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三重积分习题ppt

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高等数学《三重积分》课件

高等数学《三重积分》课件

3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数

三重积分ppt

三重积分ppt
0 2
在球面坐标下 x2 y2 z2 2, 因此
1. 若被积函数形如 f (x2 y2 z2);
2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成. 常用球面坐标计算
球面坐标下的三坐标面分别为
z
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
=常数:
M
S
ρ
0
x y
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
f
( x,
y, z)dxdy.
例4 计算三重积分 zdxdydz, 其中为三个坐
标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先二后一法)
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
Dz
Dz {(x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
z
• M (x, y, z)
z
O
Ax x
y
•P
y
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的
夹角为 , 称 ( , , ) 为点M 的球面坐标. 规定: 0 , 0 , 0 2 .
直角坐标与球面坐标的关系为
x sin cos
y
sin
sin
z cos
0 0
z
C
=常数: 锥面C
=常数: 半平面P
M
S
P
0
x
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面ρ+dρ
半平面 及+d ； ρsind
半径为ρ及ρ+dρ的球

重积分三重积分的应用课件.ppt

重积分三重积分的应用课件.ppt

解 立体的图形为 设1为 在第一卦限内
的部分, 利用对称性得
z 1
M 4M1 4 ( x, y, z)dv
1
o
y
4( x y )dv 柱坐标变换 x
1
1
1
4 2 d rdr r(cos sin )dz
0
0
r2
4
2 (cos sin )d
1
r
2
(1
r
2
)dr
0
0
16。 15
13
设有一平面薄片占有 y
平面闭区域D, 在点(x,y)
处具有连续面密度
=(x,y)，下面利用元素
y
•d
D
法求该平面薄片对两坐
标轴的转动惯量。
O
x
x
先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一
个部分d，它的质量元素为
dm ( x, y)d
这个部分d对于x轴以及对于y轴的转动惯
量元素为
dIx y2( x, y)d dI y x2( x, y)d
F
x, y, a 一致。
F0
x r
,
y,a rr
o x
x
y
• P(x,y,0) y
cos,cos ,cos , (r x2 y2 a2 )
dF {dFx , dFy , dFz }
{| d F | cos,| d F | cos ,| d F | cos },
( x, y)xd ( x, y) yd a( x, y)d
14
y
以这些元素为被积表达 式，在闭区域D上积分， 可得
y
•d
D
Ix y2( x, y)d ,OD源自I y x2( x, y)d

三重积分的先二后一积分法(课堂PPT)

三重积分的先二后一积分法(课堂PPT)

椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的面积:
A ab
b
a
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
10.3 三重积分 7
Dz
{(x,
y) |
x2 a2 (1
z2 c2
)
y2 b2 (1
z2 c2
)
1}
dxdy
Dz
a2
(1
z2 c2
)
b2
(1
z2 c2
)
ab(1
z2 c2
)
椭圆的面积
z
2
dxdydz
Dz
d
z
DzLeabharlann c截面的质量 “切片法”
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
10.3 三重积分 4
适合“先二后一”积分法的一种特殊情形
d
f (x, y, z)dV c dz f (x, y, z)dxdy
Dz
d
D(z)
如果被积函数仅为 z 的函数，则
z
d
c
f (z)dV c dz f (z)dxdy
Dz
{(x,
y) |
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2 }
椭圆域
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
例2 计算三重积分
z 2 dxdydz
10.3 三重积分 6
z
Dz
解 用“先二后一”的方法
o
y
x
{(x,
y, z) | c
z
c,
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
}

三重积分习题ppt课件

三重积分习题ppt课件

z
2
解法1：利用“先二后一”方法计算。
1
因 {(x, y, z) | (x, y) Dz, 0 z 2}
oD
y
由于当 0 z 1 时， Dz : x 2 y 2 z 2；
x
而当 1 z 2 时， Dz : x2 y2 2 z2 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
故需用平面 z 1 将积分区域 划分为两部分： 1 2
h
所以本题也可采用柱面坐标计算
解法1：利用“先二后一”方法计算。
由于 {( x, y, z) | ( x, y) Dz , 0 z ，h}
o R x
Dz
R
y
其中 Dz : x 2 y 2 Rh22z，2 故
zdxdydz
h
zdz
dxdy
h
R2z2
z
dz
0 Dz
0
h2
R 2
注意：从上面两种解法的过程来看, 虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
26/37
9(2). 计算三重积分 zdxdydz , 其中 是由圆锥面 z x2 y2 与上半球面 z 2 x2 y2 所围成的闭区域。
分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面
坐标方法进行计算。
D
a
b ax
xy
Dxy
dx a
dy c f ( x, y, z)dz 0
a
20/37
y x
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4. 计算三重积分 xy2z 3dxdydz。其中 是由曲面 z xy
与平面
y
x，x
1
及

三重积分 ppt课件

三重积分 ppt课件
0
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv

存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
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二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1

2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1

2
(h

2
4
)
d

ppt课件
10
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围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y

2

1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
ppt课件
14
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2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
ppt课件
因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz

同济大学 高数 三重积分ppt课件

同济大学 高数 三重积分ppt课件

对应雅可比行列式为 J (x, y, z) (u, v, w)
直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
J (x, y, z)
(,, z)
x y
x y
xz cos sin 0
yz sin cos 0
z z zz
0
01
dv J dddz dddz
x2 y2 2
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
22
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3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
zOM ,则(r,, ) 就称为点M 的球坐标.
16
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f (x, y, z)dxdydz
d d dz
d
d 2 ( )
z2 (, ) F(, , z)dz
1 ( )
z1 ( , )
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
(,, z) , 1( ) 2( ), z1(, ) z z2(, )
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
00z2π
z z
M (x, y, z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面

三重积分习题课优质课件

三重积分习题课优质课件
r=2a cos
M
r
例8
1
Dxy
1
0
x
z
y
【例9】
【解Ⅰ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅱ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅲ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅳ】
【补充：利用对称性化简三重积分计算】
使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的
奇偶性．
一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z
(1) 交换积分顺序的方法
(2) 利用对称性简化计算
(3) 消去被积函数绝对值符号
(4)被积函数为1时巧用其几何意义
【例1 】计算
【解】
由对称性知
（球面坐标）
作业题
一、关于三重积分性质和应用的题类
【例2】
设
比较M,N,P的大小.
【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称性直接作出比较呢?
问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要
多少小时? (2001考研)
【例17】——机动备用
［提示］
记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则
(用极坐标)
由题意知
令
得
(小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
小时.
【例5】
1
x+ y=1
y
o
z
x
1

高等数学重积分计算复习PPT课件

高等数学重积分计算复习PPT课件

三重积分的几何意义
总结词
理解三重积分的几何意义有助于直观地理解 其物理意义和应用。
详细描述
三重积分表示三维空间中体积和质量的量值， 其几何意义可以通过三维图形或实体模型来 解释。例如，一个密度不均匀的物体质量可 以通过三重积分来计算。
04
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
计算立体体积
通过重积分可以计算出三维空间中物体的体积，如球 体、圆柱体等。
纠正方法
针对这些常见错误，提供有效的纠正方法和 技巧，帮助学生避免类似错误再次发生。
综合练习与提高
要点一
综合练习题
设计一些涉及多个知识点和技巧的综合练习题，以提高学 生的综合运用能力和解题技巧。
要点二
解题方法总结
对综合练习题的解题方法进行总结和归纳，帮助学生掌握 更多的解题技巧和策略。
感谢您的观看
利用直角坐标系将二重积分转化为累次积分，再逐一计算。
极坐标系下的计算方法
利用极坐标变换将二重积分转化为极坐标形式，再逐一计算。
二重积分的几何意义
面积的近似计算
二重积分可以用来近似计算平面区域的面积。
体积的近似计算
二重积分可以用来近似计算空间区域的体积。
03
三重积分计算
三重积分的定义与性质
总结词
高等数学重积分计算复习 ppt课件
目录
• 重积分概述 • 二重积分计算 • 三重积分计算 • 重积分的应用 • 复习与巩固
01
重积分概述
重积分的定义与性质
重积分的定义
重积分是定积分概念的推广，它涉及到二维 或更高维度的积分计算。在二维情况下，重 积分可以看作是面积的积分，而在三维情况 下，重积分可以看作是体积的积分。
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b
o
.
a
x
计I算 f(x,y,z)d xd yd z:czxy(c0),a x2 2b y2 21
及z0所围成的在区 第域 习一 题。 10卦 -3 限第的
z
x2 y2
a2
b2
1
1(4)题
y
cz=xy
b
o z=0
a
.
x
计I算 f(x,y,z)d xd yd z:czxy(c0),a x2 2b y2 21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
20/37
y x
x
-
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4. 计算三重积分 xy2z3dxdyd。z 其中 是由曲面 zxy 与平面 yx，x1及 z 0所围成的闭区域。
分析: 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点, 故本题考虑利用直角坐标来计算.
解: (1) 求 （如图）在平面 xo上y 的投影区域为 D xy
其中
1 { ( x , y , z ) |( x , y ) D z , 0 z 1 }
2 { ( x , y , z ) |( x , y ) D z , 1 z 2 }
于是，得
zdxdydz zdxdydzzdxdydz
1
2
1
2
0zdzdxdy1 zdzdxdy
Dz
Dz
常见的二次曲面
1. 柱面
2. 锥面
3. 椭球面
4. 双曲面
5. 抛物面
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z
:zx与 y xy1,z0所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z
1zz2dz 2z(2z2)dz
0
1
1z41(z21z4) 2
40
41 2
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下 : z2 2 ,0 1 ,0 2
故有
zdxdydz 2d 1d 22 zdz
0
0
2 11(222)d 02
(2 1 4)1
20 2
注意：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
考虑到积分区域在xo坐y 标 面上的投影区域为圆域
z
Dxy: x2y2R2
h
所以本题也可采用柱面坐标计算
解法1：利用“先二后一”方法计算。
由于 { x ,( y ,z ) |( x ,y ) D z ,0 z ，h }
o R x
Dz
R
y
其中 Dz : x2y2 Rh22，z2 故
zdxdydz
1 x5 y6dxdy1
4 Dxy
4
1
d
x
x
x5
y6d
y
0
0
1 364
习题10-3
第7
题
8.
计算三重积分 zdxdydz. 其中 是由锥面
z h x2 y2 R
与平面z h(R0, h0)所围成的闭区域。
分析 由于被积函数 f(x, y,z)z只与变量 z有关, 且积分区域 被竖坐标为 z的平面所截的平面闭区域为圆域 Dz : x2y2 Rh22z2 故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法计算比较简便；
注意：从上面两种解法的过程来看, 虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
26/37
9(2). 计算三重积分 zdxdydz, 其中 是由圆锥面 z x2 y2 与上半球面 z 2x2 y2所围成的闭区域。
分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面
坐标方法进行计算。
z
2
:zx与 y xy1,z0所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z
:zx与 y xy1,z0所围成的区域 。
。
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
xy
1 1x xy
Idxdy0
f(x,y,z)d z d x 00
解法1：利用“先二后一”方法计算。
1
因 { ( x ,y ,z )|( x ,y ) D z ,0 z 2 }
oD
y
由于当 0z1 时， Dz: x2y2z2；
x
而当 1 z 2 时， D z: x2y22z2。
-
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故需用平面 z 1 将积分区域 划分为两部分：12
及z0所围成
的在区 第域 习一 题。 10卦 -3 限第的
1(4)题
z
cz=xy
.
b
o
a
y x
z
用哪种坐标？ 直角坐标 cz=xy
是曲顶柱 由体,
xy
上顶 ： z c
.
b
o
a
下底 ： z = 0
Dxy:
x,
y,
x2 y
a
b
1
围成
y
xy
b
Idxdyc f(x,y,z)dz
D
a
bax
xy
Dxy
dxa dyc f(x,y,z)dz 0
D x: y 0yx ,0x1
(2)
确定上顶曲面
及下顶曲面
1
。2
因为当(x, y)Dx时y 满足 x ，0 y ,0
zxy0 。因此 1 :zxy 2 :z0
z zxy
o
(3) 转化为先对 z后对 x, y的三次积分计算：
y yx
x
xy2z3dxdydz
x
dxdy
yxy2z3dz
0
Dxy
d y f(x,y,z)d z 0
D
习题10-3
第
1(2)题
z
1
Dxy 0
y
1
x
习题10-3
第
1(3)题
计I算 f(x,y,z)d xd yd z:czxy(c0),a x2 2b y2 21
及z0所围成的在区 第域 习一 题。 10卦 -3 限第的
z
x2 y2
a2
b2
1
1(4)题
y
cz=xy
h
zdz
dxdy
h
R2z2
z dz
0 Dz
0
h2
R 2
h2
h z3dz 1 R 2 h2
0
4
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下 :hzh ,0R ,02
R
故有
zdxdydz
2
d
0
R
d
0
R hhzdz20R1 2(h2R h222)d
(1h22 2
4hR224)0R
1 4
R 2h2