苏州市2020届高三零模数学试卷及答案

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09数学试题I一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1. 函数y ＝x －1的定义域为A ，函数y ＝lg(2－x)的定义域为B ，则A∩B ＝____________． 答案：[1，2)解析：易知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，A∩B ＝[1，2)．2. 已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋bi(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________． 答案：－7解析：∵ 2i ＝－2i ，∴ (1＋2i)2＝(1－2i)2＝－3－4i ，∴ a ＝－3，b ＝－4，a ＋b ＝－7. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29－y 2m＝1的一个焦点为(5，0)，则实数m ＝________． 答案：16解析：由题知a 2＋b 2＝9＋m ＝25，∴ m ＝16.4. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为________．(第4题)答案：32解析：[6，10]内的频数为100×0.08×4＝32.5. “φ＝π2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称”的__________条件． 答案：充分不必要解析：当φ＝π2时，y ＝sin(x ＋π2)＝cosx 为偶函数，当y ＝sin(x ＋φ)为偶函数时，φ＝kπ＋π2， 6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝________．答案：39解析：由题设知a 1＝－1，a 2＋a 3＝7，从而d ＝3，从而a 6＝－1＋5d ＝14，S 6＝(－1＋14)×62＝39. 7. 函数y ＝1lnx(x≥e)的值域是________． 答案：(0，1]解析：y ＝1lnx为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1] 8. 执行下面的程序图，那么输出n 的值为____________．答案：6解析：由题知流程图执行如下：第1次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，S ＝1，第2次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3，S ＝3，第3次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4，S ＝7，第4次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，S ＝15， 第5次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，S ＝31.停止输出n ＝6. (第8题)9. 在1，2，3，4四个数中随机地抽取1个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取1个数记为b ，则“a b是整数”的概率为____________． 答案：13解析：由题设可求出基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．其中a b 整数的个数为4，从而所求概率为43×4＝13. 10. 已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD ＝2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥CABD 的体积为____________． 答案：233解析：如下图所示：作BC 中点E ，连结DE 、AE ，则易知BC ⊥平面ADE ， 从而V CABD ＝13S △ADE ·BC ，又DE ＝3，AE ＝7， 从而V CABD ＝13×12×2×3×2＝233. 11. 直线y ＝kx 与曲线y ＝2e x 相切，则实数k ＝__________．答案：2e解析：设切点(x 0，2ex 0)，则切线方程为y ＝2ex 0(x －x 0)＋2ex 0，又切线过点(0，0)，得x 0＝1，从而切点为(1，2e)，从而k ＝2e.12. 已知平面内四点O 、A 、B 、C 满足OA →·BC →＝2，OB →·CA →＝3，则OC →·AB →＝____________．答案：－5解析：由题设知OA →(OC →－OB →)＝2，OB →(OA →－OC →)＝3，两式相加得OA →·OC →－OB →·OC →＝5，即OC →·(OA →－OB →)＝5，从而OC →·AB →＝－5.13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________．答案：14解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14. 14. 已知x 、y ∈R ，满足2≤y≤4－x ，x≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1的最大值为____________． 答案：103解析：由题易知x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1＝（x ＋1）2＋（y －1）2（x ＋1）（y －1）＝x ＋1y －1＋y －1x ＋1，令t ＝y －1x ＋1，则由线性规划知t ∈[13，1]，从而t ＋1t ∈[2，103]． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tanB tanA ＋1＝2c a. (1) 求角B ；(2) 若cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝13，求sinA 的值． 解：(1) 由tanB tanA ＋1＝2c a 及正弦定理，得sinBcosA cosBsinA ＋1＝2sinC sinA，(2分) 所以sinBcosA ＋cosBsinA cosBsinA ＝2sinC sinA， 即sin （A ＋B ）cosBsinA ＝2sinC sinA ，则sinC cosBsinA ＝2sinC sinA . 因为在△ABC 中，sinA≠0，sinC≠0，所以cosB ＝12.(5分) 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(7分) (2) 因为0＜C ＜2π3， 所以π6＜C ＋π6＜5π6. 因为cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝13， 所以sin(C ＋π6)＝223.(10分) 所以sinA ＝sin(B ＋C)＝sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋π6(12分) ＝sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6cos π6＋cos(C ＋π6)sin π6＝26＋16.(14分) 16.(本小题满分14分)如图，正四棱锥P-ABCD 的高为PO ，PO ＝AB ＝2.E 、F 分别是棱PB 、CD 的中点，Q 是棱PC 上的点．(1) 求证：EF ∥平面PAD ；(2) 若PC ⊥平面QDB ，求PQ.(1) 证明：取PA 中点M ，连结ME 、MD ，由条件得，ME ∥AB ，DF ∥AB ，∴ ME ∥DF.且ME ＝12AB ，DF ＝12AB ， ∴ ME ＝DF.(2分)∴ 四边形EFDM 是平行四边形．则EF ∥MD.(4分)又MD Ì平面PAD ，EF Ë平面PAD ，∴ EF ∥平面PAD.(7分)(2) 解：连结OQ.∵ PC ⊥平面QDB ，OQ Ì平面QDB ，∴ PC ⊥OQ.(9分)∵ PO ⊥平面ABCD ，OC Ì平面ABCD ，∴ PO ⊥OC.由正方形ABCD 的边长为2，得OC ＝ 2.∵ PO ＝2，∴ PC ＝PO 2＋OC 2＝ 6.(11分)则PQ ＝PO·sin ∠CPO ＝2·26＝233.(14分)， 所以FH ＝|3x 0－4|x 20＋⎝⎛⎭⎫1－x 204－23x 0＋3 ＝|3x 0－4|34x 20－23x 0＋4＝|3x 0－4|⎝⎛⎭⎫32x 0－22＝2.(1417. (本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A(A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足f(n)＝9A a ＋bt n，其中t ＝2－23，a 、b 为常数，n ∈N ，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．(1) 栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；(2) 该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．解：(1) 由题意知f(0)＝A ，f(3)＝3A.所以⎩⎪⎨⎪⎧9A a ＋b ＝A ，9A a ＋14b＝3A ，解得a ＝1，b ＝8.(4分) 所以f(n)＝9A 1＋8×t n ，其中t ＝2－23. 令f(n)＝8A ，得9A 1＋8×t n＝8A ， 解得t n ＝164， 即2－2n 3＝164，所以n ＝9. 所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．(6分)(2) 由(1)知f(n)＝9A 1＋8×t n .第n 年的增长高度为Δ＝f(n)－f(n －1)＝9A 1＋8×t n －9A 1＋8×t n －1.(9分) 所以Δ＝72At n －1（1－t ）（1＋8t n ）（1＋8t n －1）＝72At n －1（1－t ）1＋8t n －1（t ＋1）＋64t 2n －1＝72A （1－t ）1t n －1＋64t n ＋8（t ＋1）(12分) ≤72A （1－t ）264t n ×1t n －1＋8（t ＋1） ＝72A （1－t ）8（1＋t ）2＝9A （1－t ）1＋t. 当且仅当64t n ＝1tn －1，即2－2（2n －1）3＝164时取等号，此时n ＝5. 所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．(14分18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b.过点P 作两条互相垂直的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于另两点M 、N.(1) 求椭圆C 的方程； (2) 若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；(3) 若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．解：(1) 由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4. 所以椭圆方程为x 24＋3y 24＝1.(3分) (2) 设l 1方程为y ＋1＝k(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k(k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0.因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2.(5分) 当k≠0时，用－1k代替k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3.(7分) 将k ＝－1代入，得M(－2，0)，N(1，1)．因为P(－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22，所以△PMN 的面积为12×2×22＝2.(9分) (3) (解法1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0，从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.(12分)若x 1＋x 2＝0，则N(－x 1，－y 1)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2.因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1，所以M(－1，1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1, 1)．所以直线MN 的方程为y ＝－x.(14分)若x 1－x 2＝0，则N(x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1.因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1， 经检验x ＝－12满足条件，x ＝－1不满足条件． 综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12.(16分) (解法2)由(2)知，当k≠0时，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以3k 2＋2k －11＋3k 2＝－－k 2－2k ＋3k 2＋3， 化简得4k(k 2－4k －1)＝0，解得k ＝2±5.(12分)若k ＝2＋5，则M ⎝⎛⎭⎫－12，52，N(－12，－52)，此时直线MN 的方程为x ＝－12. 若k ＝2－5，则M ⎝⎛⎭⎫－12，－52，N(－12，52)，此时直线MN 的方程为x ＝－12.(14分) 当k ＝0时，M(1，－1)，N(－1，1)，满足题意，此时直线MN 的方程为x ＋y ＝0.综上，直线MN 的方程为x ＝－12或x ＋y ＝0.(16分) 19. (本小题满分16分)若存在实数x 0与正数a ，使x 0＋a ，x 0－a 均在函数f(x)的定义域内，且f(x 0＋a)＝f(x 0－a)成立，则称“函数f(x)在x ＝x 0处存在长度为a 的对称点”．(1) 设f(x)＝x 3－3x 2＋2x －1，问是否存在正数a ，使“函数f(x)在x ＝1处存在长度为a 的对称点”？试说明理由；(2) 设g(x)＝x ＋b x(x ＞0)，若对于任意x 0∈(3，4)，总存在正数a ，使得“函数g(x)在x ＝x 0处存在长度为a 的对称点”，求b 的取值范围．解：(1) 由f(1＋a)＝f(1－a)，得(1＋a)3－3(1＋a)2＋2(1＋a)－1＝(1－a)3－3(1－a)2＋2(1－a)－1.(2分)即a(a ＋1)(a －1)＝0.(6分)∵ a ＞0，∴ a ＝1.(8分)(2) 令g(x)＝c ，得x ＋b x＝c ，即x 2－cx ＋b ＝0.(*)(10分) 由题意，方程(*)必须有两正根，且两根的算术平均值为x 0.∴ c ＞0，b ＞0，c 2－4b ＞0，c 2＝x 0.(14分) 则0＜b ＜x 20对一切x 0∈(3，4)均成立．∴ b 的取值范围是(0，9]．(16分)20. (本小题满分16分)已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1(n ∈N *)．(1) 若λ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围. 解：(1) λ＝0时，S n ＋1＝a n ＋1a n S n ＋a n ＋1.∴ S n ＝a n ＋1a n S n .(2分) ∵ a n ＞0，∴ S n ＞0.∴ a n ＋1＝a n .∵ a 1＝1，∴ a n ＝1.(4分)(2) ∵ S n ＋1＝a n ＋1a n S n＋(λ·3n ＋1)a n ＋1，a n ＞0， ∴ S n ＋1a n ＋1－S n a n ＝λ·3n ＋1.(5分) 则S 2a 2－S 1a 1＝λ·3＋1，S 3a 3－S 2a 2＝λ·32＋1，…，S n a n －S n －1a n －1＝λ·3n －1＋1(n≥2)． 相加，得S n a n－1＝λ·(3＋32＋…＋3n －1)＋n －1.则S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n≥2)．上式对n ＝1也成立， ∴ S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n ∈N *)． ③(7分) ∴ S n ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ＋1·a n ＋1(n ∈N *)． ④④－③，得a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ＋1·a n ＋1－⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n . 即⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ·a n ＋1＝(λ·3n －32＋n)·a n .(9分) ∵ λ≥0，∴ λ·3n －32＋n ＞0，λ·3n ＋1－32＋n ＞0. ∵ a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立， ∴ λ·3n －32＋n ＜12⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n 对一切n ∈N *恒成立．即λ＞2n 3n ＋3对一切n ∈N *恒成立．(12分) 记b n ＝2n 3n ＋3，则 b n －b n ＋1＝2n3n ＋3－2n ＋23n ＋1＋3＝（4n －2）3n －6（3n ＋3）（3n ＋1＋3）. 当n ＝1时，b n －b n ＋1＝0；当n≥2时，b n －b n ＋1＞0；∴ b 1＝b 2＝13是一切b n 中的最大项．(15分) 综上所述，λ的取值范围是λ＞13.(16分)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(5分)令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3. M 6β＝M 6(4α1－3α2) ＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.(10分)B ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cosα，y ＝2sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．解：(1) 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(5分)(2) 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入上述方程，得圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(10分)D. 解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，(5分) 由题设，得|a 2－2a|<3，解得a ∈(－1，3)．(10分) C ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知：a≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m －n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x －1＋a －(x －a)|＝|2a －1|.(8分)又a≥2，故|2a －1|≥3.所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.(10分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率； (2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．解：(1) 设甲同学在5次投篮中，恰有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则 P ＝P(x ＝4)＋P(x ＝5)(2分) ＝C 45⎝⎛⎭⎫234⎝⎛⎭⎫1－231＋C 55(23)5(1－23)0＝112243.(4分) (2) 由题意ξ＝1，2，3，4，5. P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，P(ξ＝3)＝13×13×23＝227，P(ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫133×23＝281， P(ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫134＝181. ξ的分布列为(8分)ξ的数学期望Eξ＝1×23＋2×29＋3×227＋4×281＋5×181＝12181.(10分)23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n 2；当n 为奇数时，m ＝n －12.(1) 证明：当n ∈N *，n≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．(1) 证明：当n 为奇数时，n ＋1为偶数，n －1为偶数，∵ S n ＋1＝C 0n ＋1－C 1n ＋…＋(－1)n ＋12Cn ＋12n ＋12，S n ＝C 0n －C 1n －1＋…＋(－1)n －12Cn －12n ＋12，S n －1＝C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12，∴ S n ＋1－S n ＝(C 0n ＋1－C 0n )－(C 1n －C 1n －1)＋…＋(－1)n －12(C n ＋12－1n ＋12＋1－C n －12n ＋12)＋(－1)n ＋12C n ＋12n ＋12(2分)＝－[C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12]＝－S n －1.∴ 当n 为奇数时，S n ＋1＝S n －S n －1成立．(5分)同理可证，当n 为偶数时，S n ＋1＝S n －S n －1也成立．(6分)(2) 解：由S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，得 2 014S ＝C 02 014－2 0142 013C 12 013＋2 0142 012C 22 012－2 0142 011C 32 011＋…－2 0141 007C 1 0071 007＝C 02 014－⎝⎛⎭⎫C 12 013＋12 013C 12 013＋(C 22 012＋22 012C 22 012)－(C 32 011＋32 011C 32 011)＋…－⎝⎛⎭⎫C 1 0071 007＋1 0071 007C 1 0071 007 ＝(C 02 014－C 12 013＋C 22 012－…－C 1 0071 007)－(C 02 012－C 12 011＋C 22 010－…＋C 1 0061 006)＝S 2 014－S 2 012.(9分)又由S n ＋1＝S n －S n －1，得S n ＋6＝S n ，所以S 2 014－S 2 012＝S 4－S 2＝－1，S ＝－12 014.(10分)。

2020年江苏苏州高三一模数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知为虚数单位，复数，则 ．2.已知集合，，若中有且只有一个元素，则实数的值为 ．3.已知一组数据，，，，．则该组数据的方差是 ．4.在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则．5.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 ．6.右图是一个算法的流程图，则输出的的值为 ．开始，输出结束7.“直线：与直线：平行”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列的前项和为， ，，则 ．9.已知点是曲线上一动点，当曲线在处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．10.已知，，则 ．11.如图在矩形中，为边的中点，，．分别以，为圆心，为半径作圆弧，，将两圆弧，及边所围成的平面图形（阴影部分）绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．12.在中，，若角的最大值为，则实数的值是 ．13.若函数（且）在定义域上的值域是，则的取值范围是 ．14.如图，在中，，是的中点，在边上，，与交于点，若，则面积的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分）（1）（2）15.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．求角．已知，，求的面积．（1）（2）16.如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为正三角形，平面平面，为的中点．证明：平面．证明：．（1）（2）17.某地为改善旅游环境进行景点改造，如图，将两条平行观光道和，通过一段抛物线形状的栈道连通（道路不计宽度），和所在直线的距离为（百米），对岸堤岸线，平行于观光道且与相距（百米）（其中为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于，且交于），在堤岸线上的，两处建造建筑物，其中，到的距离为（百米），且恰在的正对岸（即）．在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道的方程．游客（视为点）在栈道的何处时，观测的视角（）最大？请在（）的坐标系中，写出观测点的坐标．18.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点，，分别为椭圆的左、右顶点，过左焦点的直线交椭圆于，两点（其中在（1）（2）轴上方）．xyO求椭圆的标准方程．若与的面积比为，求直线的方程．（1）（2）19.已知函数的导函数．若函数存在极值，求的取值范围．设函数（其中为自然对数的底数），对任意，若关于的不等式在上恒成立，求正整数的取值集合．（1）12（2）20.已知数列，，数列满足，．若，，求数列的前项和．若数列为等差数列，且对任意，恒成立．当数列为等差数列，求证：数列，的公差相等．数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．为奇数为偶数三、选做题（本大题共3小题，选做2道，共20分）21.已知矩阵，，且二阶矩阵满足，求的特征值及属于各特征值的一个特征向量．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程．求曲线和曲线的公共点的极坐标．23.已知正数，，满足（为常数），且的最小值为，求实数的值．【答案】解析:，∴．四、必做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）（1）（2）24.某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满元，有一次抽奖机会（即满元可以抽奖一次，满元可以抽奖两次，依次类推）．抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为，，，，的个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如，，），则获得一等奖，奖金元；若摸得的小球编号一次比一次小（如，，1），则获得二等奖，奖金元；其余情况获得三等奖，奖金元．某人抽奖一次，求其获奖金额的概率分布和数学期望．赵四购物恰好满元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为元的概率．（1）（2）25.已知抛物线（为大于的质数）的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点．抛物线在点，处的切线相交于点．记四边形的面积为．求点的轨迹方程．当点的横坐标为整数时，是否为整数？若是，请求出所有满足条件的的值；若不是，请说明理由．1.故答案为：．2.解析:∵，，又∵中有且只有一个元素，∴，．故答案为：．3.解析:∵数据，，，，的平均数，∴该组数据的方差为．故该组数据的方差为．4.解析:双曲线，，，双曲线的渐近线方程为，∴，∴．故答案为：．5.解析:“两人下成和棋”与“乙获胜”两事件互斥，由互斥事件的概率公式可得，乙不输的概率．解析:第一次循环，，，，，不满足，；第二次循环，，，，，不满足，；第三次循环，，，，，满足退出循环，输出．故答案为．解析:∵直线 ：与直线 ：平行，∴ ，解得，易知，“”为“”的必要不充分条件，∴“直线：与直线：平行”是“”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件．解析:数列为等差数列，∴，，∴，，．解得．∴．6.必要不充分7.8.9.解析:由曲线可知，，，∴ 切线斜率：，当且仅当，即时等号成立，当时，，即切点坐标为，∴ 切线方程为，即．10.解析:∵、，∴，，∵，∴，∴，∴，．11.解析:图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉两个半径为的半球，两个半球的体积为： .圆柱的底面半径为，高为，∴圆柱的体积为，∴该几何体的体积为故答案为：．12.解析:∵，∴，即，化简得，则，当且仅当，即时等号成立，又角的最大值为，则的最小值为，∴，化简得，即，解得或，又，故的值是．13.解析:时，在单调递增，则，即，∴，令，，令，，在上单调递增，上单调递减，，∴，∴，当时，在单调递减，则，即，又∵，∴，而，∴无解，同理无解，∴不成立，综上．14.解析:如图，建系，则，，，设，则：，，则，，：，则，（1）（2）（1），，，．化简得，的最大值为．解析:在中，由正弦定理得．因为，所以，从而，所以，所以．因为，，，所以，，，所以的面积．解析:连结交于，因为为平行四边形，所以为的中点．连结，在中，因为是的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．（1）．（2）．15.（1）证明见解析．（2）证明见解析．16.（2）（1）（2）因为为正三角形，是的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面．因为平面，所以，又因为，且，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．解析:以为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意可知 ，，设抛物线方程为：（）,则，解得：，所以栈道的方程为，（）．过点作于点，设，其中，（1），（）．（2），观测的视角最大．17.则，设 ， ，则，所以，，所以，令，则，当且仅当，即时取等号，因为且，所以，因为在上单调递减，所以当最大时，最大，即最大，此时，，即，所以点的坐标为，观测的视角最大．（1）（2）（1）解析:由椭圆，则，将代入椭圆，，解得：，，故椭圆的方程．由（）可知，，则，则，，设，，，，∴，，由，则即①，由题可知直线斜率不为，可设直线方程为，联立得，∴，∴②，③，由①②③可解得或，经检验，当时，在轴下方不符，∴，即直线方程为：即．解析:，所以，所以，①当时，即或时，恒成立，所以在上递增，故无极值；②当时，即时，有两个根，（不妨设）.（1）．（2）．18.（1）．（2）．19.（2）（1）列表如下：极大值极小值满足题意．综上所述，．因为，所以对任意，在上恒成立，即对任意，在上恒成立，所以在上恒成立，即对任意恒成立．记，所以，因为，所以在上单调递增且连续不间断，而，，所以在上存在惟一零点.极小值所以，其中， 且，所以，所以，又因为，所以由得对任意恒成立，由题意知，因为，且，所以，，即正整数的取值集合为．解析:因为，，（1）．12（2）证明见解析．数列不能为等比数列．20.12（2）则，．所有．设数列的公差为，的公差为，因为数列是递增数列，所以，，即，，所以，，由（Ⅰ）得：对恒成立，所以，由（Ⅱ）得：对恒成立，所以，所以，即数列，的公差相等．数列不能为等比数列，若存在数列为等比数列，设数列的公差为，数列的公比为，因为数列是递增数列，所以，所以．又因为，则当时，，所以必存在正奇数，有，所以，即，所以，即．因为，所以．记，则，因为，，所以对，有成立．设，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，为奇数为偶数（Ⅰ）（Ⅱ）（1）所以对，有，从而时，，因为，所以，，所以，即．从而对，．因为，所以，所以，所以对，．而上式不成立，所以数列不能为等比数列．解析:设，则，所以，解得，所以，令的特征多项式，得，所以的特征值为，设属于特征值的特征向量为，则由，得，所以，所以，所以的属于特征值的一个特征向量为．解析:因为，所以，所以，即，所以曲线的直角坐标方程为．的特征值为，属于特征值的一个特征向量为．21.（1）．（2）极坐标为．22.（2）（1）曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为，由，得，所以（舍）或，故曲线和曲线的公共点的直角坐标为，其极坐标为．（注：答案不唯一）解析:由柯西不等式．当且仅当时取等号，此时，，，解得，，，所以的最小值为，因为的最小值为，所以，又因为，所以解得．解析:个球中摸三个球情况有，其中编号一次比一次大的情况有，．23.（1）的概率分布列如下：数学期望为．（2）．24.（2）（1）（2）编号一次比一次小的情况有．∴一等奖概率为，二等奖概率为，三等奖概率为，X的可能取值为，，．∴；；．分布列如下：∴期望．赵四抽奖三次，获得奖金为的情况共两种，第一种：一次一等奖，两次三等奖，这种概率；第二种：三次二等奖，这种概率；∴总共概率．解析:由题意得，直线的方程为：，设，，由，消去整理得，所以，由，可得，所以在点的切线方程为：，即①，同理可得在处的切线方程为：②，联立①②可得，即，所以点的轨迹方程为（且为大于的质数）．设的中点为，连接，，（1）（且为大于的质数）．（2）不是整数；证明见解析．25.由，，得，所以，因为，所以，所以，因为，所以平行于轴，所以，又因为，所以≌，所以，所以．又因为，且，所以．由题意得为整数，设，所以．假设为整数，则，即，所以，所以只能为整数．设，则，所以，所以或或或或．因为，，所以只能，但当时，，与矛盾，不符合题意．综上所述，不是整数．21。

江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．集合A ＝{}2230x x x --≤，B ＝{}1x x >，A B ＝A ．(1，3)B ．(1，3]C ．[﹣1，+∞)D ．(1，+∞)2．复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面表示的点所在的象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．421(2)x x -的展开式中x 的系数为 A ．﹣32 B ．32 C ．﹣8 D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.9，则P(﹣2＜ξ＜1)为A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.65．在△ABC 中，AB AC 2AD +=，AE 2DE 0+=，若EB AB AC x y =+，则A ．y ＝2xB ．y ＝﹣2xC ．x ＝2yD ．x ＝﹣2y6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3Q log 100成正比，当v ＝1m /s 时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为A ．1800B ．2700C ．7290D ．81007．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于4πB ．点C 到面ABC 1D 1的距离为2C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1—BB 1C 18．设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则12a a a b ++ A ．有最小值为4 B ．有最小值为221+C ．有最小值为143D ．无最小值 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．A ，B 是不在平面α内的任意两点，则A ．在α内存在直线与直线AB 异面 B ．在α内存在直线与直线AB 相交C ．存在过直线AB 的平面与α垂直D ．在α内存在直线与直线AB 平行10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3，33-)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足()R y f t == sin()t ωϕ+(t ≥0，ω＞0，2πϕ<)，则下列叙述正确的是 A ．3πϕ=-B ．当t ∈(0，60]时，函数()y f t =单调递增C ．当t ∈(0，60]时，()f t 的最大值为33D ．当t ＝100时，PA 6=11．把方程1x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有A ．()y f x =的图象不经过第三象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()g x f x x =+不存在零点12．数列{}n a 为等比数列A ．{}1n n a a ++为等比数列B ．{}1n n a a +为等比数列C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项和三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知tan 2α=，则cos(2)2πα+＝ ．14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为 ．15．直线40kx y ++=将圆C ：2220x y y +-=分割成两段圆弧之比为3：1，则k ＝ ．16．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现在以下三个条件：①(2c ＋b)cosA ＋acosB ＝0；②sin 2B ＋sin 2C ﹣sin 2A ＋sinBsinC ＝0；③a 2﹣b 2﹣c 2S ．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量m ＝(4sin x ，，n ＝(cos x ，sin 2x )，函数()23f x m n =⋅-，在△ABC。

江苏省苏州市吴中区2020届高三高考数学模拟试卷一、填空题（共14题；共14分）1.已知，为虚数单位，且，则=________.2.已知集合，，则________．3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为________．4.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________.5.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为________.6.函数的定义域为________.7.已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.8.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为________．9.公比为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________．10.在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为________11.将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为________．12.己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是________.13.如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为________.14.记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是________.二、解答题（共11题；共100分）15.已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD ，E ，F分别是棱AB，PC的中点.求证：（1）EF //平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD ．17.如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程.（2）当时，求的面积.18.如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．（1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？19.已知函数，.（1）当时，①求函数在点处的切线方程；②比较与的大小;（2）当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．20.若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“ 数列”？说明理由；（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．21.已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值．22.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．23.已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.24.如图，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱与所成的角的大小；（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.25.设，，其中．（1）当时，求的值；（2）对，证明：恒为定值．答案解析部分一、填空题1.【答案】42.【答案】{1}3.【答案】854.【答案】85.【答案】6.【答案】7.【答案】8.【答案】9.【答案】5610.【答案】11.【答案】12.【答案】[-4,0]13.【答案】814.【答案】二、解答题15.【答案】解：（I）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，又，即，∴，故16.【答案】（1）解：如图，取的中点，连接，，是棱的中点，底面是矩形，，且，又，分别是棱，的中点，，且，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面（2）解：，点是棱的中点，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面17.【答案】（1）解：因为直线过点，且斜率.所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）.所以，所以所示椭圆的方程为（2）解：由(1)得，椭圆的右准线方程为，离心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，，因为直线的斜率，所以，因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积18.【答案】（1）解：以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系．设，则，，．因为，所以直线的方程为，即，因为圆与相切，所以，即，从而得，在直线的方程中，令，得，所以，所以当时，，设锐角满足，则，所以关于的函数是，定义域是（2）解：要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小．令，得，设锐角，满足，得．列表：减极小值增所以时，，所以建造此通道的最少费用至少为百万元．19.【答案】（1）解：①当时，，，，又，切线方程为，即；②令，则，在上单调递减．又，当时，，即；当时，，即；当时，，即（2）证明：由题意，，而，令，解得．，，在上有唯一零点．当时，，在上单调递减，当，时，，在，上单调递增．．在恒成立，且有唯一解，，即，消去，得，即．令，则，在上恒成立，在上单调递减，又，，．在上单调递增，20.【答案】（1）解：当时，又，所以．所以当时，，而，所以时，不是数列中的项，故数列不是为“ 数列”（2）解：因为数列是公差为的等差数列，所以．因为数列为“ 数列”所以任意，存在，使得，即有．①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，（3）解：由题意，所以，又因为，且数列为“ 数列”，所以，即，所以数列为等差数列．设数列的公差为，则有，由，得，整理得，①．②若，取正整数，则当时，，与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．同样根据②式可得，所以．又，所以．经检验当时，①②两式对应任意恒成立，所以数列的通项公式为21.【答案】（1）解：设，则，，即，解得，则（2）解：设矩阵的特征多项式为，可得，令，可得或22.【答案】解：把直线方程化为普通方程为．将圆化为普通方程为，即．圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.23.【答案】解：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“ ”，故常数的取值范围是24.【答案】（1）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，.，故与棱所成的角是（2）解：为棱中点，设，则.设平面的法向量为，，则，故而平面的法向量是，则，解得，即为棱中点，其坐标为25.【答案】（1）解：当时，，又，所以.（2）解：即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．。

2020届江苏省高三高考全真模拟考试（六）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答律无效.5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写楚,线条、符号等须加黑、加粗.A.必做题部分一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{1,0,2}A =-,{}0,1,2,3B =,则A B =______.【答案】{1,0,1,2,3}-【解析】根据并集的定义求解．【详解】由题意1,0,1{,2,}3A B =-．故答案为：{1,0,1,2,3}-．2.复数1z 2i i+=-（i 为虚数单位）实部为______. 【答案】15【解析】 由复数除法法则计算出z ,再由复数的定义得结论． 【详解】由已知1z 2i i +=-2(1)(2)2213(2)(2)555i i i i i i i i +++++===+-+,其实部为15． 故答案为：15． 3.某新媒体就我国提前进入“5G 移动通信技术”商用元年的欢迎程度进行调查,参加调查的总人数为1000其中持各种态度的人数如下表：该媒体为进一步了解被调查者的具体想法,打算从中抽取50人进行更为详细的调查,则应抽取持“很欢迎”态度的人数为______.【答案】36【解析】三种态度层次分明,采取分层抽样可得结论．【详解】应用采取分层抽样,抽取持“很欢迎”态度的人数为72050361000⨯=． 故答案为：36．4.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为______.【答案】8【解析】模拟程序运行,观察变量值的变化,即可得结论．【详解】程序运行,循环中变量值变化如下：2,2S i ==,满足循环条件；4,3S i ==,满足循环条件；6,4S i ==,满足循环条件；8,5S i ==,不满足循环条件,退出循环,输出8S =．。

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。

2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。

13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。

1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。

16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。

证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。

17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。

1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。

若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。

18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。

现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。

开始输出S结束i ≤8i ←3 N YS ←S +2i （第5题图）i ←i ＋2S ←4 江苏省苏州市某中学2020届高三数学第三次模拟考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{014}{2024}A B ==-，，，，，，，则A B = ．2．已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ． 3．抛物线216y x =的准线方程为 ．4．某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的250个行政村分成A B C D ，，，四组，对应的行政村个数分别为257510050，，，，若用分层抽样抽取50个行政村，则B组中应该抽取的行政村数为 ．5．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 ．6．中国古典乐器一般按“八音”分类，如图，在《周礼·春官·大师》中按乐器的制造材料对乐器分类，分别为“金、石、木、土、革、丝、匏、竹” 八音，其中“土、匏、竹”为吹奏乐器，“金、石、木、革”为打击乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“一音”，则不是吹奏乐器的概率为 ．7．已知函数2log (3)0,()302x x f x x x -<⎧=⎨-⎪⎩，，≥，若1()2f a =，则实数a 的值是 ．8．已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，若276a b +=，459a b +=，则63a b +的值是 ．9．已知12x x ，为函数()e sin x f x x =的两个极值点，则12||x x -的最小值为 ．10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1443AB AD AA ===，，，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)(4)16C x y +++=，若对于直线10x my ++= 上的任意一点P ，在圆C 上总存在Q 使π2PQC ∠=，则实数m 的取值范围为 ． 12．如图，在平行四边形ABCD 中，323AB AD BAD π==∠=，，，E 为BC 的中点，若线段DE 上存在一点M 满足1()3AM AB mAD m =+∈R ，则AM BD ⋅的值是 ． 13．在ABC △中，设角A B C ，，对应的边分别为a b c ，，，记ABC △的面积为S ，若tan 2tan A B =，则2Sa 的最大值为 ． 14．已知函数3()3 (0)f x x ax a =->，其图象记为曲线C ，曲线C 上存在异于原点的点0P ，使得曲线C 与其在0P 的切线交于另一点1P ，曲线C 与其在1P 的切线交于另一点2P ，若直线01P P 与直线02P P 的斜率之积小于9-，则a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）E CA BD M（第12题图）（第6题图）已知平面向量(2cos 1)θ=，a ，(13sin )θ=，b ． （1）若∥a b ，求sin 2θ的值；（2）若⊥a b ，求tan()4θπ+的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．已知PA AB =，D E ，分别为PB BC ，的中点．（1）求证：AD ⊥平面PBC ；（2）若点F 在线段AC 上，且12AF FC =，求证：AD ∥平面PEF ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222 1 (0)x y E a b a b +=>>：的左右焦点分别为1F 和2F，左准线方程为2x =-． （1）求椭圆E 的方程； （2）设不经过1F 的直线l 与椭圆相交于A B ，两点，直线11l AF BF ，，的斜率分别为12k k k ，，，且122k k k +=，求k 的取值范围．18．（本小题满分16分）（第16题图）如图，在一个圆心角为90︒，半径为10米的扇形草地上，需铺设一个直角三角形PQR 的花地，其中RQP ∠为直角，要求P R Q ，，三点分别落在线段BC AC ，和弧AB 上，且(0)PQ RQ λλ=>，PQR △的面积为S ．（1）当2λ=且QR AC ⊥时，求S 的值；（2）无论如何铺设，要求S 始终不小于20平方米，求λ的取值范围．CAR19．（本小题满分16分）已知在每一项均不为0的数列{}n a 中，13a =，且1n n nta pa a +=+（p t ，为常数，*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）当0t =时，求n S ；（2）当122p t ==，时，①求证：数列2lg 2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；②是否存在正整数m ，使得不等式2n S n m -<对任意*n ∈N 恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）定义：函数()f x 的导函数为()f x '，函数()f x '的导函数为()f x ''，我们称函数()f x ''称为函数()f x 的二阶导函数．已知2()e (3)x p x x =+，()e 2x q x ax =++． （1）求函数()p x 的二阶导函数；（2）已知定义在R 上的函数()g x 满足：对任意x ∈R ，()0g x ''>恒成立．P 为曲线()y g x =上的任意一点．求证：除点P 外，曲线()y g x =上每一点都在点P 处切线的上方； （3）试给出一个实数a 的值，使得曲线()y p x =与曲线()y q x =有且仅有一条公切线，并证明你的结论．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 2：矩阵与变换（本小题满分10分）求曲线221C x y +=：在矩阵21 11T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换作用下得到的曲线1C 的方程．B ．选修4 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的方程为22cos 3ρρθ=+，曲线2C 的方程为2()4x t t y t =+⎧⎨=-⎩，为参数，．（1）将1C 和2C 的方程化为直角坐标方程；（2）若P 和Q 分别为1C 和2C 上的动点，求PQ 的最小值．C ．选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知x y ，均为正实数，且有2x y >，求证：2224432x y xy x y++-≥+．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22 (0)C x py p =>：在点(1)P P y ，处切线的斜率为12，抛物线的准线与对称轴交于T ，直线PT 与抛物线交于另一点Q ． （1）求抛物线C 的方程；（2）设M 为抛物线C 上一点，且M 在P 与Q 之间运动，求MPQ △面积的最大值．23．（本小题满分10分） 集合01010{|1010101201}mmn m i i i A t t a a a a i m a n ===⋅+⋅++⋅===∑，其中或，，，，，，记集合n A 的元素个数为n P ． （1）求1234P P P P ，，，； （2）求证：41n P -能被3整除．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．{04}， 2 3．4x =- 4．15 5．34 6．587．48．129．π 10．4π11．34m >12．76- 13．3814．)+∞ 解答与提示：1．根据交集定义可知，{04}A B =，．2．由3i (3i)(1+i)12i 1i 2z ++===+-可知，||z = 3．4x =-．4．由题意7525050x=，所以15x =． 5．执行第一次循环105S i ==，；执行第二次循环207S i ==，；执行第三次循环349S i ==，，终止循环．所以34S =．6．由枚举法知从8音中任取不同1音共有8种不同的取法，不含吹奏乐器的有5种，由古典概型得58P =．7．0x <时，因为2()log 31f x >>，所以1()2f a =无解．从而要使1()2f a =，3122=，解得4a =．8．因为{}{}n n a b ，成等差数列，所以2763263745()()()()2()a b a b a a b b a b +++=+++=+，所以636()18a b ++=，得6312a b +=．9．()e (sin cos )sin()04x x f x x x x π'=++=，所以()4x k k π=π-∈Z ，所以12||x x -的最小值为π．10．分别以三种面上最大圆为圆柱的底面的圆柱体积为12129πππ，，，所以最大体积为12π，所以此圆柱与原长方体的体积比为12484ππ=． 11．由题意过P 总可以作圆C 的切线，所以圆C 与直线10x my ++=相离，4>，解得34m >． 12．因为1()(1)223AM AD DE AD DB AB AD AB AB mAD λλλλ=+=++=-+=+， 所以1213m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以157()()366AM BD AB AD AD AB ⋅=+⋅-=-．13．法一：由tan 2tan A B =角化边得22233a b c =+，所以223()()3b ca a+=，111sin 222S bc A bc bc ==故2212S bc a a =． 令22(),()b cm n a a==，则33m n +=，2S a =238S a =． 法二：不妨设2a =，则22312b c +=，以BC 为x 轴，BC 中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则(10)(10)B C -，，，． 设()A x y ，，由22312b c +=可得2219()24x y -+=，而2121244h S h a ⨯==（h 是顶点A 到底边BC 的高），所以max 32h =，所以21348S h a =≤．法三：在ABC △中，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ． 由tan 2tan A B =，得2BH AH =．设CH h AH x ==，，则2BH x =. 222133322(2)48x h xhS a x h xh ⋅⋅==+≤（当且仅当2x h =时取“=”）． 14．2()33f x x a '=-，设000111222(,())(,())(,())P x f x P x f x P x f x ，，， 则01320000(3)(33)()P P l y x ax x a x x --=--：，即2300(33)2y x a x x =--，联立23003(33)23y x a x x y x ax ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，，得102x x =-，同理21024x x x =-=，则32000(46412)P x x ax -，，0220213P P k x a =-， 又012033P P k x a =-，所以由02019P P P P k k ⋅<-，得2200(213)(33)9x a x a --<-，令200t x =>，则2278(1)0t at a -++<在(0)+∞，上有解，由0∆>得)a ∈+∞．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分） 解：（1）因为(2cos 1)θ=，a ，(13sin )θ=，b ，且∥a b ， 所以(2cos )(3sin )110θθ-⨯=． ···················· 3分 所以3sin21θ=，即1sin 23θ=． ··················· 5分 （2）因为(2cos 1)θ=，a ，(13sin )θ=，b ，且⊥a b ， 所以2cos 113sin 0θθ⋅+⋅=，即2cos 3sin θθ=-． ············· 8分 若cos 0θ=，则|sin |1θ=，不满足上式，舍去． ······ 10分所以cos 0θ≠，所以2tan 3θ=-， ·················· 12分所以21tan 113tan()241tan 51()3θθθ-+π++===---．··············· 14分 16．（本小题满分14分） 解：（1）因为BC ⊥平面PAB ，AD ⊂平面PAB ，所以BC AD ⊥． ······ 2分因为PA AB =，D 是PB 的中点，所以AD PB ⊥． ············ 4分 又因为PB BC B =，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AD ⊥平面PBC ． ···· 6分 （2）连结DC ，交PE 于点G ，连结FG DE ，．如图．因为D E ，分别是PB BC ，的中点，所以DE 为BPC △的中位线， ··········· 8分从而DEG CPG △△，可得12DG DE GC PC ==， ····10分 因为12AF FC =，所以AF DG FC GC=，所以AD FG ∥． ·· 12分 又因为FG ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，所以AD ∥平面PEF ． ··· 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）由2e =可知2c a =，又左准线方程为2x =-，即22a c-=-，联立解得2a =，1c =，椭圆方程为2212x y +=． ············4分 （2）①由（1）可知，12(10)(10)F F -，，，． 设直线1122()()l y kx m A x y B x y =+：，，，，， 联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，消y 得222(21)4(22)0k x kmx m +++-=， ······· 6分由韦达定理可知12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，A因为点A 和点B 不重合，且直线l 的斜率存在，所以222(4)4(21)(22)0km k m ∆=-+->，得2221k m +>． ········ 8分 因为1111y k x =+，2221yk x =+，由条件122k k k +=，可得2121211y y k x x =+++，即2121211kx m kx mk x x ++=+++， 化简得12()(2)0m k x x -++=． ··················· 10分 若m k =，则直线(1)l y k x =+：过点1F ，不符合条件，因此1220x x ++=，故242021km k -+=+，得12m k k=+， ········ 12分 代入2221k m +>可知22121()2k k k +>+，得212k >，所以2(()k ∈-∞+∞，，． ················· 14分 18．（本小题满分16分） 解：（1）以C 为原点，CB CA ，所在直线分别为x y ，轴建立平面直角坐标系． 因为2PQ RQ =且QR AC ⊥，所以点Q 在直线2y x =上．又因为点Q 在圆22100x y +=上，所以Q ． ·········· 3分此时112022S PQ RQ =⋅=⨯=， 所以当2λ=且QR AC ⊥时，S 的值为20平方米． ············ 6分（2）法一：过Q 作QM AC ⊥，垂足为M ，作QN BC ⊥，垂足为N ，所以RMQ PNQ △△，并且相似比为1:λ，所以:1:Q Q x y λ=， ······ 8分 又因为点Q 在圆22100x y +=上，代入计算得2222210010011Q Q x y λλλ==++，． · 10分 设QR x =，则QP x λ=，所以2122S QR QP x λ=⋅=， ····················· 12分当R 与M 重合时，2221001x QM λ==+，此时2x 取得最小值， 所以min 2210050=211S λλλλ=⋅++， ···················· 14分 要使S 始终不小于20平方米，则250201λλ+≥，解得122λ≤≤，所以λ的取值范围为1[2]2，． 答：要使S 始终不小于20平方米，λ的取值范围为1[2]2，． ······ 16分法二：过Q 作QM AC ⊥，垂足为M ，作QN BC ⊥，垂足为N ，所以RMQ PNQ △△，并且相似比为1:λ，所以:1:Q Q x y λ=， ······ 8分又因为点Q 在圆22100x y +=上，代入计算得2222210010011Q Q x y λλλ==++，． · 10分 设RQ 由MQ 逆时针转过的角RQM ∠的大小为α，当M 与A 重合时设1RQM α∠=，当P 与B 重合时设2RQM α∠=，则12ααα<<，此时cos MQRQ α=，所以222100(1)cos RQ λα=+， ····· 12分所以222502(1)cos PQR S RQ λλλα==+△， ················ 14分所以min 250201S λλ=+≥，解得122λ≤≤，所以λ的取值范围是1[2]2，．答：要使S 始终不小于20平方米，λ的取值范围为1[2]2，． ······ 16分法三：以C 为原点，CB CA ，所在直线分别为x y ，轴建立平面直角坐标系． 设Q 点坐标为00()x y ，，①当QP 斜率不存在时，0QR x =，0QP y =，00y x λ=，又因为点Q 在圆22100x y += 上，代入计算得2021001x λ=+，20215021S x λλλ==+． ·············· 8分 ②当QP 斜率存在时，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为00()y k x x y =-+，令0y =，00y x x k =-，所以P 点坐标为00(0)y x k-，． 直线QR 的方程为001()y x x y k=--+，令0x =，00x y y k =+，所以R 点坐标为00()xy k+0，．因为(0)PQ RQ λλ=>，所以222PQ RQ λ=，所以22222200000000[][]y x x x y x y y k k λλ--+=++-（）（）， 整理得222002211(1)(1)y x k kλ+=+，所以22200y x λ=，又因为00x y λ，，都为正数，所以00y x λ=， ·························· 10分点Q 在圆22100x y +=上，代入计算得2021001x λ=+，2122S PQ QR QR λ=⋅=，又22220000021[()](1)x RQ x y y x k k=++-=+， 所以202222211100501(1)(1)(1)2211S x k k k λλλλλ=+=+=+++， ········ 12分20k >，所以211+1k >，所以2501S λλ>+． 由①②得2501S λλ+≥， ······················· 14分所以min 250201S λλ=+≥，解得122λ≤≤，所以λ的取值范围是1[2]2，．答：要使S 始终不小于20平方米，λ的取值范围为1[2]2，． ······ 16分法四：设CPR α∠=，QPR θ∠=，其中sin θ=cos θ=Q 到AC 边的距离为Q x ，到BC 边的距离为Q y .则sin()Q y PQ θα=⋅+sin()RQ λθα=⋅+， ··············· 8分 cos cos()Q x PR PQ αθα=-+cos cos()RQ αλθα=⋅-⋅+2cos RQ α=⋅-RQ =sin()RQ θα=⋅+，所以Q Q y x λ=． ·························· 10分以下同法三． 19．（本小题满分16分） 解：（1）当0t =时，1n n a pa +=，因为0n a ≠，所以0p ≠，所以数列{}n a 是以3为首项、p 为公比的等比数列． ·········· 2分当1p =时，13n S na n ==；当1p ≠时，1(1)3(1)11n n n a p p S p p--==--．综上所述，3 13(1)11n n n p S p p p=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩，，，． ·················· 4分（2）①当122p t ==，时，122n n n a a a +=+，所以22144(2)222n n n n n n a a a a a a +++++==，22144(2)222n n n n n na a a a a a +-+--==． 若存在*2k k ∈N ≥，，使得2k a =，则121222k k a a a --===，，，，与13a =矛盾．所以2n a ≠，所以21212(2)02(2)n n n n a a a a ++++=>--， ···············5分 所以21212(2)2lg lg 2lg 2(2)2n n nn n n a a a a a a +++++==---． ················ 7分 又因为112lglg502a a +=≠-，所以2lg 02n n a a +≠-，所以数列2lg 2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以lg5为首项、2为公比的等比数列． ·······8分 ②由①可知1122lg lg52lg52n n n n a a --+=⋅=-，所以12252n n n a a -+=-，所以11222(51)51n n n a --+=-． ······················· 10分由1242051n n a --=>-，得111212222511112551515n n n n n n a a ---+--==<--+≤，112(2)5n n a a +-<-， 所以当2n ≥时，12121111112(2)(2)(2)5555n n n n n a a a a -----<-<-<<-=， 13分所以12211112(2)(2)(2)1555n n n S n a a a --=-+-++-++++≤（当且仅当1n =时取“=”），所以11()5552(15)14415nn n S n ---=-<-≤， ··········· 15分 又因为121S m -=<，且*m ∈N ，所以m 的最小值为2． ········ 16分20．（本小题满分16分）解：（1）2()e (23)x p x x x '=++，2()e (45)x p x x x ''=++． ··········· 3分 （2）设00(())P x g x ，，则曲线()y g x =在点P 处的切线方程为000()()()y g x x x g x '=-+．设000()()[()()()]G x g x g x x x g x '=--+，则0()()()G x g x g x '''=-，()()0G x g x ''''=>． 所以()G x '在()-∞+∞，上递增．又000()()()0G x g x g x '''=-=， 所以当0x x <时，()0G x '<；当0x x >时，()0G x '>． 所以()G x 在0(]x -∞，递减，在0[)x +∞，递增．所以0x x x ∀∈≠R ，，0()()0G x G x >=．所以000()'()()()g x g x x x g x >-+． 所以除点P 外，曲线()y g x =上每一点都在点P 处切线的上方． ······ 8分（3）给出2a =，此时()e 22xq x x =++． 因为2'()e (23)x p x x x =++，所以(0)3p '=．又(0)3p =，所以曲线()y p x =在x ＝0处的切线为33y x =+．因为()e 2xq x '=+，所以(0)3q '=．又(0)3q =，所以曲线()y q x =在x ＝0处的切线为33y x =+．从而两曲线有一条公切线33y x =+． ················ 10分 下面证明它们只有这一条公切线．①先证明x ∀∈R ，()()p x q x ≥，当且仅当0x =时取“=”． 设()()()h x p x q x =-，则()()()h x p x q x '''=-，所以22()e (45)e =e (2)0xxxh x x x x ''=++-+≥，当且仅当2x =-时取“=”． 所以()h x '在(,)-∞+∞上递增．又(0)(0)(0)0h p q '''=-=， 所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>． 所以()h x 在(0]-∞，递减，在[0)+∞，递增．所以x ∀∈R ，()(0)0h x h =≥，当且仅当0x =时取“=”．所以x ∀∈R ，()()p x q x ≥，当且仅当0x =时取“=”． ········ 13分 ②再证明它们没有其它公切线．若它们还有一条公切线()y t x =，它与曲线()y p x =切于点11(())x p x ，，与曲线()y q x =切于点22(())x q x ，，显然12x x ≠，11()()p x t x =，22()()q x t x =．因为()e 0xq x ''=>，由（2）知x ∀∈R ，()()q x t x ≥，当且仅当2x x =时取“=”．因为12x x ≠，所以111()()()q x t x p x >=．又由①知11()()p x q x ≥，矛盾．故它们只有这一条公切线．综上，当2a =时，曲线()y p x =与曲线()y q x =有且仅有一条公切线． ·· 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．A ．选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分10分） 解：设曲线C 上任一点()P x y ，对应曲线1C 上的点111()P x y ，， 则1121 11x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得112x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，，所以11112x x y y y x =-⎧⎨=-⎩，， ········· 4分带入C 的方程，得221111()(2)1x y y x -+-=，即2211112651x x y y -+=．所以曲线1C 的方程为222651x xy y -+=． ·············· 10分B ．选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：（1）设()A x y ，为1C 上任一点，则有222x y ρ=+，cos x ρθ=， ······2分 所以由22cos 3ρρθ=+得2223x y x +=+，即22(1)4x y -+=， ······ 4分2()4x t t y t =+⎧⎨=-⎩，为参数，，消t 得60x y +-=． ··············· 6分 （2）圆心到直线的距离5222d ==， 所以PQ 的最小值为5222-．··················· 10分 C ．选修4 5：不等式选讲（本小题满分10分）证：因为0x >，0y >，20x y ->， ··················· 2分所以2222244(2)22x xy y x y x y x y-++=-+--， ············ 4分 2231111(2)3(2)32222x y x y x y x y x y x y=-++-⋅⋅=----≥， 当且仅当21x y -=时取等号，所以2224432x y xy x y ++-≥+． ····· 10分【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）由22x py =得212y x p =，1y x p '=， 所以当1x =时，112p =，得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =． ··················· 3分 （2）由抛物线C 的准线1y =-可知1(01)(1)4T P -，，，，直线PT 的方程为514y x =-， ···················· 5分代入24x y =得(44)Q ，，设2()4m M m ，，由条件可知14m <<，当MPQ △面积取最大值时，抛物线在M 处的切线平行于直线PT ，则524m =，52m =，所以525()216M ，，M 到直线PT9=，又||PQ =，所以max 127()232MPQ S ∆==． ········ 10分23．（本小题满分10分） 解：（1）1{1}A =，得11P =；2{112}A =，，得22P =； 3{1111221}A =，，，得33P =；4{111111212121122}A =，，，，，得45P =．所以12341235P P P P ====，，，． ··················· 3分 （2）由题意， 集合n A 中t 的各位数字之和为n ，对于2n A +中的每个数t ，各位数字之和为2n +，若t 的首位为1，则其余各位数字之和为1n +，总个数为1n P +；若t 的首位为2，则其余各位数字之和为n ，总个数为n P ，所以21n n n P P P ++=+． ······ 6分 下面用数学归纳法证明41n P -能被3整除． 1．当1n =时，33P =能被3整除； 2．假设n k =时，41k P -能被3整除；则当1n k =+时，434241414441232k k k k k k k P P P P P P P ++++-=+=+=+， 因为41k P -能被3整除，所以43k P +也能被3整除，所以当1n k =+时，结论成立综上可知，41n P -能被3整除． ··················· 10分。

2020届江苏省高三高考全真模拟考试（二）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页,均为非选择题（第1题~第20题共20题）．本卷满分为160分,考试时间为120分钟,考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4．作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答律无效．5．如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条符号等须加黑、加粗．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}1U x x =>,{}2A x x =>,则U A ________． 【答案】{}12x x <≤【解析】直接根据补集的定义进行计算,即可得答案； 【详解】{}1U x x =>,{}2A x x =>,∴12U A x x , 故答案为：12x x . 2.已知复数z 满足2020(1)i z i +=（i 为虚数单位）,则z 在复平面内对应的点位于第________象限．【答案】四【解析】根据复数的次幂运算和除法运算,化简复数,再根据复数的几何意义,即可得答案；【详解】20202(111)1i z i i z i -⇒==++=, ∴z 在复平面内对应的点位于第四象限,故答案为：四.3.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的方差为________ 【答案】53【解析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可. 【详解】该组数据平均数46587666x +++++==. 故方差()()()()()()222222214666568676666s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦ ()1540141063=+++++=. 故答案为：534.已知向量(1,2)a =, (2,1)b =-,则()a ab ⋅-的值为________．【答案】5【解析】利用向量数量积的坐标运算,即可得答案；【详解】(1,3)a b -=-, ∴()(1,2)(1,3)5a a b ⋅-=⋅-=, 故答案为：5.5.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为________．。

江苏省苏州市2020届高三数学上学期调研测试试题理（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：球的表面积公式S=4πr2，其中r为球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知i为虚数单位，复数的模为_____．【答案】【解析】，故答案为.2.已知集合，，且，则正整数______．【答案】2【解析】，，且，，故答案为.3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为_________．【答案】【解析】抛物线方程为，抛物线方程为的焦点坐标为，故答案为.4.苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为______．【答案】【解析】每分钟一班列车，其中列车在车站停留分钟，根据几何概型概率公式可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为，故答案为.5.已知，，则正实数______．【答案】【解析】，则，得，故答案为.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为_________．【答案】48【解析】输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，结束循环，输出，故答案为.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.已知变量x，y满足则的最大值为______．【答案】-9【解析】画出表示的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时，直线截距最小，最大，最大值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.已知等比数列的前n项和为，且，，则的值为____．【答案】【解析】设等比数列的公比为，则，即，得，，解得，故答案为.9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为______．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】【解析】该球形容器最小时，正四棱柱与球内接，此时球直径等于正四棱柱的对角线，即，球形容器的表面积为，故答案为.10.如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离____m．【答案】18【解析】试题分析：过作于,设,显然此时,记;将放入中．利用建立关于的关系;将放入中,利用建立关于的关系．最后根据的关系,解出其中的．如图，过作于，设∵,记,则，在中，, ∴,在中，, ∴,∴,解得：或（舍去）．所以建筑物和底部之间的距离为．考点：直角三角形中,正切表示边;正切和角公式．11.在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，设圆C的圆心为（m，n），半径为r，结合题意可得，解得m、n、r的值，代入圆的标准方程即可得答案．【详解】根据题意，设圆C的圆心为（m，n），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2，则有，解可得：m＝1，n＝﹣2，r，则圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝2，故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2＝2【点睛】本题考查圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心以及半径，属于基础题．12.已知正实数 a，b，c满足，，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【详解】由=1，可得，由，得，或，，，，故答案为.13.如图，△ABC为等腰三角形，，，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧上的一点，则的取值范围是______．【答案】【解析】以为原点，以的垂线平行线为轴，建立直角坐标系，由，，可得，可设，，，,故答案为.【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积以及向量的坐标表示、利用三角函数的有界性求范围，属于难题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据: ① 配方法（适合二次函数）；② 换元法（代数换元与三角换元）；③ 不等式法（注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”）；④ 三角函数法（注意恒等变形）；⑤ 图像法（根据图象的最高和最低点求解）；⑥ 函数单调性法求解（根据其单调性求凼数的取值范围即可），本题主要应用方法④解答的.14.已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为______．【答案】【解析】，设与平行的的切线的点为，则切线斜率为，切线方程为，则与，被直线与切线截得的线段长，就是被直线和曲线截得线段的最小值，因为取任何值时，被两平行线截得的线段长相等，所以令，可得，线段的最小值，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及最值问题以及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将被直线和曲线截得线段的最小值转化为，被直线和曲线截得线段的最小值，是解题的关键.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；（2）若，求函数的单调增区间．【答案】（1）取得最小值0，（2）单调增区间是和．【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，再根据余弦函数的性质可得当，即时，取得最小值；（2）令，解得，结合，分别令，可得函数在的单调增区间是和.试题解析：（1）．当，即时，取得最小值0．此时，取得最小值时自变量x的取值集合为．（2）因为，令，解得，又，令，，令，，所以函数在的单调增区间是和．【方法点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式、三角函数的图像与性质，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16.如图，在正方体中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点．（1）求证：EF∥平面ABHG；（2）求证：平面ABHG⊥平面CFED．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由是的中点，可得，从而可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）根据线面垂直的性质可得，根据相似三角形的性质可得，从而根据线面垂直的判定定理可得平面，进而根据面面垂直的判定定理可得结论.试题解析：（1）因为E，F是A1D1，B1C1的中点，所以，在正方体中，A1B1∥AB，所以．又平面ABHG，AB平面ABHG，所以EF∥平面ABHG，．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD 平面BB1C1C，又平面，所以．①设，△BCH≌△，所以，因为∠HBC+∠PHC=90，所以+∠PHC=90．所以，即．②由①②，又，DC，CF平面CFED，所以平面CFED．又平面ABHG，所以平面ABHG⊥平面CFED．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，属于中档题 . 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17.如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中锐角的正切值为）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C．已知船速为25km/h，车速为75km/h.（1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．【答案】（1），定义域为（2）17.68【解析】试题分析：（1）由轮船航行的方位角为，可得，，由直角三角形的性质及三角函数的定义可得，，所以，则由经到所用时间与的函数关系为，可得函数的定义域为，其中锐角的正切值为；（2）利用导数研究函数的单调性，可得在上递减，在上递增，（），所以可得时函数取得最小值，此时≈17.68.试题解析：（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以，，则，．．由A到P所用的时间为，由P到C所用的时间为，所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为．函数的定义域为，其中锐角的正切值为.（2）由（1），，，，令，解得，设θ0，使θ0减函数极小值增函数所以，当时函数f(θ)取得最小值，此时BP=≈17.68，答：在BC上选择距离B为17.68 处为登陆点，所用时间最少．18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．【答案】（1）（2）存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，结合，列出关于、、的方程组，求出、、即可得结果；（2）设过点的直线的方程为与椭圆交于,则整理得，根据韦达定理及平面向量数量积公式可将表示为的函数，消去可得，从而可得，存在以为直径的圆恒过定点，且定点的坐标为.试题解析：（1）由题意，故，又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，所以，解得，，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）当直线l的斜率为0时，令，则，此时以AB为直径的圆的方程为．当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为，联立解得，即两圆过点．猜想以AB为直径的圆恒过定点．对一般情况证明如下：设过点的直线l的方程为与椭圆C交于,则整理得，所以．因为，所以．所以存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.19.已知各项是正数的数列的前n项和为．（1）若（n N*，n≥2），且．①求数列的通项公式；②若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）数列是公比为q（q＞0， q1）的等比数列，且{a n}的前n项积．为．若存在正整数k，对任意n N*，使得为定值，求首项的值．【答案】（1）①②（2）【解析】试题分析：（1）①当时，由可得两式相减得，即，，数列为等差数列，可得，②由①知，，所以，可得对一切恒成立，记，，判断数列的单调性，求出最大项，从而可得结果；（2）设（），，两边取常用对数，．令，则数列是以为首项，为公差的等差数列，若为定值，令，化为.对恒成立，问题等价于，从而可得结果.试题解析：（1）①当时，由则两式相减得，即，当时，，即，解得或（舍），所以，即数列为等差数列，且首项，所以数列的通项公式为.②由①知，，所以，由题意可得对一切恒成立，记，则，，所以，，当时，，当时，，且，，，所以当时，取得最大值，所以实数的取值范围为.（2）由题意，设（），，两边取常用对数，．令，则数列是以为首项，为公差的等差数列，若为定值，令，则，即对恒成立，因为，问题等价于将代入，解得.因为，所以，所以，又故.20.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：．【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）时，,分段求出导函数，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，则，所以在区间上有解，等价于在区间上有解，设，对利用导数研究函数的单调性，结合函数图象及零点存在定理，即可得到符合题意的的取值范围即可；（3）先排除的情况，到，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，问题转化为解得，所以.试题解析：（1）当时，当时，，则，令，解得或（舍），所以时，，所以函数在区间上为减函数.当时，，，令，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）设，则，所以，由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解.记，则，令，因为，所以，故解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值.要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满足题意的实数a的取值范围为.（3）由题意，，当时，，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件矛盾，所以.令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，，则介于m，n之间，不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，由，，可得，故，又在上单调递减，且，所以．所以，同理．即解得，所以.三．【选做题】本题包括四大题，请选定其中两题．．．．，若多做，则．．．．．．，并在相应的答题区．．．．．．．．域内作答按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.如图，，与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，于点D，于点E，于点F.求证：.【答案】见解析.【解析】试题分析：连根据同弧上的圆周角与弦切角相等，可得. 再由，，可得，从而得.同理，，又，，因此，故，从而可得，即.试题解析：连PB，PC，因为分别为同弧BP上的圆周角和弦切角，所以. 因为，，所以△PDB∽△PFC，故.同理，，又，，所以△PFB∽△PEC，故.所以，即.22.选修4-2：矩阵与变换已知，，求．【答案】【解析】试题分析：矩阵的特征多项式为，令，解得，解得属于λ1的一个特征向量为，属于λ2的一个特征向量为．令，即，所以解得，从而可得结果.试题解析：矩阵的特征多项式为，令，解得，解得属于λ1的一个特征向量为，属于λ2的一个特征向量为．令，即，所以解得．所以．23.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【答案】12.【解析】试题分析：（1）先根据极坐标与直角坐标的互化公式得到的直角坐标方程，利用代入法将直线的参数方程转化为普通方程，利用点到直线距离公式求得三角形的高，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据韦达定理及直线参数方程的几何意义可求得，从而根据三角形面积公式可得结果.试题解析：由曲线C的极坐标方程是，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x．由直线l的参数方程 (t为参数)，得，所以直线l的普通方程为．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以，因为原点到直线的距离，所以△AOB的面积是．24.选修4-5：不等式选讲已知a，b，c∈R，，若对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【答案】【解析】试题分析：（1）根据柯西不等式可得，对一切实数a，b，c恒成立，等价于，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：因为a，b，c∈R，，由柯西不等式得，因为对一切实数a，b，c恒成立，所以．当时，，即；当时，不成立；当时，，即；综上，实数x的取值范围为．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB BP2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于。

江苏省2020届高三数学教学质量调研试题理一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}(3)0x x x -<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A B ＝ ．答案：{1，2} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{}(3)0x x x -<， 所以A ＝(0，3)，又B ＝{﹣1，0，1，2，3}， 所以A B ＝{1，2}．2．已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空）． 答案：充分必要考点：常用的逻辑用语，充要条件解析：当a ＝1时，两直线平行；当两直线平行时，a ＝1，故“a ＝1”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的充要条件． 3．函数y =的定义域为 ．答案：(1，2]考点：函数的定义域解析：由题意得：12log (1)010x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩，则21x x ≤⎧⎨>⎩，故原函数的定义域为(1，2]．4．若不等式210ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[0，4)考点：一元二次不等式解析：当a ＝0时，1＞0符合题意； 当2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，综上所述，则实数a 的取值范围为[0，4)．5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143x y -=的焦点到渐近线的距离是 ．考点：双曲线的标准方程及性质解析：因为双曲线22221x y a b -=的焦点到渐近线的距离是b ，故双曲线22143x y -=的焦点到渐6．设变量x 、y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则23z x y =+的最大值为 ．答案：18考点：线性规划解析：由题意，图中阴影部分即为可行域，设图中的两条直线的交点为A(4，3)，显然，当位于可行域中A 点时，23z x y =+的值最大，即z max ＝2×3＋3×4＝18．7．若5cos 26sin()04παα++=，α∈(2π，π)，则sin2α＝ ． 答案：﹣1考点：三角恒等变换 解析：∵5cos 26sin()04παα++=∴225(cos sin )6cos )02αααα-+⨯+=化简得：(sin cos )[5(cos sin )0αααα+-+= 当34πα=时，sin2α＝﹣1；当5(cos sin )αα-+0，即cos sin αα-=则181sin 225α-=，所以7sin 225α= 而α∈(2π，π)，2α∈(π，2π)，所以sin 2α＜0，可得7sin 225α=（舍）综上所述，sin2α＝﹣1． 8．将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移56π个单位长度后关于原点对称，则ϕ＝ ． 答案：3π-考点：三角函数的图像与性质解析：因为函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移56π个单位长度后关于原点对称 即函数55sin[2()]sin(2)63y x x ππϕϕ=-+=-+是奇函数 所以53k πϕπ-+=，k Z ∈ 则53k πϕπ=+，k Z ∈ 因为2πϕ<，求得ϕ＝3π-． 9．已知点F 是椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点，A 为右顶点，点P 是椭圆上一点，PF ⊥x轴，若PF ＝1AF 4，则该椭圆的离心率为 ． 答案：34考点：椭圆的离心率解析：∵点P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，∴PF ＝2b a∵PF ＝1AF 4∴2b a ＝1()4a c +将222b ac =-代入上式，并化简得：22430c ac a +-= 等式两边同时÷2a 得：2430e e +-=，解得34e =（负值已舍去） 综上所述，该椭圆的离心率为34．10．设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式2(21)()0f x f x -+≤的解集为 ．答案：[﹣1，12] 考点：函数的奇偶性与单调性 解析：∵()2()xx f x ee xf x --=-+=-，∴()f x 是奇函数又∵()20x xf x e e -'=+-≥，∴()f x 是单调增函数∵2(21)()0f x f x -+≤，则2(21)()()f x f x f x -≤-=- ∴221x x -≤-，解得﹣1≤x ≤12，故不等式的解集为[﹣1，12]． 11．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆C ：22(2)(2)4x y -+-=的弦，且AB＝存在线段AB 的中点P ，使得点P 关于x 轴对称的点Q 在直线30kx y ++=上，则实数k 的取值范围是 ． 答案：[43-，0] 考点：直线与圆解析：根据AB 是圆C ：22(2)(2)4x y -+-=的弦，且AB＝AB 的中点P 满足CP ＝1，即点P 在以C(2，2)为圆心，1为半径为圆上，由于点P 关于x 轴对称的点为Q ，则动点Q 在以(2，﹣2)为圆心，1为半径的圆上运动，又点Q 在直线30kx y ++=上，则(2，﹣2)到该直线的距离小于等于11≤，求得403k -≤≤，故实数k 的取值范围是[43-，0]． 12．已知a ，b R +∈，且(2)7a b b ++=，则32ab a b ++的最小值为 ． 答案：10考点：基本不等式解析：因为(2)7a b b ++=，则729211a b a a -==-++， 所以93272327141ab a b a b a b a b a a ++=--++=++=++++410≥= 当且仅当2a =，1b =时取“＝”． 故32ab a b ++的最小值为10．13．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点A(α，sin α)(0＜α＜2π)，且直线l 与函数()y f x =的图象交于点B(β，sin β)，若α﹣β＝π，则tan α的值为 ．答案：2π 考点：利用导数研究函数的切线，诱导公式，同角三角函数关系式解析：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以在点A 处切线斜率为cos α，由题意可得：sin sin cos αβααβ-=-，又α﹣β＝π，则β＝α﹣π所以sin sin()cos ααπαπ--=，化简得：2sin cos ααπ=，故tan α＝2π． 14．若函数()1xx af x e-=-在x ∈[﹣2，+∞)有三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[212e -，﹣1) 考点：函数与方程解析：要使函数()1xx af x e -=-在x ∈[﹣2，+∞)有三个零点 则方程1xx ae--＝0在x ∈[﹣2，+∞)有三个不相等的实数根 即函数y x a =-与函数xy e =在x ∈[﹣2，+∞)有三个不同的交点 当y x a =-与函数xy e =相切时，求得a ＝﹣1，则要使数y x a =-与函数xy e =在x ∈[﹣2，+∞)有三个不同的交点，需满足：2(2)1a e a -⎧--≥⎨<-⎩，解得2121a e -≤<-．故实数a 的取值范围是[212e -，﹣1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ﹣b )sinA ＝(b ＋c )(sinC ﹣sinB)．（1）求角C 的值；（2）若cos(B ＋6π)＝13，求sinA ．16．（本题满分14分）已知函数22164()2()f x x a x x x=+--，x ∈[1，2]． （1）求函数()f x 的最小值()g a ；（2）对于（1）中的()g a ，若不等式2()212g a a at <++对于任意a ∈(﹣3，0)恒成立，求实数t 的取值范围．17．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一条准线方程为3x =右焦点0)，圆O ：222x y b +=，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P 且与椭圆相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△OAB 的面积为7，求直线l 的斜率．18．（本题满分16分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，)，右焦点F 到右准线和左顶点的距离相等，经过点F 的直线l 交椭圆于点M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是直线l 上在椭圆外的一点，且PM ·PN ＝PF 2，证明：点P 在定直线上．19．（本题满分16分）某市在精准扶贫和生态文明建设的专项工作中，为改善农村生态环境，建设美丽乡村，开展农村生活用水排污管道“村村通”．已知排污管道外径为1米，当两条管道并行经过一块农田时，如图，要求两根管道最近距离不小于0.25米，埋设的最小覆土厚度（路面至管顶）不低于0.5米．埋设管道前先挖一条横截面为等腰梯形的沟渠，且管道所在的两圆分别与两腰相切．设∠BAD＝α．（1）为了减少对农田的损毁，则当α为何值时，挖掘的土方量最少？（2）水管用吊车放入渠底前需了解吊绳的长度，在（1）的条件下计算O1B长度．20．（本题满分16分）已知：函数()1ln f x x bx =+-，21()1g x x=-． （1）求函数()g x 在点(1，0)处的切线方程； （2）求函数()f x 在(0，1]上的最大值；（3）当b ＝0时，试讨论函数()()()1h x f x a g x =-⋅-的零点个数．附加题（每题10分，共40分）21(A)．已知线性变换T 1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换T 2：3x xy y'=⎧⎨'=⎩对应的矩阵为N ． （1）写出矩阵M 、N ；（2）若直线210x y +-=先经过T 1变换，再经过T 2变换后的曲线方程．21(B)．已知曲线C 的参数方程为sin 2cos x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，直线l 过点P(0，1)．（1）求曲线C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．22．为迎接国庆汇演，学校拟对参演的班级进行奖励性加分表彰，每选中一个节目，其班级量化考核积分加3分．某班级准备了三个文娱节目，这三个节目被选中的概率分别为12，13，14，且每个节目是否被选中是相互独立的． （1）求该班级被加分的概率；（2）求该班级获得奖励性积分ξ的分布列与数学期望．23．已知抛物线E ：24y x ，过点Q(2，0)作直线与抛物线E 交于A ，B 两点，点P 是抛物线上异于A ，B 两点的一动点，直线PA ，PB 与直线x ＝﹣2交于M ，N 两点． （1）证明：M ，N 两点的纵坐标之积为定值； （2）求△MNQ 面积的最小值．。

江苏省2020届高三第三次调研测试1. 已知集合” ={一1,0,2,3}, A = {0,3},则C Z M= A ・2. 已知复数z =(i 是虚数单位)是纯虚数•则实数a 的值为 ▲・1 + 31---------3. 右图是一个算法流程图・若输岀y 的值为4,则输入*的值为 ▲・4. 已知一组数据6, 6, 9, x, y 的平均数是8,且= 90,则该组数据的方差 为▲.5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球.从 中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲・6.已知函数f(x) = \x2；2Xt“左①则不等式f(x) >f(-x)的解集为 ▲一疋 一 2x,x<0,»7. 已知{①}是等比数列，前畀项和为S”.若@-冬=4, 5=16,则S,的值为 ▲& 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线4-4 = 1(“>0">0)的右准线与两条渐近线分别交于A,B / lr 两点.若△川阳的而积为晋，则该双曲线的离心率为 ▲.9. 已知直角梯形個S 中，AB// CD, ABA.BC,月灰3 cm, BOX cm, CX2 cm.将此直角梯形绕曲边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 A cm\10. 在平而直角坐标系x6>y 中，若曲线y = sin2x 与y = |tan.r12. 如图，有一壁画，最髙点A 处离地而6 m,最低点3处离地而m.若从离地髙2 m 的C 处观赏它，则离墙▲ m 时,视角8最大.13. C 知函数 f(x) = x 2 -2x + 3a , ^(x) = —|-r ・若对任意 e [0,3] t 总存在x 2 e [2,3],使得 |/(xj| Wg(xJ)•X 1成立，则实数d 的值为▲・值为 ▲ ・11.如图，正六边形 中，若 7L D = AAC^^AE (2, “ e R ),则人+ “的值 为▲・ (第11题)(第12題)在倚，兀)上交点的横坐标为a ,贝ijsin2a 的(第3题)14 •在平而四边形個S 中，ZBAD = 90。

江苏省苏州市吴中区2020届高三模拟考试数学试题一、填空题：1.已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则x y +=_____.『答案』4『解析』利用复数相等，可知由21,1x y -==有4x y +=．2.已知集合{1,2,4}A =，{}2|20B x x x =-<，则AB =__________．『答案』{1} 『解析』{|02}B x x =<<，{1,2,4}A =，∴{1}A B ⋂=.故『答案』为：{1}.3.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______．『答案』85『解析』所有的数为：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9个数，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7个数， 平均分为78828484868893857++++++=，故『答案』为85．4.执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是_______.『答案』8『解析』输入13y =，若6y x =，则1326x =>，不合题意 若5y x =+，则1358x =-=，满足题意 本题正确结果：85.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.『答案』13『解析』甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有246=种，甲乙在同一个公司有两种可能， 故概率为2163P ==， 故『答案』为13．6.函数()f x =_____________. 『答案』1|05x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭『解析』由题意可得，20210xlg x⎧>⎪⎪⎨⎪-⎪⎩， 解可得，105x<， 故『答案』为1|05x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．7.已知双曲线221412x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为___________.『答案』32『解析』双曲线221412x y -=的右准线2414a x c ===，渐近线y =，双曲线221412x y -=的右准线与渐近线的交点(1,，交点在抛物线22y px =上， 可得：32p =， 解得32p =． 故『答案』为32．8.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60︒，侧面积为__________．『解析』如图所示，正四棱锥P ABCD -，O 为底面的中心，点M 为AB 的中点，则60PAO ∠=，设AB a ，∴2OA a =，∴PA =，∴2PM ==，∴14()22a a ⨯⋅=⇒=，∴2PO a ==，∴2133V a PO =⨯⨯=.故『答案』为：3.9.公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，4250S S -=，则63S S -的值为__________．『答案』56『解析』22a =，4250S S -=，∴1142112,1,(1)(1)5,2,11a q a a q a q q q q =⎧=⎧⎪⇒--⎨⎨==⎩⎪--⎩ ∴3456345622256S S a a a -=++=++=.故『答案』为：56.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1C x y +-=，圆22:(6C x y '++=．直线:3l y kx =+与圆C 相切，且与圆C '相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为_________『解析』直线:3l y kx =+与圆C 相切，C 圆心为(0,1)1=，得k =当3y =+时，C '到直线的距离92d =>，不成立，当3y =+时，l 与圆C '相交于A ，B 两点，C '到直线的距离32d =，||AB = 故『答案』11.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则函数()()y f x g x =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为__________．『答案』,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦『解析』函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π个单位得sin 2()sin(2)6)3(g x x x =ππ-=-，∴1()()sin 2sin(2)sin 22sin(2)3223y f x g x x x x x x π-π=-=-=+=+，40,2,2333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故『答案』为：2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 12.己知函数||()(21)x f x x =-，若关于x 的不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-对任意的[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是______.『答案』[]4,0-『解析』函数()f x 的定义域为R ，且||||()(21)(21)()x x f x x x f x --=--=--=-，∴函数()f x 为奇函数，当0x >时，函数()(21)x f x x =-，显然此时函数()f x 为增函数，∴函数()f x 为定义在R 上的增函数，∴不等式2(22)(3)0f x x a f ax --+-即为2223x x a ax ---，2(2)230x a x a ∴+---在[]1,3x ∈上恒成立，∴1223093(2)230a a a a +---⎧⎨+---⎩，解得40a -．故『答案』为[]4,0-．13.如图，己知半圆O 的直径8AB =，点P 是弦AC （包含端点A ，C ）上的动点，点Q 在弧BC 上．若OAC ∆是等边三角形，且满足·0OQ OP =，则·OP BQ 的最小值为___________.『答案』8『解析』以O 为原点建立平面坐标系如图所示：则(4,0)A -，(4,0)B ，(2C -，，设(04)AP m m =，则1(42P m -)，∴1(42OP m =-)，(4,0)OB =，0OQ OP =，∴()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-，显然当m 取得最大值4时，OP BQ 取得最小值8． 故『答案』为：8．14.记实数12,,,n x x x 中的最大数为{}12max ,,,n x x x ，最小数为{}12min ,,,n x x x .已知实数1x y 且三数能构成三角形的三边长，若11max ,,min ,,x x t y y x y x y ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则t 的取值范围是 .『答案』『解析』显然，又，①当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而②当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而综上所述，t 的取值范围是．二、解答题：15.已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量2(cos ,2cos 1)2Cm B =-，(,2)n c b a =-且0m n ⋅=．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为6a b +=，求c ．解：（1）∵()cos ,cos m B C =，(),2n c b a =-，0m n ⋅=， ∴()cos 2cos 0c B b a C +-=，∴()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，即sin 2sin cos A A C = ，又∵sin 0A ≠，∴1cos 2C =， 又∵()0,C π∈，∴3C π=．（2）∵1sin 2ABC S ab C ∆==8ab =， 又2222cos c a b ab C =+-，即()223a b ab c +-=，∴212c =，故c =．16.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，且P A =AD ，E ， F 分别是棱AB ， PC 的中点.求证：（1） EF //平面P AD ； （2）平面PCE ⊥平面PCD.证明：（1）如图，取PD 的中点G ，连接AG ，FG ，E 是棱AB 的中点，底面ABCD 是矩形， //AE CD ∴，且12AE CD =，又F ，G 分别是棱PC ，PD 中点，//FG CD ∴，且12FG AC =， //AE FG ∴，且AE FG =， ∴四边形AEFG 为平行四边形，//EF AG ∴，又EF ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，//EF ∴平面PAD ；（2）PA AD =，点G 是棱PD 的中点，AG PD ∴⊥，又//EF AG ，EF PD ∴⊥，的PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，PA CD∴⊥，底面ABCD是矩形，AD CD∴⊥，PA⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，且PA AD A=，CD 平面PAD，又AG⊂平面PAD，CD AG∴⊥，//FE AG，CD EF∴⊥，又CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，且CD PD D=，EF∴⊥平面PCD，又EF⊂平面PCE，∴平面PCD⊥平面PCE．17.如图,设点2(1,0)F为椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点，圆222:(),C x a y a-+=过2F且斜率为(0)k k>的直线l交圆C于,A B两点，交椭圆E于点,P Q两点，已知当k=AB=（1）求椭圆E的方程.（2）当2103PF =时，求PQC ∆的面积. 解：（1）为直线l 过点()21,0F，且斜率k =所以直线l的方程为)1y x =-0y -=，所以圆心(),0C a 到直线l 的距离为d =，又因为AB =C 的半径为a ，所以2222AB d a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()223164a a -+=， 解之得，3a =或9a =-（舍去）. 所以2228b a c =-=，所以所示椭圆E 的方程为22198x y += .（2）由（1）得，椭圆的右准线方程为:9m x =，离心率13c e a ==， 则点P 到右准线的距离为21031013PF d e===， 所以910P x -=，即1P x =，把1P x =-代入椭圆方程22198x y +=得，83P y =±，因为直线l 斜率0k >，所以83P y =-，81,3P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭因为直线l 经过()21,0F 和81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为()413y x =-， 联立方程组()2241,31,98y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23470x x --=， 的解得1x =-或73x =， 所以716,39Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以PQC ∆的面积()21116840222939Q P S CF y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭. 18.如图为某大江的一段支流，岸线1l 与2l 近似满足1l ∥2l ，宽度为7km ．圆O 为江中的一个半径为2km 的小岛，小镇A 位于岸线1l 上，且满足岸线1l OA ⊥，3OA km =．现计划建造一条自小镇A 经小岛O 至对岸2l 的水上通道ABC （图中粗线部分折线段，B 在A 右侧），为保护小岛，BC 段设计成与圆O 相切．设02ABC ππθθ⎛⎫∠=-<< ⎪⎝⎭．（1）试将通道ABC 的长L 表示成θ的函数，并指出定义域；（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？ 解：以A 为原点，直线1l 为x 轴建立如图所示的直角坐标系．设(0)AB a a =>，则(,0)B a ，(0,3)O ，2:7l y =． 因为02ABC ππθθ⎛⎫∠=-<<⎪⎝⎭，所以直线BC 的方程为tan ()y x a θ=⋅-， 即tan tan 0x y a θθ⋅--=，因为圆O 与BC2=，即3cos sin 2cos cos a θθθθ+=，从而得23cos sin a θθ-=，在直线BC 方程中，令7y =，得77cos tan sin C x a a θθθ=+=+， 所以17cos 7cos sin sin B C BC x θθθθ=-=⋅=， 所以793cos sin sin L AB BC a θθθ-=+=+= 当0a =时，2cos 3θ=，设锐角0θ满足02cos 3θ=，则02πθθ<<， 所以L 关于θ的函数是93cos ()sin L θθθ-=，定义域是0,2πθ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即L 最小．20223sin (93cos )cos 39cos ()sin sin 2L θθθθπθθθθθ---⎛⎫'==<< ⎪⎝⎭令()0L θ'=，得1cos 3θ=，设锐角1θ，满足112cos 33θ=<，得10,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．列表：所以1θθ=时，1min 119393cos [()]sin L θθθ-⨯-===的少为19.已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+-. （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点()()1,1A f 处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小;（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x ，且()g x 有唯一零点，证明：34a <． 解：（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1()2f x x'=-，()11f '=-， 又(1,2)A ，∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=； ②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m=-=---=-+，则222222(1)()20m m h m m m m -+'=--=-<， ()h m ∴在(0,)+∞上单调递减．又()10h =，∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m>；当1m =时，()0h m =，即1()()f m f m =；当1m 时，()0h m <，即1()()f m f m<．证明：（2）由题意，21240x lnx ax +--，而222(21)()24x ax g x x a x x--'=--=，令()0g x '=，解得x a =±．0a >，∴1a +>，()g x ∴'在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增．0()()min g x g x ∴=．()0g x 在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即00200022401240x a x x lnx ax ⎧--=⎪⎨⎪+--=⎩， 消去a ，得200000212(2)0x lnx x x x +---=， 即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--， 0()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，又()120h =>， ()22210h ln =--<， 012x ∴<<．0011()2a x x =-在(1,2)上单调递增， 34a ∴<． 20.若数列{}n a 满足：对于任意*n ∈N ，12n n n a a a +++-均为数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和242n S n n =-，*n ∈N ，试判断数列{}n a 是否为“T 数列”？说明理由；（2）若公差为d 的等差数列{}n a 为“T 数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{}n a 为“T 数列”，11a =，且对于任意*n ∈N ，均有2211n n n n a a a a ++<-<，求数列{}n a 的通项公式．解：（1）当2n ≥时，221424(1)2(1)46n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-+又112412a S ===⨯-，所以46n a n =-+．所以12464104n n n a a a n n +++-=-++=- 当1n =时，126n n n a a a +++-=，而2n a ≤，所以1n =时，12n n n a a a +++-不是数列{}n a 中的项，故数列{}n a 不是为“T 数列” （2）因为数列T 是公差为d 的等差数列， 所以121(1)||n n n a a a a n d d +++-=+-+． 因为数列{}n a 为“T 数列”所以任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得1(1)||m a n d d a +-+=，即有()||m n d d -=． ①若0d ≥，则只需*1m n =+∈N ，使得()||m n d d -=，从而得12n n n a a a +++-是数列{}n a 中的项．②若0d <，则1m n =-．此时，当1n =时，0m =不为正整数，所以0d <不符合题意．综上，0d ≥．（3）由题意1n n a a +<，所以1221n n n n n n a a a a a a +++++-=+-，又因为()21212n n n n n n n n a a a a a a a a +++++<+-=--<，且数列{}n a 为“T 数列”， 所以211n n n n a a a a ++++-=，即212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 为等差数列． 设数列{}n a 的公差为(0)t t >，则有1(1)n a n t =+-，由2211n n n n a a a a ++<-<，得1(1)[2(21)]1n t t n t nt +-<+-<+，整理得()22231n t t t t ->-+，①()22221n t t t t ->--．②若220t t -<，取正整数202312t t N t t-+>-， 则当0n N >时，()()22202231n t t t t N t t -<-<-+，与①式对应任意*n ∈N 恒成立相矛盾，因此220t t -≥． 同样根据②式可得220t t -≥，所以220t t -=．又0t >，所以12t =． 经检验当12t =时，①②两式对应任意*n ∈N 恒成立， 所以数列{}n a 的通项公式为111(1)22n n a n +=+-=． 第二卷时间：30分钟 总分：40分[选修4-2：矩阵与变换] 21.已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则194122a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1924122324a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得233()(3)(24)676244f λλλλλλ-==---=-+-，令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． [选修4-4：坐标系与参数方程]22.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:(12x t l t y t=+⎧⎨=-⎩为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．解：直线12:(12x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），转换为直角坐标方程为20x y +-=．圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=转换为直角坐标方程为22220x y x y ++-=，转换为标准形式为22(1)(1)2x y ++-=，所以圆心(1,1)-到直线20x y +-=，的距离d r ===． 直线l 与圆C 相切． [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()f x =()g x =若存在实数x 使()()f x g x a +>成立，求实数a 的取值范围.解：存在实数x 使()()f x g x a +>成立，等价于()()f x g x +的最大值大于a ， 因为，由柯西不等式：()()213121464x x ≤+++-=，所以()()8f x g x +=≤，当且仅当10x =时取“=”， 故常数a 的取值范围是(),8-∞．24.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===.（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1P AB A --. 解（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,0,0,2,0,0,2,2,0,4,2C B A B ，()()1110,2,2,2,2,0AA BC B C ===-.1111cos ,28AA BC AA BC AA BC⋅===-⋅，故1AA 与棱BC 所成的角是3π. （2）P 为棱11B C 中点，设()1112,2,0B P B C λλλ==-，则()2,42,2P λλ-.设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，()2,42,2AP λλ=-，则1132002000x y z z xn AP y y n AB λ⎧++==-⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎪⎩⎩⎩，故()11,0,n λ=-而平面1ABA 的法向量是()21,0,0n =，则121212cos ,51n n n n n n ⋅===⋅+， 解得12λ=，即P 为棱11B C 中点，其坐标为()1,3,2P . 25.设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()nn m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n⋅，，的值； （2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．解：（1）当1m =时，()()()1100111,111111nn kkkk nn k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑， 又()1111n Q n C n +==+，， 所以()(),1,11P n Q n ⋅=.（2）()()0,1nkknk mP n m C m k==-+∑ ()()1111111()1n knk k n n k m m C C m k m k----==+-++-++∑ ()()111111111n nkk kk n n k k m m CC m k m k----===+-+-++∑∑ ()()1111,1nkk n k mP n m C m k--==-+-+∑ ()()01,1n k kn k m m P n m C n m k==-+-+∑()()1,,mP n m P n m n =-+即()(),1,nP n m P n m m n =-+， 由累乘可得()()()!!1,0,!n n m n m P n m P m n m C +==+，又(),nn m Q n m C +=，所以()(),,1P n m Q n m ⋅=． 即()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值1．。