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实验报告：时间测量中随机误差的分布规律张贺PB07210001一、实验题目：时间测量中随机误差的分布规律二、实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器:电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1.常用时间测量仪表的简要原理：（1）机械节拍器：由齿轮带动摆做周期性运动，摆动周期可以通过改变摆锤的位置连续调节。
（2）电子节拍器：由石英晶体振荡器、计数器、译码器、电源和分档控制及显示部分组成。
电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光，声、光节拍范围为 1.5～0.28846s，分为39挡，各挡发生和闪光的持续时间约为0.18s。
（3）电子秒表：兼有数种测时功能（秒、分、时、日、月和星期），便于携带和测量的常用电子计时器。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器作时标，一般用六位液晶数字显示，其连续积累时间数为59min59.99s 。
分辨率为0.01s ，平均日差0.5s 。
（4） V AFN 多用数字测试仪：由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
可测量计数、振动、累计、速度、加速度、碰撞、频率、转速、角速、脉宽。
时标：由DC10集成电路和100kHz 石英晶体振荡器组成。
电路可直接输出0.01ms ，0.1ms ，1ms ，10ms ，0.1s ，1s 六挡方波脉冲作为时标信号和闸门时间。
石英晶体振荡器的稳定度为1.2×105-s/d ；频率测量范围1Hz~100kHz ；电信号输入幅度为300mV 。
2. 统计分布规律的研究：假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（又称高斯分布）的概率密度函数表示，]2)(exp[21)(22--=σπσx x x f （1）式中x 为测量的算术平均值，σ为测量列的标准差，nxx ni i∑==1（2）1)(12--=∑=n x x ni i σ （3）⎰-=aadx x f a P )()( （4）式中a=σ,2σ,3σ. （1） 统计直方图方法统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种直观的方法。
随机误差统计规律分布特点
随机误差（也称为观测误差）是指在测量过程中出现的偶然性误差，它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。
随机误差的分布规律通常符合“正态分布”（也称为高斯分布）的特点，即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差越小，曲线越陡峭，反之曲线越平缓。
正态分布具有以下特点：
1.对称性：分布函数两侧的曲线相对称。
2.峰度（尖峰度）：高峰陡峭，翼部较平缓。
3.均值与中位数相等。
4.标准差越小，分布曲线越陡峭。
5.曲线下方的面积为1。
正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。
在测量界中，正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。
大学物理实验 4 1.4 随机误差的统计分布1.4.1 随机误差的正态分布1．正态分布规律在相同的测量条件下，对某一被测量进行多次重复测量，假设系统误差已被减弱到可以被忽略的程度，由于随机误差的存在，测量结果1x ，2x ，…n x 一般存在着一定的差异。
如果该被测量的真值为a ，则根据误差的定义，各次测量的误差为1,2,3,i i x a i n δ=-=大量的实验事实和统计理论都证明，在绝大多数物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差i δ服从或接近正态分布（或称高斯分布）规律。
正态分布的特征可以用正态分布曲线形象地表示出来，如图1-2所示，横坐标为误差i δ，纵坐标为随机误差的概率密度分布函数()f δ。
当测量次数n →∞时，此曲线完全对称。
2．正态分布的性质（1）单峰性。
误差为零处的概率密度最大，即绝对值小的误差出现的可能性（概率）大，绝对值大的误差出现的可能性小。
（2）对称性（抵偿性）。
大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧，当测量次数非常多时，正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于零。
（3）有界性。
在一定测量条件下，误差的绝对值不会超过一定限度，即非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。
根据误差理论可以证明函数()f δ的数学表达式为()2221e 2πf δσδσ-= （1-3）测量值的随机误差出现在(),d δδδ+区间内的可能性为()d f δδ，即图1-2中阴影线所包含的面积元。
式（1-3）中的σ是一个与实验条件有关的常数，称之为标准误差。
1.4.2 标准误差及其计算1．标准误差的物理意义按照概率理论，误差δ出现的区间(),-+∞∞的事件是必然事件，所以()d 1f δδ+-=⎰∞∞，即曲线与横轴所包围面积恒等于1。
当0δ=时，由式（1-3）得()102πf σ= （1-4）图1-2 随机误差的正态分布曲线第1章 测量误差与数据处理的基础知识 5 由式（1-4）可见，若测量的标准误差σ很小，则必有f (0)很大。
3. 分析本实验的测量结果和误差来源。
数据表格略（见实验报告）观察思考1. 统计规律需要大量实验数据作为基础，而且必须是在近似无系统误差或系统误差系统误差基本为一恒定值的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量才能的处正确的结论。
由本次实验，你对这一论述有何体会？ 2. 你能用计算机编程计算“测量列的算术平均值”和“平均值的标准偏差”吗？不妨试一试？附录 8-1 操作功能进入统计计算模式清除内存输入数据计算器计算平均值和标准偏差的操作方法CASIO fx-3600 型计算器按键操作 MODE 3 INV 数据x 1 AC DATA 数据x 2 SHARP EL 型计算器按键操作STAT DATA…数据x n DATA x1 , x 2 , x3 , … xn 显示算术平均值显示标准偏差显示测量次数如果 m 个数据相同，可输入 x i 后键入乘 m，再按 DATA。
x （即 INV 1 ） x （即） S （即 RM ）） n（即））（即 INV 3 ） n （即 Kout 3 附录 8-2 6 个硬币的统计分布如果把玻璃杯中的 6 个硬币摇晃并倒在桌子上，进行一次或多次，我们并不能准确的预言任一次倾倒的硬币有多少个正面。
然而对于掷出的硬币从出现概率方面研究，我们可以正确的推断出那些可能出现的可能值并估计这些可能值出现有多大的可能。
6如果摇晃 6 个质量相同的硬币，则理论上 0、1、2、3、4、5 个正面的最可能出现的概率如下表 8-3 所示：表 8-3 出现正面的数目 0 1 2 3 4 5 6 在 64 次抛掷中预期的出现频率 1 6 15 20 15 6 1 在许多次抛掷中出现的相对频率 1 / 64 = .56% 6 / 64 = 9.38% 15 / 64 = 23.44% 20 / 64 = 31.25% 15 / 64 = 23.44% 6 / 64 = 9.38% 1 / 64 = 1.56% 表 8-3 中的那些“抛掷中预期的出现频率”是基于理论上出现的几率，是“先验的” ，因此不一定在每作 64 次抛掷都肯定达到。
实验题目：时间测量中的随机误差分布规律
实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分
布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验原理：1、常用时间测量仪表的简要原理
（1）机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动。
（2）电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。
（3）电子秒表兼有数种测时功能。
电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器
作时标，一般用六位夜晶数字显示。
（4）V AFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。
六档方波脉冲
作为时标信号和闸门时间。
2、统计分布规律和研究
(1)假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）
的条件下，对时间t 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：
2
22)(21
)(σπ
σx x e
x f --
=
其中n
x
x n
i i
∑==
1
为测量的算术平均值，
1
)(1
2
--=∑=n x x
n
i i
σ为测量列的标准差，
⎰-=a a
dx x f a P )()( 式中σσσ3,2,=a
(2)概率密度分布曲线
求出各小区间中点的正态分布的概率密度值f(x),以f(x)为纵坐标，t 为横坐标，可得概率
密度分布曲线。
若此概率密度分布曲线与统计直方图上断相吻合，则可认为测量值是基本符合正态分布的。
实验步骤：1、时间测量
（1）用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期（以3个周期为一测量周期）。
（2）将机械节拍器上好发条使其摆动，在等精度条件下重复测量150，记录每次的测量结果。
2、数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）及统计规律研究。
实验器材：电子秒表、机械节拍器
实验桌号：6号
数据处理：
实验所测的原始数据如下（单位：秒）：
表一：原始数据
数据分析如下：
最小值：x min =5.03s 最大值：x max =5.24s
平均值：
s
x i i
x
12.5150
150
1
==
∑=
标准差：
s
x i i
x 047.01
150)
(1501
=--=
∑=σ
统计频数得下表：
表二：节拍器的频数和频率分布表
5.18 5.15 5.07 5.18 5.10 5.16 5.13 5.18 5.04 5.145.24 5.18 5.18 5.08 5.16 5.18 5.11 5.19 5.05 5.165.20 5.18 5.10 5.09 5.18 5.17 5.14 5.18 5.12 5.135.18 5.13 5.16 5.12 5.14 5.09 5.09 5.14 5.15 5.095.15 5.10 5.14 5.13 5.13 5.15 5.16 5.13 5.05 5.165.15 5.13 5.13 5.05 5.09 5.17 5.10 5.11 5.06 5.155.22 5.10 5.15 5.12 5.10 5.17 5.08 5.08 5.13 5.075.11 5.09 5.11 5.08 5.14 5.13 5.13 5.05 5.09 5.065.17 5.18 5.14 5.15 5.05 5.14 5.23 5.12 5.11 5.085.16 5.19 5.12 5.12 5.13 5.15 5.13 5.06 5.08 5.135.15 5.24 5.16 5.14 5.10 5.05 5.08 5.09 5.17 5.125.09 5.09 5.10 5.08 5.09 5.14 5.03 5.04 5.18 5.045.19 5.17 5.15 5.09 5.13 5.19 5.10 5.07 5.18 5.085.20 5.18 5.10 5.06 5.10 5.19 5.09 5.05 5.05 5.175.13 5.16 5.13 5.08 5.03 5.05 5.05 5.19 5.12 5.10
区域起始/s 区域末尾/s 区域中点/s 频数频率
5.020 5.045
5.032550.0335.045 5.070 5.0575140.0935.070 5.095 5.0825260.1735.095 5.120
5.1075170.1135.120 5.145 5.1325350.2335.145 5.170 5.1575200.1335.170 5.195 5.1825270.1805.195 5.220
5.207520.0135.220 5.245
5.232540.027
根据上表作出统计直方图，并拟合一条高斯曲线：
节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
n/N
图一：节拍器频数和频率的统计直方图和高斯拟合曲线
由公式：
2
22)(21
)(σπ
σx x e
x f --
=
⎰-=a
a
dx x f a P )()(以及σ=0.047s 得
P(σ)=0.683； P(2σ)=0.954； P(3σ)=0.997；
所以考虑测试者的心理因素、外界环境和仪器系统误差等因素的影响，该测量结果基本符合正态分布。
测量结果平均值的标准差可计算得： A 类不确定度为：
s s
n
A u x
004.0150
047.0==
=
=σ
σ
B 类不确定度为u B =Δ估/C=0.2s/3=0.067s ； 合成不确定度68.0,067.0067
.0004.02
222
==+=
+=
P s U u
u B
A
那么结果最后可表成：t=(5.12±0.07)s P=0.68。
