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方阵问题同学们要参加运动会入场式，要实行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这个类的数学问题，今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系；四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？分析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数÷4+1，能够求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就能够求了。
解：(1)方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数：6×6=36(人)答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子？分析：(1)方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，能够求出最里层每边的个数，就能够求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解：(1)最里层一周棋子的个数是：(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是：(15-3)×3×4=144(个)答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
方阵问题-北京版四年级数学上册教案一、教学目标1.了解方阵的概念。
2.掌握方阵中行和列的概念。
3.能够根据题目要求用方阵进行简单的计算。
二、教学内容1. 方阵的定义方阵是一个n×n的矩形，其中n为正整数。
方阵中有n行和n列。
如果一个矩形既有n行又有n列，那么它就是一个方阵。
2. 方阵中的行和列一个n×n的方阵中，第i行指的是该方阵中从上到下的第i行，第j列指的是该方阵中从左到右的第j列，其中i和j均为正整数且i和j的取值范围均为1到n。
3. 利用方阵解决问题方阵在解决一些简单的数学问题时非常有用。
比如在加减法练习中，我们可以使用方阵的形式将问题简化。
例如，有以下一道题目：77 + 48 =我们可以使用方阵的形式来解决这个问题：十位数个位数7 7 74 4 8通过上表的方阵形式，我们可以得到解答：77 + 48 = 125同样，我们可以使用方阵的形式来解决更复杂的问题。
1.多媒体教学法在教学过程中，引入多媒体教学法，辅以多种形式的动态展示来促进学生的兴趣和理解。
2.探究式学习法在教学过程中，引导学生主动探究和发现问题的方法，培养学生的学习兴趣和思考能力。
3.个案阐述法在教学过程中，通过具体的例子来展示方阵的应用场景，帮助学生更好地理解和掌握方阵的概念和应用。
四、教学步骤1.导入引出方阵的概念，通过生活实际例子来预习方阵的概念。
2.示范让学生通过课本上的例子来感受方阵的形式和特点。
3.小组探究学生分小组协作探究一些小问题，从而加深对方阵的理解。
4.分享小组分享探究结果，相互借鉴和补充，进一步理解方阵的应用。
5.巩固通过多种形式，让学生练习方阵的运算技巧，加深对方阵的练习和理解。
6.总结让学生总结方阵的应用场景和运用方法。
通过考察学生在教学过程中的表现，综合评价学生掌握方阵的程度和应用能力。
除此之外，还可以开展小测验等评价方式。
六、教学方法1.以多媒体教学法为主，引导学生探究和发现问题。
四年级方阵问题知识点总结一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个由若干数构成的矩形数表，它是数学中的一种重要工具，用来表示多个数的集合。
矩阵通常用大写字母表示。
2. 矩阵的元素矩阵的每个数称为矩阵的元素。
矩阵中的元素按照行列的顺序排列，可以用下标表示。
3. 矩阵的行和列矩阵中的横向排列的数字构成矩阵的一行，纵向排列的数字构成矩阵的一列。
二、加减乘除运算1. 加法两个相同阶数（即行数和列数相同）的矩阵相加时，只需对应位置上的元素相加即可。
2. 减法两个相同阶数的矩阵相减时，也是对应位置上的元素相减。
3. 数与矩阵相乘一个数与矩阵相乘时，只需把这个数与矩阵中的每一个元素相乘。
4. 矩阵相乘两个矩阵相乘时，首先要保证第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等，然后按照矩阵乘法的定义进行计算。
5. 矩阵的转置将原矩阵的行变为列，列变为行。
6. 矩阵的逆如果一个方阵乘以它的逆矩阵等于单位矩阵，则该方阵有逆矩阵。
三、矩阵的性质1. 矩阵的相等当且仅当两个矩阵的相同位置上的元素都相等时，这两个矩阵相等。
2. 矩阵的零元素矩阵中所有元素都为零的矩阵称为零元素矩阵，一般用O表示。
3. 矩阵的单位元素主对角线上元素全为1，其它元素全为0的矩阵称为单位元素矩阵，一般用E表示。
4. 矩阵的相加和相乘的结合律矩阵的相加和相乘满足结合律。
四、特殊矩阵1. 对称矩阵矩阵A的转置矩阵与原矩阵相等，即A的转置矩阵等于A，称为对称矩阵。
2. 上三角矩阵主对角线以下的元素全为0的矩阵称为上三角矩阵。
3. 下三角矩阵主对角线以上的元素全为0的矩阵称为下三角矩阵。
以上就是四年级方阵问题的知识点总结。
通过掌握这些知识点，学生可以更好地解决方阵问题，提高数学问题的解决能力和逻辑思维能力。
小学数学《方阵问题》方阵问题[含义]将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
[数量关系](1)方阵每边人数与四周人数的关系:四周人数=(每边人数-1)x4每边人数=四周人数÷4+1(2)方阵总人数的求法:实心方阵:总人数=每边人数x每边人数空心方阵:总人数=(外边人数)-(内边人数)内边人数=外边人数-层数x2(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则:总人数=(每边人数-层数)x层数x4[解题思路和方法]方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?解22x22=484(人)答:参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解10*10-(10-3x2)*(10-3x2)=84(人)答:全方阵84人。
练习题1.同学们围成一个正方形做游戏，每边站20人，四个顶点都有人，最外圈一共有()人.A. 72B.76C.802.一个8x8的方阵(每列8人，有8列)，如果想增加两行、两列，排成一个10x10的方阵，那么需要增加()人。
A.32B. 36C.40D.443.王大爷在一个正方形鱼池边上植树，每隔4米种一棵，每边等距离植10棵树(四个角上都植有树)，鱼池的一周长()米。
A.160B.156C.164D.1444.四年级同学举行队列表演，共组成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。
最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿红色运动服。
一共要准备()套红色运动服。
A.80B.64C. 36D. 165.若干名学生排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有学生()人.A.902B.136C.240D.3606.一张正方形餐桌配4把椅子，一张圆形餐桌配6把椅子，某饭店买了5张正方形餐桌配把椅子，又买了4张圆形餐桌配-_把椅子，两次一共配了____把椅子。
第九讲方阵问题教室姓名学号【知识要点】在方阵问题中横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，这就是所谓的“方阵”。
解决方阵问题时，要搞清楚方阵中的一些量（如层数、最外层个数、最里层个数、总个数）之间的关系，解题时要开动脑盘，用多种方法来解题。
【经典例题】★例1：同学们举行团体操表演，排成了一个10行10列的正方形方队，如果去掉一行一列要减少多少人？★例2：育新小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗。
如果4个角上都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？★例3：晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有8个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？★★例4：某小区要对一块空地进行绍绿化，把这些树种成方阵的样子。
最外面一周有36棵树。
问这个方阵外层每边有多少棵树？★★例5：一群学生排成一个空心方阵，最外层有36人，最内层有20人，这群学生一共有多少人？【池中戏水】★1、育红小学学生进行管乐队排练，学生排成一个正方形，一共11行，每行11人。
后来由于服装不够，只好去掉一行一列，去掉了多少个学生？★2、48个同学在操场上做游戏，他们站成一个正方形，4个点上都有人，每条边上站几个同学？★3、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆花，最少需要几盆花？★4、三（1）班进行广播操比赛时，排成一个实心方阵，最外边一层总人数是20人，这个方阵共有多少人?★5、三（2）班同学庆“六一”活动，排成外层每边6人的两层空心方阵，共有多少人？【江中畅游】★★1、亮亮用石子围成一个3层空心方阵，最外一层每边有石子17个，亮亮摆这个方阵用了多少个石子？★★2、学校有32人，排成一个两层中空方阵，这个方阵的外层每边站多少个同学？★★3、小明用围棋子摆一个方阵，这个方阵的横、竖各一列的棋子之和为21枚。
他摆这个方阵共用了多少枚棋子？【海中冲浪】★★★1、有学生若干人，如列成3层中空方阵，就多9人；如中空部分再加两层，则少15人，有多少学生？【温馨提示】下节课我们将学习长方形与正方形的周长，请作好预习。
三年级知识点：方阵问题方阵问题同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4春天绿叶分割线例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
儿童节气球可爱gif 动图分割线贴纸例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
PC 第09讲方阵问题（下）教学目标：1、学会分析方阵中一些量之间的关系，提高学员分析问题的能力，培养学员转化的数学思想；2、学员自己总结出一些关于方阵问题的规律和特点，加深对于方阵问题的认识；3、进一步通过方阵问题的学习激发学员的求知欲。
教学重点：通过尝试用不同方法解决方阵问题，学会分析方阵中量与量之间的关系。
教学难点：掌握方阵问题中涉及的公式。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟1、士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数和列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方阵。
方阵有实心和空心两种，像这样将人或物按一定条件排成正方形，再根据已知条件求人数或物数的问题叫做方阵问题。
2、解决方阵问题时，要搞清楚方阵中的一些量（如层数、最外层个数、最里层个数、总个数）之间的关系，解题时要开动脑筋。
3、方阵的基本特点：（1）对于实心方阵，无论哪一层，每边上的人（或物）的数量都相等，每向里一层，每边上的人数都少2；每层会少8；（2）每层人（或物）数＝（每边人（或物）数－1）×4；（3）实心方阵的总人（或物）数＝行的人（或物）数×列的人（或物）数。
【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟迷你猫参加学校组织的团体节目，她看了看队伍，是一个实心方阵，最外层有28人，迷你猫问：同学们，这个实心方阵最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？解析部分：最外层每边的人数＝最外层的人数÷4＋1；实心方阵的总人数＝最外层每边的人数×最外层每边的人数。
给予新学员的建议：引导学员先求出最外层每边有多少人；哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：最外层每边的人数：28÷4＋1＝8（人）实心方阵的总人数：8×8＝64（人）答：实心方阵最外层每边有8人，这个方阵一共有64人。
【预习题分析——本期预习】----参考时间-7分钟至慧学堂组织活动，108人排成一个空心方阵，如果这个方阵最外层每边有12人，那么这个方阵共有几层？解析部分：思路一：计算出每一层的人数，总人数减去从最外层依次向里的每一层的人数，如果结果是零，就意味着方阵那一层没有人，就可以计算出层数。
方阵问题教学目标：1、使学生认识方阵中的数学问题，培养学生从实际问题中探索规律，寻求解决问题的有效方法的能力。
2、通过学生动手操作、讨论交流等，引导学生经历探索过程，发现方阵排列的规律，体验解决问题策略的多样性。
3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
教学重点：探索方阵排列的规律，寻找解决问题的有效方法。
教学难点：应用规律灵活解决实际问题。
（一）情境引入，激活思维。
1、播放阅兵式录像，简介方阵。
2、出示其它方阵情境图片，感受其在生活中的广泛应用，揭示课题。
（二）动手操作，探究新知：1、例题准备。
想象：最外层每边站5人的方阵是什么样子？学生描述后出示方阵图片和问题：一个方阵的最外层每边站了5人，这个方阵一共有多少人？2、计算中实方阵总数。
师：你能解决这个问题吗？是怎么想的？（5×5=25人引导：也就是几个几？）3、计算中空方阵总数（1）出示改编后的准备题：一个方阵的最外层每边站了5人，这个方阵的最外层一共站了多少人？（2）比较问题：这个问题与上个问题有什么不同？（学生回答后出示中空方阵图片）这个问题怎么解决？请同学们动手试一试，看谁最有办法！（3）尝试解决。
出示学习要求，并明确：A 在学具纸上圈一圈，要求能让人一眼就看出你是怎么想的。
B 把你的想法用算式表示出来。
C 把你的想法和同桌交流交流，再想想还有没有不同的算法？学生自主解决问题，完成“学习表1”，师巡视指导。
（4）展示交流算法。
投影学生的图示和算式，根据学生的汇报作相应的板书，估计大致会有以下几（ 观察和比较这些方法，你觉得哪种方法最简便？（6）寻找规律并应用。
A 出示问题：将“每边5人”改成“每边8人”，求最外层一圈一共有多少人？B 学生尝试解决，完成“学习表2”。
C 交流汇报，说算理，对比表1和表2，揭示规律。
D 应用：独立解决课本上例3中的问题。
三、拓展延伸，提炼方法。
1、课本P121“做一做”中的第2题。
方阵问题教案一、教学目标1. 了解方阵的概念和性质；2. 掌握方阵的基本运算法则；3. 熟练运用方阵解决实际问题。
二、教学重点1. 方阵的基本概念和性质；2. 方阵的基本运算法则。
三、教学难点1. 熟练运用方阵解决实际问题。
四、教学内容1. 方阵的概念和性质方阵是指行数和列数相等的矩阵，即 n 行 n 列的矩阵。
方阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
方阵有以下性质：1. 对角线上的元素称为主对角线元素，其余元素称为副对角线元素；2. 方阵的转置是将其行和列互换得到的矩阵；3. 方阵的行列式是一个数值，用于判断方阵是否可逆；4. 方阵的逆矩阵是一个矩阵，满足原矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
2. 方阵的基本运算法则方阵的基本运算包括加法、减法和乘法。
方阵的加法和减法与普通矩阵的加法和减法相同，即对应元素相加或相减。
方阵的乘法有以下规则：1. 两个 n 行 n 列的方阵 A 和 B 相乘得到的矩阵 C 也是 n 行 n 列的方阵；2. C 的第 i 行第 j 列元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列元素对应相乘后的和，即 C ij =∑A ik n k=1B kj 。
3. 方阵解决实际问题方阵可以用于解决实际问题，例如：1.线性方程组的求解：将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵组成增广矩阵，通过高斯消元法或矩阵求逆法求解；2.矩阵变换：将一个向量或点通过矩阵乘法进行变换，例如旋转、缩放、平移等；3.图像处理：将图像表示为矩阵，通过矩阵运算实现图像的变换、滤波、压缩等。
五、教学方法1.讲授法：通过讲解方阵的概念、性质和运算法则，让学生掌握方阵的基本知识；2.实例法：通过实际问题的解决，让学生了解方阵的应用；3.练习法：通过练习题的训练，让学生熟练掌握方阵的运算和应用。
六、教学过程1. 方阵的概念和性质1.讲解方阵的概念和性质，包括对角线元素、转置、行列式和逆矩阵；2.通过例题讲解方阵的性质和应用。
方阵问题知识点总结一、方阵的定义与基本概念1. 方阵的定义方阵是一个矩阵，其行数等于列数。
即如果一个矩阵的行数和列数相等，那么它就是一个方阵。
例如，一个3×3的矩阵就是一个3阶方阵。
2. 方阵的性质（1）对角线元素：方阵的主对角线上的元素称为主对角线元素。
（2）对角元素：方阵的非主对角线上的元素称为对角元素。
（3）上三角矩阵：方阵中主对角线以下的元素都是0的方阵称为上三角矩阵。
（4）下三角矩阵：方阵中主对角线以上的元素都是0的方阵称为下三角矩阵。
（5）对称矩阵：如果矩阵A的转置矩阵等于它本身，即A^T=A，那么矩阵A就是对称矩阵。
（6）单位矩阵：主对角线上的元素全为1，其余元素全为0的方阵称为单位矩阵，记为I。
3. 方阵的阶数一个n×n的方阵，我们称其为n阶方阵。
4. 方阵的转置对于一个m×n的矩阵A，转置矩阵记为A^T，即将矩阵A的行列互换得到的新矩阵。
5. 方阵的行列式方阵的行列式是一个重要的概念。
给定一个n阶方阵A，对其行列式记作|A|。
行列式是一个数学上的概念，其代表了一个矩阵的某种性质，具体来说，它代表了一个线性方程组的解的好坏程度。
6. 方阵的逆矩阵对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I，那么我们称矩阵B 是矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有可逆的方阵才有逆矩阵，即行列式不为0的方阵才有逆矩阵。
7. 方阵的秩一个矩阵的秩即为矩阵的行最简形的非零行数。
对于一个n×n的方阵A，记其秩为r(A)。
8. 方阵的特征值和特征向量对于一个n×n的方阵A，如果存在一个实数λ和一个非零向量x，使得Ax=λx，那么我们称λ是矩阵A的特征值，x是矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
二、方阵问题的求解方法1. 方阵的加法和减法对于两个n×n的方阵A和B，它们的加法和减法均为将对应位置的元素相加和相减。
第9讲 方阵问题知识要点：学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心） 2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1 3．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－11. 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? 解： 方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
2. 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ 解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
3. 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）. 摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。
（14-3）×3×4=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。
4. 一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？ 解析：依据：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1可知每边的人数是：142)127(=÷+（人）原人数是：1961414=⨯（人） 5. 小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数因为1001010=⨯（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。
6. 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。
从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人， 因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33， 则去掉的一行（或一列） 人数＝172)133(=÷+ 人 方阵的总人数为最外层每边人数的平方， 所以总人数为2891717=⨯（人）7. 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？ 解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可看出正方形队列的特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。
（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A 所示。
因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。
本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人） 或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人） 还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人） 或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）8. 解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。
（1）中实方阵总人数：12×12=144（人）（2）第四层每边人数：12-2×（4-1）=6（人） （3）空心方阵人数：（6-2）×（6-2）=16（人） （4）中空方阵人数：144-16=128（人）小结：中空方阵总人数=外边人数×外边人数-（内边人数-2）×（内边人数-2） 解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。
（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人） （2）每个长方形的宽是层数：4人 （3）总人数：8×4×4=128（人）小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）×层数×49. 学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。
四个角上都插一面，每边插7面。
一共要准备多少面旗子？解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）×4 244)17(=⨯-（面）10. 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·解析：①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵 数为：17129=-⨯（棵）。
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的， 所以大三角形三条边上共栽花：483)117(=⨯-（棵）。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算 大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上 栽花棵数为：729=-（棵）解：大三角形三条边上共栽花：483)1129(=⨯--⨯（棵） 中间画斜线小三角形三条边上栽花：213)29(=⨯-（棵） 整个花坛共栽花：692148=+（棵）11. 同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？解析：如图，实心圆表示小明的位置，可以知道， 这个队列每行都是9人。
解：每行每列数：9125=-⨯（人） 共有：8199=⨯（人）12. 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点， 可知最外层共有棋子数：（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个） 最外层每边的棋子数：56÷4+1＝15（个）解析2：如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。
每一部分的棋子数：200÷4＝50（个） 每一部分每排的棋子数：50÷5＝10（个） 最外层每边的棋子数：10＋5＝15（个） 综合列式为：200÷4÷5＋5＝15（个）13. 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？解析1：请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现， 有如下特点：（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2；（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。
最外层队员的总数：444412=-⨯（人）三层共有队员的总数：)2844()844(44⨯-+-+=283644++=108（人）解析2：如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：（12－3）×3＝9×3＝27（人） 三层共有队员数：27×4＝108（人） 答：彩车周围的少先队员共有108人。
14. 若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？解析：由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横行与一竖行的人数总和是12＋9＝21人。
又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人，再除以2，也就得到每边人数。
列式为（21＋1）÷2＝11人。
求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为11×11＝121人，用121人减去差的9人就是原来人数，列式为121－9＝112人。
也可以根据原来的方阵再加上12，请你试一试。
答：原有学生112人。
15. 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？解析：要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。
已知方阵最外一层有100人，用100÷4＝25人，每边是不是25人呢？不是的，因为平均分成4份后，还需要再加上1，才正好是每边上的人数，列式应该为100÷4＋1＝26人。
因此方阵中一共有26×26＝676人。
答：一共有676人。
16. 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？ 解析：如图，最外一层每边摆6枚，根据方阵每行每列个数相等特点，因此一共有6×6＝36枚棋子。
最外一层每边有6枚，如果用6×4＝24枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话，那就错了。
因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。
列式是6×4－4＝20枚。
说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时，可以按上图先划分成4个相等的块，这样每边就有5枚了，因此用5×4＝20枚，也可以得到正确答案。
按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。
17. 一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？ 解析1：把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可用例6的结论：去掉一行一列的总人数＝原每行人数×2－1反复利用4次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为： 去掉4行4列的总人数＝20×2－1+（20－1）×2－1＋（20－2）×2－1+（20－3）×2－1 ＝40－1=38－1+36－1+34－1＝144（人）解析2：我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵，若去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数＝原正方形方阵每边人数－4，即去掉的总人数＝20×20－（20－4）×（20－4）＝400－256＝144（人）答：去掉4行4列，要减少144人。
