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三重积分iiizdv 一一 、一 一1.将|=[1分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的二次积分，并选择其中一种计算出结果.其中「是由曲面Z »2-X 2_『 及乙之2+『2所围成的闭区域.分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，. ______________ 』Z = J2_X 2 _y 2,匚 22 2 2〕 2 丄 2z=.，2-x -y 及z=x y ，而由这两个方程所组成的方程组Z = x y极易消去乙我们把它投影到xoy 面上.然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把 的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可.[z = J?_x ：_y ,解 将门投影到xoy 平面上，由Z =x y消去Z 得(x 2+y 2)2 =2-(x 2 +y 2 ),_ 2 2 2 2 2 2或(X +y +2)(x +y -1)=0，于是有 x +y =1 .即知,为此在D 内任取一点Q(x , y)，过Q 作平行于Z 轴的直线自下而上穿过.穿入时碰_ 2 . 2 _ ■ o 2 2到的曲面为Z =x y ，离开时碰到的曲面为Z -・2-x - y (不画图，仅用代数方法也2 2 x +y<1由于是由两张曲面l'在xoy 平面上的投影为圆域2 2 • 2 2-易判断z=x y 2-x -y)，这是因为x2+y ^1)(1)直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找Z的变化范围从而化为三重积分.因此再由D : x2+y2<1,有x2y2 <Z= 2-x -y2 ,于是在直角坐标下，'J 可表示为1 -x2,\ 2 - x2- y2,于是有11 -X 22 ；」2dx dy zdz匸二―口X 2 旳2 .(2)柱面坐标下首先把I 1的表面方程用柱面坐标表示， 这时Z=X 2 +y 2表示为Z= :' , Z= 2 - X - y表示为z= ;2 - '2 •再由投影区域 D 为x 2+y 2 <1 .故0-二_1, Q< 0 < 2二•于是门可表示为0兰日兰2兀， *0兰P 兰1, P 2 兰 z 兰 <2 — P 2 •将所给三重积分中的体积元素d 用d = 'dJdvdz 去替换，有2二1 2「2zd 「 m z®drdz 0 .J dz =0=°= 0P(3)球面坐标下cos用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=X 2 +y 2变为'=Sin 2 ••；曲面 z = 2 一 X? - / 变为「= ... 2 . 由门在Xoy 平面上的投影为 X 2+y 2 _1知0乞二乞2二，下边找 '的变化范围.正z 轴在门内，即门内有点P,使0P 与oz 夹角为零，即的下界为零.又曲面z=X 2 +y 27131与Xoy 平面相切，故''的上界为2，于是0 -- 2再找'的变化范围.原点在门的表面上，故 '取到最小值为零. 为找'的上界，从原点出发作射线穿过11，由于门的表面由两张曲面所组成，因而1),故A 所对应的4 .的上界随相应的•的不同而不同.为此在两曲面的交线z= 2 _x 2 _ y 2上取一点A(0 , 1,兀 丄兀COS©2 ■当42时，r 的上界由曲面r=Sin 所给，故这时r 的变化范围为,当0时，4时。
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
习题9 三重积分一、填空题1、若{}22(,,)|1,01x y z x y z Ω=+≤≤≤，则d z v Ω⎰⎰⎰= 。
2、d z v Ω⎰⎰⎰＝ ，其中222{(,,)|1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥3、曲面z =被1z =截下部分的面积为 。
4、曲面22z x y =+被1z =截下部分的体积为 。
5、锥面z =被柱面22z x =所割下部分的面积为 。
二、解答题1、I=d x v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=与三个坐标平面所围的闭区域。
2、()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰ 其中Ω：由平面1x y z ++=及三坐标面所围成的区域。
3、I=22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由2222x y z z ++= 所围成的闭区域。
4、I＝⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，其中Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。
5、⎰⎰⎰Ω++dvzyx)(222，Ω＝｛2224,0x y z z++≤≥｝。
6、⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。
7、⎰⎰⎰Ω++dvzyx222，Ω是由球面zzyx2222=++所围成的闭区域。
8、求函数22y x z +=在区域D ：x 4y x x 222≤+≤上与z=0所围成的体积。
9、求由平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的几何体的体积。
10、在由椭圆1422≤+y x 绕其长轴旋转一周而成的椭球体上，沿长轴方向打一穿过中心的圆孔，并使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求该圆孔的直径。
931 化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分其中积分区域分别是(1)由双曲抛物面xy z 及平面x y 10 z 0所围成的闭区域解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z xy 0y 1x 0x 1} 于是 ⎰⎰⎰-=xyx dzz y x f dy dx I 01010),,((2)由曲面z x 2y 2及平面z 1所围成的闭区域解 积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰+----=111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx I(3)由曲面z x 22y 2及z 2x 2所围成的闭区域解 曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰-+----=22222221111),,(x y x x x dz z y x f dy dx I提示 曲面z x 22y 2与z 2x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1(4)由曲面cz xy (c 0) 12222=+by a x z 0所围成的在第一卦限内的闭区域解 曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a ab yc xyz z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω于是 ⎰⎰⎰-=c xy x a a b adz z y x f dy dx I 000),,(22提示 区域的上边界曲面为曲面c z xy 下边界曲面为平面z 02 设有一物体 占有空间闭区域{(x y z )|0x 1 0y 1 0z 1} 在点(x y z )处的密度为(x y z )x y z 计算该物体的质量解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω101010)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=1010)21(dy y x dx⎰⎰+=++=1010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x3如果三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(的被积函数f (xy z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积 即f (x y z ) f 1(x )f 2(y )f 3(z ) 积分区域{(x y z )|a x b c y d l z m } 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωmldcbadzz f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321证明 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f ba dcml]))()()(([321⎰⎰⎰=dx dy dz z f y f x f b a d c m l]))()()(([321⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=m ldcb adx dy y f dz z f x f )])()()()([(231dx x f dy y f dz z f bam ld c)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=d cbam ldx x f dy y f dz z f )())()()((123⎰⎰⎰=d cmlb adzz f dy y f dx x f )()()(3214计算⎰⎰⎰Ωdxdydzz xy 32 其中是由曲面z xy 与平面y x x 1和z 0所围成的闭区域 解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z xy 0y x 0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32⎰⎰⎰=xyxdz z dy y xdx 030210⎰⎰=xxy dy z y xdx 004210]4[⎰⎰=x dy y dx x 051054136412811012==⎰dx x5 计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz 其中为平面x 0 y 0 z 0x y z 1所围成的四面体 解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z 1x y 0y 1x 0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰--++=xdy y x dx 1021]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ )852(ln 21-=提示⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰---+++-=xyx dy z y x dx 101021])1(21[⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-⎰-++-=101]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )852(ln 21-=6计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz其中为球面x 2y 2z 21及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域解 积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是 ⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ⎰⎰⎰---=222101010x y x xyzdz dy dx⎰⎰---=2102210)1(21x dy y x xy dx ⎰-=1022)1(81dx x x 481=7计算⎰⎰⎰Ωxzdxdydz其中是由平面z 0 z y y 1以及抛物柱面y x 2所围成的闭区域 解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z y x 2y 1 1x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωxzdxdydz ⎰⎰⎰-=yx zdz dy xdx 01112⎰⎰-=1211221x dy y xdx)1(61116=-=⎰-dx x x8计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz其中是由锥面22y x Rh z +=与平面zh (R 0h 0)所围成的闭区域解 当0z h 时 过(0 0 z )作平行于xOy 面的平面 截得立体的截面为圆D z 222)(z h R y x =+ 故D z 的半径为z h R 面积为222z h R π 于是⎰⎰⎰Ωzdxdydz⎰⎰⎰zD hdxdy zdz 0⎰==h h R dz z hR 0223224ππ9 利用柱面坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωzdv其中是由曲面222y x z --=及z x 2y 2所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 021222ρρ-≤≤z于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=1022022ρρπρρθzdz d d ⎰--=1042)2(212ρρρρπdπρρρρπ127)2(1053=--=⎰d(2)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面x 2y 22z 及平面z 2所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为02 02222≤≤z ρ于是 dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰dz d d θρρρ⋅=Ω⎰⎰⎰2⎰⎰⎰=22123202ρπρρθdz d d⎰⎰-=205320)212(ρρρθπd d ⎰==ππθ2031638d10 利用球面坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ω++dvz y x )(222 其中是由球面x 2y 2z 21所围成的闭区域 解 在球面坐标下积分区域可表示为 02 00r 1于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=θϕϕd drd r sin 4⎰⎰⎰=104020sin dr r d d ππϕϕθπ54=(2)⎰⎰⎰Ωzdv其中闭区域由不等式x 2y 2(z a )2a 2 x 2y 2z 2 所确定解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⋅=θϕϕϕd drd r r zdv sin cos 2⎰⋅=404)cos 2(41cos sin 2πϕϕϕϕπd a4405467cos sin 8a d a πϕϕϕππ==⎰11 选用适当的坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωxydv其中为柱面x 2y 21及平面z 1 z 0 x 0 y 0所围成的在第一卦限内的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ于是 ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰Ω⋅⋅=dz d d θρρθρθρsin cos⎰⎰⎰==101032081cos sin dz d d ρρθθθπ别解 用直角坐标计算⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰-=1010102dz ydy xdx x ⎰⎰-=21010x ydy xdx ⎰-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x (2)⎰⎰⎰Ω++dvz y x 222 其中是由球面x 2y 2z 2z 所围成的闭区域解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222⎰⎰⎰⋅=ϕππϕϕθcos 022020sin dr r r d d10cos 41sin 2204πϕϕϕππ=⋅=⎰d(3)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面4z 225(x 2y 2)及平面z 5所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22⎰⎰⎰=52520320ρπρρθdz d dπρρρπ8)255(2203=-=⎰d(4)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中闭区域由不等式Az y x a ≤++≤<2220 z所确定解 在球面坐标下积分区域可表示为Ar a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20πϕπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22θϕϕθϕϕϕd drd r r r sin )sin sin cos sin (2222222⎰⎰⎰Ω+=)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==⎰⎰⎰πϕϕθππ12 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1)z 6x 2y 2及22y x z +=解 在柱面坐标下积分区域可表示为0 2 02 z 62于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dz d d dv V θρρ⎰⎰⎰-=262020ρρπρρθdz d d⎰=--=2032332)6(2πρρρρπd(2)x 2y 2z 22az (a 0)及x 2y 2z 2(含有z 轴的部分)解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd drd r dv V sin 2⎰⎰⎰=ϕππϕϕθcos 2024020sin a dr r d d34033sin cos 382a d a πϕϕϕππ==⎰(3)22y x z +=及zx 2y 2解 在柱面坐标下积分区域可表示为 02 01 2z于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd dz d d dv V(4)225y x z --=及x 2y 24z解 在柱面坐标下积分区域可表示为 22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z于是 ⎰⎰⎰-=22541220ρρπρρθdz d d V)455(32)45(22022-=--=⎰πρρρρπd13 球心在原点、半径为R 的球体 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比 求这球体的质量 解 密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ 在球面坐标下积分区域可表示为02r R于是 ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x k M 2224220sin R k dr r kr d d R πϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰。
高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。
1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。
锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。
由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。
2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。
先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。
再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。
最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。
所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。
二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。
1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。
则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。
2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。
9-31. 化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}, 于是 ⎰⎰⎰-=xyx dz z y x f dy dx I 01010),,(.(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x , 于是 ⎰⎰⎰+----=111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx I .(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域; 解 曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x , 于是 ⎰⎰⎰-+----=22222221111),,(x y x x x dz z y x f dy dx I .提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2-x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0), 12222=+by a x , z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解 曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a a b y c xyz z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω,于是 ⎰⎰⎰-=c xy x a a b adz z y x f dy dx I 000),,(22.提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面c z =xy , 下边界曲面为平面z =0.2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )=x +y +z , 计算该物体的质量.解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω101010)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=1010)21(dy y x dx⎰⎰+=++=1010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x .3. 如果三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(的被积函数f (x , y , z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积, 即f (x , y , z )= f 1(x )⋅f 2(y )⋅f 3(z ), 积分区域Ω={(x , y , z )|a ≤x ≤b , c ≤y ≤d , l ≤z ≤m }, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωmld cb adz z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321.证明⎰⎰⎰Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f b a d c ml]))()()(([321⎰⎰⎰=dx dy dz z f y f x f b a d c m l]))()()(([321⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=m ldcb adx dy y f dz z f x f )])()()()([(231dx x f dy y f dz z f bam ld c)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=d cbam ldx x f dy y f dz z f )())()()((123⎰⎰⎰=d cmlb adz z f dy y f dx x f )()()(321.4. 计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32, 其中Ω是由曲面z =xy , 与平面y =x , x =1和z =0所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤x , 0≤x ≤1}, 于是⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32⎰⎰⎰=xyxdz z dy y xdx 030210⎰⎰=xxy dy z y xdx 004210]4[ ⎰⎰=x dy y dx x 051054136412811012==⎰dx x .5. 计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz, 其中Ω为平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的四面体.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1-x -y , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1},于是 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰--++=xdy y x dx 1021]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ )852(l n 21-=.提示: ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰---+++-=xyx dy z y x dx 101021])1(21[⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-⎰-++-=101]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )852(ln 21-=.6. 计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz , 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解 积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ⎰⎰⎰---=222101010x y x x y z d zdy dx ⎰⎰---=2102210)1(21x dy y x xy dx ⎰-=1022)1(81dx x x 481=.7. 计算⎰⎰⎰Ωxzdxdydz , 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, -1≤x ≤1},于是⎰⎰⎰Ωxzdxdydz ⎰⎰⎰-=yx z d z dy xdx 01112⎰⎰-=1211221x dy y xdx 0)1(61116=-=⎰-dx x x . 8. 计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz , 其中Ω是由锥面22y x R h z +=与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解 当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z : 222)(z h R y x =+, 故D z 的半径为z h R , 面积为222z h R π, 于是⎰⎰⎰Ωz d x d y d z =⎰⎰⎰zD hdxdy zdz 0⎰==hh R dz z h R 0223224ππ. 9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)⎰⎰⎰Ωzdv , 其中Ω是由曲面222y x z --=及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, 222ρρ-≤≤z , 于是⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=1022022ρρπρρθz d z d d ⎰--=1042)2(212ρρρρπdπρρρρπ127)2(1053=--=⎰d .(2)⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面x 2+y 2=2z 及平面z =2所围成的闭区域.解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, 222≤≤z ρ, 于是 dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰dz d d θρρρ⋅=Ω⎰⎰⎰2⎰⎰⎰=221203202ρπρρθdz d d⎰⎰-=205320)212(ρρρθπd d ⎰==ππθ2031638d .10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1, 于是⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=θϕϕd d r d r s i n 4 ⎰⎰⎰=104020s i n dr r d d ππϕϕθπ54=.(2)⎰⎰⎰Ωzdv , 其中闭区域Ω由不等式x 2+y 2+(z -a )2≤a 2, x 2+y 2≤z 2 所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ϕπϕπθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⋅=θϕϕϕd drd r r zdv sin cos 2⎰⋅=404)c o s 2(41c o s s i n 2πϕϕϕϕπd a 4405467c o s s i n 8a d a πϕϕϕππ==⎰. 11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)⎰⎰⎰Ωxydv , 其中Ω为柱面x 2+y 2=1及平面z =1, z =0, x =0, y =0所围成的在第一卦限内的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ,于是⎰⎰⎰Ωx y d v ⎰⎰⎰Ω⋅⋅=dz d d θρρθρθρsin cos ⎰⎰⎰==101032081c o s s i n dz d d ρρθθθπ. 别解: 用直角坐标计算⎰⎰⎰Ωx y d v ⎰⎰⎰-=1010102dz ydy xdx x ⎰⎰-=21010x y d y x d x⎰-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x . (2)⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域;解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ϕπϕπθc o s 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r ,于是⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222⎰⎰⎰⋅=ϕππϕϕθc o s22020s i n dr r r d d10cos 41sin 2204πϕϕϕππ=⋅=⎰d .(3)⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ,于是⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22⎰⎰⎰=52520320ρπρρθdz d dπρρρπ8)255(2203=-=⎰d .(4)⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22, 其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220, z ≥0所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 A r a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20πϕπθ,于是⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22θϕϕθϕϕϕd d r d r r r s i n )s i n s i n c o s s i n(2222222⎰⎰⎰Ω+=)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==⎰⎰⎰πϕϕθππ.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6-x 2-y 2及22y x z +=;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6-ρ2, 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dz d d dv V θρρ⎰⎰⎰-=262020ρρπρρθdz d d⎰=--=2032332)6(2πρρρρπd .(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为ϕπϕπθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd d r d r dv V sin 2⎰⎰⎰=ϕππϕϕθc o s2024020s i na dr r d d34033s i n c o s382a d a πϕϕϕππ==⎰. (3)22y x z +=及z =x 2+y 2;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd dz d d dv V .(4)225y x z --=及x 2+y 2=4z .解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z ,于是 ⎰⎰⎰-=225412020ρρπρρθdz d d V)455(32)45(22022-=--=⎰πρρρρπd .13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解 密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ. 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R ,于是 ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x k M 222400220s i n R k dr r kr d d Rπϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰.。
题目部分， (卷面共有 100 题 ,分 ,各大题标有题量和总分 ) 一、选择 (16 小题 ,共分 )(2 分 )[1]2(3 分 )[2] 二重积分xydxdy (此中 D ： 0≤ y ≤ x ,0≤ x ≤ 1)的值为D1111 （ A ）（ B ）（ C ）（ D ） 61224答 ()(3 分 )[3] 若地区D 为 0≤ y ≤ x 2,| x| ≤ 2,则xy 2 dxdy=D（A ）0；（ B ）32（ C ）64（ D ） 25633(3 分 )[4] 设D 1 是由ox 轴， oy轴及直线答 (x+y=1 所圈成的有界闭域， )f 是地区D ：| x|+| y| ≤ 1 上的连续函数，则二重积分f ( x 2, y 2 ) dxdy __________f ( x 2 , y 2 )dxdyDD 1（A ）2（ B ）4（ C ）8（D ）12答 ()(3 分 )[5] 设 f(x,y)是连续函数，则二次积分0 1 x 21dxf ( x, y) dyx 11 y 12 y 21(A)dy1 f ( x, y)dxdyf (x, y)dx0 11(B)1 y 1dy1 f ( x, y)dx1 y 12y 2 1(C)dy 1 f ( x, y)dxdy f (x, y)dx1 1(D)2y 21dy1 f (x, y)dx答 ()x y dxdy(3 分 )[6] 设函数 f(x,y)在地区 D ：y2≤－ x,y ≥ x 2 上连续，则二重积分f可( , )D化累次积分为x 2f (x, y)dy0 x 2(A)dxx (B)dx f ( x, y)dy11 x1 y 21 y2 (C)dyf ( x, y)dx(D)dyf ( x, y)dxyy答( )13 y 2f ( x, y)dx 可互换积分序次为(3 分 )[7] 设 f(x,y)为连续函数，则二次积分dy1 2y21dx2 x3 3 x 2(A)f ( x, y)dydxf (x, y)dy0 0112x 21 3 dx3 x 2(B) 2dxf (x, y)dy 1 dxf (x, y)dy 2 f ( x, y)dy21 3 x 2(C)dx2 x (D) 2d3 2cos 0sin 2()f ( x, y)dyf (r cos , r sin )rdr答(3 分 )[8] 设 f(x,y)为连续函数，则积分1 x 22 2 xdxf (x,y)dydxf ( x, y)dy1可互换积分序次为1 y2 2 y(A)dyf (x,y)dx dy0 f ( x, y)dx0 0 1(B)1 x 22 2 xdy f ( x,y)dxdy0 f (x, y)dx0 0 11 2 y(C)dyf ( x,y)dxy12 x(D)dyx 2 f ( x,y)dx答 ()(4 分 )[9] 若地区 D(x 1) 2 +y 2≤ 1,则二重积分fx y dxdy 化成累次积分为为 －( , )D2cos2cos(A)dF (r , )dr(C) 2d2cos F (r , )dr2此中 F(r,θ )=f(r cos θ,rsin θ)r.(B)dF (r , )dr0 (D) 2 2d2cos F (r , )dr答 ( )(3 分 )[10] 若地区 D 为 x 2+y 2≤ 2x ，则二重积分(x y) x 2y 2 dxdy 化成累次积分为D2d2cossin ) 2r cos rdr(A)(cos2(cossin )d2cos 3dr(B)r(C)22(cossin )d 2cosr 3dr(D) 22(cossin )d2cos r 3dr2答()(4 分)[11]设 I 1[ln( x y)]7 dxdyI, 2(xy) 7 dxdy,I 3sin 7(x y)dxdy此中D是DDD由 x=0,y=0, xy1I 1 ， I 2， I 3 的大小次序是,x+y=1 所围成的地区，则2(A)I 1＜ I 2＜ I 3;(B)I 3＜ I 2＜ I 1;(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .132312答( )(5 分 )[12] 设 Idxdy，则 I 知足11cos 2x sin 2 yx y2I 2(B)2I3(A)3 1(C) D(D)1 I 0I2答 ( )(4 分 )[13] 设 xy1及 x+y=1 所围成的地区，则 I 1， I 2，此中 D 是由直线 x=0,y=0,2I 3 的大小次序为(A)I ＜I ＜I ;(B)I ＜I ＜I;32 112 3(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .1 32312答 ( )(3 分 )[14] 设有界闭域 D与 D 对于 oy 轴对称，且 D ∩D =,f(x,y)是定义在 D ∪D 上的连续函121212数，则二重积分f (x 2, y)dxdyD(A) 2f ( x 2 , y)dxdy(B) 4f ( x 2 , y)dxdyD 1D 2(C)4f (x 2 , y)dxdy(D) 1f ( x 2 , y)dxdyD 12D 2答 ()(3 分 )[15] 若地区 D 为| x| ≤1,| y| ≤ 1,则xe cos(xy) sin( xy)dxdyD (A) e;－ 1(B) e ; (C) 0;(D)π.答 ( )(4 分 )[16] D： x2+y2≤ a2(a＞ 0),当 a=___________，a2x2y2 dxdy .D33(A)1(B)23331(C)4(D)2答 ()二、填空(6小 ,共分 )(4 分)[1] 函数 f(x,y)在有界地区 D 上有界，把 D 随意分红 n 个小地区σi(i=1,2,⋯,n),在每一个小地区σ i随意取一点(ξi,ηi),假如极限nlim f ( i , i ) i(此中入是σ i(i=1,2,⋯,n)的最大直径)存在，称此极限0 i1______________的二重分。
极坐标计算二重积分1.把积分dxdyy x f D),(⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是:222{(,)|},x y x y a +≤ 其中0a >解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以θρρθρθρd d f d x d y y x f DD)s i n ,c o s (),(⎰⎰⎰⎰=⎰⎰=πρρθρθρθ20)s i n ,c o s (d f d a.2.把积分d xd y y x f D),(⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:2222{(,)|},x y a x y b ≤+≤, 其中0<a <b ;解 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以 θρρθρθρd d f d x d y y x f DD)s i n ,c o s (),(⎰⎰⎰⎰=⎰⎰=πρρθρθρθ20)s i n ,c o s (bad f d .3. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f Iσ),(化为极坐标形式的累次积分, 其中:. D: 2222,a x y b ≤+≤0y ≥,(0)b a >>解⎰⎰⎰⎰==baDd f d d y x f I ρρθρθρθσπ)sin ,cos (),(04. 22xy DI e dxdy +=⎰⎰，其中2222:(0)D a x y b a b ≤+≤<<，则I=（ ）A（A ）22()b a e e π- （B ）222()b a e e π-（C ）()2b a e π- （D ）()b ae π-答案：（A ） 解2222222012()2bx y bb a aa DI edxdy d e d e e e πρρθρρππ+===⋅=-⎰⎰⎰⎰，选A5.计算σd e y xD22+⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以θρρσρd d e d e Dy x D222⎰⎰⎰⎰=+)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ.6.计算σd y x D)1ln(22++⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以θρρρσd d d y xDD)1l n ()1l n (222+=++⎰⎰⎰⎰)12l n 2(41)12l n 2(212)1l n (0102-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .7.计算⎰⎰++--Ddxdy yx y x 222211, D: 221,0,0x y x y +≤≥≥. 解.=++--⎰⎰Ddxdy yx y x 222211⎰⎰⎰+-=+-12211411,dt ttxd d D πθρρρρθρu t t =+-11令 ⎰+10222)1(du u u π θtan =u 令 θθθθππd ⎰40422sec sec tan =)2(8sin 42-=⎰ππθθππd .8.计算σd yx y x D222211++--⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以θρρρρσd d d y x y x D D ⋅+-=++--⎰⎰⎰⎰2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d .9.计算σd xyDarctan ⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以θρρθθρρθσd d d d d xyDDD⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰)a r c t a n (t a n a r c t a n 2401d d πθθρρ=⋅⎰⎰324013d 64d ππθθρρ==⎰⎰..10.计算σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|},x y a x y b ≤+≤ 解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以σd y x D22+⎰⎰)(3233202a b dr r d ba -==⎰⎰πθπ.11 .设22:16D x y +≤，则224______.Dx y dxdy +-=⎰⎰80π答案：解 将积分区域分为22224,416x y x y +≤≤+≤两部分，计算可得。
