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方阵问题公式（附例题）学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
核心公式:方阵问题公式(1)实心方阵:(外层每边人数)2＝总人数。
(2)空心方阵:(最外层每边人数)2－(最外层每边人数－2×层数)2＝中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数－层数)×层数×4＝中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数＋层数＝外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?一、实心方阵1.方阵总人数＝最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)－每边数×每边数2人数＝(阵最外层总人数＋4)＋13.外一层每边人数比内一层每边人数多24.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2－15、每层数－(每边－1)×4二、空心方阵1外人数＝总人数＋4＋层数＋层数2数最＝(最外层每边数－层数)×层数×4＝(最外层数+最内层数)×层数＋23内层数＝外层数－84、每层数＝(每边数－1)×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
方阵问题方阵的基本特点:1、方阵不论哪一层.每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层每边上的人数就少 2，每层总数少82、实心方阵:总数＝每边数×每边数每边数＝每层数＋4＋1每边数＝(每横排与每竖排之和－1)＋2每层数＝(每边数－1)×43、空心方阵:总数＝大实心方阵数－小实心方阵数总数＝(最外层每边数－层数)×层数×4总数＝(最外层数＋最内层数)×层数＋2最外层每边数－总数＋4＋层数＋层数解决方阵问题的基本思路:1、避免重复方阵问题基本公式基本公式:(1)N排N列的实心方阵人数为N2人;(2)M排N列的实心长方阵人数为MXN人:(3)N排N列的方阵，最外层有 4N-4人:(4)在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人;(5)空心正M 边形阵，若每边有N个人，则共有MN－M个人;(6)方阵中:方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2方阵问题两大常见思维方法:(1)重叠点思维:若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目: (2法思维:如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。
方阵问题的所有公式方阵是一种特殊类型的矩阵，即行数和列数相等的矩阵。
方阵问题在数学和线性代数中具有重要意义，涉及到方阵的性质、运算和解法。
本文将详细介绍方阵问题的各种公式。
1.方阵的定义：方阵是指行数和列数相等的矩阵。
一个n阶方阵具有n行n列。
2. 方阵的元素：方阵中的元素通常用小写字母表示，如 a11,a12, ..., ann，其中 aij 表示矩阵中第 i 行第 j 列的元素。
3. 方阵的转置：方阵的转置意味着将矩阵的行和列互换。
一个方阵A 的转置记作 A^T。
转置操作的公式为：(A^T)ij = Aji。
4.方阵的对角线：方阵的主对角线是指从左上角到右下角的元素组成的一条对角线。
次对角线是指从右上角到左下角的元素组成的一条对角线。
5. 方阵的迹：方阵的迹是指主对角线上的元素之和。
记作 tr(A) =a11 + a22 + ... + ann。
6. 方阵的行列式：方阵的行列式是一个标量，通常用 det(A) 或，A，表示。
行列式可以用来描述矩阵的一些重要特征，如面积、体积等。
行列式有多种计算方法，包括展开计算、对角线法则等。
7.方阵的特征值和特征向量：方阵A的特征值是指满足Av=λv的标量λ，其中v是非零向量。
特征向量是满足上述方程的向量v。
特征值和特征向量对于解决线性代数和矩阵问题具有重要作用。
8.方阵的逆矩阵：方阵A的逆矩阵记作A^-1、如果存在矩阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则称A是可逆的，B是A的逆矩阵。
具体计算可使用伴随矩阵法或初等行变换法。
9.方阵的幂：方阵的幂是指将方阵自乘若干次的操作。
方阵A的k次幂记作A^k。
幂运算可以用于解决线性代数和矩阵的运算问题。
10.方阵的行列式性质：- 如果 A 和 B 是 n 阶方阵，则 det(A+B) = det(A) + det(B)。
- 如果 A 是 n 阶方阵，k 是标量，则 det(kA) = k^n det(A)。
- 如果 A 是 n 阶方阵，B 是 A 的转置，则 det(AB) =det(A)det(B)。
【导语】让学⽣体会到数学源于⽣活、⽤于⽣活的同时，更应该让学⽣体会到数学⾼于⽣活，体会到数学可以带动社会的发展，带动⽣活质量的提⾼，这样更能激发学⽣学好数学。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。
⽅阵问题公式
（1）实⼼⽅阵：（外层每边⼈数）2=总⼈数。
（2）空⼼⽅阵：
（最外层每边⼈数）2-（最外层每边⼈数-2×层数）2=中空⽅阵的⼈数。
或者是
（最外层每边⼈数-层数）×层数×4=中空⽅阵的⼈数。
总⼈数÷4÷层数+层数=外层每边⼈数。
例如，有⼀个3层的中空⽅阵，最外层有10⼈，问全阵有多少⼈？
解⼀先看作实⼼⽅阵，则总⼈数有
10×10=100（⼈）
再算空⼼部分的⽅阵⼈数。
从外往⾥，每进⼀层，每边⼈数少2，则进到第四层，每边⼈数是
10-2×3=4（⼈）
所以，空⼼部分⽅阵⼈数有
4×4=16（⼈）
故这个空⼼⽅阵的⼈数是
100-16=84（⼈）
解⼆直接运⽤公式。
根据空⼼⽅阵总⼈数公式得
（10-3）×3×4=84（⼈）。
方阵问题的所有公式方阵问题的公式虽然表示复杂而有趣的概念，但它也是数学中最基本的概念之一，在基础数学中比较常见。
正如字面意思一样，方阵是由行和列构成的矩形数组，它以大小来描述。
方阵的每一行和每一列都是完全相同的，每一行和每一列的长度都相同。
例如：[1 2 3][4 5 6][7 8 9]上面的矩阵是一个3乘3的方阵，它有三行和三列。
方阵问题的公式主要是由方阵的运算属性推导出来的，这些公式可以很容易地到达一些有趣的结论。
其中最基本的公式可以概括为：（1）一个n乘n的方阵A可以表示为A= [a_ij]，其中a_ij表示第i行第j列上的数。
（2）矩阵A的转置 AT = [a_ji]，其中a_ji表示第j行第i列上的数。
（3）矩阵A的元素和S示为S = a_11 + a_12 + a_13+…+ a_nn （4）矩阵A的平方A^2= AA, A^3= AAA（5）矩阵A的逆A^-1求解可以用分块逆矩阵、克莱默法则和列主元法，其中分块逆矩阵可以用来解决3乘3或更小尺寸的方阵。
（6）矩阵A的行列式A|A，它表示相应的n乘n方阵的特征，也可以用来表示多面体三角形的面积或体积。
（7）矩阵A的伴随矩阵A*= adj(A)，其中adj(A)是矩阵A的代数余子式，即A|A的每一项的乘积。
（8）矩阵A的特征值和特征向量的求解，通过计算矩阵A的行列式A|A，转换为求n次方程的根。
（9）利用矩阵乘法，可以求解线性方程组的解，例如：X + 3Y + 5Z = 132X + Y + 4Z = 164X + 3Y + 8Z = 25解得X=5, Y=3, Z=2.（10）矩阵乘法可以用来求解很多复杂问题，例如求解伯努利矩阵问题（二项伯努利定理）、罗伯特威尔逊矩阵问题（二项罗伯特威尔逊定理）、卡马克矩阵问题等。
以上就是方阵问题的公式，它们使得我们能够更有效地研究方阵，并从中获得许多有趣的结论。
方阵问题的公式受到许多学科的重视，它们能够拓展许多研究领域，推动数学科学的发展。
方阵问题的所有公式
方阵问题是有关矩阵数学方面的一类问题，在很多科学和工程领域中都有广泛的应用，例如信号处理、控制系统、统计分析、密码学等。
因此，对方阵问题的研究对于科学研究和工程应用都非常重要。
方阵问题涉及到多个数学概念，例如矩阵乘法、求逆、秩、特征值等，同时还涉及到各种公式，它们可以帮助我们更加深入和准确地理解方阵问题。
下面将介绍方阵问题的一些常用公式，供大家参考学习。
一、矩阵的乘法
对于两个方阵A、B，其对应乘法公式为：A*B=C，其中C的元素Cij等于A的第i行所有元素与B的第j列所有元素的乘积之和：
c_{ij}=sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}
二、求逆
求n阶方阵A的逆矩阵A-1，其公式为：A-1=1/det(A)adj(A) 其中det(A)表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵，它是关于A的余子式组成的矩阵。
三、秩
定义：n阶方阵A的秩为r，若A有r个线性无关列，则A的秩为r，其公式为：
r=min {m,n}-rank A
其中m、n分别表示矩阵A的行数和列数，rank A表示A的秩，min{m,n}表示m与n的最小值。
四、特征值
定义：n阶方阵A的特征值为Λ，若矩阵A与n维向量x有定义： Ax=lambda x
其中，λ为常数，则λ称为A的特征值，向量x称为A的特征向量，其公式为：
det left[A-lambda I right]=0
其中I为n阶单位矩阵。
以上就是关于方阵问题的一些常用公式，从上述公式可以看出，方阵问题的公式十分复杂，涉及到多个数学概念，因此对于了解和研究方阵问题非常有必要，也是科学研究和工程应用的重要组成部分。
小学生常用数学公式方阵问题【】小学数学的学习至关重要，宽敞小学生朋友们一定要把握科学的学习方法，提高数学的学习效率。
以下是查字典数学网小学频道为大伙儿提供的数学公式方阵问题，供大伙儿复习时使用!方阵问题公式(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2层数)2=中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数-层数)层数4=中空方阵的人数。
总人数4层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?解一先看作实心方阵，则总人数有1010=100(人)再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10-23=4(人)因此，空心部分方阵人数有44=16(人)故那个空心方阵的人数是100-16=84(人)解二直截了当运用公式。
依照空心方阵总人数公式得(10-3)34=84(人)单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
科学的学习方法和合理的复习资料能关心大伙儿更好的学好数学这门课程。
五年级数学方阵问题公式如下：
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：
(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是：
(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？解一先看作实心方阵，则总人数有：
10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是：
10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有：
4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是：
100-16=84(人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得：(10-3)×3×4=84(人)。
方阵问题公式
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是100-16=84(人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得
(10-3)×3×4=84(人)。
方阵问题的解题思路
方阵问题的解题思路：
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：
(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是：
(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有：
10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。
从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是：
10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有：
4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是：
100-16=84(人)
解二直接运用公式。
根据空心方阵总人数公式得：
(10-3)×3×4=84(人)。
（1）N排N列的实心方阵人数为N2人；（2）M排N列的实心长方阵人数为M×N人；（3）N排N列的方阵，最外层有4N-4人；（4）在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人；（5）空心正M边形阵，若每边有N个人，则共有MN-M个人；（6）方阵中：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2。
方阵问题两大常见思维方法：（1）重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目；（2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。
【例1】（国家2002A类-9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？（）A. 256人B. 250人C. 225人D. 196人［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（60÷4＋1）2＝256（人）。
【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。
A. 600人B. 615人C. 625人D. 640人强华教育公务员考试辅导［答案］C［解一］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（96÷4＋1）2＝625（人）。
［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。
【例3】（广西2008-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？（）A．441 B. 400 C. 361 D. 386［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2＝（80÷4＋1）2＝441（人）。
【例4】（国家2005一类-44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少？（）A. 1元B. 2元C. 3元D. 4元［答案］C［解一］设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方程组：N=4x－4N=3y-3N=60y-x=5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。
［注释］这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。
［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。
公务员考试网【例5】（北京社招2006-16）用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米，那么每条纸条长多少厘米？（）A. 6B. 6.5C. 7D. 7.5［解析］重叠点思维：假设每张纸条有x厘米长，总长度应该是10x，但一共有9个接口，每个接口处都重叠1厘米，因此重复计算了9厘米，据此可得：10x-9=61x=7。
【例6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列，则要减少49人，则参加团体操表演的运动员共（）人。
A. 576B. 625C. 676D. 2401［答案］B［解析］重叠点思维：假设每边有x人，则一行一列共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍），有方程：2x-1=49，解得x=25。
共有252=625人。
【例7】（广东2005下-11）要在一块边长为48米的正方形地里种树苗，已知每横行相距3米，每竖列相距6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗?（）A. 128棵B. 132棵C. 153棵D. 157棵［答案］C［解析］根据公式：棵数=总长÷间隔+1。
边长为48米，每横行相距3米，共有48÷3+1=17行；边长为48米，每横行相距6米，共有48÷6+1=9列；可得：17×9=153（棵），一共可种树苗153棵。
【例8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列变换后，增加了6行，减少了10列，恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。
则原长方形阵共有（）人。
A. 196B. 225C. 256D. 289［答案］B［解析］设该正方形阵每边x人，则原长方形阵为（x-6）行，（x+10）列。
x2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，选择B。
【例9】奥运会前夕，在广场中心周围用2008盆花围成了一个两层的空心方阵。
则外层有（）盆花。
A. 251B. 253C. 1000D. 1008［答案］D［解一］设外层有m盆，内层有n盆，根据公式：m-n=8。
则：m-n=8m+n=2008m=1008n=1000［解二］设该方阵外层每边x盆，根据“逆向法思维”：x2-（x-4）2=2008x=253，外层每边有253盆，根据公式：外层共有253×4-4=1008。
【例10】（江苏2009-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（）。
A. 296人B. 308人C. 324人D. 348人［答案］B［解一］最外层68人，中间一层44人，则最内层为44×2－68＝20人（成等差数列）。
因此一共有：68-208＋1＝7（层），总人数为44×7＝308。
强华教育公务员考试辅导［解二］中间一层共44人，总人数是＝44×层数，是44的倍数，结合选项直接锁定B。
【例11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人数共48人，最内层人数为24人，则该方阵共有（）人。
A. 120B. 144C. 176D. 194［答案］B［解一］设最外层每边x人，最内层每边y人，根据公式：4x-4=484y-4=24x=13y=7因此外层每边13人，内部空心部分每边7-2＝5人，根据“逆向法思维”：共有132-52=144人。
［解二］总人数＝（48+24）×层数÷2＝36×层数，是36的倍数，直接锁定B。
［解三］根据公式：相邻两圈相差8，因此很容易得到这几圈分别为48、40、32、24，直接加起来即可。
【例12】有若干人，排成一个空心的四层方阵。
现在调整阵形，把最外边一层每边人数减少16人，层数由原来的四层变成八层，则共有（）人。
A. 160B. 1296C. 640D. 1936［答案］C［解析］设调整前最外层每边x人，调整后每边y人，根据“逆向法思维”：x-y=16x2-（x-8）2=y2-（y-16）2x=44y=28因此：442-（44-8）2=640（人）。
过河问题基本知识点1.M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1N-1次（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n个人划船就要同时减去n）；2.“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程；3.载人过河的时候，最后一次不再需要返回。
【例1】（广东2005上-10）有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（）A. 7次B. 8次C. 9次D. 10次［答案］C［解析］根据公式：37-15-1＝364＝9次。
【例2】（北京应届2006-24）49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。
全体队员渡到河对岸需要多少分钟？（）A. 54B. 48C. 45D. 39［答案］C［解析］根据公式：全部渡过需要49-17-1＝486＝8次，前七次渡河需要往返各一次；第八次渡河则只需过河一次，所以八次渡河共需过十五次河（即15个单程），每次过河需要3分钟，所以共需要45分钟。
【例3】有42个人需要渡河，现仅有一只小船，每次只能载6人，但需要3个人划船。
请问一共需要几次才能渡完？（）A. 10次B. 11次C. 12次D. 13次［答案］D［解析］根据公式：42-36-3＝39３＝13次。
【例4】有一只青蛙掉入一口深10米的井中。
每天白天这只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?（）A. 7B. 8C. 9D. 10［答案］A［解析］除最后一天外，青蛙每天白天跳上4米，而晚上又滑下3米，一昼夜来回共上升1米，所以第六天到了“第6米”的地方，第七天的时候，再向上跳四米，那么白天就可以跳出井外，所以答案应该选择A。
［注释］本题相当于一个“过河问题”，一共10个人，船上能承载4个人，但需要3个人划船，所以共需要10-34-3=7天。
【题5】有一只青蛙掉入一口深20米的井中。
每天白天这只青蛙跳上5米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?（）A. 7B. 8C. 9D. 10［答案］C［解析］看作“过河问题”，20-35-3=8.5，所以需要9天。
【例6】（国家2007-54）32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟，如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有（）人还在等待渡河。
#中国公务员考试信息网A. 15B. 17C. 19D. 22［答案］C［解析］由于9时开始渡河，往返一次需5分钟，9点、9点5分、9点10分、9点15分，船各运一批人过河，所以一共运了4次（其中第4次还在路上）。
因此，共有“4×（4-1）+1=13人”已经离开了出发点，因此至少有32-13＝19人等待渡河。
本文转自[中国公务员考试论坛- 转载请注明出处原文链接：/xingzhengzhiyenengliceyan/201001/xcsxys_fzwt_3585.html。
