偶然误差的统计规律三
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《测量平差》教案第二章误差分布与精度指标第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图,列出分布函数,讲解,强调两个分布参数的含义。
二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图,列出分布函数,讲解,强调两个分布参数的含义。
第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法(1)列表法(通过实例列表讲解)(2)绘图法(通过实例绘图讲解)(3)密度函数法(通过实例绘图讲解)二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下,误差的绝对值不会超过一定的限值。
(界限性) (2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
(小误差占优性)(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
(对称性)三、两个重要概念(1) 由偶然误差的界限性,可以依据观测条件来确定误差限值(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。
小结:偶然误差有其统计规律,研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。
第三节衡量精度的指标;第四节精度、准确度与精确度;第五节测量不确定度一、精密度指标(一)观测量的精密度指标1、观测条件与精密度配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。
2、几种常用的精密度指标(1)方差与标准差推导相应公式,给出其估值公式,讲解应用实例(2) 极限误差分析误差出现在某一范围内的概率的大小,给出极限误差定义公式(3) 相对误差给出相对精度的定义,用实例讲解其应用范围。
(4) 平均误差与或然误差给出平均误差和或然误差的定义,讲解其在国际上应用的范围和地区,以及其与中误差的关系。
(二)观测向量的精度指标1、n维随机向量的方差阵导出n维随机向量的方差阵表达形式,指出该阵是对称矩阵,并讲解矩阵中各元素的含义,同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。
2、两随机向量的互协方差阵导出两个随机向量互协方差阵表达形式,并讲解矩阵中各元素的含义,同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。
随机误差统计规律分布特点
随机误差(也称为观测误差)是指在测量过程中出现的偶然性误差,它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。
随机误差的分布规律通常符合“正态分布”(也称为高斯分布)的特点,即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线,其峰值位于均值处,标准差越小,曲线越陡峭,反之曲线越平缓。
正态分布具有以下特点:
1.对称性:分布函数两侧的曲线相对称。
2.峰度(尖峰度):高峰陡峭,翼部较平缓。
3.均值与中位数相等。
4.标准差越小,分布曲线越陡峭。
5.曲线下方的面积为1。
正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式,它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。
在测量界中,正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。
测量误差理论一、中误差估值(也称中误差):Δi (i=1,2,…,n ) (6-8)【例】 设有两组同精度观测值,其真误差分别为:第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″; 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。
试比较这两组观测值的精度,即求中误差。
解:"22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1<m 2,可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时,通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大,因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差,则精度较低。
另外,由以上分析可知,中误差仅代表了一组观测值的精度,并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差:观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比,并化为分子为1、分母为整数的形式,即mS Sm K 1==(6-10) 三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S =106.28 m ,斜距的竖角038'︒=δ,斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ,求斜距对应的平距D 及其中误差D m 。
解:平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数,所以,对等式两边取全微分,化成线性函数,并用“∆”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据(6-29)式,可以直接写出平距方差计算公式,并求出平距方差值n m ] [∆∆ ±=2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此,平距的中误差为:m D =±5 cm 。
测量误差理论一、中误差估值(也称中误差):Δi (i=1,2,…,n ) (6-8)【例】 设有两组同精度观测值,其真误差分别为:第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″; 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。
试比较这两组观测值的精度,即求中误差。
解:"22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1<m 2,可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时,通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大,因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差,则精度较低。
另外,由以上分析可知,中误差仅代表了一组观测值的精度,并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差:观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比,并化为分子为1、分母为整数的形式,即mS Sm K 1==(6-10) 三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S = m ,斜距的竖角,斜距和竖角的中误差分别为、,求斜距对应的平距D 及其中误差。
解:平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于是一个非线性函数,所以,对等式两边取全微分,化成线性函数,并用“”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据(6-29)式,可以直接写出平距方差计算公式,并求出平距方差值n m][2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此,平距的中误差为:m D =±5 cm 。
则最终平距可表示为:D=± m 。
实验三单摆实验与偶然误差的统计规律重力加速度是一个重要的地球物理常数。
各地区的重力加速度数值,随该地区的地理纬度和海拔高度不同而不同。
在理论、生产和科学研究中,重力加速度的测定都具有很重要的意义。
本实验用单摆测定重力加速度,同时,通过手控多次测量单摆的周期以验证偶然误差的正态分布规律。
【实验目的】1.了解镜尺、光电计时装置的使用方法;2.掌握用单摆测量重力加速度的方法;*3.从单摆的周期测量值的变化,认识偶然误差的规律性。
【实验仪器】单摆、秒表、光电计时装置、镜尺、钢卷尺、游标卡尺等【实验原理】简单地说,单摆就是由一个不能伸长的轻质细线和悬在该细线下端且体积很小的金属摆球所构成的装置。
要求摆线的长度远大于摆球的直径,摆球质量远大于细线质量的条件。
,单摆装置(如图3-1所示)的调节:调节底座的水平螺丝,使摆线与铅直的立柱平行;调节摆幅测量标尺高度与镜面位置,使得标尺的上弧边中点与顶端悬线夹下平面间距离为50cm;调节标尺平面垂直与顶端悬线夹的前伸部分;调节标尺上部平面镜平面与标尺平面平行,镜面上指标线处于仪器的对称中心。
秒表和光电计时装置均可用来计时。
相关计时装置的使用请参见相应的说明书1.单摆测重力加速度将摆球自平衡位置拉至一边(摆角小于5°)释放,摆球即在平衡位置左右往返作周期性摆动,如图3-2所示。
设摆球的质量为m ,其质心到摆的支点O的距离为lmgθ。
它(摆长)。
作用在摆球上的切向力的大小为sin≈,切向力总指向平衡点O′。
当角θ很小时,则sinθθ图3-1的大小约为mgθ,按照牛顿第二定律,质点的运动方程为ma mg θ=-⇒切22d ml mg dtθθ=-220d gdt lθθ+= (3-1)这是一简谐运动方程,可知简谐振动角频率ω的平方等于g / l ,由此得出l g T ==πω2 gl T π2= 224Tlg π= (3-2) 式中T 为单摆的周期。
实验中,若测出摆长l 和周期T ,则重力加速度g 即可由上式求得。
误差一、直接测量和间接测量在物化实验中需对某些物理量进行测量,以便寻找出化学反应中的某些规律,测量又可分为直接测量和间接测量。
直接测量是指实验结果可直接用实验数据表示。
如用温度计测量温度,用米尺测量长度,用压力计测量压力等。
另一类间接测量是指实验结果不能直接用实验数据表示,而必须由若干个直接测量的数据通过某种公式进行数学运算方可表示的实验结果。
如用凝固点降低法测溶质的分子量,就必须通过测量质量、体积和温差这些直接测量的数据,再用冰点降低公式进行数学运算后,方可得到溶质的分子量。
在直接测量过程中由于所使用的测量工具不准确,测量方法的不完善,都使得测量结果不准确,以致于偏离真实值,这就是误差。
在间接测量中由于直接测量的结果有误差,此误差可传递到最后的结果中,也可使其偏离真实值。
由上所述,可知误差存在于一切测量之中,所以讨论误差,了解其规律、性质、来源和大小就非常有必要。
实验误差的分析,对人们改进实验,提高其精密度和准确度(精密度和准确度的意义在以后讨论),甚至新的发现都具有重要的意义。
二、真值真值是一个实际上不存在的值,它只是一个理论上的数值。
例如,我们可取光在真空中的速度作为速度的计量标准,又如,可用理论安培作为电流的计量标准,其定义为:若在真空中有两根截面无限小的相距2米的无限长平行导体,在其上流过一安的电流时,则在二导体间产生10-7牛顿/米的相互作用力。
这样的参考标准实际上是不存在的,它只存在于理论之中,因此这样的真值是不可知的。
但人类的认识总是在发展的,能够无限地逐渐迫近真值。
由于真值是不可知的,所以一般国家(或国际上)都设立一个能维持不变的实物基础和标准器。
指定以它的数值作为参考标准。
例如,以国家计量局的铯射束原子频率标准中,铯原子的基态超精细能级跃迁频率的平均值作为9,129,631,770赫。
这样的参考标准叫做指定值。
在实际工作中,我们不可能把所使用的仪器都一一地与国家或国际上的指定值相对比,所以通常是通过多级计量检定网来进行一系列的逐级对比。
偶然误差的概念
偶然误差是指偶然的、不可预知的误差,即受观察者本身及观察者所处的环境等客观条件影响的误差,这种误差并不直接反映测量值的真实情况。
偶然误差是由于若干偶然原因所引起的微量变化的综合作用所造成的误差。
这些偶然原因可能与观测设备、方法、外界条件、观测者的感觉等因素有关。
偶然误差对测值个体而言是没有规律的(或者规律还未被人掌握),不可预言和不可控制的,但其总体(大量个体的总和)服从于统计规律,可以从理论上计算它对观测结果的影响。
偶然误差的统计规律一、实验目的:从摆的周期测量值的变化认识偶然误差的规律性:1、平均值x 和测量列标准偏差S 将随n 的增大而趋于稳定值。
2、测量值的分布和高斯分布接近。
3、在(s x -)~(s x +)区域中测量值的数目约为总数的68%二、实验仪器:复摆、秒表。
三、实验方法:1、测量复摆的周期,将支架底座调水平。
2、复摆摆动角度不就过大,尽量避免系统误差,不应让摆前后摆动。
3、用秒表测量复摆周期,可测量摆动5次、10次、20次的时间,再计算周期,共测量100次。
此实验是研究偶然误差规律性,不要人为的有意选择数据,测量时尽量保持振幅稳定。
四、数据的统计1、求平均值P 及测量列标准偏差S (x ) n x P i ∑=11)()(22--=--=∑∑∑n x P x n P x x S ii i2、剔除坏数据:使用格罗面斯判据去判断,可保留的数据范围为:)()(S G P x S G P n n +≤≤- G n 为格罗布斯判据系数3、求剔除坏数据后的平均值及测量列的标准偏差,要求按测量顺序每增加4、分区统计并和正态分布作比较① 找出数据的最小值(A )和最大值(B )② 将(B ——A )等分为M 个区间,区间宽度E 为 MA B E -= ③ 统计每个区间的数据的个数n i (I=1,2,3…100)④ 作统计直方图和正太分布的概率密度曲线比较,以测量值为横坐标,以频率n n i 和区间宽度的比值Ei n n 为纵坐标,作统计直方图。
⑤统计在(P—S)~(P+S)量值范围中,测量值的个数n s,求n s/n值。
一、填空题:1、观测条件由观测仪器、____________和_____________三部分构成。
2、观测误差按其性质的不同可分为系统误差和偶然误差,其中____________误差在观测或计算过程中可以采用一定的措施消除或削弱,而___________误差在观测结果中必然存在。
3、测量平差的首要任务是经过数据处理,确定观测值的________________,而__________________________________________也是其必不可少的任务。
4、偶然误差的统计规律性是指:界限性、_______性、_______性和_______性。
5、在某相片上量得一距离长为200㎝,其相对中误差为1/3000,则该距离的绝对中误差为_____________________㎝。
6、测量平差是在______________的基础上利用_______________原理进行的。
7、单位权中误差mo、权Pi和中误差mi之间的关系为_______________________。
8、有一四边形导线环,同精度观测其各内角,共观测5组结果,计算出5个闭合差为﹣8″、9″、7″、﹣5″、-7″,则每组观测值之和中误差为____________,每个导线角观测值中误差___________。
(保留一位小数)9、设某角度观测值的协因数为3,则其观测值的权为_________。
10、观测成果的质量高低__________(能、否)反映观测条件的好坏。
11、理论上我们取3倍中误差为极限误差;而等级控制测量因为观测的精度要求比较高,往往规定______倍中误差为极限误差12、衡量精度常用的几种指标有中误差、___________误差和__________误差。
13、精度是指误差分布的________________程度。
14、由三角形闭合差ω计算测角中误差mβ的公式为______________________。