【数学】广西名校高三毕业班第二次大联考(理)

桂林市 崇左市 防城港市2021 -2021学年下学期高三年级||第二次联合模拟考试数学试卷 (理科 )第|一卷本卷须知：第|一卷共12小题 ,每题5分 ,共60分 .在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 .参考公式：如果事件A 、B 互斥 ,那么 球的外表积公式P (A +B ) =P (A ) +P (B )24R S π=如果事件A 、B 相互独立 ,那么其中R 表示球的半径 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么334R V π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径),2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n ⋯=-=-一、选择题 . (本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分 .在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 . )(1 )全集}5,4,3,2,1{=U ,集合}0)2)(1(|{=--=x x x A ,,1|{2+==a x x B }A a ∈ ,那么集合U (B A )等于A. {1,2,5}B. {3,4}C. {3,4,5}D. {1,2}(2 )复数z 满足i i i i z ,3)(+-=+为虚数单位 ,那么z 等于 A. i 21+B. i 21-C. i 21+-D. i 21--(3 )2)(-=x e x f ,R x ∈ ,那么函数)(x f y =的反函数为A. )1(ln 2->-=x x yB. )0(ln 2>-=x x yC. )1(ln 2->+=x x yD. )0(ln 2>+=x x y(4 )椭圆1162522=+y x ,其左顶点为A ,上顶点为B ,右准线为l ,那么直线AB 与直线l 的交点的纵坐标为A.425 B.332 C.524 D.217 (5 ){a n }为等差数列 ,其前n 项和为S n ,假设a 3 =6 ,S 3 =12 ,那么S 12等于 A. 288 B. 90C. 156D. 126(6 )条件p ：16241<<x ,条件q ：0))(2(<++a x x ,假设p 是q 的充分而不必要条件 ,那么a 的取值范围是A. ),4(+∞B. ),4[+∞-C. ]4,(--∞D. )4,(--∞(7 )圆622=+-y x x 经过双曲线12222=-by a x (a ,b>0 )的左顶点和右焦点 ,那么双曲线的离心率为A.23B. 2C.3D.332 (8 )在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中 ,AB =BC =2 ,AA 1 =1 ,那么BC 1与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为A.510 B.55 C.1053 D.103 (9 )52)1)(32(x x x a +++的展开式中一次项x 的系数为3- ,那么x 5的系数为 A. 40B. 41C. 39D. 38(10 )函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的局部图像如下列图 ,那么)23(f 等于A. 3-B.3 C. 1-D. 1(11 )向量a ,b 是互相垂直的单位向量 ,且|c| =5 ,4,3=⋅=⋅b c a c ,那么对任意的实数t 1 ,t 2 ,||21b t a t c --取最||小值时 ,21t t +的值为A. 5B. 7C. 12D. 13(12 ))(x f 是以2为周期的偶函数 ,当]1,0[∈x 时 ,x x f =)( ,那么在区间)3,1(-内 ,关于x的方程)()(R k k kx x f ∈+=有4个根 ,那么k 的取值范围为A. 410≤<k 或63=kB. 410≤<k C. 410<<k 或63=kD. 410<<k第二卷第二卷共10小题 ,共90分 .二、填空题 . (本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分 . )(13 ))0,2(πα-∈ ,cos 53=α ,那么)4tan(πα+ =___________________ . (14 )设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+323221y x y x y x ,那么y x z 2+=的最||大值是____________ .(15 )甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至||周五的5天中参加某项志愿者活动 ,要求每人参加一天且每天至||多安排一人 ,现要求甲安排在另外两位前面且丙不安排在周五 ,那么不同的安排方法共有_______________种 .(16 )底面为正三角形 ,侧棱长都相等的三棱锥S -ABC 各顶点都在半球面上 ,其中A 、B 、C 三顶点在底面圆周上 ,假设三棱锥S -ABC 的体积为32 ,那么该半球的体积为______________ .三、解答题 . (本大题共6小题 ,共70分 .解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 . )(17 ) (本小题总分值10分 )在△ABC 中 ,角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ,且31cos =A . (Ⅰ )求A C B 2cos )cos(++的值；(Ⅱ )假设4,22=+=c b a ,求△ABC 的面积 . (18 ) (本小题总分值12分 )公比为q 的等比数列{a n }的前6项和为S 6 =21 ,且221,23,4a a a 成等差数列 . (Ⅰ )求a n ；(Ⅱ )设{b n }是首||项为2 ,公差为1a -的等差数列 ,其前n 项和为T n ,求不等式0>-n n b T 的解集 .(19 ) (本小题总分值12分 )甲、乙两名同学参加一项射击游戏 ,两人约定 ,其中任何一人每射击一次 ,击中目标得2分 ,未击中目标得0分 .假设甲、乙两名同学射击的命中率分别为52和p ,且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209,假设甲、乙两人射击互不影响 . (Ⅰ )假设乙射击两次 ,求其得分为2的概率；(Ⅱ )记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ ,求ξ的分布列和数学期望 . (20 ) (本小题总分值12分 )如图 ,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为4的正方形 ,高AA 1 =42 ,P 为CC 1的中点 .(Ⅰ )求证：BD ⊥A 1P ；(Ⅱ )求二面角C -PD -B 的大小 . (21 ) (本小题总分值12分 )抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点F 与椭圆14522=+y x 的一个焦点重合 ,直线l 过点A (4,0 )且与抛物线交于P 、Q 两点 .(Ⅰ )求p 的值；(Ⅱ )假设FR FQ FP =+ ,试求动点R 的轨迹方程 . (22 ) (本小题总分值12分 ) 函数)11(ln )(-+=xa x x f ,其中a 为大于零的常数 .(Ⅰ )假设函数)(x f 在区间),1[+∞内单调递增 ,求实数a 的取值范围；(Ⅱ )求证：对于任意的*N n ∈ ,且n>1时 ,都有nn 13121ln +⋯++>恒成立 .【试题答案】题号 (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (5 ) (6 ) (7 ) (8 ) (9 ) (10 ) (11 ) (12 ) 答案B AD B CDA ACABB(13 )71-(14 )7(15 )14(16 )316π(17 )解： (Ⅰ )1cos 2cos 2cos )cos(2-+-=++A A A C B……2分 9101)31(2312-=-⨯+-=……4分(Ⅱ )由余弦定理得：bc c b bc c b A bc c b a 38)(32cos 28222222-+=-+=-+== ,……6分又b +c =4 ,所以83816=-bc ,即3=bc ,由31cos =A ,得322sin =A ……8分 所以2322321sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC……10分(18 )解： (Ⅰ )∵14a 、223a 、2a 成等差数列 , ∴,34221a a a =+即2124a a = ,∴q =2……2分那么2121)21(616=--=a S……3分解得311=a ……4分∴321-=n n a……5分 (Ⅱ )由 (Ⅰ )得311-=-a ,∴37)31)(1(2nn b n -=--+=……7分613)31)(1(222n n n n n T n -=--+=……8分 ∴06)14)(1(0>---⇒>-n n b T n n……10分解得)(141*N n n ∈<<即不等式0>-n n b T 的解集为}141|{*<<∈n N n……12分(19 )解： (Ⅰ )设 "甲射击一次 ,击中目标〞为事件A , "乙射击一次 ,击中目标〞为事件B , "甲射击一次 ,未击中目标〞为事件A , "乙射击一次 ,未击中目标〞为事件B ,……2分那么52)(=A P ,53)(=A P ,p B P =)( ,p B P -=1)( ……3分依题意得20953)1(52=+-p p ,解得41=p……5分所以乙射击两次得分为2的概率是8341432)1(2=⨯⨯=-p p ……6分(Ⅱ )ξ的取值分别为0,2,4……7分 209)2(,2094353)()()()0(===⨯====ξξP B P A P B A P P……8分1014152)()()()4(=⨯====B P A P AB P P ξ……9分∴ξ的分布列为ξ0 2 4P209 209 101……10分 1013101420922090=⨯+⨯+⨯=ξE……12分(20 )解： (Ⅰ )连结A 1C 1 ,AC , ∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体 , ∴A 1A ⊥面ABCD……1分 又BD ⊂面ABCD ,∴BD ⊥A 1A ,又ABCD 是正方形……2分∴BD ⊥AC ,AC ∩A 1A =A∴BD ⊥面A 1AC ,即BD ⊥面A 1ACC 1 ……4分 又A 1P ⊂面A 1ACC 1 ,∴BD ⊥A 1P……6分(Ⅱ )如图 ,以D 为原点建立空间直角坐标系 ,由题意得)22,4,0(),0,4,4(),0,0,0(P B D ,于是)22,4,0(),0,4,4(--=--=PD BD ,……8分设⊥1n 面BDP ,不妨设)2,,(1y x n = ,由⎩⎨⎧=--=--0244,044y y x 得⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2y x∴)2,2,2(1--=n……10分设⊥2n 面CDP ,取)0,0,1(2=n , 假设n 1与n 2的夹角为θ ,那么21182||||cos 2121=⋅=⋅=n n n n θ……11分据分析 ,二面角C -PD -B 是锐角 ,∴二面角C -PD -B 的大小为3π……12分 (21 )解： (Ⅰ )由椭圆的标准方程14522=+y x ,得145=-=c , ……1分 所以其焦点坐标为 (±1 ,0 ) ,……3分 又抛物线C 的焦点与椭圆的一个焦点重合 ,所以12=p,得p =2……5分(Ⅱ )设),(),,(),,(2211y x Q y x P y x R ,由FR FQ FP =+得),1(),1(),1(2211y x y x y x -=-+- ,……7分所以y y y x x x =++=+2121,1……8分而2221214,4x y x y == ,可得)(4))(()(21212121x x y y y y y y y -=-+=-……9分又FR 的中点坐标为M ⎪⎭⎫⎝⎛+2,21y x 当x 1≠x 2时 ,利用MA PQk k =有421242121-+=--=x yx x y y y ,整理得2842-=x y ……10分当x 1 =x 2时 ,R 的坐标为 (7,0 ) ,也满足2842-=x y ……11分 所以2842-=x y 即为动点R 的轨迹方程 ……12分 (22 )解： (Ⅰ ))0()(2>-='x x ax x f……2分由 ,得0)(≥'x f 在),1[+∞上恒成立 即x a ≤在),1[+∞上恒成立……4分又∵当),1[+∞∈x 时 ,1≥x , ∴1≤a ,即a 的取值范围为]1,0(……6分(Ⅱ )由 (Ⅰ )知函数11ln )(-+=xx x f 在),1[+∞上为增函数 , 当1>n 时 ,∵11>-n n ,∴)1(1f n n f >⎪⎭⎫ ⎝⎛-……7分即nn n 1)1ln(ln >-- ,对于*N n ∈ ,且n>1恒成立 , ……9分]1ln 2[ln ]2ln 3[ln )]2ln()1[ln()]1ln([ln ln -+-+⋯+---+--=n n n n n 2131111++⋯+-+>n n ……11分∴对于*N n ∈ ,且1>n 时 ,nn 13121ln +⋯++>恒成立 ……12分。

2021年广西桂林市、崇左市高考数学第二次联考试卷（理科）（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−1<x<1}，B={x|x2−x≤0}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤0}B. {x|−1≤x≤0}C. {x|0≤x<1}D. {x|0≤x≤1}2.已知复数z满足(i−2)z=i+1，则z−=()A. −15−35i B. −15+35i C. 15−35i D. 15+35i3.若x、y满足约束条件{x+1≥0y−2≤02x−y−2≤0，则z=x+y的最大值是()A. −5B. 1C. 2D. 44.已知α∈(0,π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=()A. 15B. √55C. √33D. 2√555.设两组数据分别为x1，x2，…，x9和x2，x3，…，x8，且x1<x2<x3<x4…<x8<x9，则这两组数据相比，不变的数字特征是()A. 中位数B. 极差C. 方差D. 平均数6.函数f(x)=lg1+sinxcosx (x∈(−π2,π2))的图象大致是()A. B.C. D.7.(2x−1)(x+2)3的展开式中x2项的系数为()A. 24B. 18C. 12D. 48.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm2)是()A. 16B. 32C. 44D. 649.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n2a n+1，则数列{a n a n+1}的前n项和T n=()A. n2n−1B. n2n+1C. 2n2n+1D. n4n+210.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=32|AF1|，则椭圆C的方程为()A. x26+y25=1 B. x25+y24=1 C. x24+y23=1 D. x23+y22=111.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，PB与平面PAC所成的角为30°，则球O的表面积为()A. 6πB. 12πC. 16πD. 48π12.若函数f(x)=12e2x−me x−m2x2有两个极值点，则实数m的取值范围是()A. (12,+∞) B. (1,+∞) C. (e2,+∞) D. (e,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(−4,1)，则|a⃗+b⃗ |=______．14.若等比数列{a n}满足a2+a3=2，a2−a4=6，则a6=______ ．15.过F(√a2+b2,0)作与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0的两条渐近线平行的直线，分别交两渐近线于A、B两点，若OAFB四点共圆(为坐标原点)，则双曲线的离心率为______ ．16.已知函数f(x)=|ln(x−1)|，f(a)>f(b)，以下命题：①若a>2，则a>b；②若a>b，则a>2；③若a>2，则1a +1b<1；④若a>2，则1a +1b>1．其中正确的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C所对的边的长a=√7，c=1，sinA+√3cosA+1=0．(1)求b；(2)若D为BC边上一点，且AD⊥AB，求△ACD的面积．18.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E、F、M、N分别为棱CC1、BC、BB1、AA1的中点．(Ⅰ)求证：B1D1E⊥平面C1MN；(Ⅱ)若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．19.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点E(−1,0)，圆x2+y2=r2(r>0)与抛物线C交于A，B两点，直线BE与抛物线交点为D．(1)求证：直线AD过焦点F；(2)过F作直线MN⊥AD，交抛物线C于M，N两点，求四边形ANDM面积的最小值．20.十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度.某中学为宣传未成年保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为p1，p2．(1)若p1=34，p2=23，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；(2)当p1+p2=65，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？21.已知函数f(x)=xln xa(a>0)，f′(x)为f(x)的导函数．(1)设g(x)=f′(x)−lna2x2，讨论函数g(x)的单调性；(2)若点A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1<x2)均在函数y=f′(x)的图象上，设直线AB的斜率为k，证明：1x2<k<1x1．22.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C：ρ=sin3θ(ρ∈R,θ∈[0,2π))被称为“三叶玫瑰线”(如图所示)．(1)求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；(2)射线l1，l2的极坐标方程分别为θ=θ0，θ=θ0+π2(θ0∈[0,2π)，ρ>0)，l1，l2分别交曲线C于点M，N两点，求1|OM|2+1|ON|2的最小值．23.已知函数f(x)=2|x+1|−|x−2|．(1)解不等式：f(x)≤7；(2)已知实数x0满足：对∀x∈R都有f(x)≥f(x0)，若a，b，c∈R∗且a+b+c+f(x0)=0，求1a +4b+9c最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|−1<x <1}，B ={x|0≤x ≤1}， ∴A ∩B ={x|0≤x <1}． 故选：C ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为(i −2)z =i +1， 所以z =1+i−2+i =(1+i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−1−3i 5=−15−35i ，则z −=−15+35i ． 故选：B ．先利用复数的除法运算求出z ，然后由共轭复数的定义求解即可。

2024年广西部分市高三数学第二次模拟联考试卷（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若()1i 1i z -=+，则z =（）A ．1BCD ．52．已知椭圆2221142x y m m ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭的离心率为32，则2m =（）A ．2B ．4CD．3．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若22S =，346a a +=，则64S S =（）A ．2B ．74C ．3D ．1344．从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为（）A ．15B ．25C ．310D ．7105．已知函数()()()()2ln e 2e R f x x a x a ⎡⎤=-++∈⎣⎦为偶函数，则()f x 的最小值为（）A ．2B ．0C ．1D ．ln26．已知函数()()π2sin 106f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间()0,π上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．410,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,33⎛⎤ ⎥⎝⎦7．记函数()y f x =的导函数为y '，y '的导函数为y ''，则曲线()y f x =的曲率()3221y K y ''=⎡⎤+⎣⎦'．若函数为ln y x =，则其曲率的最大值为（）A ．23B ．22CD8．已知点P 为双曲线22:143x y C -=上的任意一点，过点P 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足分别为E ，F ，则PEF !的面积为（）A ．43B ．24349C ．127D ．48349二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论中正确的是（）A ．0a b +>B ．ac bc >C ．11a b b c>--D ．()()294a cbc c <--10．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且4a =，3sin24cos24A A -=，则（）A ．ABC △的外接圆半径为5B ．若4c =，则ABC △的面积为19225C ．5320cos b c C-=D ．AB AC AB AC +-⋅ 的取值范围为)4,9⎡-⎣11．已知函数()y f x =的定义域与值域均为Q +，且()()()()()22*N x y f y f f x f y txf y t y ⎛⎫+=++∈ ⎪⎝⎭，则（）A ．()11f =B ．函数()f x 的周期为4C ．()()2Q f x x x +=∈D ．2t =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}2,1,4A m =+，{}2,1B m =，若B A ⊆，则实数m =．13．设实数x ，()4y x y ≤<，满足1，3，4，x ，y ，2y +的平均数与50%分位数相等，则数据x ，y ，2y +的方差为．14．在三棱锥-P ABC 中，PAB ，PBC ，PAC △，ABC △的面积分别3，4，12，13，且APB BPC APC ∠=∠=∠，则其内切球的表面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()()2252e xf x x x =-+．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间与极值．16．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB =，14AA =，点E ，F ，G ，H 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，且22BF DH AE ===，3CG =．(1)证明：F ，E ，H ，G 四点共面；(2)求平面ABCD 与平面EGH 夹角的余弦值．17．某高科技企业为提高研发成果的保密等级，设置了甲，乙，丙，丁四套互不相同的密码保存相关资料，每周使用其中的一套密码，且每周使用的密码都是从上周未使用的三套密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用甲密码．(1)分别求第3周和第4周使用甲密码的概率；(2)记前n 周中使用了乙密码的次数为Y ，求()E Y ．18．已知抛物线2:C x y =，过点()0,2E 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线交于点P ．(1)证明：P 在定直线上；(2)若F 为抛物线C 的焦点，证明：PFA PFB ∠=∠．19．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为取整函数，取整函数是法国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质：①[]y x =的定义域为R ，值域为Z ；②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即[]{}{}()01x x x x =+≤<，其中[]x 为x 的整数部分，{}[]x x x =-为x 的小数部分；③[][]()n x n x n +=+∈Z ；④若整数a ，b 满足()0,,Z,0a bq r b q r r b =+>∈≤<，则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.(1)解方程5615785x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；(2)已知实数r 满足19202191546100100100100r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，求[]100r 的值；(3)证明：对于任意的正整数n ，均有()11424n n n n ⎧⎫++⎧⎫>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭．1．C【分析】根据复数的运算法则，求得2i z =-，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由复数()1i 1i z -=+，可得1i12i iz +=+=-，则z =.故选：C.2．A【分析】利用椭圆的离心率列出关系式，求解m 即可求得结果．【详解】12m >，241m ∴>，所以224a m =，21b =，2222131144b e a m ∴=-=-=，解得1m =，22m ∴=.故选：A.3．D【分析】根据24264,,S S S S S --成等比数列，得到方程，求出626S =，得到答案.【详解】由题意得2422,6S S S =-=，4286S S =+=，因为24264,,S S S S S --成等比数列，故()()242264S S S S S -=-，即()26628S =-，解得626S =，故64261384S S ==.故选：D 4．B【分析】根据题意，得到基本事件的总数为10种，再利用列举法取得所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，共有35C 10=种不同的取法；其中这3个数的积与和都是3的倍数的有：{}{}{}{}1,2,3,1,3,5,2,3,4,3,4,5，有4种取法，所以该3个数的积与和都是3的倍数的概率为42105P ==.故选：B.5．A【分析】由函数()f x 为偶函数，求得e a =，得到()22ln(e )f x x =+，结合对数函数的性质，进而求得函数的最小值，得到答案.【详解】由函数()()()222ln e 2e ln[(e)e 2e ]f x x a x x a x a ⎡⎤=-++=---+⎣⎦，可得()22ln[(e)e 2e ]f x x a x a -=+--+，因为函数()f x 为偶函数，可得2222(e)e 2e (e)e 2e x a x a x a x a ---+=+--+，可得e a =，即()22ln(e )f x x =+，当0x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为()20ln e 2f ==.故选：A.6．D【分析】先由题意求得π6x ω+的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于ω的不等式，从而得解.【详解】0πx << ，ππππ666x ωω∴<+<+，因为函数()f x 在()0,π上恰好有两个零点，所以11ππ19ππ666ω<+≤，解得533ω<≤.故选：D.7．C【分析】根据定义求解y '和y ''，由曲率的定义求出曲率K ，利用导数判断单调性求出最大值.【详解】函数ln y x =的定义域为()0,∞+，1y x '=，21y x''=-，所以曲线ln y x =的曲率2322111x K x ==⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()()()()312222235222311212211x x x xx K x x +-⋅⋅+⋅-'∴==++，0x >，当202x <<时，0K '>，当22x >时，0K '<，所以当22x =时，曲率K 故选：C.8．B【分析】设点()00,P x y ，计算PE PF ⋅的乘积以及sin EPF ∠，可求出PEF !的面积.【详解】设点()00,P x y ，满足2200143x y -=，即22003412x y -=，又两条渐近线方程分别为y x=20y ±=，故有2200341277x y PE PF -⋅==，设渐近线y =的倾斜角为α，则tan α=()221tan 1cos cos πcos cos 21tan 7EPF EOF EOF ααα-∠=-∠=-∠=-=-=-+，43sin 7EPF ∠=s 1||||in 2PEF S PE PF EPF=⋅⋅∠= 故选：B9．AD【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.【详解】0a b c ++=且a b c >>，则0a >，0c <，则0a b +>，A 正确；因为a b >，0c <，所以ac bc <，B 错误；因为a b c >>，0,0a b b c ->->，()()23a b b c a c b b ---=+-=-，当0b >时，0a b b c <-<-，则11a b b c>--；当0b <时，0a b b c ->->，则11a b b c <--，当0b =时，a b b c -=-，则11a b b c=--，故C 错误；因为()()()()222229911204442a c b c c a c a c c a ac c a c ⎛⎫---=----=---=-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12a c =-时，等号成立，此时由0a b c ++=可得12b c =-，不符合a b c >>，所以2102a c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭不成立，故2102a c ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()()294a c b c c --<，D 正确.故选：AD 10．BCD【分析】根据已知条件求得4sin 5A =，3cos 5A =，对A ，由正弦定理运算可判断；对B ，由4a c ==可得AC =，求得sin B ，利用三角形面积公式求解；对C ，由正弦定理可得5sin b B =，5sin c C =，可得()43sin sin cos sin 55B AC C C =+=+，代入53b c -运算可判断；对D ，由余弦定理和数量积运算法则求出35AB AC AB AC bc +-⋅= ，换元后利用三角恒等变换得到(]15,20bc ∈，求出答案.【详解】由3sin 24cos 24A A -=，可得26sin cos 8cos A A A =，因为A 为锐角，所以cos 0A ≠，所以4tan 3A =，可得4sin 5A =，3cos 5A =.对于A ，由正弦定理，4254sin 5a R A ===，52R ∴=，故A 错误；对于B ，4a c ==Q ，A C ∴=，则()4324sin sin sin 22sin cos 25525B AC A A A =+===⨯⨯=，所以1124192sin 44222525ABC S ac B ==⨯⨯⨯=V .故B 正确；对于C ，因为4a =，4sin 5A =，所以5sin aA =，5sin bB ∴=，5sin cC =，又()43sin sin cos sin 55B AC C C =+=+，435325sin 15sin 25cos sin 15sin 20cos 55b c B C C C C C ⎛⎫∴-=-=+-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由余弦定理得226165b c bc =+-，即()25516bc b c =+-，又3cos 5AB AC bc A bc ⋅== ，所以3355AB AC AB AC bc bc +-⋅== ，设t =()2144AB AC AB AC f t t t +-⋅==-++ ，由正弦定理()435sin 5sin 5sin 5sin 5sin 5cos sin 55b c B C B A B B B B ⎛⎫+=+=++=++ ⎪⎝⎭()8sin 4cos B B B ϕ=+=+，其中锐角ϕ满足sin ϕϕ=ππ,22B A ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,22B A ϕϕϕ⎛⎫+∈+-+ ⎪⎝⎭，又()π34πsin cos sin 2555552A A ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+-=-=⨯+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin B ϕ⎤+∈⎥⎝⎦，(8,b c ∴+∈，又()25516bc b c =+-，所以(]15,20bc ∈，从而(t ⎤∈⎦，而函数()2144f t t t =-++在(⎤⎦上单调递减，又(9f =，()84f =-，所以AB AC AB AC +-⋅ 的取值范围)4,9⎡-⎣.故D 正确.故选：BCD.11．ACD【分析】根据抽象函数的性质，巧妙利用赋值法解决.【详解】令x y =得()()()()()()2*1Z f x f x f x f x txf x t +=++∈，即()()()*11Z f x f x tx t +=++∈①，令1y =，得()()()()()()2*1111Z f f x f x f txf t +=++∈②，联立①②()11f ⇒=，故A 正确；令24x y ==，得()()()()()()2*244242Z f f f f tf t =++∈③，由①，()()()*2112Z f f t t t =++=+∈，()()()()*41331122364Z f f t f t t t t ⎡⎤=++=++++=+∈⎣⎦，将它们代入③整理可得()20t t -=，所以由*Z 2t t ∈⇒=，故D 对；由()()112f x f x x +=++可知()f x 为一元二次函数，设()2f x ax bx c =++，则有()()221121a x b x c ax bx c x ++++=++++，整理得2211,0ax a b x a b ++=+⇒==，又由()110f a b c c =++=⇒=，所以()()2+Q f x x x =∈，经验证满足题设要求，故B 错C 对，故选：ACD.【点睛】方法点睛：求两个变量的抽象函数解析式要巧妙用赋值法.12．2-【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m 的值.【详解】因为B A ⊆，所以22m m =+或24m =，1m ⇒=-或2m =±，又由集合中元素的互异性可知21m +≠且24m +≠且21m ≠，1m ⇒≠±且2m ≠，综上2m =-.故答案为：2-.13．149##519【分析】利用平均数与分位数相等，得1y x =+，代入数据中得方差.【详解】根据题意，数据1,3,4,,,2x y y +的平均数为13426x y y ++++++，数据1,3,4,,,2x y y +的50%分位数为42x+，∴1342462x y y x+++++++=，即1y x =+，代入数据,,2x y y +，即为,1,3x x x ++，此组数据的平均数为13433x x x x ++++=+，∴数据,,2x y y +的方差为222144411612514133********x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++--++--=⨯++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案：14914．98π##98π【分析】根据题中所给数据特征：2222133412=++，再类比勾股定理，由面推及至空间几何体可知三棱锥-P ABC 是一个墙角模型，所以π2APB BPC APC ∠=∠=∠=，设PA=x ，PB=y ，PC=z ，则可由题中所给面积数据求出侧棱长，再依据内切球公式3RV S =表计算相关量即可求出内切球.【详解】因为2222133412=++，所以类比勾股定理由面推及到空间几何体可知三棱锥-P ABC 是一个墙角模型，所以π2APB BPC APC ∠=∠=∠=，设三棱锥的三条侧棱PA ，PB ，PC 长分别为PA=x ，PB=y ，PC=z ，则由题意有6824xy yz xz =⎧⎪=⎨⎪=⎩①，所以有()26824672xyz =⨯⨯=，xyz ⇒=，所以代入①式x y z ⇒===所以111332P ABC A PBC PBC V V S PA PB PC PA --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ，设三棱锥的内切球半径为R ，则P ABC O ABC O PAB O PBC O PAC V V V V V -----=+++1111····3333ABC PAB PBC PAC S R S R S R S R =+++ ()3234121333R R=⨯+++=，所以323R =8R ⇒=，所以内切球的表面积为294π8S R π==.故答案为：9π8.15．(1)320x y +-=(2)单调递增区间为(),1-∞-和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；极大值为9e ，极小值为32e -【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）由函数的导数判断正负，即可判断函数的单调性，继而判断出函数极值点，求得极值.【详解】（1）由()()2252e x f x x x =-+，可知()()223e xf x x x '=--，所以()003e 3f '=-=-，又()02f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为23(0)y x -=--，即320x y +-=；（2）()()()()223e 123e x xf x x x x x =--=+-'，()f x 的定义域为R ，由()0f x '=，得32x =，或=1x -，当1x <-或32x >时，()0f x ¢>，()f x 在3(,1),(,)2-∞-+∞上均单调递增；当312x -<<时，()0f x '<，()f x 在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故函数()f x 在=1x -处取得极大值，极大值为()91ef -=；在32x =处取得极小值，极小值为32e -.16．(1)证明见解析；.【分析】（1）以点A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标表示及运算可得,,EG EF EH共面，即可推理得解.（2）由（1）中坐标系，求出两个平面的法向量，进而求出平面与平面所成角的余弦.【详解】（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点A 为原点，直线1,,AB AD AA 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则(2,0,2),)(22(0,0,1)),,3,,(0,,2E H F G ，(2,2,2),(0,2,1)(2,0,1),E E F G EH ===，因此EG EF EH =+，即,,EG EF EH 共面，又,,EG EF EH 有公共点E ，所以F ，E ，H ，G 四点共面.（2）由（1）知，()0,0,0A ，()10,0,4A ，()0,2,1EH = ，()2,2,2EG =，设平面EGH 的法向量(),,m x y z = ，则202220m EH y z m EG x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，得()1,1,2m =- ，而平面ABCD 的法向量为()10,0,4AA =，则111cos ,||||m AA m AA m AA ⋅〈=〉==所以平面ABCD 与平面EGH17．(1)第3周和第4周使用甲密码的概率分别为13和29(2)()3114163nn E Y ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题干分析第四周使用甲密码的情况，用全概率公式即可求解；（2）根据第1k +周与第k 使用甲密码的概率的关系，利用递推关系，结合数列知识，得到第k 使用甲密码的概率，从而得到前n 周中使用了甲密码的次数的数学期望，再由四套密码地位相同得到前n 周中使用了乙密码的次数的数学期望()E Y .【详解】（1）设第k 周使用甲密码的概率为k a ，因为11a =，20a =，所以313a =，()433120139=⨯+-⨯=a a a ，所以第3周和第4周使用甲密码的概率分别为13和29．（2）因为第k 周使用甲密码的概率为k a ，则第1k +周使用甲密码的概率为()1113k k a a +=-，整理得1111434k k a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，因为11a =，所以113044a -=≠，所以数列14k a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，公比为13-的等比数列，所以1131443k k a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即1311434k k a -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭．设第k 周使用甲密码的次数为()1,2,,k X k n =⋅⋅⋅，则k X 服从01-分布，所以()()()()()1212n n E X E X X X E X E X E X =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+121139131144163413nnn n n a a a ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+．所以前n 周中使用甲密码次数的均值()9111634nnE X ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又因为乙、丙、丁地位相同，所以()()31134163nn E X n E Y ⎡⎤-⎛⎫==+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设出()211,A x x ，()222,B x x ，求出直线AB 的方程，与抛物线联立，由PA 与PB 都和抛物线相切，得到两条切线的方程联立证明即可；（2）要证PFA PFB ∠=∠．即证FA FP FB FPFA FB⋅⋅= ，求出向量的坐标证明即可.【详解】（1）证明：设()211,A x x ，()222,B x x，则22121212ABx x kx x x x -==+-，直线AB 的方程为()()21121y x x x x x -=+-，即()1212y x x x x x =+-，又因为直线AB 过点()0,2E ，所以122x x -=，即122x x =-，设直线PA 的方程为()211y x k x x -=-，与抛物线方程2y x =联立，解得1x x =或1x k x =-，又因为直线PA 与抛物线相切，所以11x k x =-，即12k x =，所以直线PA 的方程为()21112y x x x x -=-，即2112y xx x =-，同理直线PB 的方程为2222y xx x =-，由21122222y xx x y xx x ⎧=-⎨=-⎩，解得1212,2x x P x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即12,22x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，故点P 在直线=2y -上．（2）证明：∵cos FA FP PFA FA FP⋅∠=⋅，cos FB FP PFB FB FP⋅∠=⋅ ，注意到两角都在()0,π内，可知要证PFA PFB ∠=∠．即证FA FP FB FPFA FB⋅⋅= .而2111,4FA x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，129,24x x FP +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以()22121119174124416x x FA FP x x x +⎛⎫⋅=⋅--=-+ ⎪⎝⎭ ，又2114FA x ==+ ，所以()2121741716144x FA FP FA x -+⋅==-+，同理74FB FP FB ⋅=- ，即有FA FP FB FPFA FB⋅⋅= ，故PFA PFB ∠=∠．19．(1)715x =或45x =(2)743(3)证明见解析【分析】（1）令()157Z 5x n n -=∈，则方程可化为103940n n +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据高斯函数的定义，即可求解得答案；（2）设[]r n =，则可判断19202191,,,,100100100100r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦中n 以及1n +的个数，从而可得35773kn -=+，结合高斯函数定义，即可求得答案；（3）由所要证明不等式的形式，可构造不等式，当3n ≥时，有()1124424n n n n n +++<<-成立；设()1403,Z n q r r q +=+≤<∈，推出()114424n n r r q q n +++<<+-，从而得到()114424n n r r n ⎧⎫++<<⎨⎬-⎩⎭，再结合当1n =，2时，不等式成立，即可证明结论.【详解】（1）令()157Z 5x n n -=∈，则5715n x +=，∴561039840x n n ++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又由高斯函数的定义有10390140n n +≤-<，解得：1133010n -<≤，则0n =或1n =，当0n =时，则715x =；当1n =时，则45x =；（2）设[]r n =，设19100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，20100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，21100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，91100r ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦中有k 个为1n +，()73k -个n ，()073k ≤≤，据题意知：()()731546k n k n -++=，则有35773kn -=+，解得:35k =，7n =，所以568100r +<，578100r +≥，即743100744r ≤<，故[]100743r =；（3）证明：由()11424n n n n ⎧⎫++⎧⎫>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭的形式，可构造不等式，当3n ≥时，有()1124424n n n n n +++<<-；设()1403,n q r r q +=+≤<∈Z ，则有()114424n n r r q q n +++<<+-，从而()114424n n r r n ⎧⎫++<<⎨⎬-⎩⎭，而144n r q +=+，则144n r +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴()11424n n n n ⎧⎫++⎧⎫>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，又当1n =，2时，经检验原式成立，故对一切的自然数n ，原式成立.【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义，即高斯函数的应用问题，难度较大，解答的难点在于（3）中不等式的证明，解答时要理解高斯函数的性质，并能构造不等式，3n ≥时，有()1124424n n n n n +++<<-，进行证明.。

2022年广西高考理科数学二模试卷一、选择题：本大题共I2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{x ||x |＜2}，集合B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．（5分）若复数z 满足（1﹣i ）z ＝3+i （其中i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．√53．（5分）已知a ＝（12）3，b ＝0.3﹣2，c ＝log 122，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c4．（5分）已知a →，b →均为单位向量，若|a →−2b →|=√3，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π35．（5分）若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，a 2b 2=（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．46．（5分）已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆x 2+y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ） A ．3√2B ．±3√2C ．±2D ．±√27．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期在8月C ．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 8．（5分）（1﹣ax ）（1+x ）6的展开式中，x ³项的系数为﹣10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．﹣2D ．−239．（5分）函数f(x)=12x 2−xsinx 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．√2021B ．√2019C ．2√505D ．2√505−111．（5分）如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF （如图1），将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE （如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ）①AC ∥平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直． A ．0B ．1C ．2D ．312．（5分）已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2−y 2b2=1（b ＞0）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan ∠PF 2F 1≥3，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．（1，√102] B ．[√102，+∞） C ．（1，√102） D ．（√102，2] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）1. 已知复数，则z的虚部为( )A. B. 2i C. 2 D.2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.3. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是( )A. 支出最高值与支出最低值的比是6：1B. 利润最高的月份是2月份C. 第三季度平均收入为50万元D. 月份的支出的变化率与月份的支出的变化率相同4. 已知，且，则( )A. B. C. D.5. 一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )A.B.C.D.6. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.7. 现从3个男生2个女生共5人中任意选出3人参加某校高三年级的百日誓师大会，若选出的3人中，在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为( )A. B. C. D.8. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为如图，则旗杆的高度为( )A. 10 mB. 30 mC. mD. m9.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则椭圆的方程为( )A. B. C. D.10. 已知函数的极值点为1，且，则的极小值为( )A. B. C. b D. 411. 如图，在矩形OABC中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则( )A. B. C. D.大小关系不能确定12. 设，，，则( )A. B. C. D.13. 已知向量，，且满足，则______ .14. 已知圆O：和直线l：，则与直线l平行且与圆O相切的直线方程为______ .15. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D满足，，则该“鞠”的表面积为______16. 已知当时，有…，若对任意的都有…，则______ .17. 记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且，，成等差数列.求的通项公式；设，求的前n项和18.如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面AMN，，，，C为PA的中点.求证：平面PMN；线段PA上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求若不存在，请说明理由.19. 随着科技的不断发展，“智能手机”已成为人们生活中不可缺少的必需品，下表是年广西某地市手机总体出货量单位：万部统计表.年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x 12345手机总体出货量万部并计算求得已知该市手机总体出货量y 与年份代码x 之间可用线性回归模型拟合，求y 关于x 的线性回归方程；预测2023年该市手机总体出货量.附：线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，20. 已知抛物线C ：经过点，过点的直线l 与抛物线C有两个不同交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于求直线l 斜率的取值范围；证明：存在定点T ，使得，且21. 已知函数，其中a 为常数，e 为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，求实数a 的取值范围；证明：22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：为参数，直线l ：为参数以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C和直线l的极坐标方程；点P在直线l上，射线OP交曲线C于点R，点Q在射线OP上，且满足，求点Q的轨迹的直角坐标方程.23. 已知a，b，c均为正数，且，证明：若，则；答案和解析1.【答案】C【解析】解：，则z的虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，或，故选：可求出集合A，然后进行补集和交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解放，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由图可知，支出最高值是60，支出最低值是10，则支出最高值与支出最低值的比是6：1，故A正确；由图可知，利润最高的月份是3月份和10月份，故B错误．由图可知，第三季度平均收入为，故C正确；由图可知，月份的支出的变化率与月份的支出的变化率均为30，故D正确．故选：结合统计图表逐项分析即可得出结论．本题考查统计图表相关知识，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，，即，则故选：由题意，先利用二倍角的余弦公式求出，再利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的正弦公式，计算求得的值．本题主要考查二倍角的余弦、正弦公式的应用、同角三角函数的基本关系，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：当几何体的上部是球，下部为圆柱，则俯视图为：A；当几何体的上部是圆柱，下部是正方体，则俯视图是B；当几何体上部是球，下部是正方体，则俯视图为：故选：结合一个几何体的正视图，利用组合体的形状，判断俯视图的情况即可得到结果．本题考查简单几何体的三视图的应用，是中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，因为中，，又，即为奇函数，图象关于原点对称，排除BD，又由，，在上不是增函数，排除故选：根据题意，先分析函数的奇偶性排除BD，再利用特殊值分析可知在上不是增函数，排除A，综合可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：选出的3人中，在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为故选：根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．本题主要考查条件概率公式，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，依题意知，，，由正弦定理知，，在中，即旗杆的高度为故选：作图，分别求得，和，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD 中求得本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．9.【答案】A【解析】解：由题意知椭圆与双曲线的共焦点，，所以，因为双曲线的离心率，所以，，所以双曲线的方程为如图：根据双曲线的定义知，由余弦定理，得，又因，得，，根据椭圆的定义知：，所以，，所以椭圆的方程为故选：结合椭圆双曲线的定义及焦点三角形的相关知识可得．本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．10.【答案】D【解析】解：，，，所以，解得：，，，所以，得，时，，，，所以是函数的极小值点，故选：首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解a，b，再求函数的极小值．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：根据题意，阴影部分的面积的一半为：，于是此点取自阴影部分的概率为又，故故选：先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．本题考查了几何概型，属中档题．12.【答案】D【解析】解：，，，，，构造函数，则，在R上单调递减，当时，，，，，，，，，设函数，则，当时，，在上单调递减，，，，综上，故选：利用三角函数定义判断a，b的大小，构造函数，由导数确定单调性后比较a与的大小，同理构造函数，比较c与的大小后可得结论．本题考查三角函数定义、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】4【解析】解：，，则，，且满足，故，解得故答案为：根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．14.【答案】或【解析】解：设与直线l：平行的直线方程为，与圆O：相切，，解得或，直线l：或故答案为：或设与直线l：平行的直线方程为，由与圆O：相切，由此能出直线l的方程．本题考查圆的切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．15.【答案】【解析】解：取BD的中点E，连接AE，CE，因，所以且，，故，因为，所以，故，在CE上取点F，使得，则点F为等边的中心，则，，设点O为三棱锥的外接球球心，则平面BCD，连接OA，OC，设外接球半径为rcm，则，过点A作，交CE延长线于点P，则，由于O在平面ACE中，故，故平面BCD，过点O作于点H，则，，，，，故，设，则，由勾股定理得，，，故，解得，故，故该“鞠”的表面积为故答案为：作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积．本题考查空间几何体外接球的表面积，考查运算求解能力，属中档题．16.【答案】228【解析】解：当时，有，到……，则…………]，为展开式中的系数，因为，所以故答案为：由…得到……，则可把转化为…………]，由为展开式中的系数即可求出答案．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．17.【答案】解：设等比数列的前n项和公比为，且，，成等差数列，，，即，，解得，，由可得的前n项和…，…，相减可得：…，化为【解析】设等比数列的前n项和公比为，根据且，，成等差数列，利用通项公式与求和公式列出方程组解得，q，即可得出由可得，利用错位相减法即可得出的前n项和本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：取PN的中点E，连接CE和ME，为PA中点，且，且，，，四边形BMCE为平行四边形，，平面PMN，平面PMN，平面PMN，取NM中点O，连接PO，则等边中，，面面AMN，面面，面AMN，，又，，平面PMN，以N为坐标原点，NA，NM，Nz为坐轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，依题意可得平面PMN的一个法向量为，又，，设平面MNF的一个法向量为，则，即，令，，，平面MNF的一个法向量为，设二面角为，则，解得或舍去，则【解析】取PN的中点E，连接CE和ME，可证四边形BMCE为平行四边形，从而可得平面PMN；以N为坐标原点，NA，NM，Nz为坐标轴建立空间直角坐标系，设，求得平面PMN与平面FMN的一个法向量，利用向量法可得，可得本题考查空间直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，属中档题．19.【答案】解：由题中统计表得，，由题意得，，所以y关于x的线性回归方程为；由题意得2023年对应的年份代码，代入，得，所以预测2023年该市手机总体出货量为万部．【解析】根据公式求出，得到线性回归方程；代入，估计2023年该市手机总体出货量．本题考查了线性回归方程的应用计算，属于中档题．20.【答案】解：将代入抛物线得，，依题意可设，，直线l：，由得：，则，解得且，又直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N，所以直线不能过及，且，综上，；证明：设点，，由，则可设，，，故，同理：，，直线，令得，同理，，，又，，所以存在点满足题意．【解析】先求出抛物线方程，然后和直线联立，得到关于斜率满足的条件，从而求出斜率的取值范围；设出点的坐标，根据题意表示出和，最后求出定点本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：，，令，则，因有两个极值点，，故有两个零点，若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，因为有两个零点，所以，则，又，，，故实数a的取值范围为证明：设，因为，，则，因为，所以，，则，取对数得，令，，则，令，则，，在上单调递增．则，，，两边约去后化简整理得，即【解析】二次求导后，根据函数有两个极值点，即可求解；设，先确定，根据，可得，即，令，，则，令，求导后根据单调性可得，从而得到，化简后即可证明．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．22.【答案】解：曲线C ：为参数，消去参数可得，，，，，直线l ：为参数，消去参数t 可得，，则直线l 的极坐标方程为；设点Q 的极坐标为，则，，，，即，点Q 的轨迹的直角坐标方程为【解析】先将曲线C 和直线l 化为普通方程，再化为极坐标方程；设出点Q 的坐标，表示出，，，再结合，即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】证明：若，且，则，即，可得，则，当且仅当时等号成立；，b，c均为正数，且，由柯西不等式知，，即，当且仅当时取等号．【解析】直接利用基本不等式证明；利用柯西不等式证明．本题主要考查不等式的证明，柯西不等式以及基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．。

广西壮族自治区高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017高三上·安庆期末) 已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A . 2﹣iB . 1+2iC . ﹣1+2iD . ﹣1﹣2i2. （2分）设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的S是（）A .B . -3C . 2D .4. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 等于（）A .B .C .D .5. （2分）(2013·四川理) 抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A .B .C . 1D .6. （2分） PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT=4，PA=2，则cos∠BPT=（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·泰安模拟) 下列选项中，说法正确的是（）A . 若a＞b＞0，则B . 向量（m∈R）共线的充要条件是m=0C . 命题“∀n∈N* ， 3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N* ，3n≥（n+2）•2n﹣1”D . 已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题8. （2分） (2016高一上·嘉兴期末) 函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，2]B .C .D . [2，+∞）二、填空题： (共6题；共6分)9. （1分） (2016高二下·湖南期中) 某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人．10. （1分）(2012·浙江理) 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm3 ．11. （1分）在等比数列{an}中，若a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=﹣4，则a13+a14+a15=________．12. （1分）(2017·长春模拟) 已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asinB= b，b=2，c=3，AD是角A的平分线，D在BC上，则BD=________．13. （1分） (2016高二下·绵阳期中) 已知直线的极坐标方程为ρsin（θ+ ）= ，求点A（4，）到这条直线的距离________．14. （1分） (2015高二下·营口期中) 已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣2alnx（a∈R），则下列说法正确的是________①当a＜0时，函数y=f（x）有零点；②若函数y=f（x）有零点，则a＜0；③存在a＞0，函数y=f（x）有唯一的零点；④若函数y=f（x）有唯一的零点，则a≤1．三、解答题： (共6题；共65分)15. （10分） (2016高一上·武汉期末) 函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．16. （10分）(2020·内江模拟) 某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.附：（其中）（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.17. （10分）(2014·大纲卷理) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（1）证明：AC1⊥A1B；（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．18. （10分）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若A（0，1），设M，N是椭圆上异于点A的任意两点，且AM⊥AN，线段MN的中垂线l与x轴的交点为（m，0），求m的取值范围．19. （15分）(2017·长宁模拟) 如果存在常数a，使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a﹣x 也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．（1）若数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）已知有穷等差数列{bn}的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，求证：数列{bn}是“兑换数列”，并用n0和B表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．20. （10分） (2016高二下·渭滨期末) 已知函数f（x）=x3﹣3x；（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[﹣3，2]上的最值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题： (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题： (共6题；共65分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、。

广西柳州高级中学、南宁市第二中学2018届高三上学期第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设是虚数单位，若复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，故选A.KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...KS5U...2. 设，，，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对A，时不成立；对B，时不成立；对C，正确；对D，时不正确，故选C.3. 甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. 家类水果的平均质量B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D. 乙类水果的质量服从正态分布的参数【答案】D【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，B，C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故D不正确．故选：D．4. 已知单位向量，满足，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴=，∴•=0，⊥，如图所示：则与的夹角是，故选：D．5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为（）A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里【答案】C【解析】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：C．6. 如图，程序输出的结果，则判断框中应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】第一次循环第二次循环结束循环，输出，所以判断框中应填选B.7. 已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线的焦点为，所以渐近线方程为，即，选B.8. 同时具备以下性质：“①最小周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；②图象关于直线x=对称；可得：+φ=，k∈Z．对于D选项：φ=﹣，不满足，排除D；④一个对称中心为”带入函数y中，B选项不满足．排除B；故选C．9. 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种【答案】B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有=12种推荐方法；②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选：B．10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为C．故选：C．11. 在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为（）A. B. C. 3 D.【答案】A【解析】在△ABC中，由正弦定理得：∵∴A为钝角．∴，由，可得，tanB=﹣==≤=，当且仅当tanC=时取等号．∴B取得最大值时，∴．∴a=2×=．∴a+b+c=2+．故答案为：2+．12. 已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+e x﹣a﹣1n（x+2）+4e a﹣x，令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x﹣a+4e a﹣x≥4，（当且仅当e x﹣a=4e a﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数，则__________.【答案】8【解析】，所以点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.14. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】如图连接C1D，则C1D∥AB1，∴∠BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角．，AA1=1，在△BC1D中，，，，∴cosBC1D．∴异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为：．15. 若，满足约束条件，等差数列满足，，其前项和为，则的最大值为__________.【答案】【解析】等差数列{a n}满足a1=x，a5=y，∴d=，∴设z=S5﹣S2=5a1+10d﹣2a1﹣d=3a1+9d=3x+=x+，则y=﹣11x+，平移目标函数，当过点A时，在y轴的截距最大，此时z最大由解得x=3，y=2，即A（3，2），∴z=+=，故答案为：16. 过点引直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于__________.【答案】【解析】由，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则﹣1＜k＜0∴直线l的方程为：，即则圆心O到直线l的距离，直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=，∴===令，则，当，S△AOB有最大值为，此时，，∴，又∵﹣1＜k＜0，∴点睛：本题考查圆的一般方程与标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及定点问题，属于难题，解决此类问题时，联立方程，消元得一元二次方程，利用根与系数的关系去处理问题，是常规思路，要求熟练掌握，同时圆的问题要注意圆的平面几何性质的利用，可以简化解题。

广西柳州高中、南宁二中2018届高三（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，若复数，则=（）A．B．C．D．2．（5分）设a＞b，a，b，c∈R则下列命题为真命题的是（）A．ac2＞bc2 B．C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b23．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，δ12），N（μ2，δ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ2=1.994．（5分）已知单位向量满足，则与的夹角是（）A．B．C．D．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为（）A．6里B．12里C．24里D．48里6．（5分）如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？7．（5分）已知双曲线=1的一焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±3x C．D．8．（5分）同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（）A．B．C．D．9．（5分）在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．36种B．24种C．22种D．20种10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc=1，b+2c cos A=0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为（）A．3 B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x+e x﹣a，g（x）=ln（x+2）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．﹣ln2﹣1 B．﹣1+ln2 C．﹣ln2 D．ln2二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则=．14．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．15．（5分）若x，y满足约束条件，等差数列{a n}满足a1=x，a5=y，其前n项为S n，则S5﹣S2的最大值为．16．（5分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设a1=2，a2=4，数列{b n}满足：b n+1=2b n+2，且a n+1﹣a n=b n；（1）求证：数列{b n+2}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记P A，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ln x﹣ax2+（2﹣a）x．（Ⅰ）讨论f（x）函数的单调性；（Ⅱ）设f（x）的两个零点是x1，x2，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标的方程以及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；（2）若函数g（x）=f（x）+|x+3|的最小值为m，正数a，b满足a+b=m，求证：．【参考答案】一、选择题1．A【解析】由=，得．故选：A．2．C【解析】对于A，c=0时，显然不成立，对于B，令a=2，b=﹣1，显然不成立，对于C，根据不等式的基本性质判断成立，对于D，令a=1，b=﹣2，显然不成立，故选：C．3．D【解析】由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，∴μ1=0.4，μ2=0.8，故A正确，C正确，∵甲图象比乙图象更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；∵乙图象的最大值为1.99，即=1.99，∴δ2≠1.99，故D错误．故选D．4．D【解析】∵，∴=，∴•=0，⊥，如图所示：则与的夹角是，故选：D．5．B【解析】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：B．6．B【解析】由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B7．C【解析】根据题意，抛物线的方程为：y2=8x，其焦点坐标为（2，0），若双曲线=1的一焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的焦点坐标为（±2，0），则有3+b=4，解可得b=1，则双曲线的方程为=1，其中a=，b=1，其渐近线方程为：y=±x；故选：C．8．C【解析】由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；②图象关于直线x=对称；可得：+φ=，k∈Z．对于D选项：φ=﹣，不满足，排除D；④一个对称中心为”带入函数y中，B选项不满足．排除B；故选C．9．B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，则有A33A22=12种推荐方法；②将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，则有C32A22A22=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法；故选：B．10．D【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．11．C【解析】由b+2c cos A=0，则cos A＜0，A为钝角，由正弦定理可得：sin B+2sin C cos A=0，由sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C，则sin A cos C+cos A sin C+2sin C cos A=0，即sin A cos C=﹣3sin C cos A，由cos A cos C≠0，可得tan A=﹣3tan C，且tan C＞0，∴tan B=﹣tan（A+C）=﹣==≤=，当且仅当=3tan C，即tan C=时取等号；∴B取得最大值时，c=b=1，C=B=；∴A=，a2=b2+c2﹣2bc cos A=3，∴a=；∴三角形的周长为a+b+c=2+．故选C．12．A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+e x﹣a﹣1n（x+2）+4e a﹣x，令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x﹣a+4e a﹣x≥4，（当且仅当e x﹣a=4e a﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A．二、填空题13．8【解析】∵函数，∴f（）==2，f（）==6，∴=2+6=8．故答案为：8．14．【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B1（2，3，1），B（2，3，0），C1（0，3，1），=（0，3，1），=（﹣2，0，1），设异面直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故答案为：．15．【解析】等差数列{a n}满足a1=x，a5=y，∴d=，∴设z=S5﹣S2=5a1+10d﹣2a1﹣d=3a1+9d=3x+=x+，则y=﹣11x+，平移目标函数，当过点A时，在y轴的截距最大，此时z最大由解得x=3，y=2，即A（3，2），∴z=+=，故答案为：16．﹣【解析】由，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合则﹣1＜k＜0∴直线l的方程为：即则圆心O到直线l的距离直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=∴===令则当S△AOB有最大值为此时，∴又∵﹣1＜k＜0∴三、解答题17．（1）证明：a1=2，a2=4，且a n+1﹣a n=b n；∴b1=a2﹣a1=4﹣2=2．由b n+1=2b n+2，变形为：b n+1=2=2（b n+2），∴数列{b n+2}是等比数列，首项为4，公比为2．（2）解：由（1）可得：b n+2=4×2n﹣1，可得b n=2n+1﹣2．∴a n+1﹣a n=b n=2n+1﹣2．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣2）+（2n﹣1﹣2）+…+（22﹣2）+2=2n+2n﹣1+…+22+2﹣2（n﹣1）=﹣2n+2=2n+1﹣2n．18．解：（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由统计数据可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列为：所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+=．②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．所以Y的分布列为：所以EY=﹣5000×+10000×=5000．所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=50万元．19．（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，所以B1C=，故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，），，，令，∴，，设平面AB1E的一个法向量为．，令z=，则x=，y=，∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，|cos＜＞|=，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或．∴CE=CC1=2或CE=CC1=3．20．解：（1）椭圆C：经过点P（1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线P A的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意21．解：（Ⅰ）函数f（x）=ln x﹣ax2+（2﹣a）x的定义域为（0，+∞），，①当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，时，f′（x）＞0，时，f′（x）＜0，则f（x）在上单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）首先易知a＞0，且f（x）在上单调递增，在上单调递减，不妨设，，构造，又∴，∴，∴F（x）在上单调递增，∴，即，又x1，x2是函数f（x）的零点且，∴而x2，均大于，所以，所以，得证．22．解：（Ⅰ）由题意C的方程为：，可得C的普通方程为：，将代入曲线方程可得：．因为曲线D的极坐标方程为，所以．又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．所以．所以曲线C的极坐标方程为：，曲线D的直角坐标方程为：x2+y2=．（Ⅱ）因为点，化为直角坐标为，所以A（2，2）．因为直线l过点A（2，2）且倾斜角为，所以直线l的参数方程为，代入中，得：，所以由韦达定理：，，所以．23．解：（1）当x≥1时，得，∴．当0＜x＜1时，得1﹣x≥3﹣2x⇒x≥2．∴无解当x≤0时，得所以，不等式的解集为或；证明（2）∵g（x）=|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，∴m=4，即a+b=4，又由均值不等式有：，两式相加得，∴．。