【百强名校】江苏省苏州中学2021届第一学期高三数学

2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥0}2.（单选题.5分）已知sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .则cosα=（）A. √210B. 3√210C. √22D. 7√2103.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2b＜2a−b中.正确的不等式的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则8a+bab的最小值是（）A.10B.9C.8D. 3√25.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K1+e−0.23(t−53).其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.696.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0xe x，x≤0则函数y=f（1-x）的图象大致是（）A.B.C.D.7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2.且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（）A.50m.100mB.40m.90mC.40m.50mD.30m.40m9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. √2π B. (1+√2)π C. 2√2π D. (2+√2π)10.（多选题.5分）关于x 的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a 的值可以为（ ） A.2 B.1 C.-1 D. −1211.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt .我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 f (x )=sinx +12sin2x .则下列结论正确的是（ ） A.2π是f （x ）的一个周期 B.f （x ）在[0.2π]上有3个零点 C.f （x ）的最大值为3√34D.f （x ）在 [0，π2] 上是增函数12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m.则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3xC.f （x ）=x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnxD.f（x）= 2x2x+1.g（x）=2（x-1-e-x）13.（填空题.5分）若二次函数f（x）=-x2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）在整数集Z中.被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：① 2014∈[4]；② -3∈[3]；③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④ 整数a.b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．其中.正确的结论是___ ．15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 713.θ∈（0.π）.则tanθ=___ ．16.（填空题.5分）已知A、B、C是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则y=ca+b +bc的最小值是___ ．17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π2）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．20.（问答题.12分）已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．（1）若a=-1.解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增.求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立.求a的取值范围．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy中.已知椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B.焦距为2.直线l与椭圆交于C.D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时.四边形ACBD的面积为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AC.BD的斜率分别为k1.k2．① k2=3k1.求证：直线l过定点；② 若直线l过椭圆的右焦点F.试判断k1k2是否为定值.并说明理由．22.（问答题.12分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R. （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数.并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0.f（x）≥0成立.求a的取值范围．2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥0}【正确答案】：C【解析】：推导出集合A.B.由此能求出A∪B．【解答】：解：∵集合A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.B={x|y= √x}={x|x≥0}.∴A∪B={x|x≥-1}．故选：C．【点评】：本题考查并集的求法.考查并集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.5分）已知sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .则cosα=（）A. √210B. 3√210C. √22D. 7√210【正确答案】：A【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α- π4）的值.进而根据α=（α- π4）+π4.利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．【解答】：解：因为sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .所以α- π4∈（- π4.- π4）.可得cos（α- π4）= √1−sin2(α−π4) = 45.则cosα=cos[（α- π4）+ π4]=cos（α- π4）cos π4-sin（α- π4）sin π4= 45× √22- 35×√22= √210．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．3.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2b＜2a−b中.正确的不等式的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：利用不等式的性质逐一判断.即可得结论．【解答】：解：若b＜a＜0.则|b|＞|a|.故① 错误；若b＜a＜0.则a+b＜0.ab＞0.∴a+b＜ab.故② 正确；a2 b -（2a-b）= a2−2ab+b2b= (a−b)2b.由（a-b）2＞0.b＜0.∴ (a−b)2b ＜0.即a2b＜2a−b .故③ 正确．故正确的不等式有2个．故选：C．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质.及作差法比较大小的应用.属于基础题．4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则8a+bab的最小值是（）A.10B.9C.8D. 3√2【正确答案】：B【解析】：求出原函数的导函数.由f′（1）=2a+b=2.得a+b2=1 .把8a+bab变形为8b+1a后整体乘以1.展开后利用基本不等式求最小值．【解答】：解：由f（x）=ax2+bx.得f′（x）=2ax+b.又f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2. 所以f′（1）=2a+b=2.即a+b2=1．则8a+bab = 8b+1a=(a+b2)(8b+1a)=8ab+b2a+5≥2√8ab•b2a+5=9．当且仅当{2a+b=28ab=b2a.即{a=13b=43时“=”成立．所以8a+bab的最小值是9．故选：B．【点评】：本题考查了导数的运算.考查了利用基本不等式求最值.考查了学生灵活变换和处理问题的能力.是中档题．5.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K1+e−0.23(t−53).其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【正确答案】：C【解析】：根据所给材料的公式列出方程K1+e−0.23(t∗−53)=0.95K.解出t即可．【解答】：解：由已知可得K1+e−0.23(t∗−53) =0.95K.解得e-0.23（t*-53）= 119.两边取对数有-0.23（t*-53）=-ln19.解得t*≈66.故选：C．【点评】：本题考查函数模型的实际应用.考查学生计算能力.属于中档题6.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0xe x，x≤0则函数y=f（1-x）的图象大致是（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：利用导数分析出f（x）的单调性.进而得到f（x）图象示意图.再根据f（1-x）图象与f（x）图象的关系即可进行判断【解答】：解：当x＞0时.f（x）=xlnx.则令f′（x）=lnx+1=0.解得x= 1e.所以当0＜x＜1e 时.f（x）单调递减.x＞1e时.f（x）单调递增.当x≤0时.f（x）= xe x .则令f′（x）= 1−xe x≥0.所以当x≤0时.f（x）单调递增.作出函数f（x）的图象如图：又因为f（1-x）的图象时将f（x）图象先关于y轴对称.再向右移动一个单位得到的.故根据f（x）图象可值f（1-x）图象为故选：B．【点评】：本题考查函数图象的变换.涉及导数判断函数单调性.数形结合思想.属于中档题．7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）【正确答案】：A【解析】：根据题意.分析可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.由此结合函数的奇偶性可得f（2019）、f（2020）和f（2021）的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.f（2020）=f（0+4×505）=f（0）=0.f（2021）=f（1+4×505）=f（1）=8.f（2019）=f（-1+4×505）=f（-1）=-f（1）=-8.故有f（2019）＜f（2020）＜f（2021）.故选：A．【点评】：本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用.注意分析函数的周期.属于基础题． 8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m 的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为 α2.且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（ ） A.50m.100m B.40m.90m C.40m.50m D.30m.40m 【正确答案】：B【解析】：由题意如图所示.分别在两个三角形中求出AB.CD 用α的表示的代数式.再由在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC .可得tan∠AOB•tan∠COD=1.进而可得AB.CD 的关系.求出AB.CD 的值【解答】：解：设AB.CD 分别为两个塔.BD=120m.O 为BD 的中点. 由题意如图所示：可得AB=BD•tan α2 =120•tan α2 . CD=BD•tanα=120•tanα=120 •2tanα21−tan 2α2.因为在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC . tan∠AOB•tan∠COD=1. 即 AB 12BD•CD 12BD=1.所以 AB•CD12×120×12×120=1.即AB•CD=602. 而AB•CD=120•tan α2 •120 •2tan α21−tan 2α2. 所以1=8tan 2α21−tan 2α2.tan α2 ＞0.解得tan α2 = 13 .所以AB=120×tan α2 =40. CD=120×2tanα21−tan 2α2=90.故选：B ．【点评】：本题考查正切的二倍角公式的应用及互相垂直的直线的应用.属于中档题．9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（）A. √2πB. (1+√2)πC. 2√2πD. (2+√2π)【正确答案】：AB【解析】：分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论.当绕的边是直角边是.所形成的几何体的表面积为底面面积加侧面面积.当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积.而扇形面积等于12×c底面周长×l母线长.进而求出所形成的几何体的表面积．【解答】：解：若绕一条直角边旋转一周时.则圆锥的底面半径为1.高为1.所以母线长l= √2 .这时表面积为12•2π•1•l+π•12=（1+ √2）π；若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起.且由题意底面半径为√22.一个圆锥的母线长为1.所以表面积S=2 •12 2 π•√22•1= √2π .综上所述该几何体的表面积为√2π .（1+ √2）π.故选：AB．【点评】：考查旋转体的表面积.属于中档题．10.（多选题.5分）关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a的值可以为（）A.2B.1C.-1D. −12【正确答案】：CD【解析】：利用已知条件判断a的符号.求出不等式对应方程的根.然后列出不等式求解即可．【解答】：解：关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.所以a＜0.因为a≥0时.不等式的解集中的整数有无数多个．不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0.对应的方程为：（ax-1）（x+2a-1）=0.方程的根为：1a和1-2a；由题意知. 1a＜0.则1-2a≤3.解得a≥-1；当a=-1时.不等式的解集是（-1.3）.解集中含有3个整数：0.1.2；满足题意．当a=- 12时.不等式的解集是（-2.2）.解集中含有3个整数：-1.0.1；满足题意．当a∈（-1.- 12）时.不等式的解集是（1a.1-2a）.解集中含有4个整数：-1.0.1.2；不满足题意．当a∈（- 12 .0）时.不等式的解集是（1a.1-2a）.解集中含有整数个数多于4个.不满足题意．综上知.a的值可以是-1和12．故选：CD．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是中档题．11.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt.我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x .则下列结论正确的是（）A.2π是f（x）的一个周期B.f（x）在[0.2π]上有3个零点C.f（x）的最大值为3√34D.f（x）在[0，π2]上是增函数【正确答案】：ABC【解析】：求出函数y=sinx与y= 12sin2x的周期.取最小公倍数求原函数的周期判断A；求出函数的零点个数判断B；利用导数求最值判断C；举例说明D错误．【解答】：解：∵y=sinx的周期为2π.y= 12sin2x的周期为π.∴ f(x)=sinx+12sin2x的周期为2π.故A正确；由 f (x )=sinx +12sin2x =0.得sinx+sinxcosx=0.得sinx=0或cosx=-1. ∵x∈[0.2π].∴x=0.x=π.x=2π.则f （x ）在[0.2π]上有3个零点.故B 正确； 函数 f (x )=sinx +12sin2x 的最大值在[0. π2 ]上取得.由f′（x ）=cosx+cos2x=2cos 2x+cosx-1=0.可得cosx= 12.当x∈（0. π3）时.cosx 单调递减.原函数单调递增.当x∈（ π3 . π2 ）时.cosx 单调递减.原函数单调递减.则当x= π3 时.原函数求得最大值为sin π3 +12sin 2π3 = 3√34.故C 正确；∵f （ π4 ）=sin π4 + 12sin π2 = √2+12 ＞1.f （ π2 ）=sin π2+ 12sinπ =1.∴f （x ）在 [0，π2] 上不是增函数.故D 错误． 故选：ABC ．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查三角函数的图象与性质.训练了利用导数求最值.属难题．12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m.则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3xC.f （x ）=x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnxD.f （x ）= 2x 2x+1.g （x ）=2（x-1-e -x ）【正确答案】：BD【解析】：本题从大学数列极限定义的角度出发.仿造构造了分渐近线函数.目的是考查学生分析问题、解决问题的能力.考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0进行作答.是一道好题.思维灵活.要透过现象看本质．【解答】：解：f （x ）和g （x ）存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0． f （x ）=x 2.g （x ）= √x .当x ＞1时便不符合.所以A 不存在；对于B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3x肯定存在分渐近线.因为当时.f （x ）-g （x ）→0； 对于C.f （x ）= x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnx . f (x )−g (x )=1x −1lnx .设λ（x ）=x-lnx. λn (x )=1x 2 ＞0.且lnx ＜x.所以当x→∞时x-lnx 越来愈大.从而f （x ）-g （x ）会越来越小.不会趋近于0. 所以不存在分渐近线； 对于D.f （x ）= 2x 2x+1 .g （x ）=2（x-1-e -x ）.当x→+∞时. f (x )−g (x )=−21+1x+2+2e x →0 .故选：BD ．【点评】：本题较难.涉及到部分大学内容.属于拓展类题目13.（填空题.5分）若二次函数f （x ）=-x 2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (45，+∞)【解析】：利用二次函数根的分布问题即可求解．【解答】：解：根据二次函数根的分布思想.要满足题意只需： {f (−1)＞0f (3)＞0 .即 {−1−2a +4a +1＞0−9+6a +4a +1＞0 .解得 {a ＞0a ＞45 .即a ＞45 .故答案为：（ 45，+∞ ）．【点评】：本题考查了二次函数根的分布问题.考查了学生对二次函数图象的掌握熟练度.属于基础题．14.（填空题.5分）在整数集Z 中.被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：① 2014∈[4]； ② -3∈[3]； ③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④ 整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”． 其中.正确的结论是___ ． 【正确答案】：[1] ① ③ ④【解析】：根据“类”的定义.逐一进行判断即可；对于 ① .看2014除以5的余数即可；对于 ② .将-3表示成5×（-1）+2即可判断；对于 ③ .被5除所得余数有且只有五类；对于 ④ .根据定义分析即可．【解答】：解： ① ∵2014÷5=402…4.∴2014∈[4].故 ① 正确； ② ∵-3=5×（-1）+2.∴-3∉[3].故 ② 错误；③ 因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类.故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4].故 ③ 正确；④ ∵整数a.b 属于同一“类”.∴整数a.b 被5除的余数相同.从而a-b 被5除的余数为0. 反之也成立.故“整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”．故 ④ 正确． 故答案为： ① ③ ④【点评】：本题考查命题的真假性判断.读懂题目中的新定义是关键.属于中档题． 15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 713 .θ∈（0.π）.则tanθ=___ ． 【正确答案】：[1]- 125【解析】：利用同角三角函数的基本关系求得2sinθcosθ=- 120169 .可得θ为钝角.tanθ＜0；再根据2sinθcosθ= 2tanθtan 2θ+1 =- 120169 .求得tanθ的值．【解答】：解：∵sinθ+cosθ= 713 .∴1+2sinθcosθ= 49169 .∴2sinθcosθ=- 120169 ＜0. 结合θ∈（0.π）.可得θ为钝角.∴tanθ＜0． 再根据2sinθcosθ= 2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ = 2tanθtan 2θ+1 =- 120169 .∴tanθ=- 125.故答案为：- 125．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用.属于基础题． 16.（填空题.5分）已知A 、B 、C 是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则 y =ca+b +bc 的最小值是___ ．【正确答案】：[1] √2−12【解析】：先将函数变形.并化简.再利用基本不等式.即可求得结论．【解答】：解：依题意.得b+c≥a .于是 y =ca+b +bc = ca+b +b+c c−1= ca+b +b+c+b+c2c −1≥ ca+b +a+b+c2c−1 = ca+b+a+b2c−12≥ √2−12其中.等号当且仅当b+c=a且ca+b =a+b2c.即a= 1+√22c .b= −1+√22c时成立．所以.所求最小值为√2−12故答案为：√2−12【点评】：本题考查基本不等式的运用.解题的关键是化简函数.并利用基本不等式求最值.属于中档题．17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件可知集合A即求y=log2(−4x2+15x−9) .故可表示出A=(34，3) .（2）由题得B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].根据p是q的充分不必要条件可知A是B的真子集.根据集合包含关系即可求出m取值范围．【解答】：解：（1）集合A即为函数y=log2(−4x2+15x−9)定义域.即需-4x2+15x-9＞0.即（x-3）（4x-3）＜0.解得A=(34，3)；（2）由|x-m|≥1⇔x-m≥1或x-m≤-1.即x≥m+1或x≤m-1.则B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].因为p是q的充分不必要条件.所以A是B的真子集.则m+1≤34或3≤m−1 .解得m≤−14或m≥4 .所以实数m的取值范围是(−∞，−14]∪[4，+∞)．【点评】：本题考查命题及其关系.涉及函数求定义域.集合的包含关系等知识点.属于中档题．18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π2）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意得振幅A.周期T.利用周期公式可求ω.将点P（1.2）代入解析式.结合范围0＜φ＜π2.可求φ.即可得解函数解析式．（Ⅱ）利用三角函数的图象变换可得g（x）=2sin π6x.利用三角函数恒等变换可求h（x）=1+2sin（π3 x- π6）.由π3x−π6=kπ .即可得解对称中心．【解答】：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意得振幅A=2.周期T=4×（4-1）=12.又2πω =12.则ω= π6…（2分）将点P（1.2）代入f（x）=2sin（π6x+φ）.得sin（π6x+φ）=1.∵0＜φ＜π2.∴φ= π3.…（4分）故f（x）=2sin（π6 x+ π3）…（5分）（Ⅱ）由题意可得g（x）=2sin[ π6（x-2）+ π3]=2sin π6x…（7分）∴h（x）=f（x）•g（x）=4sin（π6 x+ π3）•sin π6x=2sin2π6x+2 √3 sin π6x•cos π6x=1-cos π3x+√3 sin π3x=1+2sin（π3 x- π6）…（10分）由π3x−π6=kπ .得：x=3k+12(k∈Z)．∴y=h（x）图象的对称中心为：(3k+1，1)(k∈Z)…（12分）2【点评】：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.三角函数恒等变换的应用.正弦函数的图象和性质的应用.考查了转化思想.属于中档题．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明A1O⊥AC.通过平面AA1C1C⊥平面ABC.推出A1O⊥平面ABC．（2）如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标.求出平面A1BC1的法向量为n⃗=(x，y，z) .设直线AB与平面A1BC1所成角为α.利用空间向量的数量积求解即可．【解答】：（1）证明：∵AA1=A1C.且O为AC的中点.∴A1O⊥AC.又∵平面AA1C1C⊥平面ABC.且交线为AC.又A1O⊂平面AA1C1C.∴A1O⊥平面ABC；（2）解：如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．由已知可得O （0.0.0）A （0.-1.0） ，B(√3，0，0) ，A 1(0，0，√3) C 1(0，2，√3) . A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，0，−√3) . AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0) ，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0) 平面A 1BC 1的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) . 则有 {2y =0√3x −√3z =0.所以 n ⃗ 的一组解为 n ⃗ =(1，0，1) . 设直线AB 与平面A 1BC 1所成角为α. 则sinα= |cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|又∵ cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √32√2 = √64 . 所以直线AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值： √64 ．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法.平面与平面垂直的判断定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力．20.（问答题.12分）已知函数f （x ）=x 2+（x-1）|x-a|． （1）若a=-1.解方程f （x ）=1；（2）若函数f （x ）在R 上单调递增.求实数a 的取值范围；（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）取a=-1把函数分段.然后分段求解方程f （x ）=1； （2）分x≥a 和x ＜a 对函数分段.然后由f （x ）在R 上单调递增得到不等式组 {a+14≤aa +1＞0.求解不等式组得到实数a 的取值范围；（3）写出分段函数g （x ）.不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立.然后求出函数在不同区间段内的最小值.求解不等式得答案．【解答】：解：（1）当a=-1时.f （x ）=x 2+（x-1）|x+1|. 故有 f (x )={2x 2−1， x ≥−11， x ＜−1.当x≥-1时.由f （x ）=1.有2x 2-1=1.解得x=1或x=-1． 当x ＜-1时.f （x ）=1恒成立． ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}； （2） f (x )={2x 2−(a +1)x +a ， x ≥a (a +1)x −a ，x ＜a.若f （x ）在R上单调递增.则有 {a+14≤aa +1＞0.解得 a ≥13 ．∴当 a ≥13时.f （x ）在R 上单调递增； （3）设g （x ）=f （x ）-（2x-3）.则 g (x )={2x 2−(a +3)x +a +3，x ≥a(a −1)x −a +3， x ＜a.不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立． ∵a ＜1.∴当x∈（-∞.a ）时.g （x ）单调递减.其值域为（a 2-2a+3.+∞）. 由于a 2-2a+3=（a-1）2+2≥2. ∴g （x ）≥0成立．当x∈[a .+∞）时.由a ＜1.知 a ＜a+34.g （x ）在x=a+34处取得最小值. 令 g (a+34)=a +3−(a+3)28≥0 .解得-3≤a≤5.又a ＜1. ∴-3≤a ＜1． 综上.a∈[-3.1）．【点评】：不同考查了函数恒成立问题.考查了二次函数的性质.体现了数学转化思想方法.考查了不等式的解法.是压轴题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B.焦距为2.直线l 与椭圆交于C.D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时.四边形ACBD 的面积为6． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AC.BD 的斜率分别为k 1.k 2． ① k 2=3k 1.求证：直线l 过定点；② 若直线l 过椭圆的右焦点F.试判断 k1k 2是否为定值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意焦距为2.设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2a2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）.解得 y 0=±b 2a .从而四边形ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •b 2a=2b 2.由此能求出椭圆的标准方程． （2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）.联立直线与椭圆的方程 x 24+y 23=1 .得（3+4k 12）x 2+16k 12-12=0.推导出C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 13+4k 12 ）.D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k 23+4k 22）.由此猜想：直线l 过定点P（1.0）.从而能证明P.C.D 三点共线.直线l 过定点P （1.0）． ② 由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1.代入椭圆标准方程： x 24+y 23=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0.推导出y 1+y 2=- 6m 3m 2+4 .y 1y 2=- 93m 2+4 .由此推导出 k 1k 2= y 1x 1+2y 2x 2−2= y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = 13（定值）．【解答】：解：（1）由题意焦距为2.可设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）.得 1a 2+y 02b 2=1.解得 y 0=±b 2a .∴四边形ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •b 2a=2b 2. ∴b 2=3.a 2=4.∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23=1．证明：（2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）. 联立直线与椭圆的方程 x 24+y 23=1 .得（3+4 k 12 ）x 2+16k 12-12=0.∴-2x 1= 16k 12−123+4k 12 .解得x 1= 6−8k 123+4k 12 .从而y 1=k 1（x 1+1）= 12k13+4k 12 .∴C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 13+4k 12 ）.同理可得D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k23+4k 22 ）.猜想：直线l 过定点P （1.0）.下证之： ∵k 2=3k 1.∴k PC -k PD =12k 13+4k 12−8k 12−63+4k 12−1 -−12k 23+4k 228k 22−63+4k 22−1= 4k11−4k 12+12k 24k22−9= 4k 11−4k 12 + 36k 136k 12−9 = 4k 11−4k 12 - 4k 11−4k 12 =0. ∴P .C.D 三点共线.∴直线l 过定点P （1.0）． 解： ② k1k 2为定值.理由如下：由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1. 代入椭圆标准方程： x 24+y 23=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0. ∴y 1.2=−6m±√36m 2+36(3m 2+4)2(3m 2+4). ∴y 1+y 2=- 6m3m 2+4 .y 1y 2=- 93m 2+4 .∴ k 1k 2= y 1x 1+2y 2x 2−2 = y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = −9m 3m 2+4−(−6m3m 2+4−y 2)−9m3m 2+4+3y 2 =−3m3m 2+4+y 2−9m3m 2+4+3y 2= −3m3m 2+4+y 2−9m3m 2+4+3y 2 = 13 （定值）．【点评】：本题考查椭圆标准方程的求法.考查直线过定点的证明.考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法.考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识.考查运算求解能力.考查化归与转化思想.是中档题．22.（问答题.12分）设函数f （x ）=ln （x+1）+a （x 2-x ）.其中a∈R . （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数.并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0.f （x ）≥0成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a = 2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax-a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时.此时f′（x）＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时.△=a（9a-8）．① 当0＜a≤89时.△≤0. ② 当a ＞89时.△＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时.△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a ≤89时.可得函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．（2）当89＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.利用x∈（0.x2）时函数f（x）单调性.即可判断出；（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.研究其单调性.即可判断出【解答】：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a = 2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax-a+1．（1）当a=0时.g（x）=1.此时f′（x）＞0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．（2）当a＞0时.△=a2-8a（1-a）=a（9a-8）．① 当0＜a≤89时.△≤0.g（x）≥0.f′（x）≥0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．② 当a ＞89时.△＞0.设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1.x2.x1＜x2．∵x1+x2= −12.∴ x1＜−14 . x2＞−14．由g（-1）＞0.可得-1＜x1＜−14．∴当x∈（-1.x1）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x1.x2）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时.△＞0．由g（-1）=1＞0.可得x1＜-1＜x2．∴当x∈（-1.x2）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时.函数f（x）有一个极值点；时.函数f（x）无极值点；当0≤a ≤89时.函数f（x）有两个极值点．当a ＞89（II）由（I）可知：时.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．（1）当0≤a ≤89∵f（0）=0.∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．（2）当89又f（0）=0.∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.∴x∈（0.x2）时.函数f（x）单调递减．又f（0）=0.∴x∈（0.x2）时.f（x）＜0.不符合题意.舍去；＞0．（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.h′（x）= xx+1∴h（x）在（0.+∞）上单调递增．因此x∈（0.+∞）时.h（x）＞h（0）=0.即ln（x+1）＜x.可得：f（x）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x.时.当x＞1−1aax2+（1-a）x＜0.此时f（x）＜0.不合题意.舍去．综上所述.a的取值范围为[0.1]．【点评】：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值.考查了分析问题与解决问题的能力.考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力.属于难题．。

苏省苏州中学xx 学年度第一学期期初考试2021年高三上学期初考试数学试题含答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若a ＋i 1－i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值是____________．2. 已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪B ＝____________.3. 命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2＜4”的否命题是______ (填“真”或“假”)命题．4.在如图所示的算法流程图中，若输入m ＝4，n ＝3，则输出的a ＝__________.(第4题)5.把一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为____________．6. 在约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1下，则x －12＋y 2的最小值为__________．7.设α、β是空间两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外的两条不同直线．从“① m ⊥n ；② α⊥β；③ n ⊥β；④ m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________.(填序号)．8.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin A －sin Bsin C的值是____________．9. 已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________.10. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，－2－x，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是____________．11. 如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝CC 1＝2.若用平行于三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．(第11题)12. 已知椭圆x 24＋y 22＝1，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．13. 在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x 、y ≠0)，则4x ＋y 的最小值是______________．14.设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，AB ＝BC ＝AC ＝4，PA ＝PC ＝2 2.求证：(1) PA ⊥平面EBO ； (2) FG ∥平面EBO .16. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x 2－sin x2.(1) 设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且f (θ)＝3＋1，求θ的值； (2) 在△ABC 中，AB ＝1，f (C )＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin B 的值．17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2.设直线A 1B 1的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．(1) 求椭圆E 的离心率；(2) 判断直线A 1B 1与圆C 的位置关系，并说明理由； (3) 若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．18. (本小题满分16分)心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1＝4x＋4；若在t(t＞4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为at＋42(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．(1) 若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；(2) 若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．19. (本小题满分16分)已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1、a3、a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项．(1) 若k＝7，a1＝2.①求数列{a n b n}的前n项和T n；②将数列{a n}与{b n}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求S－22n－1＋3·2n－1的值；(2) 若存在m＞k，m∈N*使得a1、a3、a k、a m成等比数列，求证：k为奇数．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，证明：x 2－x 1≥1； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．江苏省苏州中学xx 学年度第一学期期初考试数学II(理科附加)本试卷满分40分,考试时间30分钟,将正确的答案写在答题卡的相应位置上。

2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={x|−2≤x ≤3}，N ={x|log 2x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−2,3]B. [−2,2]C. (0,2]D. (0,3]2. 若a >0，b >0，则“ab <1”是“a +b <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若tanα=34，则1+sin2α1−2sin 2α=( )A. −17B. −7C. 17D. 74. 函数f(x)=(3x −x 3)sinx 的部分图象大致为( )A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. −58B. 14C. 18D. 1186. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x.叫做函数f(x)的“躺平点”.若函数g(x)=lnx ，ℎ(x)=x 3−1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为( )A. α≥βB. a >βC. α≤βD. α<β7. 已知函数f(x)=Asin(ωx −π6)(A >0,ω>0)，直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，则A =( )B. 2C. √2D. 2√3A. 2√338.设数列{a m}(m∈N∗)，若存在公比为q的等比数列{b m+1}(m∈N∗)，使得b k<a k<b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是()A. 数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B. 若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1<⋯<a k−1<a k<⋯<a n和b1<⋯<b k−1<b k<⋯<b n<b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N∗C. 数列{a3}：−3，−1，2存在“等比分割数列”{b4}D. 数列{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,…,10)，若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈(2,2109)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）=2−i(i为虚数单位)，设复数z=(a+1)+(a−1)i，则下列9.已知实数a满足3−ai1+i结论正确的是()A. z为纯虚数B. z2为虚数C. z+z−=0D. z⋅z−=410.已知不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是()A. −1B. 3C. 2D. 011.关于函数f(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则()A. f(x)是偶函数B. f(x)的最小值为−1,π)单调递增C. f(x)在[−2π,2π]上有4个零点D. f(x)在区间(π212.如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则()A. CP的最小值为√32B. 当P在直线AE上运动时，三棱锥D−BPF的体积不变C. PD+PF的最小值为√2−√2D. 三棱锥A−DCE的外接球表面积为3π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =me x +xlnx 在x =1处的切线方程为y =3x +n ，则n =______． 14. 已知数列{a n }是等差数列，a 1>0，a 3+3a 7=0，则使S n >0的最大整数n 的值为______．15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为______平方米．16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1−x)=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；若对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，则关于x 的不等式f(x)≤sinπx 在区间[−32,32]上的解集为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2sinx,2sin(x +π4))，向量b ⃗ =(cosx,√62(cosx −sinx))，记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ (x ∈R)． (1)求f(x)表达式；(2)解关于x 的不等式f(x)≥1．18. 在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n 2−a n }为常数列，②S n =12(a n +n +1)(n ∈N ∗)，③a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，______． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n ； (2)设b k =1S 2k ⋅S 2k+1(k ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <34(n ∈N ∗)．19.在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD=2AD，求△ABC的面积．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．(1)求证：PC⊥BD；(2)若二面角P−BC−A大小为45°，求棱锥C−AMN的体积．−alnx(a>0)．21.已知函数f(x)=ax−1x(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=lnx−x+2sinx，f′(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f′(x)在(0,π)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M={x|−2≤x≤3}=[−2,3]，N={x|log2x≤1}=(0,2]，则M∩N= (0,2]．故选：C．先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a>0，b>0，⇒∵ab<1，令a=4，b=18，则a+b>1，∴充分性不满足．⇐当a+b<1时，0<a<1且0<b<1，所以ab<1，∴a>0，b>0，ab<1a+b<1的必要不充分条件，故选：B．判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为tanα=34，所以1+sin2α1−2sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α=tan 2α+1+2tanα1−tan 2α=(34)2+1+2×341−(34)2=7． 故选：D ．由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin 2α用tanα表示，再求值即可．本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵f(−x)=(−3x +x 3)sin(−x)=(3x −x 3)sinx =f(x)， ∴f(x)为偶函数，排除选项C ；当0<x <√3时，3x −x 3>0，sinx >0，∴f(x)>0， 当√3<x <π时，3x −x 3<0，sinx >0，∴f(x)<0， 故选：A ．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0<x <√3和√3<x <π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 由题意画出图形，把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18． 故选：C ．6.【答案】D【解析】解：g(x)=lnx 定义域为(0,+∞)，g′(x)=1x ， 由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx −1x ，x ∈(0,+∞)， 则α为函数t(x)=lnx −1x 的零点，t′(x)=1x +1x 2>0， 所以t(x)=lnx −1x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，又t(1)=−1<0，t(e)=1−1e >0，由零点存在性定理，α∈(1,e)． 另外ℎ(x)=x 3−1，ℎ′(x)=3x 2，由题意得：β3−1=3β2，令s(x)=x 3−1−3x 2，则β为函数s(x)=x 3−1−3x 2的零点，s′(x)=3x 2−6x ， 令s′(x)>0得：x >2或x <0，令s′(x)<0得：0<x <2，所以s(x)=x 3−1−3x 2单调递增区间为(−∞,0)，(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)， s(x)在x =0处取得极大值，s(0)=−1<0，在x =2处取得极小值， 故s(x)在(−∞,2)上无零点，因为函数在(2,+∞)上单调递增，且s(3)=27−1−27<0，s(4)=64−1−48>0，由零点存在性定理：β∈(3,4) 所以α<β． 故选：D ．对g(x)=lnx 求导，构造函数t(x)=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈(1,e)；同样的方法求出β∈(3,4)，得到答案．本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.【答案】B【解析】解：设函数周期为T ，由直线y =1与f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，(其中k ∈N ∗)，易知a 2k+1−a 2k−1=T ，因为a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2，所以a 2k −a 2k−1=13T ， 令顶点为(m,A)，所以m −a 2k−1=T6， 所以a 2k−1到左边零点的距离为T12，将y =sinx 与y =Asin(ωx −π6)相对比，确定1与A 两个最大值的比例， 当x ∈[0,π2]时，π2×T 12T 6+T 12=π6，所以1A =sinπ6sin π2=12，所以A =2，故选：B ．由正弦型函数的图象易知a 2k+1−a 2k−1=T ，结合条件可得a 2k −a 2k−1=13T ，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A ．本题考查了y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，数列{b 5}：2，4，8，16，32，数列{a 4}：3，7，12，24， 因为2<3<4<7<8<12<16<24<32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k<a k<b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1<a k+1<b k+2，所以b k<a k<b k+1<a k+1，故b k<b k+1，a k<a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：−3，−1，2的“等比分割数列”，所以b1<−3<b2<−1<b3<2<b4，因为−3<b2<−1，b1<−3，故q=b2b1∈(0,1)，q=b3b2∈(0,1)，因为−3<b2<−1，所以−1<b3<0，因为b4<2，则q=b4b3<0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n(n=1,2,...,10)，{b11}的首项为1，公比为q(q>1)，所以b n=q n−1，n=1，2， (11)因为b n<a n<b n+1，n=1，2， (10)则q n−1<2n<q n，n=1，2， (10)故2<q<2n n−1，n=2， (10)因为2n n−1=21+1n−1关于n单调递减，所以2<q<2109，即q∈(2,2109)，故D正确．故选：C．利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.【答案】ACD【解析】解：∵3−ai1+i=2−i，∴3−ai=(2−i)(1+i)=3+i，∴a=−1，∴z=−2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=(−2i)2=−4，为实数，故选项B错误，∴z+z−=−2i+2i=0，故选项C正确，∴z⋅z−=(−2i)×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：∵不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，∴△=4a2+4(b−1)=0，即a2=1−b≥0，∴b≤1，故选：AD．由不等式x2+2ax+b−1>0的解集是{x|x≠d}，得到△=0，求出b的取值范围即可．本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，函数定义域为R，f(−x)=sin|−x|+|cos(−x)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，f(x+2π)=sin|x+2π|+|cos(x+2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，所以2π是函数f(x)=sin|x|+|cosx|的一个周期，当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，此时f(x)的最小值为1，当x∈(π2,32π]时，f(x)=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，此时f(x)的最小值为−1，当x ∈(3π2,2π]时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 此时f(x)的最小值为−1，所以f(x)的最小值为−1，故B 正确；对于C ，当x ∈[0,π2]时，f(x)={sinx +cosx,0≤x ≤π2sinx −cosx,π2<x ≤3π2sinx +cosx,3π2<x ≤2π， 令f(x)=0，可得x =5π4，7π4， 又f(x)为偶函数，所以f(x)[−2π,2π]上有4个零点，故C 正确；对于D ，当x ∈(π2,π)时，sin|x|=sinx ，|cosx|=−cosx|， 则f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)， 当x ∈(π2,π),x −π4∈(π4,3π4)，所以函数f(x)在(π2,π)上不具备单调性，故D 错误； 故选：ABC ．利用奇偶性定义可判断A ；由f(x +2π)=sin|x +2π|+|cos(x +2π)|=sin|x|+|cosx|=f(x)，确定2π为函数f(x)的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B ；由于函数为偶函数，故研究x ∈[0,2π]时函数的零点情况，从而可得[−2π,2π]函数零点情况，可判断C ；确定(π2,π)上函数的解析式，可判断D ．本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，连接DP ，CP ，易得CP =√DP 2+CD 2=√DP 2+1≥√12+1=√62，故A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D −BPF 的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD +PF 取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C 错误；对于D ，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D 正确．故选：BD ．由题可知CP =√DP 2+CD 2，可判断A ；根据条件可知△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，可判断B ；将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，即可判断C ；由正方体的性质可判断D ．本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.【答案】−1【解析】解：由y =me x +xlnx ，得y′=me x +lnx +1， 则y′|x=1=me +1=3，即me =2， 又me =3+n ，∴3+n =2，即n =−1．故答案为：−1．求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】10【解析】解：数列{a n}是等差数列，a1>0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3(a1+6d)=0，解得a1=−5d，d<0，∴S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，∵d<0，n>0，∴S n>0时，n<11，∴使S n>0的最大整数n的值为10．故答案为：10．由等差数列通项公式求出a1=−5d，d<0，从而S n=na1=n(n−1)2d=−5nd+n(n−1)2d=d2(n2−11n)，由此能求出使S n>0的最大整数n的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】400【解析】解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S=12θr²，由题意400×12θr²+1000(2r+θr)≤24×104；化简得θr2+5(2r+θr)≤1200(∗)；又θr+2r≥2√2θr2，所以θr2+10√2θr2≤1200；设t=√2θr2，t>0，则t 22+10t ≤1200，解得−60≤t ≤40，所以当θr =2r =40时，面积S =12θr²的最大值为400． 故答案为：400．求出扇形的面积，得到关于θ，r 的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值． 本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.【答案】2 [−1,0]∪[1,32]【解析】解：因为f(1−x)=f(x)，且f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(−x)=−f(x)， 则f(1−x)=−f(−x)，则f(2−x)=−f(1−x)=f(−x)， 所以f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x 1，x 2∈[0,12]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>π，不妨设x 1>x 2，则f(x 1)−f(x 2)>πx 1−πx 2， 故f(x 1)−πx 1>f(x 2)−πx 2，故函数y =f(x)−πx 在[0,12]上为增函数，所以当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥f(0)−π×0=0， 令g(x)=sinπx ， 则y =sinπx −πx ， 因为y′=πcosπx −π≤0，所以y =sinπx −πx 是单调递减函数，当x ∈[0,12]时，g(x)−πx =sinπx −πx ≤g(0)−0=0， 即当x ∈[0,12]时，f(x)−πx ≥g(x)−πx ， 故f(x)≥g(x)，由对称性以及周期性作出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，所以f(x)≤sinπx在区间[−32,32]上的解集为[−1,0]∪[1,32]．利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f(2−x)=f(−x)，利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f(x)−πx在[0,12]上为增函数，从而f(x)−πx≥0，令g(x)=sinπx，由y=sinπx−πx是单调递减函数，得到g(x)−πx≤0，从而f(x)≥g(x)，作出f(x)与g(x)的图像，即可得到答案．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a⃗=(2sinx,2sin(x+π4))，b⃗ =(cosx,√62(cosx−sinx))，f(x)=a⃗⋅b⃗ =(2sinx,2sin(x+π4))⋅(cosx,√62(cosx−sinx))=2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx)=2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由(1)得2sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ,(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ,(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ,π4+kπ],(k∈Z)．【解析】(1)由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f(x)的表达式； (2)由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.【答案】解：(1)选条件①时，数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2−a n }为常数列，所以a n 2−a n =a 12−a 1=2，解得a n =2或a n =−1；所以数列{a n }为2，−1，2，−1，2，−1，.......， 所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件②时，S n =12(a n +n +1)， 所以S n−1=12(a n−1+n −1+1)， 上面两式相减得：a n =12a n −12a n−1+12， 整理得a n =−a n−1+1(n ≥2)， 整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．选条件③时，a 3=2，S n+1=S n−1+1(n ≥2,n ∈N ∗)中，转换为S n+1−S n−1=1(常数)，即a n+1+a n =1， 所以所以a n +a n−1=1(n ≥2)， 即a n =−a n−1+1(n ≥2)，整理得a n −12=−(a n−1−12)(n ≥2)， 所以a 1−12=32，故数列{a n −12}是以32为首项，−1为公比的等比数列； 所以a n −12=32×(−1)n−1， 整理得a n =12+32⋅(−1)n−1； 故S n =12n +32×[(1−(−1)n ]1−(−1)=3+2n 4+34⋅(−1)n−1．(2)由(1)得：S 2k =3+2×2k4+34⋅(−1)2k−1=k ，S 2k+1=3+2×(2k+1)4+34⋅(−1)2k+1−1=k +2， 所以：b k =1S2k ⋅S 2k+1=1k(k+2)=12(1k −1k+2)，所以T n =12(1−13+12−14+13−15+...+1k −1k+2)=12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)<34．【解析】(1)选条件①时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件②时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；(2)利用(1)的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，∴S△BCD=12×4×4=8，又S△CDE=4=12S△BCD，∴E为CB中点．解：(2)作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF=12AB，在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+(AF−AD)2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF=12AB=32x，∴CD2=CF2+(AF−AD)2，∴42=(32x)2+(32x−x)2，解得x=4√105，则AB=12√105，CF=6√105，∴S△ABC=12AB⋅CF=12×12√105×6√105=725．【解析】(1)由等腰三角形的性质证明即可，(2)设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．本题考察等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.【答案】(1)证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC⋅cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30∘=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．(2)解：由(1)知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为ℎ，因为BO=BC⋅sin60°=√32，又因为PB=3MB，所以ℎ=BO⋅23=√33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P−BC−A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC⋅sin60°=√3，V C−AMN=V M−ANC=13⋅S ANC⋅ℎ=13⋅12⋅S PAC⋅ℎ=13⋅12⋅12⋅AC⋅AP⋅ℎ=16．【解析】(1)只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；(2)用等体积法求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′(x)=0，则ax2−ax+1=0，①当△=a2−4a≤0，即0<a≤4时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，无递减区间；②当△=a2−4a>0，即a>4时，方程ax2−ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0<x<a−√a2−4a2a 和x>a+√a2−4a2a时，f′(x)>0，f(x)递增，当a−√a2−4a2a<x<a+√a2−4a2a时，f′(x)<0，f(x)递减，综上，当0<a≤4时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>4时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−4a2a ),(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ,a+√a2−4a2a)；(2)若f(x)有两个极值点，由(1)知，a>4，且x1，x2是方程ax2−ax+1=0的两个不等的实数根，∴x1+x2=1,x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22>12a−2−aln12+am，∴a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)>a−4+2aln2+2am，∴a−a−aln1a >a−4+2aln2+2am，即2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2>0，∴ℎ(a)在(4,+∞)上单调递增，则ℎ(a)>ℎ(4)=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为(−∞,0]．【解析】(1)对函数f(x)求导，令f′(x)=0，然后分0<a≤4及a>4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；(2)依题意，x1+x2=1,x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m<lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出ℎ(a)的最小值即可得到实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈(0,π)时，g′(x)=−2sinx−1x2<0，所以g(x)在(0,π)上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1>0，g(π2)=2π−1<0，所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α，即f′(x)在(0,π)上存在唯一的零点α；(2)①由(1)可知，当x∈(0,α)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x∈(0,π)上存在唯一的极大值点α，且α∈(π3,π2 )，所以f(α)>f(π2)=lnπ2−π2+2>2−π2>0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2<−2−1e2+2<0，所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点，又因为f(π)=lnπ−π<2−π<0，所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点；②当x∈[π,2π)时，sinx≤0，f(x)≤lnx−x，设ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−1<0，故ℎ(x)在[π,2π)上单调递减，所以ℎ(x)≤ℎ(π)<0，故当x∈[π,2π)时，f(x)≤ℎ(x)≤ℎ(π)<0恒成立，所以ℎ(x)在[π,2π)上没有零点；③当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤lnx−x+2，令m(x)=lnx−x+2，则m′(x)=1x−1<0，故m(x)在[2π,+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(2π)<0，则当x∈[2π,+∞)时，f(x)≤m(x)≤m(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点．综上所述，f(x)有且仅有两个零点．【解析】(1)设g(x)=f′(x)，利用导数研究函数g(x)的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；(2)分x∈(0,π)，x∈[π,2π)，x∈[2π,+∞)三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．。

2021年江苏省高三年级百校大联考1.已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={−2,−1,0,1,2}，则A⋂B=( )A. {0}B. {0,1}C. {−1,0}D. {−1,0,1,2}2.若复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，则z的共轭复数是( )A. −2iB. −iC. iD. 2i3.设函数f(x)={√1−x+1,x≤1,2x−1,x>1,则f(f(−3))=( )A. 14B. 2C. 4D. 84.《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成．已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若π取3.14，则圆柱的母线长约为( )A. 0.38寸B. 1.15寸C. 1.53寸D. 4.59寸5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为√2；乙：该函数图象可以由y=sin2x+cos2x的图象平移得到；丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0).如果只有一个假命题，那么该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.“0<xsinx<π2”是“0<x<π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知双曲线C 的左、右焦点分别是为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称．若sinα=35，则cos(α+β)cos(a −β)=( )A. 725B. 15C. −15D. −7259. 已知x +y >0，且x <0，则( )A. x 2>−xyB. |x|<|y|C. lgx 2>lgy 2D. yx +xy <−210. 已知两点A(−4,3)，B(2,1)，曲线C 上存在点P 满足|PA|=|PB|，则曲线C 的方程可以是( )A. 3x −y +1=0B. x 2+y 2=4C.x 22−y 2=1 D. y 2=3x11. 设S n 和T n 分别为数列{a n }和{b n }的前n 项和．已知2S n =3−a n ，b n =na n 3，则( )A. {a n }是等比数列B. {b n }是递增数列C. Sn a n=3n −12D. Sn T n>212. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，将△ACD 沿直线AC 翻折，形成三棱锥D −ABC.下列说法正确的是( )A. 在翻折过程中，三棱锥D −ABC 外接球的体积为定值B. 在翻折过程中，存在某个位置，使得BC ⊥ADC. 当平面DAC ⊥平面ABC 时，BD =2√855D. 当平面DBC ⊥平面ABC 时，三棱锥D −ABC 的体积为4√3313. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)，则|a ⃗ +b ⃗ |=__________. 14. 写出一个能说明“若函数f(x)的导函数f′(x)是周期函数，则f(x)也是周期函数”为假命题的函数：f(x)=__________.15. 已知AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦，P 为该抛物线准线上的动点，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为__________.16. 函数f(x)=2cosx +x 2的最小值为__________；若存在x ≥0，使得f′(x)>2e x +ax −2，则a 的取值范围为__________.17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n +a n +1=λn ，n ∈N ∗，λ≠0，且a 2是a 1，a 5的等比中项． (1)求λ的值；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .18. 在①sinAsinB +sinBsinA +1=c 2ab ，②(a +2b)cosC +ccosA =0，③√3asinA+B 2=csinA 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且__________. (1)求角C 的大小；(2)若c =√7，sinAsinB =314，求△ABC 的面积．19.一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线．选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为f(x)=ae x+be−x，其中a，b是常数．(1)当a=b≠0时，判断f(x)的奇偶性；(2)当a，b∈(0,1)时，若f(x)的最小值为√2，求11−a +21−b的最小值．20.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，AB=BB1，∠ABB1=60∘，平面AA1B1B⊥底面ABC.(1)证明：平面B1DC⊥平面AA1B1B；(2)求二面角B−CB1−A1的余弦值．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−√6,0)，B(√6,0)，动点E(x,y)满足直线AE与BE的斜率之积为−13，记E的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x=3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值．22.已知函数f(x)=alnx−x，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)≤1x −2e在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.先求出集合A，再利用交集定义能求出A⋂B.【解答】解：∵集合A={x|(x+1)(x−2)<0}={x|−1<x<2}，B={−2,−1,0,1,2}，∴A⋂B={0,1}.故答案选：B.2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了纯虚数、共轭复数的概念，属于基础题．先利用纯虚数的定义求出m的值，求出复数z，再利用共轭复数概念即可求解．【解答】解：∵复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，∴m+1=0且m≠0，∴m=−1，∴z=2i，∴复数z的共轭复数为−2i.故答案选：A.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了分段函数求值，属于基础题.根据题意可得f(−3)=3，代入即可求得结果.【解答】解：因为f(−3)=√1−(−3)+1=3，所以f(f(−3))=f(3)=23−1=4.故答案选：C.4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆柱的体积，考查简单组合体及其结构特征，属于中档题.由题意得求出长方体的体积和圆柱的体积，设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，通过体积公式，即可求出l.【解答】解：由题意得，长方体的体积为3.8×3×1=11.4(立方寸)，故圆柱的体积为12.6−11.4=1.2(立方寸).设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得0.52πl=1.2，计算得l≈1.53(寸).故答案选：C.5.【答案】B【解析】【分析】)图像与性质以及命题真假本题主要考查的是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2的判断，属于基础题.分别将甲、乙、丙、丁一一判断即可.【解答】解：由命题甲知A=√2;根据命题乙，由y=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，可知A=√2，ω=2;由命题丙知T=2π，则ω=1，那么命题乙和命题丙矛盾.若假命题是乙，则f(x)=√2sin(x+φ)，由命题丁知，φ=π3，符合题意;若假命题是丙，则f(x)=√2sin(2x+φ)，由命题丁知，φ=kπ−4π3，k∈Z，不满足条件0<φ<π2.故假命题是乙.故答案选：B.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，涉及三角函数的性质，以及利用导数判断函数的单调性，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.当0<x<π2时，设函数f(x)=xsinx，对函数求导，结合函数的单调性，求出f(x)对应的取值范围，可判断必要性是否成立；举出特例判断充分性是否成立.【解答】解：当0<x<π2时，设函数f(x)=xsinx，x∈(0,π2),f′(x)=sinx+xcosx>0，∴f(x)在(0,π2)上单调递增，所以f(0)<f(x)<f(π2)，又f(0)=0,f(π2)=π2，∴0<xsinx<π2成立，满足必要性；当0<xsinx<π2时，0<x<π2不一定成立，如0<5π6sin56π=5π12<π2，但5π6∉(0,π2)，不满足充分性，故“0<xsinx<π2”是“0<x<π2”的必要不充分条件.故答案选：B.7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．由题意知过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点，可设|F 2B|=t ，则|AF 2|=3t ，|AB|=|AF 1|=4t ，由双曲线的定义及余弦定理，求出a 和c ，即可求出双曲线的离心率. 【解答】解：由题意得：过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点， 可设|F 2B|=t ，则|AF 2|=3t ，|AB|=|AF 1|=4t ， 由双曲线的定义得2a =|AF 1|−|AF 2|=t ， 所以|BF 1|=2a +|BF 2|=2t.在△AF 1B 中，由余弦定理得cos∠F 1AB =16t 2+16t 2−4t 22⋅4t⋅4t=78.在△AF 1F 2中，由余弦定理得16t 2+9t 2−2⋅4t ⋅3t ⋅78=4c 2，解得c =t ，所以2a =t =c.所以C 的离心率为ca =2.故答案选：A.8.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数之间的关系，两角和与差的余弦公式，属于基础题．由题意得cosα与cosβ、sinα与sinβ的关系，利用条件求出cosα的值，再利用两角差的余弦公式，化简所求即可求解． 【解答】解：因为sinα=35，则cosα=±45， 又α与β关于y 轴对称，则sinβ=sinα=35，cosβ=−cosα=45(或cosβ=−cosα=−45)，所以cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−cos 2α+sin 2α=−1625+925=−725.同理，cos(α+β)=−cos 2α−sin 2α=−1625−925=−1 故cos(α+β)cos(α−β)=725.故答案选：A.9.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，属于基础题. 利用题目条件，对照选项逐个判断即可. 【解答】对于选项A ，由题意，易知x <0，y >0，取x =−1，y =2，可知x 2>−xy 不成立，故A 错误；对于选项B ，由题意，易知x <0，y >0，从而|x|−|y|=−x −y =−(x +y)<0， 故|x|<|y|，B 正确；对于选项C ，取x =−1,y =2，可知lgx 2>lgy 2不成立，故C 错误； 对于选项D ，由于x ，y 异号，从而y x ,xy 均小于0， 故yx +xy =−[(−yx )+(−xy )]≤−2√(−yx )⋅(−xy )=−2，当且仅当x =−y 时取等号，而由于x +y >0，从而等号取不到，即yx+xy <−2，故D正确.故答案选：BD.10.【答案】BC【解析】 【分析】本题主要考查两条直线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标，考查直线垂直的判定，属于中档题.利用直线与圆锥曲线的位置关系，联立直线与曲线的方程，根据解的情况逐一判断即可. 【解答】解：由|PA|=|PB|，得知点P 在AB 的垂直平分线l 上，因为线段AB 的中点坐标为(−1,2)，k AB =−13，且AB 与直线l 垂直，且过AB 中点，所以l 的方程为y =3x +5，所以3x −y +1=0与l 平行，可知两直线无交点，故A 不正确；联立方程组{x 2+y 2=43x −y +5=0，消y ，可得10x 2+30x +21=0，△=900−4×10×21>0，可知两直线有交点，故B 正确； 将直线l 的方程代入双曲线x 22−y 2=1，得17x 2+60x +52=0，△=3600−4×17×52=3600−3536>0，所以l 与双曲线相交，故C 正确；联立方程组将直线l 的方程代入y 2=3x ，得y 2=y −5，△<0，方程无实数解，故D 不正确. 故答案选：BC.11.【答案】ACD【解析】 【分析】本题主要考查的是等比数列的判定和性质以及错位相减法的应用，属于中档题. 利用为等比数列，判定A 正确；b n+1−b n 与0比较，得出数列单调性判断B 错误.根据，进一步判定D 正确.【解答】解：因为2S n =3−a n ，所以当n =1时，2S 1=3−a 1， 即2a 1=3−a 1，即a 1=1，又2S n+1=3−a n+1，所以2S n+1−2S n =a n −a n+1，即3a n+1=a n ， 所以{a n }是首项为1，公比为13的等比数列，所以a n =(13)n−1，故A 正确； 因为b n =na n 3=n3n ，所以b n+1−b n =n+13n+1−n3n =1−2n 3n+1<0，{b n }是递减数列，故B 错误；因为S n =3−a n 2=32(1−13n )，所以S na n=3n −12，故C 正确；T n =13+232+⋯+n−13n−1+n 3n ①，13Tn =132+233+⋯+n−13n +n 3n+1②，①-②得23T n =13+132+133+⋯+13n −n3n+1=13(1−13n )1−13−n3n+1=12(1−13n )−n3n+1，所以T n =34(1−13n )−n2⋅3n >0， 所以2T n −S n =32(1−13n)−n 3n−32(1−13n)=−n 3n<0，所以S n T n>2，故D 正确.故答案选：ACD.12.【答案】ACD【解析】 【分析】本题主要考查了简单多面体及其结构特征，线面垂直的判定，棱柱，棱锥，棱台的侧面积，表面积和体积，球的表面积和体积的应用，属于较难题.利用三棱锥的侧面的特征和侧棱的长度，可判断外接球球心的位置，可判断出A 选项；利用反证法，假设BC ⊥AD ，通过线面垂直的判定和性质可得到BC ⊥BD ，得到CD >BC ，与条件矛盾，可判断出B 选项；根据条件分别过D 作AC 的垂线DE ，过B 作AC 的垂线BF ，再结合条件分别在几个直角三角形依次求出DE ，AE ，BF ，EF 和BE ，最后在直角三角形BED 中，求出BD 的长度，即可判断C 选项；利用条件结合面面垂直的性质，可得到AB ⊥平面DBC ，即AB 为三棱锥D −ABC 在平面DBC 上的高，在直角三角形ABD 中可求出BD 的长度，结合条件中的AB =DC =2，BC =AD =4，可得到DB ⊥DC ，故可求得三棱锥D −ABC 的体积为4√33，即可判断D 选项.【解答】解：设O 为AC 的中点，则OA =OB =OC =OD =√5，所以三棱锥D −ABC 外接球的半径为√5，所以三棱锥D −ABC 外接球的体积为定值，故A 正确；若在翻折过程中，存在某个位置，使得BC ⊥AD ，又AB ⊥BC ，则BC ⊥平面ABD ， 所以BC ⊥BD ，从而斜边CD 的长大于直角边BC ，这与CD =2，BC =4矛盾，故B 错误；当平面DAC ⊥平面ABC 时，过D 作AC 的垂线DE ，垂足为E ， 则DE ⊥平面ABC ，DE =4√55，AE =8√55， 在平面ABC 上，过B 作AC 的垂线BF ，垂足为F ，则BF ⊥平面DAC ，BF =4√55，EF =6√55， 则BE =√BF 2+EF 2=√525，在直角三角形BED 中，BD =√DE 2+BE 2=2√855，故C 正确；当平面DBC ⊥平面ABC 时，平面DBC ∩平面ABC =BC ， 又AB ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面DBC ，计算得DB =2√3，因为AB =DC =2，BC =AD =4，所以DB ⊥DC ， 所以S △DBC =12×DB ×DC =2√3， 所以三棱锥D −ABC 的体积为13×2×2√3=4√33，故D 正确.故答案选：ACD.13.【答案】5【解析】 【分析】本题考查向量的模，向量数量积的运算，属于基础题． 根据向量的数量积的性质求解即可. 【解答】解：因为|a →|=3，|b →|=4，a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)，|a →−b →|=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√(−4)2+32=5，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|a ⃗ +b ⃗ |=√a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√32+42=5.故答案为：5.14.【答案】f(x)=sinx +x【解析】 【分析】本题考查函数求导以及周期性，属于基础题. 按题目要求举出反例即可. 【解答】解：f(x)=sinx +x ，则f′(x)=cosx +1是周期函数，而f(x)不是周期函数. 符合题意.15.【答案】0【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系和圆锥曲线中的最值问题，属于中档题.根据条件，直线AB 的方程可设为x =ty +1，与抛物线联立，设P(−1,m)，得出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由韦达定理和向量的数量积可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值. 【解答】解：因为抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)， 所以直线AB 的方程可设为x =ty +1， 代入抛物线方程得y 2−4ty −4=0. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=4t ，y 1⋅y 2=−4.因为P 为该抛物线准线上的动点，可设P(−1,m)， 则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1−m)=(ty 1+2,y 1−m)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2−m)=(ty 2+2,y 2−m)， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ty 1+2)(ty 2+2)+(y 1−m)(y 2−m) =(t 2+1)y 1y 2+(2t −m)(y 1+y 2)+4+m 2 =(t 2+1)⋅(−4)+(2t −m)⋅4t +4+m 2 =(2t −m)2≥0.即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为0.16.【答案】2(−∞,−2)【解析】【分析】本题考查利用导数求函数最值，考查不等式的恒成立问题，关键是利用导数判断函数的单调性，进而将问题转化为求函数的最值问题.因为f(x)为偶函数，所以f(x)的最小值就是f(x)在[0,+∞)上的最小值，由单调性求得最小值即可；由(1)可知f′(x)=−2sinx+2x，代入f′(x)>2e x+ax−2等价于−2sinx+2x>2e x+ ax−2，即2e x+2sinx+(a−2)x−2<0，利用导数判断单调性，再对a的取值进行讨论，得出结论.【解答】解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)的最小值就是f(x)在[0,+∞)上的最小值，f′(x)=−2sinx+2x，x≥0，令m(x)=−2sinx+2x，则m′(x)=2−2cosx≥0，所以f′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f′(x)≥f′(0)=0，所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(0)=2.(2)f′(x)>2e x+ax−2等价于−2sinx+2x>2e x+ax−2，即2e x+2sinx+(a−2)x−2<0.令g(x)=2e x+2sinx+(a−2)x−2，则g′(x)=2e x+2cosx+(a−2)，g(0)=0，g′(0)=a+2.当a≥−2时，g(x)≥2e x+2sinx−4x−2，设ℎ(x)=2e x+2sinx−4x−2，ℎ′(x)=2e x+2cosx−4，令t(x)=2e x+2cosx−4，则t′(x)=2e x−2sinx，注意到x∈(0,+∞)，e x>x>sinx，所以t′(x)>0，所以ℎ′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0，所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，g(x)≥ℎ(x)≥ℎ(0)=0，不合题意.当a<−2时，设φ(x)=g′(x)，φ′(x)=2e x−2sinx>0，所以g′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以g′(0)=a+2<0，所以存在x0>0，使得g′(x)=0，当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,x0)上单调递减，于是有g(x)<g(0)=0，即存在x∈(0,x0)，使得2e x+2sinx+(a−2)x−2<0，即f′(x)>2e x+ax−2.综上所述，a的取值范围为(−∞,−2).17.【答案】解：(1)由a n+a n+1=λn，可得a1+a2=λ，a2+a3=2λ，a3+a4=3λ，a4+a5=4λ，所以a2=λ−1，a3=λ+1，a4=2λ−1，a5=2λ+1.因为a2是a1，a5的等比中项，所以a22=a1⋅a5，即(λ−1)2=1⋅2λ+1，则λ2=4λ，又λ≠0，所以λ=4.(2)由(1)知a n+a n+1=4n.当n为偶数时，S n=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a n−1+a n)=4+12+20+⋯+4(n−1)=4n×n22=n2;当n为奇数时，S n=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+⋯+(a n−1+a n)=1+8+16+24+⋯+4(n−1)=1+(4n+4)×n−122=n2.综上所述，S n=n2，n∈N∗.【解析】本题考查了等比中项，等差数列的前n项和，以及并项法求数列前n项和，属于中档题.(1)由a1，a2，a5成等比数列，求得λ；(2)由(1)得到a n+a n+1=4n，对n进行奇数，偶数分类讨论，利用并项法即可得到结果.18.【答案】解：(1)选择条件①由sinAsinB +sinBsinA+1=c2ab及正弦定理，可得ab+ba+1=c2ab，则a2+b2−c2=−ab，由余弦定理，得cosC=a 2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件②由(a+2b)cosC+ccosA=0及正弦定理，可得(sinA+2sinB)cosC+sinCcosA=0，即sinAcosC+cosAsinC=−2sinBcosC，即sin(A+C)=−2sinBcosC，在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，即sinB=−2cosCsinB，因为sinB≠0，所以cosC=−12，因为0<C<π，所以C=2π3；选择条件③由√3asin A+B2=csinA及正弦定理，可得√3sinAsin A+B2=sinCsinA，因为sinA≠0，所以√3sin A+B2=sinC，在△ABC中，A+B+C=π，可得sin A+B2=cos C2，故√3cos C2=2sin C2cos C2，因为0<C<π，所以cos C2≠0，则sin C2=√32，故C=2π3.(2)由正弦定理，得absinAsinB =(csinC)2，所以ab=(csinC )2sinAsinB=(√7sin 2π3)2×314=2，所以△ABC的面积S=12absinC=12×2×sin2π3=√32.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式的应用，属于中档题.(1)根据已知及正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式的计算，求出角C的大小；(2)根据已知及正弦定理，三角形面积公式的计算，求出△ABC的面积．19.【答案】解：(1)当a=b≠0时，函数f(x)=a(e x+e−x)的定义域为R.因为对任意的x∈R，都有−x∈R，且f(−x)=a(e−x+e x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.(2)因为当a，b∈(0,1)时，f(x)的最小值为√2，且ae x>0，be−x>0，所以f(x)=ae x+be−x≥2√ae x⋅be−x=2√ab=√2，(当且仅当ae x=be−x时，即x=12ln ba时，等号成立.)即ab=12，所以b=12a<1，所以12<a<1，所以2−2a>0，2a−1>0.所以11−a +21−b=11−a+21−12a=11−a+4a2a−1=11−a+22a−1+2=22−2a+22a−1+2=(22−2a+22a−1)⋅[(2−2a)+(2a−1)]+2=2(2a−1)2−2a +2(2−2a)2a−1+6≥2√4+6=10，当且仅当2−2a=2a−1，ab=12，即a=34，b=23时，等号成立，所以11−a +21−b的最小值为10.【解析】本题主要考查函数奇偶性和最值的应用，结合指数幂的运算以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．(1)利用函数奇偶性定义求解即可；(2)利用函数的最值，结合基本不等式进行求解即可．20.【答案】(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，所以CD⊥AB.又在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1，∠ABB1=60∘，所以B1D⊥AB.因为CD∩B1D=D，且CD与B1D都属于平面B1DC，所以AB⊥平面B1DC.因为AB⊂平面AA1B1B，所以平面B1DC⊥平面AA1B1B(2)解：因为平面AA1B1B⊥底面ABC，平面AA1B1B∩底面ABC=AB，B1D⊥AB，所以B1D⊥底面ABC.故以D 为坐标原点，DB ，DC ，DB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz.设AB =2，则A(−1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,√3,0)，B 1(0,0,√3)， 则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−√3)，B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0). 设平面BCB 1的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 平面CB 1A 1的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2).由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−x 1+√3y 1=0,√3y 1−√3z 1=0,取x 1=√3，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,1); 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−2x 2=0,√3y 2−√3z 2=0,取y 2=1，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1). 所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√2=√105， 由图知二面角B −CB 1−A 1是钝二面角， 所以二面角B −CB 1−A 1的余弦值为−√105.【解析】本题主要考查的是面面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题. (1)利用线面垂直得到面面垂直；(2)建立空间坐标系，利用法向量，求解二面角即可.21.【答案】(1)解：由题得x+√6⋅x−√6=−13，化简得x 26+y 22=1(|x|≠√6)，所以C 是中心在原点，焦点在x 轴上，不含左、右顶点的椭圆. (2)证明：由(1)知直线l 与x 轴不重合，可设l:x =my +2， 联立{x =my +2,x 26+y 22=1,得(m 2+3)y 2+4my −2=0.设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−4mm 2+3，y 1y 2=−2m 2+3，Δ=24m 2+24>0，所以m =12(1y 1+1y 2).因为G(3,y 1)，Q(my 2+2,y 2)，所以直线QG 的斜率为y 2−y 1my2−1=y 2−y 112(1y 1+1y 2)y 2−1=2y 1，所以直线QG 的方程为y −y 1=2y 1(x −3)，所以直线QG 过定点H(52,0). 因为OM ⊥QG ，所以△OHM 为直角三角形，取OH 的中点N(54,0)，则|MN|=12|OH|=54，即|MN|为定值. 综上，存在定点N(54,0)，使得|MN|为定值.【解析】本题主要考查直线的斜率，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数的关系，考查圆锥曲线中的轨迹方程，属于中档题. (1)分别求由直线AE 与BE 的的斜率，根据直线AE 与BE 的斜率之积为−13，化简即可求曲曲线C 的方程，注意直线 AE 与BE 斜率的条件;(2)由(1)知直线l 与x 轴不重合，可设l:x =my +2，联立{x =my +2,x 26+y 22=1,得(m 2+3)y 2+4my −2=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−4mm 2+3，y 1y 2=−2m 2+3，求出m ，由G(3,y 1)，Q(my 2+2,y 2)，求出直线QG 的斜率及直线方程，求出直线QG 过定点H ，由OM ⊥QG ，则△OHM 为直角三角形，取OH 的中点N ，即可求出|MN|为定值.22.【答案】解：(1)f′(x)=ax −1=a−x x(x >0).①若a ≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②若a >0，令f′(x)=0，得x =a.当x ∈(0,a)时，f′(x)>0;当x ∈(a,+∞)时，f′(x)<0， 则f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减.(2)不等式f(x)≤1x −2e 等价于alnx −x −1x +2e ≤0在(0,+∞)上恒成立， 令g(x)=alnx −x −1x +2e ， 则g′(x)=ax −1+1x 2=−x 2−ax−1x 2，对于二次函数y =x 2−ax −1，△=a 2+4>0，所以其必有两个零点，又两零点之积为−1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点x0∈(0,+∞)，则x02−ax0−1=0，即a=x0−1x0，则0<x<x0时，g′(x)>0;x>x0时，g′(x)<0，此时g(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，故g(x0)≤0，即(x0−1x0)lnx0−x0−1x0+2e≤0，设函数ℎ(x)=(x−1x )lnx−x−1x+2e，则ℎ′(x)=(1+1x2)lnx+1−1x2−1+1x2=(1+1x2)lnx.当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0;当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.又ℎ(1e)=ℎ(e)=0，所以x0∈[1e,e]，由a=x0−1x0在[1e,e]上单调递增，得a∈[1e−e,e−1e].故a的取值范围为[1e −e,e−1e].【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点与一元二次方程的关系，不等式的恒成立问题的应用.(1)根据已知及利用导数研究函数的单调性的计算，分a>0、a≤0两种情况讨论f(x)的单调性；(2)根据已知及利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点与一元二次方程的关系，不等式的恒成立问题的计算，构造函数，结合导函数，求出a的取值范围．第21页，共21页。

江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．集合A ＝{}2230x x x --≤，B ＝{}1x x >，A B ＝A ．(1，3)B ．(1，3]C ．[﹣1，+∞)D ．(1，+∞)2．复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面表示的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．421(2)x x-的展开式中x 的系数为 A ．﹣32B ．32C ．﹣8D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.9，则P(﹣2＜ξ＜1)为 A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.65．在△ABC 中，AB+AC=2AD ，AE+2DE=0，若EB=XAB+YAC ，则 A ．y ＝2x B ．y ＝﹣2x C ．x ＝2y D ．x ＝﹣2y6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3Qlog 100成正比，当v ＝1m /s 时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为 A ．1800 B ．2700 C ．7290 D ．81007．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是 A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于4πB ．点C 到面ABC 1D 1 C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1—BB 1C 1外接球半径为3 8．设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则12a a a b++ A ．有最小值为4B ．有最小值为221+ C ．有最小值为143D ．无最小值 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．A ，B 是不在平面α内的任意两点，则A ．在α内存在直线与直线AB 异面B ．在α内存在直线与直线AB 相交C ．存在过直线AB 的平面与α垂直D ．在α内存在直线与直线AB 平行10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3，33-)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足()Ry f t ==sin()t ωϕ+(t ≥0，ω＞0，2πϕ<)，则下列叙述正确的是 A ．3πϕ=-B ．当t ∈(0，60]时，函数()y f t =单调递增C ．当t ∈(0，60]时，()f t 的最大值为33D ．当t ＝100时，PA 6=11．把方程1x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．()y f x =的图象不经过第三象限 B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()g x f x x =+不存在零点 12．数列{}n a 为等比数列 A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项和三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知tan 2α=，则cos(2)2πα+＝．14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为．15．直线40kx y ++=将圆C ：2220x y y +-=分割成两段圆弧之比为3：1，则k ＝． 16．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现在以下三个条件：①(2c ＋b)cosA ＋acosB ＝0；②sin 2B ＋sin 2C ﹣sin 2A ＋sinBsinC ＝0；③a 2﹣b 2﹣c 2＝3S ．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量m ＝(4sin x ，，n ＝(cos x ，sin 2x )，函数()23f x m n =⋅-，在△ABC 中，a ＝()3f π，且，求2b ＋c 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前 3项．（1）求{}n a ，{}n b ； （2）设1(1)n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．（1）证明：EF ∥平面SAD ；（2）若SD ＝8，求二面角D —EF —S 的正弦值．20．（本小题满分12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布N(75.8，36)．若Y~N(μ，2σ)，令Y μησ-=，则η~N(0，1)，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ＝k )取得最大值时k 的值．附：若η~N(0，1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85． 21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的长轴两个端点分别为A ，B ，P(0x ，0y )(0y ＞0)是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使AD ＝kb (k ＞0)，PD 交AB 于 E ，PC 交AB 于F ．（1）若k ＝1，△PCD 的最大面积为12，离心率为3，求椭圆方程； （2）若AE ，EF ，FB 成等比数列，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln sin 1f x x x x =-++．（1）求证：()f x 的导函数()f x '在(0，π)上存在一零点； （2）求证：()f x 有且仅有两个不同的零点．。

2 2 4 5 2 江苏省苏州中学 2020-2021 学年第一学期调研考试 高三数学一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．1．已知集合 A = {x | x 2- x - 2 ≤ 0}， B = {x | y = x }，则 A B = （）A. {x | -1 ≤ x ≤ 2}B. {x | 0 ≤ x ≤ 2}C. {x | x ≥ -1}D. {x | x ≥ 0}⎛ π ⎫ 3 ⎛ π ⎫2．已知sin α - ⎪ = ,α ∈ 0, ⎪， 则 cos α = ( )⎝ ⎭ ⎝ ⎭A.B.1010C.D.2103 若 b < a < 0 ，则下列不等式：① a > b ；② a + b < ab ；③ ab正确的不等式的有( ) < 2a - b 中，A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个4 若函数 f (x ) = ax 2 + bx (a > 0,b > 0) 的图象在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 2 ， 8a + b 则的最小值是( )abA ．10B ． 9C ．8D ． 35 Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t ) （t 的单位：天）的 Logistic 模型： I (t )= K1 + e -0.23(t -53) ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I (t * ) = 0.95K 时，标志着已初步 遏制疫情，则 t * 约为( ) (ln19 ≈ 3) A ． 60B ． 63C ． 66D ． 693 2 7 2 22⎨ ,⎧x l n x , 6 已知函数 f (x ) = ⎪x ⎪⎩ e xx > 0 x ≤ 0 则函数 y = f (1- x ) 的图象大致是( )A.B.C.D.7 若定义在 R 上的奇函数 f (x )满足对任意的 x ∈R ，都有 f (x ＋2)＝－f (x )成立， 且 f (1)＝8，则 f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是( ) A ．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021) B ．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021) C ．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)D ．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019)8 地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α 2，且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A. 50 m ，100 mB. 40 m ，90 mC. 40 m ，50 mD. 30 m ，40 m二、 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9 等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) B. (1 + 2)πC. 2 2πD. (2 +2π)A.2π－ 210 关于 x 的不等式(ax -1)(x + 2a -1) > 0 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为 ( ) A ．2B ．1C ．－1D ． 111 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y = A sin ωt ,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学 模型是函数 f (x ) = sin x + 1sin 2x ,则下列结论正确的是（ ）2A. 2π 是 f ( x ) 的一个周期B. f ( x ) 在 0, 2π 上有3 个零点C. f ( x )最大值为3 3 D. f (x ) 在⎡0, π ⎤上是增函数4⎢⎣ 2 ⎥⎦12 对于具有相同定义域 D 的函数 f (x ) 和 g (x ) ，若存在函数 h (x ) = kx + b （ k ，b为常数），对任给的正数 m ，存在相应的 x 0 ∈ D ，使得当 x ∈ D 且 x > x 0 时，总有⎧0 < f (x ) - h (x ) < m⎨0 < h (x ) - g (x ) < m 则称直线l : y = kx + b 为曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 的“分⎩， 渐近线”. 给出定义域均为 D= {x x > 1} 的四组函数, 其中曲线 y = f (x ) 与y = g (x ) 存在“分渐近线”的是( )A. f (x ) = x 2 ， g (x ) =B. f (x ) = 10- x+ 2 ， g (x ) =2x - 3xC. f (x ) = x 2 +1x， g (x ) =x ln x +1 ln xD. f (x ) = 2x 2x +1， g (x ) = 2(x -1- e - x )二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 若二次函数 f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1 有一个零点小于－1，一个零点大于 3， 则实数 a 的取值范围是_ ．x14 在整数集Z 中，被5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2020∈[0]；②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”.其中正确结论有（填写正确结论标号）．15 已知sin θ＋cos θ＝7，θ∈(0，π)，则tan θ＝.1316 A、B、C 是平面上任意不同三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝c＋b a +b c的最小值是．四、解答题：本题共6 小题，第17 题为10 分，第18-22 题每题12 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9)，x∈R}，B＝{x||x－m|≥1，x∈R}．(1)求集合A；(2)若p：x∈A，q：x∈B，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)⎛A>0，ω>0，0<φ<π⎫的部分图象如图所示，其中点⎝2⎭P(1,2)为函数f(x)图象的一个最高点，Q(4,0)为函数f(x)的图象与x轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f (x)的解析式；(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移2 个单位长度得到y＝g(x)的图象，求函数h(x)＝f (x)·g(x)的图象的对称中心．19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC 和△AA1C 均是边长为2 的等边三角形，点O 为AC 中点，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线AB 与平面A1BC1所成角的正弦值．20.已知函数f (x)＝x2＋(x－1)|x-a|．(1)若a＝－1，解方程f (x)＝1；(2)若函数f (x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a<1，且不等式f (x)≥2x－3 对一切实数x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．21 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A、B，焦距为 2，直线 l 与椭圆交于 C，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AC, BD 的斜率分别为k1 , k2 ．①若k2 = 3k1，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F，试判断k1是否为定值，并说明理由．k222 设函数f (x)= ln (x + 1)+a (x2-x )，其中a ∈R ．(1)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x > 0, f (x)≥ 0 成立，求a 的取值范围．。

2021届江苏省苏州中学高三（10月份）调研数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--≤，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x ≤≤ C ．{}1x x ≥- D ．{}0x x ≥【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法以及定义域的求法化简集合，再进行并集运算. 【详解】∵集合{}220A x x x =--≤，∴集合{}|12A x x =-≤≤∵集合{B x y ==，∴集合{}0B x x =≥∴{}1A B x x ⋃=≥- 故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，涉及了一元二次不等式的解法，定义域的求解，属于基础题. 2．已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．B C D 【答案】A【分析】利用角的变换cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简，求值. 【详解】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=. 故选：A【点睛】本题考查三角函数给值求在值，意在考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.3．若0b a <<，则下列不等式：① a b >；② a b ab +<；③22a a b b<-中，正确的不等式的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C【分析】根据不等式的性质以及2()0a b ->即可判断正误. 【详解】由0b a <<知：||||b a >，0a b ab +<<，而2()0a b ->，则有222a b ab +>，即22a a b b<-， 即②③都正确. 故选：C【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.4．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D．【答案】B【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6．已知函数ln ,0(),0e xx x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题可用特殊值排除法解决问题,代入特殊值0x =、1x =故排除CD ；当0x <时,利用导数判断单调性,排除A,当01x <<时, ()10y f x =-<,当1x >时,()10y f x =-<,即可得出最后答案. 【详解】解：①当0x =时,()()1011ln10y f f =-==⨯=；②当1x =时,()()1100ln00y f f =-==⨯=；故排除CD;③ 当0x <时,11x ->,所以()()()1l 11n y f x x x -==--()()()()'''1ln 11ln 1x x y x x --+--= ()()()'1ln 1111x x x x=--+--- ()ln 110x =---<所以()1y f x =-在0x <时单调递减,故排除A. ④当01x <<时,011x <-<,()()()1l 11n y f x x x -==--11x,()ln 10x -<,()()()1n 101l x x y f x -∴=--<=,故B 符合,⑤当1x >时,10x -<()11e 1xx xy f --=-=, 110,0e xx ,()110e 1xy f x x--∴==<-,故B 符合. 故选：B【点睛】本题考查函数图象,分段讨论图象的单调性、值域,利用排除法即可解得. 7．若定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2019f ，()2020f ，()2021f 的大小关系是（ ） A ．()()()201920202021f f f << B ．()()()201920202021f f f >> C ．()()()202020192021f f f >> D ．()()()202020212019f f f <<【答案】A【分析】由()()2f x f x +=-，可推出()()4f x f x +=，从而可知函数()f x 是周期函数，周期为4，进而可得出()()20191f f =-，()()20200f f =，()()20211f f =，然后根据()f x 是R 上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期函数，周期为4，又函数()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，()()118f f -=-=-，则()()()2019318f f f ==-=-，()()202000f f ==，()()202118f f ==， 所以()()()201920202021f f f <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.8．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为2α，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为（ ） A ．50 m ，100 m B ．40 m ，90 m C ．40 m ，50 m D ．30 m ，40 m【答案】B【分析】在直角三角形中分别表示α、2α的正切值，由二倍角公式把二者联系起来，再分别表示β、2πβ-的正切值，根据互余二者联系起来，然后再解两个不等式组成的方程组可得解.【详解】设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β. 则tan tan 1202120H h αα==，， 根据三角函数的倍角公式有221201201120hH h ⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭①因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角， 所以在O 点望矮塔顶的仰角为2πβ-，由tan 60H β=，tan 260hπβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，得6060H h =.② 联立①②解得H ＝90，h ＝40. 即两座塔的高度分别为40 m ，90 m. 故选：B.【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，二倍角的正切公式、诱导公式.二、多选题9．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）A B ．(1π+C ．D ．(2π+【答案】AB【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角，所以所形成的几何体的表面积是)22111S rl r πππππ=+=⨯⨯=.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高2，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积221S rl ππ=⨯=⨯=.综上可知形成几何体的表面积是)1π.故选：AB【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 10．关于x 的不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为（ ） A ．12-B ．1C ．－1D ．2【答案】AC【分析】由题意先判断出0a <，写出不等式的解集，由不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1,所以分这3个数为101-，，，或0,1,2，分别计算求解即可.【详解】不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数 当0a =时，不等式化为10x -<，则解集中有无数个整数. 当0a >时，不等式()()1210ax x a -+->的解集中有无数个整数. 所以0a <，10a <，121a ->，所以112a a<- 所以不等式的解集为：1|12x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，由不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1.则这3个整数为：101-，，，或0,1,2， 若这3个整数为：101-，，，则122121a a -≤⎧⎪⎨-≤<-⎪⎩， 解得：12a =-若这3个整数为：0,1,2，则212311a a<-≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得：1a =-所以实数a 的取值集合是1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 故选：AC.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.11．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（ ）A ．2π是()f x 的一个周期B ．()f x 在0,2π上有3个零点C ．()f x 的最大值为4D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】ABC【分析】①分别计算sin y x =和1sin 22y x =的周期,再求其最小公倍数即可得到()f x 的周期.②令0f x即可求得零点.③对()f x 求导,令()'0f x =,判断单调性即可求得极值.④对()f x 求导,令()'0f x >,即可求出单调递增区间. 【详解】解：因为：()1sin sin 22f x x x =+ ①sin y x =的周期是2π,1sin 22y x =的周期是22ππ=, 所以()1sin sin 22f x x x =+的周期是2π,故A 正确. ②当()1sin sin 202f x x x =+=,[]0,2x π∈时,sin sin cos 0x x x +=sin (1cos )0x x +=sin 0x =或1cos 0x +=解得0x =或32x π=或2x π=, 所以()f x 在0,2π上有3个零点,故B 正确. ③()1sin sin 22f x x x =+()sin sin cos f x x x x =+()'22cos cos sin f x x x x =+-22cos cos 1x x =+-令()'0f x =,求得1cos 2x =或cos 1x =-, 因为()f x 在11,2 单调递增,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,所以1cos 2x =时取得最大值,则sin x =()max 12224f x =+⨯=,故C 正确. ④由③得()'22cos cos 1f x x x =+-, 要求增区间则()'0f x >, 即cos 1x <-（不成立）,或1cos 12x <≤, 所以0223k x k +≤<+πππ所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数是错误的,故D 错误. 故选：ABC【点睛】本意考查正弦、余弦函数的周期性、零点、单调性、极值,利用导数法求单调性和极值会使计算简便.12．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xxx f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线． 故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ．【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.三、填空题13．若二次函数()2241f x x ax a =-+++有一个零点小于1-，一个零点大于3，则实数a 的取值范围是____________.【答案】4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由二次函数()2241f x x ax a =-+++的图象开口向下，且在区间(),1-∞-，()3,+∞内各有一个零点，可得()()1030f f ->⎧⎪⎨>⎪⎩，求解即可. 【详解】因为二次函数()2241f x x ax a =-+++的图象开口向下，且在区间(),1-∞-，()3,+∞内各有一个零点，所以()()112410396410f a a f a a -=--++>⎧⎪⎨=-+++>⎪⎩，解得45a >.所以实数a 的取值范围是4,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 故答案为：4,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二次函数的零点分布，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k | n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]； ②－3∈[3]； ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确的结论是________． 【答案】①③④【分析】对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解． 【详解】在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确； 在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误； 在③中，∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类， ∴Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确； 在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402， ∴2015与2010属于同一个“类”[0]，故④正确． 故答案为①③④．【点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．15．已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.【答案】125-【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sin cos αα的值小于0，得到sin 0α>，cos 0α<，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sin α与cos α的值，即可求出tan α的值． 【详解】解：将已知等式7sin cos 13αα+=①两边平方得：22249(sin cos )sin 2sin cos cos 12sin cos 169αααααααα+=++=+=， 1202sin cos 0169αα∴=-<， 0απ<<，sin 0α∴>，cos 0α<，即sin cos 0αα->，2289(sin cos )12sin cos 169αααα∴-=-=， 17sin cos 13αα∴-=②， 联立①②，解得：12sin 13α=，5cos 13α=-，则12tan 5α=-． 故答案为：125-． 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．四、解答题16．已知A 、B 、C 是平面上任意三点，且BC a =，=CA b ，AB c =.则c by a b c=++的最小值是______.12【详解】依题意，得b c a +，于是 1c b c b c y a b c a b c+=+=+-++ 12c b c b c a b c+++=+-+ 11122222c a b c c a b a b c a b c ++++-=+--++17．已知集合(){}22|log 4159,A x y x x x ==-+-∈R ，{}|1,B xx m x =-≥∈R ‖ （1）求集合A ；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3|34A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（2）[)1,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】(1)在函数有意义的条件下，解一元二次不等式、绝对值不等式即可． （2）从集合的角度理解充分不必要条件，再由集合的包含关系求解即可． 【详解】解：（1）∵(){}22|log 4159,A x y x x x R ==-+-∈ ∴241590x x -+->，则(3)(43)0x x --< ∴334x <<，∴3|34A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭. （2）∵{}|1,B xx m x =-≥∈R ‖ ∴由||1x m -≥可得：1x m -≥或1x m -≤- ∴1x m ≥+或1x m -≤ ∴{|1B x x m =≥+或}1x m ≤- ∵p ：x A ∈，q ：x B ∈， 且p 是q 的充分不必要条件 ∴13m -≥或314m +≤ ∴4m ≥或14m ≤-∴实数m 的取值范围是[)1,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式的解法以及充分条件与必要条件，属于基础题． 18．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其中点(1,2)P 为函数图象的一个最高点，(4,0)Q 为函数图象与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移2个单位得到()y g x =的图象，求函数()()()h x f x g x =⋅图象的对称中心．【答案】（Ⅰ）()2sin()63f x x ππ=+；（Ⅱ）1(3,1)()2k k Z +∈． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要确定()sin()f x A x ωϕ=+的解析式，利用最高点确定A ，由P 、Q 两点确定周期，从而可确定ω，再结合五点法（或正弦函数的性质）可确定ϕ；（Ⅱ）由平移变换得出()g x 的表达式，从而求出()()f x g x ，展开后用二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个三角函数，同样结合正弦函数的性质可得对称中心． 试题解析：（Ⅰ）由题意得振幅2A =，周期4(41)12T =⨯-=，又212πω=，则6πω=将点(1,2)P 代入()2sin()6f x x πϕ=+，得sin()16x πϕ+=，∵02πϕ<<， ∴3πϕ=，故()2sin()63f x x ππ=+．（Ⅱ）由题意可得()2sin (2)2sin 636g x x x πππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦．∴2()()()4sin()sin 2sin 23cos 636666h x f x g x x x x x x ππππππ=⋅=+⋅=+⋅1cos312sin()3336x x x ππππ=-=+-．由36x k πππ-=得13()2x k k Z =+∈∴()y h x =图像的对称中心为1(3,1)()2k k Z +∈【解析】函数()sin()f x A x ωϕ=+的解析式与性质．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆和△1AA C 均是边长为2的等边三角形，点O 为AC 中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ．（1）证明：1A O ⊥平面ABC ；（2）求直线AB 与平面11A BC 所成角的正弦值． 【答案】（1）理由见解析；（2）64【分析】（1）证明1A O AC ⊥，通过平面11AA C C ⊥平面ABC ，推出1A O ⊥平面ABC ． （2）如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z =，设直线AB 与平面11A BC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】（1）证明：11AA AC =，且O 为AC 的中点， 1A O AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABC ，且交线为AC ，又1AO ⊂平面11AAC C ， 1A O ∴⊥平面ABC ；（2）解：如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．由已知可得(0O ，0，0)(0A ，1-，110),(3,0,0),(0,0,3)(0,2,3)B A C ， 1(3,0,3)A B =-，11(3,1,0),(0,2,0)AB AC == 平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z =，则有20330y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以n 的一组解为(1,0,1)n =， 设直线AB 与平面11A BC 所成角为α， 则sin cos ,AB n α=又·36cos ,22AB n AB n AB n===， 所以直线AB 与平面11A BC 所成角的正弦值：64． 【点睛】关键点睛：解题的关键在平面与平面垂直的判断定理的应用，以及利用法向量求解直线与平面所成角，主要考查学生空间想象能力以及计算能力，难度属于中档题 20．已知函数2()(1)f x x x x a =+--． （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）当1a =-时，， 故有221,1(){1,1x x f x x -≥-=<-，当1x ≥-时，由()1f x =，有2211x -=，解得1x =或1x =- 当1x <-时，()1f x =恒成立 ∴ 方程的解集为或（2）22(1),(){(1),x a x a x af x a x a x a-++≥=+-<，若在上单调递增，则有1{410a a a +≤+>， 解得，13a ≥∴ 当13a ≥时，在上单调递增（3）设()()(23)g x f x x =--则22(3)3,(){(1)3,x a x a x ag x a x a x a-+++≥=--+< 不等式()23f x x ≥-对一切实数x ∈R 恒成立，等价于不等式()0g x ≥对一切实数x ∈R 恒成立．1a <，∴当(,)x a ∈-∞时，()g x 单调递减，其值域为2(23,)a a -++∞，由于2223(1)22a a a -+=-+≥，所以()0g x ≥成立． 当[,)x a ∈+∞时，由1a <，知34a a +<， ()g x 在34a x +=处取最小值， 令，得35a -≤≤，又1a <，所以31a -≤<综上，[3,1a ∈-）．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，直线l 与椭圆交于,CD 两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线l过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线,AC BD 的斜率分别为12,k k . ①若213k k =，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断12k k 是否为定值，并说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）①证明见解析；②1231k k = 【分析】（1）由题意焦距为2，设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，解得20b y a=±，从而四边形ACBD 的面积226222ABC b S a b a ∆===，由此能求出椭圆的标准方程．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，推导出212186(34k C k --+，12112)34k k +，222286(34k D k -+，22212)34k k -+，由此猜想：直线l 过定点(1,0)P ，从而能证明P ，C ，D 三点共线，直线l 过定点(1,0)P ． ②由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，推导出122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，由此推导出111121212122212112222(2)(1)1(2)(3)332y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---=====+++-（定值）．【详解】（1）由题意焦距为2，可设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，得202211y a b +=，解得20b y a =±， ∴四边形ACBD 的面积226222ABCb S a b a∆===，23b ∴=，24a =，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，211211612234k x k -∴-=+，解得211216834k x k -=+，从而11112112(1)34k y k x k =+=+， 212186(34k C k -∴-+，12112)34k k +，同理可得222286(34k D k -+，22212)34k k -+， 猜想：直线l 过定点(1,0)P ，下证之：213k k =，12221222122212121234348686113434PC PDk k k k k k k k k k -++∴-=------++ 1211112222221211114124364401449143691414k k k k k k k k k k k k =+=+=-=------，P ∴，C ，D 三点共线，∴直线l 过定点(1,0)P ．②12k k 为定值，理由如下： 由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，1,2y ∴=，122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， ∴111121212122212112222(2)(1)(2)(3)32y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---====+++- 222222222963()34343499333434m m my y m m m m m y y m m -----++++==-+-+++2222313493334my m m y m -++==-++（定值）． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题． 22．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）a 的取值范围是[]0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求()2121211ax ax a f x ax a x x ++-=+-='++，令()221g x ax ax a =++-通过对a 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果()00=f 这一特殊性，通过对参数的讨论确定a 的取值范围.试题解析：函数()()()2ln 1f x x a x x =++-的定义域为()1,-+∞()2121211ax ax a f x ax a x x ++-=+-='++ 令()221g x ax ax a =++-，()1,x ∈-+∞（1）当0a = 时，()10g x => ，()0f x '> 在()1,-+∞上恒成立 所以，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； （2）当0a > 时， ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时，0∆≤ ，()0g x ≥ 所以，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时，0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x <因为1212x x +=-所以，1211,44x x -- 由()110g -=>可得：111,4x -<<- 所以，当()11,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点．（3）当0a < 时，0∆>由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点．综上：当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89a >时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， （1）当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 因为()00=f所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意；（2）当819a <≤ 时，由()00g ≥ ，得20x ≤ 所以，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()00=f ，所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （3）当1a > 时，由()00g < ，可得20x >所以()20,x x ∈ 时，函数()f x 单调递减；又()00=f所以，当()20,x x ∈时，()0f x < 不符合题意；（4）当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+因为()0,x ∈+∞时，()11011x h x x x =-=>++' 所以()h x 在()0,+∞ 上单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，()()00h x h >=即：()ln 1x x +<可得：()()()221f x x a x x ax a x <+-=+- 当11x a>- 时，()210ax a x +-< 此时，()0,f x < 不合题意.综上所述，a 的取值范围是0,1【解析】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.。