苏州市2019~2020高三数学一模试卷含答案

苏州市2019～2020学年第一学期高三上学期期中调研数学试卷(满分160分，考试时间120分钟) 2019．11一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|x ＞0}，则A∩B＝________．2. 已知复数z 满足z2＋i＝i(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为________． 3. 已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(2，－1)，且a⊥b ，则实数x 的值是________． 4. 函数y ＝lg （x －1）2－x的定义域为________．5. 在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝8，S n 是{a n }的前n 项和，则S 5＝________．6. 已知tan α＝2，则sin αcos α＋2sin α的值为________．7. “x ＞2”是“x＞1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8. 已知函数y ＝sin 2x 图象上的每个点向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度得到函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，则φ的值为________．9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，2x ＋1，x ＜0，则不等式f(x ＋2)＞f(x 2)的解集为________．10. 已知函数f(x)＝ln x －mx 的极小值大于0，则实数m 的取值范围是________．11. 在各项都为正数的等差数列{a n }中，已知a 5＝3，则a 3a 7的最大值为________．12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE →＝2ED →.若AE →·EB →＝－6，则cos C ＝________． 13. 若方程cos(2x －π6)＝35在(0，π)上的解为x 1，x 2，则cos(x 1－x 2)＝________．14. 已知函数f(x)＝3x 2－x 3，g(x)＝e x －1－a －ln x ．若对于任意x 1∈(0，3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0，3)，使得f(x 1)＝g(x 2)＝g(x 3)，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120°，c ＝7，a －b ＝2. (1) 求a ，b 的值； (2) 求sin(A ＋C)的值．16. (本小题满分14分)已知向量a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)． (1) 若a∥b ，x ∈[0，π2]，求x 的值；(2) 若f(x)＝a·b，x∈[0，π2]，求f(x)的最大值及相应x的值．17. (本小题满分14分)已知等比数列{a n}满足a2＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 设b n＝|a n－2n＋1|，求数列{b n}的前n项和T n.18. (本小题满分16分)如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆的圆心为O.经测量AB＝4m，BC＝33m，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF＝θ，矩形EFGH的面积为S.(1) 求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；(2) 求cos θ为何值时，矩形EFGH的面积S最大？19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x－1x .(1) 求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2) 求函数F(x)＝f(x)－x的极大值；(3) 若af(x)≤ln x对x∈(0，1]恒成立，求实数a的取值范围．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}满足(n－1)a n＋1＝na n－a1，n∈N*.(1) 求证：数列{a n}为等差数列；(2) 设数列{a n}的前n项和为S n.若a2－a1＝1，且对任意的正整数n，都有13＜1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＜43，求整数a1的值；(3) 设数列{b n }满足b n ＝a n ＋310.若a 2－a 1＝15，且存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t 是整数，求|a 1|的最小值.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三小题中选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换) 已知二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 13b 的特征值λ＝－1所对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3.(1) 求矩阵M ；(2) 设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2＝x ，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos α＋23sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos β，y ＝tsin β(t为参数，0＜β＜π2)．若曲线C 被直线l 截得的弦长为13，求β的值．C. (选修45：不等式选讲)设正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲、乙、丙是否击中目标相互独立． (1) 求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2) 设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．23. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AA 1＝b ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1.设λ＝b a.(1) 当λ＝3时，求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2) 当平面AEF⊥平面A 1EF 时，求λ的值．数学参考答案及评分标准1. {1，2}2. －13. 14. (1，2)5. 316. 257. 充分不必要8. π12 9. (－1，2)10. (－∞，－1e ) 11. 9 12. 13 13. －3514. [1，e 2－ln 3－4)15. 解：(1) 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且c ＝7，C ＝120°得a 2＋b 2＋ab ＝49.(3分)因为a －b ＝2，所以b 2＋2b －15＝0.(5分) 因为b ＞0，所以b ＝3，a ＝5. 综上：a ＝5，b ＝3.(7分)(2) 由(1)知a ＝5，b ＝3，c ＝7，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1314.(10分)因为B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝1－cos 2B ＝3314.(12分)因为sin(A ＋C)＝sin(π－B)＝sin B ＝3314， 所以sin(A ＋C)的值为3314.(14分)16. 解：(1) 因为a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)，a ∥b ， 所以cos xsin x ＝3cos 2x ，所以cos x(sin x －3cos x)＝0，(2分)所以cos x ＝0或sin x －3cos x ＝0，即cos x ＝0或tan x ＝ 3.(4分) 因为x∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π2或x ＝π3.(6分) (2) 因为a ＝(cos x ，3cos x)，b ＝(cos x ，sin x)， 所以f(x)＝a·b ＝cos 2x ＋3cos xsin x(8分) ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin(2x ＋π6)＋12.(10分) 因为x∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以sin(2x ＋π6)∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f(x)∈⎣⎡⎦⎤0，32，(12分)所以f(x)的最大值为32，此时x ＝π6.(14分)17. 解：(1) 设等比数列{a n }的公比为q(不为0)，因为a 2 ，a 3＋1，a 4成等差数列，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4.(1分) 因为a 2＝2，所以2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a 1＝a 2q ＝1，(3分)所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(5分)(2) 设c n ＝a n －2n ＋1＝2n －1－2n ＋1， 所以c n ＋1－c n ＝2n－2(n ＋1)＋1－(2n －1－2n ＋1)＝2n －1－2，所以n≥3，c n ＋1＞c n .(7分)因为c 4＝1＞0，所以n≥4时，c n ＞0，即n≥4时，b n ＝c n ＝2n －1－2n ＋1.因为c 1＝0，c 2＝－1，c 3＝－1，所以b 1＝0，b 2＝1，b 3＝1， 所以T 1＝0，T 2＝1，T 3＝2.(10分)当n≥4时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n ＝(0＋1＋1)＋b 4＋b 5＋…＋b n ＝2＋(23＋24＋…＋2n －1)－(7＋9＋…＋2n －1)＝2＋23（1－2n －3）1－2－7＋2n －12·(n －3)＝2n －n 2＋3.(13分)综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，1，n ＝2，2，n ＝3，2n－n 2＋3，n ≥4.(14分)18. 解：(1) 如图，作OP⊥CD 分别交AB ，GH 于M ，N.由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD＝120°，所以OM⊥AB，ON⊥GH，点P，M，N分别为CD，AB，GH的中点，∠CON＝60°. 在Rt△COP中，CP＝2，∠COP＝60°，所以OC＝433，OP＝233，所以OM＝OP－PM＝OP－BC＝33.(3分)在Rt△ONG中，∠GON＝∠OGF＝θ，OG＝OC＝433，所以GN＝433sin θ，ON＝433cos θ，所以GH＝2GN＝833sin θ，GF＝MN＝ON－OM＝433cos θ－33，(6分)所以S＝GF·GH＝(433cos θ－33)·833sin θ＝83(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，π3)，所以S关于θ的函数关系式为S＝83(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0，π3)．(8分)(2) S′＝83(4cos2θ－4sin2θ－cos θ)＝83(8cos2θ－cos θ－4)．(10分)因为θ∈(0，π3)，所以cos θ∈(12，1)，所以S′＝0，得cos θ＝1＋12916∈(12，1)．(12分)设θ0∈(0，π3)且cos θ0＝1＋12916，所以由S′＞0，得0＜θ＜θ0，即S在(0，θ0)上单调递增，由S′＜0，得θ0＜θ＜π3，即S在(θ0，π3)上单调递减，(14分)所以当θ＝θ0时，S取得最大值，所以当cos θ＝1＋12916时，矩形EFGH的面积S最大．(16分)19. 解：(1) 因为f(x)＝x－1x，所以f′(x)＝12x＋12x x，所以f′(1)＝1.(2分)因为y＝f(x)经过(1，0)，所以f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－1.(4分)(2) 因为F(x)＝x－1x－x，x＞0，所以F′(x)＝12x＋12x x－1，F′(x)在(0，＋∞)上递减．又F′(1)＝0，(5分)所以当x∈(0，1)时，F′(x)＞0，即F(x)在x∈(0，1)上递增；当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，即F(x)在x∈(1，＋∞)上递减，(7分) 所以在x＝1处，F(x)的极大值为F(1)＝－1.(8分)(3) 设g(x)＝ln x－af(x)＝ln x－a(x－1x)，x∈(0，1]，所以g′(x)＝1x －a 2(1x ＋1x x )＝－a （x ）2＋2x －a2x x.①当a≤0时，g ′(x)＞0对x∈(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递增．又g(1)＝0，所以∃x 0∈(0，1)时，g(x 0)＜0，这与af(x)≤ln x 对x∈(0，1]恒成立矛盾；(10分) ②当a≥1时，设φ(x)＝－a(x)2＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2≤0，所以φ(x)≤0，x ∈(0，1]，所以g′(x)≤0对(0，1]恒成立，所以g(x)在(0，1]上递减．又g(1)＝0，所以g(x)≥0对x∈(0，1]恒成立，所以a≥1成立；(12分)③当0＜a ＜1时，设φ(x)＝－a(x)2＋2x －a ，x ∈(0，1]，Δ＝4－4a 2＞0，解φ(x)＝0得两根为x 1，x 2，其中x 2＝1＋1－a 2a ＞1，x 1＝1－1－a 2a ＝a1＋1－a2∈(0，1)，所以0＜x 1＜1，x 2＞1，所以x∈(x 1，1)，φ(x)＞0，g ′(x)＞0，所以g(x)在(x 1，1)上递增．又g(1)＝0，所以g(x 1)＜0，这与af(x)≤ln x 对x∈(0，1]恒成立矛盾．(15分) 综上：a≥1.(16分)20. (1) 证明：因为(n －1)a n ＋1＝na n －a 1，n ∈N *①， 所以(n －2)a n ＝(n －1)a n －1－a 1，n ≥2且n∈N *②.①－②，得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0，n ≥2且n∈N *，(2分) 所以a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，n ≥2且n∈N *， 所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1， 所以数列{a n }为等差数列．(4分)(2) 解：因为a 2－a 1＝1，所以{a n }的公差为1.因为对任意的正整数n ，都有13＜1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＜43，所以13＜1S 1＜43，所以34＜S 1＜3，即34＜a 1＜3，所以a 1＝1或2.(6分)当a 1＝1时，a 2＝2，S 1＝1，S 2＝3，所以1S 1＋1S 2＝1＋13＝43，这与题意矛盾，所以a 1≠1；(7分)当a 1＝2时，a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2＞0，1S 1＝12＞13，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＞13恒成立．(8分) 因为1S n ＝23(1n －1n ＋3)，1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝23(1－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －2－1n ＋1＋1n －1－1n ＋2＋1n －1n ＋3)＝23(1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3)＜119＜43. 综上，a 1的值为2.(10分)(3) 解：因为a 2－a 1＝15，所以{a n }的公差为15，所以a n ＝a 1＋15(n －1)，所以b n ＝a 1＋15n ＋110.(11分)由题意，设存在正整数s ，t ，使得a s ＋b t ＝l ，l ∈Z ，则a 1＋s 5－15＋a 1＋t 5＋110＝l ，即20a 1＝2(5l －s －t)＋1.因为5l －s －t∈Z ，所以2(5l －s －t)是偶数，所以|20a 1|≥1，所以|a 1|≥120.(14分)当a 1＝120时，b 4＝1920，所以存在a 1＋b 4＝1∈Z .综上，|a 1|的最小值为120.(16分)。

2020年江苏苏州高三一模数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知为虚数单位，复数，则 ．2.已知集合，，若中有且只有一个元素，则实数的值为 ．3.已知一组数据，，，，．则该组数据的方差是 ．4.在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则．5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 ．6.右图是一个算法的流程图，则输出的的值为 ．开始，输出结束7.“直线：与直线：平行”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列的前项和为， ，，则 ．9.已知点是曲线上一动点，当曲线在处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．10.已知，，则 ．11.如图在矩形中，为边的中点，，．分别以，为圆心，为半径作圆弧，，将两圆弧，及边所围成的平面图形（阴影部分）绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．12.在中，，若角的最大值为，则实数的值是 ．13.若函数（且）在定义域上的值域是，则的取值范围是 ．14.如图，在中，，是的中点，在边上，，与交于点，若，则面积的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）（1）（2）15.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．求角．已知，，求的面积．（1）（2）16.如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为正三角形，平面平面，为的中点．证明：平面．证明：．（1）（2）17.某地为改善旅游环境进行景点改造，如图，将两条平行观光道和，通过一段抛物线形状的栈道连通（道路不计宽度），和所在直线的距离为（百米），对岸堤岸线，平行于观光道且与相距（百米）（其中为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于，且交于），在堤岸线上的，两处建造建筑物，其中，到的距离为（百米），且恰在的正对岸（即）．在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道的方程．游客（视为点）在栈道的何处时，观测的视角（）最大？请在（）的坐标系中，写出观测点的坐标．18.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点，，分别为椭圆的左、右顶点，过左焦点的直线交椭圆于，两点（其中在（1）（2）轴上方）．xyO求椭圆的标准方程．若与的面积比为，求直线的方程．（1）（2）19.已知函数的导函数．若函数存在极值，求的取值范围．设函数（其中为自然对数的底数），对任意，若关于的不等式在上恒成立，求正整数的取值集合．（1）12（2）20.已知数列，，数列满足，．若，，求数列的前项和．若数列为等差数列，且对任意，恒成立．当数列为等差数列，求证：数列，的公差相等．数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．为奇数为偶数三、选做题（本大题共3小题，选做2道，共20分）21.已知矩阵，，且二阶矩阵满足，求的特征值及属于各特征值的一个特征向量．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程．求曲线和曲线的公共点的极坐标．23.已知正数，，满足（为常数），且的最小值为，求实数的值．【答案】解析:，∴．四、必做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）（1）（2）24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满元，有一次抽奖机会（即满元可以抽奖一次，满元可以抽奖两次，依次类推）．抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为，，，，的个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如，，），则获得一等奖，奖金元；若摸得的小球编号一次比一次小（如，，1），则获得二等奖，奖金元；其余情况获得三等奖，奖金元．某人抽奖一次，求其获奖金额的概率分布和数学期望．赵四购物恰好满元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为元的概率．（1）（2）25.已知抛物线（为大于的质数）的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点．抛物线在点，处的切线相交于点．记四边形的面积为．求点的轨迹方程．当点的横坐标为整数时，是否为整数？若是，请求出所有满足条件的的值；若不是，请说明理由．1.故答案为：．2.解析:∵，，又∵中有且只有一个元素，∴，．故答案为：．3.解析:∵数据，，，，的平均数，∴该组数据的方差为．故该组数据的方差为．4.解析:双曲线，，，双曲线的渐近线方程为，∴，∴．故答案为：．5.解析:“两人下成和棋”与“乙获胜”两事件互斥，由互斥事件的概率公式可得，乙不输的概率．解析:第一次循环，，，，，不满足，；第二次循环，，，，，不满足，；第三次循环，，，，，满足退出循环，输出．故答案为．解析:∵直线 ：与直线 ：平行，∴ ，解得，易知，“”为“”的必要不充分条件，∴“直线：与直线：平行”是“”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件．解析:数列为等差数列，∴，，∴，，．解得．∴．6.必要不充分7.8.9.解析:由曲线可知，，，∴ 切线斜率：，当且仅当，即时等号成立，当时，，即切点坐标为，∴ 切线方程为，即．10.解析:∵、，∴，，∵，∴，∴，∴，．11.解析:图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉两个半径为的半球，两个半球的体积为： .圆柱的底面半径为，高为，∴圆柱的体积为，∴该几何体的体积为故答案为：．12.解析:∵，∴，即，化简得，则，当且仅当，即时等号成立，又角的最大值为，则的最小值为，∴，化简得，即，解得或，又，故的值是．13.解析:时，在单调递增，则，即，∴，令，，令，，在上单调递增，上单调递减，，∴，∴，当时，在单调递减，则，即，又∵，∴，而，∴无解，同理无解，∴不成立，综上．14.解析:如图，建系，则，，，设，则：，，则，，：，则，（1）（2）（1），，，．化简得，的最大值为．解析:在中，由正弦定理得．因为，所以，从而，所以，所以．因为，，，所以，，，所以的面积．解析:连结交于，因为为平行四边形，所以为的中点．连结，在中，因为是的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．（1）．（2）．15.（1）证明见解析．（2）证明见解析．16.（2）（1）（2）因为为正三角形，是的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面．因为平面，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．解析:以为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意可知 ，，设抛物线方程为：（）,则，解得：，所以栈道的方程为，（）．过点作于点，设，其中，（1），（）．（2），观测的视角最大．17.则，设 ， ，则，所以，，所以，令，则，当且仅当，即时取等号，因为且，所以，因为在上单调递减，所以当最大时，最大，即最大，此时，，即，所以点的坐标为，观测的视角最大．（1）（2）（1）解析:由椭圆，则，将代入椭圆，，解得：，，故椭圆的方程．由（）可知，，则，则，，设，，，，∴，，由，则即①，由题可知直线斜率不为，可设直线方程为，联立得，∴，∴②，③，由①②③可解得或，经检验，当时，在轴下方不符，∴，即直线方程为：即．解析:，所以，所以，①当时，即或时，恒成立，所以在上递增，故无极值；②当时，即时，有两个根，（不妨设）.（1）．（2）．18.（1）．（2）．19.（2）（1）列表如下：极大值极小值满足题意．综上所述，．因为，所以对任意，在上恒成立，即对任意，在上恒成立，所以在上恒成立，即对任意恒成立．记，所以，因为，所以在上单调递增且连续不间断，而，，所以在上存在惟一零点.极小值所以，其中， 且，所以，所以，又因为，所以由得对任意恒成立，由题意知，因为，且，所以，，即正整数的取值集合为．解析:因为，，（1）．12（2）证明见解析．数列不能为等比数列．20.12（2）则，．所有．设数列的公差为，的公差为，因为数列是递增数列，所以，，即，，所以，，由（Ⅰ）得：对恒成立，所以，由（Ⅱ）得：对恒成立，所以，所以，即数列，的公差相等．数列不能为等比数列，若存在数列为等比数列，设数列的公差为，数列的公比为，因为数列是递增数列，所以，所以．又因为，则当时，，所以必存在正奇数，有，所以，即，所以，即．因为，所以．记，则，因为，，所以对，有成立．设，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，为奇数为偶数（Ⅰ）（Ⅱ）（1）所以对，有，从而时，，因为，所以，，所以，即．从而对，．因为，所以，所以，所以对，．而上式不成立，所以数列不能为等比数列．解析:设，则，所以，解得，所以，令的特征多项式，得，所以的特征值为，设属于特征值的特征向量为，则由，得，所以，所以，所以的属于特征值的一个特征向量为．解析:因为，所以，所以，即，所以曲线的直角坐标方程为．的特征值为，属于特征值的一个特征向量为．21.（1）．（2）极坐标为．22.（2）（1）曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为，由，得，所以（舍）或，故曲线和曲线的公共点的直角坐标为，其极坐标为．（注：答案不唯一）解析:由柯西不等式．当且仅当时取等号，此时，，，解得，，，所以的最小值为，因为的最小值为，所以，又因为，所以解得．解析:个球中摸三个球情况有，其中编号一次比一次大的情况有，．23.（1）的概率分布列如下：数学期望为．（2）．24.（2）（1）（2）编号一次比一次小的情况有．∴一等奖概率为，二等奖概率为，三等奖概率为，X的可能取值为，，．∴；；．分布列如下：∴期望．赵四抽奖三次，获得奖金为的情况共两种，第一种：一次一等奖，两次三等奖，这种概率；第二种：三次二等奖，这种概率；∴总共概率．解析:由题意得，直线的方程为：，设，，由，消去整理得，所以，由，可得，所以在点的切线方程为：，即①，同理可得在处的切线方程为：②，联立①②可得，即，所以点的轨迹方程为（且为大于的质数）．设的中点为，连接，，（1）（且为大于的质数）．（2）不是整数；证明见解析．25.由，，得，所以，因为，所以，所以，因为，所以平行于轴，所以，又因为，所以≌，所以，所以．又因为，且，所以．由题意得为整数，设，所以．假设为整数，则，即，所以，所以只能为整数．设，则，所以，所以或或或或．因为，，所以只能，但当时，，与矛盾，不符合题意．综上所述，不是整数．21。

数学试题2019.9 1．设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2+x≤0}，则M∩N＝．2．复数z＝（1﹣2i）（3+i），其中i为虚数单位，则|z|是．3．已知抛物线方程为y＝4x2，则抛物线的焦点坐标为．4．函数f（x）的定义域为．5．函数的最小正周期为．6．已知θ是第三象限角，且，则sinθ+cosθ＝．7．函数f（x）＝log2（﹣x2+2）的值域为．8．已知（4x，2x），（1，），x∈R，若⊥，则．9．在平面直角坐标系中，曲线y＝e x+2x+1在x＝0处的切线方程是10．在△ABC中，已知C＝120°，sin B＝2sin A，且△ABC的面积为，则AB 的长为．11．已知函数f（x）是定义R在上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x﹣3，则不等式f（x）≤﹣5的解集为．12．已知函数f（x）＝sin（2x）（0≤x＜π），且f（α）＝f（β）（α≠β），则α+β＝．13．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．14．已知函数，，＞，若方程f（x）＝a有四个不等的实根x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+1）（x2+1）（x3+1）（x4+1）的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）已知向量（cosα，﹣1），（2，sinα），其中，，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β），且，，求角β．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且AD＝2BC，AD ⊥CD，PA＝PD，M为棱AD的中点．（1）求证：CD∥平面PBM；（2）求证：平面PAD⊥平面PBM．17．（本小题满分14分）已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数m的值；（2）解不等式f（x）+f（1+x）＞0．18．（本小题满分16分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即∠AOB）．现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B．假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．（1）求两站点A，B之间距离的最小值；（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？19．（本小题满分16分）已知函数f（x）＝xlnx﹣（k+1）x，k∈R．（1）若k＝﹣1，求f（x）的最值；（2）若对于任意x∈[e，e3]，都有f（x）＜4lnx成立，求实数k的取值范围；（3）对于任意x∈[2，e2]，都有f（x）＞﹣2x﹣k成立，求整数k的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数f（x）＝（x﹣m）lnx（x＞0），m＞0．（1）当m＝1时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）当x∈[1，e]时恒有f（x）≤0成立，求满足条件的m的范围；（3）当m＝e时，令方程f（x）＝t有两个不同的根x1，x2，且满足x1＜x2，求证：x2﹣x1．1．由N中不等式变形得：x（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤0，即N＝[﹣1，0]，∵M＝{﹣1，0，1}，∴M∩N＝{﹣1，0}．答案：{﹣1，0}．2．复数z＝（1﹣2i）（3+i），i为虚数单位，则|z|＝|（1﹣2i）|×|（3+i）|＝5．答案：5．3．由题意，x2，故其焦点在y轴正半轴上，p．∴焦点坐标为，，答案，．4．由题意，＞，解得1＜x≤3，答案：（1，3]．5．函数的最小正周期为：T3π．答案：3π．6．已知θ是第三象限角，且，所以sinθ＜0，cosθ＜0，则，解得，所以sinθ+cosθ．答案：．7．∵0＜﹣x2+22，∴x＝0时，f（x）最大，f（x）＝f（0），最大值答案：（﹣∞，]．8．∵，∴且2x＞0，∴解得2x＝1，∴，，，，∴，，∴．答案：2．9．∵y＝e x+2x+1，∴f′（x）＝e x+2，∴在x＝0处的切线斜率k＝f′（0）＝1+2＝3，∴f（0）＝1+0+1＝2，∴y＝e x+2x+1在x＝0处的切线方程为：y﹣2＝3x，∴y＝3x+2，答案：y＝3x+2．10．∵sin B＝2sin A，由正弦定理可得，b＝2a，∴s△ABC2，∴a＝2，b＝4，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C28，∴c＝2，答案：2．11．若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）＝2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）＝2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝2﹣x﹣3＝﹣f（x），则f（x）＝﹣2﹣x+3，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）≤﹣5等价为2x﹣3≤﹣5即2x≤﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x）≤﹣5等价为﹣2﹣x+3≤﹣5即2﹣x≥8，得﹣x≥3，即x≤﹣3；当x＝0时，f（0）＝0，不等式f（x）≤﹣5不成立，综上，不等式的解为x≤﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]．答案：（﹣∞，﹣3]．12．解法一：∵函数f（x）＝sin（2x）（0≤x＜π），∴2x∈[，）．∵f（α）＝sin（2α）＝f（β）＝sin（2β）∈（0，），（α≠β），不妨假设α＜β，则2α∈（，π），2β∈（2π，），∴α∈（，），β∈（π，），∴α∈（，），β∈（，），∴α+β∈（，）．再根据 sin（2α）﹣sin（2β）＝2cos sin2cos（α+β）sin（α﹣β）＝0，∴cos（α+β）＝0，∴，或，则α+β（舍去）或α+β，答案：．解法二：∵函数f（x）＝sin（2x）（0≤x＜π），∴2x∈[，）．∵f（α）＝f（β）（α≠β），则由正弦函数的图象的对称性可得2α2β2•，即α+β，答案：．13．由r＝1，利用正弦定理可得：c＝2r sin C＝2sin C，b＝2r sin B＝2sin B，∵tan A，tan B，∴，∴sin A cos B＝cos A（2sin C﹣sin B）＝2sin C cos A﹣sin B cos A，即sin A cos B+cos A sin B＝sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，∵sin C≠0，∴cos A，即A，∴cos A，∴bc＝b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣（2r sin A）2＝b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b＝c时，取等号），∴△ABC面积为S bc sin A3，则△ABC面积的最大值为：．答案：．14．不妨设，，＞，由题意，g（x）＝a有四个不等实根，设为t1，t2，t3，t4，且t1＜t2＜t3＜t4，t1＝x1+1，t2＝x2+1，t3＝x3+1，t4＝x4+1，作函数g（x）的图象，由图可知，﹣1＜t1＜0＜t2＜1＜t3＜2＜t4，且，，，∴，，∴，设，，函数，则＜，∴函数h（m）在（0，1）上为减函数，∴h（m）∈（h（1），h（0））＝（﹣4，0），即（x1+1）（x2+1）（x3+1）（x4+1）的取值范围为（﹣4，0）．答案：（﹣4，0）．15．（1）∵向量（cosα，﹣1），（2，sinα），其中，，且．∴2cosα﹣sinα＝0，∴sin2α+cos2α＝5cos2α＝1，∴cos2α，∴cos2α＝2cos2α﹣1．（2）∵cos2α，，，∴cosα，sinα，∵sin（α﹣β），且，，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ，∴2cosβ﹣sinβ，∴sinβ＝2cos，∴sin2β+cos2β＝5cos2β﹣20，解得cosβ或cosβ（舍），∵，，∴β．16．证明：（1）因为AD∥BC，且AD＝2BC，所以四边形BCDM为平行四边形，故CD∥BM，又CD⊄平面PBM，BM⊂平面PBM，所以CD∥平面PBM；（6分）（2）因为PA＝PD，点M为棱AD的中点，所以PM⊥AD，又AD⊥CD，CD∥BM，故AD⊥BM，而PM∩BM＝M，PM、BM⊂平面PBM，所以AD⊥平面PBM，又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBM．（本小题满分14分）17．（1）由题意可得，f（﹣1）＝﹣f（1），，∴m＝2；（2）由（1）可得，f（x），设x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）＜0 ∴f（x）在R上单调递减∵f（x）+f（1+x）＞0，∴f（x）＞﹣f（1+x）＝f（﹣1﹣x），∴1+x＜﹣x，解可得，x＜，综上可得，不等式的解集为（﹣∞，）18．（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE＝10，设∠AOE＝α，则＜α＜，所以∠BOEα，所以AB＝AE+BE＝10tanα+1+10tan（α）；解得cosαcos（α）sin（2α）；所以当α时，AB取得最小值为20（1）；（2）以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示；则圆C的方程为（x+30）2+y2＝25，设直线AB的方程为y＝kx+t，（k＞0，t＞0）；∴10，∴5，解得t＜20k或t＞60k（舍），∴OA＜20，又当AB∥ON时，OA→10，所以10＜OA＜20；综上知，当10＜OA＜20时，即设计出入口A离市中心O的距离在10km 到20km之间时，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）．19．（1）f（x）＝xlnx，x＞0．则f'（x）＝1+lnx．当0＜x＜e﹣1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＝e﹣1时，f'（x）＝0；当x＞e﹣1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝e﹣1时，f（x）取最小值f（e﹣1）＝﹣e﹣1．（2）f（x）＜4lnx⇔k+1＞（1）lnx．令g（x）＝（1）lnx，则g'（x）．当x≥e时，x﹣4+4lnx≥e﹣4+4＞0，所以g（x）在[e，e3]单调递增，g（x）＝g（e3）＝3．所以，所以k＞31＝2．（3）当x∈[2，e2]时，f（x）＞﹣2x﹣k⇔k＜．令h（x），h'（x）．令u（x）＝x﹣lnx﹣2，则u'（x）＝1．因为x∈[2，e2]，所以u'（x）≥1＞0，u（x）单调递增，又u（3）＝1﹣ln3＜0，u（4）＝2﹣2ln2＞0，所以u（x）存在唯一的零点x0，且3＜x0＜4．当x∈[2，x0）时，u（x）＜0，所以h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x＝x0时，u（x）＝0，h'（x）＝0；当x∈（x0，e2]时，u（x）＞0，所以h'（x）＞0，h'（x）单调递增．所以k＜，h（x）＝h（x）x0∈（3，4），所以整数k的最大值为3．20．（1）解：由题意，当m＝1时，f（x）＝（x﹣1）lnx，x＞0．f′（x）＝lnx1，x＞0．∵f′（1）＝0，f（1）＝0．∴函数f（x）在x＝1处的切线方程为：y＝0．（2）解：由题意，当x∈[1，e]时恒有f（x）≤0成立，即（x﹣m）lnx≤0对任意x∈[1，e]成立．∵当x∈[1，e]时，lnx≥0恒成立，∴x﹣m≤0对任意x∈[1，e]恒成立．∴m≥x max＝e．∴m的取值范围为[e，+∞）．（3）证明：由题意，当m＝e时，f（x）＝（x﹣e）lnx，x＞0．f′（x）＝lnx lnx+1，x＞0．①令f′（x）＝0，即lnx+1，根据下面图象：根据图，很明显交点的横坐标在1与e之间，设为x0，即f′（x）＝0的解为x＝x0，（1＜x0＜e），且lnx0+1．②令f′（x）＜0，即lnx+1＜，解得0＜x＜x0；③令f′（x）＞0，即lnx+1＞，解得x＞x0．∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，在x＝x0处取得极小值．∵f（1）＝0，f（e）＝0．∴根据题意，画图如下：由图，①设函数f（x）在x＝1处的切线为l1，∵f′（1）＝1﹣e．∴直线l1的直线方程：y＝（1﹣e）（x﹣1），令y＝t，解得x31；②设函数f（x）在x＝e处的切线为l2，∵f′（e）＝1．∴直线l2的直线方程：y＝x﹣e，令y＝t，解得x4＝e+t．∴x2﹣x1≤x4﹣x3＝e+t1＝e﹣1．。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，矩形ABCD中，1AB=，2BC=，E是AD的中点，将ABE△沿BE折起至A BE'，记二面角A BE D'--的平面角为α，直线A E'与平面BCDE所成的角为β，A E'与BC所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A'的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A'的位置，αγπ+≤，则( )A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立2．著名的斐波那契数列{}n a：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a==，21n n na a a++=+，*Nn∈，若2020211nnka a-==∑，则k=( )A．2020 B．4038 C．4039 D．40403．已知函数f(x)＝223,1ln,1x x xx x⎧--+≤⎨>⎩,若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是()A．1e2⎛⎝B ．12e⎡⎢⎣C ．1,2ee⎛⎝⎦D ．12ee⎛⎝⎭4．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．2y x=+B．y sinx=C．3y x x=-D．2xy=5．已知平面向量a，b，c满足：0,1a b c⋅==，5a cb c-=-=，则a b-的最小值为( ) A．5 B．6 C．7 D．86．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r，大圆柱底面半径为2r，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则12hh=（）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③9．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12B 2C 3D 310．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势11．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm12．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ） A ．5B ．52C ．32D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省苏州市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i【答案】A 【解析】 【分析】由虚数单位i 的运算性质可得1z i =-，则答案可求. 【详解】 解：∵41i =，∴202045051i i ⨯==，201945043i i i ⨯+==-， 则202020191z i i ⋅=+化为1z i =-， ∴z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查了虚数单位i 的运算性质、复数的概念，属于基础题.2．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 3．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．4πB ．38π C ．2π D ．58π 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求ϕ的最小值. 【详解】根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣⎦，所以22,44k k Z ππϕπ-=+∈，所以,4k k Z πϕπ=+∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π． 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A．210B．2613C．1313D．1310【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E与AF所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB的中点为O，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF=-=-u u u r u u u r.所以异面直线1A E与AF所成角的余弦值为118242642213A E AFA E AF⋅-==⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.5．已知双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．102【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C【解析】 【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 7．已知i 是虚数单位，若1zi i=-，则||z =（ ）A B ．2C D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 直接将1zi i=-两边同时乘以1i -求出复数z ，再求其模即可. 【详解】 解：将1zi i=-两边同时乘以1i -，得 ()11z i i i =-=+z =故选：A 【点睛】考查复数的运算及其模的求法，是基础题.8．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，【答案】B 【解析】 【分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.10．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD V 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅u u u v u u u v分拆，设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合，集合，则______．2．命题：“”的否定是__________．3．写出命题“若，则或”的否命题为__________．4．命题“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．已知函数f(x)=的图象一定过点P,则P点的坐标是__________.6．函数f(x)= 的值域是____________7．函数的单调增区间为 _________.8．用“”将，，从小到大排列是__________．9. 方程的解在区间（k，k 1）（）上，则k =_______．10．已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角为__________．11.已知函数,则_____.12. 已知奇函数满足的值为___________ 。

13．定义在R上的偶函数f(x), 当x≥0时,f(x)为减函数。

若f(1－m)<f(m),则实数m的取值范围是________.14已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+1的导函数为f ′（x ），f ′（0）＞0，f （x ）与x 轴恰有一个交点，则的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （1）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （2）A 1C //平面AB 1E ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值； （2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2．A 1B 1C 1ABCE(第15题）（1）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （2）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )，yxBAMNOP(第18题）l记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．20．(本小题满分16分)已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2＋2S n，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若k，t∈N*，且S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，求k和t的值．江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学附加题21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC．求证： CA＝3CB．DA B COB ．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234．（1）求A －1；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t （t为参数），圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin （θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD＝1．（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为π3，求BC 的长； （2）求二面角B －PD －A 的余弦值．CDPBA23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球． （1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望．江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.） 1．；2．； 3．若，则且； 4．充分不必要5、P(-1,4)；6、； 7、； 8、9、2； 10、； 11、1； 12、；13、； 14、2二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1平面ABC ． 因为AE 平面ABC ，所以CC 1AE ． ……………2分 因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE BC ． 因为BC 平面B 1BCC 1，CC 1平面B 1BCC 1，且BC ∩CC 1＝C ，所以AE 平面B 1BCC 1． ………………5分 因为AE 平面AB 1E ，所以平面AB 1E 平面B 1BCC 1. ……………………………7分 （2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形，所以F 为A 1B 的中点． ……………………………9分A 1B 1C 1 A BC E(第15题） F又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．……………………………11分因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C∥平面AB1E. ……………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1在△ABC中，因为cos B＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45．………………………2分因为c＝2a，所以(c2)2＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝920，所以bc＝3510．……………………………4分又由正弦定理得sin Bsin C＝bc，所以sin Bsin C＝3510．……………………………6分解法2因为cos B＝45，B∈(0，)，所以sin B＝1－cos2B＝35．………………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A，所以sin C＝2sin(B＋C)＝65cos C＋85sin C，即－sin C＝2cos C．………………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sin C＞0，解得sin C＝25 5，所以sin Bsin C＝3510．………………………6分（2）因为cos B＝45，所以cos2B＝2cos2B－1＝725．…………………………8分又0＜B＜π，所以sin B＝1－cos2B＝3 5，所以sin2B＝2sin B cos B＝2×35×45＝2425．…………………………10分因为C－B＝π4，即C＝B＋π4，所以A＝π－(B＋C)＝3π4－2B，所以sin A＝sin(3π4－2B)＝sin 3π4cos2B－cos3π4sin2B ………………………………12分＝22×725－(－22)×2425＝31250．…………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t1＝9000x，………………………2分t 2＝30003(100－x)＝1000100－x，………………………4分所以f(x)＝t1＋t2＝9000x＋1000100－x，………………………5分定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．………………………6分（2）f(x)＝1000(9x＋1100－x)＝10[x＋(100－x)](9x＋1100－x)＝10[10＋9(100－x)x＋x100－x]．………………………10分因为1≤x≤99，x∈N*，所以9(100－x)x＞0，x100－x＞0，所以9(100－x)x＋x100－x≥29(100－x)xx100－x＝6，…………………12分当且仅当9(100－x)x＝x100－x，即当x＝75时取等号．…………………13分答：当x＝75时，f(x)取得最小值．………………………14分18．（本小题满分16分） 解：（1）因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2． ………………………2分 又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋34b 2＝1， ………………………3分解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………………5分 （2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则x 024＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． ………………………7分 由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0 x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2) x 0＋2，即M (m ，y 0(m ＋2)x 0＋2)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0(m ＋2)x 0＋2 m －1＝－1， ………………………10分即y 02（m ＋2）(x 0－1)( x 0＋2)( m －1)＝－1． 因为x 024＋y 02＝1．所以( x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1) ( m －1)＝1． ………………………12分因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝5±133． ………………………15分 因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分 解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P＝4k 4k 2＋1， 所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k4k 2＋1)． ………………………8分因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1．(*) ……………………10分因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))，因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112，所以k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB＝k (m ＋2)m －1． 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1， 所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1．（**） ………………………12分 将(*)代入（**），化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133． ………………………15分又因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g (x )＝2(1－2ln x )x 3．令g(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，g(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4． 令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f (x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增． 又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4． 因为h (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0， 所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f (x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1． 因为h (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0． 所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a∈(53，2)时，h(a)＞h(53)＝827．………………………14分③当a≥2时，当x∈(1，2)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．综上，h(a)的最小值为827．………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．因为a1＞0，所以a1＝1．………………………2分（2）因为3T n＝S n2＋2S n，①所以3T n＋1＝S n＋12＋2S n＋1，②②－①，得3a n＋12＝S n＋12－S n2＋2a n＋1．因为a n＋1＞0，所以3a n＋1＝S n＋1＋S n＋2，③………………………5分所以3a n＋2=S n＋2＋S n＋1＋2，④④－③，得3a n＋2－3a n＋1＝a n＋2＋a n＋1，即a n＋2＝2a n＋1，所以当n≥2时，an＋1an＝2．………………………8分又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a22－2a2＝0．因为a2＞0，所以a2＝2，所以a2a1＝2，所以对n∈N*，都有an＋1an＝2成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，n∈N*．………………………10分(3)由(2)可知S n＝2n－1．因为S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，所以(S k－S1)2＝S1(S t－S k)，即(2k－2)2＝2t－2k，………………………12分所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．由于S k－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．当k＝2时，2t＝8，得t＝3．………………………14分当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．综上，k＝2，t＝3．………………………16分江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO =∠C ．………………………2分在圆O 中，AO =DO ，所以∠DAO =∠ADO ，所以∠DOC =2∠DAO =2∠C ．………………………5分因为CD 为圆O 的切线，所以∠ODC =90°， 从而DOC ＋C ＝90°，即2C ＋C ＝90°， 故∠C ＝30°， ………………………7分 所以OC ＝2OD ＝2OB ，所以CB ＝OB ，所以CA ＝3CB ． ………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2132－12． ………………………4分 （2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P(x，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x＝x ＋2y ，y ＝3x ＋4y ．……………………8分因为(x ，y )在曲线C 上，所以6x2－y 2＝1，代入6(x ＋2y )2－(3x ＋4y )2＝1，化简得8y 2－3x 2＝1，所以曲线C 的方程为8y 2－3x 2＝1． ………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：由直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0．………………………2分由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin，得圆C 的普通方程为(x －a )2+(y －2a )2＝1．DA B C O （第21A 题）………………………4分因为直线l 与圆C 相切，所以∣a －2a ＋1∣2＝1， ………………………8分 解得a ＝1±2．所以实数a 的值为1±2． ………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；……………………2分(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3； ……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）以{→AB ，→AD ，→AP }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ． 因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)． 设C (1，y ，0)，则→PB ＝(1，0，－1)，→CD ＝(－1，1－y ，0)．…………………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为π3， 所以|cos ＜→PB ，→CD ＞|＝|→PB →CD∣→PB ∣∣→CD ∣|＝12，即12×1＋(1－y )2＝12，解得y ＝2或y ＝0（舍），所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2． ………………………5分CDPBA（第22题）xy z（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为→PB ＝(1，0，－1)，→PD ＝(0，1，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧→PB n 1＝0，→PDn 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y －z ＝0． 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． ………………………7分因为平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1n 2∣n 1∣|n 2∣＝33， 所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为33． ………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有C2442＝96(种). ………………………3分 （2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝4 C 2496＝14， ………………………5分 P (X ＝1)＝3C 14C1396＝38，P (X ＝2)＝2C14C 1396＝14， P (X ＝3)＝C14C 1396＝18． 所以随机变量X 的概率分布列为：………………………8分所以E (X )＝014＋138＋214＋318＝54． ………………………10分 X 0 1 2 3 P14381418。

2019-2020年高三一模数学试题 含答案xx.12.21一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.2. 已知抛物线的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在轴上，若经过点，则 其焦点到准线的距离为3. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则4. 若复数满足：（是虚数单位），则5. 在的二项展开式中第四项的系数是 （结果用数值表示）6. 在长方体中，若，，则异面直线与所成角的大小为7. 若函数的值域为，则实数的取值范围是8. 如图，在△中，若，，，则9. 定义在上的偶函数，当时，，则在上的零点个数为 个10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中 2辆卡车必须停在与的位置，那么不同的停车位置安排共有 种（结果用数值 表示）11. 已知数列是首项为1，公差为的等差数列，前项和为，设，若数列是递减数列，则实数的取值范围是12. 若使集合2{|(6)(4)0,}A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数的取值 范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “”是“”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要14. 若（是虚数单位）是关于的方程的一个复数根，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，15. 已知函数为上的单调函数，是它的反函数，点和点均在函数的图像上，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.16. 如图，两个椭圆、内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列三个判断：（1）到、、、四点的距离之和为定值（2）曲线关于直线、均对称（3）曲线所围区域面积必小于36上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知平面，，，，是的中点；（1）求与平面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求△绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积；（结果保留）18. 已知函数2sin ()1x xf xx-=；（1）当时，求的值域；（2）已知△的内角的对边分别为，若，，，求△的面积；19. 某创业团队拟生产、两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图1），产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）；（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将、两种产品的利润、表示为投资额的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入、两种产品生产，问：当产品的投资额为多少万元时，生产、两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20. 如图，双曲线的左、右焦点、，过作直线交轴于点；（1）当直线平行于的一条渐近线时，求点到直线的距离；（2）当直线的斜率为1时，在的右支上是否存在点，满足？，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线与交于不同两点、，且上存在一点，满足（其中为坐标原点），求直线的方程；21. 正数数列、满足：，且对一切，，是与的等差中项，是与的等比中项；（1）若，，求、的值；（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；（3）记，当，，指出与的大小关系并说明理由；参考答案一. 填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 10. 11. 12.二. 选择题13. C 14. D 15. C 16. C三. 解答题17.（1）；（2）；18.（1）；（2）；19.（1），；（2）对投资3.75万元，对投资6.25万元，可获得最大利润万元；20.（1）；（2）不存在；（3）；21.（1），；（2）略；（3）；。

2019～2020学年第一学期高三期初调研试卷数学Ⅰ 2019. 9(参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的方差2211()==−∑ni i s x x n ，其中11==∑ni i x x n ．)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,3A =，{}3,9B =，则A B = ▲ ．2．如果复数2()3bib R i−∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ▲ ． 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ▲ ．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时， 最后输出的b 的值为 ▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0y x a b a b−=>>的两条渐近线方程为2y x =±， 则该双曲线的离心率为 ▲．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题(第1题 − 第14题)、解答题(第15题 − 第20题)．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．7．如图，在直三棱柱ABC A B C −111中，若四边形11AAC C 是边长 为4的正方形，且3AB =，5BC =，M 是1AA 的中点，则三 棱锥A MBC −11的体积为 ▲ ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则S 10的值为 ▲ ．9．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[),x ∈+∞0时，()[)()[)sin ,,,,,,x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨−∈+∞⎪⎩0111则(5)6f π−−＝ ▲ ．10．已知在ABC ∆中，AC ＝1，BC ＝3．若O 是该三角形内的一点，满足()()0OA OB CA CB +⋅−=，则CO AB ⋅＝ ▲ ．11．已知sin 222cos2αα−=，则2sin sin 2αα+＝ ▲ ．12．已知点A 、B 是圆O :224x y +=上任意两点，且满足23AB =P 是圆C :22(4)(3)4x y +++=上任意一点，则PA PB +的取值范围是 ▲ ．13．设实数1a ≥，若不等式||2x x a a −+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是 ▲ ． 14．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A A B C+=，则sin A 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点．(1)求证：AB 1∥平面PBC 1； (2)求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．▲ ▲ ▲ACB PA 1B 1C 116．(本小题满分14分) 已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++．(1)求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；(2)当[0,]x π∈时，求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．▲ ▲ ▲17．(本小题满分14分) 已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角 为60o 的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y kx =交椭圆C 于A 、B 两点，在直线:30l x y +−=上存在点P ，使得PAB ∆为等边三角形，求实数k 的值．▲ ▲ ▲18．(本小题满分16分) 某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，30BAC ∠=．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．(水流速度忽略不计)(1)若4v =，2AB km =，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内(含1小时)能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；(2)若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进m (0)m t <<小时后，再游泳匀速直线追赶小船．已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．▲ ▲ ▲ABC岸边30o19．(本小题满分16分) 已知函数()e x f x =，()ln g x x =，(1)设2()()h x g x x =−，求函数()h x 的单调增区间；(2)设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数y =()g x 的图象在点A (00,()x g x )处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；(3)求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1|1|f x a x−−<成立． ▲ ▲ ▲20．(本小题满分16分) 等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}n b 满足：b 1＝5a 1＝5，a 5＝b 2＝9，当3n ≥ 时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +−，2n S −成等比数列，n *∈N ． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；(3)将数列{}n a 、11{}+n n b b 的项按照：当n 为奇数时，a n 放在前面；当n 为偶数时，11+n n b b 放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…记这个新数列的前n 和为T n ，试求T n 的表达式．▲ ▲ ▲。

江苏省苏州中学2019-2020学年度第一学期期初考试高三数学 2019.8注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,包括填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分.本试卷满分160分,考试时间120分钟.2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置.3.答题时,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置,在其它位置作答一律无效.4.如有作图需要,可用2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 方差公式：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-,其中121()n x x x x n=+++.锥体体积公式：1=3V Sh 锥体(S 为锥体底面面积,h 为锥体的高).一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知R 为实数集,集合{}1,0,1A =-,集合{}|0B x x =≤,则R A C B =_________________.答案：{}12. 若复数122,2z i z a i =+=-(i 为虚数单位),且12z z 为实数,则实数a =_______________. 答案：4a =3. 已知函数()11xf x a e =+-为奇函数,则实数a =_______________. 答案：12a =4. 抛物线214y x =的准线方程为_________________. 答案：1y =-5. 设函数()222f x ax x =-+,对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >,则实数a 的取值范围为_________________. 答案：12a >6. 已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+≤<关于直线6x π=-对称,则()0f =________________.答案：127. 若曲线()1xy ax e =+在()0,1 处的切线斜率为1-,则a =__________________.答案：2a =-8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若264,,S S S 成等差数列,则246a a a +的值为_________________. 答案：29. 若双曲线22219x y b -=满足9b ≥,则该双曲线离心率的取值范围是_________________答案：)+∞10. 已知ABC ∆的三边上高的长度分别为2,3,4,则ABC ∆最大内角的余弦值等于___________________. 答案：1124-11. 已知函数()26fx x =-,若0a b >>,且()()f a f b =,则2a b 的最大值是__________________. 答案：16解析：()()222222666612f a f b a b a b a b =⇒-=-⇒-=-⇒+=()(2231212,a b b b b b b =-=-+∈令()312g b b b =-+,()()()2312322g b b b b '=-+=--+,列表易知当2b =时,()g b 有最大值1612. 直线y x b =+与曲线x =有且只有一个公共点,则b 的取值范围是___________________.EDCBA答案(]{}1,12--解析：易知曲线x =,直线与半圆只有一个公共点,数形结合可得(]{}1,12b ∈--13. 如图,已知AC 与BD 交于点E ,//AB CD ,AC =,26AB CD ==,则当tan 3A =时,BE CD ⋅=________ _______ 答案：12解析：tan 3cos 10A A =⇒=, ()2211111661222222BE CD AE AB AB AE AB AB ⎛⎫⋅=--=-⋅+=-⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭14. 已知C 的方程为：()()()222320x y r r -+-=>,若直线33x y +=上存在一点P ,在C 上总存在不同的两点M ,N ,使得点M 是线段PN 的中点,则C 的半径r 的取值范围是_________________. 答案⎫+∞⎪⎪⎣⎭解析：圆心()3,2到直线33x y +=距离d =,若C 上总存在不同的两点M ,N ,则123d r r r d -≤⇒≥,即15r ≥二、解答题：本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分14分)第13题已知集合{}23100A x x x =--≤, (1)若集合{}21,1B m m =---+,且A B A =,求实数m 的取值范围；(2)若集合{}211B x m x m =--≤≤-+,且A B A =,求实数m 的取值范围。

2019届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 设全集U＝｛x|x ≥ 2 ，x ∈ N ｝，集合A＝｛x|x 2 ≥5，x ∈ N ｝，则___________ ．2. 复数，其中i为虚数单位，＝，则a的值为___________ ．3. 双曲线的离心率为___________ ．4. 若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为___________ ．5. 已知向量a= （ 1，2 ），b= （ x，-2 ），且a⊥ （ a-b ），则实数x=___________ ．6. 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为___________ ．7. 函数的值域为___________ ．8. 连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6 ），则事件“ 两次向上的数字之和等于7” 发生的概率为___________ ．9. 将半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，则＝___________ ．10. 已知是第三象限角，且，则＝___________ ．11. 已知是等差数列，a 5 ＝15，a 10 ＝－10，记数列的第 n 项到第n+ 5项的和为 T n ，则取得最小值时的 n 的值为___________ ．12. 若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则＝___________ ．13. 已知函数f （ x ）＝－kx （x≥0，k ∈ R ）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则＝_________ ．14. 已知，，则的最小值为___________ ．二、解答题15. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（ 2 ）若的面积为，，求边的长．16. 如图，在直四棱柱 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点， A 1 C 1 与 B 1 D 1 交于点 O ．（1）求证： A 1 ， C 1 ， F ， E 四点共面；（2）若底面 ABCD 是菱形，且 A 1 E，求证：平面 A 1 C 1 FE．17. 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米．（1）当渠中水深CD为0．4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？18. 如图，已知椭圆O ：＋ y 2 ＝1 的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k 1 ，k 2 ，求证：k 1 · k 2 为定值；②求的取值范围．19. 已知数列满足：，， , ．（1）若，且数列为等比数列，求的值；（ 2 ）若，且为数列的最小项，求的取值范围．20. 已知函数（a ∈ R ），为自然对数的底数．（ 1 ）当 a ＝ 1 时，求函数的单调区间；（ 2 ）①若存在实数，满足，求实数的取值范围；②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．21. 如图，四边形 ABDC 内接于圆， BD=CD ，过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点．（ 1 ）求证：；（2）若BD ⊥ AB ， BC=BE ， AE=2 ，求 AB 的长．22. 已知二阶矩阵 M 有特征值 =3 及对应的一个特征向量，并且矩阵 M 对应的变换将点（ -1,2 ）变换成（ 9,15 ），求矩阵 M ．23. 在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标．24. 设函数 f （ x ）＝＋ |x － a| （ a ＞ 0 ）．（ 1 ）证明： f（x）≥ 2 ；（ 2 ）若 f （ 3 ）＜ 5 ，求实数 a 的取值范围．25. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向．已知该网民购买种商品的概率为，购买种商品的概率为，购买种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．（ 1 ）求该网民至少购买2种商品的概率；（ 2 ）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望．26. 如图，由若干个小正方形组成的 k 层三角形图阵，第一层有 1 个小正方形，第二层有 2 个小正方形，依此类推，第 k 层有 k 个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第 k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中（），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为．（ 1 ）当 k = 4 时，若要求为 2 的倍数，则有多少种不同的标注方法？（ 2 ）当 k = 11 时，若要求为 3 的倍数，则有多少种不同的标注方法？参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。

2019-2020年高三一模试题及答案（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1(i 为虚数单位)等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，}1{x y x B -==，则A B =A ．(]1,∞-B ．]1,1[-C ．φD ．{1}3．设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A ．1 3 B ．4 1 C ． 0 0 D ．605．若dx x a ⎰=22sin π，dx x b ⎰=10cos ，则a 与b 的关系是A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．0=+b a 6．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是A ．2 B. 1+C ．2+D. 1+7．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a 的值为A ．1B ．4C ．8D ．168．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A ．2B ．3C ．4D ．6 9．已知281(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为A ．12B ．14C ．16D ．1810．过原点的直线与函数xy 2=的图像交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交于函数xy 4=的图像于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)2,21( D ．)1,0(11．在数列}{n a 中，a a a n n +=+1（a n ,N *∈为常数），若平面上的三个不共线的非零向量,,满足a a 20101+=，三点C B A ,,共线且该直线不过O 点，则2010S 等于A ．1005B ．1006C ．2010D ．201212．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题： ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ； ③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合； 其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．若nxx )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为 ；14．已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率()P A = ； 15．关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为 ；16．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=，)cos 2,1(x n =，设函数n m x f ⋅=)(. (Ⅰ)若21)32cos(=-πx ，且⊥，求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ∆的面积为23,实数1=t ,求边长a 的值.18．（本小题满分12分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.(Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少元？19.(本题满分共12分)下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，SA SC =，N M 、分别为SB AB 、的中点.（Ⅰ）求证：SB AC ⊥;（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.CSN侧视图20.(本题满分共12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a a a ,其中*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较n n T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.21.(本题满分12分)已知定义在正实数集上的函数ex x x f 221)(2+=,b x e x g +=ln 3)(2（其中e 为常数，2.71828e =⋅⋅⋅）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.(Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,x a e x g e aex x f )2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数a 的取值范围.22.(本题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是1PF 上一点，若12120,0PF OH F F PF ==⋅=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM , 求直线l 的方程.青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科）答案 2010.3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBBBA BCDDA AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．20 14．4115．），（23- 16．），（∞+1 三、解答题（共74分）． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由题意得01)62sin(2cos 2)2sin 3(2=+++=++=⋅t x x t x n m π…………3分 所以21)32cos(21)62sin(2-=---=-+-=ππx x t …………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2)62sin(21)62sin(2)(++=+++=ππx t x x f由题意得32)62sin(2)(=++=πA A f所以21)62sin(=+πA …………………8分 因为6136260ππππ<+<<<A A ，，所以6562ππ=+A 解得3π=A因为ABC ∆的面积为23,所以23sin 21=A bc ,2=bc 即2=c …………10分 由余弦定理得32121241cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a …………12分 18．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………5分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………6分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………7分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………8分(),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………9分 ().1111200333=⎪⎫ ⎛⋅⎪⎫ ⎛==C P ς…………10分所以60812088084080=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利，则x 最少为60元. …………12分19.(本题满分12分)解: 由题意知: 32==SC SA ，侧面⊥SAC 底面ABC ， 底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,, 所以OB ACSO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .所以SB AC ⊥ …………4分(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -.(4,0,0),(0,AC SB ∴=-=-.).2,0,1(),0,3,3(-==…………6分设=n ),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x y x ，取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==CN CB 设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a b a ,得02=+c a , 令1=c ，则)1,36,2(-=…………10分所以11333333122||||,cos -=⨯+--=>=<n m所以二面角B NC M --的余弦值为1133. …………12分 20.(本题满分12分)解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分 由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列 所以)14(34-=nn T …………6分 则1431)14(48441211-+=-+=+++n n n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n)14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n 猜想：13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立； ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分又410,410nn ->->01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 21.(本题满分12分)解:(Ⅰ)e x x f 2)(+=',xex g 23)(='………………1分设函数ex x x f 221)(2+=与b x e x g +=ln 3)(2的图象有公共点为),(00y x 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ………………………3分解得:22e b -= ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2ln 3)(22e x e x g -=所以x a x e x g eaex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++- 即)1(2)ln 2x x x x a -≥-（当)1,1[ex ∈时，0ln <x ，0ln >-∴x x当[]e x ,1∈时，x x ≤≤1ln ，且等号不能同时成立，0ln >-∴x x所以,则由(1)式可得x x x x a ln 22--≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立……………………7分设x x x x x F ln 2)(2--=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1又2)ln (ln 22)(1()(x x x x x x F --+-='）……………………9分令0)(='x F 得：1=x 又0ln 22,1ln >-+∴≤x x x所以，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0)(<'x F ；当(]1,x e ∈时，0)(>'x F ； 所以，)(x F 在)1,1[e上为减函数，)(x F 在(]1,e 上为增函数…………11分又<<+-=0)1(21)1(e e ee F 12)(2--=e e e e F故12)()(2max --==e e e e F x F所以实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--,122e e e ……………12分 22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥ 则有OH F 1∆与21PF F ∆相似 所以λ==PF PF OF OH 121……………2分设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P则有122122=+by a c ,解得a b y 21=所以ab y PF 212==根据椭圆的定义得:ab a PF a P F 22122-=-= ……………4分2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222ab 所以112122222-+=-==λab ac e ……………6分显然1122-+=λe 在]21,31[上是单调减函数 当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是22……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12422=+y x ……………10分 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k ,则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211k y x =-=∴……………12分 又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k 解得4±=k所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……………14分。

(这是边文，请据需要手工删加)江苏省苏州市2019届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准 1. {3} 2. －1 3. 25 4.536 5. 136. 37. 108. 239. 23 10. (x －5)2＋(y －2)2＝17 11. 118 12. (－2，2－23) 13. 82－8 14. [0，1]15. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，因为AB ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB.(2分)又因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1.(4分)又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(6分) (2) 取AB 中点G ，连接EG ，FG.(第15题)因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC.(8分)因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形，(11分) 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE.(14分)16. (1) 在△ABC 中，因为2bcos A ＝2c －3a ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，所以2sin B cos A ＝2sin C －3sin A ．(2分)又因为在△ABC 中，sin C ＝sin (A ＋B )，所以2sin B cos A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ， 所以3sin A ＝2cos B sin A ．(4分)又因为在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝32， 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(6分)(2) f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π3＋cos x ·sin π3－34(8分) ＝12sin x ·cos x ＋32cos 2 x －34 ＝14sin 2x ＋34(cos 2x ＋1)－34 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，(10分) 所以f (A )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3， 因为在△ABC 中，B ＝π6，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，56π，(12分) 所以2A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π，所以当2A ＋π3＝π2， 即A ＝π12时，f (A )的最大值为12.(14分)17. (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ，因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，又因为A 到右准线的距离为6，所以a ＋a 2c ＝3a ＝6，(2分)解得a ＝2，c ＝1，(4分)所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－2或x ＝－1， 则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，32.(9分)由题意，右焦点F(1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－34(x －1)，(11分)由⎩⎨⎧y ＝－34（x －1），x 24＋y23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，(13分)所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫137，－914.(14分) 18. (1) 以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系， 因为0＜θ＜π2，tan θ＝12，所以OP ：y ＝12x ，设P (2t ，t )，由OP ＝5，得t ＝1，所以P (2，1)．(2分)方法一：由题意得2m ·P A ＝m ·PB ，所以BP ＝2P A ，所以点B 的纵坐标为3， 又因为点B 在直线y ＝x 上，所以B (3，3)，(4分) 所以AB ＝32PB ＝352.方法二：由题意得2m ·P A ＝m ·PB ，所以BP →＝2P A →.设A (a ，0)(a ＞0)，又点B 在射线y ＝x (x ＞0)上，所以可设B (b ，b )(b ＞0)，由BP →＝2P A →，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝2（a －2），1－b ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，(4分)所以A ⎝⎛⎭⎫32，0，B (3，3)， AB ＝⎝⎛⎭⎫3－322＋32＝352.答：A ，B 之间的距离为352km.(6分)(2) 方法一：设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小． 当AB ⊥x 轴时，A (2，0)，这时OA ＝2，OB ＝22， 所以y ＝OA ＋22OB ＝2＋8＝10.(8分)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)， 令y ＝0，得点A 的横坐标为2－1k ，所以OA ＝2－1k .令x ＝y ，得点B 的横坐标为2k －1k －1.(10分) 因为2－1k ＞0且2k －1k －1＞0，所以k ＜0或k ＞1，此时y ＝OA ＋22OB ＝2－1k ＋4（2k －1）k －1，y ′＝1k 2＋－4（k －1）2＝－（k ＋1）（3k －1）k 2（k －1）2，(12分) 当k ＜0时，y 在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 所以y min ＝y |k ＝－1＝9＜10，此时A (3，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32；(14分)当k ＞1时，y ＝2－1k ＋8（k －1）＋4k －1＝10＋4k －1－1k ＝10＋3k ＋1k （k －1）＞10.综上所述，要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3 km 处，B 位于距O 点322km 处．(16分)(第18题)方法二：如图，作PM ∥OA 交OB 于点M ，交y 轴于点Q ，作PN ∥OB 交OA 于点N ，因为P(2，1)，所以OQ ＝1，又因为∠BOQ ＝45°，所以QM ＝1，OM ＝2， 所以PM ＝1，PN ＝OM ＝ 2.由PM ∥OA ，PN ∥OB ，得2OB ＝P A AB ，1OA ＝PBAB ，(8分)所以2OB ＋1OA ＝P A AB ＋PBAB＝1.(10分)设总造价为S ，则S ＝n ·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB )·n ， 设y ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只要y 最小．y ＝OA ＋22OB ＝(OA ＋22OB )⎝⎛⎭⎫2OB ＋1OA ＝5＋2⎝⎛⎭⎫OA OB ＋2OB OA ≥9，(14分) 当且仅当OA ＝2OB 时取等号，此时OA ＝3，OB ＝322.答：要使OA ，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距O 点3 km 处，B 位于距O 点322km 处．(16分)19. (1) 当a ＝b ＝1时，f(x)＝x 3＋x 2－4，f′(x)＝3x 2＋2x.(2分) 令f′(x)＞0，解得x ＞0或x ＜－23，所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(0，＋∞)．(4分) (2) 方法一：f′(x)＝3ax 2＋2bx ，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝－2b3a ，(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f ⎝⎛⎭⎫－2b3a ＝0. 当f(0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；(8分)当f ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＝0时，代入得a ⎝⎛⎭⎫－2b 3a 3＋b ⎝⎛⎭⎫－2b3a 2－4a ＝0， 即－827⎝⎛⎭⎫b a 3＋49⎝⎛⎭⎫b a 3－4＝0，所以ba ＝3.(10分)方法二：由于a ≠0，所以f(0)≠0，由f(x)＝0，得b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x 2－x ，h′(x)＝－8x3－1，令h′(x)＝0，得x ＝－2，当x ∈(－∞，－2)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x ∈(－2，0)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增， 当x ＞0时，h(x)的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x 有且仅有一个根；(8分)当x ＜0时，[h (x )]min ＝h (－2)＝3，所以b a ＝3时，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x 2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分) (3) 当a ＝0时，因为f (x )＜ln x ，所以bx 2＜ln x ， 设g (x )＝ln x －bx 2，则g ′(x )＝1x －2bx ＝1－2bx 2x(x ＞0)．当b ≤0时，因为g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－b ≥0， 所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；(11分) 当b ＞0时，令g ′(x )＝1－2bx 2x ＝0，得x ＝12b， 所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12b 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12b ，＋∞上单调递减， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12b ＝ln 12b －12， 要使g (x )＞0有解，首先要满足ln12b －12＞0，解得b ＜12e. ①(13分) 又因为g (1)＝－b ＜0，g (e 12)＝12－b e ＞0，要使f (x )＜ln x 的解集(m ，n )中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＞0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln 2－4b ＞0，ln 3－9b ≤0，解得ln 39≤b ＜ln 24. ②(15分)设h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2.当x ∈(0，e)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e ＞h (2)＝ln 22，所以12e ＞ln 24，所以由①和②得，ln 39≤b ＜ln 24.(16分)20. (1) 假设{a n }是“回归数列”，则对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a k 成立， 即2n ＋4·2n －2·2n ＝2k ，即3·2n ＝2k ，(2分)此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立， 所以{a n }不是“回归数列”．(4分)(2) ①因为b n ＜b n ＋1，所以b n ＋1＜b n ＋2，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＞b n 且b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋2－(b n ＋1－b n )＜b n ＋2. 又因为{b n }为“回归数列”， 所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1，即b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列．(6分) 又因为b 3＝3，b 9＝9，所以b n ＝n (n ∈N *)．(8分)②因为b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t ，所以t ＝3s ＋1＋s 2－13s ＋s 2－1，(*)因为t －3＝2（1－s 2）3s ＋s 2－1≤0，所以t ≤3，又因为t ∈N *，所以t ＝1，2，3.(10分)当t ＝1时，(*)式整理为3s ＝0，不成立．(11分) 当t ＝2时，(*)式整理为s 2－13s ＝1.设c n ＝n 2－13n (n ∈N *)，因为c n ＋1－c n ＝2n （1－n ）＋33n ＋1， 所以当n ＝1时，c n ＜c n ＋1；当n ≥2时，c n ＞c n ＋1， 所以(c n )max ＝c 2＝13＜1，所以s 无解．(14分)当t ＝3时，(*)式整理为s 2＝1，因为s ∈N *，所以s ＝1.综合所述，使得等式成立的所有的正整数s ，t 的值是s ＝1，t ＝3.(16分)江苏省苏州市2019届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 由MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －7－2m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn －1402n －6－14＋3m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(4分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧mn －14＝1，2n －6＝0，－14＋3m ＝1，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝3.(10分)B . 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ， 即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3分)又由⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消去t ，得x －y －m ＝0，(6分)因为直线l 与圆C 相切，所以|2－m |2＝2，所以m ＝2±2 2.(10分)C . 因为(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋⎭⎫c 2a ＋b (4分)≥12⎣⎢⎡a ＋b ·c 2a ＋b＋b ＋c ·a 2b ＋c＋c ＋a ·⎦⎥⎤b 2c ＋a 2＝12(a ＋b ＋c )2，(8分) 所以a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．(10分)22. (1) ξ＝2时，所取三点是底面ABCD 的四个顶点中的任意三个， 所以P(ξ＝2)＝C 34C 35＝410＝25.(2分)(2) ξ的可能取值为2，5，2 2. P (ξ＝2)＝25；P (ξ＝5)＝4C 35＝25；(4分)P (ξ＝22)＝C 12C 35＝15.(6分)所以ξ的分布列为(8分)ξ的数学期望为E (ξ)＝2×25＋5×25＋22×15＝22＋25＋45.(10分)23. (1) 取AD 中点O ，BC 中点M ，连接OP ，OM ，因为PA ＝PD ，所以OP ⊥AD.(第23题)又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以OP ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥OA ，OP ⊥OM.又因为四边形ABCD 是正方形，所以OA ⊥OM.以O 为原点，OA ，OM ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，(1分) 则A ⎝⎛⎭⎫12，0，0，D ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，1，0，C ⎝⎛⎭⎫－12，1，0. 设P(0，0，c)(c ＞0)，则PB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－c ，CB →＝(1，0，0)． 设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，(3分) 则有⎩⎪⎨⎪⎧12x 1＋y 1－cz 1＝0，x 1＝0，取z 1＝1，则y 1＝c ，从而n 1＝(0，c ，1)．设P A 与平面PBC 所成的角为α， 因为P A →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－c ，所以sin α＝|cos 〈P A →，n 1〉|＝|P A →·n 1||P A →|·|n 1|＝c14＋c 2·c 2＋1＝217，解得c 2＝34或c 2＝13，所以P A ＝1或P A ＝216.(5分)(2) 由(1)知P A ≥AB ＝1，所以P A ＝1，c ＝32. 由(1)知平面PBC 的一个法向量为n 1＝(0，c ，1)＝⎝⎛⎭⎫0，32，1.(6分) 设平面PCE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，而CE →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，PC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，－32， 所以⎩⎨⎧x －12y ＝0，－12x ＋y －32z ＝0，取x ＝1，则y ＝2，z ＝3，即n 2＝(1，2，3)．(8分)设二面角BPCE 的平面角为β， 所以|cos β|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2372×22＝67＝427， 根据图形得β为锐角，所以二面角BPCE 的余弦值为427.(10分)。

江苏省苏州市2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C 是符合要求的.考点：三视图2．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A ．152 B ．512C ．512D ．512或512【答案】C 【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q 所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有213122a a a +=⋅，即210q q --=，因为数列各项都是正数，所以12q +=，而34451a a a a q +===+，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比q ，而待求量就是1q，代入即可得结果. 3．若不等式22ln x x x ax -+…对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,)+∞ D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】转化22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…为2ln a x x +„，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【详解】由22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…，可知2ln a x x +„．设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2()10h x x'=+>， 所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)1h x h ==． 所以min ()1a h x =„． 故a 的取值范围是(,1]-∞． 故选：B 【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，考查方程1lna ae=-的解的个数，综合①②③得解． 【详解】①当0a =时，1()00x f x e -=>…，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(x ae ∃∈-，)+∞，10ax e+<，故()0()f x x R ∈…不恒成立， ③当0a >时，设()x g x e a =-，1()h x ax e=+，令()0xg x e a =-=，得x lna =，1()0h x ax e =+=，得1x ae=-， 下面考查方程1lna ae=-的解的个数， 设ϕ（a ）alna =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：ϕ（a ）alna =在1(0,)e为减函数，在1(e，)+∞为增函数，则ϕ（a ）1min e=-，即1lna ae=-有一解， 又()xg x e a =-，1()h x ax e=+均为增函数，所以存在1个a 使得()0()f x x R ∈…成立， 综合①②③得：满足条件的a 的个数是2个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.5．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题. 6．设复数z 满足z ii z i-=+，则z =（ ） A ．1 B ．-1C ．1i -D ．1i +【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】 由()(1)11z ii z i i z i i z i z z i-=⇒-=+⇒-=-⇒=-+. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.7．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率． 【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P == 本题正确选项：B 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．8．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+【答案】C 【解析】 【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--，故选：C. 【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.9．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917B ．817C ．1735D ．935【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/)()P AB P B A P A =计算即可. 【详解】设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯==⨯，339()7535P AB ⨯==⨯，则所求的概率为()9(/)()17P AB P B A P A ==. 故选：A. 【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.10．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加 【答案】C 【解析】 【分析】根据该厂每年产量未知可判断A 、B 、D 选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A 、B 、D 选项错误；由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.11．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称，又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题12．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高三一模试卷数学理参考答案 (DEMO)数学（理科） 2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2 10. 2 11. 415±12. 12 13. 60，48 14.62；1或5 注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ……………………2分 因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . …………………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o30=A . ……………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， ……………………7分 所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. ……………………9分 因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ……………………11分所以10≤ac ，（当a c == ……………………12分 所以ABC ∆面积的最大值为3. ……………………13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯= （Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233p p -⨯⨯-=，分 所以1134p -=，14p =. ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯= . ……………………11分X ……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………13分17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，从而AC ⊥平面BDE . ……………………4分(Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=， ………………5分 所以3=DBED. 由3=AD可知DE =AF =………………6分则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，所以(0,BF =-，(3,0,EF =-， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即3030y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令z =则=n (4,2,. …………………8分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-，所以cos ,1332CA CA CA⋅〈〉===n n n . …………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为1313. ………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .则(3,,0)AM t t =-， 因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， …………………11分 即4(3)20t t -+=，解得2=t . …………………12分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. …………………13分18. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x -'=，（0x ≠）， ……………3分 在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩ ……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. ……………8分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分 解()0g x '=，得1e a x -=，所以，在区间1(0,e)a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. ……………10分当1e1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………11分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………12分当11<e<e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-， 所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………13分e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分 综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知(,0)2pF ,设11(,)A x y ，则2112y px =， 圆心坐标为112(,)42x p y +，圆心到y 轴的距离为124x p+， …………………2分 圆的半径为1121()2224FA x p px +=⨯--=， …………………4分所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分 （Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ=,2BF FA λ=,得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………6分 所以1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 由221y y λ=-，得222221y y λ=. 又2112y px =，2222y px =，所以 2221x x λ=. …………………10分代入221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2px λλλ+=+， 整理得122p x λ=， …………………12分代入1112px x λ-=-，得122222p p p λλλ-=-， 所以12211λλλ=-， …………………13分 因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分 解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2pAB x my =+， 将2p x my =+代入22y px =，得2220y pmy p --=， 所以212y y p =-（*）， …………………6分由1FA AP λ=，2BF FA λ=，得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………7分 所以，1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 将122y y λ-=代入（*）式，得2212p y λ=， …………………10分所以2122p px λ=，122p x λ=. …………………12分代入1112px x λ-=-，得12211λλλ=-. …………………13分因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：12100122399100(,,,)||||||a a a a a a a a a τ=-+-++- ………………1分222299198=+++=⨯=. ………………3分（Ⅱ）证明：因为(,,,)||||||a b c d a b b c c d τ=-+-+-，(,,,)||||||a c b d a c c b b d τ=-+-+-，所以(,,,)(,,,)||||||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+-----. ……………4分 因为()()0a b b c -->，所以a b c >>，或a b c <<. 若a b c >>，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+--+--||||c b c d b d =-+---当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =-+---=-<， 当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =-+---=-≤， 当d b c >>时，上式()0c b d c d b =-+---=，即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ-≤. ……………………6分若a b c <<，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d b a c d c a b d ττ-=-+--+--，||||0b c c d b d =-+---≤.（同前）所以，当()()0a b b c -->时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立. …………………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.（ⅰ）证明23a a >.若231a a a >>，则由引理知交换32,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若2a a a >>３１，则1212212121(,,)||||||||(,,)a a a a a a a a a a a a a a ττ=-+->-+-=３３３３，与已知矛盾.所以，321a a a >>. ………………………9分（ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤-，证明1i i a a +>.若i i i a a a >>+-11，则由引理知交换1,+i i a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若i i i a a a >>-+11，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ--+--+=，与已知矛盾.所以，1+>i i a a . …………………11分 （ⅲ）设121n a a a ->>>，证明1n n a a ->.若1n n a a ->，考查数列121,,,,n n a a a a -，则由前面推理可得122n n n a a a a -->>>>，与121n a a a ->>>矛盾.所以，1n n a a ->. …………………12分 综上，得证.同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列. ……………………13分。

2019届高三年级第一次模拟考试(三)(苏州)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4}，则集合A ∩B ＝________．2. 复数z ＝1＋2ii(i 为虚数单位)的虚部是________．3. 某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在60～80分的学生人数是________．(第3题)(第6题)4. 连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为________.5. 已知3sin (α－π)＝cos α，则tan (π－α)的值是________.6. 如图所示的流程图中，若输入的a ，b 分别为4，3，则输出的n 的值为________.7. 在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为________.8. 曲线y ＝x ＋2e x 在x ＝0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.9. 如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为________.10. 在平面直角坐标系xOy 中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________.11. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝________．12. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ， x<0，若方程f(x)－kx ＝3有三个相异的实数根，则实数k的取值范围是____________.13. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM →·AN →的最小值是________.14. 设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪2x －ax 2，若对任意x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f(x 2)≤f(x 1)，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1) 求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2) 求证：C 1F ∥平面ABE.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知2b cos A ＝2c －3a. (1) 求角B 的大小；(2) 设函数f(x)＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－34，求f(A)的最大值.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于点M ，求点M 的坐标．如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路l 1，l 2，经测量，l 1，l 2的夹角为π4，OP 与l 1的夹角θ满足tan θ＝12⎝⎛⎭⎫其中0<θ<π2，现要经过P 修一条直路分别与道路l 1，l 2交汇于A ，B 两点，并在点A ，B 处设立公共自行车停放点.(1) 已知修建道路PA ，PB 的单位造价分别为2m 元/千米和m 元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A ，B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对OA ，OB 段道路进行翻修，OA ，OB 段的翻修单价分别为n 元/千米和22n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点A ，B 的位置.已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R).(1)当a ＝b ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba的值；(3) 当a ＝0时，若f (x )<ln x 的解集为(m ，n )，且(m ，n )中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项，则称数列{x n }为“回归数列”．(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{a n }是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{b n }为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n <b n ＋1成立. ①求数列{b n }的通项公式；②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t 成立．2019届高三年级第一次模拟考试(三)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －7－2m ，求实数m ，n 的值.B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，圆C 的方程是ρ＝4cos θ.在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t(t 是参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数m的值．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c ).【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)已知正四棱锥SABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为ξ.(1) 求概率P(ξ＝2)；(2) 求ξ的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，PA与平面PBC所成角的正弦值为21 7.(1) 求侧棱PA的长；(2) 设E为AB的中点，若PA≥AB，求二面角BPCE的余弦值.2019届高三年级第一次模拟考试(三)(苏州)数学参考答案1. {3}2. －13. 254.536 5. 136. 37. 108. 23 9. 23 10. (x －5)2＋(y －2)2＝1711.11812. (－2，2－23) 13. 82－8 14. [0，1] 15. (1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC. 因为AB ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB.又AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1.又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1. (2) 如图，取AB 的中点G ，连结EG ，FG. 因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC.因为E 为A 1C 1的中点，所以EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE.16. (1) 在△ABC 中，因为2b cos A ＝2c －3a ， 所以由正弦定理得2sin B cos A ＝2sin C －3sin A. 因为在△ABC 中，sin C ＝sin (A ＋B)，所以2sin B cos A ＝2sin (A ＋B)－3sin A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ， 所以3sin A ＝2cos B sin A. 因为sin A ≠0，所以cos B ＝32. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(2) f(x)＝cos x ·(sin x ·cos π3＋cos x ·sin π3)－34＝12sin x cos x ＋32cos 2x －34 ＝14sin 2x ＋34(cos 2x ＋1)－34＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f(A)＝12sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3.因为B ＝π6，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，5π6，所以2A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π， 所以当2A ＋π3＝π2，即A ＝π12时，f(A)取最大值12.17. (1) 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，半焦距为c.因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c.又因为点A 到右准线的距离为6， 所以a ＋a 2c＝3a ＝6，解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知直线AB 的方程为y ＝32(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝32（x ＋2），x 24＋y23＝1，得x 2＋3x ＋2＝0， 解得x ＝－2或x ＝－1， 所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，32. 由(1)知右焦点F(1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－34(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝－34（x －1），x 24＋y23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137，所以点M 的坐标为(137，－914)．18. (1) 以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系．因为0<θ<π2，tan θ＝12，所以OP 的方程为y ＝12x.设P(2t ，t)，则由OP ＝5，得t ＝1，所以P(2，1)． 方法一：由题意得2m·PA ＝m·PB ， 所以BP ＝2PA ，所以点B 的纵坐标为3. 又点B 在直线y ＝x 上，所以B(3，3)， 所以AB ＝32PB ＝352，即点A ，B 之间的距离为352千米．方法二：由题意得2m·PA ＝m·PB ， 所以BP →＝2PA →.设A(a ，0)(a>0)，又点B 在射线y ＝x(x>0)上，所以可设B(b ，b)(b>0)．由BP →＝2PA →，得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝2（a －2），1－b ＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，所以A ⎝⎛⎭⎫32，0，B(3，3)， 所以AB ＝⎝⎛⎭⎫3－322＋32＝352，即点A ，B 之间的距离为352千米．(2) 方法一：设翻修总价为S 元，则S ＝n·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB)·n. 设h ＝OA ＋22OB ，要使S 最小，只需h 最小． 当AB ⊥x 轴时，A(2，0)，此时OA ＝2，OB ＝22， 所以h ＝OA ＋22OB ＝2＋8＝10；当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －2)＋1(k ≠0)， 令y ＝0，得点A 的横坐标为2－1k ，所以OA ＝2－1k.令y ＝x ，得点B 的横坐标为2k －1k －1. 因为2－1k >0且2k －1k －1>0，所以k<0或k>1，此时h ＝OA ＋22OB ＝2－1k ＋4（2k －1）k －1，h ′＝1k 2＋－4（k －1）2＝－（k ＋1）（3k －1）k 2（k －1）2.当k<0时，函数h 在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，0)上单调递增，所以h min ＝h|k ＝－1＝9<10，此时A(3，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32；当k>1时，h ＝2－1k ＋8（k －1）＋4k －1＝10＋4k －1－1k ＝10＋3k ＋1k （k －1）>10.综上所述，要使两段道路的翻修总价最少，点A 应位于距离O 点3千米处，点B 应位于距离O 点322千米处． 方法二：如图，作PM ∥OA 交OB 于点M ，交y 轴 于点Q ，作PN ∥OB 交OA 于点N. 因为P(2，1)，所以OQ ＝1.又因为∠BOQ ＝45°，所以QM ＝1，OM ＝2， 所以PM ＝1，PN ＝OM ＝ 2.由PM ∥OA ，PN ∥OB ，得2OB ＝PA AB ，1OA ＝PBAB ，所以2OB ＋1OA ＝PA AB ＋PBAB＝1.设翻修总价为S 元，则S ＝n·OA ＋22n ·OB ＝(OA ＋22OB)·n.设h ＝OA ＋22OB ＝(OA ＋22OB)·⎝⎛⎭⎫2OB ＋1OA ＝5＋2⎝⎛⎭⎫OA OB ＋2OB OA ≥9， 当且仅当OA ＝2OB 时取等号，此时OA ＝3，OB ＝322.所以要使两段道路的翻修总价最少，点A 应位于距离O 点3千米处，点B 应位于距离O 点322千米处．19. (1) 当a ＝b ＝1时，f(x)＝x 3＋x 2－4，f ′(x)＝3x 2＋2x. 令f′(x)>0，解得x>0或x<－23，所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(0，＋∞)． (2) 易知f′(x)＝3ax 2＋2bx. 令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝－2b3a.因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f ⎝⎛⎭⎫－2b3a ＝0. 当f(0)＝0时，代入得a ＝0，不合题意，舍去； 当f ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＝0时，代入得a ⎝⎛⎭⎫－2b 3a 3＋b ⎝⎛⎭⎫－2b3a 2－4a ＝0， 即－827⎝⎛⎭⎫b a 3＋49⎝⎛⎭⎫b a 3－4＝0，所以b a ＝3.(3) 当a ＝0时，f(x)＝bx 2.因为f(x)<ln x ，所以bx 2<ln x. 设g(x)＝ln x －bx 2，则g′(x)＝1x －2bx ＝1－2bx 2x(x>0)．当b ≤0时，g ′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－b ≥0，所以在区间(1，＋∞)上，g(x)＝ln x －bx 2≥0，不符合题意； 当b>0时，令g′(x)＝1－2bx 2x ＝0，得x ＝12b， 所以g(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，12b 上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫12b ，＋∞上单调递减， 所以g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12b ＝ln 12b －12. 要使g(x)>0有解，首先要满足ln 12b －12>0， 解得b<12e.①因为g(1)＝－b<0，g(e 12)＝12－b e >0，所以要使f(x)<ln x 的解集(m ，n)中只有一个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln 2－4b>0，ln 3－9b ≤0，解得ln 39≤b<ln 24.②设h(x)＝ln xx ，则h′(x)＝1－ln x x2，当x ∈(0，e )时，h ′(x)>0，h(x)单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减， 所以h(x)max ＝h(e )＝1e >h(2)＝ln 22，所以12e >ln 24，所以由①和②得ln 39≤b<ln 24，即实数b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫ln 39，ln 24.20. (1) 假设{a n }是“回归数列”，则对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使得a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a k 成立，即2n ＋4·2n －2·2n ＝2k ，即3＝2k －n ，此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以假设不成立，所以{a n }不是“回归数列”．(2) ①因为b n <b n ＋1，所以b n ＋1<b n ＋2，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1>b n 且b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋2－(b n ＋1－b n )<b n ＋2. 又{b n }为“回归数列”，所以b n ＋b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1，即b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1， 所以数列{b n }为等差数列．因为b 3＝3，b 9＝9，所以b n ＝n (n ∈N *)．②因为b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t ，所以t ＝3s ＋1＋s 2－13s ＋s 2－1.(*)因为t －3＝2（1－s 2）3s ＋s 2－1≤0，所以t ≤3.又因为t ∈N *，所以t ＝1，2，3.当t ＝1时，(*)式整理为3s ＝0，不成立； 当t ＝2时，(*)式整理为s 2－13s ＝1.设c n ＝n 2－13n (n ∈N *)，则c n ＋1－c n ＝2n （1－n ）＋33n ＋1， 所以当n ＝1时，c n <c n ＋1; 当n ≥2时，c n >c n ＋1， 所以(c n )max ＝c 2＝13<1，所以s 无解．当t ＝3时，(*)式整理为s 2＝1. 因为s ∈N *，所以s ＝1.综上所述，使得等式成立的所有的正整数s ，t 的值是s ＝1，t ＝3.21. A ．由题意知由MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 723⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －7－2m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn －1402n －6－14＋3m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧mn －14＝1，2n －6＝0，－14＋3m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝3.B. 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.由⎩⎨⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y －m ＝0.因为直线l 与圆C 相切， 所以|2－m |2＝2，解得m ＝2±2 2.C. 因为(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c2a ＋b＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ) ≥12(a ＋b ×c 2a ＋b＋b ＋c ×a 2b ＋c＋c ＋a ×b 2c ＋a)2＝12(a ＋b ＋c )2，所以a 2b ＋c ＋b 2a ＋c ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．22. (1) 当ξ＝2时，所取三点是底面ABCD 的四个顶点中的任意三个， 所以P(ξ＝2)＝C 34C 35＝410＝25.(2) ξ的所有可能取值为2，5，22，则 P (ξ＝2)＝25；P (ξ＝5)＝4C 35＝25；P (ξ＝22)＝2C 35＝15， 所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望为E(ξ)＝2×25＋5×25＋22×15＝22＋25＋45.23. (1) 取AD 的中点O ，BC 的中点M ，连结OP ，OM.因为PA ＝PD ，所以OP ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以OP ⊥平面ABCD ， 所以OP ⊥OA ，OP ⊥OM.又四边形ABCD 是正方形，所以OA ⊥OM. 以O 为坐标原点，OA ，OM ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz(如图)．因为AD ＝AB ＝1，所以A ⎝⎛⎭⎫12，0，0，D ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，1，0，C ⎝⎛⎭⎫－12，1，0. 设P(0，0，c)(c>0)，则PB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－c ，CB →＝(1，0，0)．设平面PBC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧12x 1＋y 1－cz 1＝0，x 1＝0，取z 1＝1，则y 1＝c ，从而平面PBC 的一个法向量为n 1＝(0，c ，1)． 设P A 与平面PBC 所成的角为α. 因为P A →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－c ， 所以sin α＝|cos 〈P A →，n 1〉|＝|P A →·n 1||P A →|·|n 1|＝c 14＋c 2·c 2＋1＝217. 解得c 2＝34或c 2＝13，所以P A ＝1或P A ＝216.(2) 因为P A ≥AB ＝1，所以P A ＝1，c ＝32. 由(1)知平面PBC 的一个法向量为n 1＝(0，c ，1)＝⎝⎛⎭⎫0，32，1. 设平面PCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 因为CE →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，PC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，－32， 所以⎩⎨⎧x －12y ＝0，－12x ＋y －32z ＝0，取x ＝1，则y ＝2，z ＝3，即平面PCE 的一个法向量为n 2＝(1，2，3)． 设二面角BPCE 的平面角为β， 则|cos β|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2372×22＝427.根据图形得β为锐角，所以二面角BPCE 的余弦值为427.。