,0),(0,)2t A B t.故()[5,20]f t t =∈. ② 设624410()g t t t ⨯=+，则651610'()2g t t t ⨯=-. 令'()0g t =，解得t =当t ∈时，'()0,()g t g t <是减函数；当t ∈时，'()0,()g t g t >是增函数.从而，当1t =时，函数()g t 有极小值，也是最小值，所以min ()300g t =，此时min ()f t =.答：当t =l的长度最短，最短长度为.18. 解：(1)由题意，得2c a =且23a c c +=，解得1,a c ==则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2) 当AB x ⊥轴时，AB =，又3CP =，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则1,2x =，C的坐标为2222(,)1212k kk k -++，且212(1)()12k AB k +===+. 若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意.从而0k ≠，故直线PC 的方程为22212()1212k k y x k k k +=--++， 则P 点的坐标为2252(2,)(12)k k k +-+，从而PC =. 因为2PC AB ==1k =±.此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+. 19. 解：(1) 2'()32f x x ax =+，令'()0f x =，解得1220,3ax x ==-. 当0a =时，因为2'()30(0)f x x x =>≠，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，2(,)(0,)3a x ∈-∞+∞时，2'()0,(,0)3af x x >∈-时，'()0f x <，所以函数()f x 在2(,),(0,)3a -∞+∞上单调递增，在2(,0)3a-上单调递减；当0a <时， 2(,0)(,)3a x ∈-∞-+∞时，2'()0,(0,)3af x x >∈-时，'()0f x <所以函数()f x 在2(,0),(,)3a -∞-+∞上单调递减，在2(0,)3a-上单调递减.(2) 由(1)知，函数()f x 的两个极值为324(0),()327a fb f a b =-=+，则函数()f x 有三个零点等价于324(0)()()327a f fb a b -=+，从而30,4027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或30,40.27a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<.设34()27g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞，则在(,3)-∞-上()0g a <，且在33(1,)(,)22+∞上()0g a >均恒成立，从而(3)10g c -=-≤，且3()102g c =-≥，因此1c =.此时，322()1(1)[(1)1]f x x ax a x x a x a =++-=++-+-，因函数有三个零点，则2(1)10x a x a +-+-=有两个异于-1的不等实根， 所以22(1)4(1)230a a a a ∆=---=+->，且2(1)(1)10a a ---+-≠，解得33(,3)(1,)(,)22a ∈-∞-+∞.综述1c =. 20. 解：(1) 证明：因为11222(1,2,3)2n n n n a a a d a n ++-===是同一个常数，所以31242,2,2,2a a a a 依次构成等比数列. (2) 令1a d a +=，则1234,,,a a a a 分别为,,,2(,2,0)a d a a d a d a d a d d -++>>-≠.假设存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列， 则43()()a a d a d =-+，且624()(2)a d a a d +=+. 令d t a =，则31(1)(1)t t =-+，且641(1)(12)(1,0)2t t t t +=+-<<≠， 化简得32220(*)t t +-=，且21t t =+. 将21t t =+代入(*)式，2(1)2(1)2313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-.显然14t =-不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列. (3) 假设存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列， 则22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+，且32(2)111()(3)(2)n k n k n k a d a d a d +++++=+.分别在两个等式的两边同除以2()1n k a +及2(2)1n k a +，并令11(,0)3d t t t a =>-≠，则22()(12)(1)n k n k t t +++=+，且32(2)(1)(13)(12)n k n k n k t t t +++++=+. 将上述两个等式两边取对数，得(2)ln(12)2()ln(1)n k t n k t ++=++， 且()ln(1)(3)ln(13)2(2)ln(12)n k t n k t n k t +++++=++. 化简得2[ln(12)ln(1)][2ln(1)ln(12)]k t t n t t +-+=+-+， 且3[ln(13)ln(1)][3ln(1)ln(13)]k t t n t t +-+=+-+. 再将这两式相除，化简得()ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++**. 令()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++，则2222[(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1)]'()(1)(12)(13)t t t t t t g t t t t ++-+++++=+++，令222()(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1)t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则'()6[(13)ln(13)2(12)ln(12)(1)ln(1)]t t t t t t t ϕ=++-+++++. 令1()'()t t ϕϕ=，则1'()6[3ln(13)4ln(12)ln(1)]t t t t ϕ=+-+++. 令21()'()t t ϕϕ=，则212'()0(1)(12)(13)t t t t ϕ=>+++.由122(0)(0)(0)(0)0,'()0g t ϕϕϕϕ====>，知21(),(),(),()t t t g t ϕϕϕ在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调.故()g t 只有唯一零点0t =，即方程()**只有唯一解0t =，故假设不成立.所以不存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列.21. 【选做题】 A. 证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠. 又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠， 又BAE ∠为公共交，可知△ABC ∽△AEB .B. 解：由已知，得2A αα⋅=-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则12,2,x y -=-⎧⎨=⎩即1,2,x y =-⎧⎨=⎩ 所以矩阵1120A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 从而矩阵A 的特征多项式()(2)(1)f λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1.C. 以极坐标系的几点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C的极坐标方程2(cos )4022ρθθ+--=， 化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=.则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=， 即22(1)(1)6x y -++=，所以圆C.D. 原不等式可化为3,232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩ 或3,233 2.x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩解得5x ≤-或13x ≥-.综上，原不等式的解集是15,3x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭.第21-A 题第22题22. 以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则个点的坐标为(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)B C D P .(1) 因为AD ⊥平面PAB ，所以AD 是平面PAB 的一个法向量，(0,2,0)AD =. 因为(1,1,2),(0,2,2)PC PD =-=-， 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m PC =，0m PD =，即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，解得1x =，1z =. 所以(1,1,1)m =是平面PCD 的一个法向量. 从而3cos ,3AD m AD m AD m==， 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为3. (2) 因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2)BQ BP λλλ==- (01)λ≤≤，又(0,1,0)CB =-，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--，又(0,2,2)DP =-， 从而cos ,10CQ DP CQ DP CQ DP==.设12t λ+=，[1,3]t ∈，则2222229co s ,5109101520999t CQ DP t t t ==≤-+⎛⎫-+⎪⎝⎭.当且仅当95t =，即25λ=时，cos ,CQ DP 的最大值为. 因为cos y x=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值又因为BP ==255BQ BP ==.23. 解： (1) (6)13f =.(2) 当6n ≥时，2,6,23112,61,2322,62,23()12,63,2312,64,23122,65,23n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩ *()t N ∈.下面用数学归纳法证明：① 当6n =时，66(6)621323f =+++=，结论成立；② 假设(6)n k k =≥时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在(1,1)k +，(2,1)k +，(3,1)k +中产生，分以下情形讨论： 1) 若16k t +=，则6(1)5k t =-+，此时有1211(1)()323(1)22323k k k k f k f k k k --+++=+=++++=++++，结论成立；2) 若161k t +=+，则6k t =，此时有(1)1(1)1(1)()121(1)22323k k k k f k f k k k +-+-+=+=++++=++++结论成立；3) 若162k t +=+，则61k t =+，此时有111(1)2(1)()222(1)22323k k k k f k f k k k --++-+=+=++++=++++结论成立；4) 若163k t +=+，则62k t =+，此时有2(1)11(1)()222(1)22323k k k k f k f k k k -+-++=+=++++=++++结论成立；5) 若164k t +=+，则63k t =+，此时有11(1)1(1)()222(1)22323k k k k f k f k k k -++-+=+=++++=++++结论成立；6) 若165k t +=+，则64k t =+，此时有1(1)()12123k k f k f k k -+=+=++++(1)1(1)2(1)223k k k +-+-=++++ ，结论成立；综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立。

（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业 专题02 简易逻辑及其应用（测）（含解析）时间：45分钟 满分：100分一.选择题（每小题5分，共50分）1 ．（2013年高考重庆卷（文））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R∈,都有200x ≥ D ．存在0x R∈,都有200x <2 ．（2013年高考四川卷（文））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则( )A ．:,2p x A xB ⌝∃∈∈B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈C ． :,2p x A x B ⌝∃∈∉D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉3 ．（2013年高考湖南（文））“1<x<2”是“x<2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2-<”是“a ba b a()0<”的( )4. ．（2013年高考天津卷（文））设,a b∈R, 则“A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. ．（2013年高考山东卷（文））给定两个命题qp,,p q⌝是的必要而不充分条件,则p q⌝是( )A．充分而不必要条 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.（2013年高考陕西卷（文））设z是复数, 则下列命题中的假命题是( )A．若20z≥, 则z是实数 B．若20z<, 则z是虚数C．若z是虚数, 则20z≥ D．若z是纯虚数, 则20z<7.（2013年高考福建卷（文））设点),(yxP,则“2=x且1-=y”是“点P在直线1:=++yxl上”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8.（2013年上海高考数学试题（文科））钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件9.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是: ( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧ C.p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝10.（2013年高考湖北卷（文））在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．()p ⌝∨()q ⌝B p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q二.填空题（每小题5分，共20分）11. 已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2a x＋2－a＝0”．若命题“ p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________．12．下列四项中，p是q的必要不充分条件的是________(填序号)．①p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d；②p：a>1，b>1，q：f(x)＝a x－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限；③p：x＝1，q：x2＝x；④p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数．13. 设命题p：a2<a，命题q：对任意的x∈R，都有x2＋4a x＋1>0.若命题p与q中有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是________．14．（2013年高考山东卷（文））定义“正对数”:0(01)lnln(1)xxx x+<<⎧=⎨≥⎩，，,现有四个命题:①若,0>>ba,则aba b++=ln)(ln;②若,0>>ba,则baab++++=lnln)(ln③若0,0>>b a ,则ba b +++-=ln ln )(ln④若0,0>>b a ,则2ln ln ln )(ln ++≤++++b a b a 其中的真命题有____________ (写出所有真命题的序号)三.解答题（每小题15分，共30分）15.已知p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根， q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根． 若p 或q 为真，p 且q 为假．求实数m 的取值范围.16.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠.⑴若22a =,求1a 及na ;⑵若21a>-,求证:1()2n nS a a≤+,并给出等号成立的充要条件.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

2014-2015学年江苏省苏州市高三上学期数学期末试卷【选做题】本题包括1、2、3、4四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）1．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连结OP与⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D．若PA=12cm，PC=6cm，求CD的长．【选修4-2：矩阵与变换】（共1小题，满分10分）2．（10分）已知矩阵，A=，向量=，求向量，使得A2=．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）3．在极坐标系中，已知圆ρ=3cosθ与直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）4．设实数x，y，z满足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值．二、【必做题】第5题、第6题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．（10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1．（1）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为60°．6．（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．2014-2015学年江苏省苏州市高三上学期数学期末试卷参考答案与试题解析【选做题】本题包括1、2、3、4四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）1．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连结OP与⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D．若PA=12cm，PC=6cm，求CD的长．【解答】解：连接AO，∵PA为圆的切线，∴△PAO为Rt△，∴122+r2=（r+6）2，∴r=9．又CD垂直于PA，∴OA∥CD，∴=，解得CD=cm．【选修4-2：矩阵与变换】（共1小题，满分10分）2．（10分）已知矩阵，A=，向量=，求向量，使得A2=．【解答】解：设，由可知：，故，解得，所以．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）3．在极坐标系中，已知圆ρ=3cosθ与直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【解答】解：由圆ρ=3cosθ，可得ρ2=3ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=3x，配方为，圆心为C，半径r=．直线2ρcosθ+4ρsinθ+a=0化为直角坐标方程：2x+4y+a=0．∵直线与圆相切可得：=，解得a=﹣3．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）4．设实数x，y，z满足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值．【解答】解：12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=36，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值是，当且仅当x==，即x=，y=，z=．二、【必做题】第5题、第6题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．（10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1．（1）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为60°．【解答】解：（1）如图，以，，为正交基底，建立空间直角坐标系，则E（0，0，1），D（，0，0），B（0，，0），F（，1），平面ADF的法向量=（1，0，0），=（，0），=（），设平面DFB的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，﹣），∴cos＜＞==，∵二面角A﹣DF﹣B的平面角是锐角，∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°．（2）解：由题意，设P（a，a，0），（0），则=（，，1），=（0，，0），∵PF与BC所成的角为60°，∴cos60°=|cos＜＞|==，解得a=或a=（舍），∴点P在线段AC的中点处．6．（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金﹣投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解答】解：（1）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1，P （ξ=1）=，P （ξ=0）=，P （ξ=﹣1）=，∴ξ的分布列为：Eξ=﹣=．…（6分） （2）设η表示10万元投资乙项目的收益， 则η的可能取值为2，﹣2， P （η=2）=α， 2p ∴Eη=2α﹣2β=4α﹣2，∵把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，∴4α﹣2≥，解得．…（12分）。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 参考公式： 圆柱的体积公式：sh V =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高.圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为▲ ．3. 设复数z 满足i z 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄 球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-x x 的解集为 ▲ ．8. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为 ▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．11. 设数列{}n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ．13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k =(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k k a a 的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11I .求证：（1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥. 17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点MBDABC到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程. M Nl 2l 1y CPl已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说 明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证：ABD ∆∽AEB ∆B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.D.（选修4—5：不等式选讲） 解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域．．．．．E（第21——A内．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明. 2020-2-8P A BCDQ。

苏州市2015届高三调研考试数学试题一、填空题1.已知集合{|22},{|1}A x x B x x =-<<=≤，则A B =I .2.已知23(,,ia bi ab R i i+=+∈为虚数单位)，则a b += . 3.已知函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是3π，则正数k 的值为 .4.某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 . 5.已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为 . 6.运行如图所示的流程图，如果输入1,2a b ==， 则输出的a 的值为 .7.以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心， 离心率为2的双曲线标准方程为 . 8.设{1,1},{2,0,2}x y ∈-∈-，则以(,)x y 为坐标 的点落在不等式21x y +≥所表示的平面区域内的 概率为 . 9.已知函数()lg(1)2x a f x =-的定义域是1(,)2+∞， 则实数a 的值为 .10.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 . 11.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r，点F 为DE 中点，则BF DE u u u r u u u rg 的值为 .12.已知函数24,()43,f x x x ⎧=⎨+-⎩,.x m x m ≥<若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .13.已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .A D F EBC14.已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为 . 二、解答题15.已知向量(sin ,2),(cos ,1)a b θθ==，且,a b 共线，其中(0,)2πθ∈.（1）求tan()4πθ+的值；（2）若5cos(),02πθϕϕϕ-=<<，求ϕ的值.16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AD DD 中点. 求证：（1）EF ∥平面1C BD ； （2）1A C ⊥平面1C BD .17.如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC ︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.（1）若围墙AP ,AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？ （2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000A B C D A 1B 1C 1D 1APQC元，问如何围可使竹篱笆用料最省？18.如图，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上.（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：OM g ON 为定值.19.已知函数()(1)xf x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值.20.已知数列{}n a 中1111,33n n n a n a a a n+⎧+⎪==⎨⎪-⎩((n n 为奇数）为偶数）.（1）是否存在实数λ，使数列2{-}n a λ是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n .数 学数学Ⅱ 附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)2绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式： 圆柱的体积公式：shV=圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高. 圆锥的体积公式：sh V 31=圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字3上．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合BA Y 中元素的个数为 ▲ ．2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．3. 设复数z 满足iz 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), nm -的值为 ▲ ．7. 不等式422<-xx 的解集为 ▲ ．1←S1←IWhile48. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为▲ ．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ． 10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11. 设数列{}na 满足11=a，且11+=-+n a an n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧na1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线51=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k=(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0Λ=k )，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.616．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC⊥， 1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BCC B =11I . 求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角ABCDEA BC7坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y xb =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；8（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分） 已知函数),()(23R b a b ax xx f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；BAO x ylP C9（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a aa a 依次成等比10数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.★ 启用前绝密2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆ 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径. AB C ED O （第21D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ==== （1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分） 已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Yn ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.PAB C D Q。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置.上. 1.已知集合A —1, 2 3? , B —2, 4, 5?，则集合AU B 中元素的个数为▲ .2.已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为▲ .23. 设复数z 满足z =3 4i (i 是虚数单位)，贝U z 的模为 ▲ .4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ▲ .5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球， 从中一次随机摸出 2只球，则这2只球颜色不同的概率为▲.6. 已知向量 a=(2,1), a =(1,—2 )，若 ma + nb=(9,— 8 後 m n ^ R ),则m -n 的值为 ▲.7. 不等式2X " 4的解集为 _▲_.18. 已知 tan 〉= -2, tan，则 tan :的值为 ____ ▲ ___79. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为 2、高为8的圆柱各一个。

若将它 们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径 为 ▲10. 在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx - y - 2m-1 = 0(m • R)相切的所有 圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ .（第4题图）* 111.数列｛a n｝满足印=1，且a n十一a n= n+1 ( n^N ),则数列｛一｝的前10项和为▲.a n的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为▲.r o,ocx^i13.已知函数f(x)=|lnx|, g(x) =」2 ，则方程| f(x) + g(x) 1=1实根的个数为Jx _4|-2,XA1▲ .k兀k兀1214.设向量a k = (cos ,sin cos ' )(k =0,1,2,…,12)，则(a k a k d)的值为▲6 6 6 7二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. (本小题满分14分)在VABC 中，已知AB =2,AC =3,A =600(1) 求BC的长；(2) 求sin2C的值.16. (本小题满分14分)A U如图，在直三棱柱ABC-AB1G中，已知AC _ BC,BC =C G .设AB1的中点为D,B1C I BC^E.求证：(1)DE〃平面AA1CC1;(2) BG _ AB1.17. (本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为4,12 ,山区边界曲线为C,计划修建的公路为I，如图所示，M , N为C的两个端点，测得点M到|仆l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l 1, l2的距离分别为20千米和2.5千米，以11, *所在的直线分别为x, y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y二飞 J (其中a, b为常数)模型.x2 +b(1) 求a, b的值；(2) 设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路I 长度的函数解析式 f t ，并写出其定义域;19. (本小题满分16分)已知函数 f (x) =x 3 亠ax 2 亠b(a,b ：= R )； (1)试讨论f (x)的单调性；⑵若b =c-a (实数c 是与a 无关常数)，当函数f (x)有三个不同零点时，a 的取值范围恰好 是(_：-3) U 1,2U 3，求 c 的值. 20. (本小题满分16分)设a !, a 2,a 3, a 4是各项为正数且公差为 d (d = 0)的等差数列. (1)证明：2ai , 2a2,2a3,2a4依次成等比数列；234⑵是否存在q,d ，使得a“a 2 , a 3 , a °依次成等比数列，并说明理由；②当t 为何值时，公路I 的长度最18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系 2 X xOy 中，已知椭圆~2 + a2b 2= l(a > b >0)的离心率左准线I 的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线交椭圆于 A , B 两点，线段AB 的垂直平分线分 别交直线I 和AB 于点P , C ,若PC=2AB ，求直线AB 的方程.O I 2en -^,右焦点F 到(3)是否存在ai,d及正整数n,k，使得ai：a2n k, a3n 3k,a4n 5k依次成等比数列，并说明理由.附加题21. (选择题)本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多 做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、 I 选修4-1 :几何证明选讲丨(本小题满分10分)如图，在.ABC 中，AB 二AC , AABC 的外接圆圆0的弦AE 交BC 于点D .求证：.ABD ： . ：AEB .B 、 1-选修4-2 :矩阵与变换 1 (本小题满分10分)C 「1 1 X 11已知x,y^R ，向量a = I 是矩阵A= |的属性特征值-2的一个特征向量，矩阵 A 以及X［y 0 一它的另一个特征值.C 、 ［选修4-4:坐标系与参数方程］ 已知圆C 的极坐标方程为^2- ^.2?sin( )-4=0，求圆C 的半径.4D 、 ［选修4-5:不等式选讲］ 解不等式x - |2x 3^3 .22.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知PA_平面ABCD ，且四边形 ABCD 为 直角梯形，ABC =/BAD = —, PA =AD =2,AB =BC =1.2(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；⑵点Q 是线段BP 上的动点，当直线 CQ 与DP 所成角最小时，求线段 BQ 的 长.23.已知集合 X 二｛1,2,3｝, Y n 二｛1,2,3,L_|n ｝(n N *)，设S n 二｛(a,b)|a 整除b 或除a,a ，X,b ，£｝，令f(n)表示集合S n 所含元素个数E 第21A 图pBC(1)写出f(6)的值；(2)当n -6时，写出f (n)的表达式，并用数学归纳法证明.1、5 ;2、6 ;3、 .. 5 ;4、7;5、5/6;6、-3;7、(-1,2)&已Dtan a = -2, tan(a + 0) = £,贝'Jtan P 的值为 __________ 3_屮f9现有橡皮泥制作的底面半径为匚高为斗的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个*若将它们重新制作成总体积与高均保持不变'但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则 新的底面半径为 _____ 石 _____ …’(1015江苏离考第卬理)在平面自角坐标条©中.以点山0)为岡心且与頁线曲工-，- 2曲一 1 =O(m e R)相切的所有■圆中.半栓最大的@1的标准方程为 ______ .M ＞直= 定点(2,-1),根据垂线段最短知当(2,-1)为切点时.圆半控最大，此时半径为/\所以所求的圜的方桎为Gr-l)2+/=2.(20出年高考江苏春第11働数列彻」満足。

2015江苏高考数学卷word版(理)及答案D1.2.结果S 为 ▲ ．3.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ．4.已知向量()21a =，，()2a =-1，，若()()98ma nb mn R +=-∈，，则m-n 的值为 ▲ ．5.不等式224x x-<的解集为 ▲ ．8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ▲ ． 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11.数列}{na 满足11=a，且11+=-+n a an n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ▲ ．13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数 为 ▲ ． 14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分） 在△ABC 中，已知2,3,60.AB AC A === (1)求BC 的长； （2）求sin2C 的值。