江苏省苏州市2018届高三调研测试数学试题(理)

苏州市2018届高三调研测试 数学Ⅰ试题 2018．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1． 已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B = ▲ ． 2． 已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ▲ ． 3． 若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ = ▲ ．4． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ▲ ．5． 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ．6． 运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ．7． 已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x = ▲ ．8． 函数e ln y x x =-的值域为 ▲ ．9． 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为 ▲ ．10． 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ▲ ．11． 已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲ ．12． 在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P的个数为 ▲ ．13． 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ▲ ． 14． 若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小；（第6题）（2）若a=4b=，求边c的大小．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）P A∥平面MDB；（2）PD⊥BC．（第16题）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？18． （本小题满分16分） 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ= ，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．（第18题）设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．20． （本小题满分16分）已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．苏州市2018届高三调研测试答案数学Ⅰ试题 2018．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B ={}0,1-． 2．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-=i 24-． 3．若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ =3π．4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = 14．5． 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为π5． 6． 运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是[]4,1-． 7． 已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x =7-． 8． 函数e ln y x x =-的值域为[)+∞,2．9． 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为2．10． 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是31． 11． 已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是()2,1-．12． 在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P的个数为2．13． 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为362-．14． 若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分14分）（第6题）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小；（2）若a =4b =，求边c 的大小．解：(1)因为1cos 2a C cb +=，所以B C C A sin sin 21cos sin =+()C A +=sin C A C A sin cos cos sin += 即C A C sin cos sin 21=，又因为π<<C 0 所以0sin ≠C ，所以21cos =A ，又因为π<<A 0所以3π=A ．(2) 因为A bc c b a cos 2222-+=，即c c 416152-+=所以0142=+-c c ，解得32±=c ．16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证： （1）P A ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．证明：(1)连结AC 交BD 于点O ，连结OM ，则 因为四边形ABCD 是矩形所以O 为AC 的中点，又M 为PC 的中点．所以PA OM //．又因为⊄PA 平面MDB ，而⊂OM 平面MDB 所以P A ∥平面MDB ．(2)因为平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD ⋂平面ABCD CD =，CD BC ⊥所以⊥BC 平面PCD ． 又⊂PD 平面PCD ， 所以PD ⊥BC ． 17． （本小题满分14分）甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 解：(1)由题意⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v a v v a v a v v y 425010002504110002()800≤<v ． (2)当16000≤<a 时，a a v a v y 1000422504250=⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=当且仅当vav 4=，即a v 2=时，取最小值．（第16题）当1600>a 时，()222425041250v a v v a y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 因为800≤<v ，所以0<'y ，所以y 在(]80,0上递减，所以当80=v 时，y 取最小值22520000a+．18． （本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ= ，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．解：(1)由题意知2=a ，且1414222=+ba e ． 又224cb -=，2<c ． 解得3=c ，所以12=b ．所以椭圆的方程为1422=+y x ． (2)设()()2211,,,y x C y x B ()10,2022<<<<y x ，又()0,2A ，则：()22,y x =，()11,2y x --=，()11,y x =． 所以()()2211,,2y x y x =--=λλλλ，有⎩⎨⎧-=-=12122y y x x λλλ．又0OC OB ⋅=，所以02121=+y y x x ．所以()()021*******=-+-=+y y x x y y x x λλλ．即121212x y x =+，又442121=+y x ，解得21=x 或321=x ． 又()0212>-=x x λ，所以21≠x ． 又442222=+y x ．所以()44221221=+-y x λλλ，即()[]44221212=+-y x λ．所以()112121221484424x x y x -=-=+-=λ43=． （第18题）又由题意OC BA λ=知0>λ，所以23=λ． 19． （本小题满分16分） 设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：设数列{ a n + f (n ) }的公比为q ，则：()()()n f a q n f a n n +=+++11． 而()()()c n b n a n n a n f a n n ++++++-+=+++111421221c b bn a na an n n a n +++++++-+=214222 ()()()c b a n b a n a a n +++++-+++=142122()()qc qbn qan qa n f a q n n +++=+2．由等式恒成立得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+-=+==cb a qc b a qb a qa q 14212，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===0212c b a q ．故存在()n n n f 22-=，使数列{ a n + f (n ) }成公比为2的等比数列． 又()221311=-+=+f a ，所以()n n n n f a 2221=⋅=+-． 所以()n n n f a n n n 2222+-=-=．(2) 因为a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，可设Bn An a n +=2，则:()()()()B A n B A An n B n A a n ++++=+++=+211221．又a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1142222+-++=n n Bn An ()()142122+-++=n B n A ．由此得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=142212B A B B A A A ，解得⎩⎨⎧=-=21B A ．所以n n a n 22+-=，所以11=a ．所以当2≥n 时，()()[]1212221-+---+-=-=-n n n n a a b n n n n 23-=．当1=n 时，111==a b 满足上式．故n b n 23-=．20． （本小题满分16分）已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．解：(1)由a = 2，b = 1知()xe x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12，()+∞∈,0x 所以()()()22121121x e x x e x e x x f xx x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='． 令()0='x f 得11-=x （舍），或21=x ． 当21>x 时，()0>'x f ；当210<<x 时，()0<'x f ．所以当21=x 时，()x f 取极大值e 4，无极小值．(2) ①因为()()e x bf x a x=+．所以()x x e x b a e x b x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-='2()22x e b bx ax x -+=． 令()b bx ax x g -+=2，[]2,1∈x ． 因为a > 0，b > 0，所以其对称轴02<-=abx ，所以()x g 在[]2,1上递增． 所以()()01min >=-+==a b b a g x g ，故()0>x g 在[]2,1上恒成立． 所以()0>'x f ，即()f x 在区间[1，2]上是增函数． ②由题意知()f x 在区间[1，2]上是增函数，且(2)0f <．所以()()021<<f f ，2(2)e f --<，且，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．。

苏州市2018届高三教学调研测试数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.满分150分.考试时间120分钟.2.请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上,第Ⅱ卷的解答写在答题卷上.在本试卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={a,b,c,d}，集合A={a,c,d}，B={b,d}，则集合（C U A）∩B等于A．{b} B.{d} C.{a,c} D.{b,d}2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=18-a4,则S8等于A．144 B.72 C.54 D.363.不等式（x-1）·|x|≥0的解集为A．{x|x＞1} B.{x|x≥1} C.{x|x＞1或x=0} D.{x|x≥1或x=0} 4．若函数f(x)=x2lga-2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是A．0＜a＜10 B.1＜a＜10 C.0＜a＜1 D.0＜a＜1或1＜a＜105.抛物线y=14x2的焦点坐标是A．（0，116） B.(116,0) C.(1,0) D.(0,1)6.设双曲线C:2214xy-=的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，若直线l与双曲线C的左、右两支都相交，则直线l的斜率的取值范围是A．k≤-12或k≥12B.k＜-12或k＞12C.- 12＜k＜12D.-12≤k≤127.若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域互不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x2,x∈[1，2]与函数y=x2，x∈[-2，-1]即为“同族函数”.下面4个函数中能够被用来构造“同族函数”的是A.y=sinxB.y=xC.y=2xD.y=log2x8.已知函数y=f(2x+1)是偶函数，则一定是函数y=f(2x)图象的对称轴的直线是A．x=-12B.x=0C.x=12D.x=19.设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①////;//αββγαγ⎫⇒⎬⎭②;//mmαββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭③;//mmααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭④////.m nmnαα⎫⇒⎬⊂⎭A.①②B.②③C.①③D.②④10.如图，正方形ABCD 的顶点A （02）,B(2,0),顶点C ，D 位于第一象限，直线l:x=t(0≤t ≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S=f(t)的图象大致是11．已知直线x=6π是函数y=asinx-bcosx 图象的一条对称轴，则函数y=bsinx-acosx 图象的一条对称轴方程是 A ．x=6π B.x=3π C.x=2πD.x=π 12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 5=55，则过点P （n,a n ）和Q （n+2,a n+2）（n ∈N *）的直线的一个方向向量的坐标是A ．（2，1)2B.(-1,2)2-C.(-1,1)2- D.(-1,-1)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卷相应的位置上.13.直角坐标系xOy 中，若定点A （1，2）与动点P(x,y)满足4,OP OA P =则点的轨迹方程是__________.14．记地球赤道的周长为C km ，则地球北纬60°的纬线圈的周长用C 表示等于______km.15.在右侧棋子堆放的示意图中，最上层（记为第一层）有1颗棋子，第二层有3颗，第三层有6颗，…，如果按图示的方式摆放，那么堆放满5层需要的棋子总数是______颗.16．已知椭圆221259x y +=与双曲线22197x y -=在第一象限内的交点为P ，则点P 到椭圆右焦点的距离等于__________.17．设a,b 是两个不共线的向量，若2,3,2,AB a kb CB a b CD a b =+=+=-且A,B,D 三点共线，则k=________.18．若函数f(x)=cosx+|sinx|(x ∈[0,2π])的图象与直线y=k 有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是___________.三、解答题：本大题共5小题，共66分.请把答案写在答题卷规定的答题框内.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题共12分） 已知函数2cos 2x x x +(1) 求函数y=f(x)的单调增区间；(2) 在右边的直角坐标系中画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.20．（本小题共12分）已知函数f(x)=x+1，设g 1(x)=f(x),g n (x)=f(g n-1(x)),(n ＞1,n ∈N *).(1) 求g 2(x)，g 3(x)的表达式，并猜想g n (x)（n ∈N *)的表达式（直接写出猜想结果） (2)若关于x 的函数y=x 2+1ni =∑g i (x)（n ∈N *)在区间（-∞,-1]上的最小值为6，求n的值.（符号“1ni =∑”表示求和，例如：1ni =∑i=1+2+3+…+n.）21．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AD=DC=CB=12AB ，E 是AB 中点，将△ADE 沿DE 折起使点A 折到点P 的位置，且二面角P-DE-C 的大小为120°. （1） 求证：DE ⊥PC ；（2） 求直线PD 与平面BCDE 所成角的大小； （3） 求点D 到平面PBC 的距离.22．（本小题共14分）已知点P 是圆x 2+y 2=1上的一个动点，过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，设.OM OP OQ =+ （1） 求点M 的轨迹方程；（2） 求向量OP OM 与夹角的最大值，并求此时P 点的坐标.23．（本小题满分14分）已知曲线C:y=x 2(x ＞0),过C 上的点A 1（1，1）作曲线C 的切线l 1交x 轴于点B 1，再过点B 1作y 轴的平行线交曲线C 于点A 2，再过点A 2作曲线C 的切线l 2交x 轴于点B 2，再过点B 2作y 轴的平行线交曲线C 于交A 3，…，依次作下去，记点A n 的横坐标为a n (n ∈N *).(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：a n S n ≤1;(3) 求证：1ni =∑1i ia S ≤41.3n -苏州市2018届高三教学调研测试1.A2.B3.D4.D5.D6.C7.A8.C9.D 10.C 11.B 12.B 13.x+2y-4=0 14.2C15.35 16.2 17.-8 18.1≤k19.（1）∵21cos 22x +=-2sin2x-2cos2x=sin(2x-3).4π 由题意，得2k π-2π≤2x-34π≤2k π+2π,k ∈Z . ∴函数y=f(x)的单调增区间为[k π+8π,k π+58π],∈Z .(2)由y=sin(2x-3π)知 函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象见右.注：列出表格给3分，正确画出图象给2分.如果不列表，但图象正确，给5分. 20．（1）∵g 1(x)=f(x)=x+1,∴g 2(x)=f(g 1(x))=f(x+1)=(x+1)+1=x+2. g 3(x)=f(g 2(x))=f(x+2)=(x+2)+1=x+3. (2)∵g n (x)=x+n, ∴猜想g n (x)∴1ni=∑g i (x)=g 1(x)+g 2(x)+…+g n (x)=n x +(1).2n n + ∴y=x 2+1ni =∑gi(x)=x 2+nx+(1)2n n +=(x+222).24n n n++①当-2n ≥-1,即n ≤2时，函数y=(x+222)24n n n++在区间（-∞,-1]上是减函数.∴当x ＝—1时，y min =222n n -+=6,即210n n -－＝0，该方程无整数解②当-2n ＜-1,即n ＞2时， y min =224n n +=6，解得n=4.21．（1）连结AC 交DE 于F ，连结PF.∵CD ∥AB,∴∠BAC=∠ACD. 又∵AD=CD ， ∴∠DAC=∠ACD. ∴∠BAC=∠DAC. 即CA 平分∠BAD.∵△ADE 是正三角形， ∴AC ⊥DE.即PF ⊥DE ，CF ⊥DE. ∴DE ⊥平面PCF. ∴DE ⊥PC.（2）过P 作PO ⊥AC 于O ，连结OD. 设AD=DC=CB=a,则AB=2a. ∵DE ⊥平面PCF ，∴DE ⊥PO. ∴PO ⊥平面BCDE.∴∠PDO 即为直线PD 与平面BCDE 所成的角.∵∠PFC 是二面角P-DE-C 的平面角，∴∠PFO=60°在Rt △POF 中，∵∠PFO=60°， ∴PO=34a. 在Rt △POD 中，sin ∠PDO=3,4PO PD = ∴直线PD 与平面BCDE 所成角是arcsin34. (3) ∵DE ∥BC ，DE 在平面PBC 外， ∴DE ∥平面PBC.∴点D 到平面PBC 的距离即为点F 到平面PBC 的距离. 过点F 作FG ⊥PC ，垂足为G.∵DE ⊥平面PCF ，∴BC ⊥平面PCF. ∴平面PBC ⊥平面PCF. ∴FG ⊥平面PBC.∴FG 的长即为点F 到平面PBC 的距离.在菱形ADCE 中，AF=FC, ∴ ∵∠PFC=120°, ∴∠FPC=∠FCP=30°.∴FG=12PF=.4a22.(1)设P （x 0,y 0）,M(x,y),则00(,),OP x y =0(,0),OQ x OM OP OQ =+=（2x 0,y 0）∴002,.x x y y =⎧⎨=⎩化为001,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∵x 22001,y +=∴22 1.4x y +=(2)设向量.OP OM α和的夹角为则cos α=||||OP OMOPOM22=令t=3x 21,cos α+==则3 当且仅当t=2时，即P 点坐标为(,.时等号成立 ∴OP OM 与夹角的最大值是23.(1)∵曲线C 在点A n (a n ,a 2)n n n 处的切线l 的斜率是2a ,∴切线l n 的方程是y-a 22().n n n a x a =-由于点B n 的横坐标等于点A n+1的横坐标a n+1，所以，令y=0，得a n+1＝12a n 。

2018年苏州市高三教学调研测试数学一、选择题：1、集合{|2},{|1}A x x B x x =>=<，则A B =A 、AB 、BC 、{|12}x x <<D 、Φ 2、在ABC ∆中，若cos cos sin sin 0A B A B ->，则这个三角形一定是A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、以上都有可能3、在等比数列{}n a 中，已知32a =，5a m =，，则m =A 、4±B 、5C 、4-D 、4 4、由函数2log y x =的图象经过下列哪种平移可以得到函数2log (1)3y x =--的图象 A 、向左平移1个单位，向下平移3个单位 B 、向左平移1个单位，向上平移3个单位C 、向右平移1个单位，向下平移3个单位D 、向右平移1个单位，向上平移3个单位5、某学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试2次，那么其中恰好有1次获得通过的概率是 A 、12 B 、13 C 、14 D 、346、给出以下三个命题：（1）垂直于同一条直线的两个平面平行（2）与有个平面等距离的两点的连线一定平行于这个平面 （3）“一个平面内有无数条直线与另一个平面平行”是“两个平面平行”的充分不必要条件 其中正确的命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个7、当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的 A 、最小值是14 B 、最大值是14C 、最小值是4D 、最大值是48、已知点I 为ABC ∆内任意一点，若(2)()0IA IB IC IA IB +--=，则下列结论一定成立的是A 、AB BC CA == B 、AB BC = C 、AB CA =D 、BC CA =9、以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是A、1(0,)2 B、1(,1)2 C、1(,1)2 D、1(0,)210、已知函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，则x 的取值范围是 A 、1(,10)10B 、(0,10)C 、(10,)+∞D 、1(0,)(10,)10+∞ 二、填空题：11、30(1)x +的展开式中，系数最大的项是第______项 12、曲线3123y x =-+在1x =-处的切线的倾斜角是_______ 13、5个人分4张足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法共有____种 14、已知空间三个平面,,αβγ两两垂直，直线l 与平面,αβ所成的角都是30，则直线l 与平面γ 所成角的余弦值是_________15、若直线20x y --=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为_____16、已知向量(,sin )a cosx x = ，(cos ,sin )b y y = ，若76y x π=+，则向量a 与()a b + 的夹角等于__________ 三、解答题：17、已知点(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C x x ，x R ∈（1）若||||AC BC =，且[0,2)x π∈，求x 的值（2）设函数()f x AC BC =⋅，求()f x 的最大值，并求使()f x 取得最大值时x 的值18、如图，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD，PD =，设点E 是棱PB 上的动点（不含端点），过点,,A D E 的平面交棱PC 于点F（1）求证：//BC EF（2）求二面角A PB D --的大小（结果用反三角函数值表示）（3）试确定点E 的位置，使PC ⊥平面ADFE ，试说明理由BCDEFP19、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点(0,1)B ，且点(,0)A a (0)a ≠是x 轴上动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使AP DA = （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）点Q 是直线1y =-上的一个动点，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ， 求证：QM QN ⊥20、某企业投入81万元经销某产品，经销时间共6个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润1, 120,()1, 2160,10x x N f x x x x N ≤≤∈⎧⎪=⎨≤≤∈⎪⎩（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率()x g x x =第个月的利润第个月前的资金总和，例如：(3)(3)81(1)(2)f g f f =++（1）求(10)g（2）求第x 个月的当月利润率()g x（3）该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率21、已知函数2()log ((0,3))3xf x x x x=+∈- （1）求证：()(3)f x f x +-为定值（2）记21*11()(1)()22n nn i iS n f n N -==+∈∑，求()S n （3）若函数()f x 的图象与直线1,2x x ==以及x 轴所围成的封闭图形的面积为S ，试探究()S n 与S 的大小关系参考答案1、D2、B3、D4、C5、A6、B7、C8、D9、C 10、A11、16； 12、34π； 13、120； 14、2； 15、0或4； 16、512π 17、(cos 3,sin )AC x x =- ，(cos ,sin 3)BC x x =-，||AC ==，||BC ==||||AC BC = ，得cos sin x x =，又[0,2)x π∈，4x π∴=或54x π=()(cos 3)cos sin (sin 3)13(cos sin )1)4f x AC BC x x x x x x x π=⋅=-+-=-+=-+当3242x k πππ+=+，即524x k ππ=+()k Z ∈时，max ()1f x =+18、（1）//,//BC AD BC ADFE BC ADFE ⊄∴ 面，面，又A D F E P B C E F= 面面，//BC EF ∴（2）连结AC ，交BD 于点O ，AC BD ⊥ ，又PD A B C D ⊥面，面PBD ⊥面ABCDAC PBD ⊥ 面，AH PB ∴⊥，AHO ∴∠是二面角A PB D --的平面角，不妨设1AD =则PD ，2PA =，AO =，AH =，Rt AHO ∆中，sin AO AHO AH ∠==∴ 二面角A PB D --的大小为 （3）假设棱PB 上存在点E ，由题意得PC AD ⊥，要使PC ADFE ⊥面，只要PC DF ⊥即可当PC DF⊥时，R t∆中，2CD C F P C=⋅，111,2,,23CF CD PC CF FP ==∴==//BC EF ，13BE EP ∴=时，PC ADFE ⊥面19、（1）设动点(,)P x y ，1AB k a=-，AP AB ⊥ ，AP k a ∴=，∴直线AP 的方程为()y a x a =-AP DA =，2x a ∴=，∴点P 的轨迹C 的方程是24(0)x y y =≠（2）设221212(,1),(,),(,)44x x Q t M x N x -，24x y = ，1'2y x ∴=。

2018年普通高等学校招生全国统一考试**5月调研测试卷 理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}()|,,2A x x a B =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥ B ．2a > C ．2a ≤ D ．2a <2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足21iz z =+，则z =（ ） A ．2155i -- B ．2155i + C ．2i + D ．2i - 3.设命题:,2ln 2x p x Q x ∃∈-<，则p ⌝为（ ）A ．,2ln 2x x Q x ∃∈-≥B ．,2ln 2x x Q x ∀∈-<C ．,2ln 2x x Q x ∀∈-≥D ．,2ln 2x x Q x ∀∈-= 4. 已知随机变量()22,XN σ，若()()1121P X a P X a ≤-+≤+=，则实数a =（ ）A ． 0B ．1 C. 2 D ．45.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中,A B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为 （ ） A ．12 B ． 24 C. 36 D ．486. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M N 、两点，与抛物线的准线交于P Q 、两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（ ）A．．．37. 已知实数,x y 满足不等式组20x y x a x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的2倍，则a =（ ） A ．34 B ．56 C. 65 D ．438. 《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.根据该问题设计程序框图如下，若输入103,97a b ==，则输出n 的值是（ ）A ． 8B ． 9 C. 12 D ．169.一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为32π，则侧视图中的x 的值为 （ ）A ． 6B ． 4 C. 3 D ．210. 已知圆O 的方程为221x y +=，过第一象限内的点(),P a b 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若8PO PA =，则a b +的最大值为（ ）A ．3B ．．611. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径的圆M 与双曲线C 相交于,A B 两点，其中O 为坐标原点，若1AF 与圆M 相切，则双曲线C 的离心率为（ ）A B D12. 已知函数()32413327f x x x x =+++，等差数列{}n a 满足：()()()129911f a f a f a +++=，则下列可以作为{}n a 的通项公式的是（ ） A ．173n - B ．2333n - C. 452n- D ．49n - 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.函数()22cos sin cos 1f x x x x =+-的最大值是 ．14.已知0a >，且102a x ⎛ ⎝的展开式中常数项为5，则a = ．15.在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB '∆，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE = ．16.已知点I 为ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===，若A I x A B y A C =+，则x y += ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，A 为锐角，且()224sin 5cos sin cos 2422A A A A ππ⎛⎫⎫--=+ ⎪⎪⎝⎭⎭.（1）求A ；（2）若1,AC ABC =∆BC 边上的高.18. 从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在0.30.5的概率为110. （1）求,a b 的值；（2）若某大学A 专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考A 专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对A 专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学A 专业的调查，记抽到的学生中视力在1.1 1.3的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19.如图，三棱柱111ABCA B C 中，011111,,60AC B A AB AA BAA ⊥=∠=. （1）求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若平面BAC ⊥平面11ABB A ，且AB CB =，求二面角11A CC B --的正弦值.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点与抛物线2y =的焦点重合.（1）求椭圆的C 的方程；（2）设点P 为圆22:2x y Γ+=上任意一点，过P 作圆Γ的切线与椭圆C 交于,A B 两点，证明：以AB 为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标. 21.已知函数()()1ln f x x a x a R x=+-∈. （1）若直线1y x =+与曲线()y f x =相切，求a 的值； （2）若关于x 的不等式()2f x e≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，曲线C 的极坐标方程为2sin8cos ρθθ=.（1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1M ，直线l 与曲线C 交于不同的两点,P Q ，求MP MQ +的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-+.（1）当3a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}|2x x ≤-，求实数a 的值.试卷答案一、选择题1-6: DACCBA 7-12: BBCBCA 二、填空题13 15. 278 16. 23三、解答题17.解：（1）)1sin 4sin 1sin sin 223A AA A A π+=+⇒=⇒=；（2）1sin 42S bc A c ==⇒=，由余弦定理有：2222cos 13a b c bc A a =+-=⇒=由面积公式有：1213S ah h =⇒=. 18.解：（1）0.20.10.50100b b a ⨯=⇒=⇒=； （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，概率为：()()321553338810300,15656C C C P P C C ξξ======， ()()12353333881512,35656C C C P P C C ξξ======，所以其分布列如下：则()568E ξ==. 19.解：（1）设AB 中点为D ，连接1,CD DA ，又设2AB =，则11,12AD AA ==， 又因为11cos 2BAA ∠=，所以1AB DA⊥， 又因为11111,CA A B CA DA⊥，所以11A B ⊥面1CDA ，所以11A B CD ⊥，又因为CD 为中线，所以ABC ∆为等腰三角形；（2）设以AB 中点D 为原点，分别以1,,DA DA DC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()(()(110,0,0,,,1,0,0,D A C B C --，故()()(110,3,3,1,3,0,1,0,CA CC CB =-=-=-，设面11ACC 的法向量()1111,,n x y z =，则有()1111103,1,10n x =⇒=-=⎪⎩，同理得：面1BCC的法向量()23,1,1n =-，设所求二面角为θ，则12123cos 5n n n n θ==，故4sin 5θ=.20.解：（1）由题意有：221263c e x y a c ⎧==⎪⇒+=⎨⎪=⎩；（2）由对称性，猜测该定点为()0,0O ，设该切线方程为y kx b =+，则有2222d b k ==⇒=+，联立方程有：()22222214260163y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，()()()222212121212211366021OA OB x x y y k x x kb x x b b k k =+=++++=--=+，所以OA OB ⊥，即原点以在AB 为直径的圆上.21.解：（1）()20220111111a x ax f x x a x x x a x --'=--==⇒=-⇒-=， 则有：()00000001ln 1ln 10f x x a x x x x x =+-=+⇒-+=， 令()()1ln 1101h x x x h x x x'=-+⇒=-=⇒=， 则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 又因为()10h =，所以011x a =⇒=-； （2）令()12ln l x x a x x e=+--，则原命题等价于()0l x ≥恒成立， 又()221x ax l x x --'=，设2000110,x ax a x x --==-， 则()l x 在()00,x 上单减，在()0,x +∞上单增， 故只需()()00000001120,ln l x l x x x x x x e⎛⎫≥=+--- ⎪⎝⎭， 令()()21121ln 1ln m x x x x m x x x x e x ⎛⎫⎛⎫'=+---⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()m x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()10m m e e ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即11,a e e e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 22.解：（1）22cos sin 11,sin 8cos 8x y y x ρθρθρθθ+=⇒+==⇒=；（2）考虑直线方程1x y +=，则其参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线方程有：2211810222t ⎛⎫-=⨯⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭，则有12MP MQ t t +=+=23.解：（1）()33,3323,3x x f x x x x x -≥⎧=-+=⎨+<⎩结合函数图像有：[)0,x ∈+∞；（2）由题意知()202f a -=⇒=或6a =-， 经检验，两种情况均符合题意，所以2a =或6a =-.。

2018届苏州市高三教学调研测试（数学）2018．9一、选择题1、设全集{01234}U =，，，，，集合{1,2,3}A =，集合{2,3,4}B =，则U AB =ðA 、{1}B 、{01}，C 、{0123}，，，D 、{01234}，，，， 2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3(1)n n S a =-，则1a 等于A 、12-B 、12C 、32-D 、323、,a b R ∈，a b >，0ab >是11a b<成立的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数与方差的变化情况为A 、平均数和方差都不变B 、平均数不变，方差改变C 、平均数改变，方差不变D 、平均数和方差都改变 5、函数21()cos (0)3f x x ωω=->的周期与函数()tan 2xg x =的周期相等，则ω等于 A 、2 B 、1 C 、12 D 、146、已知l m n 、、是直线，αβγ、、是平面，给出下列命题：（1）若//m l ，且m α⊥，则l α⊥； （2）若//m l ，且//m α，则//l α （3）若l αβ=，m βγ=，n γα=，则////l m n （4）若m αβ=，l βγ=，且//αβ，则//m l其中两个真命题的是A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（1）（4）D 、（2）（4） 7、直线y kx =与圆22(4)4x y -+=相切，则直线的倾斜角为A 、6π，6π- B 、6π，56π C 、3π，3π- D 、3π，23π-8、在ABC ∆中，,,a b c 分别为三内角,,A B C 所对的边，若2B A =，则:2b a 的取值范围是A 、(2,2)-B 、(0,2)C 、(1,1)-D 、(0,1) 9、已知函数()21xf x =+的反函数为1()fx -，则1()0f x -<的解集为A 、(,2)-∞B 、(1,2)C 、(2,)+∞D 、(,1)-∞10、若动点P 的横坐标为x 、纵坐标为y 使lg lg ||lgy xy x -、、成等差数列，则点P 的轨A 、B 、C 、D 、11、若点O 为ABC ∆的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC ∆的内角C 等于A 、45B 、60C 、90D 、12012、某校高三8个班级的师生为庆祝第二十一个教师节，每个班学生准备了一个节目，已排成节目单。

苏州市2018届高三调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。

1. 复数()212i +的共轭复数是 ▲ . 2. 若双曲线()22221,0x y a b a b-=>的离心率为2，则b a = ▲ .3. 样本数据11,8,9,10,7的方差是 ▲ .4. 函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示，则ϕ= ▲ .5. 已知集合{}2,5A =,在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边恰好构成三角形”的概率是 ▲ .6. 6．设,E F 分别是Rt ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知3,6AB AC ==,则AE AF ⋅=▲ .7. 7.设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,m n m n αα⊥⊥⊄则n ∥α；②若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥；③若,m n ⊥m ∥α，n ∥β，则αβ⊥；④若,,n m αβα⊂⊂与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直.其中，所有真命题的序号是 ▲ . 8. 已知11tan ,tan 73αβ==，且(),0,αβπ∈,则2αβ+= ▲ . 9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的S = ▲ . 10. 已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为 ▲ .11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ,满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ m （π取3.14，精确到1m ）.12. 已知数列{}n a 满足()*115132,37n n n a a a n N a +-==∈-,则数列{}n a 的前100项的和为 ▲ . 13. 已知ABC △的三边长,,a b c 满足23,23b c a c a b +≤+≤，则b a 的取值范围为 ▲ . 14. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为 ▲ .二、解答题：本大题共六小题，共计90分.15.（本小题满分14分）在ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()()3a b c b c a bc +++-=.⑴求A ;⑵若90,4B C c -=︒=，求b .（结果用根式表示）16. （本小题满分14分）正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB A A =,D 为1C C 的中点，O 为1A B 与1AB 的交点. ⑴求证：1AB ⊥平面1A BD ;⑵若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面1A BD .有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距()d m 正比于车速()/v km h 的平方与车身长()l m 的积，且车距不得小于一个车身长l （假设所有车身长均为l ）.而当车速为()60/km h 时，车距为1.44个车身长.⑴求通过隧道的最低车速；⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？18. （本小题满分16分） 如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点.⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知()*121111n n n N S S S n ++⋅⋅⋅+=∈+. ⑴求1S ,2S 及n S ； ⑵设1,2n a n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭若对一切*n N ∈均有21116,63n k k b m m m =⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭∑，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分16分）设函数()()ln ln 0,0f x x a x a a =->>且为常数. ⑴当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明；⑵当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立；⑶若0k <，且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数.数学II （加试题）21.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点()1,0F 的距离与定直线l ：1x =-的距离相等. ⑴求动点P 的轨迹E 的方程;⑵过点F 作倾斜角为45︒的直线m 交轨迹E 于点,A B ，求AOB △的面积.22. （本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X .⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；⑵求X 的分布列及X 的数学期望.23. （本小题满分10分）如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，11A E CF ==. ⑴求两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值； ⑵求直线1AC 与平面1BED F 所成角的正弦值.24．（本小题满分10分）设()1n f n n +=，()()*1,ng n n n N =+∈． ⑴当1,2,3,4n =时，比较()f n 与()g n 的大小． ⑵根据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．。

2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B =．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ．4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ．8.设nS 是等差数列{}na 的前n 项和，若242aa +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23aba b+=，则ab 的最小值是 ．10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ． 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．17.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>经过点1(3,)2，3(1,)2，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小； （2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值. 19.已知函数32()f x x ax bx c=+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.①求实数a 的值； ②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域. 20.已知nS 是数列{}na 的前n 项和，13a=，且123n n S a +=-*()n N ∈.（1）求数列{}na 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知ja λ，6i a ，kaμ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}nb 前n 项和是nT ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132nn n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n nTa=的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵AB ； （2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C 经过点(22,)4P π，圆心为直线sin()33πρθ-=-C 的极坐标方程.D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}nAn =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，na ）满足(1,2,,)ia i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合nA 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A=，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合nA 的所有错位排列的个数为nD .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示nD ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()nDn N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. 32y x =±4. 635. 3166. 2543 8. 8 9. 261311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以2sin()4a b a πα⋅=++2sin cos 4παα=+cos sin4πα+4242552=+⨯3232522+⨯=.（2）因为//a b 2sin()14a πα+=，即2α(sin coscos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AAAC A=，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ， 所以AD BN ⊥，由题意，16AA =2AC =，1AN =，63CD =，所以132AA ANAC CD ==又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=， 则1AD A N ⊥，又1BNA N N=，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN . 17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210kk --=，解得112k=综上可得，直线1l 的斜率为1218.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以3OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=， 由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠， 即33sin sin()6παπα=--3sin()6παπα=--5sin()6πα=-，53sincos 6παα=5cos sin 6πα-13cos 22αα=+，所以3cos αα=，因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以3tan 3α=，得6πα=； （2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=， 由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即33sin(())2ππαθ=---，所以3sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而3sin )sin θαcos cos αθ=3sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tan 3sin αθ=-，记()3sin f θθ=-，213sin '()(3sin )f θθθ-=-(0,)2πθ∈； 令'()0f θ=，3sin 3θ=，存在唯一0(0,)2πθ∈使得03sin 3θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大， 又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时3sin 3θ=. 答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为33.19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x xx c=-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln xx c x-+≥恒成立，即3ln 2c x x x≥-+.令3()ln 2x x xxϕ=-+，则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减，∴当1x =时，max[()](1)1x ϕϕ==.∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c=+-+，2'()323f x xax =+-.由题意，2'()3230f x xax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0. ②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞. 当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x xx =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x=-=，得1x =.x(0,1)1(1,)+∞'()f x - 0+ ()f x极小值∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.故函数()y h x =的值域为[0,)+∞. 20.解：（1）由123nn S a +=-*()n N ∈得1223n n Sa ++=-，两式作差得1212n n n aa a +++=-，即213n n aa ++=*()n N ∈. 13a =，21239aS =+=，所以13n n aa +=*()n N ∈，0na≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}na 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n na=*()n N ∈；（2）由题意26jk ia a a λϕ+=⋅，即33263jk iλμ+=⋅⋅，所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j iλλ-≥≥，399k iμμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132nn n a ba b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得， 11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n bn +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21nbn =-*()n N ∈， 从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113Ta=；当2n =时2249Ta=；当3n =时3313Ta=；下面证明：对任意正整数3n >都有13n nTa<，11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)nn n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nTT aa ++-<，所以当3n ≥时，n nT a递减，所以对任意正整数3n >都有3313n nTT aa <=；综上可得，满足等式13n nTa=的正整数n 的值为1和3.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =.因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=， 又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CDCB CA =⋅=⨯=，所以3CD =B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）由1151BA X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：在sin()33πρθ-=-0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0). 因为圆C 的半径PC 22(22)22222cos24π=+-⨯⨯⨯=，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数， 所以223130x yxy ++≥>，223130y xyx ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =， 设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得20x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>=53t=⨯15=，则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为155.（2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PAλλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)nx y z =，则2200DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，由题意得21221()cos ,3n n -=<>1212n nn n ⋅=2225(1)5(1)(22)()λλλλ-=-+-+-，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D=，32D =， 49D =，（2）12(1)()nn n Dn D D --=-+，理由如下：对nA 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，na ），若1(1)a k k =≠，分以下两类：若1ka=，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1ka≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，nD 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数，又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有nD 均为偶数.下面用数学归纳法证明2nD （其中*n N ∈）为奇数.当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2kD 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k Dk D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2kD 是奇数，所以212k kDD ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2nD 为奇数.。

2018届高三数学5月第二次调研试题(江苏省常熟含答案)
5 c 1，对应的一个特征向量为，求矩阵
c选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线的参数方程为，（，为参数），曲线的极坐标方程为，求曲线与曲线的交点的直角坐标【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分请答题卡的指定区域内作答解答应写出字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）
在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2,3,4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关在闯关时，转次，当次转得数字之和大于时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立（1）；求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；
（2）某人参加一次游戏，获得奖金欧元，求的概率分布和数学期望
23（本小题满分10分）
（1）证明；
（2）证明；
（3）证明
5 c。

2018届___高三下第二次调研考数学理2017-2018学年度下学期高三二调考数学(理科)一、选择题1.设集合U={1.2.3.4.5.6}，A={1.2}，B={x|x^2-7x+10≤0.x∈N}，则A∩(U-B)=A。

{1}B。

{2}C。

{1.2}D。

{1.2.5}2.设复数z=1+2i(i是虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点的坐标为A。

(-3.2)B。

(5.4)C。

(-3.4)D。

(3.4)3.设a∈R，则"a>3"是"函数y=loga(x-1)在定义域内为增函数"的A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件4.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an-1(n∈N)，则a2018=A。

B。

C。

D。

5.已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1(a>0.b>0)与抛物线y^2=8x有相同的焦点F，过点F且垂直于x轴的直线l与抛物线交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，当AB=2CD时，双曲线的离心率为A。

2B。

(6+2√2)/2C。

(5+√5)/2D。

(6+√10)/26.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则P(X>4)=A。

0.158 8B。

0.158 7C。

0.158 6D。

0.158 57.如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是A。

π+42+4B。

2π+42+4C。

2π+42+2D。

2π+22+48.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是A。

∫f(x)dxcaB。

∫f(x)dx + ∫f(x)dxbcaC。

∫f(x)dx - ∫f(x)dxbcbD。

∫f(x)dx9.执行如图所示的程序框图，令y=f(x)，若f(a)>1，则实数a的取值范围是A。

(-∞。

2)∪(2.5]B。

(-∞。

-1)∪(1,+∞)C。

(-∞。

2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1. 已知集合A={−1, 3, m}，B={3, 5}，若B⊆A，则实数m的值为________．2.已知i是虚数单位，复数1+ai2−i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．3. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50度到350度之间，由此制成频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[200, 250)内的户数为________．4. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是________．5. 如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为________．6. 已知双曲线x2m −y24=1(m>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为________．7. 若不等式组{x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4,所表示的平面区域被直线y=kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是________．8. 若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =32(1+a n )(n ∈N ∗)，则a 4的值为________．9.现用一半径为10cm ，面积为80πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为________cm 3．10. 已知向量a →=(1,2)，b →=(−2,−4)，|c →|=√5，若(a →+b →)c →=52，则a →与c →的夹角为________．11. 设正实数x ，y 满足xy =x+9y y−x ，则y 的最小值是________．12. 已知圆C:x 2+(y −4)2=4和点Q(2, 2)，过点P(0, 3)作直线l 交圆于A ，B 两点，则|QA →+QB →|的取值范围是________．13. 如果函数y =f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i −2|f(x i )=1(i =1, 2, 3)，则称函数f(x)具有性质Ω．已知函数f(x)=ae x 具有性质Ω，则实数a 的取值范围为________．14. 已知实数a ，b ，c ∈[−2, 2]，且满足a +b +c =0，则a 3+b 3+c 3的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足a +1a +4cosC =0，b =1．(1)若△ABC 的面积为√32，求a ；(2)若A =π6，求△ABC 的面积．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，点P 为DN 的中点，点E 为AB 的中点．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)求证：AP // 平面NEC ．如图是一“T ”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m ，东西向渠宽√2m （从拐角处，即图中A ，B 处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ(0<θ<π2)，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x =2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为(0, b)，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；(3)若F 1P →=λQF 1→，且λ∈[12, 2]，求OP →⋅OQ →的最大值．已知数列{a n }，{b n }满足：对于任意的正整数n ，当n ≥2时，a n 2+b n a n−12=2n +1．(1)若b n =(−1)n ，求a 12+a 22+⋯+a 82的值；(2)若数列{a n }的各项均为正数，且a 1=2，b n =−1，设S n =14∑n i=12a i ，T n =√a 1a 2⋯a n ，若对任意n ∈N ∗，Sn T n ≤λ恒成立，求λ的最小值．已知函数f(x)=x 3−3x 2+ax +3，f(x)在x 1处取极大值，在x 2处取极小值．(1)若a =0，求函数f(x)的单调区间和零点个数；(2)在方程f(x)=f(x 1)的解中，较大的一个记为x 3；在方程f(x)=f(x 2)的解中，较小的一个记为x 4，证明：x 4−x 1x 3−x 2为定值；(3)证明：当a ≥1时，f(x)>lnx ．参考答案与试题解析2018年江苏省苏州市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.【答案】5【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵A={−1,3,m}，B={3,5}，若B⊆A，可得m∈B，∴m=5．故答案为：5．2.【答案】−3【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为0求解．【解答】解：∵1+ai2−i =(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=2−a5+2a+15i的实部与虚部互为相反数，∴2−a5+2a+15=0，即a=−3．故答案为：−3.3.【答案】22【考点】频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：由频率分布直方图得用电量落在区间[200,250)内的频率为：1−(0.0024+0.0036+0.0060+0.0024+0.0012)×50=0.22，∴用电量落在区间[200,250)内的户数为100×0.22=22．故答案为：22．4.【答案】13【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 4)，共6种情况，其中一个数是另一个的两倍的有两种，即(1, 2)，(2, 4)，则其概率为26=13.故答案为：13.5.【答案】7【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图的循环结构求出结果．【解答】解：在执行循环前：k=1，S=1，执行第一次循环时：S=1，k=3，执行第二次循环时，S=3，k=5，执行第三次循环时，S=15，k=7．由于：S>10，输出k=7.故答案为：7.6.【答案】y=±√2x【考点】双曲线的渐近线【解析】离心率公式计算可得m，再由渐近线方程即可得到所求方程．【解答】解：双曲线x2m −y24=1(m>0)的离心率为√3，可得a=√m，b=2，c=√m+4，由题意可得e=ca =√m+4m=√3，解方程可得m=2，即双曲线的方程为x22−y24=1，即有渐近线方程为y=±√2x．故答案为：y =±√2x ．7.【答案】73【考点】含参线性规划问题简单线性规划【解析】先根据约束条件，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可【解答】解：不等式组{x ≥0,x +3y ≥4,3x +y ≤4,所表示的平面区域如图所示：由图可知，直线y =kx +43恒经过点A(0, 43)，当直线y =kx +43在经过BC 的中点D(12, 52)时，平面区域被直线y =kx +43分为面积相等的两部分，当x =12，y =52时，代入直线y =kx +43的方程得k =73.故答案为：73.8.【答案】−81【考点】等比数列的通项公式【解析】n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，计算可得所求值．【解答】解：数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =32(1+a n )(n ∈N ∗)，可得n =1时，a 1=S 1=32(1+a 1)，解得a 1=−3，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=32(1+a n )−32(1+a n−1)，即有a n =3a n−1，可得{a n }为以−3为首项，3为公比的等比数列，综上有a n =−3⋅3n−1=−3n ，则a 4=−81.故答案为：−81.9.【答案】128π【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为10cm ，面积为80πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可示出答案．【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R ,l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为ℎ,r ， 则由题意得R =10，由 12Rl =80π得l =16π，由2πr =l 得r =8,由R 2=r 2+ℎ2得ℎ=6,由V 锥=13πr 2ℎ=13×π×64×6=128π(cm 3)．所以该容器最多盛水128πcm 3．故答案为：128π.10.【答案】2π 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律数量积表示两个向量的夹角【解析】设c →=(x, y)，根据题中的条件求出x +2y =−52，即a →∗c →=−52，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设c →=(x, y)，由向量a →=(1, 2)，b →=(−2, −4)，|c →|=√5，且(a →+b →)c →=52， 可得−x −2y =52，即有x +2y =−52，即a →⋅c →=−52，设a →与c →的夹角为等于θ，则cosθ=a →c →|a →||c →|=−52√5×√5=−12． 再由0≤θ≤π，可得 θ=2π3，故答案为：2π3.11.【答案】3+√10【考点】一元二次不等式的解法函数的最值及其几何意义【解析】正实数x ，y 满足xy =x+9yy−x ，化为yx 2+(1−y 2)x +4y =0，由于关于x 的方程有正实数根，可知△≥0．又x 1x 2=9>0，可知x 1与x 2同号，必有x 1+x 2=y 2−1y >0，解得y >1．再利用△≥0．解出即可得到y 的最小值．【解答】解：设正实数x ，y 满足xy =x+9yy−x ，化为yx 2+(1−y 2)x +9y =0，x 1x 2=9>0，x 1+x 2=y 2−1y >0，解得−1<y <0（舍）或y >1．∵ 关于x 的方程有正实数根，∴ Δ=(1−y 2)2−36y 2≥0，∴ (y 2+6y −1)(y 2−6y −1)≥0．∵ y >1，解得y ≥3+√10．∴ 实数y 的最小值为3+√10．故答案为：3+√10．12.【答案】[4, 6]【考点】直线与圆的位置关系【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 的方程为y =kx +3，代入圆x 2+(y −4)2=4，再由韦达定理和向量的模的公式，结合分式函数的值域求法：判别式法，计算即可得到所求范围．【解答】解：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则|QA →+QB →|=|(x 1+x 2−4, y 1+y 2−4)|，设直线l 的方程为y =kx +3，代入圆x 2+(y −4)2=4可得(1+k 2)x 2−2kx −3=0，Δ=4k 2+12(1+k 2)>0恒成立，即有x 1+x 2=2k 1+k 2，y 1+y 2=k ⋅2k 1+k 2+6=6+8k 21+k 2， 则|QA →+QB →|=√(2k 1+k 2−4)2+(2k 21+k 2+2)2 =√4k 21+k 2−16k 1+k 2+8k 21+k 2+20 =√12k 2−16k1+k 2+20，由t =12k 2−16k 1+k ，可得(12−t)k 2−16k −t =0，t =12时，k =−34；t ≠12时，Δ≥0，即为162+4t(12−t)≥0，解得−4≤t ≤16，则|QA →+QB →|的取值范围是[4, 6]．故答案为：[4, 6]．13.【答案】(1e,+∞) 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题函数与方程的综合运用【解析】首先将由三个实数满足等式问题转化为两个函数图象交点个数有3个的问题，对复杂函数求导，由单调性得到函数的走势，由此得到a 在哪一范围内才能有三个交点问题．【解答】解：∵ f(x)=ae x 具有性质Ω，∴ 存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i −2|f(x i )=1(i =1, 2, 3)，即存在三个不同实数x 1，x 2，x 3，满足|x i −2|ae x i =1(i =1, 2, 3)，等价于a =1|x−2|e x 有三个解，等价于y =a 与y =1|x−2|e x 的图象有三个交点问题，y=1|x−2|e =1(x−2)e(x>2)，y=1|x−2|e x =1(2−x)e x(x<2)，∴y′=1−x(x−2)2e x(x>2)，y′=x−1(x−2)2e x(x<2)，由导函数的正负得到原函数的增减知：y=1|x−2|e x 的图象在(−∞, 1)单调递减，极小值是x=1时，y=1e，在(1, 2)上单调递增，在(2, +∞)单调递减，由+∞减到与x轴无限接近，永不相交，如图：∴若y=a与y=1|x−2|e x 的图象有三个交点，即a>1e.故答案为：(1e，+∞).14.【答案】[−6, 6]【考点】基本不等式【解析】由条件可得c=−a−b，代入原式化简可得a3+b3+c3=a3+b3−(a+b)3=3abc，由基本不等式求得ab≤(a+b2)2=c24，结合c的范围，可得结论．【解答】解：实数a，b，c∈[−2, 2]，且满足a+b+c=0，可得a+b=−c，a3+b3+c3=a3+b3−(a+b)3=a3+b3−a3−b3−3ab(a+b) =3abc，由ab≤(a+b2)2=c24，由−2≤c≤2可得c2≤4，c>0时，3abc≤3c34≤6；c=0，abc=0；c<0，3abc≥3c34≥−6；3abc∈[−6, 6]，故答案为：[−6, 6].二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：(1)由b=1，S=12absinC=12asinC=√32得asinC=√3，即sinC=√3a．又a+1a =−4cosC，那么(a+1a)2=16cos2C=16(1−sin2C)=16−48a2，即a4−14a2+49=0，得到a2=7，即有a=√7．(2)由题意有a+1a=−4cosC，b=1，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab ，有a+1a=−4a2+b2−c22ab=−2(a2+1−c2)a，即a2+1=23c2①，又由b2+c2−a2=2bccosA可知c2−a2+1=√3c②，由①②得到c2−3√3c+6=0，亦即(c−√3)(c−2√3)=0，可知c=√3或c=2√3．经检验，c=√3或c=2√3均符合题意；那么△ABC的面积为S=12bcsinA=√32，或S=12bc⋅sinA=√34．【考点】三角形的面积公式余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由题意利用三角形的面积公式建立关于a的方程，解方程求得a的值．（2）由题意利用余弦定理解方程求得c的值，可得△ABC的面积S=12∗bc∗sinA的值．【解答】解：(1)由b=1，S=12absinC=12asinC=√32得asinC=√3，即sinC=√3a．又a+1a =−4cosC，那么(a+1a)2=16cos2C=16(1−sin2C)=16−48a，即a4−14a2+49=0，得到a2=7，即有a=√7．(2)由题意有a+1a=−4cosC，b=1，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab ，有a+1a=−4a2+b2−c22ab=−2(a2+1−c2)a，即a2+1=23c2①，又由b2+c2−a2=2bccosA可知c2−a2+1=√3c②，由①②得到c2−3√3c+6=0，亦即(c−√3)(c−2√3)=0，可知c=√3或c=2√3．经检验，c=√3或c=2√3均符合题意；那么△ABC的面积为S=12bcsinA=√32，或S=12bc⋅sinA=√34．【答案】证明：(1)连结AC，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以AM⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以AM⊥BD．因为AC∩AM=A，所以BD⊥平面MAC．又MC⊂平面MAC，所以BD⊥MC．(2)取NC的中点S，连结PS，SE．DC，因为PS // DC // AE，PS=AE=12所以四边形APSE是平行四边形，所以AP // SE．又SE⊂平面NEC，AP平面NEC，所以AP // 平面NEC．【考点】两条直线垂直的判定直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）连接AC，推出AC⊥BD，得到AM⊥平面ABCD．AM⊥BD．证明BD⊥平面MAC．即可证明BD⊥MC．（2）取NC的中点S，连接PS，SE．证明AP // SE．然后证明AP // 平面NEC．【解答】证明：(1)连结AC，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以AM⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以AM⊥BD．因为AC∩AM=A，所以BD⊥平面MAC．又MC⊂平面MAC，所以BD⊥MC．(2)取NC的中点S，连结PS，SE．DC，因为PS // DC // AE，PS=AE=12所以四边形APSE 是平行四边形，所以AP // SE ．又SE ⊂平面NEC ，AP 平面NEC ，所以AP // 平面NEC ．【答案】解：(1)由题意，PA =√2sinθ，QA =4cosθ， 所以l =PA +QA ，即l =√2sinθ+4cosθ(0<θ<π2)． (2)设f(θ)=√2sinθ+4cosθ，θ∈(0,π2)． 由f ′(θ)=−√2cosθsin θ+4sinθcos θ=√2(2√2sin 3θ−cos 3θ)sin θcos θ， 令f ′(θ)＝0，得tanθ0=√22． 且当θ∈(0, θ0)，f ′(θ)<0；当θ∈(θ0,π2)，f ′(θ)>0，所以，f(θ)在(0, θ0)上单调递减；在(θ0,π2)上单调递增，所以，当θ=θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0=√22时，sinθ0=√3，cosθ0=√2√3， 所以f(θ)的最小值为3√6，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3√6m ．因为3√6>7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．【考点】利用导数研究函数的最值三角函数模型的应用利用导数研究函数的单调性三角函数线【解析】（1）求出PA ，QA ，即可将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：(1)由题意，PA =√2sinθ，QA =4cosθ， 所以l =PA +QA ，即l =√2sinθ+4cosθ(0<θ<π2)． (2)设f(θ)=√2sinθ+4cosθ，θ∈(0,π2)．由f ′(θ)=−√2cosθsin 2θ+4sinθcos 2θ=√2(2√2sin 3θ−cos 3θ)sin 2θcos 2θ， 令f ′(θ)＝0，得tanθ0=√22． 且当θ∈(0, θ0)，f ′(θ)<0；当θ∈(θ0,π2)，f ′(θ)>0，所以，f(θ)在(0, θ0)上单调递减；在(θ0,π2)上单调递增，所以，当θ=θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0=√22时，sinθ0=√3，cosθ0=√23， 所以f(θ)的最小值为3√6，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3√6m ．因为3√6>7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．【答案】解：(1)由题意得，{2c =2,a 2c=2, 解得：c =1，a 2=2，∴ b 2=a 2−c 2=1．∴ 椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)∵ P(0, 1)，F 1(−1, 0)，∴ 直线PF 1的方程为x −y +1=0．由{x −y +1=0,x 22+y 2=1, 解得{x =0,y =1, 或{x =−43,y =−13, ∴ 点Q 的坐标为(−43,−13)．设过P ，Q ，F 2三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{1+E +F =0,1+D +F =0,179−43D −13E +F =0, 解得{D =13,E =13,F =−43, ∴ 所求圆的方程为x 2+y 2+13x +13y −43=0；(3)设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则F 1P →=(x 1+1,y 1),QF 1→=(−1−x 2,−y 2)，∵ F 1P →=λQF 1→，∴ {x 1+1=λ(−1−x 2),y 1=−λy 2,即{x 1=−1−λ−λx 2,y 1=−λy 2,∴ {(−1−λ−λx 2)22+λ2y 22=1,x 222+y 22=1,解得：x 2=1−3λ2λ． ∴ OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 2(−1−λ−λx 2)−λy 22=−λ2x 22−(1+λ)x 2−λ =−λ2(1−3λ2λ)2−(1+λ)⋅1−3λ2λ−λ =74−58(λ+1λ)． ∵ λ∈[12, 2]，∴ λ+1λ≥2√λ⋅1λ=2， 当且仅当λ=1λ，即λ=1时取等号．∴ OP →⋅OQ →≤12． 即OP →⋅OQ →的最大值为12．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用圆的一般方程【解析】（1）根据椭圆的焦距为2，一条准线方程为x =2，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程； （2）直线PF 1的方程为x −y +1=0，代入椭圆方程，求出Q 的坐标，利用圆的一般方程，建立方程组，即可求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；（3）由F 1P →=λQF 1→，可得P ，Q 坐标之间的关系，利用向量的数量积公式，结合λ∈[12, 2]，利用基本不等式，即可求OP →⋅OQ →的最大值．【解答】解：(1)由题意得，{2c =2,a 2c=2, 解得：c =1，a 2=2，∴ b 2=a 2−c 2=1．∴ 椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1.(2)∵ P(0, 1)，F 1(−1, 0)，∴ 直线PF 1的方程为x −y +1=0．由{x −y +1=0,x 22+y 2=1, 解得{x =0,y =1, 或{x =−43,y =−13,∴ 点Q 的坐标为(−43,−13)．设过P ，Q ，F 2三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{1+E +F =0,1+D +F =0,179−43D −13E +F =0, 解得{D =13,E =13,F =−43, ∴ 所求圆的方程为x 2+y 2+13x +13y −43=0；(3)设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则F 1P →=(x 1+1,y 1),QF 1→=(−1−x 2,−y 2)，∵ F 1P →=λQF 1→，∴ {x 1+1=λ(−1−x 2),y 1=−λy 2,即{x 1=−1−λ−λx 2,y 1=−λy 2,∴ {(−1−λ−λx 2)22+λ2y 22=1,x 222+y 22=1,解得：x 2=1−3λ2λ． ∴ OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 2(−1−λ−λx 2)−λy 22=−λ2x 22−(1+λ)x 2−λ =−λ2(1−3λ2λ)2−(1+λ)⋅1−3λ2λ−λ =74−58(λ+1λ)．∵ λ∈[12, 2]，∴ λ+1λ≥2√λ⋅1λ=2， 当且仅当λ=1λ，即λ=1时取等号．∴ OP →⋅OQ →≤12． 即OP →⋅OQ →的最大值为12．【答案】解：(1)由题意a n 2+b n a n−12=2n +1，由于b n =(−1)n ，所以：a n 2+(−1)n a n−12=2n +1，则有a 2k 2+a 2k−12=4k +1，则：a 22+a 12=4×1+1，a 42+a 32=4×2+1，a 62+a 52=4×3+1，a 82+a 72=4×4+1，所以：a 12+a 22+a 32+⋯+a 82 =4(1+2+3+4)+4=44．(2)a n 2−a n−12=2n +1，所以a 22−a 12=5，a 32−a 22=7，a 42−a 32=9，…a n 2−a n−12=2n +1，则a n2−a 12=(2n+1+5)(n−1)2， 所以a n 2=(2n+1+5)(n−1)2+4=(n +1)2(n ≥2)，由于数列的各项为正值，所以：a n =n +1．由于a 1=2（符合上式），故：a n =n +1．所以S n =2n −1，T n =√2×3×4×⋯×(n +1)，下面比较S n 和T n 的大小．有S 1T 1=√22，S 2T 2=√62，S 3T 3=7√612， 当n ≥3时，设c n =S n T n， 所以c n+12c n 2=T n 2T n+12⋅S n+12S n 2=(2n+1−1)2(n+2)(2n −1)2， 记2n =t ≥8，(n +2)(2n −1)2−(2n+1−1)2≥5(t −1)2−(2t −1)2=t 2−6t +4>0， n ≥3,c n+12c n 2<1，故数列{c n 2}为递减数列．n ∈N +,(S n T n )max =7√612．综上所述：λ≥7√612, 所以λ最小值为7√612． 【考点】函数恒成立问题数列的求和【解析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出关系式的值． （2）利用比较法和赋值法求出数列的各项的和，进一步确定参数的值．【解答】解：(1)由题意a n 2+b n a n−12=2n +1，由于b n =(−1)n ，所以：a n 2+(−1)n a n−12=2n +1，则有a 2k 2+a 2k−12=4k +1，则：a 22+a 12=4×1+1，a 42+a 32=4×2+1，a 62+a 52=4×3+1，a 82+a 72=4×4+1，所以：a 12+a 22+a 32+⋯+a 82 =4(1+2+3+4)+4=44．(2)a n 2−a n−12=2n +1，所以a 22−a 12=5，a 32−a 22=7，a 42−a 32=9，…a n 2−a n−12=2n +1，则a n2−a 12=(2n+1+5)(n−1)2， 所以a n 2=(2n+1+5)(n−1)2+4=(n +1)2(n ≥2)，由于数列的各项为正值，所以：a n =n +1．由于a 1=2（符合上式），故：a n =n +1．所以S n =2n −1，T n =√2×3×4×⋯×(n +1)，下面比较S n 和T n 的大小．有S 1T 1=√22，S 2T 2=√62，S 3T 3=7√612， 当n ≥3时，设c n =S n T n， 所以c n+12c n 2=T n 2T n+12⋅S n+12S n 2=(2n+1−1)2(n+2)(2n −1)2， 记2n =t ≥8，(n +2)(2n −1)2−(2n+1−1)2≥5(t −1)2−(2t −1)2=t 2−6t +4>0， n ≥3,c n+12c n 2<1，故数列{c n 2}为递减数列．n∈N+,(S nT n )max=7√612．综上所述：λ≥7√612,所以λ最小值为7√612．【答案】(1)解：当a=0时，f(x)=x3−3x2+3，f′(x)=3x2−6x；当f′(x)>0时，x>2或x<0；当f′(x)<0时，0<x<2；即函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)；单调减区间为(0, 2)；又f(−1)=−1<0，f(0)=3>0，f(2)=−1<0，f(3)=3>0，所以f(x)有3个零点．(2)证明：因为f(x)=f(x1)，则x3−3x2+ax+3=x13−3x12+ax1+3，可知x3−3x2+ax=x13−3x12+ax1．因为f′(x1)=0，即a=6x1−3x12，即x3−x13+3x12−3x2+ax−ax1=(x−x1)[x2+x(x1−3)−2x12+3x1]=(x−x1)2(x+2x1−3)=0．可知x3=3−2x1，同理，由f(x)=f(x2),可知x3−x23+3x22−3x2+ax−ax2=(x−x2)[x2+x(x2−3)−2x22+3x2]=(x−x2)2(x+2x2−3)=0；得到x4=3−2x2；x4−x1 x3−x2=3−2x2−x13−2x1−x2=1−x21−x1=1−(2−x1)1−x1=−1．(3)证明：要证f(x)=x3−3x2+ax+3>lnx，即要证x3−3x2+3>lnx−ax．设u(x)=x3−3x2+3(x>0)，则u′(x)=3x2−6x；当u′(x)>0时，x>2；当u′(x)<0时，0<x<2；可知[u(x)]min=u(2)=−1；再设v(x)=lnx−ax(x>0)，则v′(x)=1x−a；当v′(x)>0时，0<x<1a；当v′(x)<0时，x>1a；可知，[v(x)]max=v(1a)=−lna−1．因为a≥1，≤1，−lna−1≤−1，所以1a和2处取最大值和最小值，且v(x)和u(x)分别在1a因此v(x)<u(x)恒成立，即当a≥1时，f(x)>lnx．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）当a=0时，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f(x)的单调区间及函数的零点的个数；（2）由题意可知：f(x)=f(x1)，由a=6x1−3x12，即可求得x3=3−2x1，同理求得x4=3−2x2，即可求得x4−x1为定值；x3−x2（3）方法1：由题意可知：要证f(x)=x3−3x2+ax+3>lnx，即要证x3−3x2+ 3>lnx−ax，构造函数，求导，根据函数单调性与导数的关系，即可求证当a≥1时，f(x)>lnx．方法2：由题意可知：当x>0时，lnx≤x−1，当a≥1时，x3−3x2+ax+3≥x3−3x2+x+3，采用放缩法，即可证明f(x)>lnx．【解答】(1)解：当a=0时，f(x)=x3−3x2+3，f′(x)=3x2−6x；当f′(x)>0时，x>2或x<0；当f′(x)<0时，0<x<2；即函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)；单调减区间为(0, 2)；又f(−1)=−1<0，f(0)=3>0，f(2)=−1<0，f(3)=3>0，所以f(x)有3个零点．(2)证明：因为f(x)=f(x1)，则x3−3x2+ax+3=x13−3x12+ax1+3，可知x3−3x2+ax=x13−3x12+ax1．因为f′(x1)=0，即a=6x1−3x12，即x3−x13+3x12−3x2+ax−ax1=(x−x1)[x2+x(x1−3)−2x12+3x1]=(x−x1)2(x+2x1−3)=0．可知x3=3−2x1，同理，由f(x)=f(x2),可知x3−x23+3x22−3x2+ax−ax2=(x−x2)[x2+x(x2−3)−2x22+3x2]=(x−x2)2(x+2x2−3)=0；得到x4=3−2x2；x4−x1 x3−x2=3−2x2−x13−2x1−x2=1−x21−x1=1−(2−x1)1−x1=−1．(3)证明：要证f(x)=x3−3x2+ax+3>lnx，即要证x3−3x2+3>lnx−ax．设u(x)=x3−3x2+3(x>0)，则u′(x)=3x2−6x；当u′(x)>0时，x>2；当u′(x)<0时，0<x<2；可知[u(x)]min=u(2)=−1；再设v(x)=lnx−ax(x>0)，则v′(x)=1x−a；当v′(x)>0时，0<x<1a；当v′(x)<0时，x>1a；可知，[v(x)]max=v(1a)=−lna−1．因为a≥1，所以1a≤1，−lna−1≤−1，且v(x)和u(x)分别在1a和2处取最大值和最小值，因此v(x)<u(x)恒成立，即当a≥1时，f(x)>lnx．。

苏州市2018届高三暑假自主学习测试试卷数学I (试题）注意事项：1.本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟。

2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效。

3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合 A= {xl-2<x<l},B= {-1,0,1},则 A∩B= 。

2.已知),,(32为虚数单位i R b a i ibi a ∈+=-+，则a + b 的值是 . 3.运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 .4.有五条线段，其长度分别为2,3,4,5,7，现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的的概率是.5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据 整理后，画出了频率分布直方图（如图），巳知图中从左到右的前3个 小组的频率之比为1 : 2 : 3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数 . 6.若双曲线122=-y mx ( m > 0)的右焦点与抛物线y= 8x 的焦点重合，则m 的值是 .7. 将函数)<<0)(2sin(πϕϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数)(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则ϕ的值是 .8.已知平面向量a=(2,1), a•b=10,若|a +b|=25,则|b|的值是 .9.如图，正四棱锥P -ABCD 的底面一边AB 的长为32cm ，侧面积为38cm 2 ,则它的体积为 cm 3.10.已知函数b a abx x x f 2)(2+++=。

若4)0(=f ,则)1(f 的最大值是 .11.等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，且 a n -S n = n 2-16n+15(n≥2,n∈N * )，若对任意n∈N *，总有S n ≤S k ,则k 的值是. 12.已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x 2 + y 2 - 4x - 2y + t = 0上恰有两个不同的点P ，使得△PA B的面积为21，则实数t 的取值范围是 . 13.已知函数x a x x f +=)( (a > 0)，当x∈ [1,3]时，函数)(x f 的值域为A ，若A ∈[8,16]，则a 的值是 .14.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，xx f 2)(=，若对任意的x∈ [a,a + 2]，不等式)()(2x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。