2、方阵问题#

方阵问题的所有公式方阵问题的公式虽然表示复杂而有趣的概念，但它也是数学中最基本的概念之一，在基础数学中比较常见。

正如字面意思一样，方阵是由行和列构成的矩形数组，它以大小来描述。

方阵的每一行和每一列都是完全相同的，每一行和每一列的长度都相同。

例如：[1 2 3][4 5 6][7 8 9]上面的矩阵是一个3乘3的方阵，它有三行和三列。

方阵问题的公式主要是由方阵的运算属性推导出来的，这些公式可以很容易地到达一些有趣的结论。

其中最基本的公式可以概括为：（1）一个n乘n的方阵A可以表示为A= [a_ij]，其中a_ij表示第i行第j列上的数。

（2）矩阵A的转置 AT = [a_ji]，其中a_ji表示第j行第i列上的数。

（3）矩阵A的元素和S示为S = a_11 + a_12 + a_13+…+ a_nn （4）矩阵A的平方A^2= AA, A^3= AAA（5）矩阵A的逆A^-1求解可以用分块逆矩阵、克莱默法则和列主元法，其中分块逆矩阵可以用来解决3乘3或更小尺寸的方阵。

（6）矩阵A的行列式A|A，它表示相应的n乘n方阵的特征，也可以用来表示多面体三角形的面积或体积。

（7）矩阵A的伴随矩阵A*= adj(A)，其中adj(A)是矩阵A的代数余子式，即A|A的每一项的乘积。

（8）矩阵A的特征值和特征向量的求解，通过计算矩阵A的行列式A|A，转换为求n次方程的根。

（9）利用矩阵乘法，可以求解线性方程组的解，例如：X + 3Y + 5Z = 132X + Y + 4Z = 164X + 3Y + 8Z = 25解得X=5, Y=3, Z=2.（10）矩阵乘法可以用来求解很多复杂问题，例如求解伯努利矩阵问题（二项伯努利定理）、罗伯特威尔逊矩阵问题（二项罗伯特威尔逊定理）、卡马克矩阵问题等。

以上就是方阵问题的公式，它们使得我们能够更有效地研究方阵，并从中获得许多有趣的结论。

方阵问题的公式受到许多学科的重视，它们能够拓展许多研究领域，推动数学科学的发展。

让知识带有温度。

方阵问题公式大全整理方阵问题公式大全导语：只要学习和把握相应的计算公式就可以特别快速地解题，方阵问题的常用公式有哪些?以下是我收集整理的资料，期望对您有所帮忙。

一、方阵问题的类型方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。

二、方阵问题特点在方阵问题中经常包含了几大特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的'人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2人：例1、一个六层空心方阵最内层每边上有6人，则最外层每边有多少人?利用第一大特点可得出最外层：6+5×2=16人(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系：四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4例2、一个用花盆围成的方阵的边长是8，问最外层有多少个花盆?第1页/共2页千里之行，始于足下。

直接套用公式：(8-1)×4=28个(3)实心方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数例3、有士兵排成一个方阵，每边边长是20，问总共有多少士兵?利用公式：20×20=400(4)空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4例4、用204盆鲜花围成一个每边三层的方阵。

求最外面一层每边多少盆?直接套用公式：(x-3)×3×4=204 x=20;通过以上例题可知，方阵问题的五大计算公式分别为：(1)方阵总数=最外层每边数目的平方;(2)方阵最外一层总数比内一层总数多8(行数和列数分别大于2);(3)方阵最外层每边数目=(方阵最外层总数÷4)+1;(4)方阵最外层总数=[最外层每边数目-1]×4;(5)去掉一行、一列的总数=去掉的每边数目×2-1。

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方阵问题(二)1、小明参加集体操表演，排在一个方阵队伍中间，从前、从后、从左、从右开始数他都是站在第7位，参加集体操表演的共有多少人？2、希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图中实线所示，从第1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵．小明的编号是28，他排在第3行第4列，则运动员共有多少人？3、在一个学生方阵中加入9人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？4、游行队伍中的红旗方阵，横、竖每行都是10个旗手，它的最外围有多少个旗手?5、一个学校的学生排成一个方阵，最外层有120人，这个学校一共有多少？6、同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第6个，参加广播操表演的共有多少人？7、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生．女生有72人参加表演，男生有多少人？8、操场上有12排学生在做操，每排人数都相同，小明站在第3排，从排头数他是第5个，从排尾数他是第10个，一共有多少个学生在做操？9、某班抽出一些学生参加2004年“六一”国际儿童节队列表演．如果排成一个正方形方阵（实心），就多出7人；如果每行每列都增加一排，就少4人．这些学生的人数是多少人？10、用同样大小的黑、白两种小方砖铺一张正方形桌面，桌面的两条对角线铺黑色的小方砖，其余的都铺白色小方砖，如图所示．铺满这张桌面恰好用了93块黑色小方砖，那么用白色小方砖的块数是多少块？11、鲜花队准备排成一个正方形队列，由于服装不够，只好减少25人，使横竖各减少一排，鲜花队有多少人？12、四年级共选49位同学参加校运会开幕式，他们排成一个方阵．这个方阵的最外层一共有多少人？13、36名学生在操场上做游戏．大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人．每边各有几名学生？14、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？15、一个实心体操方阵，最外层有72人．这个体操方阵有多少人？16、同学们排成方形队做操，无论从前数从后数，还是从左数，从右数，小平都是第4个，共有多少人做操？17、五（3）班的同学排成一个方队做操，小明的前、后、左、右都有7人．五（3）班有多少人？18、实验小学举行团体操表演．四年级同学排成一个方阵，最外层每边站了16名同学，最外层一共有多少名同学？整个方阵一共有多少学生？19、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？20、六一节前夕，光明小学用若干盆鲜花排成了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边有花盆10盆，最外层一共有多少盆花？整个花坛一共有多少盆花？21、参加军事训练的学生练习排下方形方阵，排成一个大方阵余12人，若将大方阵纵横各减少一行，则余下的人可以组成一个5行5列的方阵，这队学生共有多少人？。

三年级知识点：方阵问题方阵问题同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。

士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。

(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4春天绿叶分割线例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。

解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。

儿童节气球可爱gif 动图分割线贴纸例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。

(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。

小学数学：方阵问题公式
小学数学：方阵问题公式
【】小学数学的学习至关重要，广大小学生朋友们一定要掌握科学的学习方法，提高数学的学习效率。

以下是查字典数学网小学频道为大家提供的方阵问题公式，供大家复习时使用!
小学生数学公式大全：方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。

(2)空心方阵：
(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2层数)2=中空方阵的人数。

或者是
(最外层每边人数-层数)层数4=中空方阵的人数。

总人数4层数+层数=外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?
解一先看作实心方阵，则总人数有
1010=100(人)
再算空心部分的方阵人数。

从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是
10-23=4(人)
所以，空心部分方阵人数有
44=16(人)。

第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。

如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。

问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。

方阵问题（二）【培训提示】1.知道简单方阵问题的结构。

2.学习解答方阵问题的方法。

在方阵问题中横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形。

这就是所谓的“方阵”。

解决方阵问题时，要搞清楚方阵中的一些量（如层数、最外层个数、最里层个数、总个数等）之间的关系，解题时要开动脑筋，用多种方法来解题。

【培训示例】例1、同学们举行团体操表演，排成了一个10行10列的正方形方队，如果去掉一行一列要减少多少人？例2、育新小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗。

如果4个角上都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？例3、晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个两层空心方阵，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？例4、某小区要对一块空地进行绿化，把这些树种成方阵的模样。

最外面一层有60棵树。

问这个方阵外层每边有多少棵树？这块空地一共种了多少棵树？例5、为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排对形。

如果排成3层空心方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人。

问一共多少个学生参加排练呢？例6、一群学生排成一个空心方阵，最外层有52人，最内层有28人，这群学生一共有多少人？【培训检测】1、育红小学学生进行管乐队排练，学生排成一个正方形，一共11行，每行11人。

后来由于服装不够，只好去掉一行一列，去掉了多少个学生？2、在一个正方形的池塘边种树，如果每个角上都要种一棵树，要使每一边上看起来有7棵树，那么一共种了多少棵树？3、48个同学在操场上做游戏，他们站成一个正方形，4个点上都有人，每条边上站几个同学？4、士兵们进行演习，排成一个实心方阵，最外面一层一周的人数为80人，这个方阵共有多少个士兵？5、亮亮用石子围成一个3层空心方阵，最外一层每边有石子17个，亮亮摆这个方阵用了多少个石子？6、学校有40人，排成一个两层中空方阵，这个方阵的外层每边站多少个同学？7、“六一”节原计划让64个同学排成一个两层空心方阵，后来决定在方阵外面再增加一层成为3层空心方阵，需要增加多少个同学？8、一队学生排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这个方阵一共有多少人？9、有学生若干人，如列成3层中空方阵，就多9人；如中空部分再加两层，则少15人，有多少个学生？10、一个街心花园，它是由4个大小相等的等边三角形组成。

方阵问题月日姓名【知识要点】方阵中：每相邻边人数相差2人，每相邻层人数相差8人（1）实心方阵：每边人数×每边人数=总人数。

每边人数=一周的总人数÷4+1（2）空心方阵：（四分法）（最外层每边人数-层数）×层数×4=空心方阵的人数。

总人数÷4÷层数+层数=最外层每边人数。

【经典例题】例1、棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？例2、参加运动会团体操表演的某小学学生组成一个正方形队列，共有25行，每行25人。

问：若从正方形队列中去掉一行和一列，减少了多少名学生？一共有多少同学？例3、有学生若干人，排成2层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？例4、设计一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，问最外层每边应安排多少人？例5、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒？随堂小测1、一个以每边为12人的实心方阵队列，共多少人？2、四年级（1）班同学参加广播体操比赛，排成每行8人、每列8人的方阵，问方阵中共有多少同学？如果去掉一行一列，还剩多少同学？3、团体操表演，少先队员排成4层的中空方阵，最外层每边人数是10人，问参加团体操表演的少先队员共有多少人？4、用棋子排成一个二层的空心方阵,外层每边有8个棋子,求这个空心阵的棋子总数?5、小明用围棋子摆成一个三层的空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子课后作业1、一队学生站成20行20列的方阵，去掉4行4列，要减少多少人？2、有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人？3、三层空心方阵，最外层每边10人，一共多少人？5、在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外层每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，问这个方块队共有多少同学组成？6、将棋子排成正方形，甲、乙两人自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，问棋子总数有多少粒？7.工人用鲜花摆了一个方阵花坛，这个方针最外层有108盆，那么这个方阵有多少盆花？14.小红用棋子摆了一个空心方阵，最外层用48个棋子，最里边用了16个棋子，这个方阵共有几层？8.一个中空方阵，最外边一层有80人，最里边一层有32人，共有几人？17.用64盆花围成每边两层的空心方阵，若在外再增加一层成为三层空心方阵，需增加花几盆？432人排成一个六层空心方阵，求这个方阵最外层每边有多少人？10、某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生?11、把80个棋子摆成一个一层空心方阵,每边摆放几个棋子?这道题是20还是21?问题补充：详细解题思路10*4-4=36(人)最外层的人数以后每往里一层人数减少4人36+32+28=96(人)方阵问题：许多人排成方阵，求实心方阵或空心方阵有多少人的问题。

第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。

如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。

问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。