方阵问题公式

方阵问题的所有公式方阵问题的公式虽然表示复杂而有趣的概念，但它也是数学中最基本的概念之一，在基础数学中比较常见。

正如字面意思一样，方阵是由行和列构成的矩形数组，它以大小来描述。

方阵的每一行和每一列都是完全相同的，每一行和每一列的长度都相同。

例如：[1 2 3][4 5 6][7 8 9]上面的矩阵是一个3乘3的方阵，它有三行和三列。

方阵问题的公式主要是由方阵的运算属性推导出来的，这些公式可以很容易地到达一些有趣的结论。

其中最基本的公式可以概括为：（1）一个n乘n的方阵A可以表示为A= [a_ij]，其中a_ij表示第i行第j列上的数。

（2）矩阵A的转置 AT = [a_ji]，其中a_ji表示第j行第i列上的数。

（3）矩阵A的元素和S示为S = a_11 + a_12 + a_13+…+ a_nn （4）矩阵A的平方A^2= AA, A^3= AAA（5）矩阵A的逆A^-1求解可以用分块逆矩阵、克莱默法则和列主元法，其中分块逆矩阵可以用来解决3乘3或更小尺寸的方阵。

（6）矩阵A的行列式A|A，它表示相应的n乘n方阵的特征，也可以用来表示多面体三角形的面积或体积。

（7）矩阵A的伴随矩阵A*= adj(A)，其中adj(A)是矩阵A的代数余子式，即A|A的每一项的乘积。

（8）矩阵A的特征值和特征向量的求解，通过计算矩阵A的行列式A|A，转换为求n次方程的根。

（9）利用矩阵乘法，可以求解线性方程组的解，例如：X + 3Y + 5Z = 132X + Y + 4Z = 164X + 3Y + 8Z = 25解得X=5, Y=3, Z=2.（10）矩阵乘法可以用来求解很多复杂问题，例如求解伯努利矩阵问题（二项伯努利定理）、罗伯特威尔逊矩阵问题（二项罗伯特威尔逊定理）、卡马克矩阵问题等。

以上就是方阵问题的公式，它们使得我们能够更有效地研究方阵，并从中获得许多有趣的结论。

方阵问题的公式受到许多学科的重视，它们能够拓展许多研究领域，推动数学科学的发展。

方阵问题的所有公式
方阵问题是有关矩阵数学方面的一类问题，在很多科学和工程领域中都有广泛的应用，例如信号处理、控制系统、统计分析、密码学等。

因此，对方阵问题的研究对于科学研究和工程应用都非常重要。

方阵问题涉及到多个数学概念，例如矩阵乘法、求逆、秩、特征值等，同时还涉及到各种公式，它们可以帮助我们更加深入和准确地理解方阵问题。

下面将介绍方阵问题的一些常用公式，供大家参考学习。

一、矩阵的乘法
对于两个方阵A、B，其对应乘法公式为：A*B=C，其中C的元素Cij等于A的第i行所有元素与B的第j列所有元素的乘积之和：
c_{ij}=sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}
二、求逆
求n阶方阵A的逆矩阵A-1，其公式为：A-1=1/det(A)adj(A) 其中det(A)表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵，它是关于A的余子式组成的矩阵。

三、秩
定义：n阶方阵A的秩为r，若A有r个线性无关列，则A的秩为r，其公式为：
r=min {m,n}-rank A
其中m、n分别表示矩阵A的行数和列数，rank A表示A的秩，min{m,n}表示m与n的最小值。

四、特征值
定义：n阶方阵A的特征值为Λ，若矩阵A与n维向量x有定义： Ax=lambda x
其中，λ为常数，则λ称为A的特征值，向量x称为A的特征向量，其公式为：
det left[A-lambda I right]=0
其中I为n阶单位矩阵。

以上就是关于方阵问题的一些常用公式，从上述公式可以看出，方阵问题的公式十分复杂，涉及到多个数学概念，因此对于了解和研究方阵问题非常有必要，也是科学研究和工程应用的重要组成部分。

让知识带有温度。

方阵问题公式大全整理方阵问题公式大全导语：只要学习和把握相应的计算公式就可以特别快速地解题，方阵问题的常用公式有哪些?以下是我收集整理的资料，期望对您有所帮忙。

一、方阵问题的类型方阵可以分为实心方阵和空心方阵。

计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。

二、方阵问题特点在方阵问题中经常包含了几大特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的'人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2人：例1、一个六层空心方阵最内层每边上有6人，则最外层每边有多少人?利用第一大特点可得出最外层：6+5×2=16人(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系：四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4例2、一个用花盆围成的方阵的边长是8，问最外层有多少个花盆?第1页/共2页千里之行，始于足下。

直接套用公式：(8-1)×4=28个(3)实心方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数例3、有士兵排成一个方阵，每边边长是20，问总共有多少士兵?利用公式：20×20=400(4)空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4例4、用204盆鲜花围成一个每边三层的方阵。

求最外面一层每边多少盆?直接套用公式：(x-3)×3×4=204 x=20;通过以上例题可知，方阵问题的五大计算公式分别为：(1)方阵总数=最外层每边数目的平方;(2)方阵最外一层总数比内一层总数多8(行数和列数分别大于2);(3)方阵最外层每边数目=(方阵最外层总数÷4)+1;(4)方阵最外层总数=[最外层每边数目-1]×4;(5)去掉一行、一列的总数=去掉的每边数目×2-1。

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方阵问题的解题思路
方阵问题的解题思路：
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。

(2)空心方阵：
(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。

或者是：
(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。

总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有：
10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。

从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是：
10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有：
4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是：
100-16=84(人)
解二直接运用公式。

根据空心方阵总人数公式得：
(10-3)×3×4=84(人)。

小学方阵问题基本公式方阵问题基本公式：（1）N排N列的实心方阵人数为N×N人；（2）M排N列的实心长方阵人数为M×N人；（3）N排N列的方阵，最外层有4N-4人；（4）在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人；（5）空心正M边形阵，若每边有N个人，则共有MN-M个人；（6）方阵中：方阵人数＝最外层人数÷4＋12。

方阵问题两大常见思维方法：（1）重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目；（2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。

【例1】（国家2002A类-9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？（）A.256人B.250人C.225人D.196人［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝最外层人数÷4＋12＝（60÷4＋1）2＝256（人）。

【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。

A.600人B.615人C.625人D.640人强华教育公务员考试辅导［答案］C［解一］根据公式：方阵人数＝最外层人数÷4＋12＝（96÷4＋1）2＝625（人）。

［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。

【例3】（广西2022-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？（）A．441B.400C.361D.386［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝最外层人数÷4＋12＝（80÷4＋1）2＝441（人）。

【例4】（国家2022一类-44、国家2022二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。

方阵问题的所有公式方阵问题是一个重要的数学问题，它涉及到多项式，方程，优化算法和抽象代数的研究。

它在研究称为线性代数的科学领域中占有重要地位，广泛应用于建筑，经济，软件开发，生物学，电子学，机械制造，物理学，通信等诸多领域。

它可以用来求解一个或多个未知变量的关系，具有很大的实际意义。

方阵问题的基本概念：方阵是二维的矩阵，其中的每个元素都是对应的一个未知数。

方阵的特点是：其形式为A[m,n]，即m行n列的矩阵。

m行n列的矩阵可以用m个方程组和n个变量来描述，其中每个方程的变量个数不能超过n个。

方阵问题的一般公式：方阵问题的一般公式有三种，分别是高斯消元法，主元分解法和LU分解法。

1.斯消元法：它是对方阵A进行分解的一种常用方法，它将Ax=b 的线性方程组转换为上三角矩阵或下三角矩阵，从而用来解决方阵问题。

要条件是方阵A是正定的或非奇异的。

式如下：A=LU，解决Ax=b，可先求Ly=b，然后求L(Ux)=y，即Ux=y，最后得到x。

2. 主元分解法：它是用于求解线性方程组的一种常用方法，具体步骤如下：步骤1：选择一个主元（主元可以由用户自己选择，也可以由软件自动选择）；步骤2：利用这个主元消去主元后面所有元素；步骤3：重复这个操作，直到消去完所有元素。

3. LU分解法：它是把一个方阵分解为两个对角矩阵的乘积。

以看出，LU分解式是一个矩阵的分解，将原矩阵A分解为L*U，其中L 是下三角阵，而U是上三角阵。

样的分解可以更方便地求解Ax = b 的方程，即Ax = b可以等价为(LU)x = b。

方阵问题的应用：各种数学问题和实际应用中，方阵问题占有重要地位。

一般来说，方阵问题可以用来求解线性方程组，解决优化问题，计算矩阵的特征值，解决多项式求根问题，求解最小二乘问题，研究社会网络，计算矩阵的优化表示和在语音识别方面的应用等等。

总结：方阵问题是一个重要的数学问题，它的的一般公式可以分为高斯消元法、主元分解法和LU分解法。

2020国考行测备考：方阵问题的公式汇总
在国考数量关系中，有这样一种题型叫方阵，方阵其实是一种队形，一个团队排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这种队形就叫做方阵。

将一些物体按照这样的方式排列起来，也叫做方阵。

方阵一般分为两类：实心方阵和空心方阵。

基本公式
若正方形公式一边人数为N，长方形方阵两边人数分别为M\N,则
1、长方形实心方阵的总人数MN,正方形实心方阵的总人数N2(平方),
2、最外层=4 (N-1)
3、相邻两层人数相差8(行人数为奇数的最内层除外)
空心方阵除第一天规律不满足，其他规律均满足。

学习完上边方阵的公式，我们可以通过例题加深一下对公式的运用。

【例题1】五年级学生分成两队参加广播操比赛，排成甲、乙两个实心方阵，其中甲方阵最外层每边的人数为8.如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多4人，且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。

五年级一共有多少人?
A.200
B.236
C.260
D.288
【答案】C.
【参考解析】此题答案为C。

空心的丙方阵人数=甲方阵人数+乙方阵人数，若丙方阵为实心的，那么实心的丙方阵人数=2 甲方阵人数+乙方阵人数，即实心丙方阵比乙方阵多8 8 2=128人。

丙方阵最外层每边比乙方阵多4人，则丙方阵最外层总人数比乙方阵多4 4=16人，即多了16 8=2层。

这两层的人数即为实心丙方阵比乙方阵多的128人，则丙方阵最外层人数为(128+8) 2=68人，丙方阵最外层每边人数为(68+4) 4=18人。

那么，共有18 18-8 8=260人。

方阵问题
核心公式：
1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3．方阵外一层总人数比内一层总人数多8 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
1、学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?
2、某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
3、晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个，晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
4、一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？
5、小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？
6、参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。

问参加团体操表演的运动员有多少人？
7、参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？
8、解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？
9、学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。

四个角上都插一面，每边插7面。

一共要准备多少面旗子？
10小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？。

公务员考试：方阵问题核心公式：
(1)方阵总人(物)数＝最外层每边人(物)数的平方；
(2)方阵最外一层总人(物)数比内一层总人(物)数多8(行数和列数分别大于2)；
(3)方阵最外层每边人(物)数＝(方阵最外层总人数÷4)＋1；
(4)方阵最外层总人数＝[最外层每边人(物)数－1]×4；
(5)去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1。

某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？()
A.272
B.256
C.225
D.240
---------------------------------------
本题考查方阵问题。

方阵最外层每边人数为60÷4＋1＝16，所以这个方阵共有162＝256人。

故选B。

参加中学生运动会团体体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。

如果要使这个正方形队列减少一列和一行，则要减少33人。

问参加团体操表演的运动员有多少人？
A286 B287 C288 D289
----------------------------------------
根据公式5
33=2X-1
X=17
17^2=289
备注：缺空心方阵的题目。

方 阵 问 题总说：中空方阵总人数为总数层数外边外边=⨯-22)2-()(（外边—层数）×层数×4=总数 2层数×4+层数（外边—层数×2）×4=总数这三个公式可以互相转换。

上面的公式由上图可以显见。

如上图中外边有11个圆点共三层，那么空心部分为每边11-3×2=5个小圆点，共计5×5=25个圆点，故圆点总数为112—52=96个。

或把空心方阵分四部分，每个矩形的长度为11-3=8，8×3=24，总共有24×4=96个。

1.将外边24人的实心方阵，改列为三层空心方阵。

问空心方阵外边几人？ 解： 242=576，576÷3÷4=48人2.有士兵8排，每排30人，列成5层中控方阵。

外一排几人？ 解：30×8÷5÷4+5=17人。

3.有兵士若干人列成3层中空方阵余9人，在中空部分增列一层缺7人，问士兵若干？ 解：中空部分增列一层为9+7=16人，中空部分每边为16÷4+1=5人，外边为5+2×3=11人方阵点人数为112－52=96人，士兵共计96+9=105人 4.学生若干排成一排方阵余42人，若纵横各加一列那么缺37人，问学生多少？（上海一中） 解：纵横各增一行，人数要多出42+37=79 人，此人数比原来最外层的人数2倍多1人，所以原来方阵外一层的人数是（79-1）÷2=39人，可知这队兵士有 39×39+42=1563人列式：[（43+37-1）÷2]2+43=1563人5.兵士有1728人排成12层的空心方阵，最外边的人数是多少？ 解：1728÷12÷4+12=48人或者（1728—122 ×4）÷4÷12+12×2=48人6.兵士一排排成实心方阵，后改为长方形方阵计减去12行，每行增加30人问士兵多少？ 解：图 中乙的部分 与甲的部分相等。