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误差传播定律设有形如12(,,,,,)i n Z f x x x x = 的函数，其中12,,,n x x x 为可以直接观测的未知量，Z 为不便于直接观测的未知量。
设(12)i x i n =、、、 的独立观测值为i l ，其相应的真误差为i x ∆ 。
由于i x ∆的存在，使得函数12(,,,,,)i n Z f x x x x =也产生相应的真误差Z ∆ 。
将12(,,,,,)i n Z f x x x x =取全微分，得到：1212i n inf fffdZ dx dx dx dx x x x x ∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂ (1.1)因为误差i x ∆ 以及Z ∆ 都很小，所以在上式中，可以近似用i x ∆ 以及Z∆代替来i dx 以及dZ ，于是有：1212i n inf f ffZ x x x x x x x x ∂∂∂∂∆=∆+∆++∆++∆∂∂∂∂(1.2)上式中ifx ∂∂ 为函数f 对各个自变量的偏导数(12)i n =、、、。
将i i x l = 带入各偏导数中，即为确定的常数，设()i i x l i iff x =∂=∂ ，则 1212i n inf f ffZ x x x x x x x x ∂∂∂∂∆=∆+∆++∆++∆∂∂∂∂ (1.3)可以写成： 1122i i n n Z f x f x f x f x ∆=∆+∆++∆++∆(1.4)为了求得函数与观测值之间的中误差的关系式，设对各i x 进行了k 次观测，则可以写出k 个类似于(1.5)的关系式：(1)(1)(1)(1)(1)1122(2)(2)(2)(2)(2)1122()()()()()1122i i n n i i n n k k k k k i i n n Z f x f x f x f x Z f x f x f x f x Z f x f x f x f x ∆=∆+∆++∆++∆∆=∆+∆++∆++∆∆=∆+∆++∆++∆将以上各式等号两边平方后，再相加，得：2222222221122,1[][][][][]2[]ni i n n i j i j i j i jZ f x f x f x f x f f x x =≠∆=∆+∆++∆++∆+∆∆∑（1.4）[ ]表示求和。
误差传播定律
误差传播定律是机器学习领域中一种重要的定理，它定义了损失函数与网络参数之间的关系。
误差传播定律解释了当网络参数发生变化时，损失函数会发生什么变化。
它提供了一种方法来利用梯度下降（Gradient Descent）算法来优化网络参数，从而最小化整个网络的损失函数值。
误差传播定律表明，可以通过计算每个参数的梯度，来调整网络参数，从而减小损失函数的值，从而达到最优参数的目的。
因此，误差传播定律是深度学习算法训练网络和模型参数的核心理论基础。
误差传播定律
一、误差传播定律（Error Backpropagation Law）
误差传播定律（Error Backpropagation Law）是一种重要的人工神经网络算法，它
最早在1986年被Rumelhart等人提出，并在子后学习过程中发挥着重要作用。
利用反向
传播技术，可以实现多层神经网络，也称为反向传播算法。
误差传播算法通过误差的反馈，以自动化的方式改善网络模型的预测结果。
该算法首
先确定一个初始的权重和偏差，然后根据实际情况，不断增加参数和权重，使它们能够更
好地适应训练样本数据。
针对网络输出结果，通过与预期输出比较，计算出一个误差值，
误差值把权重更新的任务传给神经元，得到一个新的权重，让神经元更加敏感的反应输入，以达到优化网络的效果。
误差传播算法是一种利用梯度下降法以及链式法则（Chain Rule）进行反向传播的数
学方法。
误差的反向传播是指，从神经网络的输出端开始，使用链式法则将误差向输入端
传播，并依次更新每个神经元的权重和偏差，以最大程度地减小输出层表示的网络误差。
该过程反复进行，不断减少最终误差，至最小时，说明模型参数已达到最优解。
综上所述，误差传播算法是一种重要的人工神经网络算法，它利用反向传播技术，以
自动化的方式改善网络模型的预测结果，实现多层神经网络，根据误差的反馈不断增加参
数和权重，进而最大程度减小最终误差，达到最优解。
由于该算法不仅比较简单，而且收
敛速度非常快，所以在现今的深度学习研究中具有重要地位。
第五章误差传播定律5.1误差的来源和分类（板书）经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。
那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。
在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。
一、定义：观测值与真值之间的差值，记为：∆X=i-Lix为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。
Li为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。
i∆为观测误差，即真误差。
二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。
二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。
水准尺刻划不均匀使得读数不准确。
又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。
如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。
例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同b.不等精度观测测量误差的分类根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
例：钢尺的尺长误差。
一把钢尺的名义长度为30m ，实际长度为30.005m ，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm ，也就是会带来-5mm 的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
又如水准仪的i 角误差（画图），由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i ，使得中丝在水准尺上的读数不准确。
第五章误差传播定律5.1误差的来源和分类（板书）经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。
那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。
在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。
一、定义：观测值与真值之间的差值，记为：∆=XLii-x为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。
Li为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。
i∆为观测误差，即真误差。
二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。
二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。
水准尺刻划不均匀使得读数不准确。
又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。
如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。
例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同b.不等精度观测测量误差的分类根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
例：钢尺的尺长误差。
一把钢尺的名义长度为30m ，实际长度为30.005m ，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm ，也就是会带来-5mm 的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
又如水准仪的i 角误差（画图），由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i ，使得中丝在水准尺上的读数不准确。
第五章误差传播定律第五章误差传播定律5.1误差的来源和分类（板书）经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。
那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。
在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。
一、定义：观测值与真值之间的差值，记为：=∆LiXi-x为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。
Li为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。
i∆为观测误差，即真误差。
二、误差的来源1、测量仪器一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。
二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。
水准尺刻划不均匀使得读数不准确。
又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。
2、观测者是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。
如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。
3、外界条件测量工作都是在一定的外界环境下进行的。
例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同b.不等精度观测测量误差的分类根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
例：钢尺的尺长误差。
一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm，也就是会带来-5mm的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
又如水准仪的i角误差（画图），由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。
如果水准仪离水准尺越远，i角误差就会越大。
由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。
正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。
具体方法有：1.采用观测方法消除：比如水准仪安置距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。
通过后前前后的观测顺序可以减弱水准仪下沉的影响。
通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差。
2. 加改正数：例如精密钢尺量距中的尺长改正：∆l d ＝ l/ l 0 ×∆l （l 为任意尺段长）、温度改正和高差改正。
三角高程测量中的球气差改正数：R D f 243.0=，光电测距仪的加常数和乘常数的改正：RD K D +=∆3. 检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。
措施：用计算方法加以改正；用一定的观测方法加以消除或削弱；检校仪器以限制误差的范围。
2、偶然误差定义：偶然误差的符号和大小是无规律的，具有偶然性。
例如度盘分划不均匀引起的误差就是偶然误差，因为在度盘上有的地方可能分划的密度大一些，有的地方分划的密度要稀疏一些。
又如我们在读数的时候，最后一位要估读，有时可能估读得大一些，有时估读得小一些，这是没有规律的。
另外还有瞄准误差（照准误差）、对中误差也属于偶然误差。
虽然单个的偶然误差没有规律，但大量的偶然误差具有统计规律。
在后面的内容中就是要专门研究偶然误差的这种统计规律，如果没有特别的说明，后面提到的误差都是偶然误差。
3、粗差也称错误，如瞄错目标、读错、记错数据、算错结果等错误，这个错误大家在实验中都是犯过的。
在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。
在测量工作中，粗差可以通过检核——包括测站检核、计算检核以及内业工作阶段的检核发现粗差，并从测量成果中予以剔除（如水平角实验中角度闭合差为十几分）。
而系统误差和偶然误差，是同时存在的。
对于系统误差，通过找到其规律性，采用一定的观测方法来消除或减小。
当系统误差很小，而误差的主要组成为偶然误差时，则可以根据其统计规律进行处理——测量上称为“平差”。
偶然误差的特性1.特性根据前面所讲的，单个偶然误差没有规律性，而在相同条件下的重复观测一个量，也就是等精度观测，经过重复观测所出现的大量的偶然误差具有规律性。
例：在相同条件下，对三角形的三内角进行了独立的重复观测，由于每次观测中都含有误差，所以三角性的三个内角的观测值加起来不会等于真值，真值应该是180度。
设三个内角的观测值加起来为 Li=ai+bi+ci ，即Li 即为观测值（板书）则︒-=∆180Li i ，i ∆为真误差。
现在重复观测了358次，将其真误差的大小按一定的区间统计成一个列表（见书上P93）：从这个列表中，我们可以看出偶然误差的几个特性：（注：表格中误差的相对个数指的是误差在每39 25 20 12 1913 0.0～0.5 0.5～总数负误差个数正误差个数 误差所在区间个误差区间内出现的次数除以误差的总次数，比如在0-0.2秒的这个区间内，即第一行，负误差的相对个数0.126应该是45除以358得到的,这个相对个数实际上就是误差出现的频率。
）1、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限（有界性）；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（小误差的密集性）；3、绝对值相等的正负误差，出现的机会相等（对称性）；4、由第3条特性可知，当n→∞时，偶然误差的算术平均值→0（即数学期望）， 即0][lim ...lim )(21=∆=∆++∆+∆=∆∞→∞→n n n E n n (抵偿性)。
（[]符号表示求和）（数学期望定义：随机变量X 的观察值的算术平均值为随机变量X 的数学期望）2.直方图由统计表格的数据我们可以绘制出一个直方图，其中横坐标为误差的大小，纵坐标为误差在每个区间出现的频率，即以∆=d nk y /，∆d 代表误差区间。
3.正态分布曲线当n→∞，也就是观测的次数趋近无穷多次，并且∆d →0时也就是误差区间无穷小时，直方图中各个小长条矩形组成的折线就会变成一条曲线，这条曲线是一条正态分布曲线，可用正态分布概率密度函数表示：22221)(σσπ∆-=∆=e f y我们回忆一下概率统计中所学的有关正态分布的内容：随机变量X 服从参数为μ、σ的正态分布函数标准形式为： 222)(21)(σμσπ--==x e x f y ，其中μ为随机变量X 的数学期望，σ为随机变量X 的标准差)(x D （均方差），σ2为方差)(x D 。
因此上面的函数中，误差∆为真误差，∆是一个随机变量，因∆是偶然误差。
μ＝0，因可化为2)0(-∆的形式，即随机变量∆的数学期望为0，σ为随机变量σ的标准差。
方差的数学意义为：反映随机变量∆与其均值)(∆E ，即与其数学期望的偏离程度。
由于σ2就是∆的方差，显然σ2与观测条件有关，如果观测条件越好，则误差∆就应该越小，就越接近于0，也就是越接近于数学期望，由于∆与数学期望的偏离程度越小，从而σ2越小。
我们再看看有关精度的内容。
5.2 衡量精度的标准一、精度的含义所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。
如误差分布集中（曲线a ），则观测精度高；若误差分布离散（曲线b ），则观测精度就低。
（画图）从我们前面的分析可以知道，误差分布的集中与离散程度可以用方差σ2或标准差σ来表示。
如果σ越小，误差偏离数学期望的程度就越低，则误差集中程度就会越高，即精度越高，反之如果σ越大，则误差的离散程度越高，精度越低，因此我们可以用σ即用标准差来衡量观测的精度。
二、中误差（均方差）在测量工作中，我们就是用标准差来衡量观测精度的，我们称之为中误差，用m 表示。
设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观测，观测值为：l 1，l 2，…，l n ，其真误差为： ⊿1，⊿2，…，⊿n则真误差的方差：nE E E D n ][lim)()]([)(222∆∆=∆=∆-∆==∆∞→σ式中当n→∞，)(∆E ＝0，根据数学期望的定义)(2∆E 就是2∆的算术平均值。
[ ]为累加符号，n n ∆∆++∆∆+∆∆=∆∆...][2211真误差的标准差： nD n ][lim)(∆∆±==∆±∞→σ （无穷次）实际工作中，观测次数有限，故取标准差的估值作为中误差：nm ][ˆ∆∆±==σ（有限次）应用时应注意：1、⊿i 可以是对一个量n 次同精度观测，亦可以是对n 个量各进行一次同精度观测的误差（例1：在全站仪测距时有的同学说测出来的距离不断地在变化，这实际上是全站仪在不断地测距，也就是对一个量——这个量就是距离——进行了多次等精度观测，而每次的观测值都有误差存在，误差有时大，有时小，所以测出来的距离值不断在变化。
例2：在前面讲的方向法测水平角时（画图），需要对多个方向观测，先瞄A ，再瞄B ，再瞄C …，这实际上就是对n 个量进行了一次等精度观测）；2、中误差m 是衡量一组观测的精度标准，个别误差的大小并不能反映精度的高低；3、n 较大时，m 较可靠；n 有限时，m 仅做参考；4、m 前要冠以±号，并有计量单位。
5、m 为中误差，∆为真误差，不要混淆。
例题1设甲乙两组观测，真误差为： 甲：＋4”，＋3”，0”，－2”，－4”； 乙：＋6”，＋1”，0”，－1”，－5” 试比较两组的精度。
解："0.351640916±+++±＝＋＝甲m"5.35251136±+++±＝＝乙m因此甲组的精度高。
中误差的性质1. 中误差表示误差分布的离散度。
（中误差就是标准差，而标准差就是表示误差分布离散度的。
2. 等精度观测中，中误差表示一组观测值的精度，也表示单个观测值的精度。
（如上例中甲组中误差为±3.0”，同时甲组单个观测值的中误差也为±3.0”） 3. 概率特性。
{}{}6826.0=+<∆<-=+<∆<-σσσμσμP Pμ为误差的数学期望，因此μ＝0。
此公式表示真误差在（－σ，＋σ）内出现的概率。
这个概率的计算在概率统计那本书中写了其过程。
（在“方差”的那一章节） 我们还可计算得： {}9544.022=+<∆<-σσP{}9974.033=+<∆<-σσP我们可以看到，对于真误差∆来说，它的值落在区间[－3σ，＋3σ]几乎是肯定的事。
因此在测量工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值（或限差），如果精度要求较高时，就可以取两倍中误差作为限差，即 m m 23或＝容∆三、相对误差1.相对中误差假设现在丈量了两段距离： 甲： 100米，＝甲m ±0.01m乙： 200米，＝乙m ±0.01m到底那组的精度高些呢？如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显然不合理。
